WSKT 212 PAC

FUNKSIES, TRIGONOMETRIE EN ELEMENTêRE
STATISTIEK VIR VOO TEGNOLOGIE
STUDIEGIDS EN HANDLEIDING VIR
WSKT 212 PAC
*WSKT212PAC*
FAKULTEIT OPVOEDINGSWETENSKAPPE

Studiegids saamgestel deur:
Mnr. Rudi van de Venter
Bladuitleg deur Rudi van de Venter, Vakgroep Wiskunde-onderwys van die Skool vir
Kurrikulumgebaseerde Studies
Hantering van drukwerk en verspreiding deur die Verspreidingsentrum
Gedruk deur The Platinum Press (018)294 8879/(016) 981 9401
Kopiereg © 2011 uitgawe. Hersieningsdatum 2013.
Noordwes-Universiteit, Potchefstroomkampus.
Kopiereg voorbehou. Geen gedeelte van hierdie boek, mag in enige vorm of op enige
manier, sonder skriftelike toestemming van die publiseerders, weergegee word nie. Dit sluit
fotokopiëring van die hele, of gedeeltes van die boek, in.

Inhoud
Inhoud ..................................................................................................................................... 1
0 Algemene inligting ......................................................................................................... 3
0.1 Verwelkoming ............................................................................................................ 3
0.2 Kontakpersoon .......................................................................................................... 4
0.3 Waarom bestudeer ons Tegniese Wiskunde? .......................................................... 4
0.4 Voorvereistes ............................................................................................................ 6
0.5 Studiemateriaal ......................................................................................................... 6
0.6 Hoe om die studiegids te gebruik .............................................................................. 8
0.7 Monitering van vordering ......................................................................................... 10
0.8 Assessering ............................................................................................................. 11
0.9 Waarskuwing teen plagiaat ..................................................................................... 14
0.10 Die moduleplan ....................................................................................................... 15
0.11 Tydskedule en student-werkprogram ...................................................................... 16
0.12 Module uitkomste .................................................................................................... 16
0.13 Belangrike Afsprake ................................................................................................ 17
1 Wiskundige modelle en funksies ................................................................................ 19
1.1 Radiaalmaat ............................................................................................................ 21
1.2 Poolkoördinate ........................................................................................................ 22
1.3 Funksies .................................................................................................................. 23
2 Polinoomfunksies ......................................................................................................... 38
2.1 Lineêre funksies ...................................................................................................... 41
2.2 Kwadratiese funksies .............................................................................................. 61
2.3 Kubiese funksies ..................................................................................................... 82
3 Rasionale funksies, eksponensiële funksies en logaritmiese funksies ................ 100
3.1 Rasionale funksies ................................................................................................ 105
3.2 Eksponensiële funksies ......................................................................................... 119
3.3 Logaritmiese funksies ............................................................................................ 129
4 Trigonometriese funksies .......................................................................................... 138
1

5 Kegelsnitte .................................................................................................................. 158
6 Trigonometrie ............................................................................................................. 174
7 Elementêre beskrywende statistiek .......................................................................... 202
7.1 Frekwensieverspreidings ....................................................................................... 203
7.2 Mediaan, modus, rekenkundige gemiddelde en standaardafwyking ..................... 221
7.3 Die administrasie van gerekenariseerde puntestate ............................................. 232
7.4 Regressie met behulp van Microsoft Excel ........................................................... 234
2

0 Algemene inligting
0.1 Verwelkoming
Baie welkom by hierdie module. Dit is die tweede van drie Tegniese Wiskunde-modules,
waarvan u een per jaar sal neem vir die eerste drie studiejare van die B.Ed. (VOO
Tegnologie)-program. Die inhoude van hierdie drie modules fokus op werklikheidsgetroue
toepassings van Wiskunde binne die tegniese vakgebied en die natuurwetenskap.
Aangesien u op Hoërskool met Wiskunde kennis gemaak het, sal sekere van die onderwerpe
wat ons gaan bestudeer vir u reeds bekend wees. Dit is egter so dat Hoërskoolwiskunde
baie wyd fokus en dat u baie dinge geleer het wat u waarskynlik nooit weer nodig gaan kry
nie – daardie kennis was as agtergrond vir u verdere studie bedoel.
Terselfdertyd het 'n onderwyser wat by die tegniese vakgebied of natuurwetenskap betrokke
is egter wel redelik gevorderde Wiskunde-kennis oor sekere onderwerpe nodig. Voorbeelde
van hierdie onderwerpe is:
• Meeteenhede en getalle
• Basiese algebraïese bewerkings
• Die oplos van verskillende soorte vergelykings (formules)
• Vektore en komplekse getalle
• Funksies en wiskundige voorstellinge van werklikheidsgetroue prosesse (wiskundige
modelle)
• Grafiese en meetkundige voorstellinge van inligting
• Driehoeksmeting
• Differensiaalrekene
• Integraalrekene
Skoolwiskunde het nie naasteby genoeg aandag aan al hierdie onderwerpe gegee om u
voldoende as tegniese vakonderwyser toe te rus nie. Sekere van hierdie onderwerpe is ook
nie eers op skool behandel nie, omdat slegs mense wat in die tegniese en
natuurwetenskaplike vakgebiede werk, daarmee te doen sou kry.
3

Daarom bied die Noordwes-Universiteit drie modules Tegniese Wiskunde vir u aan. Die
doel daarvan is om u as tegniese vakonderwyser te bemagtig sodat u die Wiskunde
waarmee u in u vakgebied te doene gaan kry, met selfvertroue sal kan hanteer.
0.2 Kontakpersoon
Mnr. Rudi van de Venter
Kantoor G 07
Educamus-gebou (B10, die gebou reg langs die hek in Presidentstraat)
018 2991859
10086013@nwu.ac.za
0.3 Waarom bestudeer ons Tegniese Wiskunde?
Daar is baie verskillende idees oor wat presies Wiskunde is. Indien 'n mens 'n paar persone
vra wat hulle dink Wiskunde is, kom veral twee verskillende gedagtes gewoonlik na vore:
• Sommige mense meen (soos die Griekse wysgeer Plato geglo het) dat Wiskunde iets
bonatuurlik is wat deur die gode gegee is – dit is reeds "daar buite", versteek in die natuur.
Buitengewoon slim, begaafde mense wat spesiaal geseën is, kan dit dan "ontdek" en op so 'n
wyse formuleer dat gewone mense dit kan gebruik sonder dat dit nodig is om dit te verstaan.
Hierdie mense meen dat Wiskunde moeilik en ontoeganklik is en dat dit normaal is dat min
mense dit verstaan. Hulle glo ook dat 'n mens 'n spesiale aanleg nodig het om Wiskunde te
doen, aangesien dit altyd met moeilike en abstrakte begrippe te doen het, en ver van die
alledaagse lewe verwyder is en nie veel vir die alledaagse bestaan beteken nie.
• Ander mense meen (soos die Griekse wysgeer Aristoteles geglo het) dat Wiskunde iets is wat
die mens self maak, of "uitvind". Hulle meen dat Wiskunde 'n poging van die mens is om dit
wat hy beleef en waarneem, te beskryf en te verstaan. Dit is 'n stelsel van kennis, idees, reëls
en vaardighede wat gedurig aan die groei en verander is, soos wat die mens in die alledaagse
lewe met wiskundige idees soos getalle, metings, sketse, vergelyking en verwantskappe werk.
4

Omdat almal van ons in 'n wêreld woon waar lengte, breedte, hoogte, temperatuur, tyd, geld
en al die maniere waarop hierdie en ander meetbare groothede met mekaar saamwerk ons
lewens elke dag beïnvloed, reken hierdie mense dat geen spesiale aanleg nodig is om
Wiskunde te doen nie – want elkeen van ons doen dit in elk geval reeds onbewustelik die hele
dag lank.
U moet maar besluit met watter een van bogenoemde beskouings u die beste saamstem.
Wees egter gewaarsku: Hoe u oor Wiskunde dink, bepaal grootliks hoe u op die leer van
Wiskunde ingestel sal wees. Met ander woorde: As u 'n negatiewe idee van Wiskunde het,
sal dit u leer van Wiskunde nadelig beïnvloed. Die goeie nuus is egter dat enige houding
op aarde verander kan word, solank 'n mens net doelbewustelik die keuse maak om
daardie houding te verander.
Ons vra u om baie goed oor bogenoemde, en oor die volgende gedagtes, te gaan nadink:
Reeds toe u baie klein was, het u begin om u eie Wiskunde-kennis te ontwikkel. As 'n baba
kon u al tussen verskillende hoeveelhede onderskei (honger, dors, warm, koud, plesier, pyn,
baie, min) al kon u nog nie 'n waarde aan hierdie hoeveelhede toeken nie. U het op 'n plat
vlak (die vloer) leer kruip, driedimensionele voorwerpe (speelgoed) leer hanteer, en in 'n
ruimte leer loop. U het van getal en hoeveelheid bewus geword toe u geleer het om u hande
en vingers te gebruik. U kon ook van jongs af die verbande tussen oorsaak en gevolg
uitredeneer. Met die verbetering van u hand-oog-koördinasie het u deur deelname aan sport
en speletjies geleer om prosesse te reguleer deur van meting (skatting) gebruik te maak.
Die vrae waarmee ons u laat, is die volgende:
• Is die abstraksies waarmee "gevorderde Wiskunde" te doene het, nie maar net
uitbreidings van die idees waarmee elke gewone mens van jongs af te doene kry nie?
• Indien elke mens wat doeltreffend in die alledaagse lewe kan funksioneer en 'n
normale lewe lei dan wel oor "innerlike" basiese Wiskundige vaardighede beskik –
behoort dit dan nie vir elkeen moontlik en maklik te wees om Wiskunde te doen nie?
• Hoeveel van die idees dat Wiskunde moeilik is en net deur sekere, begaafde
enkelinge verstaan kan word, is gewoon bygeloof?
5

Waarvoor word Tegniese Wiskunde gebruik?
Die tegniese vakgebied maak op 'n baie groot skaal van wiskundige idees en bewerkings
gebruik. U sal in die loop van hierdie module sien hoe Wiskunde 'n kragtige gereedskapstuk
is waarmee 'n groot aantal probleme uit die tegniese en natuurwetenskaplike vakgebiede
opgelos kan word.
Alle Wiskunde in hierdie module sal met werklikheidsgetroue voorbeelde toegelig word,
sodat u die Wiskunde binne werklikheidsgetroue kontekste sal kan beleef. Ons sal u help
om, net soos wat u u basiese Wiskunde-kennis deur ervaring met die alledaagse lewe gebou
het, ook u gevorderde Wiskunde-kennis deur ervaring met tegniese en natuurwetenskaplike
kontekste te bou.
In hierdie Tegniese Wiskunde-module sal u dus leer om:
• Wiskundig te lees
• Wiskundig te skryf
• Wiskundig te dink.
U moet hierdie Wiskunde-module slaag om u graad suksesvol te voltooi.
0.4 Voorvereistes
Studente wat vir hierdie module inskryf, moet ingeskryf en gekeur wees as ‘n voornemende
onderwyser in die een of ander tegniese rigting. Dit beteken dus dat die student Wiskunde tot
op graad 12-vlak moes geneem het. Vir verdere voorvereistes wat mag geld, word u na die
Programleier vir die B. Ed. (VOO Tegnologie)-kursus verwys.
0.5 Studiemateriaal
• Voorgeskrewe handboek
WASHINGTON, Allyn J. 2005. 8ste uitgawe. Basic technical mathematics with calculus: SI
version. 8 th edition. Pearson Addison Wesley: Toronto
6

• Addisionele studiemateriaal
Enige ander Wiskundehandboek, en natuurlik die Internet, kan gebruik word om verdere
voorbeelde, toepassings en oefeninge te bekom.
Dit sal miskien handig wees indien u toegang het tot 'n Graad 11- en Graad 12- Wiskundehandboek,
alhoewel die inhoude in die voorgeskrewe boek van Washington vanaf 'n redelik
basiese vlak aangebied word.
Die Ken En Verstaan-reeks waarmee baie van u bekend sal wees, mag ook nuttig te pas
kom.
• ‘n Wetenskaplike sakrekenaar
Vir elkeen van die drie Tegniese Wiskunde-modules benodig u 'n goeie wetenskaplike
sakrekenaar wat met trigonometriese funksies, eksponensiële funksies en logaritmiese
funksies kan werk. Die sakrekenaar wat u vir Matriekwiskunde gebruik het, behoort
heeltemal voldoende te wees.
Indien u 'n sakrekenaar het wat oor grafiese vermoëns beskik (dit is die soort wat grafieke
kan teken en gewoonlik ook programmeerbaar is) dan is u welkom om dit in kontaksessies
en by huiswerkoefeninge te gebruik om u antwoorde na te gaan – let net asseblief daarop
dat u in toetse en eksamens nie toegelaat sal word om 'n programmeerbare
sakrekenaar te gebruik nie, aangesien ons spesifieke rekenvaardighede by u wil toets.
• Toegang tot The Geometer’s Sketchpad 4 en Microsoft Office Excel
The Geometer’s Sketchpad 4 is ‘n grafiese rekenaarprogram wat op alle
rekenaarlaboratoriums van die NWU-PUK beskikbaar is. Die program kan ook vir ongeveer
R350 deur die vakgroep Wiskunde-onderwys aangekoop word. Microsoft Office Excel is
deel van die Office-pakket wat op die meeste Windows-gebaseerde rekenaars beskikbaar is;
ook hierdie program is op alle rekenaarlaboratoriums van die NWU-PUK beskikbaar.
• Toegang tot Groupwise-e-pos en eFundi
Die dosent kommunikeer feitlik daagliks met u deur middel van e-pos en eFundi; dit is u
verantwoordelikheid om te sorg dat u vanaf die eerste dag van die semester toegang tot
hierdie fasiliteite het.
7

0.6 Hoe om die studiegids te gebruik
Hierdie studiegids is 'n voorbeeld van 'n gids wat interaktief geskryf is, met ander woorde dit
is ontwerp om saam met u te werk en u deur die module te begelei, amper soos wat 'n
lewende persoon sou doen. Die studiegids speel die rol van die dosent wanneer u op u eie
werk.
Die rede waarom die studiegids so ontwerp is, kan as volg verduidelik word:
Hierdie module is 'n 8 krediet-module, wat beteken dat dit ongeveer 80 studie-ure sal neem
om die module te voltooi. Hierdie 80 ure sluit in:
• Voorbereiding vir deelname aan kontaksessies (wat besprekings, groepwerk, die
skryf van vorderingstoetse en tutoriaalaktiwiteite insluit)
• Bywoon van kontaksessies waartydens die dosent as fasiliteerder van onderrig-leer
optree
• Onafhanklike deurwerk van voorbeelde en probleme, onder meer met die oog op
inhandiging
• Voorbereiding vir toetse en die eksamen
• Die aflê van toetse en eksamens
Let egter daarop dat die totale kontaktyd (lesings of ook kontaksessies genoem) slegs
ongeveer 33 uur uitmaak van die 80 uur wat hierdie module vereis. Dit beteken dat die
ander 47 uur opgemaak moet word deur dít wat u in u eie tyd doen. Die hoofdoel van
die studiegids is om u hiermee te help.
Vir u gerief bevat hierdie studiegids 'n gedetailleerde tydskedule en student-werkprogram.
Ons beveel sterk aan dat u streng volgens hierdie skedule werk.
U moet die groen handboek van Washington as primêre bron van leermateriaal benut.
Die gids bevat verwysings na die paragrawe in die handboek waaroor elke leereenheid of
leergedeelte handel. U moet hierdie verwysings gebruik om voor te berei vir lesings. U moet
hierdie verwysings ook gebruik indien u oefeninge of opgawes doen en vir toetse of
eksamens studeer. Die studiegids bevat ook sekere aanvullende besprekings en voorbeelde
om u met u vordering te help.
8

