MODULE 14 : RASIONALE ONGELYKHEDE - AdMaths
MODULE 14 : RASIONALE ONGELYKHEDE - AdMaths
MODULE 14 : RASIONALE ONGELYKHEDE - AdMaths
Create successful ePaper yourself
Turn your PDF publications into a flip-book with our unique Google optimized e-Paper software.
1 / 6<br />
GR. 10 GEVORDERDE PROGRAM WISKUNDE<br />
A F D E L I N G : A L G E B R A<br />
<strong>MODULE</strong> <strong>14</strong> : <strong>RASIONALE</strong> <strong>ONGELYKHEDE</strong><br />
LES <strong>14</strong> : <strong>RASIONALE</strong> <strong>ONGELYKHEDE</strong><br />
Wat is die verskil tussen die volgende twee vrae?<br />
VRAAG 1: Los op vir x: ( x + 2)(<br />
x − 5)<br />
< 0<br />
x + 2<br />
VRAAG 2: Los op vir x: < 0<br />
x − 5<br />
Vraag 2. Terug by tabel-metode!!!!! Maar net oombliklik om die punt huis toe te<br />
bring!<br />
x -2 5<br />
( x + 2)<br />
- 0 + + +<br />
( x − 5)<br />
- - - 0 +<br />
x<br />
x<br />
+<br />
−<br />
2<br />
5<br />
Dus: − 2 < x < 5<br />
+ 0 - ? +<br />
En dit is presies dieselfde antwoord as op VRAAG 1.<br />
Daar is dus geen verskil tussen VRAAG 1 en VRAAG 2 se antwoorde nie.<br />
Dit is omdat die reëls vir die produk en kwosiënt van heelgetalle presies<br />
dieselfde is:<br />
+ × + = +<br />
+ ÷ + = +<br />
+ × − = −<br />
+ ÷ − = −<br />
− × + = −<br />
− ÷ + = −<br />
− × − = +<br />
−<br />
÷ − = +<br />
A<strong>14</strong>
VOORBEELD 1<br />
x + 3<br />
Los op vir x: > 0<br />
x − 1<br />
2 / 6<br />
Trek jou getallelyn met nulpunte. By x = 1 word daar gedeel deur nul en dit<br />
maak die uitdrukking betekenisloos / sinloos / ongedefinieerd. Gebruik ‘n “?” om<br />
dit aan te dui. Die nulpunt by ‘n “?” sal nooit ingesluit wees in enige oplossing nie.<br />
Substitueer “groot positief”. Dit gee ‘n + regs van 1. Alterneer die tekens na links.<br />
Ons benodig +e!<br />
Antwoord: x < − 3 of x > 1<br />
VOORBEELD 2<br />
2x<br />
+ 1<br />
Los op vir x: ≤ 0<br />
x − 4<br />
Trek jou getallelyn met nulpunte. By x = 4 word daar gedeel deur nul en dit<br />
maak die uitdrukking ongedefinieerd. Gebruik die “?”. Sluit 4 uit die finale<br />
oplossing!<br />
Substitueer “groot positief” en alterneer die tekens na links.<br />
Ons benodig - en 0.<br />
1<br />
Antwoord: −<br />
≤ x < 4<br />
2<br />
A<strong>14</strong>
3 / 6<br />
Bestudeer nou “Unit 2 : Rational inequalities” p.10 Examples 1-4.<br />
VOORBEELD 3<br />
x + 5<br />
Los op vir x: ≤ x<br />
2 − x<br />
Jy mag nie dwardeur maal met die KGV van ( 2 − x)<br />
nie, want dit bevat x’e<br />
wat ons nie weet of dit positief of negatief is nie; so ons weet nie of die<br />
ongelykheidsteken gaan omkeer of nie.<br />
