Hoofdstuk 12: Koppelingen - caagt

Hoofdstuk 12: Koppelingen 

Definities 

koppeling 

perfecte koppeling 

maximum koppeling 

Algoritmen voor maximum koppelingen 

eigenschappen 

maximum koppelingen in bipartiete grafen 

Optimale-toekenningsprobleem 

maximum gewogen koppeling in complete 

bipartiete graaf Cursus Grafentheorie en Combinatorische Optimalisatie (2006–2007) – p.1/22

Koppelingen 

Voorbeelden 

toekenningsprobleem / huwelijksprobleem 

optimale-toekenningsprobleem 

Cursus Grafentheorie en Combinatorische Optimalisatie (2006–2007) – p.2/22


Voorbeelden 



Koppeling in G 

1-reguliere deelgraaf van G 

verzameling bogen die koppeling induceert 



Voorbeelden 



Koppeling in G 

1-reguliere deelgraaf van G 

verzameling bogen die koppeling induceert 

Verzadigde top 

top die behoort tot boog van koppeling 

anders: onverzadigde top 


Perfecte koppelingen 

Perfecte koppeling of 1-factor van G 

koppeling die elke top van G verzadigt 





Voorbeelden 

Kn,n heeft n! perfecte koppelingen 





Voorbeelden 


K2n+1 heeft geen perfecte koppelingen 





Voorbeelden 



K2n heeft fn = n−1 i=0 (2n − 1 − 2i) perfecte 

koppelingen 

# manieren om paren te vormen uit 2n el. 





Voorbeelden 



K2n heeft fn = n−1 i=0 (2n − 1 − 2i) perfecte 

koppelingen 

# manieren om paren te vormen uit 2n el. 

in hyperkubus Qn ? 


Maximum koppelingen 

Maximale koppeling 

koppeling die niet kan uitgebreid worden 





Maximum koppeling 

koppeling met grootst mogelijk aantal bogen 





Maximum koppeling 

koppeling met grootst mogelijk aantal bogen 

Opmerking 

maximale koppeling = maximum koppeling 

voorbeeld? 


Vermeerderende paden 

M-alternerend pad (zij M koppeling in G) 

wisselt af tussen bogen wel en niet in M 





M-vermeerderend pad P 

M-alternerend pad P dat begint en eindigt 

met onverzadigde top 





M-vermeerderend pad P 

M-alternerend pad P dat begint en eindigt 

met onverzadigde top 

Vermeerderen van M langs P 

vervang M ∩ E(P ) door E(P ) \ M 

bekomen M ′ is koppeling met 1 boog meer 

dan M 


Karakterisatie maximum koppelinge 

Stelling 

koppeling M in G is maximum koppeling 

a.s.a. G heeft geen M-vermeerderend pad 


Karakterisatie maximum koppelinge 

Stelling 

koppeling M in G is maximum koppeling 

a.s.a. G heeft geen M-vermeerderend pad 

Symmetrisch verschil 

M △ M ′ = (M ∪ M ′ ) \ (M ∩ M ′ ) 