Die studiegids is ontwerp om onder meer die volgende vir u te doen:
• om die spesifieke leeruitkomste van elke leergedeelte vir u uit te lig sodat u presies kan
weet wat akademies van u verwag word;
• om struktuur en orde aan die leerinhoude te verskaf;
• om u te help om by die werkstempo van die dosent te hou;
• om u in staat te stel om die leerinhoude grootliks op u eie te bestudeer;
• om op 'n ordelike en gereelde basis te werk sodat u opgawes betyds kan voltooi en
betyds vir toetse kan begin voorberei.
Die volgende studieriglyne kan u baie help om suksesvol te studeer:
• Werk volgens die tydskedule en student-werkprogram in hierdie studiegids;
• Sorg altyd dat u studie-aktiwiteite gerig word deur die leeruitkomste wat hierdie
studiegids aan die begin van elke leergedeelte stel;
• Lees die handboek, veral wanneer hierdie studiegids na die handboek verwys;
• Moenie direk probeer om die oefeninge te doen nie – lees eers vinnig deur die
aangetoonde gedeeltes in die handboek, en let veral op die voorbeelde.
• Maak notas (in u handboek en studiegids, as u wil, of hou 'n notaboek) van alles wat u
nuut leer;
• Hou vir u eie beswil 'n lêer by waarin u al u notas, oefeninge, nagesiende opgawes,
nagesiende antwoordstelle, ens. by mekaar hou
• Dink altyd na oor die betekenis van elke uitkoms;
• Vorm groepies (al werk u net saam met een ander persoon) waarin u die werk bespreek
en vir mekaar verduidelik en saam deur die oefeninge werk, veral voor toetse en
eksamens;
• Woon fasiliteringsessies by (daar is op aanvraag fasilitering beskikbaar vir hierdie
module)
Neem onmiddellik die vrymoedigheid om die dosent persoonlik te gaan sien wanneer u
probleme met die bemeestering van enige uitkoms ondervind.
9

0.7 Monitering van vordering
Hieronder volg nou ‘n lys van tipiese moontlike vrae wat u uself moet afvra om u werk
deurentyd te beplan, te monitor en terug te kyk op die voltooide studietaak:
• Beplan altyd eers hoe u die probleem gaan benader. Waaroor gaan die probleem?
• Wat weet ek hiervan?
• Waaraan is dit verwant?
• In watter rigting wil ek hê my denke moet gaan?
• Wat word van my vereis om te doen?
• Wat moet ek eerste doen?
• Watter strategieë en tegnieke moet ek gebruik?
• Weet ek waar om die kennis of inligting wat ek benodig te verkry?
• Wat is die stappe om te voltooi?
• Is daar ‘n ander manier?
• Hoe sal ek weet as ek ‘n fout maak?
• Wanneer is 'n oplossing nie van toepassing nie?
• Verstaan ek volledig wat ek doen?
• Lyk dit reg?
• Oorweeg ek alle moontlikhede?
• Hoe sal ek aanpassings maak as ek vind dat ek op die verkeerde pad is?
• Waar sal dit my bring?
• Het ek dit volledig en korrek gedoen?
• Hoe vergelyk myne met die van ander?
• Het ek die leeruitkoms bereik?
• Wat het ek hieruit geleer?
• Wanneer sal ek nodig hê om iets soortgelyks te doen?
• Hoe kan ek dit in die toekoms gebruik?
10

0.8 Assessering
Assessering sal soos volg gedoen word:
Self- Assessering
U moet elke dag die oefeninge wat gegee word, voltooi en dit self merk aan die hand
van die antwoorde wat voorsien word, selfs al word nie alle werk formeel ingeneem en
deur die dosent of assistente nagesien nie.
Formatiewe assessering
Sekere oefeninge moet voltooi en op die tyd wat die dosent met u sal afspreek, ingehandig
word vir assessering. Hierdie opgawes word meestal aan die einde van 'n leergedeelte in
hierdie gids aangegee. Net na inhandiging word die memorandums beskikbaar gestel.
Ook sal vorderingstoetse gereeld gebruik word om u vordering te monitor. Raadpleeg die
Tydskedule en Student-werkprogram vir meer inligting hieroor.
Summatiewe assessering
Aan die einde van die semester word 'n eksamenvraestel geskryf wat oor al die werk in die
module handel.
Groepwerk
Die hoeveelheid werk in hierdie module is gewoon te veel vir een persoon om deur te werk.
Daarom beveel ons aan dat u en minstens een ander persoon saam deur die oefeninge
werk. Dit sal kosbare tyd spaar.
U word individueel geassesseer – veral in die vorderingstoetse, maar ook in die eksamen
– so dit maak geen sin om iemand anders se werk klakkeloos af te skryf nie. Die kere wat
die dosent oefeninge of dele van oefeninge as opgawes gaan inneem om formeel na te sien,
sal dit maar ‘n klein persentasie van u deelnamepunt tel. Die daaropvolgende
vorderingstoets sal altyd egter heelwat uitmaak van u deelnamepunt.
11

In hierdie module beteken groepwerk dus nie iets wat u saam met ‘n ander persoon
inhandig om dan ‘n gesamentlike punt te kry nie – Nee, in hierdie module beteken
groepwerk dat u op minstens een ander persoon se medewerking aangewese is ten einde
die uitkomste self te bereik. Die dosent sal selde indien ooit ‘n gesamentlike punt vir
groepwerk toeken – die uitkomste vir hierdie module word individueel geassesseer.
Niemand gaan vir ‘n ander persoon se werk punte kry nie.
Eksamentoelating
Die Algemene Reëls van die Universiteit bepaal in hierdie verband die volgende:
Geen student word toegelaat om eksamen af te lê nie, tensy die student op grond van
'n deelnamebewys tot die bevrediging van die dosent, vakgroep en skooldirekteur kan
aantoon dat hy aan die minimum vereistes voldoen aangaande die bemeestering van
sekere kennis, vaardighede en gesindhede soos deur die module-uitkomste bepaal.
As deelnamebewys vir hierdie module word vereis:
‘n Deelnamepunt van ten minste 40%
Die volgende aktiwiteite tel vir u deelnamepunt:
1. ‘n Aantal oefeninge wat as opgawes vir nasiendoeleindes ingeneem mag word.
2. ‘n Aantal vorderingstoetse wat tydens kontaksessies geskryf sal word.
U deelnamepunt sal ongeveer volgens die volgende gewigte bereken word:
1. Werkkaarte en Oefeninge (Opgawes): 30%
2. Vorderingstoetse en Prakties: 70%
Eksamen
Een twee-uur eksamenvraestel word aan die einde van die Semester geskryf. Hierdie
Eksamenvraestel handel oor die hele Semester se werk. ‘n Subminimum van 40% moet in
die eksamen behaal word om hierdie module te slaag, ongeag hoe hoog u deelnamepunt
is.
12

Modulepunt van ten minste 50%
U finale punt vir die module word bereken deur die deelnamepunt tot die eksamenpunt in ‘n
verhouding van 60:40 te bereken. U benodig ‘n modulepunt van 50% om hierdie Module te
slaag, mits u natuurlik 40% of meer in die eksamenvraestel behaal het.
Berekening van modulepunt:
Modulepunt= ( 0,6×Deelnamepunt ) + ( 0,4×Eksamenpunt )
Indien u dus 'n deelnamepunt van 40% het, sal u in die eksamen minstens 65% moet behaal
om die module te slaag.
Onreëlmatighede tydens assessering
Amptelike regulasies plaas die verantwoordelikheid op die student om opgawes betyds op
die afgespreekte tye in te handig.
Opgawes wat laat ingegee word kan nie aanvaar word nie, aangesien die memorandums
van opgawes net na die inhandigingstyd beskikbaar gestel word. Laatkommers sou dus tot
die opgawes se uitgewerkte oplossings toegang hê.
Dit is van allergrootste belang dat elke student te alle tye sy/haar eie werk doen, en
hom/haarself daarvan weerhou om 'n ander student se werk af te skryf en as sy/haar eie in
te handig vir assessering. (sien die volgende gedeelte oor Plagiaat vir meer inligting
hieroor).
Dit is wel moontlik dat studente in groepe van twee of meer kan saamwerk om die uitkomste
te bemeester, en ons beveel dit ook aan. U mag net nooit presies dieselfde eindproduk as 'n
ander student ingee nie; sorg dus dat u nooit na 'n ander student se finale eindproduk kyk
nie. U eie werk moet u eie persoonlike skryf- en redeneerstyl weerspieël.
Toetse word vooraf aangekondig by wyse van aankondigings tydens die lesings asook epos/
eFundi. Indien ‘n student nie ‘n toets skryf nie, het hy gewoon ‘n nulpunt vir daardie
toets. “Geldige verskonings” dien dus nie as plaasvervanging vir punte nie. Toetse is
natuurlik individuele aktiwiteite.
13

0.9 Waarskuwing teen plagiaat
WERKSTUKKE IS INDIVIDUELE TAKE EN NIE GROEPAKTIWITEITE NIE (TENSY DIT
UITDRUKLIK AANGEDUI WORD AS ‘N GROEPAKTIWITEIT)
Kopiëring van teks van ander studente of uit ander bronne (byvoorbeeld die studiegids,
voorgeskrewe studiemateriaal of direk vanaf die Internet) is ontoelaatbaar – net kort
aanhalings is toelaatbaar en slegs indien dit as sodanig aangedui word.
U moet bestaande teks herformuleer en u eie woorde gebruik om te verduidelik wat u
gelees het. Dit is nie aanvaarbaar om bestaande teks/stof/inligting bloot oor te tik en die
bron in 'n voetnoot te erken nie – u behoort in staat te wees om die idee of begrip/konsep
weer te gee sonder om die oorspronklike skrywer woordeliks te herhaal.
Die doel van die opdragte is nie die blote weergee van bestaande materiaal/stof nie, maar
om vas te stel of u oor die vermoë beskik om bestaande tekste te integreer, om u eie
interpretasie en/of kritiese beoordeling te formuleer en om 'n kreatiewe oplossing vir
bestaande probleme te bied.
Wees gewaarsku: Studente wat gekopieerde teks indien sal 'n nulpunt vir die opdrag
ontvang en dissiplinêre stappe mag deur die Fakulteit en/of die Universiteit teen
sodanige studente geneem word. Dit is ook onaanvaarbaar om iemand anders se werk
vir hulle te doen of iemand anders in staat te stel om u werk te kopieer – moet dus nie
u werk uitleen of beskikbaar stel aan ander nie!
14

0.10 Die moduleplan
Leereenheid Onderwerp Uur Assessering
1 Wiskundige modelle en funksies 14 Toets 1
2 Polinoomfunksies 14 Toets 2
3
Rasionale funksies, eksponensiële funksies
en logaritmiese funksies
4 Trigonometriese funksies 10
5 Kegelsnitte 8
6 Trigonometrie 12
7 Elementêre beskrywende statistiek 10
15
12
Toets 3
Toets 4
Toets 5/
Prakties ?
Tipies vorm bogenoemde onderwerpe ‘n geïntegreerde geheel – kennis, vaardighede en
bevoegdhede uit een leereenheid word in een of meer van die ander leereenhede toegepas.
Die module werk dus soos ‘n masjien waarin al die ratte in die verskillende dele van die
masjien gelyktydig nodig is vir die masjien om te kan werk.
In u studie van die tegniese en natuurwetenskaplike studievelde sal u gedurig vind dat
Wiskunde nie regtig in kompartemente verdeel kan word nie, al verdeel ons dit
gerieflikheidshalwe wel in Wiskundemodules wat self weer onderverdeel word in
Leereenhede en leergedeeltes; ons maak hierdie verdeling gewoon om struktuur aan die
leerinhoude te gee en om sodoende u studie van Wiskunde te vergemaklik.
In hierdie sin kan gedra die studieveld Wiskunde homself soos ‘n lewende organisme met
verskillende ledemate – elke ledemaat is tegelyk vas aan die res van die liggaam, en geen
deel kan op sy eie alleen funksioneer nie. Die bestaan en werking van elke ledemaat is tot ‘n
mindere of meerdere mate betrokke by die bestaan of werking van een of meer van die
ander ledemate.

