Het Stomachion - KNAW Onderwijsprijs
Het Stomachion - KNAW Onderwijsprijs
Het Stomachion - KNAW Onderwijsprijs
You also want an ePaper? Increase the reach of your titles
YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.
<strong>Het</strong> <strong>Stomachion</strong><br />
Raadsel van de puzzel<br />
What marvel of antiquity be this,<br />
This fabled square of 14 parts comprised?<br />
The legends credit Archimedes' wit<br />
With clever cuts that render every tile<br />
An integer. All sum to twelve by twelve.<br />
Solve 18 figures lore has handed down,<br />
Like unto tangrams of a later time,<br />
And many new designs discovered since.<br />
Behold the oldest puzzle ever told,<br />
Our heritage of mind, millennia old.<br />
Now scholars scramble to decode, with zest,<br />
Archimedes much-‐prized Palimpsest,<br />
A scroll long lost, inscribed by his own hands,<br />
A rarest find from Greek and Latin lands.<br />
Uit catalogus van Kadon Enterprises<br />
Emma Huig V6A<br />
Oktober 2012 – Maart 2013<br />
Meneer R. Deinema<br />
Meneer P. de Lange
Inhoudsopgave<br />
Voorwoord 3<br />
Inleiding 4<br />
<strong>Het</strong> <strong>Stomachion</strong> 10<br />
Griekse tekst en Nederlandse vertaling 11<br />
Discussie over de tekst 17<br />
Combinatoriek 21<br />
Conclusie 28<br />
Bronvermelding 29<br />
Bijlagen 30<br />
2
Voorwoord<br />
Als leerling in 6 VWO is het een vereiste om een profielwerkstuk te schrijven. <strong>Het</strong> is dan<br />
aan de leerling zelf om een vak, een onderwerp en een onderzoek te kiezen. Dat vond ik<br />
nog niet zo makkelijk. Ik ben toen bij mezelf nagegaan: welk vak doe ik puur en alleen<br />
omdat ik het leuk vind en waar wil ik tachtig uur mee bezig zijn? Die vraag reduceerde<br />
mijn opties tot Grieks en nog enkele vakken. Ik bedacht me dat ik door een<br />
profielwerkstuk te maken over een Griekse wetenschapper wellicht een leuke<br />
combinatie kon maken van Grieks, een vak dat ik gewoon leuk vind, en een bètavak, een<br />
van mijn profielvakken, om er toch een profielwerkstuk van te maken.<br />
Een Griekse wetenschapper dus. Ik had alleen nog geen idee van wat en hoe. Ik ben toen<br />
naar meneer Deinema (klassieke talen) gegaan en heb hem mijn probleem voorgelegd.<br />
Op het moment zelf had hij ook nog geen idee, maar kort daarop kwam hij naar me toe<br />
met een onderwerp waarover hij recent een boek gelezen had: De Archimedes<br />
Palimpsest.<br />
Na me een beetje verdiept te hebben in dit onderwerp was ik erg enthousiast geworden.<br />
Vooral de puzzel het <strong>Stomachion</strong> sprak me erg aan, omdat het een wiskundige figuur<br />
betreft waar ik wellicht iets mee zou kunnen doen. Meneer De Lange (wiskunde) wilde<br />
me graag begeleiden bij het wiskundige deel. Op die manier ben ik uiteindelijk bij dit<br />
onderwerp gekomen.<br />
In dit profielwerkstuk zal ik de tekst van het <strong>Stomachion</strong> vertalen, zal ik een<br />
beschouwing geven van de al bekende gegevens en literatuur over het <strong>Stomachion</strong> en<br />
zal ik zo veel als mogelijk de wiskunde achter de puzzel behandelen. Dit zal veel te<br />
maken hebben met meetkunde en combinatoriek. Mijn belangrijkste vraag die ik mezelf<br />
in dit werkstuk stel is: ‘wat zegt Archimedes nou echt?’. Door eerst de vertaling te maken<br />
en daarna de wiskunde achter het <strong>Stomachion</strong> te beschouwen zal ik een conclusie<br />
trekken over wat Archimedes bedoelt en wat er misschien geïnterpreteerd is in de al<br />
bekende literatuur over het <strong>Stomachion</strong>.<br />
Tenslotte mijn dank aan meneer Deinema voor zijn adviezen en enthousiaste<br />
begeleiding bij dit werkstuk en aan meneer de Lange die bereid was mij te helpen bij het<br />
wiskundige deel.<br />
3
Inleiding<br />
Een unieke puzzel<br />
Dit profielwerkstuk behandelt het <strong>Stomachion</strong> van Archimedes uit de Archimedes<br />
Palimpsest. <strong>Het</strong> <strong>Stomachion</strong> is de oudst bekende puzzel ter wereld, ruim 2000 jaar oud.<br />
In 1906 dook de Archimedes Palimpsest na lang verdwenen te zijn weer op, maar het<br />
was pas in het jaar 1998 dat er een uitgebreid onderzoek naar begonnen werd door het<br />
Walters Art Museum in Baltimore, Maryland met als belangrijkste doel het achterhalen<br />
van de onleesbare Griekse teksten. Doordat bij dit laatste gebruik wordt gemaakt van de<br />
modernste stralingstechnieken zijn de volledige Griekse teksten pas sinds kortgeleden<br />
zichtbaar gemaakt. Er zijn dan ook nog geen vertalingen van deze gereconstrueerde<br />
teksten uitgegeven. <strong>Het</strong> team van het Walters Art Museum is op dit moment bezig met<br />
de eerste Engelse vertaling en ik presenteer in dit werkstuk de eerste Nederlandse<br />
vertaling.<br />
Archimedes van Syracuse<br />
Archimedes is een van de belangrijkste wetenschappers uit de klassieke oudheid. Over<br />
zijn leven is vrij weinig met zekerheid bekend. Hij zou geboren zijn in 287 v. Chr. In<br />
Syracuse, Sicilië, maar ook dit is zeer onzeker. Hij studeerde wiskunde in Alexandrië,<br />
Egypte waar hij les kreeg van leerlingen van Euclides. Na zijn studie keerde hij terug<br />
naar Syracuse, waar hij zijn onderzoeken op het gebied van wiskunde en fysica<br />
voortzette.<br />
Archimedes is gedood in 212 v. Chr. bij de inname van Syracuse door de Romeinen. <strong>Het</strong><br />
verhaal gaat dat een soldaat zijn huis binnendrong waar Archimedes bezig was met een<br />
wiskundig probleem. Hierbij had hij cirkels getekend in een zandbak. De soldaat rende<br />
door deze zandbak heen, waarop Archimedes riep: ‘ Verstoor mijn cirkels niet!’ Hierop<br />
doodde de soldaat Archimedes met zijn zwaard.<br />
De Romeinse bevelvoerder Marcus Marcellus was een groot bewonderaar van<br />
Archimedes en had opdracht gegeven hem levend naar Rome te brengen. In plaats<br />
daarvan werden al zijn geschriften en modellen naar Rome gebracht.<br />
Veel van de werken van Archimedes worden tegenwoordig nog steeds gebruikt. Hier<br />
volgen enkelen van zijn ontdekkingen.<br />
Natuurkunde<br />
De Wet van Archimedes – ‘Een geheel of gedeeltelijk in een vloeistof gedompeld lichaam<br />
ondervindt een opwaartse kracht die gelijk is aan het gewicht van de verplaatste vloeistof.’<br />
Volgens de overleveringen had Archimedes de opdracht gekregen te onderzoeken of de<br />
gouden kroon van Hiero II wel van puur goud was. Hij zou in bad het theoretisch bewijs<br />
bedacht hebben, waarna hij naakt uit bad sprong en riep: ‘Eureka!’ (‘ευρηκα!’ = ‘Ik heb<br />
het gevonden!’). De kroon bleek vervalst en gedeeltelijk van zilver te zijn.<br />
Hefboomwet – arm*gewicht = constant. Zijn bekend kreet luidt: ‘Geef mij een steunpunt<br />
en ik til de aarde op’ (‘δοσ µοι που στω και κινω την γην’). Deze natuurkundige<br />
ontdekking leidde tot vele toepassingen in de techniek zoals de katapult.<br />
4
Techniek<br />
De Schroef van Archimedes – Hiermee kunnen vloeistoffen en poeders getransporteerd<br />
worden. <strong>Het</strong> transport vindt zowel omhoog als horizontaal plaats.<br />
Afbeelding 1: de Schroef van Archimedes<br />
Zonnespiegel – <strong>Het</strong> verhaal gaat dat Archimedes door middel van zeer grote spiegels en<br />
de reflectie van de zon vijandelijke schepen verbrand zou hebben. Dit experiment is in<br />
de afgelopen jaren meerdere malen herhaald en de conclusie was dat het theoretisch<br />
mogelijk is, maar in de praktijk niet haalbaar.<br />
Wiskunde<br />
Goede benadering van π -‐ 223/71 < π < 22/7 à π is ongeveer 3,1415.<br />
Bepaling van oppervlakten en volumes van diverse meetkundige figuren – hiertoe<br />
