Vectoren

Hoofdstuk 1
Vectoren
1 RICHTING EN ZIN
In de vorige jaren zijn in de wiskunde de begrippen richting en zin al aan bod
gekomen. Omdat de betekenis ervan enigszins verschilt van wat in het dagelijks
leven gebruikelijk is, besteden we er nog even aandacht aan.
Het vlak waarin we werken noemen we Π.
Richting
In het vlak Π kiezen we een rechte a. De verzameling
van alle rechten evenwijdig met a noemen we
richting a
a
Van twee rechten die tot die verzameling behoren,
zeggen we dat ze dezelfde richting hebben.
Neem nu een rechte b die niet tot richting a behoort.
Π
b
De verzameling van alle rechten evenwijdig met b is dan richting b. Richting a en
richting b hebben geen enkele rechte gemeenschappelijk. We noemen ze verschillende
richtingen. Van a en b zelf zeggen we dat ze een verschillende richting
hebben.
Zin
De punten van een rechte a kun je in twee bijzondere zinnen doorlopen:
ofwel ofwel
a a
We noemen de ene zin de tegengestelde van de andere.
Ook voor twee rechten van eenzelfde richting gebruiken we de uitdrukking zin:
zelfde zin zelfde zin tegengestelde zin tegengestelde zin
Dagelijks leven
Veronderstel dat de autoweg tussen Oostende en Brussel kaarsrecht is. Op die
weg rijdt Jan van Oostende naar Brussel en Sven van Brussel naar Oostende. In
het dagelijks leven zeggen we dat ze in tegengestelde richtingen rijden. In de wiskunde
zeggen we: ze rijden in dezelfde richting maar in tegengestelde zin.
In de wiskunde bestaat er trouwens niet zoiets als tegengestelde richtingen, wél
verschillende richtingen. De richting van een kaarsrechte baan tussen Gent en
Kortrijk is een andere dan de richting Oostende-Brussel.
7
1

1
8
2 PUNTENKOPPEL
Verzameling van twee punten
B
We nemen twee punten A en B van het vlak Π.
Beschouwen we die samen, dan hebben we de verzame- A
ling van de punten A en B; we noteren:
{A, B}
Je mag ook {B, A} noteren, want bij een verzameling mag je de elementen in om
het even welke volgorde opschrijven.
Puntenkoppel
We kunnen aan de punten A en B echter ook een volgorde
toekennen, bijvoorbeeld eerst A en dan B. We spreken
B
dan niet meer over de verzameling van die punten, maar
gebruiken de naam puntenkoppel en noteren:
(A, B)
A
Het punt A noemen we het beginpunt van het koppel, het punt B het eindpunt. Op
de figuur wordt de volgorde (eerst A, dan B) getoond door een pijl te trekken van
A naar B.
Kiezen we eerst B en dan A, dan hebben we een ander
puntenkoppel en noteren we:
B
(B, A)
In dat geval is B het beginpunt en A het eindpunt.
Je mag ook tweemaal eenzelfde punt C nemen; je krijgt
dan het koppel
A
(C, C)
Zo’n koppel noemen we een identiek koppel.
In plaats van een pijl van C naar C tekenen we dan een lus.
Drager van een niet-identiek puntenkoppel
C
Voor een niet-identiek puntenkoppel (A, B) noemen we de rechte AB de drager
van het puntenkoppel. Het puntenkoppel bepaalt dan op die drager een zin, namelijk
die zin waarvoor het beginpunt van het koppel vóór het eindpunt doorlopen
wordt.
Puntenkoppels met dezelfde richting
Zijn de dragers van twee niet-identieke koppels
evenwijdig, dan zeggen we dat die koppels dezelf-
B
C
de richting hebben.
Op de figuur hebben de koppels (A, B) en (C, D)
A
dezelfde richting; de koppels (A, B) en (E, F) hebben
niet dezelfde richting.
Puntenkoppels met dezelfde zin
D E F
Hebben twee puntenkoppels dezelfde richting, dan zeggen we dat ze dezelfde zin
hebben wanneer de zinnen die ze op die dragers bepalen dezelfde zijn.
Bepalen ze op die evenwijdige dragers tegengestelde zinnen, dan zeggen we dat
de puntenkoppels een tegengestelde zin hebben.

Op de figuur hebben de koppels (A, B) en
(C, D) dezelfde zin; de koppels (A, B) en
(E, F) hebben een tegengestelde zin.
B
D
Voor de koppels (A, B) en (G, H) kunnen
we de uitdrukkingen ‘dezelfde zin’ of
‘tegengestelde zin’ niet gebruiken, want
de dragers zijn niet evenwijdig.
A
C E
H
Lengte van een puntenkoppel
Is een puntenkoppel (A, B) niet identiek,
F
G
dan noemen we de lengte van het lijnstuk [AB] de lengte van het puntenkoppel.
Aan een identiek koppel kennen we de lengte met maatgetal 0 toe.
3 HET BEGRIP VECTOR
Instap
Hierboven zijn enkele puntenkoppels getekend.
Geef drie kenmerken die ze gemeenschappelijk hebben.
Het begrip vector
De drie gezochte kenmerken zijn:
– ze hebben dezelfde richting
– ze hebben dezelfde zin
– ze hebben dezelfde lengte.
Elk punt van het vlak kun je als beginpunt nemen van een puntenkoppel met die
richting, die lengte en die zin. De verzameling puntenkoppels die je zo verkrijgt,
noemen we een vector. De richting, zin en lengte van de puntenkoppels noemen
we ook de richting, de zin en de lengte van de vector.
Afzonderlijke definitie
Ook de verzameling van alle identieke puntenkoppels
noemen we een vector, de zogenaamde nulvector.
9
1

