MODULE 1 : GELYKTYDIGE LINEÊRE VERGELYKINGS ... - AdMaths
MODULE 1 : GELYKTYDIGE LINEÊRE VERGELYKINGS ... - AdMaths MODULE 1 : GELYKTYDIGE LINEÊRE VERGELYKINGS ... - AdMaths
GR. 9 GEVORDERDE PROGRAM WISKUNDE A F D E L I N G : A L G E B R A MODULE 1 : GELYKTYDIGE LINEÊRE VERGELYKINGS LES 2 : SUBSTITUSIE VS ELIMINASIE OPLOS VAN GELYKTYDIGE VERGELYKINGS MET SUBSTITUSIE VOORBEELD 1 Los op vir x en y: y = x + 2 (1) y = − x + 4 (2) Beskou vergelyking (1) as ‘n “voorlopige antwoord” vir y (i.t.v. x). Substitueer nou hierdie antwoord in die plek van y in vergelyking (2). (2): x + 2 = − x + 4 2 x = 2 x = 1 Substitueer nou hierdie finale antwoord vir x in jou “voorlopige antwoord”. Dus: x = 1 en y = 3 OEFENING 1.3 Los op vir x en y: 1. y = − x + 9 y = x − 1 2. y = 2x − 2 y = − x + 1 (1): y = 1 + 2 ⇒ y = 3 A1.2
- Page 2 and 3: 3. y = 3x − 5 y = x + 1 4. y =
- Page 4 and 5: 4 / 9 SUBSTITUSIE-METODE BEGIN WANK
- Page 6 and 7: VOORBEELD 5 6 / 9 Los op vir x en y
- Page 8 and 9: MOEILIKER ELIMINASIE VOORBEELD 7 8
GR. 9 GEVORDERDE PROGRAM WISKUNDE<br />
A F D E L I N G : A L G E B R A<br />
<strong>MODULE</strong> 1 : <strong>GELYKTYDIGE</strong> <strong>LINEÊRE</strong> <strong>VERGELYKINGS</strong><br />
LES 2 : SUBSTITUSIE VS ELIMINASIE<br />
OPLOS VAN <strong>GELYKTYDIGE</strong> <strong>VERGELYKINGS</strong> MET SUBSTITUSIE<br />
VOORBEELD 1<br />
Los op vir x en y: y = x + 2<br />
(1)<br />
y = − x + 4 (2)<br />
Beskou vergelyking (1) as ‘n “voorlopige antwoord” vir y (i.t.v. x).<br />
Substitueer nou hierdie antwoord in die plek van y in vergelyking (2).<br />
(2): x + 2 = − x + 4<br />
2 x = 2<br />
x = 1<br />
Substitueer nou hierdie finale antwoord vir x in jou “voorlopige antwoord”.<br />
Dus: x = 1 en y = 3<br />
OEFENING 1.3<br />
Los op vir x en y:<br />
1. y = − x + 9<br />
y = x − 1<br />
2. y = 2x<br />
− 2<br />
y =<br />
− x + 1<br />
(1): y = 1 + 2 ⇒ y = 3<br />
A1.2
3. y = 3x<br />
− 5<br />
y = x + 1<br />
4. y = − x + 2<br />
y = 2x<br />
+ 5<br />
5. y = x + 1<br />
2x + y = − 3<br />
6. 2 x + 3y<br />
= 7<br />
y = x +<br />
VOORBEELD 2<br />
2<br />
2 / 9<br />
Los op vir x en y: x + y = 9<br />
(1)<br />
x − y = 1<br />
(2)<br />
Gebruik een van die twee vergelykings om ‘n “voorlopige antwoord” te skep.<br />
(1): x + y = 9<br />
⇒ x = 9 − y (3)<br />
Substitueer in vergelyking (2):<br />
(2): x − y = 1<br />
( 9 − y)<br />
− y = 1<br />
9 − 2y<br />
= 1<br />
− 2y = − 8<br />
y = 4<br />
Substitueer terug in (3):<br />
(3): x = 9 − y<br />
= 9 − 4<br />
Dus: x =<br />
5 en y = 4<br />
=<br />
5<br />
A1.2
OEFENING 1.4<br />
Los op vir x en y:<br />
1. x + y = 11<br />