gebruikte hij een voorloper van integraalrekening, die uitgevonden zou zijn door<br />
Eudoxus van Cnidus.<br />
Axioma van Archimedes: Als a < b, dan bestaat er een natuurlijk getal n zodat a*n > b.<br />
<strong>Het</strong> Zandgetal – Toen Archimedes de omvang van het heelal probeerde te beschrijven,<br />
stuitte hij op zeer grote getallen. Om het werken met deze getallen makkelijker te maken<br />
bedacht hij een systeem om zeer grote getallen korter op te schrijven. Hij gaf<br />
verschillende zeer grote getallen namen, bijvoorbeeld 10.000 = myrias (μυριάς). Voor<br />
het aantal zandkorrels dat in het heelal zou passen vond hij: 8 vigintillion, ofwel 8*10 63 .<br />
Net als vrijwel alle wetenschappers bevond Archimedes zich in een wetenschappelijk<br />
circuit. Na zijn studie in Alexandrië bleef hij corresponderen met wetenschappers aldaar<br />
en rest van de antieke wereld. <strong>Het</strong> is waarschijnlijk dat veel van zijn ontdekkingen niet<br />
enkel en alleen door hem zelf zijn gedaan, maar dat het uitgewerkte versies zijn van<br />
ontdekkingen van anderen. Dit is gebruikelijk in de wetenschap en vindt heden ten dage<br />
ook plaats.<br />
5
Geschriften<br />
Archimedes schreef de resultaten van zijn onderzoeken op in monografieën. Geen enkel<br />
overgeleverd geschrift is echter van de hand van Archimedes zelf. Vaak zijn het<br />
onvolledige vertalingen of bewerkingen.<br />
-‐ <strong>Het</strong> evenwicht in het platte vlak<br />
-‐ Drijvende lichamen<br />
-‐ Methode<br />
-‐ Spiralen<br />
-‐ Bol en cilinder<br />
-‐ Cirkelmeting<br />
-‐ <strong>Stomachion</strong><br />
-‐ Over conoïden en spheroïden<br />
-‐ Kwadratuur van de parabool<br />
-‐ Rundvee-‐probleem<br />
-‐ Zandrekenaar<br />
Waarschijnlijk waren er oorspronkelijk nog veel meer geschriften van Archimedes, maar<br />
die zijn verloren gegaan. Dit weten we omdat er in geschriften van andere<br />
wetenschappers aan gerefereerd wordt.<br />
De Archimedes Palimpsest<br />
Een palimpsest is een hergebruikt stuk perkament (bewerkte dierenhuid) waarvan de<br />
oorspronkelijke tekst onleesbaar is gemaakt. <strong>Het</strong> woord komt van de Griekse woorden<br />
παλιν (wederom) en ψηστοσ (vervoeging van ψαω: ik wrijf).<br />
In de Archimedes Palimpsest staan enkele ‘verborgen teksten’ van Archimedes. De<br />
stukken perkament zijn in de dertiende eeuw hergebruikt om een gebedenboek van te<br />
maken. Alleen met de modernste chemische technieken zijn deze teksten nog zichtbaar<br />
te maken. Hier volgt een chronologisch overzicht van de Archimedes Palimpsest<br />
(bronnen 5 en 17).<br />
Ca. 287 – 212 v. Chr. – Archimedes schrijft zijn monografieën op papyrusrollen.<br />
212 v. Chr. – 1000 n. Chr. – De originele geschriften van Archimedes zijn verloren<br />
gegaan, maar onbekende personen hebben ze enkele malen overgeschreven op andere<br />
papyrusrollen.<br />
Ca. 1000 – Een onbekende schrijver in Constantinopel (het huidige Istanbul) kopieert de<br />
geschriften met bijbehorende figuren en berekeningen op perkament, en voegt ze samen<br />
tot een boek.<br />
Ca. 1200 – Een christelijke monnik schrijft in het Grieks gebeden over de geschriften van<br />
Archimedes heen en maakt er een gebedenboek van.<br />
Ca. 1200 -‐1906 – Eeuwenlang wordt het boek gebruikt door de christelijke kerk en<br />
uiteindelijk komt het terecht in het Mar Saba klooster in Constantinopel, waar het<br />
verscheidene rampen overleeft, waaronder de Vierde Kruistocht in 1204, waarbij<br />
Constantinopel is geplunderd.<br />
1906 – De Deense filoloog (tak van taalkunde die zich richt op dode talen) Johan Ludvig<br />
Heiberg ontdekt het manuscript in de bibliotheek van de Heilige Grafkerk in Istanbul. Hij<br />
herkent de onderliggende laag tekst als geschriften van Archimedes en fotografeert<br />
iedere bladzijde. Hiervan vertaalt hij wat hij kan lezen met als enige hulpmiddel een<br />
vergrootglas.<br />
6
1907 – 1930 – De Palimpsest raakt zoek en is waarschijnlijk gestolen. In deze tijd<br />
schildert een vervalser met bladgoud kopieën van middeleeuwse portretten van de<br />
evangelisten op vier bladzijden van het boek, zich niet realiserend dat er geschriften van<br />
Archimedes onder zitten.<br />
Ca. 1930 – Een Franse verzamelaar Marie Louis Sirieix reist naar Istanbul waar hij de<br />
Palimpsest van een plaatselijke handelaar verkrijgt. <strong>Het</strong> manuscript blijft vervolgens<br />
tientallen jaren verborgen in Paris.<br />
Ca. 1970 – Erfgename Anne Guersan onderneemt stappen om de Palimpsest te<br />
restaureren. De hiervoor gebruikte poly(vinyl)acetaat-‐lijm (PVAC) heeft het manuscript<br />
echter, in plaats van het te verbeteren, geen goed gedaan en heeft de problemen voor de<br />
latere ontcijferaars alleen maar vergroot.<br />
1971 – Nigel Wilson, een professor klassieke talen in Oxford, herkent een stuk<br />
perkament als een bladzijde van de vermiste Archimedes Palimpsest, die Heiberg 65<br />
jaar eerder gefotografeerd heeft.<br />
1991 – De Franse eigenaren van de Archimedes Palimpsest vragen een expert bij het<br />
kunstveiling huis Christie’s in Parijs om een taxatie van het manuscript. De taxateur<br />
ontdekt dat dit het verloren Palimpsest van Archimedes is en schat het op een waarde<br />
tussen $ 800.000 en $ 1,2 miljoen.<br />
1998 – <strong>Het</strong> manuscript wordt geveild bij Christie’s voor $ 2 miljoen aan een onbekende<br />
particulier. De andere gegadigde, de Griekse staat, vist achter het net.<br />
1998 – heden – De onbekende eigenaar leent het manuscript aan het Walters Art<br />
Museum in Baltimore, Maryland, waar een compleet team werkt aan het achterhalen en<br />
vertalen van de teksten.<br />
<strong>Het</strong> originele document<br />
De kopiist uit de tiende eeuw was schrijver van beroep en gewend aan het overschrijven<br />
van oude teksten. Bij het overschrijven van de monografieën van Archimedes, die onder<br />
andere een brief aan Eratosthenes bevatte, hield hij zich aan een strak schema: elk folio<br />
was ongeveer 30 bij 19,5 cm; hij schreef de tekst in twee kolommen, elke kolom 35<br />
regels lang. Ook gebruikte hij ruime marges, dus waren de kolommen in totaal 24 cm<br />
hoog en 14,5 cm breed.<br />
Mogelijk heeft deze kopiist, waarvan wij nu het werk overgeleverd gekregen hebben,<br />
een ander document uit de zesde eeuw overgeschreven, maar dit is zeer onzeker. Wat<br />
ook onduidelijk is, is of dit tiende-‐eeuwse manuscript oorspronkelijk meer teksten van<br />
Archimedes bevatte.<br />
<strong>Het</strong> huidige manuscript bevat de volgende teksten van Archimedes.<br />
1. Evenwicht in het platte vlak (alleen het laatste deel)<br />
2. Drijvende lichamen<br />
3. Methode<br />
4. Spiralen<br />
5. Bol en cilinder<br />
6. Cirkelmeting<br />
7. <strong>Stomachion</strong> (alleen het begin)<br />
<strong>Het</strong> maken van een palimpsest<br />
Bij het ‘hergebruiken’ van Archimedes’ geschriften is de kopiist uit de dertiende eeuw<br />
volgens een standaard schema te werk gegaan. Eerst heeft hij de folio’s van elkaar<br />
losgemaakt door de stiksels door te snijden. Daarna volgde het onleesbaar maken van de<br />
teksten. Dit is waarschijnlijk gebeurd door middel van een zuur mengsel. In de<br />
7
Archimedes Codex wordt genoemd dat dit zelfs met sinaasappelsap en een spons<br />
mogelijk is. De geschriften van Archimedes zijn waarschijnlijk ook nog afgeschuurd met<br />
puimsteen.<br />
Wat een kopiist daarna deed was een folio langs de vouwlijn in tweeën snijden. Gelukkig<br />
heeft hij ze verder niet bijgesneden, zodat er geen inktsporen van de geschriften van<br />
Archimedes verdwenen zijn. Vervolgens draaide hij de ‘halve folio’s’, vouwde ze in het<br />