0.11 Tydskedule en student-werkprogram
Leereenheid Onderwerp
1 Wiskundige modelle en funksies
2 Polinoomfunksies
3
Rasionale funksies, eksponensiële funksies
en logaritmiese funksies
16
Hoofstuk in
die boek
van
Washington
4 Trigonometriese funksies 10
8
21
3
5
21
7
15
3
13
Paragrawe
8.3
21.9 – 21. 10
3.1 – 3.6
5.1 – 5.3
21.1 – 21.2
15.2 – 15.3
3.4
13.1 – 13.2
10.1 – 10.3
10.5 – 10.6
5 Kegelsnitte 21 21.3 – 21.6
6 Trigonometrie
7 Elementêre beskrywende statistiek 22
0.12 Module uitkomste
4
8
4.1 – 4.5
8.1 – 8.4
22.1 – 22.2
22.6 – 22.7
Na voltooiing van hierdie module moet die student in staat wees om die volgende te
doen:
• grondige kennis, begrip en insig te demonstreer ten opsigte van die verband tussen
wiskundige modelle en funksies, Cartesiese en poolkoördinaatstelsels, eenvoudige
poolkrommes, Cartesiese krommes, kegelsnitte in terme van hul lokusse en Cartesiese
vergelykings, trigonometrie asook elementêre beskrywende statistiek;

• grondige vaardighede te demonstreer ten opsigte van die beperkte modellering van
werklikheidsgetroue situasies, die toepassing van basiese analitiese meetkunde, die
teken van poolkrommes deur middel van geskikte rekenaarprogrammatuur, Cartesiese
krommes van ‘n verskeidenheid van funksies, grafiese oplossing van stelsels
vergelykings, die oplos van probleme waar trigonometrie betrokke is asook die gebruik
van basiese beskrywende statistiek;
• bevoeg te wees ten opsigte van die praktiese toepassing van bogenoemde
vaardighede en om werklikheidsgetroue situasies vanuit die tegniese en
natuurwetenskaplike studievelde te modelleer en verwante probleme op te los; asook
om elementêre beskrywende statistiek deur die gebruik van geskikte
rekenaartegnologie toe te pas ten einde data te administreer en te interpreteer;
• in staat wees om die betekenis, geldigheid en akkuraatheid van wiskundige modelle en
berekenings soos toegepas op werklikheidsgetroue situasies uit die tegniese en
natuurwetenskaplike studievelde te evalueer.
0.13 Belangrike Afsprake
Om onnodige onsmaaklikheid en wedersydse bittere gevoelens tussen dosent en student te
voorkom, maak die dosent die volgende afsprake met die student:
1. Kommunikasie met die dosent geskied per e-pos, per landlyn-telefoongesprek
(gedurende kantoorure!) of per persoonlike gesprek tydens die dosent se spesifieke
spreekure – so nie, per afspraak via die skoolsekretaresse.
2. Spesiale reëlings of verskonings i.v.m. toetse, werkopdragte en lesings word per epos
aan die dosent gekommunikeer, en wel binne ‘n redelike tyd vanaf, of waar
moontlik, voor die noodgeval.
3. Sport-, Sosiale- en Kultuuraktiwiteite word nie as noodgevalle geklassifiseer nie –
indien sodanige aktiwiteite ernstig met ‘n student se akademiese verpligtinge inmeng,
is dit gewoon vir daardie student nodig om weer oor sy of haar prioriteite te besin.
4. Die dosent verkeer onder geen morele of ander verpligting om ‘n student tegemoet te
kom d.m.v. ‘n spesiale reëling nie – indien die dosent ‘n student wel tegemoet kom, is
dit ‘n gebaar van welwillendheid vanaf die kant van die dosent.
17

5. In die lig van punt 4. hierbo, wil ons dus vra dat geen studente met tragiese relase en
fantastiese verskonings vorendag kom en sodoende probeer om op die dosent se
gevoelens te speel nie. ‘n Student wat so iets doen, is ‘n verleentheid vir homself en
vir die beroep waarin hy beplan om homself te begeef.
6. 'n Week het wel vyf werksdae, en dit sluit die hele Vrydag in.
7. Ons versoek ook alle studente ernstig om die dosent nie onnodig te kom lastig val
tydens eksamens en semestertoetsreekse nie, aangesien groot hoeveelhede
nasienwerk tydens hierdie tye gedoen moet word.
8. Die nasien en verwerking van punte tydens semestertoetse en veral eksamens duur
7 werksdae. Dit is omdat die vraestelle gemodereer word, die punte gekontroleer
word, grensgevalle heroorweeg word, en die inlees van die punte gekontroleer word.
Al hierdie meganismes neem tyd, maar is daar tot voordeel van die student.
9. Deelnamepunte en eksamenuitslae sal op die amptelik geskeduleerde datums per epos
aan die studente deurgegee word. Studente moet asseblief nie voor hierdie tye
die dosent met navrae kom lastig val nie, aangesien dit die punteverwerkingsproses
vertraag.
10. Geen onderhandelinge i.v.m. deelnamepunte sal ná die finaliseringsdatum vir
deelnamepunte gevoer word nie. ‘n Deelnamepunt is volgens die A-Reëls ‘n punt
wat die student gedurende die semester opbou deur deelname aan en prestasie in
klasaktiwiteite, vorderingstoetse en werkopgawes. ‘n Dosent kan nie “deelname gee”
nie, en ook nie "voorwaardelike eksamentoelating" nie.
11. Tweede Geleentheid-eksamendatums en –reëlings val buite die pligte en take van
die dosent. Geen dosent is dus by magte om aan hierdie datums of reëlings te
verander nie. Derhalwe wil ons met alle respek voorstel dat oorsese reise,
buitelandse besoeke en so meer liefs so gereël word dat dit ná afloop van Tweede
Eksamen-geleentheid plaasvind.
Ons sou ‘n groot aantal anekdotiese verhale kon voorhou om te illustreer hoe
misverstande rondom bogenoemde aangeleenthede al tot kwade gevoelens tussen
mense gelei het. Laat ons asseblief probeer om sulke situasies te vermy en liewer
probeer om op ‘n beskaafde wyse in harmonie saam te werk.
18

1 Wiskundige modelle en funksies
Geskatte tyd benodig om die leeruitkomste te bemeester
14 ure
Noodsaaklike voorkennis
1. Definisies van die ses trigonometriese funksies (Paragrawe 4.2 tot 4.4 in die
handboek)
2. Die Stelling van Pythagoras
3. Reghoekige assestelsels (Paragraaf 3.3)
Leeruitkomste vir hierdie leereenheid
Na afhandeling van hierdie leereenheid moet die student in staat wees om die
volgende te doen:
1. Radiaalmaat met selfvertroue te gebruik om hoeke te beskryf;
2. Hoeke in grade om te skakel na radiaalmaat en omgekeerd;
3. Reghoekige koördinaatstelsels en poolkoördinaatstelsels te gebruik om inligting voor
te stel en te interpreteer;
4. Reghoekige koördinate om te skakel na poolkoördinate en omgekeerd;
5. Eenvoudige poolkrommes deur middel van ‘n tabel en potlood-en-papiermetodes
asook deur middel van geskikte rekenaarprogramme te teken;
6. Die begrip “funksie” te definieer en aan die hand van ‘n voorbeeld te verduidelik hoe
funksies gebruik word om wiskundige modelle te beskryf;
7. Funksienotasie korrek te gebruik;
8. Die begrippe “definisieversameling” (“domain” in Engels) en “waardeversameling”
(“range” in Engels) korrek te gebruik om die gedrag van ‘n funksie te beskryf;
19

9. Die grafiek van ‘n gegewe datastel (tabel) op papier te teken;
10. Die grafiek van ‘n gegewe datastel (tabel) met behulp van Microsoft Excel te teken;
11. Geskikte rekenaarprogrammatuur te gebruik om die grafieke van gegewe funksies te
genereer
20

1.1 Radiaalmaat
Leeruitkomste vir hierdie leergedeelte
Na afhandeling van hierdie leergedeelte moet die student in staat wees om die
volgende te doen:
1. Radiaalmaat met selfvertroue te gebruik om hoeke te beskryf;
2. Hoeke in grade om te skakel na radiaalmaat en omgekeerd
Bestudeer die volgende materiaal in die boek van Washington
Paragraaf Bladsynommers
8.3 244 - 248
Oefening 1.1 vir selfassessering
Oefening in die handboek Bladsynommer Probleme
8.3 248 5, 7, 9, 11
21
13, 15, 17, 19
21, 25
45, 47 (stel u sakrekenaar in radiale)
63, 67
Die finale antwoorde van die gegewe probleme verskyn agterin die handboek.

1.2 Poolkoördinate
Leeruitkomste vir hierdie leergedeelte
Na afhandeling van hierdie leergedeelte moet die student in staat wees om die
volgende te doen:
1. Reghoekige koördinaatstelsels en poolkoördinaatstelsels te gebruik om inligting voor
te stel en te interpreteer;
2. Reghoekige koördinate om te skakel na poolkoördinate en omgekeerd;
3. Eenvoudige poolkrommes deur middel van ‘n tabel en potlood-en-papiermetodes
asook deur middel van geskikte rekenaarprogramme te teken
Bestudeer die volgende materiaal in die boek van Washington
Paragraaf Bladsynommers
21.9 596 - 598
21.10 600 - 602
Oefening 1.2 vir selfassessering
Oefening in die handboek Bladsynommer Probleme
21.9 599 5, 7, 9, 13
21.10
Doen vrae 13 – 21 met
behulp van GSP
602
22
17, 19
21, 23
1
5, 7, 9 ( secθ
= ), 11, 13, 15, 17,
cosθ
21
Die finale antwoorde van die gegewe probleme verskyn agterin die handboek.

1.3 Funksies
Leeruitkomste vir hierdie leergedeelte
Na afhandeling van hierdie leergedeelte moet die student in staat wees om die
volgende te doen:
1. Die begrip “funksie” te definieer en aan die hand van ‘n voorbeeld te verduidelik hoe
funksies gebruik word om wiskundige modelle te beskryf;
2. Funksienotasie korrek te gebruik;
3. Die begrippe “definisieversameling” en “waardeversameling” korrek te gebruik om die
gedrag van ‘n funksie te beskryf;
4. Die grafiek van ‘n gegewe datastel (tabel) op papier te teken;
5. Die grafiek van ‘n gegewe datastel (tabel) met behulp van Microsoft Excel te teken;
6. Geskikte rekenaarprogrammatuur te gebruik om die grafieke van gegewe funksies te
genereer
Bestudeer die volgende materiaal in die boek van Washington
Paragraaf Bladsynommers
3.1 82 - 84
3.2 85 - 88
3.4 92 - 96
3.5 98 - 102
3.6 103 - 105
23

Die Geometer’s Sketchpad-program (GSP) werk soos ’n grafiese sakrekenaar. Dit kan
die grafiek van ’n gegewe funksie direk skets. Microsoft Excel, daarenteen, vereis dat
’n tabel van waardes ingevoer moet word; slegs dan kan Excel ’n grafiek daarvan
skets. Albei programme is kragtig en nuttig; ons gee vervolgens ’n lys van die aksies
of fasiliteite wat GSP bied. Hierdie lys is saamgestel deur Mev. Heleen Coetzee van
die vakgroep Wiskunde-onderwys.
U moet met die program eksperimenteer wanneer u ook al tyd het.
Merk elke aksie in die kolom hieronder af sodra u seker is hoe dit werk.
AKSIE Verduideliking Merk af
Selection Arrow Tool Selekteer of “sleep” figure
Point Tool Teken punte
Construct -segment Teken ’n lynstuk(ke)
Indien op “wit” kliek, word niks geselekteer.
Hierdie “Tool” moet altyd gekies word, anders
sal u aanhou met punte plot of doen dit wat u
laaste gekies het. as iets nie wil werk nie, kyk
eers of die regte voorwerpe geselekteer is.
Measure-Angle Meet die hoek by die middelste hoekpunt van
drie hoekpunte wat in volgorde geselekteer
word.
Measure-Calculate Vir berekeninge, waar vorige metings as
veranderlikes geselekteer kan word.
Measure-Length Meet lengte van ’n geselekteerde lynstuk
Measure -Distance Meet afstand tussen twee geselekteerde
punte
Display-Animate point Selekteer ’n punt wat onwillekeurig moet
beweeg.
Straightedge Tool Konstrueer lynstukke (Punt moet verlig wees
om lynstukke aan mekaar te bind.)
Construct-
Perpendicular Line
Punt waardeur loodlyn moet gaan en lyn(stuk)
waarop die loodlyn getrek moet word moet
beide geselekteer wees.
24

Construct-Intersection
Construct-(Triangle)
Interior
Measure-Perimeter
(Area)
Selekteer twee meetkundige voorwerpe en
verkry dan die snypunt of
Kliek met muis naby snyding
of
Plaas punt met Point Tool op snyding as
beide voorwerpe verlig is. (Laasgenoemde is
’n onveilige metode)
Selekteer hoekpunte van veelhoek en kies
hele veelhoek hiermee.
Met veelhoek geselekteer (fyn rooster) kan u
nou die omtrek of oppervlakte meet.
File-New Sketch Gaan na skoon dokument.
Graph-Grid Form-
Square Grid
Graph-Grid Form-
Rectangular Grid
Graph-Grid Form-Polar
Grid
Vir vierkantige grafiekpapier.
Sleep die oorsprong om meer of minder van
’n spesifieke kwadrant te sien.
Plaas die muis op ’n getal op die asse. As die
muis-pyltjie na ↔ of verander, kan u die
muis kliek en sleep en beide asse se skaal
verander, maar bly steeds vierkantig.
Vir grafiekpapier met verskillende skale op die
asse.
Plaas die muis op ’n getal op die asse. As die
muis-pyltjie na ↔ verander, kan die skaal op
die horisontale as onafhanklik van die
vertikale as verander. As die muis-pyltjie na
verander, kan die skaal op die vertikale as
verander word sonder dat die horisontale as
beïnvloed word.
Vir grafiekpapier wat in poolkoördinate werk.
U funksies is dan van die vorm r = f ( θ ) .
Graph-Hide(Show) Grid Om die rooster weg te steek om weer na vore
te bring.
Graph-Snap Points Punte naby die rooster-kruisings word presies
op die snyding geplot.
Display-Hide Axis(Axes) Selekteer ’n as(se) en steek dit weg.
25

Display-Hide Points (of
ander figure)
Display-Line
Width(dashed, Thin,
thick)
Selekteer eers die figuur en steek dit dan
weg.
Selekteer ’n lyn(stuk) of funksie en verander
die voorkoms.
Display-Color Selekteer ’n voorwerp en verander dan die
kleur daarvan.
Graph-Plot New
Function
sin
cos
tan
sqrt
ln
log
Sorg dat niks vooraf geselekteer is nie.
^ vir eksponente
* vir vermenigvuldiging
π en e is by “Values”
By Equation kan u kies tussen f ( x)
x = f ( y)
. Laasgenoemde is nodig om
26
y = en
vertikale lyne as funksies te teken; bv. x = 3 .
Oppas vir die trigonometriese funksies. Indien
u in grade werk, moet u die asse vooraf reg
rek of krimp.
U kan nie ’n sirkel soos x + y = 25 direk
teken nie, want dit is nie ’n funksie nie. Teken
dus y
2
25 − x
− f x .
= en daarna ( )
Edit Function Regs-kliek op die vergelyking van die funksie
om korreksies of wysingings aan te bring
sonder om alles weer oor in te sleutel.
Properties- Plot-Domain Regs-kliek op ’n grafiek om die
definisieversameling te stel.
Measure- Coordinates
Meet ’n geselekteerde punt se koördinate
Measure-Abscissa Meet slegs die x − koördinaat van ’n
geselekteerde punt.
Measure-Ordinate Meet slegs die y − koördinaat van ’n
geselekteerde punt.
2
2

