Deel II - Wiskunde

More documents

Recommendations

Info

Opgave: Bereken de laatste vier cijfers van 3 (20033 ) − 2 (2002 2 ) . Commando’s: mod modp mods &^ 12.2 Reële en complexe getallen Reële getallen kun je invoeren door decimalen 0-9 en een decimale . te gebruiken; je krijgt ze natuurlijk ook als resultaat van bepaalde uitdrukkingen. Maple evalueert het resultaat van een ‘uitdrukking’ niet altijd (dat wil zeggen, hij voert de berekening niet zomaar helemaal uit) om zo ver als mogelijk symbolisch te rekenen; kijk eens naar sqrt(2). Met evalf kun je forceren dat de evaluatie wel gebeurt. Je kunt daarmee dus ook een rationaal getal omzetten in een reëel getal. Er zijn veel reële functies ingebouwd, zoals abs voor absolute waarde, de goniometrische functies sin, cos, tan, en hun inversen zoals arcsin. Verder sqrt voor de wortel, de exponentiële functie exp (voor e x ) en ln, log10, log[b] voor natuurlijke, basis-10 en basis-b logaritmen. Natuurlijk wordt er maar met eindig veel decimalen achter de komma gerekend. Dit aantal is aan het begin meestal 10 en kan globaal voor alle verdere berekeningen worden gewijzigd met bijvoorbeeld Digits := 30. Je kunt ook voor een enkel resultaat de nauwkeurigheid veranderen met evalf(sqrt(2), 30). Maple is ook heel redelijk in staat limieten van functies in punten te bepalen, met limit. Daarbij kan probleemloos van oneindig gebruik gemaakt worden met infinity, en je kunt ook aangeven van welke kant je wilt benaderen. > limit( 1/x^3, x=infinity ); > limit( 1/x^3, x=0 ); > limit( 1/x^3, x=0, left ); 0 undefined -infinity Voor complexe getallen geldt in principe hetzelfde als voor de reële getallen, ze zijn typisch van de vorm a + I * b, waarbij a en b reële getallen zijn en I gereserveerd is voor het imaginair getal i met i 2 = −1. In plaats van evalf gebruik je hier evalc om een uitdrukking numeriek te evalueren. Het reële en het imaginaire deel van een complex getal z vind je met Re(z) en Im(z), de complex geconjugeerde met conjugate(z). Maple kent een aantal reële en complexe constanten, zoals I als basis voor de complexe getallen, en Pi voor π. Je kunt zelf ervoor zorgen dat Maple namen herkent (en gebruikt) met behulp van alias. Het is belangrijk het verschil in te zien tussen 2.0 (reëel getal) en 2 (geheel getal). Een functie als evalf kan rationale getallen in reële getallen converteren; een soort van omkering bereik je met convert(evalf(sqrt(2)), fraction), waarbij de eindige decimale ontwikkeling in een breuk omgezet wordt. Met whattype kan je zien wat het type van een object is. Deze levert voor 2+3 en voor 6/3 de type integer, voor 2/3 de type fraction en voor 2.0 en evalf(2/3) de type float. Voor sqrt(2) krijg je nog een andere (rare) type maar in ieder geval niet float. Er is ook een functie type(x, t) die een Boolese waarde geeft, namelijk of x van type t is. 49
Opgave: (1) Ga na dat met de oplossing die in voorbeeld 10.5.2 gevonden werd aan de gevraagde vergelijking wordt voldaan. (2) Geef het getal e zijn gebruikelijke wiskundige naam in Maple met alias, en bepaal met behulp hiervan 50 decimalen van sin(e −2πi ) waar i 2 = −1. Achterhaal ook de types van e, π, en i. Commando’s: . evalf evalc abs sqrt sin cos arcsin exp log ln limit Re Im conjugate whattype type 12.3 Plaatjes Een van de meest gebruikte functionaliteiten van Maple is het genereren van plaatjes van functies. Hiervoor zijn er twee mogelijkheden: 2-dimensionale plots voor (reële) functies van een veranderlijke en 3-dimensionale plots voor functies van twee veranderlijken. 12.3.1 2-dimensionale plots Het maken van een plaatje van de grafiek van een reële functie gaat eenvoudig met plot(f(x), x=a..b). Hier bepaalt de range a..b het interval waarop f wordt afgebeeld. Ook de verticale range kan worden gespecificeerd: plot(f(x), x=a..b, y=u..v). Let ook op de diverse options voor style, axes, projection enzovoorts. Deze functies creëren Maple objecten; die kunnen op de gebruikelijke wijze aan variabelen worden toegekend met := . Onder plottools zijn allerhande hulpmiddelen te vinden voor het manipuleren van plotjes: roteren, spiegelen, schalen, etc. Er zijn ook mogelijkheden op het scherm om met menu-opties het plaatje te wijzigen. Voor sommige functies moet men uitkijken vanwege asymptoten en eventueel gebrek aan oplossend vermogen: bekijk bijvoorbeeld het plaatje van de functie f(x) := 1/ sin(x 2 ) voor −5 < x < 5 en −10 < y < 10 eens gewoon en met de opties style = point, numpoints=1000. Het is ook mogelijk meerdere grafieken in één plaatje te plotten, dit kan bijvoorbeeld met plot[display]( { een, twee, drie } ), als aan die variabelen grafieken zijn toegewezen. Je kunt een functie ook in geparametriseerde vorm aangeven, dus niet als punten (x, y) met y = f(x) maar als paren (x(t), y(t)) voor een parameter t. De eenheidscircel krijg je bijvoorbeeld met plot([cos(t), sin(t), t = 0..2*Pi]). Verder kan je met implicitplot ook grafieken tekenen die door een vergelijking aangegeven zijn, bijvoorbeeld een zekere ellips door implicitplot(x^2/9 + y^2/4 = 1, x = -3..3, y = -2..2). Hiervoor moet je wel eerst met with(plots) een bibliotheek van plot-functies laden. Opgave: Teken de grafieken van de geparametriseerde functies (x(t), y(t)) := (cos(t), sin(3t)) en (x(t), y(t)) := (cos(t), sin(5t)) voor x en y in het interval [−3/2..3/2] in één grafiek. Commando’s: plot implicitplot plottools style numpoints display 12.3.2 3-dimensionale plots Het zal nu bijna vanzelfsprekend zijn hoe een plaatje voor de grafiek van een reële functie in 2 variabelen te specificeren is met plot3d. Ook voor deze functie moeten we met with(plots) 50
Page 1 and 2: Deel II Maple 40
Page 3 and 4: 10.2 Wat valt er te leren? Wanneer
Page 5 and 6: 10.5.1 Voorbeeld In het tentamen Li
Page 7 and 8: 11.2 Menu’s en Eind Onder het Fil
Page 9: getallen is handig, evenals de uitg
Page 13 and 14: Hoofdstuk 13 Gevorderde commando’
Page 15 and 16: d := x^2 + y^2; > subs({x=y, y=z},
Page 17 and 18: te delen door zulke polynomen, en z
Page 19 and 20: g := sqrt(x); > f1(y); f2(y); f2 :=
Page 21 and 22: kun je toch dezelfde mechanismen ge
Page 23 and 24: Hoofdstuk 14 Programmeren in Maple
Page 25 and 26: x := 0; > while (x x := (x+1)^2; >

Deel II - Wiskunde

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?