Bewerkingen met krachten en momenten - Sint-Lucas
Bewerkingen met krachten en momenten - Sint-Lucas
Bewerkingen met krachten en momenten - Sint-Lucas
Create successful ePaper yourself
Turn your PDF publications into a flip-book with our unique Google optimized e-Paper software.
<strong>Bewerking<strong>en</strong></strong> <strong>met</strong> <strong>kracht<strong>en</strong></strong><br />
Opgeloste Vraagstukk<strong>en</strong><br />
2.1. Bepaal het mom<strong>en</strong>t van de kracht van 20N uir Fig. 2-3 rond het punt O.<br />
OPLOSSING<br />
Laat de loodrechte OD neer vanuit O op de rechte waarlangs de kracht van 20N ageert. Volg<strong>en</strong>s de<br />
gegev<strong>en</strong> schaal is de l<strong>en</strong>gte ervan 4,33 m. Het mom<strong>en</strong>t van de kracht rond O (<strong>en</strong> in feite is dit rond e<strong>en</strong> as<br />
door O loodrecht op het xy-vlak) is daarom –(20 × 4,33) = - 86,6 Nm.<br />
21
22<br />
Fig. 2-3 Fig. 2-4<br />
Het mintek<strong>en</strong> werd gebruikt om de richting van de draaiing de wijzerzin is.<br />
2.2. Los Vraagstuk 2.1 op <strong>met</strong> behulp van de stelling van Varignon. Zie Fig. 2-4.<br />
OPLOSSING<br />
De toepassing van deze stelling bestaat erin de kracht van 20N te verschuiv<strong>en</strong> langshe<strong>en</strong> de rechte<br />
waarlangs ze ageert zodat de x- of y-compon<strong>en</strong>t e<strong>en</strong>voudig wordt.<br />
Als het punt B gekoz<strong>en</strong> wordt op de x-as, dan is het duidelijk dat de x-compon<strong>en</strong>t ge<strong>en</strong> mom<strong>en</strong>t<br />
veroorzaakt rond O. Het mom<strong>en</strong>t van de kracht van 20N rond O is dan gelijk aan het mom<strong>en</strong>t van de ycompon<strong>en</strong>t<br />
rond O, of –(17,32 × 5) = -86,6 Nm.<br />
Als het punt A gekoz<strong>en</strong> wordt op de y-as, dan veroorzaakt de y-compon<strong>en</strong>t ge<strong>en</strong> mom<strong>en</strong>t rond O.<br />
Het mom<strong>en</strong>t van de kracht van 20N rond O is dan gelijk aan het mom<strong>en</strong>t van de x-compon<strong>en</strong>t rond O, of<br />
–(10 × 8,66) = -86,6 Nm.<br />
2.3. E<strong>en</strong> kracht van 100N is gericht langs e<strong>en</strong> rechte vanaf het punt waarvan de (x, y, z)-coördinat<strong>en</strong> (2, 0, 4)m<br />
zijn tot het punt <strong>met</strong> coördinat<strong>en</strong> (5, 1, 1)m. Wat zijn de mom<strong>en</strong>t<strong>en</strong> van deze kracht rondom de x, y, <strong>en</strong> zas?<br />
OPLOSSING<br />
In Fig. 2-5 veronderstell<strong>en</strong> we dat de schaal zo is dat de 100N-kracht gegev<strong>en</strong> wordt door de<br />
diagonaal van het parallellepipedum waarvan de zijd<strong>en</strong> ev<strong>en</strong>wijdig zijn <strong>met</strong> de coördinaatass<strong>en</strong>. De zijd<strong>en</strong><br />
stell<strong>en</strong> hierbij in dezelfde schaal de compon<strong>en</strong>t<strong>en</strong> van de kracht voor.<br />
Fig. 2-5
De x zijde is 5 – 2 = 3m lang; de y zijde is 1 – 0 = 1m lang <strong>en</strong> de z zijde is 1 – 4 = -3m lang. Dit<br />
betek<strong>en</strong>t dat de compon<strong>en</strong>t Fz gericht is ‘naar achter<strong>en</strong>’ of langs de negatieve richting van de z-as.<br />