Edit-Merge Point to
Function Plot
Selekteer ’n punt baie na aan ’n grafiek en die
grafiek om die punt op die grafiek te plaas. As
die grafiek verkleur as u die punt daarop
plaas, is die “merge” onnodig. Die punt kan
nou op die grafiek gesleep word.
Text Tool Benoem punte met naam daaraan gekoppel
deur met handjie (wat swart word) op punt te
kliek. Verander die naam deur met handjie
met A binne-in te dubbelkliek.
Edit-Select All
Edit-Copy
Edit-Paste of
Edit- Paste Special –
Picture (vir beter
kwaliteit)
Selekteer eers alles en kliek op dit wat u nie
wil selekteer. Plaas dit dan op die “Clipboard”.
Dit kan dan in WORD of enige ander
dokument ingetrek word.
Trek in WORD in.
Kan prent net rek of krimp deur met in een
van die hoeke met ’n diagonale pyltjie te
sleep.
File-Save As Stoor as ’n .gsp lêer op ’n plek van jou keuse.
File-Document Options-
Add Page-
Blank/Duplicate
File-Document Options-
Add Page-
Blank/Duplicate-Page
name.
File-Print Preview-Fit to
Page
Voeg verskillende bladsye by in dieselfde
dokument. Dit help om sketse wat saam hoort
onder een lêernaam te stoor.
Benoem die bladsye sinvol in die boonste van
die twee wit dele.
Druk skets om op ’n A4-bladsy in te pas. Dit
werk goed vir die skep van transparante.
Edit-Preferences Stel jou eenhede en noukeurigheid.
Measure-Slope Selekteer reguit lyn en meet die helling.
Measure-Equation Selekteer ’n lyn en bepaal die vergelyking
daarvan.
27

Graph-Plot Points-
Plot/Done
Sleutel ’n punt se koördinate in wat nie sal
verander as u aan die asse stel nie.
Edit-Paste Picture Dupliseer iets (soos ’n prent of Equation
Editor-vergelyking ) vanuit ’n ander program.
Transform-Mark Centre Merk punt vanwaar u gaan roteer of verdeel
Transform-Mark Mirror Merk die simmetrie-as
Transform-Mark Vector Kies die vektor waarvolgens u kan transleer
Transform-Translate Transleer die geselekteerde objek
Transform-Rotate Roteer die geselekteerde objek m.b.t. die punt
(mark centre)
Transform-Dilate Verdeel die lynstuk vanaf die punt (mark
centre)
Transform-Reflect Reflekteer die geselekteerde objekte m.b.t.
die simmetrie-as
Nog vele ander. Eksperimenteer gerus en leer by mekaar.
Onthou die beste van alles...
Edit Undo Maak ’n glipsie ongedaan.
28

Oefening 1.3 vir selfassessering
Oefening in die handboek Bladsynommer Probleme
3.1 84 5, 7, 9
3.2
29
13, 15, 17 (wat as x = 0 ?), 19
41
88 7, 8, 13, 15
(sê net elke keer by watter waardes van
die onafhanklike veranderlike is die
funksie nie gedefinieer nie)
31, 33, 41
3.4 96 Teken op papier:
5, 7, 9, 13, 15, 17, 21, 25, 31
Kontroleer u antwoorde deur ‘n
rekenaarprogram te gebruik om die
krommes te skets en met u potlood-enpapier-sketse
te vergelyk.
Teken met behulp van ‘n
rekenaarprogram:
39, 43, 46, 47, 57
3.5 102 Doen met behulp van ‘n
rekenaarprogram:
37, 43, 44, 50
U beantwoord dan die vrae deur
aflesings vanaf die grafiek te maak.
3.6 106 Met potlood en papier: 1, 3, 5, 7
Met Microsoft Excel: 2, 4, 6, 8
Die finale antwoorde van die gegewe probleme verskyn agterin die handboek.
Die res sal tydens lesings bespreek word.

‘n Elliptiese masjienonderdeel word in
die volgende diagram getoon; die
punt O is die middelpunt van die
onderdeel en hierdie punt word as
oorsprong van ‘n XY-assestelsel
gekies:
1.1 Skryf die vergelyking van die ellips in
algemene vorm neer.
1.2 A, B, C en D is gate wat in die
onderdeel geboor is. Bereken die
afstand AD.
1.3 Bereken die grootte van θ , dit is
∠ DAB .
1.4 MPQR is ‘n reghoekige opening wat
in die onderdeel gesny is. Indien M
die middelpunt is van AD, bereken die
oppervlakte van die opening MPQR.
Opgawe 1
Vraag 1/ Question 1
30
An elliptical machine part is shown
in the following diagram; the point
O is the centre of of the part and
this point is chosen as the origin of
an XY-system of axes:
Write down the equation of the ellips in
general form.
A, B, C and D are holes which were
drilled through the part. Calculate teh
distance AD.
Calculate the magnitude of θ , that is
∠ DAB .
MPQR is a rectangular hole that was
cut into the part. If M is the midpoint of
AD, calculate the area of the hole
MPQR.
1.5 Bereken die gradiënt (helling) van AB. Calculate the gradient (slope) of AB.

2 Twee vliegtuie, A en B, nader die
lughawe, dit is die oorspong van die
assekruis:
2.1 Skryf die posisies van die twee
vliegtuie in poolkoördinate.
2.2 Bepaal die grootte van die hoek
tussen hulle vlugpaaie in grade.
2.3 Bepaal die grootte van die hoek
tussen hulle vlugpaaie in radiale.
2.4 Skryf die posisies van die twee
vliegtuie in reghoekige (Cartesiese)
koördinate.
2.5 Bepaal die afstand wat die twee
vliegtuie van mekaar af is.
Vraag 2/ Question 2
31
Two aircraft, A and B, are approaching
the airport, that is the origin of the
system of axes:
Write the positions of the two aircraft in
polar co-ordinates.
Determine the magnitude of the angle
between their flight paths in degrees.
Determine the magnitude of the angle
between their flight paths in radians.
Write the positions of the two aircraft in
rectangular (Cartesian) co-ordinates.
Determine the distance between the two
aircraft.

OA is ‘n minuutwyser wat vanaf punt A
tot by punt B beweeg. Die hoek θ is
die hoek tussen die wyser se
oorspronklike posisie en sy latere
posisie:
3.1 Bepaal die koördinate van die
wyserpunt A in poolvorm.
3.2 Bepaal die koördinate van die
wyserpunt B in poolvorm.
3.3. Hoeveel sekondes neem die wyser om
van A na B te beweeg?
Vraag 3/ Question 3
32
OA is a minute hand which moves from
point A to point B. The angle θ is the
angle between the original posision of
the hand and its later position:
Determine the co-ordinates of the tip of
the hand A in polar vorm.
Determine the co-ordinates of the tip of
the hand B in polar vorm.
How many seconds does the hand take
to move from A to B?
3.4 Bepaal die grootte van θ in grade. Determine the magnitude of θ in
3.5 Skakel θ om na radiale; rond dit af tot
vyf desimale plekke, aangesien u dit
hieronder in ander berekinge moet
gebruik.
degrees.
Convert θ to radians; round it to five
decimal places, since you need to use
it below in other calculations.

3.6 Bepaal die hoeksnelheid van die
wyser, in radiale/sekonde.
33
Determine the angular velocity of the
hand, in radians/second.
3.7 Bereken die lengte van boog AB. Calculate the length of arc AB.
3.8 Bereken die oppervlakte van die
sirkelsektor wat deur boog AB
onderspan word (dit is die
geskakeerde gedeelte).
3.9 Bepaal die afstand AB in cm.
(ons bedoel die lynstuk wat A en B
verbind)
4.1 Skets r = 2cos θ deur die tabel te
voltooi en die punte te plot:
θ in radiale/ radians 0
r in lengte-eenhede /
distance units
4.2 Skets r 2cos θ
4.3 Skets
Vraag 4/ Question 4
π
4
2
= en r = 4sin(
θ )
met behulp van ‘n rekenaarprogram.
y x
2
= 2 − 9 met potlood en
papier. Kontroleer u grafiek met
behulp van ‘n rekenaarprogram.
4.4 Dit is moontlik om die vergelyking
y x
2
= 2 − 9 na poolvorm te
transformeer:
π
2
Calculate the area of the circle sector
subtended by arc AB (that is the
shaded region).
Determine the distance AB in cm.
(we mean the line segment connecting
A and B)
Sketch r = 2cos θ by completing the
given table and plotting the resulting
points:
3π
π
4
5π
4
Sketch r 2cos θ
3π
2
7π
2π
4
2
= and r = 4sin(
θ )
by means of a computer program.
Sketch
y x
2
= 2 − 9 using pencil and
paper. Check your graph using a
computer program.
It is possible to transform the equation
y x
2
= 2 − 9 to polar form:

Skets die kromme van
y = x −
2
2
9
2
( )
rsinθ = 2 rcosθ − 9 uit/ from x = rcos θ en/ and y = rsinθ
2 2
∴rsinθ − 2r cos θ + 9 = 0
2 2
∴− 2r cos θ + rsinθ
+ 9 = 0
∴− cos ⋅ r + sin ⋅ r + =
2 2
2 θ θ 9 0
− b ±
∴ r =
2
b − 4ac
2a
− sinθ ±
=
2 2
sin θ − 4 −2cos
θ
2 2
9
2 ( − cos θ )
− sin ± sin + cos
∴ r =
−4cos
θ
( )( )
θ
2
θ
2
72
2
θ
2 2
− sinθ ± sin θ + 72cos
θ
r =
met
2
−4cos
θ
behulp van GSP en vergelyk dit met
die grafiek wat u in 4.3 hierbo geteken
het.
Beskou die volgende grafiek wat toon
hoe die konsentrasie van ‘n
soutoplossing met verloop van tyd
verander:
Vraag 5/ Question 5
34
Sketch the curve of
2 2
− sinθ ± sin θ + 72cos
θ
r =
using
2
−4cos
θ
GSP and compare it to the graph which
you produced in 4.3 above.
Consider the following graph which
shows how the concentration of a salt
solution changes with the passing of
time:

5.1 Beskryf die grafiek in u eie woorde
deur na die volgende begrippe te
verwys:
• vorm of rigting van die kromme
• waardeversameling
• definisieversameling
5.2 Skryf enige twee afleidings
(gevolgtrekkings) neer wat u uit die
grafiek en u antwoorde op vraag 5.1
kan maak.
5.3 Bereken die konsentrasie na vyf
sekondes.
5.4 Skat die tyd wat die oplossing neem
om ‘n konsentrasie van 0,2 mol/liter te
bereik.
Stefan het sy kar se ligte aan vergeet
en toe hy by sy kar kom, wou dit nie
vat nie. Hy vra toe een van sy vriende
wat ‘n batterylaaier het om dit vir hom
te leen. Die spanningsfunksie van die
karbattery word hieronder grafies
aangetoon:
Vraag 6/ Question 6
35
Describe the graph in your own words
by referring to the following concepts:
• shape or direction of the curve
• range
• domain
Write down any two deductions
(conclusions) which you can make
from the graph and from your answers
to question 5.1.
Calculate the concentration after five
seconds.
Estimate the time the solution takes to
attain a concentration of 0,2 mole/liter.
Steven forgot to switch off his car’s
headlights and when he got to his car,
it refused to start. He then asked one
of his friends who owned a battery
charger to borrow it to him. The
voltage function of the car battery is
represented graphically below:

Beantwoord nou die volgende vrae
deur van die grafiek gebruik te maak:
6.1 Beskryf die grafiek in u eie woorde
deur na die volgende begrippe te
verwys:
• vorm of rigting van die kromme
• waardeversameling
• definisieversameling
36
Answer the following questions by
making use of the graph:
Describe the graph in your own words
by referring to the following concepts:
• shape or direction of the curve
• range
• domain
6.2 Hoe lank is die ligte aan gelaat? How long were the lights left switched
on?
6.3 Hoe lank het dit die vriend geneem
om die laaier te bring?
6.4 Wat was die spanning van die battery
twee en ‘n half uur nadat die laaier
aangeskakel is?
6.5 Op watter interval is die
spanningsfunksie stygend?
How long did it take the friend to bring
the charger?
What was the voltage of the battery two
and a half hours after the charger was
switched on?
On which interval is the voltage
function increasing?

6.6 Skryf die horisontale asimptoot van
die funksie neer en verduidelik wat dit
beteken.
37
Write down the horizontal asymptote of
the function and explain what it means.
Die oplossings van bogenoemde probleme word tydens lesings bespreek. Die
oplossings van sekere vrae sal op eFundi gepubliseer word.

2 Polinoomfunksies
Geskatte tyd benodig om die leeruitkomste te bemeester
14 ure
Noodsaaklike voorkennis
1. Die standaardvorme van lineêre (eerstegraadse) funksies, kwadratiese
(tweedegraadse) funksies en kubiese (derdegraadse) funksies soos op skool
behandel
2. Die skets van reguitlyn-grafieke, parabole en derdegraadse krommes soos op skool
behandel
3. Leereenheid 1
4. WSKT 111, Leereenhede 1 tot 4
Leeruitkomste vir hierdie leereenheid
Na afhandeling van hierdie leereenheid moet die student in staat wees om die
volgende te doen:
1. Lineêre vergelykings in die standaardvorm y = mx + c vir ‘n lineêre (eerstegraadse)
funksie te skryf;
2. Lineêre funksies grafies voor te stel (met die hand sowel as met behulp van geskikte
rekenaarprogrammatuur);
3. Eenvoudige werklikheidsgetroue probleme waar lineêre modelle betrokke is, op te
los;
4. Kwadratiese vergelykings in die standaardvorm
(tweedegraadse) funksie te skryf;
38
2
y = ax + bx + c vir ‘n kwadratiese
5. Kwadratiese funksies grafies voor te stel (met die hand sowel as met behulp van
geskikte rekenaarprogrammatuur);

6. Eenvoudige werklikheidsgetroue probleme waar kwadratiese modelle betrokke is, op
te los;
7. Kubiese vergelykings in die standaardvorm
(derdegraadse) funksie te skryf;
39
3 2
y = ax + bx + cx + d vir ‘n kubiese
8. Kubiese funksies grafies voor te stel (met die hand sowel as met behulp van geskikte
rekenaarprogrammatuur);
9. Eenvoudige werklikheidsgetroue probleme waar kubiese modelle betrokke is, op te
los
Inleidende opmerkings
Uit Leergedeelte 1.3 volg:
‘n Funksie is ‘n spesiale soort reël waarvolgens ‘n waarde (die afhanklike veranderlike
genoem) bereken kan word deur ‘n ander waarde (die onafhanklike veranderlike
genoem) in ‘n sekere algebraïese vergelyking (die model) te vervang.
Funksies word gebruik om prosesse of situasies in die werklike lewe te beskryf. Ons
gebruik funksies om wiskundige modelle saam te stel.
Wat is ‘n wiskundige model?
Wel, dit is ‘n wiskundige voorstelling van ‘n fisiese situasie of probleem. Die werklike lewe
(en die meeste tegnologiese toepassings in fabrieke, werkswinkels of laboratoriums) het met
ingewikkelde probleme en situasies te doen.
Tog kan sulke situasies wiskundig vereenvoudig word deur slegs na twee of miskien drie
meetbare aspekte daarvan op ‘n keer te kyk. Hierdie meetbare aspekte word veranderlikes
genoem. Die manier waarop die een veranderlike van die ander afhanklik is, word in die
vorm van ‘n formule (wiskundige vergelyking) geskryf.
Hierdie formule word ‘n wiskundige model genoem.

