DYSCALCULIE DYSCALCULIE - Koninklijke Van Gorcum
DYSCALCULIE DYSCALCULIE - Koninklijke Van Gorcum
DYSCALCULIE DYSCALCULIE - Koninklijke Van Gorcum
Create successful ePaper yourself
Turn your PDF publications into a flip-book with our unique Google optimized e-Paper software.
tijdschrift voor reken-wiskunde onderwijs | proefnummer<br />
Volgens<br />
Bartjens...<br />
Discussie over<br />
<strong>DYSCALCULIE</strong><br />
NIEUW op internet: www.volgens-bartjens.nl<br />
TOVERVIERKANTEN in groep 4
Het tijdschrift Volgens<br />
Bartjens... is het verenigingsorgaan<br />
van de Nederlandse<br />
Vereniging tot Ontwikkeling<br />
van het Reken-Wiskundeonderwijs<br />
(NVORWO).<br />
Volgens Bartjens... wordt uitgegeven<br />
door de NVORWO<br />
en <strong>Koninklijke</strong> <strong>Van</strong> <strong>Gorcum</strong><br />
BV te Assen en verschijnt vijf<br />
keer per jaar.<br />
Redactieadres<br />
Redactie Volgens Bartjens...<br />
t.a.v. Marjolein Kool<br />
Jonkheer Ramweg 28B<br />
3998 JR Schalkwijk<br />
e-mail:<br />
m.j.h.kool@domstad.nl<br />
Naar dit adres kunt u alles<br />
opsturen wat met de redactionele<br />
inhoud verband<br />
houdt. U kunt hier ook<br />
boeken ter bespreking<br />
aanbieden.<br />
colofon<br />
Eindredactie<br />
Marjolein Kool (werkzaam<br />
op de Hogeschool Domstad<br />
te Utrecht)<br />
Redactieraad<br />
Kees Buijs,<br />
Sjoerd Huitema<br />
Anneke Noteboom<br />
Adri Treffers<br />
Uitgave, abonnementen,<br />
advertenties en druk<br />
<strong>Koninklijke</strong> <strong>Van</strong> <strong>Gorcum</strong> BV,<br />
Postbus 43, 9400 AA Assen<br />
Tel. (0592) 37 95 55<br />
e-mail: volgensbartjens@<br />
vangorcum.nl<br />
Foto omslag<br />
Jasper Oostlander<br />
Foto’s<br />
De foto’s zijn genomen op<br />
de Gertrudisschool in Utrecht<br />
en de St. Matthiasschool in<br />
Alkmaar.<br />
Abonnementen<br />
Particulier € 36,50<br />
Student € 22,50<br />
Schoolabonnement (2 ex.)<br />
€ 62,00<br />
Op aanvraag is een collectief<br />
abonnement mogelijk.<br />
Tel. 0592-379555<br />
NVORWO<br />
Aïdadreef 12<br />
3561 GE Utrecht<br />
e-mail: admnvorwo@fi.uu.nl<br />
tel: 030-2635555<br />
ISSN 0922 1794<br />
Volgens<br />
Bartjens...<br />
<strong>DYSCALCULIE</strong> discussie<br />
Soms is het wel eens goed als je door iemand uit je tent<br />
wordt gelokt, als je wordt geconfronteerd met uitspraken die<br />
lijnrecht tegen je eigen opvattingen ingaan. Je wordt weer<br />
eens wakker geschud en gedwongen om opnieuw na te gaan<br />
denken over zaken die je al jaren geleden had opgeborgen in<br />
het doosje ‘Zo is het en niet anders’. Confronterende uitspraken<br />
houden je scherp.<br />
Tijdens de Panamaconferentie 2003 stond er een forumdiscussie<br />
op het programma en dat leek me een goede zaak.<br />
Ook onze opvattingen over het reken-wiskundeonderwijs<br />
Kinderen die niet leren rekenen 4<br />
Opvattingen en discussie over<br />
dyscalculie en rekenproblemen<br />
Jo Nelissen<br />
moeten van tijd tot tijd afgestoft worden. In het forum zaten<br />
vertegenwoordigers van moderne reken-wiskundemethodes,<br />
echte didactiek-kanonnen, maar desondanks bleef het<br />
verwachte vuurwerk uit. Misschien waren de stellingen niet<br />
prikkelend genoeg, misschien legde de discussieleider<br />
(ondergetekende) de deelnemers het vuur niet na genoeg<br />
aan de schenen … Hoe dan ook, het werd een vriendelijke<br />
gedachtewisseling met veel enerzijds en anderzijds.<br />
Opnieuw bleek dat we het binnen het reken-wiskundewereldje<br />
over het algemeen wel met elkaar eens zijn. Onze<br />
huisjes kunnen onderling wel verschillen, maar ze zijn allemaal<br />
op hetzelfde fundament van de realistische reken-wiskundedidactiek<br />
gebouwd. Een fundament dat de afgelopen<br />
decennia zijn waarde heeft bewezen. Een fundament dat<br />
heipalen bevat als: kinderen leren rekenen met en van elkaar<br />
onder leiding van de leraar, concrete ervaringen stimuleren<br />
het construeren van kennis, denkmodellen ondersteunen de<br />
ontwikkeling van informele naar formele oplossingsmanieren,<br />
enzovoort. Vrijwel iedereen vindt dat goede ideeën. Er<br />
valt weinig over te discussiëren, dus dat moeten we dan ook<br />
maar niet doen. We zijn Paul Witteman niet. We zijn eensgezind.<br />
Da’s mooi. Of zijn we heel misschien –ik durf het<br />
bijna niet hardop te zeggen- een beetje zelfgenoegzaam aan<br />
het worden? Zijn we langzamerhand aan het indutten van<br />
tevredenheid?<br />
In het NRC van 15 november jl. hield Karel Knip een tenen-<br />
2 Volgens Bartjens... Jaargang 24 2004/2005 nr. 1<br />
krommend pleidooi voor de ouderwetse staartdeling. Het<br />
oude cijferalgoritme moest volgens hem onmiddellijk weer<br />
op de basisschool onderwezen worden, want dat was nodig<br />
en leerzaam. Ik klom onmiddellijk in de pen en verwachtte<br />
dat half Nederland dat met mij zou doen, maar het bleef<br />
nogal stil. Misschien bent u wel verstandiger dan ik en denkt<br />
u: ‘Echte onzinuitspraken moet je negeren, anders krijgen ze<br />
te veel onverdiende aandacht.’ Misschien springt u pas in<br />
uw harnas als er werkelijk een wereld te winnen valt.<br />
In het septembernummer van Willem Bartjens stond een<br />
Dyscalculie: reken er niet te snel op! 12<br />
Pleidooi voor grote terughoudendheid in<br />
het gebruik van de term ‘dyscalculie’<br />
Willem Vermeulen<br />
artikel van Annemie Desoete over dyscalculie. Het blad lag<br />
nog niet op de mat of de eerste reacties van lezers stroomden<br />
mijn mailbox al binnen. ‘Dyscalculie’ is een onderwerp<br />
dat ons nog wel wakker maakt. De reacties variëren van<br />
enerzijds: ‘Weg met dat etiket. Zodra kinderen het opgeplakt<br />
krijgen, gooien kind en leerkracht de handdoek in de<br />
ring, terwijl elk kind met de juiste begeleiding (een beetje)<br />
rekenen kan leren.’ tot anderzijds de uitspraak van Annemie:<br />
‘In elke klas zit wel een leerling met dyscalculie. Dat<br />
moet je (h)erkennen, dan kun je vervolgens kijken wat je<br />
eraan kunt doen.’ Tussen deze uitersten ligt een breed scala<br />
van opvattingen over dyscalculie. In dit nummer vindt u een<br />
selectie. Maar daarmee is het laatste woord over dit onderwerp<br />
nog niet gezegd. Terwijl ik dit stukje schrijf zie ik alweer<br />
een dyscalculie-discussiemailtje in mijn mailbox belanden.<br />
Heel goed! Laten we weer eens lekker met elkaar in discussie<br />
gaan over ons reken-wiskundeonderwijs. Een keer<br />
met de vuist op tafel slaan mag best, maar het gaat vooral<br />
om argumenten, onderzoeksresultaten en praktijkervaringen.<br />
Als onze leerlingen er maar beter van worden. En als<br />
wij maar weer gaan nadenken over ons mooie vak. Dat zouden<br />
we vaker moeten doen!<br />
Marjolein Kool<br />
Hoofdredacteur Volgens Bartjens...
