De stelling van Pythagoras - EveryOneWeb

De stelling van Pythagoras

Inhoud
Inhoud........................................................................................................................ 2
1 Inleiding ................................................................................................................ 3
2 De stelling van Pythagoras................................................................................... 3
2.1 De stelling van Pythagoras ........................................................................ 3
2.2 De omgekeerde stelling van Pythagoras.................................................... 3
2.3 Bewijs van de stelling van Pythagoras ...................................................... 4
2.4 Bewijs van de omgekeerde stelling van Pythagoras ................................. 5
3 Toepassingen......................................................................................................... 7
3.1 Oefeningen .................................................................................................. 7
3.2 Grafische voorstelling van de wortel van een natuurlijk getal............... 12
4 Oplossingen ......................................................................................................... 15

1 Inleiding
De stelling van Pythagoras is een alom bekende en veel gebruikte stelling die
vele toepassingen kent. Op deze toepassingen komen we verderop terug.
Beginnen doen we met een fragment uit “Meester, hij begint weer”, een feuilleton
uit de jaren ’80, waarin de stelling aan bod kwam.
(http://www.youtube.com/watch?v=Eft6spqr4WY)
2 De stelling van Pythagoras
2.1 De stelling van Pythagoras
Daarnet hadden we het al even over de stelling van Pythagoras, maar wat houd
deze in? De definitie luidt als volgt:
In een rechthoekige driehoek is de som van de kwadraten van de
lengten van de rechthoekszijden gelijk aan het kwadraat van de lengte
van de schuine zijde.
We kunnen de definitie ook in symbolen opschrijven, rekeninghoudend met
figuur 1 wordt dit:
2 2 2
a + b = c
(1)
Figuur 1: Definitie van de stelling van Pythagoras.
2.2 De omgekeerde stelling van Pythagoras
a
De omgekeerde stelling van Pythagoras is eigenlijk een logisch gevolg uit de
stelling van daarnet. Deze luidt als volgt:
Wanneer in een driehoek de som van de kwadraten van de lengte van
twee zijden gelijk is aan het kwadraat van de lengte van de derde zijde,
dan is deze driehoek rechthoekig.
Stelling van Pythagoras - 3 - HTTP://WWW.EVERYONEWEB.BE/STUDIEHOEKJE
b
c

2.3 Bewijs van de stelling van Pythagoras
Nu we weten wat de stelling van Pythagoras inhoudt, moeten we nog bewijzen
dat deze stelling weldegelijk klopt. Er bestaan hiervoor een heel wat bewijzen
waar wij er één van gaan behandelen.
Hiervoor nemen we 4 congruente driehoeken (figuur 2). Deze hebben alle vier
twee rechthoekszijden, de een met lengte a, de ander met lengte b. De schuine
zijde heeft een lengte gelijk aan c.
a
b
c
a
Figuur 2: Vier congruente driehoeken met
rechthoekszijden a en b en schuine zijde c.
Wanneer we de driehoeken wat verdraaien, kunnen we een vierkant leggen zoals
in figuur 3:
Figuur 3: Een vierkant met zijde c gevormd door de driehoeken uit figuur 2.
In figuur 3 kunnen we drie verschillende figuren herkennen:
- een groot vierkant met een oppervlakte gelijk aan 2
c , (2)
- een klein vierkant met een oppervlakte gelijk aan ( ) 2
b
a − en (3)
-
a ⋅b
vier driehoeken met elk een oppervlakte gelijk aan .
2
(4)
Tevens zien we dat de oppervlakte van het grote vierkant gelijk is aan de
oppervlakte van het kleine vierkant samen de oppervlakte van de vier
driehoeken. Combineren van vergelijkingen (2), (3) en (4) geeft ons dan:
c
2
b
c
2 a ⋅b
= ( a − b)
+ 4 ⋅
(5)
2
Stelling van Pythagoras - 4 - HTTP://WWW.EVERYONEWEB.BE/STUDIEHOEKJE
a
a
b
b
c
c
a
b
c