Daar is minstens vyf maniere om ‘n werklikheidsgetroue proses (of die funksie wat dit
beskryf) voor te stel, naamlik
• ‘n numeriese beskrywing (‘n tabel van gemete of berekende waardes)
• ‘n grafiese beskrywing (‘n kromme op ‘n koördinaatvlak met ‘n assestelsel daarby)
• ‘n woordelikse beskrywing en/of ‘n skematiese beskrywing soos ‘n diagram
• ‘n algebraïese beskrywing (‘n formule of vergelyking)
• ‘n praktiese voorbeeld wat die gedrag van die proses of probleem illustreer
In hierdie leereenheid bestudeer ons werklikheidsgetroue probleme wat met behulp van een
van die volgende tipes funksies gemodelleer kan word:
1. Lineêre funksies (eerstegraadse funksies)
2. Kwadratiese funksies (tweedegraadse funksies)
3. Kubiese funksies (derdegraadse funksies)
Hierdie tipes funksies is voorbeelde van polinoomfunksies. .’n Polinoomfunksie is ‘n
n
funksie van die standaardvorm y = a x
n−1 n−2 + a x + a x
n−3
+ a x +
0
+ a x waar die simbole
0
1 2 3 ...
a 0 , 1 a , a 2 , ... numeriese koëffisiënte (konstante getalwaardes) voorstel en waar x die
veranderlike of onbepaalde is. Die natuurlike getal
polinoomfunksie genoem.
n word die graad van die
By eerstegraadse funksies reduseer die standaardvorm
n
y = a x
n−1 n−2 n−3
+ a x + a x + a x +
0
1 0
+ a x na y = a x + a x en dit skryf ons gewoonlik as
0
y = mx + c .
1 2 3 ...
n
By tweedegraadse funksies reduseer die standaardvorm
n
y = a x
n−1 n−2 n−3
+ a x + a x + a x +
0
+ a x na
2
y = a x
1 0
+ a x + a x en dit skryf ons
0
gewoonlik as
1 2 3 ...
2
y = ax + bx+ c.
n
40
0
1
0 1 2
Net so word derdegraadse funksies in die standaardvorm as
n
3 2
y = ax + bx + cx+ d geskryf.
Aangesien die waarde van y in enige polinoomfunksie bereken kan word vir enige moontlike
reële waarde van x , sê ons dat polinoomfunksies kontinu is vir alle reële waardes van
x .

2.1 Lineêre funksies
Leeruitkomste vir hierdie leergedeelte
Na afhandeling van hierdie leergedeelte moet die student in staat wees om die
volgende te doen:
1. Lineêre vergelykings in die standaardvorm y = mx + c vir ‘n lineêre (eerstegraadse)
funksie te skryf;
2. Lineêre funksies grafies voor te stel (met die hand sowel as met behulp van geskikte
rekenaarprogrammatuur);
3. Eenvoudige werklikheidsgetroue probleme waar lineêre modelle betrokke is, op te los
Bestudeer die volgende materiaal in die boek van Washington
Paragraaf Bladsynommers
5.1 – 5.3 138 – 149
21.1 – 21.2 560 – 567
Lineêre modelle en eweredigheid
Indien ‘n werklikheidsgetroue probleem of situasie beskryf kan word deur ‘n lineêre
vergelyking (of voorgestel kan word deur ‘n reguit lyn-grafiek) dan dui dit daarop dat die
grootheid op die vertikale as (die afhanklike veranderlike) aan die grootheid op die
horisontale as (onafhanklike veranderlike) eweredig is.
In die spesiale geval waar ‘n reguit lyn-grafiek deur die oorsprong van die assestelsel gaan,
sê ons dat die grootheid op die vertikale as direk eweredig is aan die grootheid op die
horisontale as.
41

Bestudeer ook die volgende bespreking wat illustreer hoe ons te
werk gaan om ‘n lineêre wiskundige model vir ‘n
werklikheidsgetroue situasie te ontwikkel
Om die druk onder die oppervlakte van ‘n reservoir (diep watertenk) as funksie van
diepte onder die oppervlak te bepaal
Beskou ‘n diep tenk, 20 meter diep en ‘n drukmeter wat onder die oppervlak van die water
laat sak word sodat elke 4 meter ‘n druklesing geneem word:
Let daarop dat die druklesing afhang van hoe diep onder die oppervlak van die water die
lesing geneem word. Die druk verander namate die diepte verander. Uit hierdie
waarneming kan ons sê dat die druk op elke diepte ‘n sekere waarde het en dat die druk dus
afhang van die diepte waarop dit gemeet word. Daar is dus twee veranderlikes betrokke,
naamlik druk en diepte. Die druk P word die afhanklike veranderlike genoem en die diepte
d word die onafhanklike veranderlike genoem.
Ons kan nou probeer om die verband (dit is die manier waarop P van d afhanklik is)
tussen die twee veranderlikes wiskundig uit te druk.
42

Daarvoor gebruik ons ‘n formule of vergelyking. Om hierdie vergelyking of formule in die
hande te kry, verg gewoonlik ‘n bietjie wetenskaplike of wiskundige insig – maar met ons
bestaande kennis van grafieke (reguit lyne, parabole, hiperbole, derdegraadse krommes,
ensovoorts) kan ons tog deur middel van ‘n heuristiek (‘n logiese, buigbare metode of
strategie) by die formule wat ‘n wiskundige verband beskryf, uitkom.
‘n Goeie manier om die verband tussen die afhanklike en die onafhanklike veranderlike te
ondersoek, is om ‘n tabel van metings op te stel:
Diepte d
(meter)
Druk P
(kPa)
0 4 8 12 16 20
101,3 140,5 179,7 218,9 258,1 297,3
Die inligting vorm ses stelle waardes, waar elke stel waardes uit ‘n diepte en ‘n bybehorende
druk bestaan. Die volgende stap is om die inligting grafies te gaan voorstel.
Om dit te doen, moet ons besluit waar ons die definisieversameling (Engels: “domain”)
en waardeversameling (Engels: “range”) gaan plaas (hoe ons die asse gaan kies).
• Ons spreek af om die definisieversameling (dit is die waardes wat die
onafhanklike veranderlike aanneem) altyd op die horisontale as te plaas. Dus sal
ons in hierdie geval die diepte d op die horisontale as voorstel.
• Net so spreek ons af om die waardeversameling (dit is die waardes wat die
afhanklike veranderlike aanneem) altyd op die vertikale as voor te stel. Dus sal
ons in hierdie geval die druk P op die vertikale as voorstel.
Indien ons die grafiek met die hand op papier gaan teken, moet ons vervolgens aan die
skaal van die asse aandag gee.
43

Die gedagte is dat ons grafiek akkuraat genoeg moet wees dat ons goeie aflesings daarvan
af kan maak. Grafiekpapier kom dus handig te pas; so nie kan ons ‘n gewone vel papier
gebruik en op soortgelyke wyse te werk gaan.
Probeer altyd om soveel as moontlik van die beskikbare oppervlakte vir die grafiek te
gebruik. Hoe groter die voorstelling, hoe meer akkuraat kan u aflesings vanaf u grafiek
maak. Kyk dus dat die grootste waarde van die onafhanklike veranderlike (grootste diepte)
so ver as moontlik na regs op die horisontale as pas.
(Net so probeer ons die grootste waarde van die afhanklike veranderlike (hoogste druk) so
hoog as moontlik op die vertikale as pas.) Kies dus ‘n gerieflike waarde (“ronde getal”) naby
of gelyk aan die grootste waarde wat op ‘n as voorkom en merk dit af (sien onderstaande
assestelsel).
Dit is nie nodig om ‘n klomp kleiner merkies (in Engels: “ticks” op die asse te maak nie; dit
help egter om ons ‘n gevoel vir die skaal op elke as te gee. Maar die grootste waardes op
elke as moet op ‘n gerieflike (“ronde”) sentimeter- of millimeterafstand vanaf die
oorsprong (kruispunt van die asse) af lê.
Die skaal van elke as kan dan bepaal word.
Met “skaal van elke as” bedoel ons dat ons wil vasstel wat 1 cm of 10 mm (of watter afstand
ook al op elke as) werklik in terme van die as se eenhede beteken.
Die skaal op onderstaande grafiek is op die horisontale as 200 mm = 20 meter wat beteken
dat 10 mm = 1 meter . Ons kan dit natuurlik ewe goed skryf as 1mm = 01 , meter .
Net so is die skaal op die vertikale as 150 mm = 300 kPa wat beteken dat 10 mm = 20 kPa.
Ons kan dit natuurlik ewe goed skryf as 1mm = 2kPa.
44

Sodra ons die skaal van die asse bepaal het, is ons gereed om die inligting in die tabel as
punte op die plat vlak wat deur die asse gevorm word, voor te stel. Ons noem hierdie
tweedimensionele plat vlak wat deur die asse van ‘n grafiek gedefinieer word, die
Cartesiese vlak.
(sien onderstaande skets)
Om die punte op die Cartesiese vlak te stip (in Engels: “plotting the points”), beskou ons
elke stel waardes in die tabel as ‘n stel koördinate. Ons hanteer elke waarde van die
onafhanklike veranderlike as ‘n vertikale stippellyn wat die horisontale as loodreg sny;
net so hanteer ons die bybehorende waarde van die afhanklike veranderlike as ‘n
horisontale stippellyn wat die vertikale as loodreg sny. Waar die twee stippellyne mekaar
sny, stip ons ‘n punt.
Byvoorbeeld: Die tweede punt wat ons uit die tabel hierbo verkry, is dus die punt ( 4; 140, 5)
.
45

Ons noem die eerste getal in die hakie (dit is ‘n element van die definisieversameling)
die diepte-koördinaat en ons noem die tweede getal in die hakie (dit is ‘n element van die
waardeversameling) die druk- koördinaat. (op skool het hulle van die x - en die y -
koördinate gepraat – die X-as was altyd horisontaal en die Y-as altyd vertikaal.
Al wat ons hier doen, is om op presies dieselfde manier as op skool te werk te gaan; al wat
nou anders is, is dat ons die asse en veranderlikes name en simbole gee wat by ons
spesifieke probleemsituasie pas).
(Sien onderstaande skets)
46

Deur die proses vir elke stel waardes in die tabel te herhaal, verkry ons die volgende punte:
Die volgende stap is nou om te besluit watter soort kromme (reguit lyn, parabool,
hiperbool, derdegraadse kromme, ens) die beste deur die punte getrek kan word; ons wil ‘n
kromme bo-oor die punte teken sodat ons die kromme kan gebruik om afleidings en
voorspellings te maak omtrent die werklike situasie waarmee ons besig is.
Dit is met die eerste aanblik duidelik dat die punte in ‘n reguit lyn lê (ons kan dit toets deur ‘n
liniaal oor die punte te plaas).
47

Dus kan ons nou ‘n reguit lyn deur die punte trek – en ons doen dit op so ‘n wyse dat die lyn
“so goed as moontlik” deur al die punte gaan:
Ons noem hierdie lyn wat ons so goed as moontlik deur die data-punte trek, ‘n regressielyn.
Die feit dat ons ‘n reguit lyn verkry uit die grafiese voorstelling, impliseer dat die druk
in die watertenk eweredig is aan die diepte waarby dit gemeet word.
Ons kan die regressie-lyn gebruik om afleidings en voorspellings te maak omtrent die
werklike situasie waarmee ons besig is – dit is die hoofdoel van die hele oefening.
Voorbeeld 1:
Wat sou die druk wees op ‘n diepte van 10 m onder die oppervlak van die water?
48

Oplossing:
Trek ‘n vertikale stippellyn loodreg op die diepte-as opwaarts tot teen die regressie-lyn;
projekteer dan loodreg na regs tot teen die druk-as. Waar hierdie stippellyn die druk-as sny,
lees u die druk af wat op ‘n diepte van 10 m sou heers:
Die druk sou dus ongeveer 200,8 kPa wees op ‘n diepte van 10 meter. (afleiding)
Voorbeeld 2:
Hoe diep onder die water sou die dieptemeter ‘n druk van 160 kPa meet?
49

Oplossing:
Trek ‘n horisontale stippellyn loodreg op die druk-as na regs tot teen die regressie-lyn;
projekteer dan loodreg afwaarts tot teen die diepte-as. Waar hierdie stippellyn die diepte-as
sny, lees u die diepte af waar ‘n druk van 160 kPa sou heers:
Dit is duidelik dat die diepte ongeveer 6 m sal wees, waarop ‘n druk van 160 kPa gemeet sou
word. (afleiding)
Bogenoemde twee voorbeelde is goeie voorbeelde van interpolasie. Interpolasie is
wanneer ons ‘n regressie-lyn gebruik om af te lei wat die metings sou gewees het onder
omstandighede waarvoor ons nie werklike metings het nie.
50

Dit kom daarop neer dat u aflesings maak met behulp van die regressie-lyn aangaande
punte wat op die regressie-lyn lê.
Ons kan selfs voorspellings maak oor die druk indien die reservoir (opgaartenk) dieper as 20
m was.
Voorbeeld 3:
Wat sou die druk wees op ‘n diepte van 100m?
Oplossing:
‘n Diepte van 100 m is ‘n waarde wat nie op ons grafiek se horisontale as val nie (100 is nie
‘n element van die definisieversameling nie). Dus moet ons die regressie-lyn verleng totdat
dit lank genoeg is dat ons by 100 m op die diepte-as opwaarts en na links kan projekteer om
‘n aflesing te maak:
Dit is duidelik dat die druk 1081,3 kPa sou wees op ‘n diepte van 100 m. (voorspelling)
51

Voorbeeld 4:
By watter diepte sou die druk 700 kPa wees?
Oplossing:
‘n Druk van 700 kPa is ‘n waarde wat nie op ons grafiek se vertikale as val nie (700 is nie ‘n
element van die definisieversameling nie). Dus moet ons die regressie-lyn verleng totdat dit
lank genoeg is dat ons by 700 kPa op die druk-as horisontaal na regs en afwaarts kan
projekteer om ‘n aflesing te maak:
Dit is duidelik dat die diepte ongeveer 61,1 m sou wees waar die druk 700 kPa sou wees.
(voorspelling)
Bogenoemde twee voorbeelde is goeie voorbeelde van ekstrapolasie. Ekstrapolasie is
wanneer ons ‘n regressie-lyn gebruik om te voorspel wat die metings sou gewees het onder
omstandighede wat buite die omstandighede val waarvoor ons metings geneem het (sien die
tabel hierbo, etlike bladsye gelede). Dit kom daarop neer dat u aflesings maak met behulp
van die regressie-lyn aangaande punte wat buite die regressie-lyn lê.
52