x − y = 5<br />
2. 2 x + y = 2<br />
x + y = 7<br />
3. x + 2y<br />
= 8<br />
x − y = 2<br />
4. 4 x − 3y<br />
= 10<br />
4 x + y = 2<br />
5. 2 x + y = 4<br />
3 x − y = 12<br />
6. x − y = 1<br />
2 x +<br />
3y<br />
=<br />
7<br />
3 / 9<br />
A1.2
4 / 9<br />
SUBSTITUSIE-METODE BEGIN WANKEL<br />
VOORBEELD 3<br />
Los op vir x en y: 4 x − 3y<br />
= 6 (1)<br />
3 x + 2y<br />
= 13 (2)<br />
(2): 2 y = − 3x<br />
+ 13<br />
y =<br />
− 3x<br />
+<br />
2<br />
13<br />
(3)<br />
Substitueer nou hierdie ongemaklike “voorlopige antwoord” in (1):<br />
Dus: x = 3 en y = 2<br />
⎛ − 3x<br />
+ 13 ⎞<br />
(1): 4 x − 3⎜<br />
⎟ = 6<br />
⎝ 2 ⎠<br />
3(<br />
−3x<br />
+ 13)<br />
4 x −<br />
=<br />
2<br />
× 2 : 8x<br />
− 3(<br />
−3x<br />
+ 13)<br />
= 12<br />
8 x + 9x<br />
− 39 = 12<br />
17 x = 51<br />
x = 3<br />
− 3(<br />
3)<br />
+<br />
2<br />
(3): y =<br />
= 2<br />
Hierdie som is onaanvaarbaar lank! Is daar ‘n korter metode wat breuke vermy?<br />
Wag en sien...<br />
A1.2<br />
13<br />
6
5 / 9<br />
OPLOS VAN <strong>GELYKTYDIGE</strong> <strong>VERGELYKINGS</strong> MET ELIMINASIE<br />
2 + 3 = 5 is ‘n “vergelyking”<br />
4 + 7 = 11 is nog een<br />
Tel nou die “vergelykings” op in kolomvorm:<br />
2<br />
+<br />
3<br />
4 + 7<br />
6 + 10<br />
=<br />
5<br />
= 11<br />
= 16<br />
As jy gelyke hoeveelhede by gelyke hoeveelhede tel, kry jy gelyke hoeveelhede.<br />
Dieselfde geld vir aftrekking.<br />
VOORBEELD 4 (VOORBEELD 2 HERBESOEK)<br />
Los op vir x en y: x + y = 9<br />
(1)<br />
x − y = 1<br />
(2)<br />
As ons die vergelykings in kolomvorm optel, sal die veranderlike, y , kanselleer:<br />
(1) + (2):<br />
(1):<br />
⊕<br />
x<br />
x<br />
2x<br />
5<br />
+<br />
y<br />
− y<br />
.<br />
+<br />
x<br />
y<br />
y<br />
A1.2<br />
=<br />
=<br />
=<br />
=<br />
=<br />
=<br />
9<br />
1<br />
10<br />
Dus: x = 5 en y = 4 . Beslis vinniger as laas!<br />
5<br />
9<br />
4
VOORBEELD 5<br />
6 / 9<br />
Los op vir x en y: x + 3y<br />
= − 7 (1)<br />
x − y = 5 (2)<br />
As ons die vergelykings in kolomvorm aftrek, sal die veranderlike, x , kanselleer:<br />
(1) - (2)<br />
−<br />
x<br />
x<br />
.<br />
+<br />
3y<br />
− y<br />
4y<br />
x – x = 0 ; 3y – (-y) = 4y ; -7 – 5 = -12<br />
(2):<br />
Dus: x = 2 en y = − 3.<br />
VOORBEELD 6<br />
x<br />
−<br />
( −3)<br />
x<br />
=<br />
=<br />
y<br />
2<br />
A1.2<br />
5<br />
= − 7<br />
=<br />
=<br />
=<br />
5<br />
−12<br />
− 3<br />
Los op vir x en y: 5x + 2y<br />
= −1<br />
(1)<br />
4x − 2y<br />
= − 8 (2)<br />
As ons die vergelykings in kolomvorm optel, sal die veranderlike, y , kanselleer:<br />