midden en maakte er zo een ‘nieuw’ boek van (afbeelding 2). Als gevolg hiervan staan de<br />
gebeden onder een hoek van 90˚ met de tekst van Archimedes (zie ook bijlage 1).<br />
Afbeelding 2: hoe een palimpsest gemaakt wordt<br />
<strong>Het</strong> achterhalen van de verborgen teksten<br />
<strong>Het</strong> manuscript heeft in de loop van de eeuwen veel te lijden gehad. <strong>Het</strong> is aangetast<br />
door schimmel, vuur en vocht. Bovendien hebben allerlei kopiisten, vervalsers en<br />
‘restaurateurs’ hun steentje bijgedragen aan het verknoeien van dit eeuwenoude<br />
geschrift. <strong>Het</strong> mag dus een wonder heten dat we überhaupt nog iets over hebben van de<br />
Archimedes Palimpsest!<br />
Abigail Quandt is hoofd van het Walters-‐laboratorium voor boek-‐ en papierconservering<br />
en heeft een belangrijke rol gespeeld bij het achterhalen van de teksten van Archimedes.<br />
Ze ontdekte dat het document er extreem slecht aan toe was door voornamelijk de<br />
inwerking van schimmel op het perkament, maar ook door het gebruik van PVAC omdat<br />
dit uitzet als het in contact komt met water en alcohol en als het eenmaal is opgedroogd<br />
is het onmogelijk het weer op te lossen. <strong>Het</strong> grote probleem was dat voornamelijk de rug<br />
van het manuscript behandeld was met PVAC, terwijl juist dat de stukken waren die<br />
door Heiberg niet gelezen konden worden.<br />
Abigail is in staat gebleken de folio’s van elkaar los te halen zonder al te veel<br />
beschadigingen aan te richten. Ze bestreek het perkament bij de rug van het boek met<br />
een mengsel van isopropanol en water waardoor het soepel werd en de folio’s<br />
losgehaald en gladgestreken konden worden.<br />
8
Nu volgde het zichtbaar maken van de tekst door middel van lichttechnieken (zie bron<br />
18). Hiervoor werd eerst ultraviolette straling gebruikt, maar later ook röntgenstraling.<br />
Hiervoor werd geen gewone röntgenstraling gebruikt, maar synchrotronstraling die<br />
wordt geproduceerd door een synchrotron (zie bron 19) en die veel krachtiger straling<br />
uitzendt dan gewone röntgenstraling. Een synchrotron is een soort deeltjesversneller.<br />
<strong>Het</strong> probleem met deze straling is dat het perkament mogelijk kan beschadigen.<br />
Hiermee zijn door het Canadian Conservation Institute proeven uitgevoerd om te zien<br />
hoe het perkament reageert op blootstelling aan deze röntgenstraling. Zoals blijkt uit<br />
bron 20 is dit effect te verwaarlozen.<br />
9
<strong>Het</strong> <strong>Stomachion</strong><br />
<strong>Het</strong> <strong>Stomachion</strong> is een geometrische puzzel bestaande uit veertien verschillende<br />
puzzelstukjes. <strong>Het</strong> is met ruim 2000 jaar oud de oudste puzzel die bekend is. Voorheen<br />
werd, aldus Netz en Noel, door Heiberg aangenomen dat het doel van de puzzel was om<br />
zo veel mogelijk figuren met de verschillende stukjes te vormen. <strong>Het</strong> <strong>Stomachion</strong> zou<br />
verwant zijn aan de Chinese tangram: een vergelijkbare puzzel waarmee allerlei figuren<br />
te vormen zijn, bedoeld als spelletje. Andere wetenschappers zoals James Gow in zijn<br />
boek Short History of Greek Mathematics (1884), waren van mening dat het de bedoeling<br />
was de puzzelstukjes op zoveel mogelijk manieren terug in het vierkant te krijgen.<br />
Netz en Noel beschrijven in hun boek (bron 5) dat na de reconstructie van de tekst van<br />
het <strong>Stomachion</strong> in de Archimedes Palimpsest is gebleken dat Archimedes doelde op de<br />
laatste vorm en dat we dus te maken hebben met serieuze combinatoriek en niet zomaar<br />
een spelletje.<br />
De inhoud van het Griekse manuscript bevat de wiskundige uitleg rondom de figuur. Na<br />
de inleiding waarin Archimedes uitleg geeft over het gebruik van het <strong>Stomachion</strong>, volgt<br />
een uiteenlegging van de verschillende puzzelstukken. De tekst is echter verre van<br />
volledig. <strong>Het</strong> grootste deel van de tekst is verloren gegaan. Dit komt doordat het<br />
perkament waar het <strong>Stomachion</strong> op geschreven was aan de achterkant van het<br />
gebedenboek zat. <strong>Het</strong> tweede deel van het <strong>Stomachion</strong> is dus het ernstigst aangetast<br />
door vocht, schimmel en vuur en voorgoed verloren gegaan. De kans is klein dat we ooit<br />
te weten komen wat hierin gestaan heeft.<br />
Behalve de Griekse tekst uit de Archimedes Palimpsest is er ook nog een andere,<br />
Arabische tekst over het <strong>Stomachion</strong> bewaard gebleven die niet oorspronkelijk door<br />
Archimedes geschreven is. Dit manuscript geeft een overzicht van hoe de figuur is<br />
opgebouwd, maar is helaas evenals het Griekse manuscript fragmentarisch. Zie bijlage 3<br />
voor de Engelse vertaling van deze tekst.<br />
10
Griekse tekst en Nederlandse vertaling<br />
Werkwijze bij de vertaling<br />
In dit hoofdstuk zal ik beschrijven hoe ik te werk ben gegaan en welke moeilijkheden ik<br />
ben tegengekomen tijdens het vertalen van het <strong>Stomachion</strong>.<br />
De eerste stap was het vinden van de Griekse tekst. Dit leverde direct al een probleem<br />
op, de tekst bleek op het internet moeilijk vindbaar. Er waren wel meerdere versies van<br />
de tekst van Heiberg (bron 1) te vinden . Uiteindelijk vond ik de aangevulde tekst van<br />
het <strong>Stomachion</strong> (bron 2), alleen was de vraag of dit de juiste tekst was. Ondertussen<br />
kreeg ik van meneer Deinema de tip over de wetenschappelijke uitgave van The<br />
Archimedes Palimpsest (bron 3). Dit boek kon ik vinden in de bibliotheek van de<br />
Universiteit van Amsterdam. Ik mocht het helaas niet mee naar huis nemen, maar ik<br />
moest de tekst kopiëren. Toch was ik allang blij dat ik nu eindelijk de goede tekst te<br />
pakken had.<br />
Zodra ik begon met vertalen merkte ik dat het een lastige klus zou gaan worden en dat<br />
het me zonder een andere vertaling niet ging lukken. Ik ging op zoek naar deze vertaling.<br />
Ik vond een e-‐mailadres van William Noel op de site van de Archimedes Palimpsest<br />
(bron 4) en ik besloot hem te mailen. Ik kreeg zowaar antwoord! Hij verwees me door<br />
naar Reviel Netz. Deze heeft echter geen antwoord gegeven, waarschijnlijk omdat van de<br />
gerestaureerde tekst de volledige Engelse vertaling nog niet gepubliceerd was en ze hem<br />
niet zo maar wilden afstaan aan een willekeurige Amsterdamse scholiere. Dat werd dus<br />
helaas een dood eind.<br />
Een deel van de inleiding stond in The Archimedes Codex van William Noel en Reviel Netz<br />
(bron 5), maar dat was slechts een alinea. Ik moest het dus doen met de vertalingen van<br />
de tekst van Heiberg. Deze bleken ook al niet zo makkelijk te vinden. Uiteindelijk vond ik<br />
in de UB van de UvA een Frans boek Archimède van Charles Mugler (bron 6)met daarin<br />
de Franse vertaling van de Heibergtekst. Omdat mijn Frans niet goed genoeg is bood<br />
mijn moeder aan deze Franse tekst naar het Nederlands te vertalen, wat ik graag<br />
aanvaardde.<br />
Nu had ik een Griekse tekst en een fragmentarische vertaling.<br />
Met behulp van mijn Grieks-‐Nederlands woordenboek van Charles Hupperts (bron 7),<br />
het Beknopt Grieks-‐Nederlands woordenboek van Muller en Thiel (bron 8) en De Kleine<br />
Griekse grammatica van Nuchelmans (bron 9) ging ik aan de slag met de vertaling. Dit<br />
ging niet erg soepel, maar het ging tenminste, totdat ik stuitte op een aantal aan mij<br />
vreemde woorden en werkwoordsvormen. Hierbij heb ik hulp gekregen van meneer<br />
Deinema en zijn boeken (bronnen 10+11). Een vreemde uitgang op –θω bleek de<br />
uitgang voor de 3 de persoon enkelvoud imperativus te zijn, een vorm die in de<br />
