Over Leonhard EULER, e, i, π, kettingbreuken en Kettenbrücken

Over Leonhard EULER, e, i, π, kettingbreuken en
Kettenbrücken
Voor de 300 ste verjaardag van L. Euler
Paul Levrie en Hilde Missinne
Op 15 april was het 300 jaar geleden dat in het
Zwitserse Basel Leonhard Euler werd geboren:
de grootste en meest productieve wiskundige (of
wetenschapper) van de achttiende eeuw. Om dat te
herdenken werd in Zwitserland een speciale postzegel
uitgegeven, waarop een van de bekendste formules
van Euler te zien is: bij een convex veelvlak is het
aantal hoekpunten − het aantal ribben + het aantal
zijvlakken steeds gelijk aan 2. In het veelvlak op
de figuur tellen we 12 hoekpunten, 19 ribben en 9
zijvlakken.
Euler werd geboren in 1707 en stierf in 1783. Men heeft berekend dat hij gemiddeld zo’n 800
bladzijden wetenschappelijke teksten produceerde per jaar. Daarnaast correspondeerde hij ook
nog uitgebreid (meer dan 1000 brieven) met beroemde tijdgenoten zoals daar zijn Daniel Bernoulli
(die van de Wet van Bernoulli, die eigenlijk eerst afgeleid werd door ... Euler), Jean Le
Rond d’Alembert (een van de Encyclopedisten, vooral bekend voor zijn kenmerk om de convergentie
van reeksen te onderzoeken), Joseph-Louis Lagrange (van de middelwaardestelling), en
Christian Goldbach (bekend om zijn vermoeden). Uit een brief (uit 1731 [1]) naar deze laatste
zie je hier een fragment, het is een van de eerste keren dat Euler de letter e gebruikt voor het
getal 2,718281828.
Euler schreef vooral in het Latijn, de wetenschappelijke voertaal in die tijd. De eerste keer dat
je de letter e in deze context vindt in een publicatie, is in Eulers Mechanica van 1736 [4]:

Het is ook Euler die de letter i voor de complexe eenheid heeft ingevoerd. In 1777 schrijft hij [5]:
Het getal π heeft Euler niet als eerste gebruikt, dat was ene William Jones (1675-1749) in zijn
boek Synopsis Palmariorum Matheseos van 1706 [2]:
waar hij het heeft over de formule van Machin voor de berekening van π. Euler heeft wel veel
bijgedragen tot de popularisering van deze notatie.
Je zou kunnen zeggen dat nu alles klaar is voor de formule van Euler:
e iϕ = cos ϕ + i · sin ϕ
de formule die de fysicus Richard Feynman de ’meest merkwaardige formule
uit de wiskunde’ noemde [8]. Je vindt haar terug in Eulers boek
Introductio in analysin infinitorum dat hij schreef in 1745 [7], op p.104:
Euler was echter niet de eerste die deze formule vond. Roger Cotes schreef al vroeger (in 1714):
Nam si quadrantis circuli quilibet arcus, radio CE descriptas, sinum habeat CX
sinumque complimenti ad quadrantem XE: sumendo radium CE pro modulo, arcus
erit rationes inter EX + XC √ −1 & CE, mensura ducta in √ −1 .
(zie [9]). In moderne notatie staat hier, voor een cirkel met straal R = CE, met XC de sinus
en EX de cosinus van een zekere hoek ϕ, dat
iR ln(cos ϕ + i · sin ϕ) = Rϕ
en dit is, op een klein foutje na, de formule van Euler.
Euler bewees zijn versie (o.a.) door gebruik te maken van de Maclaurinreeksen voor cos, sin
en de exponentiële functie. Van deze laatste reeks was hij zelf de vader (lees hiervoor het
schitterende boek [3]).
Het beroemde speciale geval ϕ = π :
e iπ + 1 = 0
vind ik niet terug bij Euler, wel de logaritmische versie ervan [6]:

met dit probleem natuurlijk dat de complexe logaritmische functie meerwaardig is, en Euler
dus voor ln(−1) oneindig veel waarden vindt, waaronder iπ.
Euler leverde bijdragen tot bijna alle takken van de wiskunde en het duurde tot vijftig jaar na
zijn dood eer al zijn werk gepubliceerd raakte! Ook toen hij al volledig blind was, nam zijn
wetenschappelijke productie niet af.
Een van de specialiteiten van Euler waren de zogenaamde kettingbreuken, een onderwerp in
de wiskunde dat een beetje op de achtergrond geraakt is. Een kettingbreuk is een oneindig
doorlopende breuk. Een van de oudste is die van Lord Brouncker voor het getal π, waarvan
nog steeds niet geweten is hoe hij er aan kwam:
π
4
= 1
1 + 12
2 + 32
2 + 52
Euler vond een verwante kettingbreuk voor ln 2 [7] :
2 + 72
2 + . . .
Zoals je kan lezen vertrok hij van de bekende reeks voor ln 2 :
ln 2 = 1 − 1 1 1 1
+ − + − ...
2 3 4 5
Als we deze reeks op een bepaalde plaats afbreken, en stellen:
yn = 1 1
1
− + . . . + (−1)n−2
n n − 1 2 + (−1)n−1 − (−1) n−1 ln 2

dan vinden we dadelijk dat
yn+1 + yn = 1
n + 1 , yn+2 + yn+1 = 1
n + 2
Delen we nu de tweede uitdrukking door de eerste, dan vinden we, na wat herschikken:
en hieruit volgt dat
(n + 2) yn+2
yn+1
yn
yn+1
= n + 1
+ 1 = (n + 1) 1
yn+1
yn
1 + (n + 2) yn+2
yn+1
Herhaaldelijk toepassen, beginnend met n = 0, geeft:
y1
y0
= 1
1 + 2 · y2
y1
= 1
2 · 2
1 +
1 + 3 · y3
y2
= 1
2 · 2
1 +
3 · 3
1 +
1 + 4 · y4
y3
= 12
1 + 22
1 + 32
1 + 42
Als we dan terugkijken naar de oorspronkelijke definitie van yn, dan zie je dat
y1
y0
= 1 − ln 2
ln 2
1
1
= − 1 ⇒ ln 2 =
ln 2 1 + y1
y0
1 + . ..
Deze twee uitdrukkingen combineren levert je de kettingbreuk van Euler op. Hier staat ze naast
die voor π zodat je ze gemakkelijk kan vergelijken:
ln 2 = 1
1 + 12
1 + 22
1 + 32
1 + 42
1 + .. .
, π
4
= 1
1 + 12
2 + 32
2 + 52
2 + 72
2 + .. .
Op deze manier (zie ook [10]) kan je kettingbreuken vinden voor combinaties van bekende
constanten, bijvoorbeeld:
√
1 3
π + ln 2 =
3 9 1
1 + 12
3 + 42
3 + 72
3 + 102
3 + . . .

Voor de berekening van de waarde van zo’n kettingbreuk ga je als volgt tewerk: je kapt hem
gewoon af op een bepaalde plaats (je vervangt de ’staart’ door 0) en berekent de overblijvende
eindige breuk van achter naar voor. Doen we dit voor de kettingbreuk van ln 2, waarbij we
afkappen voor de 4 2 , dan bereken je dus:
3 1 2 1 1
Euler was niet alleen actief in de analyse, maar werkte zowat in alle gebieden van de wetenschap.
Zijn naam wordt bijvoorbeeld ook vaak genoemd in de ontstaansgeschiedenis van de Sudoku:
Euler bestudeerde Latijnse vierkanten.
Voor enkele andere verwezenlijkingen van Euler, met name de oplossing van het Baselprobleem,
en het invoeren van de constante van Euler-Mascheroni, zie [11], [12].
Een leuk en beroemd probleem, dat aan de basis ligt van de grafentheorie en de topologie, is
het Königsberg-bruggenprobleem van Euler uit 1736.
Het gaat als volgt:
De Pregel stroomt door het stadje Königsberg (gelegen in het vroegere Oost-Pruisen, tegenwoordig
Kaliningrad in Rusland). In de rivier ligt een eiland en bovendien splitst de
rivier zich waardoor het stadje opgedeeld wordt in vier stukken. Er zijn in totaal zeven
bruggen die de verschillende delen van Königsberg met elkaar verbinden. (Zie figuur.)
Is het mogelijk een wandeling door Königsberg te maken zodanig dat je iedere brug precies
één keer oversteekt, een ketting vormt van bruggen? (Het maakt niet uit in welk deel
van de stad je de wandeling start en ook niet waar je aankomt.)
Je kan de situatie schematiseren door de landmassa’s voor te stellen door punten en de bruggen
door lijnstukken of bogen. Dan krijg je volgende figuur, die door wiskundigen een graaf genoemd
wordt.
En de vraag uit het zevenbruggenprobleem van Euler wordt dan:
teken bovenstaande graaf zonder je pen op te heffen en zonder tweemaal over dezelfde
lijn te gaan.
Probeer maar eens!
Dit doet me denken aan analoge puzzeltjes die ik als kind oploste. Misschien herken jij ze ook?