l<strong>en</strong>gte van de x − zijde<br />
3<br />
3<br />
Fx =<br />
× 100N =<br />
× 100N = × 100N = 68,7N.<br />
l<strong>en</strong>gte van de diagonaal<br />
2 2 2<br />
3 + 1 + 3<br />
19<br />
1 −3<br />
Op dezelfde wijze, is Fy = × 100N = 22,9N, Fz = × 100N = 68,7N.<br />
19<br />
19<br />
Om het mom<strong>en</strong>t van de 100N-kracht te vind<strong>en</strong> om de x-as, bepal<strong>en</strong> we de mom<strong>en</strong>t<strong>en</strong> van de compon<strong>en</strong>t<strong>en</strong><br />
rondom de x-as. E<strong>en</strong> aanblik toont dat de <strong>en</strong>ige compon<strong>en</strong>t die zulk e<strong>en</strong> mom<strong>en</strong>t heeft Fy is. Daarom is Fy<br />
voor de 100N-kracht het mom<strong>en</strong>t van Fy rond de x-as <strong>en</strong> is die gelijk aan -22,9 × 4 = -91,6Nm. Het<br />
mintek<strong>en</strong> toont dat de draaiing van Fy in wijzerzin gaat rond de x-as.<br />
Om het mom<strong>en</strong>t om de y-as te bepal<strong>en</strong>, moet word<strong>en</strong> opgemerkt Fy ev<strong>en</strong>wijdig is aan de y-as <strong>en</strong> dus ge<strong>en</strong><br />
mom<strong>en</strong>t heeft rondom die as. Nu moet<strong>en</strong> zowel Fz <strong>en</strong> Fy word<strong>en</strong> beschouwd. Het is e<strong>en</strong>voudiger om het<br />
tek<strong>en</strong> te bepal<strong>en</strong> door directe aanschouwing dan door het schrijv<strong>en</strong> van tek<strong>en</strong>s voor de compon<strong>en</strong>t<strong>en</strong> <strong>en</strong> de<br />
arm. Op deze wijze komt er: My = + (68,7 × 2) + (68,7 × 4) = 412Nm.<br />
Op dezelfde wijze volgt door alle<strong>en</strong> Fy te gebruik<strong>en</strong> (vermits Fz ev<strong>en</strong>wijdig is aan de z-as <strong>en</strong> Fx<br />
die snijdt): Mz = + (22,9 × 2) = 45,8Nm.<br />
Let er op om tek<strong>en</strong>s toe te k<strong>en</strong>n<strong>en</strong> aan de mom<strong>en</strong>t<strong>en</strong> <strong>en</strong> de betek<strong>en</strong>is ervan te verstaan.<br />
2.4. Herhaal Vraagstuk 2.3 door gebruik te mak<strong>en</strong> van de vectorproductdefinitie van e<strong>en</strong> mom<strong>en</strong>t.<br />
OPLOSSING<br />
In Vraagstuk 2.3 is F = 68,7i + 22,9j - 68,7k.<br />
Stel dat de vector r de positievector voorstelt van e<strong>en</strong> willekeurig punt langshe<strong>en</strong> de rechte<br />
waarlangs F ageert <strong>met</strong> respect tot de oorsprong. Als we het punt (2, 0, 4) gebruik<strong>en</strong>, dan is r = 2i + 0j +<br />
4k. Dan is<br />
M = r × F =<br />
r<br />
i<br />
2<br />
68,<br />
7<br />
r<br />
j<br />
0<br />
22,<br />
9<br />
r<br />
k<br />
4<br />
− 68,<br />
7<br />
= [0 – 4(22,9)]i - [2(-68,7) – 4(68,7)]j + [2(22,9) - 0]k<br />
= – 91,6i + 412j + 45,8k Nm.<br />
Vervolg<strong>en</strong>s gebruik<strong>en</strong> we het punt (5, 1, 1) op de rechte waarlangs F ageert: r = 5i + j + k. Dus<br />
r r r<br />
i j k<br />
M =<br />
5<br />
68,<br />
7<br />
1<br />
22,<br />
9<br />
1<br />
− 68,<br />
7<br />
= [-1(68,7) – 1(22,9)]i - [5(-68,7) – 1(68,7)]j + [5(22,9) – 68,7(1)]k<br />
= – 91,6i + 412j + 45,8k Nm.<br />
De mom<strong>en</strong>t<strong>en</strong> om de x-, y-, <strong>en</strong> z-as zijn de coëfficiënt<strong>en</strong> van de e<strong>en</strong>heidsvector<strong>en</strong>, i, j <strong>en</strong> k.<br />
