H1 Haakjes wegwerken, ontbinden in factoren - Wisnet

Gemeenschappelijke Propedeuse Engineering WISKUNDE H1
H1 Haakjes wegwerken, ontbinden in factoren
1.1 Haakjes wegwerken
In wiskundige uitdrukkingen komen vaak “haakjes” voor. In deze paragraaf
komen de rekenregels aan de orde met betrekking tot het wegwerken van
haakjes bij vermenigvuldigingen.
Regel 1:
Voorbeelden:
1a. ( )
4⋅ 3x+ y = 12x+ 4y
1b. 5⋅ ( 2x+ 3y)
2a. ( )
a⋅ 4x− y = 4a⋅x−a⋅
y
Dit antwoord wordt meestal geschreven als: 4ax − ay
2b. 2 p ⋅( 3x− 2y)
3a. ( )
6 3 x − 2 y + 5 z = 18 x− 12 y + 30 z
3b. 3( − x + 4y − 8z)
4a. ( ) 2
x 3x+ 5 = 3x + 5x
4b. y( 5y − 3)
Regel 2:
Voorbeelden:
1a. ( ) ( ) 2 2
x+ 4 ⋅ x+ 2 = x + 2x+ 4x+ 8= x + 6x+ 8
1b. ( x+ 5) ⋅ ( 2x+ 3)
2 2 2 2
2a. ( x −2y) ⋅ ( x+ y) = x + x⋅y −2x⋅y− 2y = x − x⋅y− 2y
Dit antwoord wordt meestal geschreven als:
2b. ( 2x+ y) ⋅( 3x− 4y)
a⋅ ( b+ c) = a⋅ b+ a⋅c ( a+ b) ⋅ ( c+ d) = ac ⋅ + ad ⋅ + bc ⋅ + bd ⋅
x − xy− 2y
2 2
1

Gemeenschappelijke Propedeuse Engineering WISKUNDE H1
1.2 Merkwaardige producten
Het uitwerken van haakjes kan in sommige gevallen worden versneld door
gebruik te maken van de volgende “merkwaardige producten”.
Merkwaardig product 1:
Verantwoording van deze algemene regel:
2 2 2 2
( a + b) ⋅( a− b) = a −a⋅ b+ a⋅b− b = a − b
Voorbeelden:
1a. ( ) ( ) 2 2 2
x+ 4 ⋅ x− 4 = x − 4 = x − 16
1b. ( y + 3) ⋅( y − 3)
2a. ( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2
2x+ 5y ⋅ 2x− 5y = 2x − 5y = 4x − 25y
2b. ( 4a −7b) ⋅ ( 4a + 7b)
Merkwaardig product 2:
Verantwoording van deze algemene regel:
( ) ( ) ( )
2 2 2 2 2
a+ b = a+ b ⋅ a+ b = a + a⋅ b+ a⋅ b+ b = a + 2a⋅
b+ b
Voorbeelden:
x+ 4 = x + 2⋅x⋅ 4+ 4 = x + 8x+ 16
1a. ( ) 2 2 2 2
1b. ( ) 2
y + 3
2 2 2 2 2
2a. ( ) ( ) ( )
2a+ 5b = 2a + 2⋅2a⋅ 5b+ 5b = 4a + 20a b+ 25b
2b. ( ) 2
3x+ 2y
2 2
( a+ b) ⋅( a− b) = a − b
( ) 2 2 2
a+ b = a + 2a⋅
b+ b
2

Gemeenschappelijke Propedeuse Engineering WISKUNDE H1
Merkwaardig product 3:
Verantwoording van deze algemene regel:
( ) ( ) ( )
2 2 2 2 2
a− b = a−b ⋅ a− b = a −a⋅b−a⋅ b+ b = a −2a⋅ b+ b
Voorbeelden:
x − 1 = x −2⋅x⋅ 1+ 1 = x − 2x+ 1
1a. ( ) 2 2 2 2
1b. ( ) 2
y − 6
2 2 2 2 2
5p− 2q = 5p −2⋅5p⋅ 2q+ 2q = 25p − 20p q+ 4q
2a. ( ) ( ) ( )
4x− 3y
2b. ( ) 2
( ) 2 2 2
a− b = a −2a⋅ b+ b
3