1
10
Vertegenwoordiger
Elk van de puntenkoppels van een vector noemen we een vertegenwoordiger of
representant van die vector. Om een vector weer te geven volstaat die vertegenwoordiger,
dus één puntenkoppel.
Conclusies
Een vector is bepaald door het geven van één puntenkoppel.
Een vector, verschillend van de nulvector, is bepaald door zijn richting, zijn
lengte en zijn zin.
Opmerkingen
1 De nulvector heeft geen richting en geen zin, maar wel een lengte, namelijk de
lengte met maatgetal 0.
2 We zullen de pijl die het beginpunt van een vertegenwoordiger van een vector
met het eindpunt verbindt zo veel mogelijk rechtlijnig tekenen. Wordt de
figuur daardoor onduidelijk of vallen twee pijlen deels samen, dan zullen we
de pijl kromlijnig tekenen. Een lus blijft natuurlijk een lus.
4 NOTATIES EN BENAMINGEN
Notaties
1 De vector bepaald door het puntenkoppel (A, B) noteren we:
AB f
Geven we geen naam aan het beginpunt en het
eindpunt van een puntenkoppel dat de vector
bepaalt, dan noteren we de vector met een
kleine letter met een pijltje erboven:
u
g
of
g
v of w
g
De nulvector noteren we:
AA f of o g
AB
A
A
A is dan een willekeurig punt van het vlak.
2 Voor de lengte van de vector AB f noteren we:
|AB f |
Die notatie gebruiken we ook voor het maatgetal van die lengte. Uit de tekst
blijkt wel of we de lengte van de vector of het maatgetal van die lengte bedoelen.
3 De verzameling van alle vectoren noteren we:
Vect
u
o
B

Benamingen
Evenwijdige vectoren
Twee vectoren u g en v g , verschillend van de nulvector
en met dezelfde richting, noemen we evenwijdige
vectoren.
We noteren:
u
g
//
g
v
Van de nulvector zeggen we dat hij evenwijdig is
met elke vector.
Tegengestelde vectoren
De vector BA f noemen we de tegengestelde vector
van de vector AB f ; we noteren:
– AB f
Zo vinden we onze eerste formule van de vectorrekening:
BA f = – AB f
5 GELIJKE VECTOREN
Gelijke vectoren
Als twee koppels (A, B) en (C, D) tot eenzelfde
vector behoren, dan kunnen we die
vector zo noteren:
AB f of CD f
We noteren dan ook:
AB f = CD f
en gebruiken de uitdrukking gelijke vectoren.
In wezen gaat het om dezelfde vector.
Verband met lengte
– Gelijke vectoren hebben gelijke lengten.
AB f = CD f ê |AB f | = |CD f |
– Omgekeerd zijn vectoren met een gelijke lengte niet noodzakelijk gelijke vectoren.
De vectoren AB f en EF
f hebben een gelijke
lengte maar het zijn geen gelijke vec-
B
toren. Ze hebben immers een verschillende
richting.
A
E
A
A
C
u
AB
BA
v
B
B
11
D
F
1

1
12
Verband met het parallellogram
We nemen twee vectoren AB f en CD f , verschillend van de nulvector.
Geval 1 AB f = CD f en AB en CD zijn verschillende rechten
Omdat de vectoren gelijk zijn, zijn de lijnstukken
[AB] en [CD] evenwijdig en even lang.
In de vierhoek ABDC zijn dan twee overstaande
zijden evenwijdig en even lang; die vierhoek is
dus een parallellogram.
De eigenschap geldt ook omgekeerd: is ABDC
een parallellogram, dan hebben de koppels (A, B)
en (C, D) dezelfde richting, dezelfde zin en dezelfde lengte en dus geldt:
AB f = CD f
A
C
Merk op: uit het feit dat ABDC een parallellogram is, volgt ook
A
BA f = DC f
C
B
D
A
AC f = BD f
C
CA f = DB f
C
Geval 2 AB f = CD f en AB en CD zijn eenzelfde rechte a
We nemen een vector EF f gelijk aan
AB f en CD f , waarbij de rechte EF niet
samenvalt met a.
Zoals in geval 1 vind je dat ABFE en
CDFE parallellogrammen zijn.
Bijgevolg kunnen voor de gelijke vectoren AB f en CD f de puntenkoppels (A, B) en
(C, D) verbonden worden door twee parallellogrammen.
Ook die eigenschap geldt omgekeerd: als twee puntenkoppels (A, B) en (C, D)
verbonden zijn door parallellogrammen ABFE en CDFE, dan zijn de vectoren
AB f en CD f C
B
D a
A
F
E
gelijk.
Conclusie
Voor twee vectoren AB f en CD f , verschillend van de nulvector en met AB ≠ CD
geldt:
AB f = CD f ® ABDC is een parallellogram
Voor twee vectoren AB f en CD f , verschillend van de nulvector en met AB = CD
geldt:
AB f = CD f ® (A, B) en (C, D) kunnen verbonden worden door
twee parallellogrammen ABFE en CDFE
B
D
A
B
B
D
D