gebruikelijke Griekse literatuur niet voor komt. Ik heb deze vorm vertaald als een<br />
stellingvorm, wat in de wiskunde veel gebruikt wordt, zoals ‘gegeven:…’, of ‘er moet<br />
zijn:…’.<br />
Van enkele tekstelementen is het mij niet gelukt een goede vertaling te maken. Oorzaken<br />
hiervan zijn het simpelweg ontbreken van tekstelementen (r. 67 t/m 71) of de<br />
complexiteit van een zin. <strong>Het</strong> is natuurlijk altijd de vraag of alle tekstelementen correct<br />
zijn afgelezen van het voorheen onleesbare manuscript. Van de passage van r. 21 t/m 24<br />
ben ik er niet zeker van dat alle woorden kloppen. Een fatsoenlijke vertaling is er van<br />
deze zin dan ook niet te formuleren.<br />
11
Notities bij de Griekse tekst<br />
-‐ De blauw gekleurde tekstfragmenten geven de verschillen met de tekst van<br />
Heiberg aan. Deze kunnen in zijn tekst ontbreken of anders zijn.<br />
-‐ In r. 67 t/m 71 is de tekst fragmentarisch. Hier bevinden zich delen van de tekst<br />
die (nog) niet leesbaar gemaakt konden worden.<br />
-‐ Ten behoeve van de leesbaarheid van de tekst heb ik alle haakjes die in de<br />
originele Griekse tekst stonden (zie bron 3) weggehaald. De originele tekst heb ik<br />
bijgevoegd in bijlage 1.<br />
-‐ <strong>Het</strong> rood gekleurde tekstfragment XB in r. 55 is een fragment waar ik aan twijfel<br />
of het wel correct is. Hierover meer in het hoofdstuk De tekst in detail.<br />
12
5<br />
10<br />
15<br />
20<br />
25<br />
Griekse tekst en vertaling<br />
Τοῦ λεγοµένου στοµαχίου ποικίλαν<br />
ἔχοντος τα ἐξ ὧν συνέστακε<br />
σχηµάτων µεταθέσεως θεωρίαν<br />
ἀναγκαῖον ἡγησάµην πράον πράττον<br />
του ὅλου σχάµατος µέγεθος θεωρῶν<br />
ἐκθέσθαι, εἴς τε ἃ διαιρεῖται,<br />
ἕκαστόν τε αὐτῶν τίνι ἐστὶ ἴσον καὶ<br />
ὁµοιον, ἔτι δὲ καὶ ποῖαι γωνίαι<br />
συνοδοιο λαµβανόµεναι καὶ καθ’ ἃς<br />
εἴρηται πρὸς τὸ τὰς ἐναρµόσεις τῶν<br />
ἐξ αὐτῶν γεννωµένων σχαµάτων<br />
γιγνώσκεσθαι , εἴτε ἐπ’ εὐθείας εἰσὶν<br />
αἱ γεννώµεναι ἐν τοῖς σχάµασι<br />
πλευραί, εἴτε καὶ µικρῶς λιποῦσαι<br />
τᾶι θεωρίαι λανθάνουσιν· τὰ γὰρ<br />
τοιαῦτα φιλότεχνα· καὶ ἐὰν<br />
ἐλάχιστον µὲν λίπηται, τᾶ δὲ θεωρίαι<br />
λανθάνηι, οὐ παρὰ τοῦτ’ ἐστὶν<br />
ἔκβλητα ἃ συνίσταται. ἔστι µὲν οὖν<br />
ἐξ αὐτῶν οὐκ ὀλίγων σχαµάτων<br />
πλῆθος διὰ τὸ εισχεν αυτος εἶναι εἰς<br />
ἕτερον τόπου τοῦ ἴσου καὶ<br />
ἰσογωνίου σχάµατος µετατιθεµένου<br />
καὶ ἑτέραν θέσιν λαµβάνοντος.<br />
Omdat het genoemde <strong>Stomachion</strong> een<br />
ingewikkelde beschouwing met zich<br />
meebrengt van de verplaatsing van de<br />
vormen waaruit deze is samengesteld,<br />
meende ik (het) noodzakelijk om, terwijl<br />
ik de omvang van de beschouwingen van<br />
de gehele vorm onderzoek, ook (de<br />
delen) waarin hij verdeeld is uiteen te<br />
zetten, en ieder van hen waaraan hij<br />
gelijkvormig en identiek is, en<br />
bovendien worden de hoeken bekend in<br />
welke samenstellingen ze aan elkaar<br />
vastgemaakt worden om de schikking<br />
van deze (vormen) te weten, hetzij dat<br />
de zijden die zichtbaar worden aan de<br />
vormen recht (zijn), hetzij dat ze een<br />
beetje afwijken van de beschouwing<br />
zonder dat iemand het merkt: want<br />
dergelijke dingen zijn kunstig: en als hij<br />
een klein beetje afwijkt, zonder dat het<br />
wordt opgemerkt door de<br />
beschouwingen, kan dat wat gevormd is<br />
niet meer worden afgekeurd. <strong>Het</strong> is dus<br />
mogelijk dat daaruit een niet gering<br />
aantal vormen wordt gevormd door<br />
naar een andere plaats van een gelijke<br />
en identieke vorm te verplaatsen en een<br />
andere rangschikking te nemen.<br />
13
30<br />
35<br />
40<br />
45<br />
ὅτε δὲ καὶ δύο σχήµατα συνάµφω ἑνὶ<br />
σχήµατι ἴσων ὄντων καὶ ὁµοίων τῶι<br />
ἑνὶ σχήµατι ἢ καὶ δύο σχηµάτων<br />
συνάµφω ἴσων τε καὶ ὅµοιον ὄντων<br />
δυσὶ σχήµασι συνάµφω πλείονα<br />
σχήµατα συνίσταται ἐκτὸς<br />
µεταθέσεως. προγραφόµενον οὖν τι<br />
θεώρηµα εἰς αὐτὸ συντεῖνον.<br />
ἔστω γὰρ παραλληλόγραµµον<br />
ὀρθογώνιον τὸ ΖΓ, καὶ δεδικάσθω ἡ<br />
ΕΖ τῶι Κ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν ἀπὸ<br />
τῶν ΓΕ αἱ ΓΚ ΒΕ δεικτέον µείζων<br />
ἐστὶν ἡ ΓΒ τῆς ΒΗ ἐκβεβλήσθωσαν<br />
αἱ ΓΚ ΒΖ καὶ συµπιπτέτωσαν κατὰ<br />
τὸ Δ καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΓΗ. ἐπεὶ ἴση<br />
ἐστὶν ἡ ΕΚ τῆι ΚΖ, ἴση ἐστὶν καὶ ἡ<br />
ΓΕ, τουτ τουτέστιν ἡ ΒΖ, τῆι ΖΔ·<br />
ὥστε µείζων ἡ ΓΖ τῆς ΖΔ· καὶ γωνία<br />
ἄρα ἡ ὑπὸ τῶν ΖΔΓ τῆς ὑπὸ τῶν<br />
ΖΓΔ µείζων ἐστίν . ἴσαι δέ εἰσιν αἱ<br />
ὑπὸ ΗΒΔ ΒΓΖ· ἡµίσεια γὰρ ὀρθῆς<br />
ἑκατέρα· µείζων ἄρα καὶ ἡ ὑπὸ τῶν<br />
ΓΖΒ·<br />
En dus wanneer twee vormen samen<br />
gelijkvormig zijn aan één vorm en<br />
congruent aan één vorm zijn, of ook<br />
twee vormen samen gelijkvormig en<br />
congruent zijn aan twee vormen samen,<br />
wordt een groter aantal vormen<br />
samengesteld door de verplaatsing. Als<br />
eerste wordt een of andere stelling<br />
gericht op dit opgeschreven.<br />
Want er moet zijn het rechthoekig<br />
parallellogram ZG, en EZ moet worden<br />
gesneden in K en vanaf G en E moeten<br />
GK en BE worden verbonden, nadat ik<br />
aantoon, (dat) GB is groter is dan BH,<br />
terwijl GK en BZ moeten worden<br />
verlengd en samen moeten vallen in D<br />
en GH moet worden verbonden (met D).<br />
Omdat EK gelijk is aan KZ, en GE gelijk is<br />
aan ZD, dat is BZ, zo is GZ groter dan ZD:<br />
ook is de hoek van ZDG groter dan die<br />
van ZGD. De gelijken (hoeken) HBD en<br />
BGZ zijn elk (van twee) de helft van een<br />
rechte (hoek) en die (is) dus groter dan<br />
GZB.<br />
14
50<br />
55<br />
60<br />
65<br />
70<br />
ἡ γὰρ γὰρ ὑπὸ ΓΗΒ ἴση ἐστὶ δυσὶ<br />
ταῖς ἐντὸς καὶ ἀπεναντίον ταῖς ὑπὸ<br />
ΗΒΔ ΗΔΒ, τῆς ὑπὸ τῶν ΗΓΒ· ὥστε<br />
µείζων ἐστὶν ἡ ΓΒ τῆς ΒΗ. ἐὰν ἄρα<br />
δίχα τµηθῆι ἡ ΓΗ κατὰ Χ , ἔσται ἅµα<br />
λεία µὲν ἡ ὑπὸ ΓΧΒ· ἐπεὶ γὰρ ἴση ἡ<br />
ΓΧ τῆι ΧΒ, καὶ κοινὴ ἡ ΧΒ, δύο<br />
δυσὶν ἴσαι· καὶ βάσεις ἡ ΓΒ τῆς ΒΗ<br />
µείζων· καὶ ἡ γωνία ἄρα τῆς γωνίας<br />
µείζω µείζων εἰσὶν ἀµβλεῖα µὲν ἄρα<br />
ἡ ὑπὸ ΓΧΒ, ὀξεῖα δὲ ἡ ἐφεξῆς.<br />
ἡµίσεια δὲ ὀρθῆς ἡ ὑπὸ ΓΒΗ·<br />
ἰσοπλεύρου ὑποκειµένου τοῦ<br />
παραλληλογράµµου · ὀξεῖα δὲ ἡ ὑπὸ<br />
ΒΧΗ. ἡµίσειαι δέ εἰσιν ἴσαιαἱ λοιπαὶ<br />
ΓΒΗ. καὶ συνίσταται καὶ διαιρεῖται<br />
τὸν τρίποντον τόµον. ἔστω γὰρ ἴδιον<br />
διπλασιόπλευρον ὀρθογώνιον ὡς<br />
πρα . . ες τὸ ΑΒ διπλασιαν ἔχοντα<br />
τὴν ΓΑ τῆς ΓΒ διάµετρον ἔχον ἔχον<br />
τὸ παχος . η . . . . . αθ . . . . . πο τα<br />
τ . . . λι . . . µορι . . . . τει δύνασθαι<br />
ἁρµόζειν ὡς εὐθείας τῶν τοµῶν<br />
ἐχουσῶν τάξιν.<br />
Want de hoek GHB is groter dan de hoek<br />
HGB, omdat de hoek GHB gelijk is aan de<br />
som van de binnenste<br />
tegenoverliggende hoeken HBD en HDB,<br />
zodat de lijn GB groter is dan BH.<br />
Als GH in twee gelijke stukken wordt<br />
(af)gesneden door X, zal hoek GXB<br />
stomp zijn. Want omdat GX gelijk is aan<br />
XH, en XB gemeenschappelijk, zijn twee<br />
gelijk aan twee, en is basis GB groter dan<br />
BH, en de ene hoek is dus groter dan de<br />
andere hoek, de hoek GXB is stomp, en<br />
de aanliggende (hoek) scherp: de hoek<br />
GBH is de helft van een rechte (hoek):<br />
omdat het gelijkzijdig parallellogram<br />
hieraan ten grondslag ligt: de hoek BXH<br />
is scherp. GBH is gelijk aan de halve<br />
resterende (hoeken). Hij wordt<br />
bijeengelegd en uit elkaar gehaald in een<br />
driebenig stuk. Er moet een bijzondere<br />
rechthoekige dubbele zijde zijn…<br />
[fragmentarisch]<br />
15
75<br />
80<br />
85<br />
καὶ τετµήσθω ἡ ΓΑ δίχα κατὰ τὸ Ε,<br />
καὶ διὰ τοῦ Ε τῆι ΒΓ παράλληλος<br />
ἤχθω ἡ ΕΖ· ἔστιν οὖν τετράγωνα τὰ<br />
ΓΖ ΖΑ. ἤχθωσαν διάµετροι αἱ ΓΔ<br />
ΒΕ Ε Δ, καὶ τετµήσθωσαν δίχα αἱ<br />