Dit werken we even verder uit:
2
2
( a − 2ab
+ b ) + ab
2
c = 2
(6)
2 2
2
= a + 2ab − 2ab
b
(7)
c +
2 2 2
= a b
(8)
c +
Na het uitwerken van het merkwaardig product en het schrappen van
tegengestelde termen, zien we de stelling van Pythagoras verschijnen. Immers, c
was de hypotenusa van de rechthoekige driehoek en a en b de rechthoekszijden.
2.4 Bewijs van de omgekeerde stelling van Pythagoras
Net als de stelling van Pythagoras, gaan we ook de omgekeerde stelling bewijzen.
Hiervoor beschouwen we een driehoek PQR (figuur 4a).
P
Q R
(a) (b)
Figuur 4: (a) Een driehoek PQR. (b) Aanvulling van figuur (a) met punt S dat
verbonden is met punten P en Q en zodanig gelegen dat |SQ|=|QR|.
SQ staat loodrecht op PQ.
We breiden figuur 4a uit door een punt S te tekenen zodanig dat SQ loodrecht
staat op PQ en dat SQ = QR.
We verbinden S met P. Op die manier krijgen we
een rechthoekige driehoek (figuur 4b). Er geldt dus:
PQ = PQ
(9)
SQ = QR
(10)
P Qˆ
S = 90°
(11)
Kwadrateren en lid aan lid optellen van vergelijkingen (9) en (10) geeft ons:
2
2
Stelling van Pythagoras - 5 - HTTP://WWW.EVERYONEWEB.BE/STUDIEHOEKJE
2
S
2
PQ + SQ = PQ + QR
(12)
P
Q R

In driehoek PQS geldt de stelling van Pythagoras (zie vergelijking (11)). Dit wil
dus zeggen dat de som van de kwadraten van de lengten van de rechthoekszijden
gelijk is aan het kwadraat van de lengte van de schuine zijde of
2
Stelling van Pythagoras - 6 - HTTP://WWW.EVERYONEWEB.BE/STUDIEHOEKJE
2
2
PQ + SQ = PS
(13)
Uit de omgekeerde stelling van Pythagoras (die we aan het bewijzen zijn) volgt
dat we deze som ook mogen schrijven voor driehoek PQR. Merk op dat we in
driehoek PQR geen gebruik maken van de stelling van Pythagoras!
2
2
2
PQ + QR = PR
(14)
Wanneer we vergelijkingen (12), (13) en (14) combineren, vinden we:
2
2
PS = PR
(15)
PS = PR
(16)
We mogen vergelijking (15) schrijven als vergelijking (16) omdat we enkel
rekenen met de positieve vierkantswortels. Immers, een lengte kan nooit negatief
zijn.
Uit vergelijkingen (9), (10) en (16) volgt dat driehoeken PQS en PQR congruent
zijn. Hieruit kunnen we besluiten dat de overeenkomstige hoeken gelijk zijn, of:
Uit vergelijkingen (11) en (17) volgt vergelijking (20).
PQˆ
S = PQˆ
R
(17)
SPˆ
Q = RPˆ
Q
(18)
QSˆ
P = QRˆ
P
(19)
P Qˆ
R = 90°
(20)
We kunnen dus besluiten dat wanneer in een driehoek de som van de kwadraten
van de lengten van de rechthoekszijden gelijk is aan het kwadraat van de lengte
van de schuinde zijde, de beschouwde driehoek rechthoekig is. Met andere
woorden: ook de omgekeerde stelling van Pythagoras geldt. (i)

3 Toepassingen
3.1 Oefeningen
○1
Vul onderstaande tabel met de lengten van zijden f, g en h verder aan.
g
f
h
Figuur 5: Een rechthoekige driehoek
met zijden f, g en h.
f g h
1. 6 8
2. 53 77
3. 13 21
4. 24 63
5. 3 8
○2
Een man fietst een helling op. Volgens zijn fietscomputertje heeft hij 5 km
gefietst, volgens zijn kaart heeft hij zich maar 4,8 km (horizontaal) verplaatst.
Hoe groot is het hoogteverschil dat de fietser heeft overwonnen?
Stelling van Pythagoras - 7 - HTTP://WWW.EVERYONEWEB.BE/STUDIEHOEKJE