6 VERBAND MET VERSCHUIVINGEN
Je kent al sedert geruime tijd het begrip verschuiving.
A
Een verschuiving (ook translatie genoemd) is een verzameling puntenkoppels
waarbij elk punt van het vlak het beginpunt van een puntenkoppel van de verschuiving
is.
Al die puntenkoppels hebben dezelfde richting, dezelfde zin en dezelfde lengte.
Ze vormen dus een vector.
Conclusie
Verschuiving en vector zijn synoniemen.
Het verschil zit in het taalgebruik.
– We zullen bijvoorbeeld nooit spreken over het beeld van een figuur door een
vector, wel over het beeld van een figuur door een verschuiving.
– Iets verderop leren we de som van twee vectoren. De naam som zullen we
nooit gebruiken voor twee verschuivingen.
Neem het getal 1000.
Tel er 40 bij.
Tel er 1000 bij.
Tel er 30 bij.
Nog eens plus 1000.
Plus 20.
Plus 1000 en dan plus 10.
Geef het totaal.
Antwoord op blz. 14
B
A'
C
B'
C'
13
1

1
14
7 VECTOREN IN DE FYSICA
Krachten
In de fysica worden krachten door vectoren voorgesteld. In plaats van beginpunt
zeggen we daar aangrijpingspunt. In plaats van lengte zeggen we grootte.
Snelheden
Een kikker maakt een sprong onder een hoek van 45° en met een beginsnelheid
van 5 m/s. Even later maakt hij op dezelfde plaats en in hetzelfde verticale vlak
een nieuwe sprong, nu onder een hoek van 60° en met een beginsnelheid van
10 m/s.
Die gegevens worden met vectoren voorgesteld. De richting en zin van de vector
geven de startbeweging weer. De lengte van de vectoren geeft de eigenlijke grootte
van de snelheden weer; daarom tekenen we de ene vector dubbel zo lang als de
andere.
Opmerking
Het vectorbegrip dat in de fysica gebruikt wordt, is niet helemaal hetzelfde als in
de wiskunde. In de fysica mag je een andere vertegenwoordiger alleen op de drager
van de vorige nemen.
Antwoord op de opdracht van blz. 13
Velen antwoorden 5000.
De correcte som is echter 4100.
5 N

8 INSTAP
a De steden A, B en C zijn met rechte
wegen verbonden.
Jan fietst van A naar B. We stellen
dat voor door de vector AB f .
Dan fietst hij van B naar C; dat stellen
we voor door de vector BC f .
Als het zijn bedoeling is om vanuit
A in C te geraken, kan hij de vorige
twee verplaatsingen vervangen door
rechtstreeks van A naar C te rijden;
dat stellen we voor door de vector
AC f .
De verplaatsing voorgesteld door de vector AC f vervangt dus de opeenvolging
van de verplaatsingen voorgesteld door vectoren AB f en BC f B
C
A
C
B
A
.
We zeggen dat de vector AC f de som is van de vectoren AB f en BC f en noteren:
AB f + BC f = AC f
(1)
Merk op: de som van de lengten van de lijnstukken [AB] en [BC] is niet gelijk
aan de lengte van het lijnstuk [AC]:
|AB| + |BC| ≠ |AC|
We hebben in (1) dus te maken met een totaal andere soort som dan we
gewoon zijn uit de getallenleer.
b Resultante van twee krachten
F 1
F 2
F
De krachten waarmee de sleepboten het schip trekken, worden voorgesteld
f f
door de vectoren F1 en F2 . We kunnen beide sleepboten vervangen door één
sleepboot die trekt met een kracht F g . Die kracht F g wordt in de fysica de resul-
f f
tante van F1 en F2 genoemd; we vinden ze door uitgaande van het beginpunt
f f
en de eindpunten van F1 en F2 een parallellogram te construeren.
f f
In de wiskunde spreken we in plaats van over de resultante van F1 en F2 over
f f
de som van F1 en F2 ; we noteren dan ook:
F g f f
= F1 + F2
15
1