ΓΗ ΕΔ κατὰ τὰ ΘΧ, καὶ<br />
ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΒΘ ΧΖ, καὶ διὰ<br />
τῶν ΟΚ τῆι ΒΔ παράλληλοι<br />
ἤχθωσαν αἱ ΚΛ ΟΞ. διὰ τὸ<br />
προκείµενον ἄρα θεώρηµα τοῦ ΒΓΘ<br />
τριγώνου ἡ πρὸς τῶι Θ γωνία<br />
ἀµβλεῖα, ἡ δὲ λοιπὴ ὀξεῖα. φανερὸν<br />
φανερὸν δὴ ὅτι ὀξεῖά ἐστιν.<br />
Ook moet GA in tweeën gesplitst worden<br />
door E, en EZ moet geleid worden door<br />
E parallel aan BG. Dus GZ en ZA zijn<br />
vierkant. De diagonalen GD, BE en ED<br />
moeten worden getrokken, en nadat GH<br />
en ED moeten in tweeën worden<br />
gesplitst in T en X, en BT en ZX moeten<br />
worden getrokken, en de parallellen KL<br />
en OX moeten worden getrokken door O<br />
en K naar BD. Door de voorliggende<br />
stelling is de hoek T van driehoek BLT<br />
stomp, de overblijvende (hoek) is<br />
scherp. <strong>Het</strong> is dus overduidelijk dat deze<br />
scherp is.<br />
16
Discussie over de tekst<br />
Archimedes opent met een inleiding waarmee hij het <strong>Stomachion</strong> introduceert. In de<br />
eerste alinea legt hij uit dat het <strong>Stomachion</strong> een ingewikkelde figuur is, en dat hij daarom<br />
de verschillende puzzelstukjes zowel apart als in combinatie zal behandelen. Hij kondigt<br />
aan uit te leggen welke hoeken aan elkaar gelijk zijn, om vervolgens de vorm van de<br />
puzzelstukken te kunnen verklaren.<br />
Ook zegt hij dat het belangrijk is nauwkeurig te werken. <strong>Het</strong> maakt een groot verschil of<br />
de zijden precies goed zijn, of dat ze een beetje afwijken. Als er namelijk sprake is van<br />
een fout in de figuur, kan ‘dat wat gevormd is niet meer worden teruggelegd’. Uit deze<br />
uitspraak maak ik op dat Archimedes doelt op het terugleggen van de puzzelstukken in<br />
het vierkant. Dit is ook de conclusie die Netz en Noel trekken uit de tekst van<br />
Archimedes en op dit punt ben ik het dus met ze eens.<br />
De rest van de inleiding brengt echter wat discussie met zich mee. In de vertaling van<br />
Netz en Noel uit hun boek (bron 5) wordt het woord μετατιθεμένου vertaald met<br />
‘roteren’. Hier zet ik mijn vraagtekens bij. Ik heb namelijk voor dit woord alleen de<br />
vertaling ‘verplaatsen’ kunnen vinden. <strong>Het</strong> maakt voor de combinatoriek veel uit welke<br />
van de twee interpretaties je gebruikt: ‘roteren’ brengt namelijk veel meer oplossingen<br />
met zich mee dan alleen ‘verplaatsen’. Ik heb de Nederlandse vertaling van het boek De<br />
Archimedes Codex gebruikt, dus deze ietwat te vrije vertaling zou ook gevolg kunnen<br />
zijn van de vertaling van het Engels naar het Nederlands. Dit betwijfel ik echter, omdat<br />
de betekenis significant verschilt en het van de vertaler Boukje Verheij (niet de minste)<br />
wel erg slordig zou zijn. Bovendien wordt na de vertaling nog een aantal keer ‘roteren’<br />
genoemd. Ik vermoed dat het een vrije vertaling is van Netz en Noel zelf. Ik vraag me af<br />
waarom ze het zo vrij vertaald hebben zonder enige discussie of dit wel de juiste<br />
vertaling is. <strong>Het</strong> zou kunnen dat ze een bepaald idee in hun hoofd hadden over de regels<br />
rondom de puzzel en dat ze vervolgens als het ware naar dat idee toe vertaald hebben.<br />
Afbeelding 3: eerste illustratie volgens Heiberg op basis van de vertaling<br />
17
Na de inleiding begint Archimedes met de uiteenzetting over de puzzelstukken. Hij<br />
begint met een fragment van het <strong>Stomachion</strong>, namelijk het vierkant BZEG (afbeelding 3)<br />
en breidt dit later uit met een ander vierkant ADZE (afbeelding 4). Archimedes zegt in<br />
zijn tekst letterlijk ‘rechthoekig parallellogram’ en hij zegt dat de hoek die de diagonaal<br />
maakt de helft is van een rechte hoek, en dat het gelijkzijdig parallellogram hieraan ten<br />
grondslag ligt. Hieruit concludeer ik dat Archimedes zeker een vierkant bedoelt. Wat ik<br />
daardoor niet snap is waarom er een figuur in The Archimedes Palimpsest (bron 3) staat<br />
waarbij het geometrische figuur BZEG weliswaar een rechthoek is, maar geen vierkant<br />
(afbeelding 5).<br />
Wat nog meer onduidelijk is, en waar ik zelf eerst ook niet uit kwam, is dat Archimedes<br />
soms over punten en bijbehorende letters begint te spreken, zonder uitleg hoe die tot<br />
stand zijn gekomen. <strong>Het</strong> grootste gedeelte van de tekst gaat dat nog goed ik kan ik, de<br />
lezer, het nog volgen. Tegen het eind van deze tekst echter, duiken er een aantal letters<br />
op die ik niet meteen kon plaatsen. Dit betreft de letters: Α, Θ, Χ, Ο, Λ en Ξ.<br />
Α, Θ, Ο, Λ en Ξ duiken zomaar op zonder uitleg en de beschrijving van Χ klopt niet meer<br />
met de omschrijving die ervoor werd gegeven. Blijkbaar snapten Netz en Noel het ook<br />
niet helemaal, te zien aan hun figuur (bron 3 en afbeelding 5).<br />
Voor de letters Α, Θ en Χ heeft Heiberg hier wel iets op bedacht (bron 6): Archimedes<br />
gebruikt twee verschillende figuren (afbeeldingen 3 en 4). Hierbij verandert Χ van plaats<br />
en worden Α en Θ verklaard door een uitbreiding van de eerste figuur.<br />
Afbeelding 4: tweede illustratie volgens Heiberg op<br />
basis van de vertaling<br />
Er zijn nog een aantal dingen die niet<br />
kloppen aan de figuur van Netz en Noel.<br />
Archimedes zegt duidelijk: ‘EK gelijk aan<br />
KZ’. Oftewel, GD snijdt EZ precies in het<br />
midden in het punt K. In afbeelding 5 is<br />
dit niet het geval. Ten tweede staat er<br />
ook in de tekst:’(…)GH in twee gelijke<br />
stukken wordt afgesneden door X (…)’. X<br />
ligt dus precies op het midden van<br />
lijnstuk GH en ook dit is niet het geval in<br />
afbeelding 5.<br />
Vervolgens heb ik nog een discussiepunt<br />
over iets dat in de Griekse tekst mogelijk<br />
niet klopt. In regel 53 staat: (…) ἐπεὶ γὰρ<br />
ἴση ἡ ΓΧ τῆι ΧΒ, καὶ κοινὴ ἡ ΧΒ (...). Dit<br />
betekent: (…) want omdat GX gelijk is<br />
aan XB, en XB gemeenschappelijk (…). GX<br />
is echter niet gelijk aan XB, maar aan XH.<br />
Daarom denk ik dat er ἐπεὶ γὰρ ἴση ἡ ΓΧ<br />
τῆι ΧH, καὶ κοινὴ ἡ XB, moet staan.<br />
18
Afbeelding 5: illustratie van Netz en Noel<br />
Tenslotte is mij nog het volgende opgevallen. Afbeelding 4 komt overeen met de<br />
beschrijving die Archimedes in de tekst geeft. Draai je deze figuur een kwart slag naar<br />
rechts, dan wordt het <strong>Stomachion</strong> zichtbaar, althans iets wat er op lijkt (afbeelding 7).<br />
Alleen zijn dit twee vierkanten naast elkaar, terwijl het <strong>Stomachion</strong> naar we<br />
veronderstellen uit twee rechthoeken naast elkaar bestaat die samen een vierkant<br />
vormen. In afbeeldingen 6 en 7 is te zien dat de verhoudingen in deze twee figuren niet<br />
overeenkomen.<br />
Afbeelding 6: het vierkante <strong>Stomachion</strong> Afbeelding 7: afbeelding 4 een kwart slag gedraaid<br />
Voor deze discrepantie is een aantal mogelijkheden te bedenken. Of afbeelding moet een<br />
rechthoek zijn, of afbeelding moet in vierkant zijn. De vraag is alleen, wat is correct?<br />
Stel afbeelding moet een rechthoek zijn. In dat geval kan de fout zitten in (de<br />
interpretatie van) de eerder genoemde Arabische tekst.<br />
In het geval dat afbeelding een vierkant moet zijn kan de fout zitten in (de interpretatie<br />
van) de tekst van Archimedes.<br />
19
Een derde mogelijkheid is dat geen van beide teksten fout (geïnterpreteerd) is, maar dat<br />
er gewoon twee versies van het <strong>Stomachion</strong> bestaan: een vierkante en een rechthoekige.<br />
We zullen het waarschijnlijk nooit te weten komen.<br />
<strong>Het</strong> manuscript van het <strong>Stomachion</strong> is onvolledig: naar het einde toe is het<br />