2.5. Bepaal het mom<strong>en</strong>t van de kracht F = 2i + 3j – k N ager<strong>en</strong>d op het punt (3, 1, 1) omhe<strong>en</strong> de lijn door (2,<br />
5, -2) <strong>en</strong> (3, -1, 1). De coördinat<strong>en</strong> zijn gegev<strong>en</strong> in m.<br />
OPLOSSING<br />
De mom<strong>en</strong>t<strong>en</strong>arm r kan gevond<strong>en</strong> word<strong>en</strong> door e<strong>en</strong> vector naar gelijk welk punt te gebruik<strong>en</strong> op<br />
de lijn van de kracht. Met (2, 5, -2) wordt dit de vector r = i - 4j + 3k. Het mom<strong>en</strong>t M rond het gekoz<strong>en</strong><br />
punt is<br />
r r r<br />
i j k<br />
M = r × F = 1<br />
2<br />
− 4<br />
3<br />
3 = – 5i + 7j + 11k<br />
−1<br />
23
24<br />
Nu is eL =<br />
r r r<br />
( 3 − 2)<br />
i + ( −1−<br />
5)<br />
j + ( 1+<br />
2)<br />
k<br />
=<br />
2 2 2<br />
( 1)<br />
+ ( −6)<br />
+ ( 3)<br />
r r r<br />
i − 6 j + 3k<br />
En dus is het mom<strong>en</strong>t van F rondom de rechte:<br />
ML = M . eL = (– 5i + 7j + 11k) .<br />
r r r<br />
i − 6 j + 3k<br />
−5<br />
− 42 + 33 −14<br />
=<br />
= = 2,06 Nm.<br />
46<br />
46 46<br />
Als de arm voor het mom<strong>en</strong>t gekoz<strong>en</strong> wordt vanuit het punt (3, -1, 1), is de arm r = 2j. Het mom<strong>en</strong>t M is:<br />
r r r<br />
i j k<br />
M = r × F = 0<br />
2<br />
2<br />
3<br />
0<br />
−1<br />
= – 2i - 4k<br />
Dus is het mom<strong>en</strong>t van M langs de rechte<br />
M . eL = (– 2i + 0j - 4k) .<br />
r r r<br />
i − 6 j + 3k<br />
=<br />
46<br />
−2<br />
−12<br />
46<br />
46<br />
−14<br />
= = 2,06 Nm.<br />
46<br />
2.6. Bepaal het mom<strong>en</strong>t van e<strong>en</strong> kracht P waarvan de compon<strong>en</strong>t<strong>en</strong> zijn Px =22 N, Py =23 N, Pz =7 N, <strong>en</strong><br />
ager<strong>en</strong>d op het punt (1, -1, -2). Neem het mom<strong>en</strong>t om de rechte vanuit de oorsprong door het punt (3, -1,<br />
0). De coördinat<strong>en</strong> zijn gegev<strong>en</strong> in m.<br />
OPLOSSING<br />
P = 22i + 23j + 7k N<br />
De mom<strong>en</strong>t<strong>en</strong>arm is r = (1 - 0)i + (-1 - 0)j + (-2 - 0)k m.<br />
r r r<br />
i j k<br />
M = r × F =<br />
1 −1<br />
− 2 = 39i - 51j - 45k N . m.<br />
22<br />
23<br />
7<br />
2.7. E<strong>en</strong> mom<strong>en</strong>t<strong>en</strong>koppel van +60Nm ageert in e<strong>en</strong> vlak. Duidt dit koppel aan <strong>met</strong> (a) <strong>kracht<strong>en</strong></strong> van 10N <strong>en</strong><br />
(b) <strong>kracht<strong>en</strong></strong> van 30N.<br />
OPLOSSING<br />
In het geval van (a) moet de mom<strong>en</strong>t<strong>en</strong>arm 6m zijn, terwijl het in het geval (b) 2m moet zijn.<br />
De richting van de draaiing moet teg<strong>en</strong>wijzerzin zijn. De ev<strong>en</strong>wijdige <strong>kracht<strong>en</strong></strong> mog<strong>en</strong> onder gelijk welke<br />
hoek getek<strong>en</strong>d word<strong>en</strong>, zoals getoond in Fig. 2-6.<br />
Fig. 2-6 Fig. 2-7<br />
2.8. Combineer het koppel C1 = +20 N . m <strong>met</strong> het koppel C2 = -50 N . m, beide in het zelfde vlak. Zie Fig. 2-7.