1
16
9 SOM VAN VECTOREN
Geval 1 de vectoren u g en v g worden voorgesteld door puntenkoppels (A, B)
en (B, C)
Het eindpunt van het eerste puntenkoppel is
dus het beginpunt van het tweede puntenkoppel.
We noemen de vector voorgesteld door het
puntenkoppel (A, C) de som van de vectoren
u g en v g B
v C
.
Voor die som noteren we zoals in de getal-
u
u + v
lenleer:
u
g
+
g
v
De definitie is dus:
AB f + BC f = AC f
Geval 2 de vectoren u g en v g worden voorgesteld door puntenkoppels (P, Q)
en (R, S) met Q ≠ R
Het eindpunt van het eerste puntenkoppel
en het beginpunt van het tweede koppel
zijn dus verschillend.
We kiezen een punt A van het vlak en vervangen
het puntenkoppel (P, Q) dat u g
voorstelt door een puntenkoppel met beginpunt
A: het puntenkoppel (A, B).
We vervangen ook het puntenkoppel (R, S)
dat v g voorstelt door een puntenkoppel met
beginpunt B: het puntenkoppel (B, C).
We noemen de vector voorgesteld door het
puntenkoppel (A, C) de som van de vectoren u g en v g en noteren daarvoor: u g + v g v S
R
u
Q
B
v C
P
u
u + v
A
.
Opmerkingen
1 Voor de bewerking gebruiken we zoals in
de getallenleer de naam optelling.
2 In geval 2 mag je het punt A in P kiezen;
de constructie wordt dan iets korter.
3 Een voorbeeld voor evenwijdige vectoren:
u
P Q
S
v
R
A
A
R
u
P = A
u + v
Q
C
v
v
u + v
u
v
S
C
B

De parallellogrammethode
Twee niet-evenwijdige vectoren u g en v g kun je
ook als volgt optellen.
We nemen een willekeurig punt A van het
vlak.
We stellen zowel u g als v g voor door puntenkoppels
met beginpunt A:
(A, B) en (A, C)
We construeren het parallellogram CABD.
Dan stelt ook (C, D) de vector u g voor en (B, D) de vector v g u
B
u
A v
.
Je vindt dus:
u
g
+
g f f f
v = AB + BD = AD
g
v + u
g f f f
= AC + CD = AD
Die methode noemen we de parallellogrammethode; de methode van de definitie
(gevallen 1 en 2) noemen we de methode van de opeenvolgende koppels.
Cabri-bestand
Het Cabri-bestand Somvectoren demonstreert de optelling van vectoren.
Verband met lengten
Voor niet-evenwijdige vectoren AB f en BC f
met som AC f merkten we in nr. 8, deel a, al
op dat je uit
AC f = AB f + BC f
niet kunt afleiden dat de lengte van AC f de
som is van de lengten van AB f en BC f B
C
A
.
Voor evenwijdige vectoren is er wel een verband, maar het hangt af van de ligging
van het punt C ten opzichte van [AB].
Uit AC f = AB f + BC f volgt:
C
A B C
A C B
A
B
u + v
v
v
v + u
u
C
|AC f | = |AB f | + |BC f |
|AC f | = |AB f | – |BC f |
|AC f | = |BC f | – |AB f |
17
D
1

1
18
10 NOG VOORBEELDEN UIT DE FYSICA
Voorbeeld 1
Op een valschermspringer werken twee krachten:
– een kracht gericht naar het middelpunt van de aarde en voorgesteld door de
f
vector F1 f
– de windkracht voorgesteld door de vector F2 .
De som F g van de vectoren stelt dan de kracht voor die beide krachten kan vervangen.
Voorbeeld 2
Een kraan trekt een voorwerp omhoog en haalt het tegelijk naar zich toe:
F 1
F 1
F
F 2
2
F
Voorbeeld 3
Een bootje, dat een rivier wil oversteken, verplaatst zich onder invloed van de
f f
motorkracht F1 en de kracht F2 uitgeoefend door het stromend water:
F 1
F 2
F
F 2
F
F 2

11 BETREKKING VAN CHASLES-MÖBIUS
Neem je drie punten A, B, C in het vlak Π, dan kun je, waar die punten ook liggen,
altijd de volgende som noteren:
AB f + BC f = AC f
A
Dus:
B
¡ A, B, C Ï Π: AB f + BC f = AC f
Die betrekking wordt de betrekking van Chasles-Möbius genoemd.
Van links naar rechts
De betrekking stelt het optellen van vectoren voor. Je moet dat kunnen toepassen
zonder naar een figuur te kijken. Let daarom op de volgorde van de letters:
in het linkerlid: een eerste letter, een tweede letter tweemaal, een derde letter.
in het rechterlid: die eerste letter gevolgd door die derde letter.
Bijvoorbeeld:
SZ f + ZM f = SM f
PC f + CE
f = PE f
Van rechts naar links
De betrekking laat toe een vector te splitsen in een som van vectoren met behulp
van een willekeurig punt.
Bijvoorbeeld:
T
C
X
B
E
XY f = XE
f + EY f
XY f = XT
f + TY f
C
A
N
A B
C
Y
XY f = XN f + NY f
XY f = XG f + GY f
G
19
1