fragmentarisch en het laatste deel ontbreekt helemaal. Wat het tweede deel van de tekst<br />
aan informatie bevat zullen we dus waarschijnlijk nooit te weten kunnen komen. Aan<br />
bijlagen 1 en 2 is goed te zien hoe bijzonder het is dat we überhaupt iets overgeleverd<br />
gekregen hebben van het <strong>Stomachion</strong>: de tekst van het gebedenboek is al nauwelijks<br />
leesbaar door schimmel en andere afbraak, laat staan het manuscript van Archimedes!<br />
<strong>Het</strong> is daarom niet ondenkbaar dat er hier en daar fouten kunnen zitten in de<br />
gereconstrueerde tekst. Ik vind dat we daarom ook voorzichtig moeten zijn met<br />
interpretaties en conclusies die we uit de tekst trekken. Er zijn nog zo veel<br />
onzekerheden! De laatste ontdekkingen en beschouwingen suggereren echter wel dat de<br />
puzzel het <strong>Stomachion</strong> niet bedoeld is als tangram, maar voor combinatoriek en het<br />
terugleggen van de puzzelstukken in het vierkant. Dit is ook waarvan ik denk dat de<br />
meest waarschijnlijke mogelijkheid is.<br />
20
Combinatoriek<br />
Combinatoriek is een tak van wiskunde waarbij het gaat om het combineren van<br />
bepaalde objecten die aan bepaalde voorwaarden voldoen en vervolgens het tellen van<br />
het aantal verschillende mogelijkheden voor die combinaties. Er wordt onderscheidt<br />
gemaakt tussen combinaties en permutaties.<br />
Naam Volgorde van objecten Voorbeeld<br />
Combinaties Niet van belang ABC = CAB<br />
Permutaties Wel van belang ABC CAB<br />
Verder is met of zonder terugleggen van belang. <strong>Het</strong> gaat er hierbij om of de<br />
verschillende objecten meerdere malen gebruikt mogen worden.<br />
Vaak wordt als voorbeeld het vaasmodel gebruikt. Hierbij zitten een aantal knikkers in<br />
verschillende kleuren in een vaas. Uit deze vaas wordt een of meerdere keren een<br />
knikker getrokken. Je kunt dan de kans berekenen dat de persoon een bepaalde kleur<br />
trekt (bron 22).<br />
Combinatoriek bij het <strong>Stomachion</strong><br />
<strong>Het</strong> <strong>Stomachion</strong> is uiteraard moeilijk te vergelijken met een vaas met knikkers. Achter<br />
het aantal mogelijkheden om de puzzel weer terug in het vierkant te krijgen zit een<br />
lastige wiskundige berekening. De Amerikaanse wiskundige en systeemanalist Bill<br />
Cutler heeft zich over dit probleem gebogen (bronnen 23, 24 en 25). Hij gebruikte een<br />
computer om het aantal oplossingen te berekenen. Hierbij sloot hij rotaties en<br />
spiegelingen van de puzzelstukken uit. Van belang is te weten dat de stukken 1&2, 9&10<br />
en 11&12 bij elke oplossing naast elkaar liggen (zie afbeelding 8). Bovendien komen de<br />
stukken 6 en 7 in deze figuur allebei twee maal voor, waarmee het aantal oplossingen<br />
gereduceerd wordt.<br />
Afbeelding 8: de stukken genummerd<br />
21
Hoekensommen<br />
Bernd Karl Rennhak (bron 27) heeft van alle puzzelstukken van een vereenvoudigde<br />
versie van het <strong>Stomachion</strong> (afbeelding 9) de hoeken beschreven. Bij deze<br />
vereenvoudigde weergave heeft hij de hierboven genoemde stukken 1&2, 9&10 en<br />
11&12 samengenomen. Hierdoor en doordat er enkele stukken dubbel voorkomen<br />
blijven er acht verschillende puzzelstukken over.<br />
Bij zijn berekeningen heeft hij gebruik gemaakt van een vaste hoek λ. Deze hoek is als<br />
volgt gedefinieerd. <strong>Het</strong> is de kleinste hoek die vormt gemaakt als de diagonaal van twee<br />
identieke vierkanten getrokken wordt (afbeelding 10).<br />
Afbeelding 9: vereenvoudigde versie van het<br />
<strong>Stomachion</strong><br />
Er blijkt:<br />
de verhouding van de zijdes van de driehoek GHL (afbeelding 11) is: GH:HL = 1:2<br />
tan(λ) = GH/HL = ½ dus<br />
λ = arctan(1/2) = 26, 57°.<br />
Afbeelding 11: eerste illustratie bij de hoek labda Afbeelding 10: tweede illustratie bij de hoek labda<br />
De hoekensommen van alle acht verschillende puzzelstukken zijn uit te drukken in deze<br />
hoek λ, 90°, 45°, 180° en combinaties hiervan. Zou je de puzzelstukken 1&2, 9&10 en<br />
11&12 niet samennemen, dan zouden niet alle hoekensommen uit te drukken zijn in<br />
deze getallen. Door dit wel te doen wordt de berekening en redenering iets eenvoudiger.<br />
22
Puzzelstuk<br />
(afbeelding 9)<br />
Oppervlakte Hoekensom Opmerkingen<br />
A 24 + 3 90° + 90° + (90° + λ) + (90° – λ) -‐Twee<br />
samengevoegde<br />
puzzelstukken<br />
B 12 + 12 45° + λ + (135° -‐ λ) -‐Twee<br />
samengevoegde<br />
puzzelstukken<br />
C 3 + 6 90° + λ + (90° -‐ λ) -‐Twee<br />
samengevoegde<br />
puzzelstukken<br />
-‐Komt twee keer<br />
voor<br />
D 6 (135° -‐ λ) + 2λ + (45° -‐ λ)<br />
E 12 λ + 135° + (45° + λ) + (180° – 2λ)<br />
F 6 λ + 45° + (135° -‐ λ) -‐Komt twee keer<br />
voor<br />
G 12 45° + (90° -‐ λ) + (45° -‐ λ) -‐Komt twee keer<br />
voor<br />
H 21 90° + 90° + 135° + (180° -‐ λ) + (45° + λ) -‐Pentagon<br />
Uitleg bij de hoeksommen<br />
A (afbeelding 12):<br />
-‐ De hoeken ABC en CBA zijn rechte hoeken, dat is gegeven.<br />
-‐ Verleng je zijden AB en CD en verbind je H en G zodat de vierkanten AHGI en<br />
DFIG ontstaan, wordt zichtbaar dat er twee hoeken λ voorkomen in de figuur.<br />
Hieruit volgt dat hoek BAD = 90° -‐ λ, en hoek CDA = 90° + λ.<br />
Afbeelding 12: puzzelstuk A<br />
Afbeelding 13: puzzelstuk B<br />
B (afbeelding 13):<br />
-‐ Hoek ABH = CAB = 45°, omdat AD de diagonaal is van het roostervierkant.<br />
-‐ Teken je de vierkanten BEGH en CFEG met BC als diagonaal van deze twee<br />
vierkanten, dan blijkt dat hoek BCA = λ en dat hoek ABC = 135° – λ.<br />
23
C (afbeelding 14):<br />
-‐ Hoek BAC = 90°, dat is gegeven.<br />
-‐ Teken je de vierkanten ABEG en GEFC, dan<br />
blijkt dat hoek ACB = λ, en dat hoek CBE = λ,<br />
waaruit volgt dat hoek ABC = 90° – λ.<br />
D (afbeelding 15): teken je de acht kleinere vierkanten, dan blijken de volgende hoeken.<br />
-‐ Hoek KCA = hoek ACH = 45°, hoek BCA = λ, dus hoek ACB = 45° – λ.<br />
-‐ Hoek DAB = λ, waaruit volgt dat CAB = 135° – λ.<br />
-‐ Hoek GBA = GBC = λ, dus hoek ABC = 2λ.<br />
Afbeelding 15: puzzelstuk D<br />
Afbeelding 14: puzzelstuk C<br />
24
E (afbeelding 16): teken je de zes kleinere vierkant en het grote vierkant, te zien in de<br />
figuur, dan blijken de volgende hoeken.<br />
-‐ Hoek DAB = λ.<br />
-‐ Hoek ABC = 135°.<br />
-‐ Omdat hoek KDA = JDC = λ, is hoek ADC = 180° – 2λ.<br />
-‐ Uit het feit dat hoek DCL = λ volgt dat hoek DCB = 45° + λ.<br />
Afbeelding 16: puzzelstuk E<br />
F (afbeelding 17): teken je de vijf<br />
kleine vierkanten te zien in de figuur<br />
blijkt het volgende.<br />
-‐ Hoek BAC = 45°.<br />
-‐ Hoek ABC = λ.<br />
-‐ Omdat hoek DCB = λ, is hoek<br />
ACB = 135° -‐ λ.<br />
G (afbeelding 18): teken de vijf kleinere vierkanten in de figuur en er blijkt het volgende.<br />
-‐ Hoek ABC = 45°.<br />
-‐ Omdat hoek DAC = λ, is hoek BAC = 90° – λ.<br />
-‐ Hoek ACL = λ, dus hoek ACB = 45° + λ.<br />
Afbeelding 18: puzzelstuk G<br />
Afbeelding 17: puzzelstuk F<br />
25
H (afbeelding 19):<br />
-‐ Hoek DEA = hoek BAE = 90°, dat is gegeven.<br />
-‐ Hoek HBJ = 45°, dus Hoek ABC = 135°.<br />
-‐ Omdat hoek CDF = λ, is hoek CDE = 180° – λ<br />
-‐ Hoek DCG = λ, dus hoek BCE = 45° + λ.<br />
Afbeelding 19: puzzelstuk H<br />
26
Oppervlakten<br />
De oppervlakte van ieder puzzelstuk in een 12x12 vierkant is gegeven door de formule<br />
(bron 29 en afbeelding 20):<br />
A = I + (B/2) -‐1<br />
Hierin is:<br />
A: het aantal roostervierkantjes<br />
I: het aantal binnenliggende roosterpunten ( o )<br />
B: het aantal grensroosterpunten ( o )<br />
Uit bron 28 blijkt dat wanneer je meerdere veelhoeken in een vierkant rooster, in dit<br />
geval 12x12, wil passen, de verhouding tussen de oppervlakten van de puzzelstukken<br />