OPLOSSING<br />
Om beide grafisch te combiner<strong>en</strong>, kan m<strong>en</strong> beide koppels uitdrukk<strong>en</strong> <strong>met</strong> <strong>kracht<strong>en</strong></strong> van e<strong>en</strong> zelfde<br />
grootte, bijvoorbeeld 10N, <strong>en</strong> e<strong>en</strong> zodanige tek<strong>en</strong>ing mak<strong>en</strong> dat twee van de <strong>kracht<strong>en</strong></strong>, waaronder één van<br />
elk koppel, collineair zijn maar in teg<strong>en</strong>overgestelde zin.<br />
Het spreekt vanzelf dat collineaire <strong>kracht<strong>en</strong></strong> elkaar opheff<strong>en</strong>, zodat twee <strong>kracht<strong>en</strong></strong> van 10N <strong>met</strong> e<strong>en</strong><br />
arm van 3m overblijv<strong>en</strong>. Het resulter<strong>en</strong>de koppel is -30N . m, <strong>en</strong> dit resultaat kan ook verkreg<strong>en</strong> word<strong>en</strong><br />
door e<strong>en</strong> algebraïsche optelling.<br />
2.9. Vervang e<strong>en</strong> <strong>met</strong> e<strong>en</strong> mom<strong>en</strong>t van -100 N . m <strong>en</strong> e<strong>en</strong> verticale kracht van 50 N, ager<strong>en</strong>d in de oorsprong,<br />
door één <strong>en</strong>kele kracht. Waar oef<strong>en</strong>t deze <strong>en</strong>kele kracht zich dan uit?<br />
OPLOSSING<br />
In Fig. 2-8 wordt het koppel voorgesteld door twee gelijke maar teg<strong>en</strong>gestelde <strong>kracht<strong>en</strong></strong> van 50N<br />
op e<strong>en</strong> afstand van 2m. E<strong>en</strong> kracht van het koppel is gericht volg<strong>en</strong>s de gegev<strong>en</strong> 50N-kracht in de<br />
oorsprong. Deze twee <strong>kracht<strong>en</strong></strong> annuler<strong>en</strong> elkaar <strong>en</strong> lat<strong>en</strong> e<strong>en</strong> <strong>en</strong>kele naar bov<strong>en</strong> gerichte kracht van 50N<br />
over, die zich op 2m links van de oorsprong uitoef<strong>en</strong>t.<br />
Fig. 2-8<br />
2.10. Combineer e<strong>en</strong> kracht van 30 N, 60° <strong>met</strong> e<strong>en</strong> +50N . m koppel in het zelfde vlak. Zie Fig. 2-9.<br />
OPLOSSING<br />
Zo’n koppel kan niet tot e<strong>en</strong> e<strong>en</strong>voudiger stelsel word<strong>en</strong> herleid, maar het kan word<strong>en</strong><br />
gecombineerd <strong>met</strong> e<strong>en</strong> andere kracht.<br />
Tek<strong>en</strong> het gegev<strong>en</strong> koppel <strong>met</strong> 30-N-<strong>kracht<strong>en</strong></strong> <strong>en</strong> op zulke wijze dat e<strong>en</strong> van de <strong>kracht<strong>en</strong></strong> collineair<br />
is <strong>met</strong> de gegev<strong>en</strong> <strong>en</strong>kele kracht van 30N maar in teg<strong>en</strong>gestelde zin.<br />
Het blijkt dat de collineaire <strong>kracht<strong>en</strong></strong> elkaar opheff<strong>en</strong>, <strong>en</strong> dit laat e<strong>en</strong> <strong>en</strong>kele kracht van 30N over<br />