1
20
12 COMMUTATIVITEIT VAN DE OPTELLING VAN VECTOREN
Voor niet-evenwijdige vectoren u g en v g
ontdekten we in nr. 9 met de parallello-
grammethode:
u
g
+
g
v =
g
v + u
g
Voor evenwijdige vectoren u g en v g werken we als volgt:
We nemen een puntenkoppel (A, B) dat u g voorstelt, vervolgens een puntenkoppel
(B, C) dat v g voorstelt en dan een puntenkoppel (C, D) dat opnieuw u g voorstelt.
Omdat de vectoren evenwijdig zijn, liggen A, B, C, D op één rechte.
u v u
Dan geldt:
u
(A, C) stelt u g + v g voor (B, D) stelt v g + u g voor
Maar (A, C) en (B, D) liggen op dezelfde rechte en hebben dezelfde zin.
Bovendien:
|AC| = |AB| + |BC|
= |CD| + |BC| (de koppels (A, B) en (C, D) stellen beide u g voor)
= |BC| + |CD|
= |BD|
(het optellen van lengten is commutatief)
De puntenkoppels (A, C) en (B, D) bepalen dus dezelfde vector.
Dat betekent:
Conclusie
u
g
+
g
v =
g
v + u
g
Een som van vectoren blijft gelijk als je de termen van plaats verwisselt.
We drukken dat ook als volgt uit:
De optelling in Vect is commutatief.
Met symbolen:
¡ u g , v g Ï Vect: u g + v g = v g + u g
u
v
v
u + v
v
v + u
A B C D
u + v
u v u
A B C D
v + u
u

13 ASSOCIATIVITEIT VAN DE OPTELLING VAN VECTOREN
We gaan uit van drie vectoren u g , v g en w g .
u
We nemen een puntenkoppel (A, B) dat u g voorstelt, vervolgens een puntenkoppel
(B, C) dat v g voorstelt en ten slotte een puntenkoppel (C, D) dat w g voorstelt.
A
B
We berekenen nu afzonderlijk de sommen
u
g
+ (v
g
+ w
g
) (u
g
+
g
v ) + w
g
Welnu:
C
v
B
w
v + w
B
A
u
u
u + (v + w)
v
v
u
g
+ (v
g
+ w
g f f f
)= AB+ (BC + CD) (u
g
+
g
v ) + w
g f f f
= (AB + BC) + CD
= AB f + BD f
= AC f + CD f
= AD f
= AD f
Dus: u g + (v g + w g ) = (u g + v g ) + w g
Merk op dat je de figuren niet nodig hebt; je gebruikt de betrekking van Chasles-
Möbius.
Conclusie
Een som van vectoren waarvan één van de termen zelf een som is, blijft gelijk
als je de haken van plaats verandert.
We drukken dat ook als volgt uit:
De optelling in Vect is associatief.
Met symbolen:
¡ u g , v g , w g Ï Vect: u g + (v g + w g ) = (u g + v g ) + w g
Gevolg
Omdat de plaats van de haken geen belang heeft, noteren we voor die sommen:
u
g
+
g
v + w
g
. Je mag dan zelf kiezen welke twee vectoren je het eerst optelt.
C
D u
A
w
D
w
v
u + v
C
(u + v) + w
w
D
21
1

1
22
14 OPTELLING VAN VECTOREN: EIGENSCHAPPEN
In de vorige twee nummers ontdekten we al twee eigenschappen van de optelling.
We hernemen ze en vullen ze aan met enkele andere.
Eigenschap 1
Voor elke twee vectoren bestaat er een vector die er de som van is.
Die eigenschap volgt uit de definitie van de som van vectoren.
Met symbolen: ¡ u g , v g Ï Vect: E w g Ï Vect: u g + v g = w g
We zeggen:
De optelling in Vect is overal gedefinieerd.
Eigenschap 2
De optelling in Vect is associatief.
Met symbolen: ¡ u g , v g , w g Ï Vect: u g + (v g + w g ) = (u g + v g ) + w g
Die eigenschap werd ontdekt in het vorige nummer.
Eigenschap 3
De som van de nulvector en een tweede vector is, ongeacht de volgorde waarin
je optelt, gelijk aan de tweede vector.
Met symbolen: o g Ï Vect en ¡ u g Ï Vect: u g + o g = o g + u g = u g
Je kunt die eigenschap aflezen op een figuur:
u
o
B
A u + o
o
A
Je kunt ze ook aantonen met de betrekking van Chasles-Möbius:
u
g
+ o
g f f f
= AB + BB = AB = u
g
We zeggen kort:
o
g
+ u
g f f f
= AA + AB = AB = u
g
De nulvector is in Vect het neutraal element voor de optelling.
Eigenschap 4
Elke vector van Vect bezit in Vect een tegengestelde vector; de som van die twee
vectoren, ongeacht de volgorde waarin je optelt, is gelijk aan de nulvector.
Met symbolen: ¡ u g Ï Vect: E –u g Ï Vect: u g + (–u g ) = (–u g ) + u g = o g
Je kunt die eigenschap aflezen op een figuur:
u
B
u + (–u) –u
–u
A A
u
u
o + u
B
(–u) + u
B