Bepalen maximum koppelingen 

Onderstellingen 

zij M koppeling in G, niet maximum 

zij v onverzadigde top t.o.v. M 

zij M ′ koppeling bekomen door 

vermeerdering langs M-vermeerderend pad 



Onderstellingen 

zij M koppeling in G, niet maximum 

zij v onverzadigde top t.o.v. M 

zij M ′ koppeling bekomen door 

vermeerdering langs M-vermeerderend pad 

Stelling 

als G een M ′ -vermeerderend pad met 

eindtop v bevat, dan bevat G ook een 

M-vermeerderend pad met eindtop v 



Gevolg 

zij M0, M1, M2, . . . , Mk reeks koppelingen in G 

Mi bekomen uit Mi−1 langs vermeerderend 

pad, voor 1 ≤ i ≤ k 

zij v onverzadigde top t.o.v. M0, waarvoor 

geen M-vermeerderend pad met eindtop v 

dan bevat G geen Mi-vermeerderend pad 

met eindtop v, voor alle 1 ≤ i ≤ k 



Algoritme: basisideeën 

zij M koppeling in G 

voor elke onverzadigde top v t.o.v. M 

bepaal M-vermeerderend pad P met 

eindtop v 

wanneer bestaat: vermeerder M langs P 

wanneer niet bestaat: v blijft onverzadigd in 




Algoritme: basisideeën 

zij M koppeling in G 

voor elke onverzadigde top v t.o.v. M 

bepaal M-vermeerderend pad P met 

eindtop v 

wanneer bestaat: vermeerder M langs P 

wanneer niet bestaat: v blijft onverzadigd in 


Probleem 

efficiënt zoeken van vermeerderend pad 


In bipartiete grafen 

Algoritme: zoeken vermeerderend pad 

zij v onverzadigde top 

via BFS, boom met wortel v opbouwen 

met alle paden alternerend t.o.v. M 

d.i. alternerende boom 


In bipartiete grafen 

Algoritme: zoeken vermeerderend pad 

zij v onverzadigde top 

via BFS, boom met wortel v opbouwen 

met alle paden alternerend t.o.v. M 

d.i. alternerende boom 

totdat onverzadigde top w bereiken 

dan is pad v-w vermeerderend pad 

of totdat geen toppen meer te beschouwen 

dan is er geen vermeerderend pad uit v 


Gewogen koppelingen 

Koppeling M in G (zij G gewogen graaf) 

cfr. ongewogen grafen 

verzameling bogen waarvan geen 2 incident 






Gewicht van koppeling M 

som van gewichten van bogen van M 






Gewicht van koppeling M 

som van gewichten van bogen van M 

Maximum gewogen koppeling 

koppeling met grootste gewicht in G 




bepalen van maximum gewogen koppeling in 

bipartiete graaf 

Cursus Grafentheorie en Combinatorische Optimalisatie (2006–2007) – p.12/22





Opmerking 

veronderstellen complete bipartiete graaf G 

geen beperking 






Opmerking 

veronderstellen complete bipartiete graaf G 

geen beperking 

maximum gewogen koppeling is perfecte 

koppeling 


Algoritmen 

Naïef algoritme 

bepaal alle n! perfecte koppelingen van Kn,n 

daarin koppeling met grootste gewicht 


Algoritmen 




niet efficiënt 


Algoritmen 




niet efficiënt 

Algoritme van Kuhn-Munkres 

efficiënt algoritme 

iteratie over steeds betere ‘geschikte 

toppenlabelingen’ 


Toppenlabelingen 

Geschikte toppenlabeling ℓ 

reële functie ℓ op V = V1 ∪ V2 zodanig dat 

ℓ(v) + ℓ(u) ≥ w(uv), ∀v ∈ V1, u ∈ V2 

ℓ(x) wordt label van top x genoemd 





ℓ(v) + ℓ(u) ≥ w(uv), ∀v ∈ V1, u ∈ V2 


Merk op 

voorbeeld van geschikte toppenlabeling 

ℓ(v) = max{w(vu) | u ∈ V2} , ∀v ∈ V1 

ℓ(u) = 0 , ∀u ∈ V2 





ℓ(v) + ℓ(u) ≥ w(uv), ∀v ∈ V1, u ∈ V2 


Merk op 

voorbeeld van geschikte toppenlabeling 

ℓ(v) = max{w(vu) | u ∈ V2} , ∀v ∈ V1 

ℓ(u) = 0 , ∀u ∈ V2 

m.a.w. elke gewogen complete bipartiete 

graaf heeft geschikte labeling 


Toppenlabelingen (2) 

Deelgrafen bepaald door geschikte 

toppenlabeling ℓ 

Eℓ = {vu ∈ E(G) | ℓ(u) + ℓ(v) = w(vu)} 






Hℓ = deelgraaf van G opgespannen door Eℓ 

Gℓ = onderliggende ongewogen graaf van Hℓ 






Hℓ = deelgraaf van G opgespannen door Eℓ 

Gℓ = onderliggende ongewogen graaf van Hℓ 

Eigenschap 

als Hℓ perfecte koppeling M bevat, dan is M 

maximum gewogen koppeling in G 


Algoritme 

Bepalen van maximum gewogen koppeling 

bepaal geschikte toppenlabeling ℓ 

construeer Eℓ, Hℓ en Gℓ 

bepaal maximum koppeling M in Gℓ 

als M perfecte koppeling 

dan maximum gewogen koppeling in G 


Algoritme 

Bepalen van maximum gewogen koppeling 

bepaal geschikte toppenlabeling ℓ 

construeer Eℓ, Hℓ en Gℓ 

bepaal maximum koppeling M in Gℓ 

als M perfecte koppeling 

dan maximum gewogen koppeling in G 

zo niet 

voor elke onverzadigde top x ∈ V1 

construeer M-vermeerderend pad met 

eindtop x 


Voorbeeld (1) 