NIEUW:<br />
Volgens Bartjens... op internet:<br />
www.volgens-bartjens.nl<br />
Volgens Bartjens... op internet een onderwerp dat ons<br />
nog wel wakker maakt. De reacties variëren van enerzijds:<br />
‘Weg met dat etiket. Zodra kinderen het opgeplakt<br />
krijgen, gooien kind en leerkracht de handdoek in de<br />
ring, terwijl elk kind met de juiste begeleiding (een beetje)<br />
rekenen kan leren.’ tot anderzijds de uitspraak van<br />
Annemie: ‘In elke klas zit wel een leerling met dyscalcu-<br />
Amy leert handig rekenen 37<br />
Getalinzicht als fundament voor<br />
strategiegebruik.<br />
Sytze Steinvoorte<br />
ARTIKELEN<br />
Redactioneel 2<br />
Marjolein Kool<br />
Wat kun je eraan doen? 10<br />
Kinderen met dyscalculie, deel 2<br />
Annemie Desoete<br />
Ik zie er zelden een 18<br />
Reactie op het artikel over dyscalculie<br />
Cecile Borghouts<br />
Met sprongen vooruit 20<br />
Verslag van de voorscholing voor<br />
Pabodocenten en schoolbegeleiders<br />
Uschi van der Velden<br />
Ei van Columbus 24<br />
De rekenkrant voor kinderen van<br />
tien tot twaalf jaar<br />
Jos van den Bergh en Ron Felix<br />
Grote Rekendag 2004 38<br />
Verslag van de try-out van het lespakket<br />
over oriënteren en plaats bepalen<br />
Vincent Jonker<br />
lie. Dat moet je (h)erkennen, dan kun je vervolgens kijken<br />
wat je eraan kunt doen.’ Tussen deze uitersten ligt<br />
een breed scala van opvattingen over dyscalculie. In dit<br />
nummer vindt u een selectie. Maar daarmee is het laatste<br />
woord over dit onderwerp nog niet gezegd. Terwijl ik dit<br />
stukje schrijf zie ik alweer een dyscalculie-discussiemailtje<br />
in mijn mailbox belanden. Heel goed!<br />
Tovervierkanten 28<br />
De magische krachten van getallenvierkanten<br />
in groep 4<br />
Erica de Goeij en Adri Treffers<br />
Met tien in bed 34<br />
Maak van een prentenboek een<br />
rekenvertelkist voor kleuters<br />
Ans Veltman<br />
Nationale Rekendagen 2003 40<br />
Twee inspirerende conferentiedagen<br />
Karel Groenewegen<br />
RUBRIEKEN<br />
Interactie 11<br />
Kleine kinderen worden groot 22<br />
Marian Steverink<br />
Wiskunde op straat 24<br />
Harrie Sormani<br />
Vroeger 26<br />
Ed de Moor<br />
Groetjes van groep vier 28<br />
Lia van Diem<br />
Ingerekend 43<br />
Peter van den Bremen<br />
Volgens Bartjens... Jaargang 24 2004/2005 nr. 1 3<br />
@<br />
De bekende Nederlander in getallen: 43<br />
Drs.P<br />
Harrie Sormani<br />
INHOUD VOLGENS BARTJENS...<br />
IN DIT PROEFNUMMER
Kinderen die niet lere<br />
Opvattingen en discussie over dyscalculie<br />
en rekenproblemen<br />
Het voordeel van de<br />
oplevende belangstelling<br />
voor dyscalculie is,<br />
dat er weer veel aandacht<br />
is voor kinderen<br />
met rekenproblemen.<br />
Jo Nelissen<br />
H o o f d a r t i k e l<br />
Jo Nelissen zet verschillende opvattingen over dyscalculie<br />
op een rijtje en adviseert het etiket ‘dyscalculie’ spaarzaam<br />
te hanteren. Het lijkt zinvoller om vast te stellen welke kinderen<br />
rekenproblemen hebben, wat die problemen zijn en<br />
hoe daar het beste aan gewerkt kan worden.<br />
Inleiding: rekenproblemen<br />
Sinds er rekenonderwijs wordt gegeven, zijn er kinderen die<br />
te kampen hebben met rekenproblemen. Rekenproblemen<br />
van kinderen, maar ook van volwassenen, kregen al zo’n<br />
honderd jaar geleden aandacht en ruim vijftig jaar geleden<br />
schreef de Groningse pedagoog <strong>Van</strong> Gelder (1952) over<br />
rekenstoornissen en rekenfouten. Hij bekritiseerde onder<br />
meer de opvatting van Henschen (uit 1919) dat rekenstoornissen<br />
een pathologische basis hebben.<br />
Maar wat zijn het voor problemen waar de leerlingen last<br />
van hebben tijdens het leren rekenen? Het CITO doet al<br />
zo’n twintig jaar onderzoek naar de prestaties van<br />
Nederlandse basisschoolleerlingen op het gebied van rekenen-wiskunde<br />
(Noteboom e.a., 1997). In periodieke peilingen<br />
wordt nagegaan welke mate van beheersing door de<br />
4 Volgens Bartjens... Jaargang 24 2004/2005 nr. 1<br />
JASPER OOSTLANDER<br />
leerlingen op de verschillende reken-wiskundige gebieden is<br />
bereikt. Eind groep 5 is dat bijvoorbeeld onderzocht op het<br />
gebied van: getallen en bewerkingen (zoals: tellen en ordenen,<br />
structureren, optellen, delen, toepassingen, enzovoort)<br />
en op het gebied van meten (meten, tijd en geld).<br />
Uit de analyses van de resultaten wordt een beeld verkregen<br />
van het vaardigheidsniveau dat door de leerlingen wordt<br />
behaald: van e, het laagste, tot a, het hoogste niveau. Tevens<br />
wordt geanalyseerd welke handelwijzen een leerling volgt,<br />
hoe een opgave wordt aangepakt en welk type opgaven een<br />
Figuur 1<br />
Ankie koopt 2 van deze<br />
pakjes. Hoeveel lollies<br />
zijn dat samen?<br />
Hoeveel potloden samen?<br />
___x ___ potloden = ___ potloden.<br />
Twee opgaven uit de periodieke peiling van het onderwijsniveau<br />
aan het eind van groep 5.<br />
leerling wel of niet beheerst. Om een concreet voorbeeld te<br />
geven: bij vermenigvuldigen (item 1) zien de leerlingen 6<br />
lollies afgebeeld en moeten ze de vraag beantwoorden hoeveel<br />
lollies in twee pakjes zitten. Deze opgave wordt door de<br />
d- en e-leerlingen (25% van de leerlingen!) veelal tellend<br />
opgelost. In item 9 zien de leerlingen 4 doosjes met daarop<br />
het cijfer 8 (potloden). De vraag is hoeveel potloden er zijn.<br />
(Zie afbeelding 1)<br />
stigmatis<br />
De oplossing kan niet worden gevonden op basis van tel-<br />
len terwijl deze leerlingen een hoger oplossingsniveau niet<br />
beheersen. Deze opgave wordt dan ook niet opgelost. Dat<br />
komt vooral omdat deze d- en e-leerlingen geen inzicht<br />
hebben in de structuur van getallen, omdat ze geen strate-<br />
daar is ni<br />
gieën beheersen en niet reflecteren op hoe ze handelen.<br />
Toen ik eens een kind vroeg hoe het had gerekend, gaf het<br />
als antwoord: ‘Ik weet niet hoe ik reken’.<br />
De problemen waarvan die leerlingen last ondervinden<br />
tijdens het proces van leren rekenen (zo blijkt uit de analyses<br />
van het CITO) hebben betrekking op het uitvoeren van<br />
rekenoperaties (optellen, aftrekken, enzovoort) en op het<br />
automatiseren. Bovendien hebben deze leerlingen onvoldoende<br />
inzicht verworven (vooral in de opbouw van en de<br />
relatie tussen getallen) en komen ze in de problemen vanwege<br />
omslachtige of onjuiste toepassing van (geleerde) aanpakken.
n rekenen<br />
JASPER OOSTLANDER<br />
Dyscalculie: verschillende opvattingen<br />
Sinds een aantal jaren worden rekenproblemen steeds vaker<br />
als dyscalculie getypeerd. Dys betekent ‘niet’ en calculeren<br />
betekent ‘rekenen’. Dyscalculie betekent dus ‘niet kunnen<br />
rekenen’. Aan de term ‘dyscalculie’ werd door <strong>Van</strong> Gelder<br />
jaren geleden al uitvoerig aandacht geschonken. Hij maakte<br />
een onderscheid tussen ‘acalculie’ en ‘dyscalculie’.<br />
Acalculie doet zich voor als het verlies van een ‘reeds verworven<br />
rekensysteem’, doorgaans als gevolg van ernstige<br />
traumata van de hersenschors: de persoon kan niet meer<br />
rekenen. <strong>Van</strong> Gelder typeert dyscalculie als een ontwikkelingsstoornis,<br />
die optreedt bij ‘het aanleren van het rekenen.<br />
De leerling ondervindt beperkingen tijdens het leerproces.’<br />
(cursief J.N.)<br />
<strong>Van</strong> Gelder zal waarschijnlijk niet vermoed hebben dat<br />
veertig/vijftig jaar later het begrip dyscalculie opnieuw leven<br />
zou worden ingeblazen. Ook niet dat het ruime gebruik<br />
ervan zou leiden tot een toenemende begripsverwarring.<br />
Een veelheid van opvattingen heeft inmiddels al het licht<br />
gezien. Het is mogelijk deze tot een viertal terug te brengen<br />
Ruijssenaars) echter geen kwestie van onvoldoende<br />
inzicht, volgens Desoete weer wél. <strong>Van</strong> Luit benadrukte<br />
(in een persoonlijk gesprek) dat er een verband is tussen<br />
dyscalculie en problemen met het langetermijngeheugen<br />
op een ‘specifiek kennisdomein’.<br />
2. In een gesprek over dyscalculie met het team van de<br />
Psychologische Adviespraktijk Begaafden Utrecht<br />
(PABU) kwam als hun standpunt naar voren dat ze van<br />
dyscalculie spreken wanneer ernstige rekenproblemen na<br />
uitvoerige behandeling hardnekkig blijven voortbestaan.<br />
ering: ‘dyscalculie,<br />
en wel de volgende.<br />
1. Dyscalculie als aanduiding van rekenstoornissen die in<br />
principe bij alle leerlingen kunnen voorkomen en die in<br />
principe (ortho)didactisch te behandelen zijn. In de<br />
publicaties gaat het vooral om dyscalculie bij jonge leer-<br />
ets meer aan te doen ’<br />
lingen.<br />
Onder deze opvatting schuilen echter weer verschillende<br />
interpretaties. Zo ziet Desoete (2003) dyscalculie als een<br />
hardnekkig uitvallen op het gebied van rekenen, ‘zonder<br />
aanwijsbare reden’. Een aantal auteurs (onder andere<br />
Ruijssenaars e.a., 2002) ziet dyscalculie vooral als een<br />
probleem van automatisering van ‘rekenfeiten’, en problemen<br />
bij het vlot en correct uitvoeren van de procedures<br />
(voor tellen, optellen, aftrekken, vermenigvuldigen,<br />
enzovoort.). Om het automatiseringsprobleem aan te<br />
kunnen pakken, moet de stof, volgens Braams, wél<br />
‘geheel begrepen’ zijn. Dyscalculie is volgens hem (en<br />
Dyscalculie is volgens deze opvatting een moeilijk te<br />
corrigeren stoornis, al hangt dit natuurlijk ook af van<br />
de aard en ernst van het probleem (vergelijk <strong>Van</strong><br />
Gelders acalculie).<br />
3. Een derde opvatting (naar voren komend in een persoonlijk<br />
gesprek met Gravemeijer) luidt dat een deel<br />
van de leerlingen altijd moeite zal hebben met rekenen-wiskunde<br />
vanwege de spreiding in prestaties die<br />
zich nu eenmaal altijd op alle gebieden voordoet.<br />
Zolang er geen aantoonbaar verband gevonden is<br />
tussen hersenfuncties en rekenproblemen wordt er<br />
de voorkeur aan gegeven de term dyscalculie te vermijden.<br />
Naar analogie van dyslexie, dat als een probleem<br />
binnen het taalgebied wordt gezien, wil<br />
Gravemeijer alleen van dyscalculie spreken als zich<br />
binnen het rekengebied een ernstige uitval voordoet.<br />
4. Alleen rekenproblemen die zich bij leerlingen met<br />
een goed ontwikkelde intelligentie voordoen, zodanig<br />
dat er sprake is van een grote discrepantie met prestaties<br />
op de andere kennisdomeinen, worden als dyscalculie<br />
getypeerd. Indien deze het gevolg zijn van<br />
een hersenstoornis (of anderszins) zal didactische<br />
behandeling niet succesvol zijn (vergelijk van Gelders<br />
acalculie). Indien emotionele of persoonlijkheidsproblemen<br />
een rol spelen, is behandeling mogelijk. Bij<br />
leerlingen die over de hele linie zwak presteren is er<br />
geen grote discrepantie met prestaties op andere leer-<br />
Volgens Bartjens... Jaargang 24 2004/2005 nr. 1 5<br />
Als dyscalculie een<br />
aandachtstoornis zou zijn,<br />
waarom is die dan niet op<br />
andere gebieden merkbaar?