Je kunt ze ook aantonen met de betrekking van Chasles-Möbius:
u
g
+ (–u
g f f f
) = AB + BA = AA = o
g
(–u g ) + u g = BA f + AB f = BB f = o g
Omdat de nulvector in Vect het neutraal element voor de optelling is, drukken we
de eigenschap ook als volgt uit:
Elke vector van Vect bezit in Vect een symmetrisch element voor de optelling,
namelijk de tegengestelde vector.
Eigenschap 5
De optelling in Vect is commutatief.
Met symbolen: ¡ u g , v g Ï Vect: u g + v g = v g + u g
Die eigenschap werd ontdekt in nr. 12.
Groep
De eerste vier eigenschappen vatten we samen in de uitdrukking:
Vect, + is een groep
Eigenschap 5 kunnen we eraan toevoegen door te zeggen:
Vect, + is een commutatieve groep
15 VERSCHIL VAN TWEE VECTOREN
Definitie
Het verschil van de vector u g en de vector v g is de som van de vector u g en de
tegengestelde vector van v g .
Met symbolen:
Constructie
Gegeven:
u
¡ u g , v g Ï Vect: u g – v g = u g + (–v g )
Methode 1: Methode 2:
opeenvolgende koppels parallellogrammethode
–v
u – v
u – v u
u
–v
Voor evenwijdige vectoren moet je de methode van de opeenvolgende koppels
gebruiken.
v
23
1

1
24
Som en verschil in één figuur
u – v
–v
–v v
opeenvolgende koppels parallellogrammethode
Opmerkingen
1 Voor de bewerking gebruiken we zoals in de getallenleer de naam aftrekking.
2 De definitie van dit nummer is gelijkaardig met die van de getallenleer. Ook
de eigenschappen van nr. 14 zijn vergelijkbaar met eigenschappen van de
getallenleer. Wat het optellen en aftrekken van vectoren betreft, mag je dus
rekenen zoals in de getallenleer. In het bijzonder:
– je mag de regels van de haken gebruiken
– als je bij beide leden van een gelijkheid in Vect eenzelfde vector optelt, krijg
je een gelijkwaardige gelijkheid.
VRAGEN EN OPDRACHTEN
u
v
u + v
u – v
1 Neem de volgende figuren in je schrift over.
Construeer een koppel van u g + v g , van u g – v g , van v g – u g .
u
u
u
v
v
u v
v
v
u
v
u
u
v
u
u
v
u
u + v
u v
u
v
v
v
u

2 Neem de figuur tweemaal in je schrift over.
Construeer op de ene figuur een koppel
van (u g + v g ) + w g .
Construeer op de andere figuur een koppel
van u g + (v g + w g ).
Welke eigenschap vind je terug?
3 Neem de volgende figuren in je schrift over.
Construeer telkens een koppel van
u
g
+
g
v
g
v + w
g
– u g – v g
u
g
+ w
g
– u g + v g
u
g
+
g
v + w
g
g
v – w
g
+ u
g
w g – u g + v g
– u g + v g – w g
– u g – v g – w g
4 Druk de vectoren AC f , BD f , DC f uit in x g , y g , z g of hun tegengestelden.
A
x
z
u
B
v
v
w
u
w
u w
v
y
D
C
u
w
D
z
v
w
u
A
C
x
u
u
v
y
w
B
v
v
25
w
1

1
26
5 Neem de figuur in je schrift over.
Op een steen worden drie krachten
f f f
, F2 en F3 uitgeoefend.
F 1
Blijft die steen liggen?
6 Bewijs met de betrekking van Chasles-Möbius in Vect de volgende gelijkheden.
a AB f = AC f + CD f + DB f
c AB f + BC f + CA f = o g
b AB f = AC f + CD f + DE
f + EB f
d AB f = OB f – OA f
7 Gebruik de gegeven
punten om de vector
AB f te schrijven als
een som van twee
vectoren.
8 Alle gegeven letters stellen punten van het vlak Π voor.
Bereken zonder een figuur te maken.
a AB f + CD f + DA f d AB f – CB f – MC f
g RM f + EP
f – ES
f – SM f
b MS
f + ZM f + PZ
f e SP f – SM f – RP
f
h CI
f + CR f + IC f + RX f
c RE
f + GR f + EG f
f –AQ f – QP
f – PA f
i (AC f – AB f ) – (AC f – AD f )
9 Vervolledig de volgende gelijkheden in Vect.
AB f + … = AD f
… + MS
f = KS
f
… = PB f + ZP
f
ZR f + … = ZG f
AG f = AP f + … MG f = … + MA
f
10 Bewijs.
a ¡ A, B, C, D Ï Π: AB f + CD f = AD f + CB f
b ¡ A, B, C, D Ï Π: AB f – CD f = AC f – BD f
c ¡ A, B, C, D Ï Π: AB f + CD f + EF
f = AD f + CF
f + EB f
A
C
steen
11 Bewijs:
M is het midden van [AB] ® AM f = MB f ® MA f + MB f = o g
F 1
D
F 2
B
F 3
F
E

