Hoofdstuk 2: Grafieken en formules

Hoofdstuk 2: Grafieken en formules
Wiskunde VMBO 2011/2012
www.lyceo.nl

Hoofdstuk 2: Grafieken en formules
1. Basisvaardigheden
Getallen
Maten
Verhoudingstabel
Procenten
Breuken
Aannames
2. Grafieken en formules
Assenstelsel
Grafieken
Snijpunten
Formules
Wiskunde
3. Algebraïsche verbanden
Lineair verband
Kwadratisch verband
Exponentieel verband
Wortelverband
Machtsverband
Periodiek verband
4. Meetkunde
2 www.lyceo.nl
Begrippen
Figuren
Toepassingen

Assenstelsel
Coördinaten, assenstelsel en oorsprong
• Een assenstelsel heeft een x-as en een y-as.
• Het snijpunt van de x-as en y-as heeft de oorsprong, O.
• De plaats van een punt wordt aangegeven met twee
coördinaten: (x-coördinaat, y-coördinaat)
Stapgrootte
• Als je een assenstelsel tekent moet je op beide assen getallen zetten die met gelijke
hoeveelheid toenemen. Deze hoeveelheid heet de stapgrootte.
• De stapgrootte van de x-as en y-as hoeft niet gelijk te zijn!
Zaagtand
2. Grafieken en formules
Assenstelsel Grafieken Snijpunten Formules
• Een zaagtand wordt gebruikt aan het begin van de x-as of y-as.
• Met de zaagtand hoef je niet op 0 te beginnen op je as en voorkom je een ‘leegte’.
3 www.lyceo.nl

Grafieken
Vorm van de grafiek
• Rode lijn: stijgend, de waarde wordt groter.
• Groene lijn: constante, de waarde blijft gelijk.
• Blauwe lijn: dalend, de waarde wordt kleiner.
Grafieken aflezen
Welke waarde is er gevraagd?
Kijk op welke as deze waarde staat.
Zoek in de grafiek het punt op.
2. Grafieken en formules
Assenstelsel Grafieken Snijpunten Formules
Kijk op de andere as welke waarde erbij hoort.
Voorbeeld
Gevraagd de y-waarde bij x=2.
De 2 staat op de x-as.
Ga verticaal naar boven naar de lijn.
Ga vanaf dit snijpunt rechts naar de
y-as. Deze waarde is 2.
Het antwoord is y = 2.
4 www.lyceo.nl

Grafieken
Grafiek bij een tabel tekenen
Teken een horizontale as met de gegevens
van de bovenste rij van de tabel. Kies een handige
stapgrootte.
Teken een verticale as met de gegevens van
de onderste rij van de tabel. Kijk naar het laagste
en hoogste getal en kies een handige stapgrootte.
Schrijf bij de assen de betekenis van de getallen.
Zet de punten uit de tabel in het assenstelsel
en verbind deze punten.
Let op: Niet bij alle grafieken kan door de punten een
Vloeiende lijn getrokken worden.
Bijvoorbeeld als het om aantallen gaat.
Voorbeeld
tijd in seconden 0 2 4 6 8
hoogte in meters 2 4 8 13 16
Neem op de horizontale as de tijd
in stappen van 1.
Neem op de verticale as de hoogte
in stappen van 4.
Zet bij de horizontale as de tijd in
seconden en bij de verticale as de
hoogte in meters.
Geef de punten (0,2), (2,4), (4,8),
(6,14) en (8,16) aan en verbind ze
met elkaar.
5 www.lyceo.nl
hoogte
16
12
8
4
0
1 2 3 4 5
tijd

Snijpunten
Hoe bereken je een snijpunt met behulp van inklemmen?
Teken het punt op de grafiek waarbij het snijpunt hoort.
Lees op de horizontale as af tussen welke hele getallen de x-coördinaat ligt.
Schat de waarde van de x-coördinaat op één decimaal en maak een tabel.
Vul de tabel in en zoek de waarde van de x-coördinaat waarbij de uitkomst zo dicht mogelijk
bij de y-coördinaat ligt. Een vergelijking oplossen op deze manier heet inklemmen.
Voorbeeld
Gevraagd: het snijpunt van 3p 2 + 4p = b en b = 200
Zie de grafiek hiernaast.
Schatting: p ligt tussen 7 en 8.
Schatting: p = 7,5.
p 7,3 7,4 7,5 7,6
b 189,1 193,9 198,8 203,7
2. Grafieken en formules
Assenstelsel Grafieken Snijpunten Formules
200 – 198,8 = 1,2
203,7 – 200 = 3,7
198,8 ligt het dichtste bij 200.
Dus de oplossing is p = 7,5.
6 www.lyceo.nl
400
350
300
250
200
150
100
50
0
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