Gemeenschappelijke Propedeuse Engineering WISKUNDE H1
1.3 Ontbinden in factoren
Het omgekeerde van haakjes wegwerken noemen we “ontbinden in factoren”.
Hierbij wordt een wiskundige uitdrukking, waarin geen haakjes staan,
omgezet in een uitdrukking met haakjes. De volgende regels zijn daarbij
behulpzaam.
Regel 1:
De termen ab ⋅ en a⋅ c bevatten beiden dezelfde factor a . Door deze factor a
buiten haken te halen wordt de vorm ab ⋅ + ac ⋅ ontbonden in factoren.
In feite is deze regel het omgekeerde van regel 1 uit paragraaf 1.1.
Voorbeelden:
1a. 5x+ 5y = 5⋅
( x+ y)
1b. 6a+ 6b
2a. 15 p − 3q = 3⋅( 5 p− q)
2b. 16 x − 4 y
3a. ax+ 2ay− 5a= a( x+ 2y− 5)
3b. 5bx−10by− 15b
2
4a. x + 2x= x( x+
2)
4b.
2
y − 3 y
ab ⋅ + ac ⋅ = a⋅ ( b+ c)
4

Gemeenschappelijke Propedeuse Engineering WISKUNDE H1
Regel 2:
Met deze regel kan het verschil van twee kwadraten worden ontbonden in
factoren.
In feite is deze regel het omgekeerde van het merkwaardig product 1 uit
paragraaf 1.2.
Voorbeelden:
2 2 2
1a. x − 25 = x − 5 = ( x+ 5) ⋅( x−
5)
1b.
2
y −
36
2 2 2
2a. 4a − 49= ( 2a) − 7 = ( 2a+ 7) ⋅( 2a− 7)
2b.
2
25 b − 16
( ) ( )
2 2
a − b = a+ b ⋅ a−b 5

Gemeenschappelijke Propedeuse Engineering WISKUNDE H1
Regel 3:
2
Met deze regel kan de kwadratische vorm x + b⋅ x+ c worden ontbonden in
factoren.
Hiervoor zoeken we 2 onbekende (gehele) getallen p en q , waarvoor geldt:
de som van p en q is gelijk aan b , het product van p en q is gelijk aan c .
Voor de onbekende getallen p en q geldt dus:
p + q= b ⎫
⎬
p ⋅ q = c ⎭
De verantwoording van deze regel krijgen we als we de haakjes in regel 3
wegwerken:
( ) ( ) 2 2 ( )
2
Zodat: x + b⋅ x+ c= 2
x + ( p+ q) ⋅ x+ p⋅ q
x + p ⋅ x+ q = x + q⋅ x+ p⋅ x+ p⋅ q= x + p+ q ⋅ x+ p⋅ q
Hieruit kunnen we concluderen, dat p + q overeenkomt met b , en dat p ⋅ q
overeenkomt met c .
Opmerking: De methodiek van regel 3 is niet altijd mogelijk (zie voorbeeld 3)!!
Voorbeelden:
1a. Ontbind in factoren:
2
x x
+ 5 + 6
Voor het ontbinden van deze vorm in factoren zoeken we dus 2 gehele
getallen
p en q waarvoor geldt:
de som p + q is gelijk aan 5, het product p ⋅ q is gelijk aan 6.
Bij het zoeken naar deze getallen p en q beginnen we altijd met het
product, omdat er maar enkele combinaties van 2 getallen zijn die
vermenigvuldigd 6 opleveren. Daarna bepaalt de som van deze
getallen, welke combinatie de juiste is. De methode in onderstaande
tabel kan daarbij helpen.
Het product van p en q is +
6
p = 1 en q = 6
p =− 1 en q =− 6
p = 2 en q = 3
p =− 2 en q =− 3
2
Dus: x + 5x+ 6= ( x+ 2) ⋅ ( x+
3)
( ) ( )
2
x + b⋅ x+ c= x+ p ⋅ x+ q
De som van p en q is
+ 5
Som = 7 , klopt niet
Som = − 7 , klopt niet
Som = 5 , klopt
Som = − 5,
klopt niet
6

Gemeenschappelijke Propedeuse Engineering WISKUNDE H1
1b. Ontbind in factoren:
2a. Ontbind in factoren:
De tabel wordt nu:
2
y + 10 y + 24
2
x x
− 2 − 8
Het product van p en q is - 8 De som van p en q is - 2
p = 1 en q = − 8
Som = − 7 , klopt niet
p =− 1 en q = 8
Som = 7 , klopt niet
p = 2 en q =− 4
Som = − 2 , klopt
p =− 2 en q = 4
Som = 2 , klopt niet
2
Dus: x − 2x− 8= ( x+ 2) ⋅( x−
4)
2b. Ontbind in factoren:
3. Ontbind in factoren:
De tabel wordt nu:
2
x x
+ 3 − 18
2
x x
− 2 + 10
Het product van p en q is + 10 De som van p en q is - 2
p = 1 en q = 10
Som = 11,
klopt niet
p =− 1 en q =− 10
Som = − 11,
klopt niet
p = 2 en q = 5
Som = 7 , klopt niet
p =− 2 en q =− 5
Som = − 7 , klopt niet
Conclusie: omdat we geen gehele getallen p en q kunnen vinden, faalt
deze methode.
7