○3
In een voetbalclub wordt het grasplein heraangelegd. Hierdoor kan Jos een tijdje
niet rechtstreeks van de kleedkamer (K) naar de cafetaria (C) wandelen, maar
moet hij langs een vlagje (V). Hoeveel seconden kost het Jos nu meer om van de
kleedkamer naar de cafetaria te gaan als je weet dat het veld 100 bij 50 meter
groot is en hij een tempo haalt van 2 m/s?
C
Figuur 6: Voetbalveld met kleedkamer (K),
vlagje (V) en cafetaria (C).
○4
In het magazijn van een schrijnwerkerij ligt een houten balk (zie figuur 7). Op
een hoekpunt van de balk zit een houtworm. Hoeveel millimeter hout moet de
worm opeten vooraleer hij in het midden van de balk is? We nemen aan dat hij de
kortste weg neemt.
30
50
Figuur 7: Houten balk met de
afmetingen in millimeter.
100
K
V
Stelling van Pythagoras - 8 - HTTP://WWW.EVERYONEWEB.BE/STUDIEHOEKJE

○5
Fientje heeft net een ruit getekend waarvan de zijden gelijk zijn aan 5 cm. Hoe
lang zijn de diagonalen als je weet dat de lange diagonaal (b) dubbel zolang is als
de korte (a)?
○6
Op een golfterrein staat een paaltje (figuur 8). Bij zonsondergang is de schaduw
4,8 m lang. Nadat het zonlicht de top van het paaltje passeert, legt het nog 5 m af
vooraleer het op de grond komt. Hoe hoog is het paaltje?
Figuur 8: De schaduw van een
paaltje.
Stelling van Pythagoras - 9 - HTTP://WWW.EVERYONEWEB.BE/STUDIEHOEKJE

○7
In een Oostenrijks skidorpje staat een kabellift die bestaat uit twee stukken.
Tijdens het eerste stuk verplaats je je horizontaal over 90 m, tijdens het tweede
stuk is dat 174 m. Welke hoogte overwin je als je weet dat de eerste kabel 240 m
lang is en de tweede 600 m?
Figuur 9: Een stuk van
de skilift.
○8
Louis heeft een wekkertje. Wanneer het drie uur is, zijn de uiteinden van beide
wijzertjes 3 cm van elkaar verwijderd. Hoe lang zijn de wijzers als je weet dat de
kleine wijzer (a) half zo lang is als de grote wijzer (b)?
Figuur 10: Wekkertje
van Louis.
Stelling van Pythagoras - 10 - HTTP://WWW.EVERYONEWEB.BE/STUDIEHOEKJE

○9
Kaatje heeft een vlieger gekocht (zie figuur 11). Ze wil hem versieren door er op
de rand rode tape op te plakken. Hoeveel centimeter tape heeft ze nodig?
6
6 21
6
Figuur 11: De vlieger van
Kaatje met de afmetingen
in centimeter.
○10
In een fabriek worden kartonnen dozen vervaardigd waarvan de lengte l 3 keer
zo groot is als de breedte b. De dozen worden getransporteerd door een soort van
tunnel met een vierkantige doorsnede van 20 cm. Hoe groot mogen de dozen zijn
opdat ze niet komen vast te zitten in de tunnel? De dikte speelt hier geen rol.
Stelling van Pythagoras - 11 - HTTP://WWW.EVERYONEWEB.BE/STUDIEHOEKJE