Dus moet die regressie-lyn verleng word wanneer ons ekstrapolasie doen.
Die vraag ontstaan nou: kan ons die antwoorde op die vrae in bogenoemde vier
voorbeelde bereken, in plaas van aflees? Is daar ‘n manier om die antwoorde op die vier
vrae hierbo algebraïes uit te reken?
Die antwoord is: JA – definitief. Ons benodig net die vergelyking van die reguit lyn wat
ons deur die punte getrek het (die vergelyking van die regressie-lyn, dus).
Om dit te doen, benodig ons voorkennis uit Hoërskool-algebra:
Die vergelyking van enige reguit lyn is altyd y = mx + c waar m die gradiënt van die lyn is en
c die afsnit op die vertikale as is. y en x is die groothede wat onderskeidelik op die
vertikale en die horisontale as voorgestel word.
Nou, deur na die grafieke hierbo te kyk, is dit duidelik dat die afsnit op die vertikale as
101, 3 kPa is; dus is c = 101, 3 .
53

Net so kan ons die gradiënt van die regressie-lyn verkry deur enige reghoekige driehoek op
die regressie-lyn te konstrueer en gewoon die lengte van die teenoorstaande sy deur die
lengte van die aangrensende sy te deel:
ΔP
vertikale verskil tussen twee punte
m = Altyd: gradiënt =
Δd
horisontale verskil tussen twee punte
196
=
20
= 98 , kPa/m
Die vergelyking van die regressie-lyn is dus:
y = mx + c So vir enige reguit lyn
∴ P = 9, 8d +
101, 3 Vervang die toepaslike simbole en waardes
54

Let daarop dat P = 9, 8d + 101, 3 die wiskundige model is wat die werklike situasie beskryf:
Dit is ‘n funksie (formule, dus) waarmee ons die druk P kan uitreken vir enige gegewe
waarde van d .
Laat ons nou die wiskundige model (dit is in gees en in wese die vergelyking van die
regressie-lyn) gebruik om die druk te bereken wanneer die diepte 10 m is:
P = 98 , d + 1013 ,
∴ P = 9, 8 10 + 101, 3 Die skryfwyse P beteken P wanneer d = 10 m
( )
d = 10 m d = 10m
= 199, 3 kPa
Let op dat dit baie naby is aan die afgelese waarde wat ons op p. 7 hierbo verkry het.
Hier het ons interpolasie gedoen met behulp van ons wiskundige model.
Laat ons nou die wiskundige model (dit is in gees en in wese die vergelyking van die
regressie-lyn) gebruik om die diepte te bereken waarop die druk 700 kPa sou wees:
P = 98 , d + 1013 ,
∴ 700 = 9, 8d + 101, 3
∴− 9, 8d = − 700 + 101, 3 Manipuleer die formule; dit is eerstejaarswerk
−598,
7
∴ d =
−98
,
= 61, 092 m
Let op dat dit baie naby is aan die afgelese waarde wat ons grafies hierbo verkry het.
Hier het ons ekstrapolasie gedoen met behulp van ons wiskundige model.
55

Iets meer oor definisieversameling en waardeversameling
Noudat ons die vergelyking van die regressie-lyn het, kan ons na die funksie P = 9, 8d + 101, 3
verwys en vrae vra soos:
• Wat is die definisieversameling van die funksie?
• Wat is die waardeversameling van die funksie?
Die definisieversameling van die funksie is die werklike gemete waardes wat tussen
die kleinste werklike diepte en die grootste werklike diepte lê waarby werklik metings
gemaak is en wat die kleinste diepte en die grootste diepte insluit. (sien onderstaande
skets)
Ons skryf dit as Df{ d 0 d 20; d }
= ≤ ≤ ∈ .
Dit beteken letterlik in woorde: “Die definisieversameling van die funksie is die
versameling van alle d -waardes sodat d lê tussen 0 en 20 m, maar d kan ook gelyk wees
aan 0 of 20 m; d kan enige reële getal wees binne die interval vanaf en insluitende 0 tot by
en insluitende 20 m).”
Die waardeversameling van die funksie is die werklike gemete waardes wat tussen die
kleinste werklike druk en die grootste werklike druk wat gemeet is lê waarvoor werklik
metings gemaak is en wat die laagste druk en die hoogste druk insluit. (sien
onderstaande skets)
Ons skryf dit as Wf{ P101, 3 P 297, 3;
P }
= ≤ ≤ ∈ .
Dit beteken letterlik in woorde: “Die waardeversameling van die funksie is die versameling
van alle P -waardes sodat P lê tussen 101,3 en 297,3 kPa, maar P kan ook gelyk wees aan
101,3 kPa 297,3 kPa; P kan enige reële getal wees binne die interval vanaf en insluitende
101, 3 kPa tot by en insluitende 297,3 kPa).”
56

Ten slotte
Die bespreking op die voorafgaande bladsye illustreer stap vir stap die heuristiek waarmee
ons die formule waarmee aspekte van ‘n werklike situasie of proses beskryf kan word,
bepaal kan word. Hierdie heuristiek geld vir alle soorte modelle, nie slegs vir lineêre
modelle nie.
Ons som die stappe van die heuristiek op:
1. Verkry twee stelle waardes (data) deur meting. (Die een stel waardes is die onafhanklike
veranderlike; die ander stel waardes is die afhanklike veranderlike)
2. Stel die waardes (gewoonlik metings) in ‘n tabel voor
3. Gebruik die tabel om ‘n akkurate grafiek te verkry
4. Gebruik die patroon waarin die data-punte op die grafiek voorkom en trek ‘n beste lyn of
kromme deur die punte.
57

5. Gebruik hierdie “beste lyn” of kromme om interpolasie en ekstrapolasie te doen deur
middel van aflesings.
6. Indien akkurate inter- en ekstrapolasie verlang word, verkry die vergelyking van die
“beste lyn” of kromme wat u in Stap 4 verkry het. Hierdie vergelyking is die funksie
(wiskundige model) wat die probleemsituasie wat u ondersoek, beskryf.
7. Sodra u die vergelyking van die regressie-lyn of regressie-kromme het, kan u dit gebruik
om inter- en ekstrapolasie te doen, deur middel van vervanging en berekening.
8. Die gedrag van die funksie kan nou vanaf die grafiek en vanaf die vergelyking (formule
vir die grafiek) beskryf word in terme van begrippe soos:
• Stygend/ dalend
• Konkaaf na bo/ konkaaf na onder (sien Fig. 24.31 (a) op p. 709 van die handboek)
• Maksimumwaarde/ minimumwaarde(s) soos uit draaipunte en randwaardes verkry
• Vertikale asimptote (ons bespreek dit later – dis waar die grafiek “spronge” maak
• Horisontale asimptote (dit is horisontale lyne waarna die grafiek streef, maar nooit
verbysteek nie)
• Definisieversameling
• Waardeversameling
Ons sal bogenoemde heuristiek gebruik om enige eksperiment of ondersoek of gepaste
probleemsituasie of fisiese proses uit die tegnologiese studieveld te ontleed. By elkeen van
die besprekings in Leergedeelte 2.1 tot 3.3 word hierdie heuristiek net so gebruik.
Soos uit Stap 8 gesien kan word, kan ons sodoende ‘n ongelooflike goeie begrip van die
situasie of proses kry – dit stel ons in staat om interpretasies en evaluasies omtrent die
situasie of proses te maak.
Byvoorbeeld:
1. Wat is die waarde van atmosferiese druk? (dit is die druk op die oppervlakte van die
water in die tenk)
2. Probeer uitvind wat die waarde van atmosferiese druk in werklikheid is (soek sommer op
Google “atmospheric pressure”). Wat lei u af?
58

3. In handboeke gee hulle die formule vir die druk P onder die oppervlakte van ‘n vloeistof
as P = ρ gh + Patmosferies
. Vergelyk hierdie formule met die wiskundige model wat ons hierbo
2
ontwikkel het. Indien die waarde van g = 98 , m/s , bepaal die waarde van ρ (dit is die
digtheid van water, gemeet in
3
kg/m )
4. Wat is die werklike digtheid van suiwer vars water? (soek sommer op Google “density of
fresh water”.)
5. Sou u sê dat ons wiskundige model akkuraat is? Gee soveel redes as moontlik.
Oefening 2.1 vir selfassessering
Oefening in die handboek Bladsynommer Probleme
5.2 144 Toets al u antwoorde met behulp van
GSP:
59
5, 7, 9, 11
21, 23, 25, 27
29, 31, 33
5.3 148 11, 15 (met potlood en papier)
23, 27, 31 (slegs met GSP)
33, 35
21.1 563 Bepaal die lengtes van die lynstukke
deur die punte gegee in nr 5 en nr 7
Bepaal die gradiënte van die lynstukke
deur die punte gegee in nr 5 en nr 7
25, 27

21.2 568 45, 51, 53, 55
Die finale antwoorde van die gegewe probleme verskyn agterin die handboek.
60

2.2 Kwadratiese funksies
Leeruitkomste vir hierdie leergedeelte
Na afhandeling van hierdie leergedeelte moet die student in staat wees om die
volgende te doen:
1. Kwadratiese vergelykings in die standaardvorm
(tweedegraadse) funksie te skryf;
61
2
y = ax + bx + c vir ‘n kwadratiese
2. Kwadratiese funksies grafies voor te stel (met die hand sowel as met behulp van
geskikte rekenaarprogrammatuur);
3. Eenvoudige werklikheidsgetroue probleme waar kwadratiese modelle betrokke is, op
te los
Noodsaaklike voorkennis
1. Paragrawe 7.1, 7.3 (afgehandel in WSKT 111, Leereenheid 4)
Bestudeer die volgende materiaal in die boek van Washington
Paragraaf Bladsynommers
7.4 228 – 232

Bestudeer ook die volgende bespreking wat illustreer hoe ons te
werk gaan om ‘n kwadratiese wiskundige model vir ‘n
werklikheidsgetroue situasie te ontwikkel indien die vorm van die
vergelyking (formule) bekend is
Om ‘n rubberbal wat opwaarts gegooi word, wiskundig te modelleer
Ons het as voorbeeld in die klas vandag gekyk na ‘n rubberbal wat vertikaal opwaarts gegooi
word en terugval grond toe (om miskien weer opwaarts te bons, of op die grond tot stilstand
te kom). Ons wou hierdie situasie, dit is die beweging van die bal, wiskundig voorstel. Die
rubberbal het natuurlik baie meetbare eienskappe, byvoorbeeld volume, massa, digtheid,
kleur en posisie bokant die grond (hoogte). Die manier waarop die bal egter beweeg indien
dit gewoon opwaarts gegooi word en weer terugval grond toe, het egter min of niks met
bogenoemde eienskappe te doen nie – enige voorwerp wat gewoon vertikaal opwaarts
gegooi word en terugval grond toe, beweeg maar op ongeveer dieselfde manier.
(behalwe voorwerpe met spesiale vorms, soos valskerms en vliegtuie of sekere tipe sade –
die vorm van hierdie voorwerpe laat hulle grond toe sweef en dan speel die lug ‘n rol). Al
hierdie gewone voorwerpe (soos balle, klippe, bakstene, kanonkoeëls, ens.) het egter
minstens een saak in gemeen, naamlik dat hulle hoogte tydens die beweging gedurig
verander totdat hulle tot rus kom (of vir praktiese doeleindes ophou bestaan, soos in die
geval van ‘n kanonkoeël).
Uit hierdie waarneming kan ons sê dat die voorwerp op elke tydstip ‘n sekere hoogte het en
dat die hoogte van die voorwerp dus afhang van die tydstip waarop dit gemeet word. Daar is
dus twee veranderlikes betrokke, naamlik hoogte en tyd. Die hoogte h word die afhanklike
veranderlike genoem en die tyd t word die onafhanklike veranderlike genoem.
Ons kan nou probeer om die verband (dit is die manier waarop h van t afhanklik is) tussen
die twee veranderlikes wiskundig uit te druk.
62

Daarvoor gebruik ons ‘n formule of vergelyking. Om hierdie vergelyking of formule in die
hande te kry, verg gewoonlik ‘n bietjie wetenskaplike of wiskundige insig – maar in die
meeste tegnologie-toepassings waarmee u te doen sal kry is die formules of vergelykings
egter bekend en hoef u dit nie self af te lei nie.
Die volgende paar paragrawe verduidelik hoe ons kennis wat uit Fisika kom, kan
gebruik om ‘n formule vir die hoogte van die bal in terme van tyd op te stel. Dit is ‘n
stukkie toegepaste wiskunde. Die mense wat Wetenskap op skool gehad het, sal die
redenasies herken. Ter wille van almal wat nie op skool Wetenskap gehad het nie, sit
ek die argumente en redenasies wat gevolg word om die formule saam te stel, so
volledig as moontlik uit.
By voorwerpe wat gewoon opwaarts gegooi word sonder dat lugweerstand ‘n rol daarby
speel (soos balle, klippe, bakstene, kanonkoeëls, ens. maar nie valskerms, vliegtuie en
ballonne nie) geld daar sekere bewegingsvergelykings (wat ons in u derde jaar sal aflei).
Hierdie bewegingsvergelykings sou sommige van u op skool teëgekom het, byvoorbeeld die
vergelyking
1 2
s = s0 + v0t + at .
2
Let daarop dat die formule uit simbole bestaan, waar elke simbool ‘n sekere fisiese betekenis
het. Sekere simbole het vir elke situasie ‘n sekere vaste waarde. Ons noem sulke simbole
konstantes.
In die geval van ‘n voorwerp wat opwaarts gegooi word, speel die hoogte waarvan die
voorwerp gegooi word, die snelheid waarmee dit begin beweeg en die versnelling waarmee
dit beweeg ‘n belangrike rol, want dit sal bepaal hoe hoog die voorwerp kan beweeg voordat
dit terugval grond toe en ook hoe gou die voorwerp ‘n sekere hoogte bereik. Daarom noem
ons hierdie eienskappe konstantes.
1 2
In die bewegingsvergelyking s = s0 + v0t + at stel die simbool s die afstand voor wat ‘n
2
bewegende voorwerp op ‘n sekere tydstip t sekondes nadat die beweging begin het vanaf ‘n
verwysingspunt af is, s 0 stel die afstand voor tussen die voorwerp en die verwysingspunt op
die oomblik dat die beweging begin het, v 0 stel die beginsnelheid van die voorwerp voor en
a stel die versnelling van die voorwerp voor.
63