Snijpunten
Hoe reken je het snijpunt uit van een horizontale lijn en machtsformule?
Lees eerst uit de grafiek af hoe groot de eerste coördinaat ongeveer is.
Vul de gevonden waarde in de formule in.
Benader door inklemmen de juiste waarde van de eerste coördinaat. Maak daarna een tabel.
Schrijf de coördinaten van het snijpunt op.
Voorbeeld
Hiernaast is de machtsformule getekend en de
constante formule y = 5.
Bij het rechter snijpunt is x ongeveer 2,3.
0,2 x 2,34 4
y = 0, 2x
= 5,59…, dus te hoog.
Tabel:
x 2,1 2,2 2,3 2,4
y … 4,68 5,59 …
De coördinaten van het rechter snijpunt zijn ongeveer
(2,2; 5)
7 www.lyceo.nl

Snijpunten
Vergelijking oplossen
1. Zorg dat de letters aan de linkerkant komen te staan.
2. Zorg dat de getallen aan de rechterkant komen te staan.
3. Deel door het getal wat voor de letter staat.
Let op: Alles wat je aan de formule verandert moet aan 2 kanten!
Omslagpunt
Een snijpunt van twee lineaire grafieken wordt ook wel het omslagpunt genoemd.
• Grafiek 1 ligt tot het omslagpunt boven grafiek 2.
• Na het omslagpunt is grafiek 2 groter dan grafiek 1.
Het omslagpunt van twee lineaire formules kun je op
dezelfde manier uitrekenen als hierboven.
Voorbeeld
Los op: 9h – 17 = 5h + 3
1. 9h – 5h – 17 = 5h – 5h + 3
2. 4h – 17 = 3
4h -17 + 17 = 3 + 17
3. 4h = 20, beide kanten
4h : 4 = 20 : 4
Oplossing h = 5
8 www.lyceo.nl
1
2

Formules
Rekenen met een formule
Met de formule 0,10a + 2,50 = b kun je voor a een waarde invullen om b uit te rekenen.
Schrijf het getal in de formule in plaats van a.
Maak de berekening.
Schrijf je antwoord op.
Formule anders schrijven
- k x 0,5 + 34 = t
- t = k x 0,5 + 34
- t = 0,5 x k + 34
Vermenigvuldigingspunt
2. Grafieken en formules
Assenstelsel Grafieken Snijpunten Formules
Je kan een formule ook anders schrijven.
Voorbeeld
0,10 a + 2,50 = b met a=12
0,10 x 12 + 2,50 = b
1,20 + 2,50 = b
b = 3,70
Op het examen wordt een vermenigvuldigteken (x) vaak door een vermenigvuldigpunt (∙) vervangen.
9 www.lyceo.nl

Formules
Formules met haakjes
Het is gebruikelijk om het getal waarmee je vermenigvuldigt voor de haakjes te zetten
- Dus niet: p = (3 + q) x 8
- Wat beter is: p = 8(3 + q)
Let op: bij het uitrekenen van formules met haakjes eerst de haakjes wegwerken!
Formules combineren
Soms is het handig om van twee formules een te maken.
Gelijksoortige termen
Voorbeeld
4k + 7k = m 3a + 5b = c
4k en 7k zijn gelijksoortig 3a en 5b zijn niet gelijksoortig
11k = m Deze formule kan niet korter!
Voorbeeld
De formules: b = 6a en k = b-7
Samen wordt dit:
k = (6a) -7 = 6a - 7
10 www.lyceo.nl

Formules
Grafiek bij een formule
Teken een tabel bij de formule.
Teken een assenstelsel met goede stapgrootte.
Teken de grafiek.
Hoe kies je de juiste formule bij een tabel?
Vul alle formules in voor de eerste tijdstap uit de tabel.
Vul bij de overgebleven formules de tweede tijdstap in.
Controleer de overgebleven formule.
t 0 1 2 3 4
a 3 10 17 24 31
A a = t + 3
B a = t x 3 + 7
C a = t x 7 + 3
Voorbeeld
1. t=0 A a = 0 + 3 = 3 Klopt
B a = 0 x 3 + 7 = 7 Klopt niet
C a = 0 x 7 + 3 = 3 Klopt
2. t=1 A a = 1 x 3 + 3 = 4 Klopt niet
C a = 1 x 7 + 3 = 10 Klopt
3. t=2 a = 2 x 7 + 3 = 17 Klopt
t=3 a = 3 x 7 + 3 = 24 Klopt
t=4 a = 4 x 7 + 3 = 31 Klopt
11 www.lyceo.nl

Tips & Tricks
• Gebruik bij het oplossen van een opgave een stappenplan als die er is.
• Oefen genoeg met het vinden van een snijpunt, hoe vaker je dit doet des te meer handigheid
je erin krijgt. Je kan dan sneller de oplossing vinden.
12 www.lyceo.nl