altijd een geheel getal moet zijn, in dit geval is dat 3.<br />
Uit deze gegevens blijkt het volgende voor de verschillende puzzelstukken.<br />
Puzzelstuk<br />
afbeelding 20<br />
Berekening oppervlakte Uitkomst = I + (B/2) -‐1 Uitkomst/3<br />
A 5 + (16/2) -‐1 12 4<br />
B 7 + (12/2) -‐1 12 4<br />
C 9 + (8/2) -‐1 12 4<br />
D 4 + (6/2) -‐1 6 2<br />
E 0 + (8/2) -‐1 3 1<br />
F 13 + (18/2) -‐1 21 7<br />
G 2 + (10/2) -‐1 6 2<br />
H 7 + (12/2) -‐1 12 4<br />
I 2 + (10/2) -‐1 6 2<br />
J 7 + (12/2) -‐1 12 4<br />
K 3 + (18/2) -‐1 6 2<br />
L 4 + (12/2) -‐1 9 3<br />
M 1 + (6/2) -‐1 6 2<br />
N 18 + (14/2) -‐1 24 8<br />
Afbeelding 20: oppervlaktepuntjes<br />
in het <strong>Stomachion</strong><br />
27
Conclusie<br />
Archimedes en combinatoriek<br />
Omdat alle hoekensommen van de puzzelstukken uit te drukken zijn in λ valt na te gaan<br />
welke stukken complementair zijn en welke niet. Dit gegeven gecombineerd met de<br />
formules voor de oppervlakten heeft Cutler waarschijnlijk gebruikt om het aantal<br />
mogelijkheden te berekenen. Door een algoritme in een computer in te voeren is hij<br />
uitgekomen op 536 oplossingen.<br />
Sluit je rotaties en spiegelingen niet uit bij de berekening, dan blijken er 17.152<br />
combinaties mogelijk te zijn (bron 24). Hieruit blijkt dat het zeer veel uit maakt welke<br />
beperkingen je stelt aan de verplaatsingen van de puzzelstukken.<br />
De vraag is natuurlijk of Archimedes destijds op de hoogte was van combinatoriek. Hij<br />
kan namelijk ook zonder de wiskunde op 536 (of 17.152) mogelijkheden zijn<br />
uitgekomen, door gewoonweg te puzzelen.<br />
Zoals Netz en Noel in hun boek (bron 5) beschrijven werd algemeen aangenomen dat<br />
rekenkundige problemen met betrekking tot combinatiemogelijkheden tot aan de<br />
zeventiende eeuw geen belangrijk deel uitmaakten van de wiskunde. Volgens<br />
overleveringen hield alleen de Griekse astronoom Hipparchus (ca. 190 v. Chr – 120 v.<br />
Chr.) zich voor die tijd bezig met combinatoriek. Dit blijkt uit een vermelding van de<br />
Griekse schrijver Plutarchus waarin Hipparchus een discussie aangaat met de Griekse<br />
filosoof Chrysippus over het aantal combinaties die te vormen zijn met tien beweringen.<br />
Chrysippus dacht dat het antwoord 1 miljoen was, maar Hipparchus bleek het bij het<br />
rechte eind te hebben, wat bleek toen er in de periode 1994-‐2002 onderzoek naar werd<br />
gedaan. Wiskundigen kwamen er, net als Hipparchus op uit dat er of 103.049 of 310.954<br />
mogelijkheden waren, afhankelijk van de condities.<br />
Hipparchus was jonger dan Archimedes dus het is goed mogelijk dat Archimedes de<br />
basis van de combinatoriek legde waar Hipparchus vervolgens op voortgebouwd heeft.<br />
Dit zou een belangrijke ontdekking zijn en ons beeld van de Oudgriekse wiskunde<br />
positief veranderen.<br />
De tekst en de wiskunde<br />
Omdat de tekst van het <strong>Stomachion</strong> onvolledig is, is het lastig te zeggen waar<br />
Archimedes met zijn wiskundige beschrijving heen wil. <strong>Het</strong> belangrijkste probleem is<br />
dat de figuur die Archimedes beschrijft niet overeenkomt met de figuur waaruit door<br />
meerdere auteurs conclusies getrokken zijn.<br />
De stelligheid waarmee Netz en Noel het <strong>Stomachion</strong> interpreteren als een vierkante<br />
puzzel waarvan het de bedoeling is dat er verschillende mogelijkheden worden bedacht<br />
om de puzzelstukken weer in dat vierkant te krijgen, kan ik niet onderschrijven. Naar<br />
mijn mening toont onderzoek naar de teksten en de figuren aan dat lang nog niet alles is<br />
ontdekt en opgehelderd. Bovendien is het nog helemaal niet zeker dat het <strong>Stomachion</strong><br />
dat Archimedes beschrijft een vierkant is. Zoals al eerder genoemd heeft Archimedes het<br />
in zijn tekst over twee vierkanten, die samen een rechthoek vormen. Echter voorheen is<br />
men altijd uitgegaan van de vierkante versie van het <strong>Stomachion</strong>, maar daar heeft<br />
Archimedes het helemaal niet over. De vierkante versie van het <strong>Stomachion</strong> is niet per<br />
se fout, maar we moeten er rekening mee houden dat een <strong>Stomachion</strong> elke vorm van een<br />
rechthoek kan zijn.<br />
Met enige zekerheid kunnen we er van uit gaan dat Archimedes zich bezighield met<br />
combinatoriek, want dat blijkt uit zijn tekst.<br />
28
Bronvermelding<br />
1. Tekst Heiberg December 2012<br />
http://www.hsaugsburg.de/~harsch/graeca/Chronologia/S_ante03/Archimedes/arc_ost3.html<br />
2. Gerestaureerde tekst, December 2012<br />
http://4umi.com/play/<strong>Stomachion</strong>/text.php<br />
3. Reviel Netz, William Noel, Nigel Wilson & Natalie Tchernetska, The Archimedes Palimpsest<br />
Deel II, Cambridge University Press 2011<br />
4. http://www.archimedespalimpsest.org/ December 2012<br />
5. Reviel Netz & William Noel, De Archimedes Codex, Athenaeum-‐Polak & Van Gennep,<br />
Amsterdam 2007<br />
6. Charles Mugler, Archimède, Société d’édition < Les Belles Lettres >, Parijs 1971<br />
7. Charles Hupperts, Grieks-‐Nederlands woordenboek, Eisma Edumedia BV, Leeuwarden 2008<br />
8. Dr. Fred. Muller & Dr. J.H. Thiel, Beknopt Grieks-‐Nederlands Woordenboek, Wolters-‐Noordhoff<br />
NV, Groningen 1969<br />
9. Dr. J. Nuchelmans, De Kleine Griekse grammatica, Paul Brand, Nijmegen 1999<br />
10. Henry George Liddell, Robert Scott, Henry Stuart Jones, Greek-‐English Lexicon, Oxford<br />
University Press, Oxford, reprint 1953<br />
11. Raphael Kühner, Ausführliche Grammatik der griechischen Sprache, Verlag Hannover<br />
Buchhandlung, Hannover 1966<br />
12. M. Huig & D.F. Lunsingh Scheurleer jr., De klassieke oudheid, Aula-‐eeuwboeken I, <strong>Het</strong><br />
Spectrum, Utrecht 1994<br />
13. http://nl.wikipedia.org/wiki/Archimedes Januari 2013<br />
14. http://en.wikipedia.org/wiki/Names_of_large_numbers Januari 2013<br />
15. http://en.wikipedia.org/wiki/Archimedes Januari 2013<br />
16. http://www.wiskundeweb.nl/Wiskundegeschiedenis/Wiskundigen/Archimedes.html<br />
Januari 2013<br />
17. http://www.pbs.org/wgbh/nova/physics/inside-‐archimedes-‐palimpsest.html Januari 2013<br />
18. http://www.archimedespalimpsest.org/imaging_experimental4.html Januari 2013<br />
19. http://nl.wikipedia.org/wiki/Synchrotronstraling Januari 2013<br />
20. Canadian Conservation Institute, Gregory Young, Effect of high flux x-‐radiation on parchment,<br />
report no. Proteus 92195, 27 augustus 2005, in opdracht van Abigail Quandt, Walters Art<br />
Museum Baltimore, Maryland<br />
21. http://nl.wikipedia.org/wiki/Combinatoriek Januari 2013<br />
22. 5VWO-‐wiskunde B 2011-‐2012, Keuzeonderwerp Kansrekening<br />
23. http://www.barbecuejoe.com/<strong>Stomachion</strong>.htm Januari 2013<br />
24.<br />
http://www.math.cornell.edu/~mec/GeometricDissections/1.2%20Archimedes%20Stomachio<br />
n.html Januari 2013<br />
25. http://en.wikipedia.org/wiki/Bill_Cutler Februari 2013<br />
26. http://www.maa.org/editorial/mathgames/mathgames_11_17_03.html<br />
Februari 2013<br />
27. http://www.logelium.de/<strong>Stomachion</strong>/<strong>Stomachion</strong>Haupt_EN.htm Februari 2013<br />
28. http://mathworld.wolfram.com/<strong>Stomachion</strong>.html Februari 2013<br />
29. http://www.math.nyu.edu/~crorres/Archimedes/<strong>Stomachion</strong>/Pick.html Februari 2013<br />
29
Bijlage 1: De Griekse tekst zichtbaar gemaakt<br />
http://4umi.com/play/<strong>Stomachion</strong>/text.php<br />
30
ἈΡΧ ΙΜΉΔΟ Υ Σ ΣΤΟΜΆ ΧI ΟΝ Τοῦ λεγοµένου στοµαχίου ποικί λαν ἔχοντος<br />
τα ἐξ ὧν συνέστακε σχηµάτων µεταθέσεως θεωρία θεωρ ί αν ἀναγκαῖον<br />
ἡγησάµην πράον πράττον του ὅλο υ σ χάµ ατ ος µέγε θ ος θεω ρῶν ἐκθέσθαι, ε<br />