12 Bewijs opnieuw de stelling: de diagonalen van een parallellogram snijden
elkaar middendoor.
Tip: neem een parallellogram ABCD; geef het midden van [AC] de naam M;
bewijs dat BM f = MD f .
13 Bewijs opnieuw de stelling: als de diagonalen van een vierhoek elkaar
middendoor snijden, dan is die vierhoek een parallellogram.
Tip: neem een vierhoek ABCD en bewijs dat AB f = DC f .
VOOR WIE MEER WIL!
14 Neem de figuur in je schrift over.
Construeer een koppel van:
a AD f + CB f
h – AC f – DC f
b AD f + BC f
i AB f + BC f + CD f
c AD f + CD f
j BA f + BC f + BD f
d AD f + BA f
k AC f + DC f + CB f
e CD f + AB f
l AC f – BD f – CD f
f BD f – AC f
m BC f – DC f + AD f
g AB f – CD f
n – AB f – AC f – AD f
15 De vierhoek ABCD is een parallellogram.
Druk de volgende vectoren uit in u g , v g of
hun tegengestelden.
BC f AC f DC f BD f DA f CA f
16 Bereken x g .
x
u
v
17 Construeer een DABC. Construeer vervolgens de punten D, E, F, G zó dat:
a AD f = AB f + AC f
c AF
f = AC f + BC f
b AE
f = BA f + BC f
d AG f = AB f + CA f
A
A
v
x
u
v
v
x x
v
B
B
u
u u
D
27
C
D
C
1

1
28
18 Waaraan is in de figuur de vector w g gelijk?
a u g + v g
b u g – v g
c v g – u g
d – u g – v g
u
19 Neem de figuur in je schrift over.
a Construeer Y zó dat XY f = AB f .
b Construeer Z zó dat ZX f = AB f .
20 Welke eigenschappen heeft de aftrekking in Vect?
21° Bewijs: ¡ u g , v g , w g Ï Vect: u g = v g ® u g + w g = v g + w g
22* a Vormen de vectoren van Vect met maatgetallen van de lengten behorend
tot ~ een groep voor de optelling?
b Geef een deelgroep van de groep Vect, +.
Een deelgroep van Vect, + is een groep V, + met V fi Vect.
23 Neem de figuur in je schrift
over.
Construeer w g zó dat:
u
g
+
g
v + w
g
= o
g
24 Voor drie punten A, B, C Ï Π kun je zes betrekkingen van Chasles-Möbius
schrijven. Doe dat en maak telkens een figuur.
25 Het punt S is het snijpunt van de diagonalen van een parallellogram ABCD.
Bereken:
a AB f + SD f
d AB f + CB f
f AB f + CD f
b CB f + CD f
e CB f + DC f
g BS
f + DC f
c SA f + SB f + SC f + SD f
u
v
B
A
w
X
v

26 Zijn voor het parallellogram hiernaast de volgende vormen gelijk?
a AB f en AC f + CB f e AD f + AB f en AC f
b AC f en AD f + CD f f CB f + AB f en AC f
c AC f en AE
f + EC f g CD f en DA f + AB f + BC f
d AE
f en AC f + CE
f h CE
f en CB f + BA f + AE
f
A
B
E
D
27 Kan een vector evenwijdig zijn met elk van twee niet-evenwijdige vectoren?
28 a Bewijs in Vect: – (u g + v g ) = – u g – v g
– (u g – v g ) = – u g + v g
b Bewijs dat in Vect de regels van de haken gelden.
29 a Voor A, B, C, D Ï Π geven we: AB f + DC f = o g
Bereken zonder een figuur te maken: CA f + BD f
b Welk soort vierhoek is ABDC als de punten A, B, C, D niet op één rechte
liggen?
30 Vier punten A, B, C, D liggen op een rechte, zó dat AB f = CD f .
Bewijs dat het midden M van [BC] ook het midden van [AD] is.
31 Een rechte evenwijdig met de diagonaal
BD van een parallellogram ABCD snijdt
AB in E, BC in F, CD in G en DA in H.
Bewijs: EF
f = GH f .
32 Door elk hoekpunt van een ∆ABC trekken we de evenwijdige met de overstaande
zijde.
Die rechten bepalen een ∆DEF. Bewijs dat A, B, C de middens zijn van de
zijden van ∆DEF.
33 Bewijs voor vier niet op eenzelfde rechte gelegen punten A, B, C, D:
ABCD is een parallellogram ® AB f + CD f = o g
34 We nemen een parallellogram ABCD en twee willekeurige punten E en F.
Bereken:
a AE
f + CF
f + EB f + FD f
b FD f + EB f + AF
f + AE
f
35 Op de zijden [AB], [CD], [BC], [DA]
van een parallellogram ABCD nemen
we respectievelijk punten E, G, F, H zó
dat:
EB f = DG f
BF
f = HD f
Bewijs dat EFGH een parallellogram is.
A
E
E
B
F
C
D
G
H
B F C
A H D
G
29
1
C

