Volledige inhoud (pdf) - Pythagoras

De partitiefunctie geeft aan op hoeveel manieren een aantal knikkers kan worden
opgedeeld in groepjes. Samen met Hardy heeft Ramanujan verschillende resultaten over
de partitiefunctie ontdekt.
Ramanujan
en d? partitiefunctie
Frits Beukers
Een partitie van n voorwerpen is een opdeling
van deze voorwerpen in groepjes.
Zo kun je 5 knikkers verdelen in vier
groepjes: één groepje van van 2 en drie
groepjes van 1. Deze verdeling geeft een
zogenaamde partitie van 5:
5 = 2+1 + 1 + 1.
De getallen in de som schrijven we
gewoonlijk van groot naar klein op. Een
andere partitie is 5 = 3 + 2. Ook 5
= 1 + 1 + 1 + 1 + 1 (vijf groepjes) en 5
= 5 (één groepje) zijn partities. Alle partities
van 5 worden weergegeven in figuur 1:
3+2
4+1
2+2+1 # #
2+1+1+1 1+1+1+1+1
Figuur L De partities van 5.
15
Het aantal partities van n geven we aan met
p{n). Dit aantal is dus een functie van n. In
ons voorbeeld hebben we/7(5)=7.
Tellen
Door te tellen kun je voor een aantal kleine
waarden van n zelf het aantal partities
p(n) berekenen. De eerste paar waarden
hebben we verzameld in tabel 2.
1
3
pin)
11
Tabel 2. De eerste paar waarden van de partitiefunctie. Je
leest af datp(5) = 7 (zie figuur 1). Kun jep(7) berekenen?
Bizarre gelijkheden
De partitiefunctie heeft altijd de aandacht
getrokken vanwege zijn bijzondere eigenschappen.
Euler ontdekte bijvoorbeeld de
volgende bizarre gelijkheid:
p(n) = /?(n ^ 1) + p(n - 2) - p(n - 5)
-p{n-l) + p(n- 12)+ /?(«-15)
- p(n - 22) - p{n - 26) + p{n - 35)
+ p(n-40)-...
Kun je hierin een patroon vinden? Als je