gebieden en is er sprake van rekenproblemen (vergelijk van<br />
Gelders dyscalculie).<br />
Het vierde en laatste standpunt wordt in dit artikel bepleit,<br />
uitgewerkt en toegelicht.<br />
Dyscalculie en intelligentie<br />
In afbeelding 2 zien we de verdeling van de intelligentie van<br />
een hele bevolking. Uitgaande van de vierde opvatting komt<br />
dyscalculie uitsluitend rechts in de verdeling voor. <strong>Van</strong> dyscalculie<br />
wordt niet gesproken bij kinderen, die over de hele<br />
linie zwak tot zeer zwak presteren vanwege een lager potentieel.<br />
Het heeft weinig zin om bij een kind met bijvoorbeeld<br />
het syndroom van Down dat zich de telrij tot tien nauwelijks<br />
heeft kunnen eigen maken, van dyscalculie te spreken,<br />
net zo min als het zin heeft te constateren dat het geen mooi<br />
verhaal kan schrijven, Chopin niet kan vertolken of niet kan<br />
schaken. De verstandelijke vermogens zijn nu eenmaal over<br />
de hele linie ontoereikend (het is allemaal ‘dys’, om het zo<br />
maar eens te zeggen). Met afbeelding 2 is niet gesuggereerd<br />
Figuur 2<br />
Normaalverdeling intelligentie<br />
dat rekenproblemen direct en uitsluitend veroorzaakt worden<br />
door intelligentietekorten. Wel is het zo dat leerlingen<br />
met een hoger ontwikkelde intelligentie doorgaans beter<br />
presteren. Indien ze echter laag presteren op het gebied van<br />
rekenen-wiskunde en op de andere gebieden hoog, is er<br />
sprake van een opmerkelijke discrepantie, die om nadere<br />
analyse vraagt.<br />
In afbeelding 2 zien we rond het gemiddelde (IQ van<br />
100), de grootste groep mensen (leerlingen), 70% van de<br />
(school)bevolking heeft een IQ tussen 85 en 115. De leerlingen<br />
die in deze groep links van het gemiddelde zitten zijn<br />
leerlingen die over het algemeen vrij matig presteren.<br />
Op het gebied van rekenen-wiskunde zijn ze niet sterk en is<br />
er vaak extra aandacht nodig (zie de linker stippelpijl in<br />
afbeelding 2). De leerlingen die in deze groep rechts van het<br />
gemiddelde zitten, zijn weinig opvallende leerlingen die<br />
normaal maar zelden bovenmatig presteren. Op het gebied<br />
van rekenen-wiskunde blinken ze niet uit, maar grote problemen<br />
doen zich niet vaak voor (zie rechter stippelpijl).<br />
Als leerlingen in deze groep problemen met rekenen-wiskunde<br />
hebben, is het zeer de vraag of er dan sprake is van<br />
dyscalculie. Grote discrepantie met prestaties op andere<br />
gebieden dan rekenen-wiskunde doet zich immers weinig<br />
voor omdat de prestaties op alle gebieden matig of gemiddeld<br />
zijn.<br />
6 Volgens Bartjens... Jaargang 24 2004/2005 nr. 1<br />
JASPER OOSTLANDER<br />
Bovendien is er nog het volgende punt van aandacht: er<br />
zijn op alle mogelijke gebieden (soms grote) verschillen tussen<br />
leerlingen. Op gebied van muziek, taal, sport, tekenen<br />
enzovoort en dus ook op het gebied van rekenen-wiskunde.<br />
Als leerlingen op een bepaald gebied zwak presteren, is er<br />
toch niet meteen sprake van dyscalculie?<br />
Uit onderzoek van het CITO is bekend dat allochtone leerlingen<br />
een aanzienlijke achterstand op het gebied van rekenen-wiskunde<br />
hebben. Ook bij meisjes is dat het geval, zo<br />
blijkt uit onderzoek van Vermeer (1997). We kunnen daaruit<br />
echter niet concluderen dat allochtone leerlingen en<br />
meisjes meer aanleg hebben voor dyscalculie. Uit recent<br />
onderzoek van <strong>Van</strong> de Boer (2003) is heel iets anders gebleken,<br />
namelijk dat problemen van allochtone leerlingen in<br />
het Voortgezet Onderwijs vooral het gevolg zijn van miscommunicatie<br />
tussen leerlingen en leraar én van misinterpretatie<br />
door de leerlingen van wiskundige opdrachten. Ze<br />
begrijpen de context en vraagstelling verkeerd. <strong>Van</strong> Eerde<br />
(1996) ontdekte dat in de analyse van het denken van<br />
Er is sprake van dyscalculie als er een discrepantie bestaat tussen<br />
rekenprestaties en prestaties op andere leergebieden.<br />
(allochtone) leerlingen aanknopingspunten gevonden kunnen<br />
worden voor remediëring.<br />
Trouwens, als iemand niet zo goed is in de Duitse taal dan<br />
spreken we toch ook niet meteen van ‘dysgermanie’.<br />
Twee groepen leerlingen<br />
Uit ervaring is bekend dat er in elke klas leerlingen voorkomen<br />
die over de hele linie (op meerdere gebieden) zwak tot<br />
slecht presteren. Dat zijn in principe de leerlingen met een<br />
IQ lager dan 85, links in de normaalverdeling. Met de vette<br />
pijl links zijn de leerlingen gelokaliseerd die ernstige problemen<br />
hebben en met een dunne pijl de leerlingen die minder<br />
ernstige problemen ondervinden. Dat is samen ruim 16%<br />
van de populatie. Dat zijn dus allemaal leerlingen die op<br />
meerdere vakgebieden met moeite het onderwijs kunnen<br />
volgen en die óók op het gebied van het rekenen zwak zijn.<br />
We hebben dus met twee verschillende groepen kinderen<br />
te maken. Tot de ene groep behoren de leerlingen die over<br />
de hele linie zwak tot slecht presteren en dus óók op het<br />
gebied van rekenen-wiskunde (IQ lager dan 85). De andere<br />
groep bestaat uit leerlingen die alléén op het gebied van het<br />
rekenen extra hulp nodig hebben (volgens Desoete betreft<br />
dat 6 à 7% van de leerlingen in het basisonderwijs. Dat zouden<br />
dus ruim 100.000 basisschoolleerlingen zijn). Deze laatste<br />
groep leerlingen is rechts in de normaalverdeling te vin-
JASPER OOSTLANDER<br />
den; hun IQ ligt boven de 115 en het betreft ruim 16% van<br />
de (school)bevolking. Bij déze leerlingen zou sprake kunnen<br />
zijn van dyscalculie indien er sprake is van grote discrepantie<br />
in prestaties op het gebied van rekenen-wiskunde en<br />
andere gebieden. Naarmate deze leerlingen meer naar<br />
rechts in de verdeling worden aangetroffen (dus naarmate ze<br />
op andere terreinen beter presteren en intelligenter zijn),<br />
wordt het fenomeen steeds boeiender. Hoe is het immers<br />
mogelijk dat iemand die intelligent is - problemen oplost,<br />
analyseert, reflecteert, formaliseert - toch slecht is in rekenen-wiskunde,<br />
terwijl in dat vak juist deze vaardigheden<br />
zo’n centrale rol spelen?<br />
Samenvattend: in afbeelding 2 is rechts van het gemiddelde<br />
met een stippelpijl het gebied aangegeven waarin zich<br />
dyscalculie kán voordoen, maar zoals gezegd is het moeilijk<br />
uit te maken of hier wel sprake is van dyscalculie omdat<br />
zich doorgaans geen grote discrepantie voordoet met prestaties<br />
op andere vakgebieden. Met een dunne pijl, rechts van<br />
het gemiddelde, is het gebied aangegeven ( IQ tussen 115 en<br />
130) waar zich serieuze gevallen van dyscalculie kunnen<br />
voordoen. Met een vette pijl is het gebied getraceerd waar<br />
zich leerlingen kunnen bevinden met een ernstige uitval op<br />
het gebied van rekenen-wiskunde die echter in andere vakken<br />
hoog presteren en die heel intelligent zijn. Dit zijn intrigerende<br />
gevallen van dyscalculie.<br />
21 in plaats van 12), ze wisselen cijfers binnen rekenprocedures<br />
om (13 – 6 = 13, want 6 – 3 = 3 en 10 + 3 = 13), ze<br />
voeren geen controle uit op hun werkwijze noch op de uitkomst<br />
(metacognitie genoemd) en een (groot) deel van de<br />
kinderen heeft ook nog last van problemen op andere vakgebieden,<br />
zoals lezen, taal en muziek. Er is een relatie tussen<br />
dyscalculie en dyslexie, zegt Ruijssenaars (2003). Wat opvalt<br />
is dat deze analyse van de problemen van kinderen die volgens<br />
de auteurs aan dyscalculie lijden niet verschilt van de<br />
typering van de rekenproblemen van zwakke leerlingen,<br />
zoals bekend uit vakdidactisch onderzoek (zie bijvoorbeeld<br />
van Eerde, 1996 en Treffers, 2002).<br />
Ook de voorgestelde hulp aan kinderen met dyscalculie<br />
verschilt nauwelijks van de hulp die in vakdidactisch onderzoek<br />
doorgaans wordt geadviseerd, althans wat de inhoud<br />
betreft. Ten aanzien van de didactiek wordt echter soms<br />
sterker accent gelegd op een meer ‘structurerende’ aanpak<br />
dan in de vakdidactiek gebeurt. Een selectie uit de suggesties<br />
voor hulp luidt als volgt: gebruik van concreet materiaal,<br />
niet meerdere strategieën tegelijk aanbieden, het werk-<br />
opnieuw belangstelling<br />
Diagnose en remediëring<br />
nis) met name in de orthopedagogische literatuur steeds<br />
voor<br />
vaker ten onrechte vervangen door<br />
‘dyscalculie’<br />
de term ‘dyscalculie’.<br />
Als dyscalculie echter wezenlijk iets anders is dan een<br />
Zoals gezegd wordt de term ‘rekenprobleem’ (rekenstoor-<br />
rekenprobleem, dan zou dat zichtbaar moeten zijn in de<br />
diagnose en in de hulp die voor leerlingen met dyscalculie<br />
(volgens de eerst besproken opvatting in de tweede paragraaf)<br />
geschikt geacht wordt.<br />
De problemen van kinderen met dyscalculie worden in de<br />
(orthopedagogische) literatuur doorgaans als volgt getypeerd.<br />
De kleuters met dyscalculie hebben moeite met tellen<br />
vooral met synchroon tellen en ze blijven maar op de vingers<br />
tellen. Leerlingen met dyscalculie zijn erg traag, het vlot<br />
en geautomatiseerd rekenen komt niet op gang, ze hebben<br />
geheugenproblemen en vergeten steeds wat ze alsmaar<br />
oefenden. Ze voeren geleerde procedures verkeerd uit of<br />
verwarren procedures met elkaar, ze lijden aan aandachtsstoornissen,<br />
ze keren de cijfers in een getal om (ze schrijven<br />
geheugen minimaal belasten (door bijvoorbeeld met tafelkaarten<br />
te laten werken), extra aanmoedigen, veel structuur<br />
bieden en hints geven (Desoete). Verder wordt erop gewezen<br />
kleine stapjes te laten zien, te visualiseren, het kind<br />
hardop te laten denken, gericht uitleg te geven en het kind<br />
spelletjes met dobbelstenen of Rummicub te laten doen.<br />
De conclusie moet luiden dat een specifieke theorie over dyscalculie<br />
nauwelijks is terug te vinden in de analyse van problemen<br />
en de suggesties voor remediëring. De meeste suggesties<br />
zijn al bekend uit vakdidactisch onderzoek en onderzoek<br />
van het Cito.<br />
Daarmee is niets gezegd over de kwaliteit van de suggesties<br />
voor hulp en remediëring. Onder andere ‘De rekenhulp<br />
voor kleuters’ van <strong>Van</strong> Luit bevat bijvoorbeeld adequate<br />
suggesties zoals gebruik leren maken van telstrategieën, vertrouwd<br />
raken met dubbelstructuur en vijfstructuur, problemen<br />
leren aanpakken, enzovoort.<br />
Oorzaken van dyscalculie<br />
Er zijn kinderen en volwassenen, die ondanks een goed ontwikkelde<br />
intelligentie, rekenproblemen ondervinden. De<br />
neuropsychologen Butterworth en Dehaene hebben over<br />
een aantal van deze (soms zeer eigenaardige) gevallen gepubliceerd.<br />
Butterworth analyseerde bijvoorbeeld het rekenen<br />
van de ‘acalculic’ Strozzi. Deze Strozzi, een zakenman, was<br />
Volgens Bartjens... Jaargang 24 2004/2005 nr. 1 7<br />
Sinds een aantal jaren<br />
worden rekenproblemen<br />
steeds vaker als dyscalculie<br />
getypeerd.