ev<strong>en</strong>wijdig aan <strong>en</strong> in de zelfde richting als de oorspronkelijke kracht maar op e<strong>en</strong> afstand van 1,67m.<br />
Fig. 2-9 Fig. 2-10<br />
25
26<br />
2.11. Zoals getoond in Fig. 2-10, ageert e<strong>en</strong> koppel C1 van 20N . m in het xy-vlak, e<strong>en</strong> koppel C2 van 40N . m in<br />
het yz-vlak, <strong>en</strong> e<strong>en</strong> koppel C3 van -55N . m in het xz-vlak. Bepaal het resulter<strong>en</strong>de koppel.<br />
OPLOSSING<br />
Het koppel C1 is positief <strong>en</strong> ageert in het xy-vlak. Gezi<strong>en</strong> vanuit de positieve zin van de z-as, geeft<br />
het de indruk e<strong>en</strong> draaiing te weeg te br<strong>en</strong>g<strong>en</strong> in teg<strong>en</strong>wijzerzin rond de z-as. Door de regel van de<br />
rechterhand, wordt het voorgesteld door e<strong>en</strong> vector langs de z-as in de positieve richting. Op deze wijze<br />
word<strong>en</strong> alle drie koppels in de figuur getek<strong>en</strong>d. Door de vector<strong>en</strong> op te tell<strong>en</strong> komt er dan:<br />
C =<br />
2 2 2<br />
C 1 + C2<br />
+ C3<br />
=<br />
2 2 2<br />
( 20)<br />
+ ( 40)<br />
+ ( −55)<br />
= 70,9 N . m.<br />
cos φx = C2/C = +0,564 cos φy = C3/C = +0,777 cos φz = C1/C = +0,282<br />
Dit zijn de cosinusrichting<strong>en</strong> van het koppel C. Het koppel ageert in e<strong>en</strong> vlak loodrecht op deze vector.<br />
Het koppel C wordt als volgt geschrev<strong>en</strong> in vectornotatie:<br />
C = + 40i - 55j + 20k N . m.<br />
waaruit ook de waarde van C volgt zoals hierbov<strong>en</strong>.<br />
2.12. E<strong>en</strong> pijp van 2cm dia<strong>met</strong>er wordt onderworp<strong>en</strong> aan e<strong>en</strong> kracht van 25N, die verticaal toegepast wordt op<br />
e<strong>en</strong> horizontale staaf <strong>met</strong> e<strong>en</strong> arm van 14cm. Vervang de 25N door (1) e<strong>en</strong> kracht op het einde van de pijp<br />
om die de buiging te veroorzak<strong>en</strong> <strong>en</strong> (2) e<strong>en</strong> koppel die de pijp doet draai<strong>en</strong> <strong>en</strong> het e<strong>en</strong> torsie te gev<strong>en</strong>.<br />
Wat zijn de mom<strong>en</strong>t<strong>en</strong> van de kracht <strong>en</strong> het koppel? Zie Fig. 2-11(a).<br />
Fig. 2-11<br />
OPLOSSING<br />
Plaats twee verticale <strong>kracht<strong>en</strong></strong> van 25N in teg<strong>en</strong>overgestelde richting door het c<strong>en</strong>trum van de pijp<br />
zoals getoond in Fig. 2-11(b). De drie <strong>kracht<strong>en</strong></strong> zijn equival<strong>en</strong>t aan de originele kracht.<br />
De naar bov<strong>en</strong> gerichte kracht combineert <strong>met</strong> de originele kracht tot e<strong>en</strong> koppel C = 25 × 14 =<br />
350Ncm. Dit koppel neigt om de pijp te do<strong>en</strong> draai<strong>en</strong> in teg<strong>en</strong>wijzerzin wanneer het gezi<strong>en</strong> wordt van<br />
rechts.<br />
De andere 25N-kracht veroorzaakt e<strong>en</strong> buigingsmom<strong>en</strong>t M = - 25 × 20 = -500Ncm rondom de zas.