3.2 Grafische voorstelling van de wortel van een natuurlijk
getal
Het berekenen van de vierkantswortel uit een natuurlijk getal is niet altijd even
simpel. Denk bijvoorbeeld maar aan de vierkantswortel uit 2. Je zou dan denken
dat het dan haast onmogelijk is om zo’n vierkantswortel grafisch voor te stellen.
In dit stukje gaan we zien dat dit eigenlijk toch niet zo moeilijk is en hoe we dit
moeten aanpakken. Allereerst kijken we even naar figuur 12.
Figuur 12: Een rechthoekige driehoek met a en b als
rechthoekszijden en c als schuine zijde.
Uit vergelijking (1), dus de stelling van Pythagoras, kunnen we c afzonderen wat
ons vergelijking (21) oplevert.
2 2
c = a + b
(21)
Merk op dat we enkel met de positieve vierkantswortel werken. Immers, c stelt
de lengte van de schuine zijde voor en die kan uiteraard niet negatief zijn.
Wanneer we vergelijking (21) bekijken, zien we dat c de vierkantswortel voorstelt
van een som van twee kwadraten. Wanneer we dus de vierkantwortel van een
natuurlijk getal grafisch willen voorstellen, hoeven we dit getal dus enkel te
schrijven als een som van twee kwadraten.
Als voorbeeld gaan we
kwadraten:
2 grafisch bepalen. 2 is te schrijven als de som van twee
2 2
2 = 1 + 1
(22)
Hierna kunnen we 2 gaan tekenen:
a
Figuur 13: Grafische voorstelling van 2 .
In figuur 13 stelt de blauwe lengte 2 voor. Deze afstand werd ook uitgezet op de
getallenas.
Stelling van Pythagoras - 12 - HTTP://WWW.EVERYONEWEB.BE/STUDIEHOEKJE
b
c
0 1 2
2

Zojuist hebben we de vierkantswortel uit een natuurlijk getal voorgesteld. Dat
ging best wel vlot. Maar wat doe je wanneer je je natuurlijk getal niet al een som
van twee kwadraten geschreven krijgt?
Deze situatie bekijken we aan de hand van een voorbeeld.
Veronderstel dat we 3 grafisch willen voorstellen. Eerst moeten we 3 zien te
schrijven al de som van twee kwadraten.
( ) 2
2
3 1 2 1 2
= + = + (23)
Je ziet dat we in vergelijking (23) 2 hebben voorgesteld als het kwadraat van zijn
wortel. Dit kan ik doen omdat ik daarnet (zie figuur 13) 2 bepaald heb. We
kunnen 3 nu dus gaan tekenen.
0 1 2
Figuur 14: Grafische voorstelling van 3 .
In figuur 14 stelt de groene lengte 3 voor. Deze afstand werd ook uitgezet op de
getallenas.
Nu je dit allemaal weet, kun je aan de slag. Probeer 13 eens te tekenen.
(Hint: 13 = 9 + 4 = 3² + 2²)
Stelling van Pythagoras - 13 - HTTP://WWW.EVERYONEWEB.BE/STUDIEHOEKJE
3

Probeer nu 68 eens te tekenen.
Stel tot slot 27 grafisch voor.
Stelling van Pythagoras - 14 - HTTP://WWW.EVERYONEWEB.BE/STUDIEHOEKJE

4 Oplossingen
Oef. 1
1. 10 2. 55,86 3. 16,49 4. 58,25 5. 8,54
Oef. 2
1,4 km
Oef. 5
Oef. 3
19 s
Oef. 4
a = 5 ≈ 2,24 cm
b = 2 ⋅ 5 ≈ 4,47 cm
Oef. 6
1,4 m
Oef. 8
Oef. 7
323,76 m
a = 1,34 cm b = 2,68 cm
Oef. 9
60,65 cm
Oef. 10
l = 18,97 cm b = 6,32 cm
Extra:
Interactieve voorstelling van de stelling van Pythagoras:
http://www.youtube.com/watch?v=MYlnE_aO6Uc
Bronnen:
57,88 mm
Figuur 0: http://www.mh2.dds.nl/latijn/pythagoras.gif
Figuur 6: http://proto5.thinkquest.nl/~jre0740/Homepage_files/voetbalveld.JPG,
geraadpleegd op 15 april 2010
Figuur 8: Microsoft Mediagalerie, geraadpleegd op 16 april 2010
Figuur 9: Microsoft Mediagalerie, geraadpleegd op 17 april 2010
Figuur 10: Microsoft Mediagalerie, geraadpleegd op 17 april 2010
(i) http://www.pandd.demon.nl/propI44.htm#I-48; geraadpleegd op 11 april 2010
Stelling van Pythagoras - 15 - HTTP://WWW.EVERYONEWEB.BE/STUDIEHOEKJE