niet in staat twee getallen bij elkaar op te tellen, zelfs 1 + 1<br />
niet. Wel kon hij de telrij tot 20 opzeggen en hij wist bijvoorbeeld<br />
dat de 6 na de 5 kwam, hij kon echter de som 5 +<br />
1 niet uitrekenen. Dehaene vertelt over een patiënt die<br />
getroffen werd door een hersenbeschadiging. Hij kon daarna<br />
weliswaar getallen lezen en schrijven, maar hij wist niet<br />
(meer) welk getal tussen 2 en 4 voorkwam. Hij kon wel precies<br />
vertellen welke maand tussen februari en april voorkwam<br />
of welke dag voorafging aan woensdag.<br />
Dyscalculie, veroorzaakt door een neurologische of psychiatrische<br />
aandoening, komt zo zelden voor dat we eerder<br />
aan promillen van de (school)bevolking moeten denken dan<br />
aan procenten. Het is theoretisch overigens denkbaar dat ook<br />
bij kinderen met een lagere intelligentie zulke aandoeningen<br />
een rol spelen, maar in die gevallen is er meestal toch geen<br />
sprake van een grote discrepantie tussen prestaties op het<br />
gebied van reken-wiskunde en andere gebieden. Die discrepantie<br />
wordt in dit artikel juist als kenmerkend voor dyscalculie<br />
beschouwd.<br />
Er zijn echter nog ándere factoren (dan Butterworth en<br />
Dehaene onderzochten) die verband houden met het ontstaan<br />
van dyscalculie. Als we die meetellen, zitten we met die<br />
promillen wellicht aan de krappe kant.<br />
Uitgaande van de in dit artikel bepleite criteria (normaal<br />
tot hoog intelligent en toch uitval bij rekenen-wiskunde)<br />
zijn er inderdaad nóg een aantal factoren aanwijsbaar die<br />
mogelijk het ontstaan van dyscalculie beïnvloeden.<br />
Dat zijn ten eerste ernstige emotionele problemen. Deze<br />
ernstige emotionele<br />
kunnen leiden tot ontmoediging en een negatief zelfbeeld<br />
met name met betrekking tot de exacte vakken. En een<br />
negatief zelfbeeld leidt weer tot tegenvallende prestaties.<br />
problemen<br />
Deze leerlingen schrijven hun problemen toe aan hun<br />
gebrekkige capaciteit. Dat komt voor bij jongens en meisjes,<br />
maar bij met name allochtone meisjes wordt dit versterkt<br />
door een cultuur-etnisch probleem. Exacte vakken worden<br />
voor vrouwen als onbelangrijk beschouwd (dat komt overigens<br />
ook bij autochtone vrouwen voor) en de stimulans om<br />
te presteren, ontbreekt.<br />
Ten tweede kan de motivatie voor het leren van rekenenwiskunde<br />
onherstelbaar zijn aangetast. Zo vertelde een<br />
Pabo-studente eens dat ze letterlijk vlekken voor haar ogen<br />
kreeg als ze al vermoedde dat er gerekend moest worden. Zij<br />
kon en wilde absoluut niet (meer) rekenen, de motivatie was<br />
door angst en gebrek aan zelfvertrouwen ernstig aangetast.<br />
Ten derde kan een eenzijdige, sterk mechanistische didactiek<br />
de oorzaak zijn van dyscalculie. Er is hier sprake van<br />
ernstige ‘didactische verwaarlozing’. Sommige volwassenen<br />
hebben een heel eigen werkwijze bij het rekenen ontwikkeld.<br />
Slechts enkelen durven dat toe te geven. Zo vertelde een<br />
lerares uit het speciaal onderwijs onlangs dat ze alleen in<br />
kleuren kon rekenen. Bijvoorbeeld: rood + groen = geel. De<br />
kleuren associeerde ze met aantallen en zo verkreeg ze een<br />
uitkomst. Zo’n systeem is echter slechts beperkt toepasbaar<br />
en boven de 20 was ze dan ook hulpeloos. Dit voorbeeld laat<br />
zien hoe iemand met ‘gezond verstand’ toch kan vastlopen<br />
in het rekenen. Het is niet onwaarschijnlijk dat deze lerares<br />
ooit zelf rekenen heeft geleerd op basis van het zogenoemde<br />
Cuisenaire systeem, een systeem dat de kinderen leert rekenen<br />
door gekleurde staafje te associëren met aantallen.<br />
Als mogelijk vierde oorzaak van dyscalculie wordt in de<br />
literatuur een ‘mogelijk erfelijke stoornis’ genoemd<br />
8 Volgens Bartjens... Jaargang 24 2004/2005 nr. 1<br />
(Braams, 2000). Of ‘een aangeboren of vroeg verworven storing’,<br />
veroorzaakt door een ‘dominant gen’ (Desoete, 2003).<br />
De Vos (2003) meent : ‘Sommige vormen van dyscalculie<br />
lijken erfelijk te zijn’ en ook Ruijssenaars (2003) ziet een<br />
erfelijke oorzaak. Kortom, dyscalculie kan volgens deze<br />
auteurs mogelijk veroorzaakt worden door genetische factoren.<br />
Met zulke uitspraken moet men echter voorzichtig zijn.<br />
Uiteraard berust ons bestaan als mens geheel op onze genen,<br />
want die bepalen onze mogelijkheden en op individueel<br />
niveau bepalen ze het potentieel. Maar onze vermogens<br />
komen tot ontwikkeling, zegt de neurofysioloog Blakemore,<br />
door structuren die door eiwitten worden gereguleerd. De<br />
genen produceren die eiwitten. Genen produceren dus geen<br />
gedrag (zoals het uitvoeren van de vermenigvuldigprocedure<br />
of het oplossen van reken-wiskundige problemen), genen<br />
produceren eiwitten. Daarom zegt Blakemore: ‘Genen willen<br />
niets en genen weten niets’. Een bepaald gen bevat slechts de<br />
code voor een eiwit dat een bepaald gedrag aanstuurt. Het<br />
uiteindelijke gedrag komt (na een keten van complexe neurofysiologische<br />
processen te hebben doorlopen) tot stand op<br />
basis van veel meer dan de genetische informatie, namelijk<br />
ervaringen (zie ook Ridley 2003).