2.13. Los Vraagstuk 2.12 op door het mom<strong>en</strong>t van de 25N-kracht rond O te bepal<strong>en</strong>.<br />
OPLOSSING<br />
De positievector van het punt waar de 25n-kracht wordt toegepast is, vanuit de oorsprong, r = 20i<br />
+ 14k. De kracht is F = - 25j. Dus is het mom<strong>en</strong>t van de 25N-kracht <strong>met</strong> respect tot de oorsprong:<br />
r r r<br />
i j k<br />
M = r × F = 20<br />
0<br />
0<br />
− 25<br />
Dit komt overe<strong>en</strong> <strong>met</strong> de resultat<strong>en</strong> van Vraagstuk 2.12.<br />
14 = [0 – 14(-25)]i - [0 – 0]j + [20(-25) - 0]k = 350i – 500k N . m.<br />
0<br />
2.14. De kraan in Fig. 2-12 staat op grondniveau. De x-as gaat door de punt<strong>en</strong> waar de achterste wiel<strong>en</strong> de<br />
grond rak<strong>en</strong>, de y-as is ev<strong>en</strong>wijdig aan de dwarse middellijn van de kraan van achter naar voor, <strong>en</strong> de z-as<br />
loopt volg<strong>en</strong>s de verticale. Het platform van de kraan staat 90cm bov<strong>en</strong> de grond. Om praktische red<strong>en</strong><strong>en</strong><br />
kan verondersteld word<strong>en</strong> dat het draai<strong>en</strong>de steunpunt van de onderkant van de arm in het vlak van de<br />
kraan ligt <strong>en</strong> op 180cm van het middelpunt van het voertuig. Het middelpunt van het voertuig ligt op de<br />
middellijn 450cm naar vor<strong>en</strong> (naar links) van de achterste wielaslijn. De 1500cm lange arm maakt e<strong>en</strong><br />
hoek van 60° <strong>met</strong> het vlak van de kraan in e<strong>en</strong> verticaal vlak, <strong>en</strong> het voertuig <strong>en</strong> de arm zijn horizontaal<br />
gedraaid over 45° teg<strong>en</strong>over de voorkant <strong>en</strong> middellijn van het vlak van het voertuig. De afstand tuss<strong>en</strong> de<br />
contactpunt<strong>en</strong> tuss<strong>en</strong> de achterste wiel<strong>en</strong> is 240cm. Bepaal het draaimom<strong>en</strong>t van de 4000N zware lading<br />
over de x-as.<br />
OPLOSSING<br />
Fig. 2-12<br />
Met betrekking tot de oorsprong O op de as, zijn de coördinat<strong>en</strong> van het middelpunt van het<br />
voertuig (-120, -450, 90). De coördinat<strong>en</strong> van de onderkant van de arm zijn (-120 + 180 sin 45°, -450 +<br />
180 cos 45°, 90) of (7,2 ; -324; 90). De coördinat<strong>en</strong> van de bov<strong>en</strong>kant van de arm zijn (7,2 + 1500 cos 60°<br />
sin 45°; -324 + 1500 cos 60° cos 45°; 90 + 1500 sin 60°) of (537 ; 207,3 ; 1389).<br />
27
28<br />
Het mom<strong>en</strong>t van de 4000N kracht rond O is dan:<br />
r r r<br />
i j k<br />
M = r × F = 537<br />
0<br />
207,<br />
3<br />
0<br />
1389<br />
− 4000<br />
De scalaire coëfficiënt van de i term is het mom<strong>en</strong>t rond de x-as. Dus is Mx = - 829200N . m. Het mom<strong>en</strong>t<br />