ἴς τ ε ἃ διαιρεῖται, ἕκαστόν τε α ὐτ ῶν τίνι ἐστὶ ἴσον καὶ ὁ µ οι ον , ἔτι δὲ καὶ πο ῖ<br />
αι γ ωνίαι συ νοδοιο λαµβανόµ εναι καὶ κ α θ’ ἃς εἴρηται πρὸς τὸ τ ὰ ς ἐνα ρ<br />
µόσεις τῶν ἐξ αὐτῶν γεννωµένων σχα µ άτων γ ιγνώσκεσθαι , ε ἴ τε ἐπ’ εὐ θείας<br />
εἰσὶν αἱ γεννώµεναι ἐν τ οῖ ς σχάµασι πλευραί, εἴτε καὶ µικρῶς λιποῦσαι τᾶι<br />
θεωρίαι λανθά νουσιν· τὰ γὰρ τοιαῦτα φιλότεχνα· καὶ ἐὰν ἐλάχιστον µὲν<br />
λίπηται, τᾶ δ ὲ θεωρίαι λανθάνηι, οὐ παρὰ τοῦ τ’ ἐστὶν ἔκβλητα ἃ συνίσταται.<br />
ἔστι µὲν οὖν ἐξ αὐτῶν οὐκ ὀλίγων σχαµάτ σχ α µάτων<br />
31
πλῆθος διὰ τὸ ει σ χεν α υ το ς εἶν αι εἰς ἕτερον τόπου τ οῦ ἴσου καὶ ἰσο γωνίου<br />
σχάµατος µετατιθεµέν µετατιθεµένου καὶ ἑ τ έραν θέσιν λαµβ ά νοντος . ὅ τε δὲ καὶ<br />
δύο σχήµατα συνάµφω ἑνὶ σχήµατι ἴσων ὄντων καὶ ὁµοί ων τῶ ι ἑνὶ σχήµατι ἢ καὶ δύο<br />
σχη µάτων συνάµφω ἴσων τε καὶ ὅµοι ον ὄντων δυσὶ σχήµασι συνάµφω πλείονα<br />
σχήµα τ α συνίσταται ἐ κτὸς µ ετ αθέσεως . προγραφόµε νον οὖν τι θεώρηµα εἰς αὐτὸ<br />
συ ν τεῖ νον. ἔστω γὰρ παραλληλ ό γρα µ µον ὀρθογώνιον τὸ Ζ Γ, καὶ δεδι κ ά σ θω ἡ<br />
ΕΖ τῶ ι Κ, καὶ ἐ π ε ζεύχθω σ α ν ἀπὸ τῶν ΓΕ αἱ ΓΚ ΒΕ δεικτέον µ εί ζων ἐστὶν ἡ ΓΒ<br />
τῆς ΒΗ ἐκβεβλήσ θ ω σαν αἱ ΓΚ ΒΖ καὶ συµπιπτέ τωσαν κατ ὰ τὸ Δ καὶ ἐ π εζεύχθω ἡ<br />
ΓΗ. ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΕΚ τῆι ΚΖ, ἴση ἐστὶν καὶ ἡ ΓΕ, τουτ τουτέστιν ἡ ΒΖ, τῆι ΖΔ· ὥ στ<br />
ε µείζω ν ἡ Γ Ζ τ ῆς Ζ Δ· καὶ γωνί α ἄρα ἡ ὑπὸ τ ῶν ΖΔΓ τῆς ὑπὸ τῶν ΖΓΔ µ εί ζων<br />
ἐστίν . ἴσα ι δέ εἰσιν αἱ ὑπὸ ΗΒΔ ΒΓΖ· ἡ µ ί σει α γ ὰρ ὀ ρ θῆς ἑκατέρα· µεί ζων ἄρα<br />
καὶ ἡ ὑπὸ τ ῶν Γ Ζ Β· ἡ γὰρ γὰρ ὑπὸ ΓΗΒ ἴση ἐστὶ δυσὶ ταῖς ἐν τ ὸς καὶ ἀπεναντίον<br />
ταῖς ὑ πὸ ΗΒΔ ΗΔΒ, τῆς ὑπὸ τῶν ΗΓΒ· ὥστε µείζων ἐστὶν ἡ Γ Β τῆς ΒΗ. ἐὰν ἄρα δίχα<br />
τµη θῆι ἡ ΓΗ κατὰ Χ , ἔσται ἅµ α λεία µ µὲν ἡ ὑπὸ ΓΧΒ· ἐπεὶ γὰρ ἴση ἡ ΓΧ τῆι ΧΒ,<br />
καὶ κοινὴ ἡ ΧΒ, δύο δ υσὶν ἴσαι· καὶ βά σ ε ι ς ἡ ΓΒ τῆς ΒΗ µείζων· καὶ ἡ γωνία ἄρα<br />
τῆς γωνίας µείζω µείζων εἰσὶν ἀµβλεῖα µὲν ἄρα ἡ ὑπὸ ΓΧΒ, ὀξεῖ α δὲ ἡ ἐφεξῆς.<br />
ἡµίσεια δ ὲ ὀρθῆς ἡ ὑπὸ ΓΒΗ· ἰσ ο πλε ύρο υ ὑποκειµέ νο υ τοῦ παραλλη λ ογράµµου ·<br />
ὀξεῖ α δὲ ἡ ὑπὸ ΒΧΗ. ἡµ ί σειαι δ έ εἰσιν ἴσ αι αἱ λοιπαὶ ΓΒΗ. καὶ συνίστ α τ α ι καὶ<br />
διαιρεῖται τὸ ν τρ ί ποντο ν τόµ. τ ό µ ον. ἔστω γ ὰ ρ ἴδιον διπλασιόπ λευ ρ ο ν ὀρ<br />
θογώνιον ὡ ς πρα ες τὸ Α Β δ ιπλα σιαν ἔχοντα τὴν ΓΑ τῆς ΓΒ διά µετρον ἔχον ἔχον<br />
τὸ παχοσ η αθ πο τα τ λι µορι τει δύνασθαι ἁρµόζειν ὡς εὐθεί εὐθεί ας τῶ ν τοµῶν<br />
ἐχουσῶν τάξιν. καὶ τ ε τµ ή σθω ἡ ΓΑ δίχα κατὰ τὸ Ε, καὶ δι ὰ τοῦ Ε τῆι ΒΓ<br />
παράλληλος ἤχθω ἡ ΕΖ· ἔστιν οὖν τετράγωνα τὰ ΓΖ ΖΑ. ἤχθωσαν διάµετροι αἱ ΓΔ ΒΕ<br />
Ε Δ, καὶ τετ µ ήσθωσαν δίχα αἱ ΓΗ Ε Δ κατὰ τὰ ΘΧ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΒΘ ΧΖ, καὶ<br />
διὰ τῶν Ο Κ τῆι ΒΔ πα ράλληλοι ἤχθωσαν αἱ Κ Λ Ο Ξ. δι ὰ τὸ προκείµενον ἄρα<br />
θεώρηµα το ῦ ΒΓΘ τριγώνου ἡ πρὸς τ ῶι Θ γ ωνία ἀµβλεῖα, ἡ δὲ λοιπὴ ὀξεῖ α . φα<br />
νερὸν φανερὸν δὴ ὅτι ὀ ξ εῖ ά ἐσ τι ν .<br />
33
Bijlage 2: <strong>Het</strong> onleesbare manuscript<br />
http://4umi.com/play/<strong>Stomachion</strong>/text.php<br />
34
Bijlage 3: Engelse vertaling van de Arabische tekst<br />
http://www.hs-‐<br />
augsburg.de/~harsch/graeca/Chronologia/S_ante03/Archimedes/arc_ost2.html<br />
http://en.wikipedia.org/wiki/Ostomachion<br />
We draw a [rectangular] parallelogram ABGD, we bisect BG in E and draw EZ<br />
perpendicular to BG [to intersect AD], we draw the diagonals AG, BZ [intersecting AG at<br />
L], and ZG, we also bisect BE in H, and draw HT perpendicular to BE [to intersect BZ],<br />
then we put the ruler at point H and -‐ looking to point A -‐ we draw HK [to intersect BZ],<br />
then bisect AL in M, and draw BM. So the A-‐E rectangle is divided into seven parts. Now<br />
we bisect DG in N, ZG in C, we draw EC and attaching the ruler to the points B and C we<br />
draw CO [to intersect DG], furthermore CN. Thus the rectangle ZG is also divided in<br />
seven parts, but in another way than the first one. Therefore, the whole square has<br />
fourteen parts.<br />
We now demonstrate that each of the fourteen parts is in rational relationship to the<br />
whole square.<br />
Because ZG is the diagonal of the rectangle Z-‐G, the triangle DZG is half of this rectangle,<br />
that means 1/4 of the square. But the triangle GNC is 1/4 of triangle DZG, because, if we<br />
extend the line EC, it comes to point D, and that means triangle GDC has half area of the<br />
triangle DZG and is equal to the two triangles GNC and DNC taken together; that means<br />
triangle GNC is 1/16 of the square. If we presume that line OC is orientated to point B, as<br />
we have drawn it before, so the line NC is parallel to BG, which is the side of the square<br />
and of the triangle OBG, so we get the proportion<br />
BG : NC = GO : NO.<br />
But BG is four times NC, and in the same way GO four times NO; therefore is GN three<br />
times NO, and triangle GNC = 3 ONC. However, as we have shown, triangle GNC is 1/16<br />
of the square, that means triangle ONC = 1/48 of the square. Furthermore, as triangle<br />
GDZ = 1/4 of the square, and therefore GNC = 1/16 of that triangle and NCO = 1/48 of<br />
that, it remains for the quadrilateral DOCZ = 1/6 of the square’s area. According to the<br />
proposition that line NC [extended] intersects [ZE at] point F, and GE is parallel to CF,<br />
[and labelling the intersection of AG and CE as Q,] we get the proportion<br />
EC : CF = EQ : CQ = GQ : FQ.<br />
Because EQ = 2 CQ and GQ = 2 FQ, triangle EQG is double to the two triangles GCQ and<br />
EFQ. It is clear, that triangle EGZ = 2 times triangle EFG, because ZE = 2 FE. As the<br />
triangle EGZ = 1/4 of the square, that means triangle EFG = 1/8 of the square. This<br />
triangle is three times as big as each of the two triangles EFQ and GCQ, so each of these<br />
36
two triangles = 1/24 of the square A-‐G. And the triangle EGQ is double to each of the two<br />
triangles EFQ and GCQ, so it is = 1/12 of the square. Furthermore because ZF = EF,<br />
triangle ZFG = triangle EFG. If we now take away triangle GCQ (= triangle EFQ), it leaves<br />
quadrilateral FQCZ (= triangle EGQ), therefore quadrilateral FQCZ = 1/12 of the square<br />
A-‐G.<br />
If an Ostomachion were to be imposed onto a 12-‐unit square, this diagram shows the<br />
area of each piece.<br />
We have now divided the rectangle Z-‐G in 7 parts, and go on to divide the other<br />
rectangle.<br />
Because BZ and EC are two parallel diagonals, and ZF = EF, therefore triangle ZLF = EFQ,<br />
and also triangle ZLF = 1/24 of the square A-‐G. Because BH = HE, triangle BEZ is four<br />
times the triangle BHT, because each of them is rectangular. As triangle BEZ = 1/4 of the<br />
square ABGD, triangle BHT = 1/16 of that. According to our proposition the line HK<br />
[extended] intersects point A, so we get the proportion<br />
AB : HT = BK : KT.<br />
Because AB = 2 HT, and BK = 2 KT and BT = 3 KT, triangle BHT is three times the triangle<br />
KHT. However, because triangle BHT = 1/16 of the whole square, triangle KHT = 1/48 of<br />
that. Triangle BKH is double the triangle KHT, so = 1/24 of the square. Further, as BL = 2<br />
ZL, and AL = 2 LF, triangle ABL is twice the triangle ALZ, and ALZ double the triangle<br />
ZLF. However, because triangle ZLF = 1/24 of the whole square, triangle ALZ = 1/12 of<br />
that, so triangle ABL = 1/6. But triangle ABM = triangle BML, so each of these two<br />
triangles = 1/12 of the square. It leaves the pentagon LFEHT = 7/48 of the entire square.<br />
We have now also divided the square AE into 7 sections, therefore, the whole figure<br />
ABGD in 14 parts. Each of these fourteen parts is in rational relationship to the whole,<br />
and that is what we wanted."<br />
37