Er zijn nou eenmaal<br />
verschillen tussen<br />
leerlingen. Ieder heeft<br />
zijn eigen sterke<br />
punten.<br />
Dit is een nogal technisch verhaal, maar het is nodig om<br />
de relatie die tussen dyscalculie en genetisch bepaalde stoornissen<br />
wordt gelegd met de nodige terughoudendheid te<br />
kunnen beoordelen.<br />
Maar stel nou eens dat er onverwachts een ‘getallen-gen’<br />
opgespoord zou worden, en stel voorts dat we kunnen constateren<br />
dat dit gen bij een bepaalde leerling een rekenstoornis<br />
veroorzaakt, wat voor remedie zou dan met het oog op<br />
die stoornis, didactisch gezien, passend zijn? Wie het weet,<br />
mag het zeggen.<br />
Soorten dyscalculie<br />
In het artikel van Desoete, dat in het septembernummer van<br />
Willem Bartjens is verschenen, worden een zestal soorten of<br />
verschijningsvormen van dyscalculie besproken. Verheldert<br />
deze indeling in zes verschijningsvormen het begrip dyscalculie?<br />
• De eerste soort is de ‘geheugendyscalculie’ waarmee<br />
bedoeld wordt dat leerlingen moeite hebben met het onthouden<br />
van afspraken. Het is niet duidelijk waarom leerlingen<br />
alleen op het gebied van rekenen afspraken niet<br />
kunnen onthouden en niet op bijvoorbeeld het gebied van<br />
de spelling of grammatica, op welke gebieden immers ook<br />
veel afspraken gelden. Spelling is zelfs niets anders dan een<br />
afsprakensysteem.<br />
• De tweede soort is de ‘procedurele dyscalculie’ en houdt in<br />
dat leerlingen soms vergissingen, omkeringen (42 – 3 = 41)<br />
en fouten maken (42 ? 3 = 45). Dat zijn echter in de didactiek<br />
heel bekende en vrij gemakkelijk te repareren werkwijzen.<br />
Trouwens, wie vergist zich nooit eens?<br />
• ‘Getallenkennisdyscalculie’ treedt aan het licht als kinderen<br />
bijvoorbeeld 25 als 52 lezen. Dat is een bekende vergissing<br />
die meestal van tijdelijke aard is en samenhangt met onze<br />
taal. In het Russisch, Chinees of Engels komt deze ‘getallenkennisdyscalculie’<br />
dan ook nauwelijks voor. ‘Twenty<br />
three’ spreek je uit zoals het wordt geschreven: 20 en 3.<br />
• De vierde soort is dyscalculie ‘voortkomend uit de nietverbale<br />
leerstoornis’, Daarmee is bedoeld dat het technisch<br />
rekenen vlot verloopt, maar dat het inzicht niet wil doorbreken.<br />
Met deze omschrijving wijkt Desoete af van de<br />
werkdefinitie van haar vakgenoten (ik begrijp trouwens<br />
niet goed wat zij hiermee bedoelt)<br />
• Dyscalculie als ‘een algemene aandachtstoornis’. Deze leerlingen<br />
vergeten waar ze mee bezig zijn. Waarom is dat probleem<br />
(juist vanwege het algemene karakter ervan) niet<br />
ook op andere gebieden merkbaar?<br />
• Dyscalculie die te ‘maken heeft met een stoornis in het<br />
logisch deductief denken’. Waarschijnlijk moeten we hier<br />
lezen: intelligentie. Maar dan hebben we dus gewoon te<br />
maken met leerlingen die zwak presteren vanwege een<br />
matig cognitief potentieel en bij deze leerlingen, zo zagen<br />
we in afbeelding 2, is geen sprake van dyscalculie.<br />
Conclusie: de indeling in verschijningsvormen van dyscalculie<br />
van Desoete roept theoretische zowel als praktische<br />
vragen op. De vergissingen, de procedurefouten, enzovoort<br />
komen in de praktijk bij zo veel leerlingen voor dat een buitensporig<br />
hoog percentage, althans volgens de normen van<br />
Desoete, aan dyscalculie zou moeten lijden.<br />
Tot besluit: hoe verder?<br />
In het geval dat de diagnose van een kind met rekenproblemen<br />
in de richting van dyscalculie wijst (volgens de opvatting<br />
zoals in dit artikel bepleit), wát valt er dan te doen? De<br />
vraag of een neurologische of psychiatrische aandoening of<br />
een hersenbeschadiging zódanig reparabel is dat de leerprocessen<br />
op het gebied van rekenen-wiskunde substantieel verbeterd<br />
kunnen worden, is moeilijk te beantwoorden. Zoals<br />
we zagen, meent <strong>Van</strong> Gelder dat er in zo’n geval sprake is<br />
van een onherstelbare uitval (‘acalculie’). Het lijkt verstandig<br />
daar de ter zake deskundigen, zoals neurologen, over te<br />
laten oordelen.<br />
Dat ligt anders als we het over leerlingen hebben met<br />
(ernstige) emotionele, motivatie- of persoonlijkheidsproblemen<br />
(zoals een negatief zelfbeeld). Onder deskundige leiding<br />
en met geduld en begrip zullen zeker passende remediërende<br />
maatregelen kunnen worden genomen, zowel van<br />
psychologische als van vakdidactische aard.<br />
Ook wanneer leerlingen didactisch zijn verwaarloosd, zal<br />
adequate hulp mogelijk zijn. Tenminste, als die hulp niet te<br />
laat komt omdat de (omslachtige en onwenselijke) procedures<br />
al te diep zijn ingeslepen.<br />
Wanneer het echter gaat om hulp aan leerlingen die over<br />
de hele linie zwak zijn, en in die gevallen is er volgens de in<br />
Volgens Bartjens... Jaargang 24 2004/2005 nr. 1 9
dit artikel bepleite opvatting doorgaans géén sprake van dyscalculie,<br />
kan geput worden uit de ervaring die al gedurende<br />
vele jaren is opgedaan. Extra stimulans is wenselijk en kan<br />
op individueel niveau redelijk effectief zijn. Er kan echter<br />
een fase aanbreken dat beoordeeld moet worden wat het<br />
haalbare niveau van een individuele leerling is, gezien de<br />
reeds bestede hulp en het effect van die hulp. Uiteindelijk<br />
kan het wenselijk zijn te differentiëren zowel naar leertraject,<br />
tempo en het na te streven niveau.<br />
Ten slotte: de recent oplevende aandacht voor dyscalculie<br />
heeft als voordeel dat er extra energie wordt gestoken in de<br />
problematiek van leerlingen met problemen op het gebied<br />
van reken-wiskunde. Een punt van zorg kan echter zijn dat<br />
leerlingen gestigmatiseerd worden indien de indruk wordt<br />
gewekt dat dyscalculie direct wijst op een ‘genetisch defect’<br />
of ‘iets raars in de hersenen’ waaraan je als leerkracht nou<br />
eenmaal niets kunt doen. Of er aan rekenproblemen iets<br />
gedaan kan worden kan alleen worden vastgesteld na evaluatie<br />
van een intensief uitgevoerde behandeling.]<br />
De auteur is medewerker aan het Freudenthal Instituut.<br />
Literatuur<br />
Blakemore, C. (2003) ‘Genen weten niks en doen niks’. In<br />
de Wetenschapsbijlage van NRC Handelsblad, 20-7-2003.<br />
Boer, C.van de (2003) Als je begrijpt wat ik bedoel. (dissertatie)<br />
Freudenthal Instituut Universiteit Utrecht.<br />
Braams, T (2000) ‘Dyscalculie’. In: Tijdschrift voor remedial<br />
teaching, nr.4, p.6-11.<br />
Butterworth, B (1999) The mathematical brain. London,<br />
Papermac.<br />
Dehaene S. (1999) What are numbers really? A cerebral basis<br />
for number sense (Internet).<br />
Desoete, A. (2003) ‘In elke klas zit er minstens één’.<br />
In: Willem Bartjens, jrg.23, nr.1, p.11-13.<br />
Eerde, H.A.A van (1996)) Kwantiwijzer. Tilburg, Uitgeverij<br />
Zwijsen.<br />
Gelder, L.van (1952) ‘Acalculi en dyscalculie’. In:<br />
Paedagogische Studiën, jrg.29 , p.176-188.<br />
Luit, H.van (2003) ‘Jonge kinderen en dyscalculie’. In:<br />
Jeugd, School en Wereld, jrg. 87, nr.7 , p. 6-10.<br />
Noteboom, A., F.van der Schoot, J.Janssen & N.Veldhuijzen<br />
(1997) Balans van het rekenwiskundeonderwijs halverwege<br />
de basisschool 3. CITO, Arnhem.<br />
Ridley, M. (2003) Nature via nurture: Genes, Experience, and<br />
What Makes us Human? HarpertCollins.<br />
Ruijssenaars, A.J.J.M. (1997) Rekenproblemen. Theorie, diagnostiek,<br />
behandeling. Rotterdam, Lemniscaat.<br />
Ruijssenaars, A.J.J.M. & P.Ghesquière (red.) (2002) Dyslexie<br />
en dyscalculie. Leusden, Leuven Acco.<br />
Ruijssenaars, A.J.J.M. (2003) ‘Veelgestelde vragen over<br />
rekenproblemen en dyscalculie.’ In: Balans, januarinummer,<br />
p.28-31.<br />
Treffers, A. (2002) Dyscalculie (http://www.fi.uu.nl/rekenweb/leraren/welcome.html<br />
(d.d. 24-7-2003)<br />
Vermeer, H (1997) Sixth-grade students’ mathematical problem-solving<br />
behavior: motivational variables and gender<br />
differences. Leiden University.<br />
Vos, T. de (2003) Dyscalculie<br />
(http://www.opvoedadvies.nl/dyscalculie.htm)<br />
10 Volgens Bartjens... Jaargang 24 2004/2005 nr. 1<br />
rubriek<br />
INTER<br />
In het reken-wiskundeonderwijs bestaan<br />
nog vele kwesties waarover de meningen<br />
verdeeld zijn. In de rubriek ‘Interactie’<br />
wordt steeds zo’n kwestie onder de loep<br />
genomen. Aan het eind van deze column<br />
vragen we ook uw mening. Bezoek onze<br />
internetsite, daar kunt u reageren op de<br />
stelling.<br />
www.<br />
UITSLAG<br />
Stelling: “Als we de diagnose<br />
‘dyscalculie’ niet meer stellen,<br />
verdwijnt het verschijnsel van<br />
zelf”<br />
De laatste tijd bestaat er een trend om veel rekenproblemen<br />
onder het kopje ‘dyscalculie’ te schuiven. Ouders, leerkrachten<br />
en leerlingen lijken soms zelfs enigszins opgelucht als de<br />
diagnose na een lange periode van worstelen met rekenproblemen<br />
uiteindelijk gesteld wordt: ‘Nu weten we wat het is’,<br />
waarna berusting volgt. Het kind heeft dyscalculie dus er valt<br />
niets meer aan te doen. Zo’n houding is onwenselijk en dus<br />
vroegen wij onze lezers of het misschien beter zou zijn om<br />
het etiket ‘dyscalculie’ niet meer te plakken. Daar was een<br />
groot deel van de lezers het niet mee eens.<br />
De uitslag van de stemming is:<br />
Mee eens 19%<br />
Niet mee eens 54%<br />
Neutraal 27%<br />
Enkele reacties:<br />
- Er is nog veel discussie over de precieze definitie van<br />
dyscalculie, maar er zijn nou eenmaal kinderen met<br />
rekenproblemen die niet voortkomen uit gebrekkig<br />
rekenonderwijs of beperkte verstandelijke vermogens,<br />
dat mogen we niet ontkennen.<br />
- Dyscalculie kun je niet opheffen door er niet meer<br />
over te praten, maar we moeten niet opgeven, de<br />
meeste rekenproblemen zijn door een goede begeleiding<br />
wel te verhelpen.<br />
- Wat een onzin om kinderen met rekenproblemen op<br />
te delen in twee groepen: ‘wel dyscalculie’ en ‘niet<br />
dyscalculie’. Onderzoek wat ze niet kunnen en doe er<br />
wat aan!