1
30
36 Voor een ∆ABC nemen we twee punten P en Q zó dat:
AP
f + AQ f = AB f + AC f
Bewijs dat BPCQ een parallellogram is.
37° Construeer voor een gegeven ∆ABC de punten D en E zó dat:
AD f = AB f + AC f
AE
f = AB f – AC f
Wat is B voor het lijnstuk [DE]? Geef een bewijs.
38° Construeer voor een willekeurige vierhoek ABCD de punten E en F zó dat:
AE
f = AB f + AC f
AF
f = AC f + AD f
Wat voor een figuur is BEFD? Geef een bewijs.
39° Construeer voor een vierhoek ABCD
a het punt P zó dat AP
f + BC f = DC f – AB f
b het punt Q zó dat AQ f + BQ f = AC f + DQ f
c het punt R zó dat RA f – BC f = RB f + RC f – AD f
40° Neem de figuur in je
schrift over.
Construeer A Ï a en
B Ï b zó dat:
PA f + PB f = u g
De wondermooie tuin van de meetkunde
41° We nemen een ∆ABC en een willekeurig punt P.
Construeer de punten D, E, F zó dat:
PD f = PA f + BC f
PE
f = PB f + CA f f f f
PF = PC + AB
a
b
Bewijs dat A, B, C de middens van de zijden van ∆DEF zijn.
Bewijs: PA f + PB f + PC f = PD f + PE
f + PF
f
42* We nemen een regelmatige veelhoek met O als
middelpunt van de omcirkel. We beschouwen de
vectoren waarvan een koppel O als beginpunt
heeft en een hoekpunt als eindpunt.
Bewijs dat de som van die vectoren gelijk is aan de
nulvector.
Zo moet je bijvoorbeeld voor nevenstaande regelmatige
vijfhoek ABCDE bewijzen:
OA f + OB f + OC f + OD f + OE
f = o g
a
P
E
b
u
D
O
A B
C

WE ONTHOUDEN
Vector
Een vector is bepaald door het geven
van één puntenkoppel.
Een vector, verschillend van de nulvector,
is bepaald door zijn richting, zijn
lengte en zijn zin.
Nulvector: de verzameling van alle
identieke koppels.
Tegengestelde vector:
BA f = – AB f
Verband met het parallellogram
A
Voor twee vectoren AB f en CD f , verschillend van de nulvector en met
AB ≠ CD, geldt:
AB f = CD f ® ABDC is een parallellogram
Voor twee vectoren AB f en CD f , verschillend van de nulvector en met
AB = CD, geldt:
AB f = CD f ® (A, B) en (C, D) kunnen verbonden worden
door twee parallellogrammen ABFE en CDFE
Som en verschil
u – v
C
–v
u
Betrekking van Chasles-Möbius
¡ A, B, C Ï Π: AB f + BC f = AC f
B
v
u + v
D
A
u – v
–v
A
A
B
AB
E
u
B
C
v
BA
o
u
B
u + v
F
D
a
C
31
1

1
32
Eigenschappen van de optelling
1 De optelling in Vect is overal gedefinieerd.
¡ u g , v g Ï Vect: E w g Ï Vect: u g + v g = w g
2 De optelling in Vect is associatief.
¡ u g , v g , w g Ï Vect: u g + (v g + w g ) = (u g + v g ) + w g
3 De nulvector is in Vect het neutraal element voor de optelling.
o
g
Ï Vect en ¡ u
g
Ï Vect: u
g
+ o
g
= o
g
+ u
g
= u
g
4 Elke vector van Vect bezit in Vect een symmetrisch element voor de
optelling, namelijk de tegengestelde vector.
¡ u g Ï Vect: E –u g Ï Vect: u g + (–u g ) = (–u g ) + u g = o g
5 De optelling in Vect is commutatief.
¡ u g , v g Ï Vect: u g + v g = v g + u g
GESCHIEDENIS
Michel Chasles (1793-1880) was een Frans wiskundige, gespecialiseerd in de
meetkunde. Hij was lange tijd hoogleraar aan de Sorbonne te Parijs.
August Ferdinand Möbius (1790-1868) was een Duits wiskundige. Hij leverde
een aanzienlijke bijdrage tot de algebraïsche behandeling van de meetkunde.

TOETS JEZELF
1 ABCD is een parallellogram; M, N, P, Q zijn de middens van de zijden.
Welke uitspraken zijn waar, welke niet waar?
a – MB f = PD f
b SA f = SC f
c NP
f = – DS
f
d BS
f = NP
f
M
A
B
Q
S
N
D
P
C
2 Construeer een koppel van u g + v g en v g – u g .
3 De gegeven letters stellen punten van het vlak voor. Bereken zonder een figuur
te maken:
a AB f + DM f + MA f
4 Waar of niet waar?
a CE
f = CB f + AB f
b BA f = EA f + BE
f
c CB f = DB f + DC f
d DC f = AC f – AD f
5 We noemen M het midden van de zijde [BC]
van een ∆ABC.
Vervang door één vector:
a AC f + MB f
b AM f + BM f
c MA f + MB f + MC f
6 Op de diagonaal [BD] van een parallellogram
ABCD nemen we E en F zó dat
BE
f = FD f .
Bewijs dat AECF een parallellogram is.
A
u
b BF
f – EF
f – BA f
A
B
A
C
E
v
33
D
B C
M
B C
E
F
D
1