(1) + (2)<br />
(1):<br />
⊕<br />
5(<br />
−1)<br />
Dus: x = −1<br />
en y = 2 .<br />
5x<br />
+<br />
2y<br />
4x<br />
− 2y<br />
= − 8<br />
9x<br />
. = − 9<br />
+<br />
2y<br />
2y<br />
y<br />
=<br />
=<br />
=<br />
x<br />
4<br />
2<br />
= −1<br />
=<br />
−1<br />
−1
REЁL<br />
7 / 9<br />
Kyk watter veranderlike-kolom (x of y) se koëffisiënte is numeries gelyk.<br />
As die tekens van daardie koëffisiënte teenoorgesteld is, tel vergelykings op.<br />
As die tekens dieselfde is, trek af.<br />
OEFENING 1.5<br />
Doen nou die volgende met die eliminasie-metode.<br />
Los op vir x en y:<br />
1. x + y = 11<br />
x − y = 5<br />
2. 2 x + y = 2<br />
x + y = 7<br />
3. x + 2y<br />
= 8<br />
x − y = 2<br />
4. 4 x − 3y<br />
= 10<br />
4 x + y = 2<br />
5. 2 x + y = 4<br />
3 x − y = 12<br />
6. x − y = 1<br />
En nou?<br />
2 x +<br />
3y<br />
= 7<br />
A1.2
MOEILIKER ELIMINASIE<br />
VOORBEELD 7<br />
8 / 9<br />
Los op vir x en y: x + y = − 3 (1)<br />
4x + 3y<br />
= − 8 (2)<br />
Ons kan nie die reël gebruik nie; geeneen van die veranderlike-kolomme se<br />
koëffisiënte is gelyk nie. Ons weet egter dat ons ‘n vergelyking dwarsdeur met<br />
dieselfde getal kan maal. In vergelyking (1) sal ons òf ‘n 4 voor die x wou hê<br />
òf ‘n 3 voor die y. Jy moet kies.<br />
(1) x 4: 4x + 4y<br />
= −12<br />
(3)<br />
(2): 4x + 3y<br />
= − 8<br />
(3) – (2): . y = − 4<br />
(1): x + ( −4)<br />
= − 3<br />
x = 1<br />
Dus: x = 1 en y = − 4 .<br />
VOORBEELD 8<br />
Los op vir x en y: 3 x + 2y<br />
= 9 ...(1)<br />
4x − 3y<br />
= − 5 ...(2)<br />
Ons kan nie die reël gebruik nie; geeneen van die veranderlike-kolomme se<br />
koëffisiënte is gelyk nie. Dit gaan ook nie help om een vergelyking met iets te<br />
maal nie. Jy kan egter beide koëffisiënte van ‘n kolom na die KGV van die<br />
koëffisiënte werk. Bv. die y-kolom: 2x3=6 en 3x2=6.<br />
(1) x 3: 9 x + 6y<br />
= 27 ...(3)<br />
(2) x 2: 8x − 6y<br />
= −10<br />
...(4)<br />
(3) + (4): 17 x . = 17<br />
x = 1<br />
(1): 3 ( 1)<br />
+ 2y<br />
= 9<br />
y = 3<br />
Dus: x =<br />
1 en y = 3<br />
A1.2
OEFENING 1.6<br />
Los op vir x en y:<br />
1. 2 x + 3y<br />
= 7<br />
x − y = 1<br />
2. 3 x + 2y<br />
= 4<br />
3 x + y = 7<br />
3. 2x − y = −10<br />
3x + 2y<br />
= −1<br />
4. 4 x − 3y<br />
= 6<br />
3 x + 2y<br />
= 13<br />
5. 3 x + 4y<br />
= 14<br />
2 x + 5y<br />
= 21<br />
6. 5 x − 3y<br />
= 1<br />
4x − 6y<br />
= −10<br />
7. 5x − 2y<br />
= −1<br />
8 x − 5y<br />
= 2<br />
8. 5 x − 3y<br />
= 17<br />
3 x − y = 8<br />
9. 2 x − 3y<br />
+ 4 = 21<br />
3 x − y + 2 = 17<br />
Mr D<br />
9 / 9<br />
A1.2