ACTIE<br />
Is ‘goed’ wel goed voor ons?<br />
Het realistische reken-wiskundeonderwijs heeft de afgelopen<br />
decennia steeds meer voet aan de grond gekregen.<br />
Dat hebben we mede te danken aan de moderne rekenwiskundemethoden<br />
die inmiddels allemaal het realistische<br />
gedachtegoed uitdragen. Alle boekjes staan vol uitdagende<br />
contexten, ondersteunende denkmodellen, alternatieve<br />
oplossingsmanieren, praatplaten en ga zo maar door. In<br />
de bijbehorende docentenhandleidingen wordt de leerkracht<br />
opgeroepen om interactieve leergesprekken te<br />
houden, om leerlingen ideeën uit te laten wisselen, om<br />
volgensbartjens.nl.<br />
concrete materialen te gebruiken, enzovoort.<br />
Natuurlijk zijn er onderlinge verschillen tussen de methoden:<br />
de een heeft een uitvoerige, gedetailleerde handleiding,<br />
de andere een handige, compacte. De ene methode<br />
heeft meer herhalings- en extrastof. De ander houdt meer<br />
rekening met verschillen tussen leerlingen, enzovoort.<br />
Natuurlijk valt er ook op de moderne methoden nog wel<br />
wat te mopperen: De een behandelt te veel verschillende<br />
onderwerpen op een bladzijde. De ander heeft te weinig<br />
oefenstof. Een derde is meer geschikt voor bollenbozen,<br />
enzovoort. Maar over het algemeen heeft het<br />
Nederlandse reken-wiskunde-onderwijs goede methoden.<br />
Methoden die aansluiten bij de moderne opvattingen over<br />
het realistische reken-wiskundeonderwijs. Methoden die<br />
vol staan met prachtig leerlingenmateriaal. De vraag is<br />
alleen of we daar blij mee mogen zijn. ‘Is goed wel goed<br />
voor ons?’ Ik zie een gevaar in onze goede reken-wiskundemethoden<br />
en ik ben benieuwd of u dat met me eens<br />
bent.<br />
Het lijkt wel of de methoden van tegenwoordig tegen de<br />
leerkrachten zeggen: ‘Denk nou maar niet zelf na over je<br />
rekenonderwijs. Dat hebben wij al voor jou gedaan. Volg<br />
ons boekje en dan komt het wel goed.’ De leerling wordt<br />
tegenwoordig voortdurend uitgedaagd om zelf kennis te<br />
construeren, maar de leerkracht kan maar beter niet zelf<br />
gaan nadenken en maar beter niet zelf rekenonderwijs<br />
gaan ontwerpen.<br />
Leerkrachten die in de rekenles toch graag in willen spelen<br />
op actuele gebeurtenissen: de jaarlijkse sportdag, een artikel<br />
in de krant, het wereldrecord schaatsen, hebben daar<br />
nauwelijks de tijd voor. Ze moeten al iedere dag rekenen<br />
om het programma af te krijgen, daar kan niet nog meer<br />
bij. En iets schrappen in de methode? Wat kan er eigenlijk<br />
gemist worden in die dichtgetimmerde, goeddoordachte,<br />
weldoorwrochte leerlijnen? De vakdidactiek is precisiewerk<br />
geworden. Als leerkracht moet je van goeden didactische<br />
huize komen om je eigen koers door de methode te<br />
volgen. Wie kent de TAL-brochures uit zijn hoofd? De studenten<br />
die van de pabo komen in ieder geval niet. Daar is<br />
didactisch precisiewerk op het niveau van de afzonderlijke<br />
vakken niet meer aan de orde. Op menig pabo wordt de<br />
vakinhoudelijke component meer en meer weggesnoeid.<br />
Pedagogisch gezien hebben onze toekomstige leerkrachten<br />
veel in huis, maar kennen ze de leerlijnen voor het<br />
rekenen tot honderd? Weten ze welke denkmodellen<br />
geschikt zijn voor het rekenen met breuken? Ik durf er<br />
mijn hand niet meer voor in het vuur te steken. De studenten<br />
zelf zitten er niet mee, die stappen zelfverzekerd voor<br />
de klas onder het motto: ‘Er zijn toch heel goede rekenwiskundemethoden<br />
die je kunt volgen? Ik hoef het zelf<br />
toch niet allemaal te weten?’ Maar wat te doen als er een<br />
leerling uitvalt? Kunnen ze dan de juiste diagnose stellen,<br />
Stelling: “De Nederlandse reken-wiskundemethoden<br />
zijn te perfect”.<br />
kunnen ze stapjes terugdoen in de leerlijn om hiaten op te<br />
sporen? Pabo-studenten zeggen: ‘…maar dan stuur ik zo’n<br />
kind toch naar de IB’er of de RT’er?!’ De leerkracht voor de<br />
klas wordt steeds minder vakdocent. Moeten we ons er<br />
maar bij neerleggen dat er in de toekomst geen leerkrachten<br />
meer zullen zijn die vakdidactisch van de hoed en de<br />
rand weten? Die in kunnen spelen op de verschillen tussen<br />
kinderen, die kinderen met rekenproblemen nog zelf kunnen<br />
helpen, die in de rekenles inhaken op wat leerlingen<br />
bezig houdt of wat er die dag gebeurt is in de klas, in de<br />
school, in de wereld? Is een leerkracht die keurig een<br />
goede reken-wiskundemethode volgt een goede leerkracht?<br />
Zijn er over een aantal jaren nog leerkrachten die<br />
het boek durven aan te passen aan hun leerlingen, @of gaat<br />
het uitsluitend andersom?<br />
Perfecte realistische reken-wiskundemethoden. Er is vele<br />
jaren aan gewerkt om dit ideaal te bereiken. Maar nu het<br />
zo ver is, hou ik mijn hart vast.<br />
Marjolein Kool<br />
Volgens Bartjens... Jaargang 24 2004/2005 nr. 1 11<br />
Wat vindt u van deze kwestie?<br />
Surf naar onze website www.volgens-bartjens.nl en reageer op de<br />
stelling: “De Nederlandse reken-wiskundemethoden zijn te perfect”.
Groetjes<br />
van groep 4<br />
In de boot<br />
In deze les wordt een klein begin gemaakt met de tafeltjes,<br />
de tafels van vermenigvuldiging. Dit gebeurt aan de hand<br />
van een tekening van een roeitocht. Je ziet drie boten met<br />
elk vijf mensen erin. Ik vraag aan de kinderen hoeveel mensen<br />
er in de boten zitten en hoe ze aan dat aantal gekomen<br />
zijn.<br />
Nou, dat is geen moeilijke vraag. De vingers schieten al snel<br />
de lucht in. Ik schrijf steeds de manier waarop geteld is op<br />
het bord. Amela vertelt dat het vijftien personen zijn en dat<br />
zij 2 erbij 2 erbij 2 heeft gedaan. ‘Hoeveel keer moet ik dan<br />
twee opschrijven?’ vraag ik. Dat telt zij na. ‘Het moet 7 keer<br />
en dan nog 1 erbij.’ Ik schrijf het op en zeg: ‘Prima hoor!’<br />
Dieke doet het wat eenvoudiger door gewoon 1 + 1 + 1 + 1<br />
enz. te tellen. Ook goed. Lindsey telt 5 + 5 = 10. Dat zijn de<br />
eerste twee boten samen. En dan komt de derde boot erbij<br />
en dat is: 10 + 5 =15. Knap werk van haar. Zoë heeft een<br />
iets moeilijkere manier van tellen gehanteerd. Ze heeft uit<br />
elke boot eerst twee mensen genomen 2 + 2 + 2 en daar dan<br />
het ‘overschot’ van elke boot bijgeteld 3 + 3 + 3.<br />
Dan komt de volgende strategie: gewoon 5 + 5 + 5. Tamara<br />
ontdekt dat het ook met 4 + 4 + 4 + 3 kan en de laatste<br />
12 Volgens Bartjens... Jaargang 24 2004/2005 nr. 1<br />
manier die gevonden wordt, is 3 + 3 + 3 + 3 + 3. Bij elkaar<br />
zijn dat negen manieren om het aantal mensen te tellen.<br />
Beau zit het overzicht op het bord te bekijken en zegt dan:<br />
‘Die 5 + 5 + 5 is eigenlijk drie keer vijf.’ ‘Wauw, dat is slim<br />
van jou. Jij weet meer dan je zelf vaak denkt’, roep ik enthousiast.<br />
Terwijl Beau een meter boven zijn stoel uitgroeit<br />
herhaal ik nog eens wat hij gezegd heeft. ‘Die 5 + 5 + 5 zijn<br />
dus drie groepjes van 5 en dat is weer hetzelfde als 3 x 5.’ Ik<br />
schrijf het ook op het bord zodat iedereen kan zien hoe slim<br />
dit is. Iedereen is heel tevreden met deze sprong vooruit.<br />
Maar niemand komt op het idee om die vijf drieën ook te<br />
voorzien van een keersom (5 x 3) en dat laat ik voorlopig<br />
dan maar zo.<br />
Lia van Diem<br />
Dan gaan we verder met tellen. Elke boot<br />
heeft twee roeispanen, dus ik vraag hoeveel<br />
roeispanen er zijn. Ook hier komen<br />
wel zeven verschillende werkwijzen uit.<br />
Allemaal nagenoeg hetzelfde als bij het<br />
aantal roeiers. Loes probeert ook bij de<br />
roeispanen een keersom te maken, maar<br />
dat valt niet mee. Ze telt 2 x 2 en steekt<br />
daarbij twee vingers omhoog. Die twee<br />
telt ze bij de uitkomst van 2 x 2 = 4 en zo<br />
komt ze toch ook aan 6. Iedereen zit haar<br />
vol bewondering aan te kijken en probeert<br />
mee te denken en te begrijpen wat ze doet.<br />
Dat valt absoluut niet mee. Haar berekening<br />
is ook zo ingewikkeld dat zelfs ik het<br />
niet begrijp. Teleurgesteld geeft ze het na<br />
drie pogingen op. Iedereen zucht met<br />
haar mee. Tafeltjes leren is wel leuk, maar<br />
toch ook best wel moeilijk. Gelukkig kent<br />
iedereen al één tafeltje goed: zijn eigen<br />
tafeltje. Daaraan moet de rest toch ook<br />
wel te leren zijn.<br />
De auteur is werkzaam in groep 4 van basisschool ‘De<br />
Stappen’ in Tilburg
Wiskunde<br />
16 x 12 2- 1 = 8 x 25 = 4 x 50 = 20<br />
op straat<br />
Boer Bart<br />
Er waart een spook door reken-wiskundeland, en dat<br />
spook heet: ‘Boer Bart’. In ieder reken- of wiskundeboek<br />
komen we deze fiere agrariër tegen en een ding wordt al<br />
snel duidelijk. Boer Bart is geen doorsneeboer. Zo woont<br />
hij nooit naast de weg. Nee, zijn boerderij staat altijd een<br />
kleine 200 meter in de wei. Ook is hij de enige plattelander<br />
die vlakbij een bushalte woont. Het enige nadeel voor hem<br />
is dat deze halte nooit bij zijn oprit staat, maar altijd een<br />
