Volledige inhoud (pdf) - Pythagoras

Oplossing opdracht 4
Deze laatste Sangaku-opdracht kan je
goed demonstreren door een vierkant
stuk papier (origamipapier of een servet)
zó te vouwen, dat het hoekpunt B ergens
op de zijde CD terecht komt. Noem dit
punt B'. Dan zijn de driehoeken FA'E en
B'DE rechthoekig en gelijkvormig, en de
stralen van hun ingeschreven cirkels noemen
we s en r. De opdracht is te bewijzen
dat waar je B' ook kiest, er altijd geldt
r = X.
In de vorige opdracht hebben we gezien
dat de diameter van een in een rechthoekige
driehoek ingeschreven cirkel gelijk is
aan de som van de twee rechte zijden
minus de schuine zijde. Dus:
2s = X + y - z.
In de twee gelijkvormige driehoeken FA'E
en B'DE is de verhouding van de straal
van de ingeschreven cirkel tot een zijde
hetzelfde. Met andere woorden:
Hieruit volgt:
-^ = ^ en ^^ = -^,
DE A'E B'E EF
r(EF-AE) = siB'E-DE).
Maar EF-fiïE-z-x en met a als de zijde
van het vierkant: B'E- DE - {a-x) - (ay-z)
= y + z-x. Verder zagen we al dat
s = 2(x + y-z), zodat:
r{z-x) -\{x + y-z)(y-x + z)
^\(y'-(x-z)')
= \iy^-x^-z'- + 2xz)
In de rechterkant staat y^- x"^- z'. Dit is
gelijk aan -2x~, want volgens de stelling
van Pythagoras geldt .v^ + y^= z' (de driehoek
EAF is immers rechthoekig). Dus we
hebben:
r{z-x) = \{2xz- Ix^) = x(z-x).
Hieruit volgt dat r = x. ^