Deel II - Wiskunde

Opgave: Bereken de laatste vier cijfers van 3 (20033 ) − 2 (2002 2 ) .
Commando’s: mod modp mods &^
12.2 Reële en complexe getallen
Reële getallen kun je invoeren door decimalen 0-9 en een decimale . te gebruiken; je krijgt ze
natuurlijk ook als resultaat van bepaalde uitdrukkingen. Maple evalueert het resultaat van
een ‘uitdrukking’ niet altijd (dat wil zeggen, hij voert de berekening niet zomaar helemaal
uit) om zo ver als mogelijk symbolisch te rekenen; kijk eens naar sqrt(2). Met evalf kun je
forceren dat de evaluatie wel gebeurt. Je kunt daarmee dus ook een rationaal getal omzetten
in een reëel getal.
Er zijn veel reële functies ingebouwd, zoals abs voor absolute waarde, de goniometrische
functies sin, cos, tan, en hun inversen zoals arcsin. Verder sqrt voor de wortel, de exponentiële
functie exp (voor e x ) en ln, log10, log[b] voor natuurlijke, basis-10 en basis-b
logaritmen.
Natuurlijk wordt er maar met eindig veel decimalen achter de komma gerekend. Dit aantal
is aan het begin meestal 10 en kan globaal voor alle verdere berekeningen worden gewijzigd
met bijvoorbeeld Digits := 30. Je kunt ook voor een enkel resultaat de nauwkeurigheid
veranderen met evalf(sqrt(2), 30).
Maple is ook heel redelijk in staat limieten van functies in punten te bepalen, met limit.
Daarbij kan probleemloos van oneindig gebruik gemaakt worden met infinity, en je kunt
ook aangeven van welke kant je wilt benaderen.
> limit( 1/x^3, x=infinity );
> limit( 1/x^3, x=0 );
> limit( 1/x^3, x=0, left );
0
undefined
-infinity
Voor complexe getallen geldt in principe hetzelfde als voor de reële getallen, ze zijn typisch van
de vorm a + I * b, waarbij a en b reële getallen zijn en I gereserveerd is voor het imaginair
getal i met i 2 = −1. In plaats van evalf gebruik je hier evalc om een uitdrukking numeriek
te evalueren. Het reële en het imaginaire deel van een complex getal z vind je met Re(z) en
Im(z), de complex geconjugeerde met conjugate(z).
Maple kent een aantal reële en complexe constanten, zoals I als basis voor de complexe
getallen, en Pi voor π. Je kunt zelf ervoor zorgen dat Maple namen herkent (en gebruikt)
met behulp van alias.
Het is belangrijk het verschil in te zien tussen 2.0 (reëel getal) en 2 (geheel getal). Een
functie als evalf kan rationale getallen in reële getallen converteren; een soort van omkering
bereik je met convert(evalf(sqrt(2)), fraction), waarbij de eindige decimale
ontwikkeling in een breuk omgezet wordt. Met whattype kan je zien wat het type van een
object is. Deze levert voor 2+3 en voor 6/3 de type integer, voor 2/3 de type fraction en
voor 2.0 en evalf(2/3) de type float. Voor sqrt(2) krijg je nog een andere (rare) type
maar in ieder geval niet float. Er is ook een functie type(x, t) die een Boolese waarde
geeft, namelijk of x van type t is.
49