kleine 300 meter links of rechts van zijn oprit. Dan is het<br />
wel weer fijn dat Boer Bart de stelling van Pythagoras kent<br />
en zo vlekkeloos kan uitrekenen hoeveel hij kan afsnijden<br />
door schuin door zijn wei naar de bushalte te lopen.<br />
Als de plek van de bushalte zijn enige probleem zou zijn,<br />
was het leven voor hem nog wel te pruimen, maar bij Boer<br />
Bart stapelt het leed zich op. Zo is hij in het wiskundeboek<br />
van mijn dochter, ‘Getal & Ruimte, vwo 4’, pluimveehouder<br />
en heeft hij kippen, ganzen en eenden. Om de beesten<br />
uit elkaar te houden, wil hij zijn land in drie rechthoekige<br />
stukken verdelen en elk stuk met een afrastering omheinen.<br />
Boer Bart is in het gelukkige bezit van<br />
10 rollen gaas van elk 40 meter lengte. De<br />
vraag aan mijn dochter was: Bij welke afmetingen<br />
hebben de landjes van Boer Bart de<br />
grootst mogelijke oppervlakte? Een hele<br />
zondagmiddag hebben de kippen van dit<br />
idiote keuterboertje ons gezinsleven verduisterd.<br />
De machtspositie van Boer Bart dient aangevallen<br />
te worden. Niet alleen omdat de<br />
agrarische sector in het algemeen aan belang<br />
inboet, maar ook omdat de wiskunde niet<br />
opfleurt van al die gezochte boerenproblemen.<br />
Als er bij een formule geen betekenisvol<br />
probleem is, dan maar liever geen som<br />
of alleen de formule.<br />
Persoonlijk wil ik de Boer Bart-problemen<br />
vervangen door vragen als: Hoe lang is de<br />
Duizendmeterweg? Jammer genoeg heeft<br />
deze Amsterdamse straat zijn naam niet<br />
gekregen omdat hij in de wiskundewijk ligt,<br />
vlakbij de sinusoïde, de tangenshoek of het<br />
pi-plein. Frequente bezoekers van de Amsterdamse<br />
Bosbaan weten dat de naam van de Duizendmeterweg niet<br />
gebaseerd is op zijn lengte of breedte, maar dat hij zo heet<br />
omdat hij begint bij de helft van de Bosbaan bij het duizendmeterpunt.<br />
Een fotootje van het straatnaambord<br />
‘Duizendmeterweg’ is voor een wiskundeboek een nuttige<br />
illustratie. Zo zie ik ze graag in een wiskundeboek, onder<br />
de uitdrukkelijke voorwaarde dat er geen vraag bij staat en<br />
dat het absoluut zeker is dat aan de totale 100.000 cm van<br />
deze weg geen Boer Bart te bekennen is.<br />
De binding met de landbouw is natuurlijker en speelt<br />
beter in op de allochtone leerling als we onze leerlingen<br />
een kleine honderd sinaasappelen geven met de opdracht<br />
deze zo compact mogelijk op te stapelen. Mogelijke vragen<br />
zijn: Hoe hoog wordt de stapel? En: Hoeveel sinaasappelen<br />
liggen er in de onderste laag van een toren van vijf<br />
lagen? Daar valt veel reken- en denkwerk uit te halen. Dat<br />
beweert ook Joep Engels in zijn artikel in de Trouw van<br />
13-10-2003. Toen de wiskundige Kepler zijn berekeningen<br />
over het stapelen van sinaasappels aan de boeren Bart in<br />
de Parijse Hallen had voorgelegd , schijnen zij gezegd te<br />
hebben: ‘Wij weten wel hoe je sinaasappelen moet stapelen,<br />
maar we hebben moeite met de artisjokken!’<br />
De enige Boer Bart-som die ik wil toestaan is de som<br />
waarin Boer Bart wil trouwen. Als simpele boer wil hij<br />
natuurlijk een jongere vrouw, maar wel zo dat de buurtschap<br />
geen schande spreekt van het leeftijdsverschil. De<br />
buurtschap heeft hiervoor een regel, die luidt: N + 7 = V<br />
waarin V de leeftijd van de vrouw is en N de leeftijd van<br />
de man. De vraag is nu hoe oud Boer Bart moet zijn om<br />
met een meisje van 16 te kunnen trouwen?<br />
Harrie Sormani<br />
Volgens Bartjens... Jaargang 24 2004/2005 nr. 1 13<br />
Judith van der Velden
Ei van Columbus<br />
Jos van den Bergh, Ron Felix. Illustraties: Leo Faes<br />
Hoe ver is het?<br />
De dorpjes Ballum en Cottum liggen aan de 22 km lange<br />
(kaarsrechte) weg van Aatum naar Derrum. <strong>Van</strong> Aatum<br />
naar Cottum is het precies 10 km en van Ballum naar<br />
Derrum precies 15 km. Kun jij uitvinden hoever het van<br />
Ballum naar Cottum is?<br />
Vouwen en<br />
bouwen<br />
Je hebt vast wel eens een kubus gemaakt door eerst zelf een<br />
bouwplaat te tekenen, die uit te knippen en vervolgens in<br />
elkaar te plakken. Misschien gebruikte je als bouwplaat<br />
deze figuur:<br />
Er zijn ook nog allerlei andere bouwplaten mogelijk om<br />
een kubus te vouwen. Weet je hoeveel verschillende mogelijkheden<br />
er zijn?<br />
Hieronder staan twaalf verschillende bouwplaten van een<br />
kubus. Eigenlijk<br />
zijn het er elf,<br />
want er is er één<br />
bij die je niet tot<br />
een kubus kunt<br />
vouwen. Welke<br />
bouwplaat is dat?<br />
14 Volgens Bartjens... Jaargang 24 2004/2005 nr. 1<br />
Op zaterdag 2 augustus<br />
2003 stierf de onvergetelijkedichter-zangertekstschrijver<br />
Willem<br />
Wilmink.<br />
Willem schreef voor kinderen<br />
en volwassenen. Soms gingen zijn teksten over het<br />
onderwijs. In een van zijn liedjes staat de regel: ‘Jeremiee,<br />
ik heb een twee, wat een akelig rotdictee’. In zijn bundel<br />
‘Ze zeggen dat de aarde draait’ staat een gedicht over de<br />
meerkeuzetoets:<br />
Wat motten doen voor je ondergoed,<br />
wat de zure regen voor bomen doet,<br />
wat Satan deed voor het Paradijs,<br />
doet multiple choice voor het onderwijs.<br />
Alleen al hiervoor verdient hij de onsterfelijkheid.<br />
Zoek de<br />
getallen<br />
Willem<br />
Wilmink<br />
Ik heb vier verschillende getallen in mijn hoofd. Bij elkaar<br />
opgeteld zijn ze 27. Als ik bij het eerste getal 2 optel, van<br />
het tweede getal 2 aftrek, het derde getal met 2 vermenigvuldig<br />
en het vierde getal door 2 deel, vind ik vier keer<br />
dezelfde uitkomst. Welke zijn die vier getallen?
Onmogelijke<br />
opdracht<br />
Omdat de rechter het ook niet meer weet, krijgt de verdachte<br />
de volgende keus voorgelegd. Uit een zakje met<br />
daarin een zwarte en een witte steen moet hij er willekeurig<br />
één kiezen. Is de steen wit dan is hij vrij, maar is de steen<br />
zwart dan wacht hem straf. Hij ziet toevallig dat de zaalwachter,<br />
belast met de uitvoering van dit vonnis, stiekem<br />
twee zwarte stenen in het zakje doet. De verdachte denkt<br />
diep na en doet een greep in de zak. Vervolgens doet hij<br />
iets waardoor hij de vrijheid verkrijgt. Wat heeft de slimmerik<br />
volgens jou gedaan om te overleven?<br />
Kruisgetalpuzzel<br />
Horizontaal<br />
1 12 dozijn<br />
3 (3 x 3) + (4 x 4) =<br />
5 110 : 2 =<br />
6 Hoeveel vingers aan honderd handen?<br />
Verticaal<br />
1 5 x 25 =<br />
2 60 – 15 =<br />
4 300 : 2 =<br />
5 de helft van de helft van 200<br />
ei<br />
van<br />
Muziek en<br />
getallen<br />
Columbus<br />
Hoeveel artiesten of muziekgroepen<br />
kun je noemen waarvan in de naam één of meer cijfers<br />
voorkomen? Laat je vader en moeder meedenken! Kun je<br />
liedjes noemen waarin getallen voorkomen?<br />
Wist je dat?<br />
• Je hersenen verbruiken 20% van je energie.<br />
• Als je je hersenen aan zou kunnen raken voelen ze als<br />
een zachtgekookt ei.<br />
• Je hersenen bestaan voor 80% uit water.<br />
• Voordat een baby wordt geboren,<br />
groeien zijn hersenen met een snelheid<br />
van 2000 cellen per seconde!!<br />
• Na je vijfentwintigste verjaardag<br />
beginnen er al hersencellen af te<br />
sterven. Per dag wel zo’n 12.000.<br />
• Weet je hoeveel er dat per jaar<br />
zijn?<br />
• Veel hè? Maar dat is niet erg.<br />
Zelfs als je heel erg oud wordt heb<br />
je nog altijd 98 procent van je cellen<br />
over!<br />
Volgens Bartjens... Jaargang 24 2004/2005 nr. 1 15
Ei van Columbus<br />
Spiegelklokken<br />
Weet jij hoe laat het is op elke klok?<br />
Slim zijn en<br />
geluk hebben<br />
Je speelt dit spel met zijn tweeën en met één dobbelsteen.<br />
Ieder tekent voor zichzelf twee hokjes. Speler A begint en<br />
gooit de dobbelsteen. Het aantal ogen dat hij gooit moet<br />
hij in één van z’n hokjes noteren; hij mag zelf weten in<br />
welk hokje. Dan doet speler B hetzelfde. Nu is speler A<br />
weer aan de beurt. Het aantal ogen dat hij nu gooit noteert<br />
hij in het andere hokje en zo doet speler B dat ook weer.<br />
Degene die het grootste getal van twee cijfers heeft<br />
gevormd, heeft gewonnen.<br />
speler A speler B<br />
Bijzondere<br />
getallen<br />
Zet de cijfers 1, 2, 3 en 4 in deze volgorde op de stippen<br />
tussen de cijfers van het getal 6 . 7 . 8 . 9 . 5 en verdubbel<br />
dat getal.<br />
Verdubbel de getallen 1234 en 67895 en zet de cijfers van<br />
het eerste antwoord weer tussen de cijfers van het tweede<br />
antwoord.<br />
Wat valt je op?<br />
16 Volgens Bartjens... Jaargang 24 2004/2005 nr. 1<br />
Zwemmen<br />
of rennen?<br />
Het wereldrecord op de 100 meter schoolslag voor heren<br />
staat op 59,94 seconden.<br />
Wat denk je, zou je aan de rand van het bad rustig met de<br />
zwemmer kunnen meelopen als hij met zijn kampioensrace<br />
bezig is? Of moet je rennen?<br />
Nog meer<br />
spiegels<br />
Probeer nu ook het volgende getal eens te lezen.<br />
Maar pas op!
