Statistisch analyseplan.pdf - Steunpunt Milieu en Gezondheid

Appendix 7. Statistisch analyseplan.doc
vastgelegd wordt door een wiskundige functie f(x). Deze functie beschrijft hoe de gemiddelde
response varieert met x:
E(Yx) = f(x)
De meest eenvoudig situatie is deze waarbij f een lineaire functie is: f(x)= α+β x. Dus
E(Yx) = α+β x
We spreken van enkelvoudige regressie omdat we slechts één regressor variabele meenemen. De
waarden van α en β worden geschat door middel van het criterium der kleinste kwadraten. Deze
methode berust er op dat men hiermee de meest nauwkeurige te verwachte verandering van de
respons-variabele Y kan schatten, bij een zekere constante waarde van de onafhankelijke x-variabele.
Indien we veronderstellen dat de Ei~N(0,σ 2 ), met andere woorden dat de storingstermen normaal
verdeeld zijn met gemiddelde 0 en met dezelfde variantie, dan kunnen betrouwbaarheidsintervallen
voor β opgesteld worden; en kunnen hypothesen getoetst worden.
- Is β = 0 dan is sprake van een monotone horizontale lijn, evenwijdig met de X-as. Er is dus
geen verband tussen X en Y.
- Is β < 0 dan is sprake van een omgekeerd evenredig (dalend) X,Y verband.
- Is β > 0 dan is sprake van een evenredig (stijgend) X,Y verband.
b) Logistische regressie
Indien de response binair is werkt men met kansverhoudingen, die meestal met het Engelse woord
odds wordt aangeduid. De odds is de verhouding tussen de fracties bij twee mogelijke uitkomsten. Als
p de kans op de eerste uitkomst is, dan is 1− p de kans op de tweede uitkomst en is de
ODDS = p/(1− p)
Bij logistische regressie zijn we geïnteresseerd in het modelleren van de kans p in termen van de
verklarende variabele x. We zouden dit kunnen proberen met de relatie p = α + βx. Helaas is dit geen
goed model. Zolang β ≠ 0 geven zeer hoge of lage waarden van x voor α + βx een waarde die niet
in overeenstemming is met het gegeven dat 0 ≤ p ≤ 1. De bij logistische regressie gekozen oplossing
voor dit probleem is het transformeren van de kansverhouding p/(1 − p) met behulp van de
natuurlijke logaritme. We gebruiken voor deze transformatie de term logaritmische kansverhouding of
log odds. Deze modelleren we als een lineaire functie van de verklarende variabele:
Log[p/(1 − p)] = α + βx
De helling in dit logistische regressiemodel is het verschil tussen de log(ODDS) voor een eenheid
toename in x (dus bijvoorbeeld het verschil tussen de log(ODDS) van x en x+1). De interpretatie van
de resultaten in termen van de helling van de regressielijn is moeilijk. Gewoonlijk wordt een
transformatie toegepast die de situatie verduidelijkt. Met enige algebra kan worden aangetoond dat
9