u1 u2 u3 u4 u5 ℓ(vi) 

v1 5 1 1 3 2 5 

v2 0 1 3 3 4 4 

v3 2 5 4 3 0 5 

v4 2 2 3 4 4 4 

v5 6 2 0 0 1 6 

ℓ(ui) 0 0 0 0 0 


Voorbeeld (1) 

u1 u2 u3 u4 u5 ℓ(vi) 

v1 5 1 1 3 2 5 

v2 0 1 3 3 4 4 

v3 2 5 4 3 0 5 

v4 2 2 3 4 4 4 

v5 6 2 0 0 1 6 

ℓ(ui) 0 0 0 0 0 

v1 v2 v3 v4 v5 

u1 u2 u3 u4 u5 


Voorbeeld (1) 

u1 u2 u3 u4 u5 ℓ(vi) 

v1 5 1 1 3 2 5 

v2 0 1 3 3 4 4 

v3 2 5 4 3 0 5 

v4 2 2 3 4 4 4 

v5 6 2 0 0 1 6 

ℓ(ui) 0 0 0 0 0 

v1 v2 v3 v4 v5 

u1 u2 u3 u4 u5 

v5 

u1 

v1 


Construeren M-vermeerderend pad uit x 

construeer M-alternerende boom T vanuit x 

deze bevat geen M-vermeerderend pad! 


Construeren M-vermeerderend pad uit x 

construeer M-alternerende boom T vanuit x 

deze bevat geen M-vermeerderend pad! 

bepaal aangepaste geschikte labeling ℓ ′ 

waarvoor M en T bevat zijn in Gℓ ′ 

zodat M-alternerende boom T kan 

uitgebreid worden 


Voorbeeld (2) 

u1 u2 u3 u4 u5 ℓ(vi) 

v1 5 1 1 3 2 3 

v2 0 1 3 3 4 4 

v3 2 5 4 3 0 5 

v4 2 2 3 4 4 4 

v5 6 2 0 0 1 4 

ℓ(ui) 2 0 0 0 0 


Voorbeeld (2) 

u1 u2 u3 u4 u5 ℓ(vi) 

v1 5 1 1 3 2 3 

v2 0 1 3 3 4 4 

v3 2 5 4 3 0 5 

v4 2 2 3 4 4 4 

v5 6 2 0 0 1 4 

ℓ(ui) 2 0 0 0 0 

v1 v2 v3 v4 v5 

u1 u2 u3 u4 u5 


Voorbeeld (2) 

u1 u2 u3 u4 u5 ℓ(vi) 

v1 5 1 1 3 2 3 

v2 0 1 3 3 4 4 

v3 2 5 4 3 0 5 

v4 2 2 3 4 4 4 

v5 6 2 0 0 1 4 

ℓ(ui) 2 0 0 0 0 

v1 v2 v3 v4 v5 

u1 u2 u3 u4 u5 

v5 

u1 

v1 

u4 

v4 

u5 

v2 


Aangepaste geschikte toppenlabeling 

mℓ = min{ℓ(v) + ℓ(u) − w(vu) | 

v ∈ V1 ∩ V (T ), u ∈ V2 \ V (T )} 

⎧ 

⎪⎨ 

ℓ ′ (v) = 

⎪⎩ 

ℓ(v) − mℓ ∀v ∈ V1 ∩ V (T ) 

ℓ(v) + mℓ ∀v ∈ V2 ∩ V (T ) 

ℓ(v) anders 


Construeren M-vermeerderend pad uit x (2) 

construeer Gℓ ′ 

construeer M-alternerende boom in Gℓ ′ uit x 

als geen M-vermeerderend pad uit x 

bepaal nieuwe ℓ ′′ en Gℓ ′′ 

totdat M-vermeerderend pad gevonden 


Voorbeeld (3) 

u1 u2 u3 u4 u5 ℓ(vi) 

v1 5 1 1 3 2 2 

v2 0 1 3 3 4 3 

v3 2 5 4 3 0 5 

v4 2 2 3 4 4 3 

v5 6 2 0 0 1 3 

ℓ(ui) 3 0 0 1 1 

v1 v2 v3 v4 v5 

u1 u2 u3 u4 u5

Hoofdstuk 12: Koppelingen - caagt

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?