Kun je goed<br />
rekenen?<br />
Als je denkt dat je goed kunt rekenen, dan moet je eens<br />
proberen om zoveel mogelijk oplossingen te bedenken<br />
voor het volgende probleem.<br />
9 8 7 6 5 4 3 2 1 = 100<br />
Tussen de cijfers mag je een +, een -, een : of een x zetten.<br />
Je mag ook haakjes gebruiken. Hoeveel mogelijkheden kun<br />
je vinden?<br />
Karel, de<br />
snelle teller<br />
Corien: Zeg, Karel, jij bent slim en ze vinden jou een<br />
supersnelle teller, ja toch?<br />
Karel: Ja, en wat wou je daarmee zeggen?<br />
Corien: Ik ga je snelheid op de proef stellen. Antwoord zo<br />
snel mogelijk op mijn drie vragen, wil je?<br />
Karel: Tuurlijk!<br />
Corien: (laat alle vingers van één hand zien)<br />
Hoeveel vingers tel je?<br />
Karel: Vijf<br />
Corien: (Laat alle vingers van beide handen zien)<br />
Hoeveel vingers nu?<br />
Karel: Tien. Wordt het nog moeilijk?<br />
Corien: (duwt beide handen met gespreide vingers bijna<br />
tegen het gezicht van Karel) En hoeveel aan tien handen?<br />
Karel: Honderd.<br />
Corien: Je telt te snel. Ik had je slimmer verwacht.<br />
Wat vind jij?<br />
Een goed…<br />
167 x 3 x 2 x 2<br />
ei<br />
van<br />
De antwoorden en uitkomsten van het Ei van Columbus<br />
vind je op www.volgens-bartjens.nl.<br />
Columbus<br />
Volgens Bartjens... Jaargang 24 2004/2005 nr. 1 17
De bekende<br />
Nederlander in<br />
getallen<br />
Drs.P<br />
Drs. P, pseudoniem voor Heinz Polzer, stopte op de lagere<br />
school met rekenen omdat hij een talenknobbel had.<br />
Pas later ontdekte hij dat rekenen en taal goed samen<br />
kunnen gaan, met name in een vormvast vers of lied.<br />
De school op het Schoolplein<br />
<strong>Van</strong> 1926 tot 1932 bezocht ik de lagere school in Utrecht, die<br />
zeer toepasselijk was gevestigd op het Schoolplein. De school<br />
was heel gangbaar, niet vervallen maar ook niet monumentaal<br />
en ik heb het er wel goed gehad. Ik ben er niet gemaltraiteerd.<br />
Het rekenonderwijs was er heel traditioneel. Gewoon<br />
de tafels van 3, 4 en 5. Ook waren er problemen als: ‘Jan<br />
heeft zeven boeken en die wegen zoveel. Piet heeft drie boeken<br />
en die wegen zoveel? Hoe dik is een boek?’ Of : ‘Jan loopt<br />
13 kilometer, Piet loopt er 18 Hoeveel<br />
seconden komt Jan eerder aan?’ Ik<br />
was daar niet gek op. Het oplossen<br />
kostte me geen moeite,<br />
maar het leverde me geen<br />
inspiratie op. Het enige dat<br />
ik echt leuk vond waren<br />
deelsommen waarbij je een<br />
gigantisch getal had en<br />
daarnaast een ander ook<br />
tamelijk fors getal waarmee<br />
je het eerste getal<br />
deelde. Vooral<br />
in de laatste<br />
fase was dat<br />
spannend<br />
als je nog<br />
maar<br />
18 Volgens Bartjens... Jaargang 24 2004/2005 nr. 1<br />
één keer moest vermenigvuldigen en de som precies moest<br />
uitkomen. Een som die niet uitkwam kwam in die tijd niet<br />
voor. Als je precies het juiste getal vond, voelde je dat je niet<br />
voor niets gerekend had.<br />
Tegenwoordig mag de zakrekenmachine in de rekenles<br />
gebruikt worden. Ik vind dit zeer verwerpelijk. In winkels zie<br />
je al dat ze op een machientje moeten nagaan wat ze terug<br />
moeten geven. Het is een armzalig gezicht. Het kunnen hoofdrekenen<br />
is een verworvenheid die wij moeten behouden.<br />
Tijdens mijn verblijf van zes jaar in Indonesië vond ik het<br />
gebruik van de abacus prachtig om te zien. Men kon er<br />
razendsnel mee overweg. Ik gebruik nooit een rekenmachine,<br />
ik reken uit mijn hoofd of op papier.<br />
Talent voor taal<br />
In de laatste klassen van de lagere school constateerde men<br />
bij mij een merkbaar talent voor taal. De opvatting was toen:<br />
een talenknobbel kan niet samengaan met een reken- of wiskundeknobbel.<br />
Men leerde mij dat deze knobbels doodsvijanden<br />
van elkaar waren. Wie bij de talen thuis hoorde, was<br />
afkerig van wiskunde en ik nam dit standpunt over. Op de<br />
middelbare school was het voor mij echt een ontdekking dat<br />
wiskunde ook een bepaalde charme had. Niet zozeer bij algebra,<br />
maar vooral bij meetkunde. Als je in een driehoek het<br />
snijpunt tekent van middellijnen, loodlijnen en zwaartelijnen<br />
dan blijken die drie punten op één lijn te liggen. Dat vind ik<br />
zo mooi dat hoef ik niet te bewijzen, dat is magie. Het is<br />
moeilijk onder woorden te brengen, het is een romantisch<br />
gevoel. De abstracte wereld kreeg door dit soort zaken voor<br />
mij een heel eigen bekoring.<br />
Wiskundeleraar Schreck<br />
De liefde voor de wiskunde is sterk begeesterd door een<br />
leraar op de middelbare school, een manspersoon genaamd<br />
Schreck. Een angstaanjagende naam, maar een zeer vriendelijke<br />
man. Hij kon het vak ‘verkopen’. Hij liet de leerlingen<br />
merken dat wiskunde oppervlakkig gezien dor lijkt, maar dat<br />
het als je ermee bezig gaat verdomd leuk is. Als je bij wiskunde<br />
ergens achterkomt heb je ook echt iets tot stand gebracht.<br />
De heer Schreck had behagen in zijn vak. Hij praatte er met<br />
liefde over en dat had effect op de klas. Voor een wiskundeleraar<br />
is dat knap, een geschiedenisleraar heeft het makkelijker.<br />
Die heeft iets tastbaars; rampen, krijgsgewoel, maar een wis-
kundeleraar moet de klas winnen met alleen maar cijfers en<br />
formules. Dat is geen geringe opgave. Bij scheikunde is dit bij<br />
mij niet gelukt. De proeven met stank en knallen bevielen<br />
wel, maar de formules waren vervelend. Dat is voor mij een<br />
weinig aantrekkelijke vorm van wiskunde.<br />
Wiskunde en vormvaste verzen<br />
In het dagelijks leven gebruik ik niet veel wiskunde. Niet<br />
bewust tenminste. Wel zie ik een duidelijke wiskundige kant<br />
bij het schrijven van vormvaste teksten. Dat uit zich in het<br />
metrum, maar ook in het rijm. Bij vormvaste teksten geeft<br />
een wiskundige structuur van metrum en rijm meer spanning.<br />
Zo heeft het Perzisch kwatrijn, een vierregelig vers met<br />
als rijmschema aaba, een spannend dynamisch evenwicht.<br />
De tekst rammelt niet en valt niet om. Abab als rijmschema<br />
is te kinderlijk en verzen die niet rijmen…, laten we het daar<br />
niet over hebben.<br />
Bij het sonnet gebruikt men al jaren abab abab cde cde als<br />
rijmschema, een beschamend simpele logische gestalte, die<br />
erg sjokkerig is. Veel beter is het door mij ontworpen<br />
Zwitserse sonnet met als rijmschema aaba bbab cde edc. In<br />
het eerste deel zitten twee Perzische kwatrijnen die elkaars<br />
spiegelbeeld zijn, net als het rijm in het tweede deel. Het<br />
evenwicht en het terugkeren van rijm geven een levendigheid,<br />
die ontbreekt bij een stereotiep rijmschema.<br />
Met de euro heb ik qua rekenen niet veel moeite. Ik neem<br />
gewoon 2,2, want zo precies komt het er vaak niet op aan.<br />
Wel denk ik met weemoed terug aan de guldens, rijksdaal-<br />
ders, kwartjes, stuivers en centen. Ze waren veel makkelijker<br />
te onderscheiden. Ze roepen het verleden op en ze zijn gezelliger.<br />
Ik denk ook met plezier terug aan de vierkanten stuivers.<br />
Je herkende ze onmiddellijk en kon ze niet verwarren<br />
met andere munten. Munten met een gat zoals men in<br />
Estland heeft, zijn ook heel goed.<br />
Zonder wiskunde geen beschaving<br />
Mijn favoriete getallen zijn acht en veelvouden van acht. Die<br />
spreken me meer aan dan bijvoorbeeld priemgetallen.<br />
Negenvouden zijn leuk omdat je zo makkelijk uit kan rekenen<br />
of het getal wel of niet deelbaar is door negen. Als je alle<br />
cijfers van het getal bij elkaar optelt, krijg je een getal dat ook<br />
deelbaar is door negen, zoiets vind ik fantastisch. Ik hoef niet<br />
te weten hoe dat zit, ik ben tevreden met het feit dat het zo<br />
is.<br />
Wiskunde is een interessant en nuttig gebied. Ik heb<br />
samen met Marjolein Kool een gedichtenbundel ‘Wis-en<br />
natuurlyriek’ samengesteld om deze boodschap uit te dragen.<br />
Met berijmde teksten gaat dat beter dan met een droog<br />
en ingewikkeld betoog en gezien de gunstige reacties en verkoopcijfers<br />
klopt dit. Taal is onontbeerlijk voor het formuleren<br />
van je gedachten, maar wie de wiskunde niet kan toepassen<br />
kan geen huis bouwen en geen voertuig construeren.<br />
Zonder wiskunde is er geen beschaving.<br />
Harrie Sormani<br />
Drs.P in getallen<br />
Leeftijd 84 jaar<br />
Gewicht Dat heb ik nooit bijgehouden<br />
Schoenmaat 42<br />
Tijd nodig voor het Dat is slechts bij benadering aan te geven, sommige onderwerpen zijn<br />
schrijven van een veeleisend, sommige onderwerpen gaan vlot. Zo maak ik nu teksten<br />
vormvast vers op dezelfde wijze als de Franse schrijver Alphonse Allais. Deze man<br />
schreef stukjes voor een tijdschrift die altijd even lang moesten zijn. Hij<br />
zorgde hiervoor door de tekst op het eind altijd aan te vullen met de<br />
regel: ‘Ha, ha, ha’ lachte de barones, ‘ha, ha, ha, ha…’ Dat schrijf ik nu<br />
ook en in deze vorm maak ik snel een paar verzen op een dag, maar<br />
soms is het moeilijker. Maar langer dan een aantal middagen blijf ik<br />
niet op een tekst sabbelen.<br />
Aantal regels favoriete vers Mijn favoriete versvorm is het onzijn. Het heeft elf regels met als<br />
rijmschema abcbcdcdaee.<br />
Aantal leden van de band In de oorspronkelijke bezetting acht, maar in het lied dat ik<br />
‘Los Pommodores’ opgenomen heb, speelt alleen de congaspeler.<br />
Aantal pagina’s In Nederland is het ‘Kees de Jongen’ en dat is ongeveer 250 bladfavoriete<br />
boek zijden. De auteur is Theo Thijssen. Hij schreef niet om de dingen<br />
mooier te maken, maar heel recht op en neer over wat Kees dacht en<br />
uitvoerde. Dat boekje blijft boeien.<br />
Lengte van de Dodenrit Iets meer dan honderd werst. In ieder geval was Omsk een mooie<br />
stad, maar net iets te ver weg.<br />
Aantal mensen op de Ik had bij het schrijven geen concrete veerpont op het oog, maar ik<br />
veerpont schat dat op een gemiddelde veerpont toch 80 tot 90 mensen gaan.<br />
Als er meer op staan moet de veerman net als in het lied roepen: ‘De<br />
boot is vol, de boot is vol!!’<br />
Volgens Bartjens... Jaargang 24 2004/2005 nr. 1 19