gaat dus in wijzerzin rond de x-as wanneer gezi<strong>en</strong> vanaf de voorzijde.<br />
Aanvull<strong>en</strong>de vraagstukk<strong>en</strong><br />
2.15. Bepaal in elk van de volg<strong>en</strong>de gevall<strong>en</strong> het mom<strong>en</strong>t van de kracht F rond de oorsprong. Gebruik de stelling<br />
van Varignon.<br />
Grootte van F Hoek van F <strong>met</strong><br />
de horizontale<br />
Coördinat<strong>en</strong> van<br />
het punt van<br />
toepassing van F.<br />
Antwoord<br />
20N 30° (5, -4) m 119 Nm<br />
64N 140° (-3, 4) m 72,9 Nm<br />
15N 337° (8, -2) m -19,3Nm<br />
8N 45° (6, 1) m 28,3Nm<br />
4N 90° (0, -20) m 0<br />
96N 60° (4, 2) m 236Nm<br />
2.16. Gebruik in Vraagstuk 2.15 het vectorproduct van het mom<strong>en</strong>t (M = r × F) om het mom<strong>en</strong>t te bepal<strong>en</strong>. Elk<br />
antwoord zal e<strong>en</strong> e<strong>en</strong>heidsvector k drag<strong>en</strong>.<br />
2.17. E<strong>en</strong> kracht van 50N is gericht langs de rechte doorhe<strong>en</strong> e<strong>en</strong> punt <strong>met</strong> x-, y-, z-coördinat<strong>en</strong> (8, 2, 3)m naar<br />
e<strong>en</strong> punt <strong>met</strong> coördinat<strong>en</strong> (2, -6, 5)m. Wat zijn de scalaire mom<strong>en</strong>t<strong>en</strong> van de kracht om de x-, y-, z-ass<strong>en</strong>?<br />
Ant. Mx = 137N . m, My = -167N . m, Mz = -255N . m.<br />
2.18. Gegev<strong>en</strong> de kracht P = 32,4i – 29,3j + 9,9k N die uitgeoef<strong>en</strong>d wordt op de oorsprong. Bepaal het mom<strong>en</strong>t<br />
rond e<strong>en</strong> rechte door de punt<strong>en</strong> (0, -1, 3) <strong>en</strong> (3, 1, 1). De coördinat<strong>en</strong> word<strong>en</strong> gegev<strong>en</strong> in <strong>met</strong>er.<br />
Ant. M = -88,2N . m.<br />
2.19. E<strong>en</strong> kracht wordt uitgeoef<strong>en</strong>d op de oorsprong. De coördinat<strong>en</strong> van de kracht zijn Px = 68,7 N, Py = 22,9 N,<br />
Pz = 68,7 N. Bepaal het mom<strong>en</strong>t van de kracht P rond e<strong>en</strong> rechte door de punt<strong>en</strong> (1, 0, -1) <strong>en</strong> (4, 4, -1). De<br />
coördinat<strong>en</strong> word<strong>en</strong> gegev<strong>en</strong> in <strong>met</strong>er. Ant. M = -13,7N . m.<br />
2.20. Combineer C1 = +20,7 N . m, C2 = -80 N . m <strong>en</strong> C3 = -18 N . m, die zich alle uitoef<strong>en</strong><strong>en</strong> in het zelfde vlak.<br />
Ant. C = -78N . m, die zich uitoef<strong>en</strong>t in het zelfde vlak of in ev<strong>en</strong>wijdig vlak.<br />
2.21. Vervang e<strong>en</strong> verticale kracht van 270N die zich neerwaarts uitoef<strong>en</strong>t in de oorsprong door e<strong>en</strong> verticale<br />
kracht van 270N ager<strong>en</strong>d in x = -5 <strong>en</strong> e<strong>en</strong> koppel.<br />
Ant. C = -1350N . m.
