Volledige inhoud (pdf) - Pythagoras

Oplossing opdracht 3
Als je de tekening van deze Sangakuopdracht
zorgvuldig bekijkt, zie je dat deze
is ontstaan door in het vierkant vier identieke
rechthoekige driehoeken te tekenen,
één op elke zijde van het vierkant. Van elke
driehoek is de ingeschreven cirkel getekend.
In het midden van het grote vierkant
ontstaat een kleiner vierkant, waarvan ook
de ingeschreven cirkel getrokken is.
De figuur die je krijgt hangt af van de
rechthoekige driehoek die je gekozen hebt.
In de figuur hierboven is de middelste cirkel
niet even groot als de vier andere, in de
tekening in het juninummer was dat wel het
geval. De Sangaku-opdracht is te bepalen
wanneer alle cirkels even groot zijn.
Het bepalen van de straal r van een ingeschreven
cirkel is in een rechthoekige driehoek
niet moeilijk: je moet bedenken dat de
raakpunten op de rechthoekszijden, het
rechthoekige hoekpunt en het midden van
32
de ingeschreven cirkel een vierkant vormen.
Dit volgt gemakkelijk uit (I). Volgens (II)
verdelen de raakpunten de zijden in zes
stukken, waarvan de stukken met hetzelfde
hoekpunt paarsgewijs even lang zijn (zie de
figuur bij II). Dus c= (a~ r) + (b~ r),
zodat:
a + b-c
Het kleine vierkant in het midden heeft
zijde (a- b), zodat de ingeschreven cirkel
straal (a- b)/2 heeft. Die moet gelijk zijn
aan r, zodat:
a b_a+b-c
Hieruit volgt dat b = c/2. De rechthoekige
driehoeken hebben daarom hoeken van
30° en 60° en er geldt a = \ v 3-