Onderzoek of je volgende figuren kunt natekenen zonder je potlood op te heffen en zonder
tweemaal over dezelfde lijn te gaan.
Euler slaagt er niet alleen in te verklaren waarom zo’n wandeling door Königsberg onmogelijk
is, hij veralgemeent ineens het probleem en haar oplossing voor elke graaf! Hij bewijst de
volgende stelling:
Als een graaf meer dan twee oneven knooppunten heeft, dan bestaat er geen ’Eulerwandeling’
over die graaf.
(Een knooppunt heet oneven wanneer er in dat punt een oneven aantal wegen aankomt;
in het andere geval noemt men het even.)
Dat er hoogstens twee oneven knooppunten mogen zijn, kan als volgt verklaard worden. Neem
een knooppunt dat niet begin- of eindpunt is van de wandeling. Dan moet er voor elke weg
die aankomt, ook een vertrekken. En al deze wegen moeten bovendien verschillend zijn! Zo’n
knooppunt is bijgevolg even. De enige oneven knooppunten kunnen dan alleen begin- en eindpunt
van de wandeling zijn.
Nu is duidelijk waarom een Eulerwandeling door Königsberg onmogelijk is: er zijn vier knooppunten
en deze zijn allemaal oneven.
Wat de ’kinderpuzzels’ betreft, daar kun je nagaan dat alleen de eerste twee figuren op de
afgesproken manier na te tekenen zijn.
Referenties
[1] zie http://www.eulerarchive.org
[2] L. Berggren, J. Borwein, P. Borwein, Pi: A Source Book, Springer, New York, 2004.
[3] W. Dunham, Euler - The Master of Us All, The Mathematical Association of America,
Washington, 1999.
[4] L. Euler, Mechanica Vol. I, Sint-Petersburg, 1736.

[5] L. Euler, De formulis differentialibus angularibus maxime irrationalibus, quas tamen per
logarithmos et arcus circulares integrare licet, Institutiones calculi integralis 4, 1794, pp.
183-194.
[6] L. Euler, De la controverse entre Mrs. Leibnitz et Bernoulli sur les Logarithmes des
nombres négatifs et imaginaires, Mémoires de l’académie des sciences de Berlin 5, 1751,
pp. 139-179.
[7] L. Euler, Introductio in analysin infinitorum, Vol. 1, Lausanne, 1748.
[8] R. Feynman, The Feynman Lectures on Physics, vol. I, Addison-Wesley, Reading, Mass.,
1977.
[9] R. Gowing, Roger Cotes - Natural Philosopher, Cambridge University Press, 2002.
[10] P. Levrie, A Short Derivation of Lord Brouncker’s Continued Fraction for π, verschijnt
in The Mathematical Intelligencer, 2007.
[11] P. Levrie en H. Missinne, Over π2
6
Onderwijs 29, 114, p. 127-136, 2003.
en een probleem van J. Bernoulli, Wiskunde en
[12] P. Levrie en H. Missinne, Over speelkaarten, de harmonische reeks en het getal γ,
Wiskunde en Onderwijs 32, 127, p. 232-243, 2006.
http://www.euler-2007.ch
Hilde Missinne
Instituut Spijker
Lindendreef 37, 2320 Hoogstraten
Paul Levrie (paul.levrie@kdg.be)
Karel de Grote-Hogeschool Antwerpen, Departement IWT
Salesianenlaan 30, 2660 Hoboken
en
K.U.Leuven, Departement Computerwetenschappen
Celestijnenlaan 200A, 3001 Heverlee