2.22. Bepaal de resultante vector van de drie koppels +16N . m, -45N . m, +120N . m, die zich respectievelijk<br />
uitoef<strong>en</strong><strong>en</strong> in de xy, yz, <strong>en</strong> xz vlakk<strong>en</strong>.<br />
Ant. C = +129N . m, cos θx = -0,349; cos θy = 0,931; cos θz = 0,124.<br />
2.23. Voeg het koppel C = 30i – 20j + 35k N . m toe aan het resultante koppel uit Vraagstuk 2.22.<br />
Ant. C = -15i + 100j + 51k N . m.<br />
2.24. De 24-N <strong>kracht<strong>en</strong></strong> toegepast op de hoek<strong>en</strong> A <strong>en</strong> B van het parallellepipedum getoond in Fig. 2-13 ager<strong>en</strong><br />
lang AE <strong>en</strong> BF, respectievelijk. Toon dat het gegev<strong>en</strong> koppel kan vervang<strong>en</strong> word<strong>en</strong> door e<strong>en</strong><br />
verzameling verticale <strong>kracht<strong>en</strong></strong> bestaande uit e<strong>en</strong> naar bov<strong>en</strong> wijz<strong>en</strong>de 16N kracht in het punt C <strong>en</strong> e<strong>en</strong><br />
16N naar b<strong>en</strong>ed<strong>en</strong> wijz<strong>en</strong>de kracht in D.<br />
Fig. 2-13 Fig. 2-14<br />
2.25. Vervang de verzameling van drie ev<strong>en</strong>wijdige <strong>kracht<strong>en</strong></strong>, getoond in Fig. 2-14 door e<strong>en</strong> <strong>en</strong>kele kracht. Wat<br />
is de grootte, de richting <strong>en</strong> zin <strong>en</strong> de plaats van de <strong>en</strong>kele kracht?<br />
Ant. 80N, verticaal naar bov<strong>en</strong>, 0,75m links van A.<br />
2.26. Op e<strong>en</strong> horizontale staaf van 8m wordt e<strong>en</strong> neerwaartse verticale kracht uitgeoef<strong>en</strong>d van 12N aan het<br />
rechtse einde zoals getoond in Fig. 2-15. Toon dat deze equival<strong>en</strong>t is aan e<strong>en</strong> verticale 12N kracht naar<br />
b<strong>en</strong>ed<strong>en</strong> uitgeoef<strong>en</strong>d aan het linkse einde <strong>en</strong> e<strong>en</strong> koppel in wijzerzin van 96N . m.<br />
Fig. 2-13 Fig. 2-14<br />
2.27. E<strong>en</strong> moersleutel in horizontale positie is vastgezet rond e<strong>en</strong> pijp aan het linkse einde. E<strong>en</strong> verticale kracht<br />
van 20N zal word<strong>en</strong> toegepast aan het rechtse einde <strong>met</strong> e<strong>en</strong> effectieve arm van 300mm. Toon dat dit<br />
equival<strong>en</strong>t zal zijn aan e<strong>en</strong> kracht van 20N die verticaal naar b<strong>en</strong>ed<strong>en</strong> is gericht <strong>en</strong> zich uitoef<strong>en</strong>t door het<br />
c<strong>en</strong>trum van de pijp <strong>en</strong> e<strong>en</strong> wijzerzin koppel van 6N . m. Verwijs naar Fig. 2-16.<br />
29
30<br />
2.28. Reduceer het systeem van <strong>kracht<strong>en</strong></strong> in de riem<strong>en</strong> getoond in Fig. 2-17 naar e<strong>en</strong> <strong>en</strong>kele kracht in O <strong>en</strong> e<strong>en</strong><br />
koppel. De <strong>kracht<strong>en</strong></strong> zijn ofwel verticaal of horizontaal. Ant. 78,3N, θx = 296,5°, C = 0.<br />
Fig. 2-17 Fig. 2-18<br />
2.29. Reduceer het systeem van <strong>kracht<strong>en</strong></strong> zich oef<strong>en</strong><strong>en</strong>d op de balk getoond in Fig. 2-18 naar e<strong>en</strong> kracht in A <strong>en</strong><br />
e<strong>en</strong> koppel.<br />
Ant. R = 100N naar bov<strong>en</strong> in A, C = 6000N . m.<br />
2.30. Verwijz<strong>en</strong>d naar Fig. 2-19, reduceer het systeem van <strong>kracht<strong>en</strong></strong> <strong>en</strong> koppels naar het e<strong>en</strong>voudigste systeem<br />
gebruik mak<strong>en</strong>d van punt A.<br />
Ant. Rx = 48,1N, Ry = -3,9N, C = +36,2N . m.<br />
Fig. 2-19 Fig. 2-20<br />
2.31. Bepaal de mom<strong>en</strong>t<strong>en</strong> van de twee <strong>kracht<strong>en</strong></strong> rondom de x, y <strong>en</strong> z- as getoond in Fig. 2-20.<br />
Ant. M = 488i + 732k N . m of Mx = 488 N . m, Mx = 0, Mx = 732 N . m.