Vat alle terme na links sodat jy ‘n nul regs skep:<br />
x<br />
2<br />
+<br />
−<br />
5<br />
x<br />
Tel breuke op links: (“sit op ‘n KGV”)<br />
x<br />
x<br />
x 2<br />
+<br />
+<br />
−<br />
x<br />
≤<br />
5 − ( 2 −<br />
2 − x<br />
5 − 2x<br />
2 − x<br />
− x + 5<br />
2 − x<br />
+<br />
≤<br />
0<br />
x)<br />
x<br />
x<br />
2<br />
0<br />
Kyk of x x 5<br />
2<br />
− + kan faktoriseer deur sy ∆ (delta) uit te werk.<br />
∆<br />
=<br />
( −1)<br />
2<br />
−<br />
4(<br />
1)(<br />
5)<br />
=<br />
−19<br />
Dus: nie-reële nulpunte : kan net in komplekse getalle faktoriseer.<br />
≤<br />
≤<br />
Gebruik kwadraatsvoltooiing van ‘n uitdrukking om te bewys die uitdrukking is<br />
altyd positief:<br />
A<strong>14</strong><br />
0<br />
0
=<br />
=<br />
x<br />
2<br />
x<br />
2<br />
⎛<br />
⎜x<br />
⎝<br />
−<br />
−<br />
−<br />
x<br />
x<br />
+<br />
1⎞<br />
⎟<br />
2 ⎠<br />
+<br />
2<br />
5<br />
⎛ 1⎞<br />
⎜ ⎟<br />
⎝ 2 ⎠<br />
+<br />
2<br />
3<br />
4<br />
4<br />
Terug by ongelykheid:<br />
x 2<br />
−<br />
⎛ 1⎞<br />
⎜ ⎟<br />
⎝ 2 ⎠<br />
><br />
− x + 5<br />
2 − x<br />
0<br />
2<br />
≤<br />
+<br />
0<br />
5<br />
4 / 6<br />
Deel nou beide kante deur x x 5<br />
2<br />
− + , want dit is altyd positief en die<br />
ongelykheidsteken bly in dieselfde rigting, nl. ≤.<br />
Dus: x > 2<br />
VOORBEELD 4<br />
2<br />
1<br />
−<br />
x + 1<br />
Los op vir x: ≤ 0<br />
2<br />
x − 4<br />
( x<br />
+<br />
x<br />
+<br />
x<br />
2)(<br />
x<br />
1<br />
−<br />
≤<br />
0<br />
2)<br />
Onthou dat komplekse getalle nie op ‘n getallelyn voorgestel word nie.<br />
≤<br />
0<br />
Jy moet dus seker maak dat die uitdrukking onder die nie negatief is nie.<br />
Dus: x + 1 ≥ 0 ⇒ x ≥ −1<br />
Die getallelyn lyk nou so:<br />
A<strong>14</strong>
Dus: − 1 ≤ x < 2<br />
VOORBEELD 5<br />
5 / 6<br />
Vir watter waardes van x is die volgende uitdrukking reëel:<br />
x 2<br />
−<br />
x<br />
2x<br />
−<br />
A<strong>14</strong><br />
−<br />
2<br />
Hierdie is nie ‘n vergelyking of ongelykheid nie!!!!<br />
Jy moet die vraag interpreteer en dan ‘n ongelykheid opstel.<br />
Die uitdrukking<br />
x 2<br />
−<br />
x<br />
2x<br />
−<br />
−<br />
2<br />
inhoud van die vierkantswortel, nl.<br />
x 2x<br />
15<br />
Dus: 0<br />
x 2<br />
2<br />
− −<br />
≥<br />
−<br />
( x<br />
−<br />
5)(<br />
x +<br />
x − 2<br />
3)<br />
≥<br />
0<br />
15<br />
x 2<br />
15<br />
sal reële waardes aanneem as die<br />
−<br />
x<br />
2x<br />
−<br />
−<br />
2<br />
15<br />
positief of nul is.
Dus: − 3 ≤ x < 2 of x ≥ 5<br />
Doen Exercise 2.1 p.12. (memo)<br />
Mr D<br />
6 / 6<br />
A<strong>14</strong>