By skoolwetenskap-probleme was die aanvangsposisie van die voorwerp gewoonlik op die
1 2
verwysingspunt, sodat s 0 = 0 en dat het die vergelyking soos volg gelyk: s = vt 0 + at.
2
Sommige handboeke het ook die simbool u in plaas van v 0 gebruik en dan het die formule
soos volg gelyk:
1 2
s = ut + at .
2
Nou, aangesien ons ‘n rubberbal vertikaal opwaarts gooi, is die afstand wat die bal bokant
die grond is eintlik sy hoogte, so in plaas van s kan ons h skryf:
1
h= h0 + v0t + at
2
2
Maar aangesien die persoon wat die bal gooi, se arms tog nie tot op die grond hang nie,
beweeg die bal op die oomblik wanneer dit opwaarts gegooi word nie vanaf grondvlak nie,
maar wel vanaf ‘n hoogte van omtrent een meter bokant die grond, tensy hy die bal vanaf
skouerhoogte (omtrent 1,5 m bo die grond) opwaarts gooi. Kom ons neem vir die doel van
die bespreking dat die bal se hoogte op die oomblik dat dit die hand verlaat, een meter bo
die grond is. Dan is die aanvangshoogte h 0 = 1:
1
h= 1 + v0t + at
2
2
Kom ons neem aan dat die spoed waarteen die bal die persoon se hand verlaat, 12 m/s is;
dan is v 0 = 12 :
1 2
h= 1+ 12t
+ at
2
Alle voorwerpe naby die oppervlak van die aarde word egter deur swaartekrag (gravitasie)
na benede versnel teen ongeveer -9,8 m/s 2 . Die negatiewe teken wat soms gebruik word,
beteken maar net dat die versnellende krag teen opwaartse beweging werk en na onder
werk. (Hierdie waarde word swaartekragversnelling genoem en word soms met ‘n simbool
g in plaas van a aangedui). Nietemin, vir alle voorwerpe wat vry naby die aarde beweeg,
geld dan dat a =− 9,8 :
1
h= 1+ 12t + −
9,8 t
2
( ) 2
64

Die formule wat die rubberbal se hoogte bo die grond op enige tydstip t gee, lyk dus so:
h= 1+ 12t − 4,9t
2
Ons kan wiskundig sê dat h ‘n funksie van t is; sommige wiskundiges skryf dit so:
h= f ( t)
wat maar net beteken dat h bereken kan word as ons ‘n waarde vir t het deur
bloot net die t -waarde in die formule te vervang.
Opmerking: Let daarop dat alle posisies (afstande en hoogtes) in meter uitgedruk word,
alle snelhede in m/s, alle versnellings in m/s 2 en alle tydwaardes in sekondes – dit geld altyd
wanneer ons met bewegingsvergelykings werk.
Dit is interessant dat die wiskundige model
2
65
2
h= 1+ 12t − 4,9t
geskryf kan word as
h=− 4,9t + 12t + 1.
Let daarop dat hierdie formule in die standaardvorm vir ‘n parabool
staan, naamlik
2
y = ax + bx+ c.
In hierdie situasie het ons net nie vir y en x nie, maar in
plaas daarvan vir h en vir t . Dus lyk dit soos volg:
2
h= at + bt + c waar a =− 4,9 en b = 12 en c = 1
Natuurlik kan ons nou ‘n grafiek teken van hoogte teenoor tyd. Dit beteken ons plaas die
afhanklike veranderlike h op die vertikale as en die onafhanklike veranderlike t op die
horisontale as. U het reeds voorheen geleer hoe om grafieke te skets.

Ons kan van enige van ‘n aantal nuttige metodes gebruik maak om ‘n grafiek van
2
h=− 4,9t + 12t + 1 te skets; wat ons verkry sal soos volg lyk:
2
Die kromme van die funksie h( t) = − 4,9t + 12t + 1 is duidelik konkaaf na onder.
Let daarop dat die grafiek NIE die baan van die bal toon nie; dit toon die hoogte van die bal
op elke oomblik vanaf t = 0 tot by t = 2,530 . So gee die draaipunt van die kromme se
horisontale koördinaat die tyd wat dit die bal neem om sy maksimumhoogte te bereik en die
vertikale koördinaat van die draaipunt gee die maksimumhoogte.
Dit is interessant dat die definisieversameling van die funksie
word as D f { t 0 t 2,530; t R}
f
66
2
h= − 4,9t + 12t + 1 geskryf kan
= ≤ ≤ ∈ en dat die waardeversameling geskryf kan word as
{ 0 8,347; }
W = h ≤h≤ h∈ R . Onthou u nog wat dit beteken en hoe ons dit uit die grafiek
verkry?
Nou kan ons die hoogte van die bal op enige tydstip binne die definisieversameling
0 ≤t≤ 2,530 bereken.

Voorbeeld: Hoe hoog is die bal na 2 sekondes?
Oplossing:
2
67
2
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
Stel t = 2 in die formule h=− 4,9t + 12t + 1: h=−
4,9 2 + 12 2 + 1
∴ h = −4,9 = 5, 4 m
⋅ 4 + 12 ⋅ 2 + 1
Let daarop dat enige woordprobleem se antwoord ‘n korrekte eenheid MOET hê.
Let ook op dat u hierdie waarde van die grafiek af sou kon aflees:
Ons kan ook die tyd uitreken wat dit die bal neem om enige hoogtewaarde binne die
waardeversameling 0≤h≤ 8,347 te bereik.

Voorbeeld: Hoe lank neem dit die bal om ‘n hoogte van 7 m te bereik?
Oplossing:
2
Stel h = 7 in die formule h = − 4,9t + 12t + 1en
los op vir t:
2
7 =− 4,9t + 12t+ 1
⎧Dit
is 'n kwadratiese vergelyking wat ons deur middel van
⎪
2
⎪
− b± b −4ac
⎪
die formule t =
kan oplos, mits die
2a
⎪
⎨vergelyking
natuurlik in die
standaardvorm vir 'n
⎪kwadratiese
vergelyking geskryf is, dit wil sê die
⎪
2
⎪ vergelyking moet in die vorm at + bt + c = 0 geskryf
⎪
⎪⎩ wees.
⎧Ons
het alle terme aan die een kant van die vergelyking
2
∴ 0= − 4,9t + 12t−6 ⎪
⎪geskryf
sodat die een kant van die vergelyking nul is;
⎨
⎪nou
is die vergelyking in die standaardvorm en kan die
⎪
⎩formule
volkome sonder insident toegepas word.
− b± ∴ t =
2
b −4ac
2a
waar a = − 4,9 b = 12 c =−6
− ( 12) ±
∴ t =
2
( 12) −4( −4,9)( −6)
2( −4,9)
⎧Maak
altyd seker van die berekening binne die vierkants-
− 12 ±
∴ t =
144 −117,6
−9,8
⎪
⎪wortel;
veral die teken tussen die twee terme. MOENIE
⎨
⎪AAN
DIE SLAAP GEVANG WORD NIE. Een fout, en
⎪
⎩die
hele som is verder in sy peetjie in!
−12 − 26,4
∴ t =
−9,8 of
− 12 + 26,4
t =
−9,8
∴ t = 1, 749 sekonde of t = 0, 7 sekonde
Let daarop dat enige woordprobleem se antwoord ‘n korrekte eenheid MOET hê.
Interessant dat daar twee tydstippe is waarop die bal 7 m hoog is; en tydstip is terwyl die bal
besig is om tot sy maksimumhoogte te styg; die ander tydstip is wanneer die bal besig is om
na benede te daal en weer op ‘n hoogte van 7 m kom op pad grond toe.
68

Let ook op dat u hierdie waarde van die grafiek af sou kon aflees:
Opmerking: Die bal val grond toe; die persoon wat dit opwaarts gegooi het, vang dit nie uit
die lug uit nie. Kan u uit die grafiek sien waarom ek dit kan sê?
Daar kan nog baie interessante vrae oor die bal gevra word, soos:
Voorbeeld: Bereken die tyd wat die bal neem om sy maksimumhoogte te bereik en bereken
ook hierdie maksimumhoogte. (sien die eerste grafiek hierbo waarop hierdie waardes reeds
afgelees en aangetoon is)
69

Oplossing:
Daar is verskeie maniere om dit te doen. Miskien ken sommige van u differensiasietegnieke
om dit te doen; vir die res kan ons die volgende wenk gee:
Bepaal die koördinate van die draaipunt van die parabool.
2
b
Vir die parabool h= at + bt + c is die draaipunt altyd op die vertikale lyn, t =− , wat ons
2a
die simmetrie-as noem, geleë. Dit gee die horisontale koördinaat van die draaipunt.
b
t =−
2a
met a =− 4,9 en b = 12
12
∴ t = −
2( −4,9)
= 1, 224 sekondes
Om die vertikale koördinaat van die draaipunt te kry, vervang gewoon vir t = 1,224 in die
formule
2
h =− 4,9t + 12t + 1 en bereken h :
2
( ) ( )
h =− 4,9 1,224
= 8,347 meter
+ 12 1, 224 + 1
(U kan ook die haatlike formule
oplewer)
2 ( b 4ac)
− −
h = gebruik, wat gewoonlik ‘n yslike gemors
4a
Dit neem die bal dus 1,224 sekondes om sy maksimumhoogte van 8,347 m te bereik.
(die waardes stem goed ooreen met die waardes op die grafiek hier bo – die klein
verskilletjies wat u sien is maar omdat die waardes op die grafiek AFGELEES is)
70

Voorbeeld: Bepaal die totale vlugtyd van die bal (hoe lank dit in die lug was)
Oplossing:
Bereken gewoon hoe lank die bal neem om die grond te bereik, met ander woorde hoe lank
dit neem voordat h = 0 .
Stel h = 0 in die formule h = − 4,9t + 12t + 1en
los op vir t:
2
0=− 4,9t + 12t+ 1
2
− b± ∴ t =
b −4ac
2a
waar a = − 4,9 b = 12 c = 1
−
∴ t =
± − −
( 12) 2
( 12) 4( 4,9)( 1)
2( −4,9)
2
− 12 ± 144 + 19,6
∴ t =
−9,8
⎧Maak
altyd seker van die berekening binne die vierkants-
⎪
⎪wortel;
veral die teken tussen die twee terme. MOENIE
⎨
⎪AAN
DIE SLAAP GEVANG WORD NIE. Een fout, en
⎪
⎩die
hele som is verder in sy peetjie in!
−12 − 163,6
∴ t =
−9,8 of
− 12 + 163,6
t =
−9,8
∴ t = 2,530 sekonde of t = −0,081 sekonde
Tyd kan nie negatiewe waardes aanneem nie, dus is die negatiewe wortel wat ons nou net
verkry het, ‘n ongeldige oplossing (dit val in elk geval buite die definisieversameling van die
funksie). Slegs die positiewe wortel is dus ‘n geldige oplossing.
Die bal neem dus 2,530 sekondes om die grond te bereik vanaf die oomblik wat dit die
gooier se hand verlaat het; dit is dus die totale vlugtyd.
U kan gerus op die grafieke hierbo nagaan of ons berekende waarde met die parabool se
snypunt op die tyd-as ooreenstem.
71

Bestudeer ook die volgende bespreking wat illustreer hoe ons te
werk gaan om ‘n kwadratiese wiskundige model vir ‘n
werklikheidsgetroue situasie te ontwikkel wanneer ‘n tabel van data
beskikbaar is
Voorbeeld: Bepaal die vergelyking van die parabool wat die beste deur die volgende
stel data gepas kan word
Dit kan met gevorderde wiskunde aangetoon word dat die vorm van ‘n kabel of ketting wat
net sy eie gewig dra, nie heeltemal ‘n parabool is nie. Indien ‘n kabel of ketting egter belas
is, dit wil sê wanneer daar een of ander verspreide massa onderaan die kabel hang, dan
vorm die kabel wel ‘n parabool.
Dit is die geval met ‘n hangbrug se hoof-draagkabels, soos by die Golden Gate-brug in San
Francisco. Die ry-vlak (pad) hang onderaan die hoof-draagkabels:
Die draagkabels van die hoofspan hang in die vorm van ‘n perfekte parabool.
72

Gestel nou dat die koördinate van vyf punte op die brug se hoof-draagkabel gegee is:
Bogenoemde voorstelling verteenwoordig ‘n eenvoudige grafiese model en ‘n beperkte
numeriese model vir die vorm van die kabel. Die Y-as gaan deur die linkerkantste toring en
die X-as stel die ry-vlak van die verkeer voor.
Gestel egter ons wil die vergelyking van die paraboliese kromme ABCDE bepaal. Hierdie
vergelyking (formule) sal dan ‘n algebraïese model wees vir die vorm van die kabel. Ons
bespreek vervolgens hoe die vergelyking van ‘n parabool met die hand bepaal kan word,
asook hoe dit met behulp van Microsoft Excel bepaal kan word.
Hoe om die vergelyking van ‘n parabool te bepaal indien minstens drie punte op die
kromme gegee is (met die hand en pen en papier)
In wese kom dit daarop neer dat ons die waardes van a , b en c wil bepaal in die formule
2 ( ) = + + . In hierdie spesifieke geval geld dat y f ( x)
f x ax bx c
73
= die hoogte van die kabel
bokant die ry-vlak voorstel en dat x ‘n horisontale afstand regs van die linkerkantste toring
voorstel.
Aangesien ons probleem vereis dat ons vir drie onbekendes, naamlik a , b en c , moet oplos
volg dit dat ons ‘n stelsel van drie lineêre vergelykings in drie onbekendes moet opstel.
Hierdie drie vergelykings verkry ons deur die koördinate van enige drie punte op die kromme
in die vergelyking
2
y = ax + bx+ c te vervang. Daarna los ons gewoon die resulterende
stelsel vergelykings op vir die onbekendes a , b en c .
Hier volg dan nou ‘n uiteensetting van hoe hierdie berekening dan nou sou kon verloop:

Oplossing:
Kies enige drie gerieflike punte in die tabel (indien moontlik, kies ‘n punt waarvan die
onafhanklike koördinaat nul is – so ‘n punt stel die afsnit van die parabool op die vertikale as
voor – indien u so ‘n punt kan identifiseer, dan het u reeds die c -waarde in die vergelyking
2
y = ax + bx+ c).
Ons kan dus uit die gegewens byvoorbeeld die volgende drie punte kies
(om die krag van die metode te illustreer, kies ek doelbewus nie die punt A ( 0; 152)
nie):
B ( 320; 39, 5)
, ( 640 2)
C ; en E ( 1 280; 152)
Vervang nou die x - en y -koördinate van B in die formule
2
( ) ( )
39, 5 = a 320 + b 320 + c
∴ 102 400a+ 320b+ c = 39, 5 [ 1]
Vervang ook die x - en y -koördinate van C in die formule
2
( ) ( )
2 = a 640 + b 640 + c
∴ 409 600a+ 640b+ c = 2 [ 2]
Vervang ook die x - en y -koördinate van E in die formule
2
( ) ( )
152 = a 1 280 + b 1 280 + c
∴ 1 638 400a+ 1 280b+ c = 152 [] 3
74
2
y = ax + bx+ c;
dit lewer:
2
y = ax + bx+ c;
dit lewer:
2
y = ax + bx+ c;
dit lewer:
Die derde-orde lineêre stelsel wat uit vergelyking [1], [2] en [3] bestaan kan nou maklik
opgelos word op enige een van ‘n verskeidenheid maniere; ek illustreer die metode bekend
as substitusie en ook die metode bekend as die Reël van Cramer:
Metode 1: Substitusie (Bespreek in WSKT 111, in 2007 en 2008)
Strategie:
Gebruik substitusie en elimineer een veranderlike uit die eerste twee vergelykings om ‘n
nuwe vergelyking [4] te verkry wat slegs twee onbekendes bevat. Gebruik weer substitusie
en elimineer dieselfde veranderlike as voorheen uit die laaste twee vergelykings om nog ‘n
nuwe vergelyking [5] te verkry wat slegs twee onbekendes bevat. Los die stelsel bestaande
uit [4] en [5] op en gebruik die oplossings om die ander onbekende uit vergelyking [1] te
bereken.
Die strategie verloop soos volg wanneer dit in aksie gestel word:

Kombineer [1] en [2] deur soos volg te werk te gaan:
Uit [1] is c =−102 400a− 320b+ 39, 5
Uit [2] is c =−409 600a− 640b+ 2
Dus: −102 400a− 320b+ 39, 5 = −409 600a− 640b+ 2
∴ 307 200a+ 320b = −37,
5 [ 4]
Kombineer [2] en [3] deur soos volg te werk te gaan:
Uit [2] is c =−409 600a− 640b+ 2
Uit [3] is c =−1638 400a− 1 280b+ 152
Dus:
−409 600a− 640b+ 2 = −1638 400a− 1 280b+ 152
∴ 1 228 800a+ 640b = 150 [] 5
Los op vir a en b op enige manier van u keuse; ek gebruik weer substitusie:
Uit [4] is
Uit [5] is
Dus:
−320b −37,
5
a =
307 200
a =
− 640b + 150
1 228 800
−320b−37, 5 − 640b+ 150
=
307 200 1 228 800
−320b−37, 5 − 640b+ 150
∴ × = ×
307 200 1 1 228 800 1
∴( −320b− 37, 5)( 1 228 800) = ( − 640b+ 150)( 307 200)
∴−393 216 000b− 46 080 000 = − 196 608 000b+ 46 080 000
∴− 196 608 000b = 92 160 000
92 160 000
∴b
=
−196
608 000
∴ b = −0,
468 750
( 307 200)( 1 228 800) ( 307 200)( 1 228 800)
Vervang vir b =− 0, 468 750 in [4] en los op vir a :
Uit [ 4 ] is
−320b − 37, 5
a = met b = −0468750
, sodat
307 200
−320( −0, 468 750) −37,
5
a =
307 200
Dus: a =
0, 000 366 211
75

Vervang a = 0, 000 366 211 en b =− 0, 468 750 in [1] en los op vir c :
( ) ( )
102 400 0, 000 366 211
∴ c = 151, 999 994
+ 320 − 0, 468 750 + c = 39, 5
Uit bogenoemde analise blyk dit dat a = 0, 000 366 211,
b = − 0, 468 750 en c = 151, 999 994 .
Die algebraïese model vir die vorm van die kabel is dus
y = x − x+
2
0, 000 366 0, 468 750 151, 999 994
(Let daarop dat ons in hierdie geval, waar sommiges van die waardes bitter klein is, nie tot
slegs drie desimale plekke kan afrond nie – dit is ook wiskundig wenslik om al ons antwoorde
in dieselfde probleem tot dieselfde aantal desimale af te rond, alhoewel dit eintlik duidelik is
dat c = 152 (dit is die hoogte van die linkerkantste toring).)
Dit word aan die leser oorgelaat om bogenoemde berekeninge self na te gaan; kies een of
meer ander punte, byvoorbeeld die punte A, B en C.
Kyk of u kan agterkom hoe eenvoudig die hele berekening is wanneer een van die
punte wat u gebruik, die afsnit op die vertikale as (punt A in hierdie geval) is.
Metode 2: Reël van Cramer (Bespreek in WSKT 111, in 2009)
Strategie:
Bereken met die hand of deur middel van Microsoft Excel die determinante Δ , a Δ , b Δ
en Δ c . Bepaal dan met behulp van die hand of deur middel van Excel die waardes van a ,
b en c op die volgende manier:
a
a Δ
=
Δ
b
b Δ
=
Δ
c
c Δ
=
Δ
Die strategie verloop soos volg wanneer dit in aksie gestel word:
76

102 400a+ 320b+ c = 39, 5 [ 1]
409 600a+ 640b+ c = 2 [ 2]
1 638 400a+ 1 280b+ c = 152 [] 3
Die toegevoegde matriks van die stelsel is dan
⎡ 102 400 320 1 39, 5⎤
⎢ ⎥
⎢ 409 600 640 1 2 ⎥
⎢1638 400 1 280 1 152 ⎥
⎣ ⎦
Die waardes van die vier determinante kan nou maklik verkry word:
102 400 320 1
Δ= 409 600 640 1 =− 196 608 000
1 638 400 1 280 1
39, 5 320 1
Δ a = 2 640 1 = − 72 000
152 1 280 1
102 400 39, 5 1
Δ b = 409 600 2 1 = 92 160 000
1 638 400 152 1
102 400 320 39, 5
Δ c = 409 600 640 2 = − 29 884 416 000
1 638 400 1 280 152
Die waardes van die determinante kan nou in die finale formules vervang word:
Δa −72
000
a = = = 0, 000 366 211
Δ −196
608 000
b 92 160 000
b 0468750 ,
196 608 000
Δ
= = = −
Δ −
Δc −29
884 416 000
c = = = 152
Δ −196
608 000
Uit bogenoemde analise blyk dit dat a = 0, 000 366 211,
b = − 0, 468 750 en c = 152 .
Die algebraïese model vir die vorm van die kabel is dus
y = x − x+
2
0, 000 366 0, 468 750 152, 000 000
77

Hoe om die vergelyking van ‘n parabool te bepaal indien minstens drie punte op die
kromme gegee is (regressie met behulp van Microsoft Excel)
Tik gewoon die drie punte in tabelvorm in Excel en selekteer al ses selle. Kies dan “Insert”
“Scatter plot” en selekteer al die punte op die grafiek. Kies “Add Trendline” en soek die tipe
kromme wat die beste deur al die punte gaan (dit sal “polynomial order 2” wees indien al die
geselekteerde punte wel op ‘n parabool lê). Merk dan “Display Equation on chart”. Excel
vertoon dan die vergelyking van die kromme vir u.
Opmerking: Excel maak van uiters ingewikkelde numeriese metodes (wat uit gevorderde
wiskunde volg) gebruik om regressie te doen.
In die laaste leereenheid van hierdie module sal ons regressie weer teëkom as ‘n kragtige
statistiese berekeningsmetode waarmee die vergelyking van die kromme wat die beste deur
‘n gegewe stel datapunte pas, bepaal kan word.
78

Nou dat ons ‘n algebraïese model vir die vorm van die kabel het, kan ons interpolasie toepas
en die hoogte van die kabel by enige punt tussen die twee torings bereken. Ons kan
natuurlik ook bereken waar (hoe ver vanaf die linkerkantste toring) die kabel ‘n bepaalde
hoogte sal hê.
Voorbeeld 1: Bepaal die hoogte van die kabel 800 m links van die regterkantste toring.
Oplossing:
800 links van die regterkantste toring beteken tog dat x = 480 in die vergelyking
y x x
2
= 0, 000 366 − 0, 468 750 + 152, 000 000 gestel moet word, aangesien x in hierdie model
die horisontale afstand regs van die linkerkantste toring voorstel. (Onthou dat
1 280 − 800 = 480 m)
2
Dus: Stel x = 480 in y = 0, 000 366x − 0, 468 750x+ 152, 000 000 :
2
( ) ( )
y = 0, 000 366 480
∴ y = 11, 326
− 0, 468 750 480 + 152, 000 000
Die kabel is dus 11,326 m bokant die ry-vlak by ‘n punt 800 m links van die regterkantste
toring.
Voorbeeld 2: Bepaal hoe ver vanaf die linkertoring die kabel 100 m bokant die ry-vlak sal
hang.
Oplossing:
2
Stel y = 100 in y = 0, 000 366x − 0, 468 750x+ 152, 000 000 :
2
100 = 0, 000 366x − 0, 468 750x+ 152, 000 000
2
∴ 0 = 0, 000 366x − 0, 468 750x+ 52, 000 000
Los enige kwadratiese vergelyking maklik op met behulp van die kwadratiese formule:
2
b b ac
− ±
x =
−4
2a
met a = 0, 000 366, b = − 0, 468 750 en c = 52
− −
∴ x =
± − −
( 0, 468 750) (
2
0, 468 750) 2( 0, 000 366)
4( 0, 000 366)( 52)
0, 468 750 ± 0, 219 727 −0,
076128
=
0000732 ,
∴ x = 122, 686 of 1158, 052
Die kabel is dus 122,686 m regs van die linkertoring en ook 1 158,052 m regs van die
linkertoring 100 m bokant die ry-vlak.
79

Vir interessantheid:
In WSKT 311 sal ons ‘n metode teëkom waarmee ons die presiese lengte van die kabel sal
kan bepaal, deur Analise (differensiasie en integrasie) toe te pas op die vergelyking van die
paraboolkrommme:
0
1280
⎛dy ⎞
lengte van kromme = 1 + ⎜ dx
dx
⎟
⎝ ⎠
∫
dy
waar = 0, 000 732x − 0, 468 750
dx
wat verkry word deur
y x x
2
2
= 0, 000 366 − 0, 468 750 + 152, 000 000 te differensieer.
Dit is egter nie moontlik om van bogenoemde gevorderde berekening gebruik te maak nie,
tensy die vergelyking van die kromme bekend is – en dit volg uit gewone algebra.
80

Oefening 2.2 vir selfassessering
Oefening in die handboek Bladsynommer Probleme
7.4 231 Doen met potlood en papier maar toets
al u antwoorde met behulp van GSP:
81
45, 47
Slegs met GSP: 49, 51
Doen met potlood en papier maar toets
al u antwoorde met behulp van GSP:
53, 55, 59, 61
Slegs met GSP: 67, 68
Die finale antwoorde van die gegewe probleme verskyn agterin die handboek.

2.3 Kubiese funksies
Leeruitkomste vir hierdie leergedeelte
Na afhandeling van hierdie leergedeelte moet die student in staat wees om die
volgende te doen:
1. Kubiese vergelykings in die standaardvorm
(derdegraadse) funksie te skryf;
82
3 2
y = ax + bx + cx+ d vir ‘n kubiese
2. Kubiese funksies grafies voor te stel (met die hand sowel as met behulp van geskikte
rekenaarprogrammatuur);
3. Eenvoudige werklikheidsgetroue probleme waar kubiese modelle betrokke is, op te
los
Noodsaaklike voorkennis
1. Leergedeelte 1.3
Blaai deur die volgende materiaal in die boek van Washington
U hoef net ‘n oorsigtelike idee te kry van waaroor hierdie afdeling gaan.
Paragraaf Bladsynommers
15.1 – 15.3 416 – 431
Bestudeer die volgende bespreking wat tersaaklike punte uit
bogenoemde leeswerk in die handboek opsom
Sekere prosesse of situasies uit die tegniese of natuurwetenskaplike studievelde kan met
behulp van kubiese (derdegraadse) funksies gemodelleer word.

Kubiese funksies lei tot grafieke wat as kubiese krommes of derdegraadse krommes bekend
staan. So ‘n kromme kan hoogstens drie afsnitte op die horisontale as besit – in daardie
geval besit die kromme twee draaipunte. Dit is ook moontlik dat so ‘n kromme net twee
afsnitte op die horisontale as (en dus een draaipunt) besit, of selfs net een afsnit op die
horisontale as.
Hoe om ‘n kubiese vergelyking op te los
Wanneer ons ‘n kubiese vergelyking
3 2
ax bx cx d
+ + + = 0 wil oplos, kan ons dit algebraïes
probeer doen deur van faktorisering en langdeling gebruik te maak (sien vir interessantheid
Paragraaf 15.10). In die meeste gevalle is dit ‘n redelike omslagtige proses wat teorie
vereis wat ons nie in die Tegniese Wiskunde-modules bestudeer nie. Die enigste geval
wat ons wel met ons bestaande kennis kan hanteer, is die geval waar d = 0 in die
vergelyking
en ook die formule
3 2
ax bx cx d
+ + + = 0 – in hierdie geval kan ons van faktorisering gebruik maak
2
− b± b −4ac
x = .
2a
Voorbeeld van ‘n kubiese model wat maklik algebraïes gehanteer kan word:
Gestel dat ‘n sekere deeltjie heen en weer kan beweeg op ‘n plat vlak. Gestel verder dat die
afstand d (in meter) wat hy hom vanaf sy beginpunt bevind, gegee word deur die formule
3 2
2 15, 4 25, 44
d = t − t + t waar t in sekondes uitgedruk word. Indien d > 0 , is die deeltjie regs
van sy beginposisie. Bepaal op watter tydstippe (dit is, vir watter waardes van t ) bevind die
deeltjie homself by sy beginpunt indien die beweging 65 , sekondes lank aanhou.
Oplossing:
Let daarop dat ons vir t moet bereken wanneer die deeltjie by sy beginpunt geleë is, dit wil
sê wanneer d = 0 . Die vraag beteken dus eintlik:
Los op vir t indien
3 2
2t 15, 4t 25, 44t 0
− + = .
Aangesien t ‘n gemeenskaplike faktor is, kan ons die vergelyking soos volg herskryf:
2 ( , , )
t 2t − 15 4t + 25 44 = 0
Let op dat dit beteken dat t = 0 of dat
2
2t 15, 4t 25, 44 0
− + = .
83

Maar
oplos:
2
2t 15, 4t 25, 44 0
− + = is ‘n kwadratiese vergelyking, wat ons op die gewone manier kan
2
− b± b −4ac
t = met a = 2 , b =− 15, 4 en c = 25, 44 . Dus volg dit dat:
2a
( 15, 4) (
2
15, 4) 2( 2)
4( 2)( 25, 44)
− − ± − −
t =
15, 4 ±
∴ t =
237, 16 −203,
52
4
15, 4 − 33, 64
∴ t =
4
of
15, 4 + 33, 64
t =
4
∴ t = 24 , of t = 53 ,
Let op dat daar drie waardes van t is, naamlik t = 0 , t = 24 , en t = 53 , .
Die deeltjie was dus aanvanklik (toe t = 0 sekondes) by die beginpunt van die beweging,
asook na 24 , sekondes en toe weer na 53 , sekondes .
Die deeltjie moes dus twee keer omgedraai het en terugwaarts beweeg het – dit moet iewers
tussen t = 0 en t = 24 , gebeur het en weer iewers tussen t = 24 , en t = 53 , .
Opmerking: Verdere vrae kan gevra word, soos:
1. Wat is die verste wat die deeltjie vanaf sy beginpunte beweeg?
2. Aan watter kant (links of regs) van die beginpunt gebeur dit?
3. Wat is die definisieversameling en waardeversameling van die funksie?
Die eerste twee van hierdie vrae kan algebraïes met behulp van differensiasie opgelos word
(differensiasie word in die volgende Tegniese Wiskunde-module eers ingevoer). Die derde
vraag kan ons reeds gedeeltelik beantwoord, aangesien die definisieversameling van die
funksie
3 2
= 2 − 15, 4 + 25, 44 in hierdie geval duidelik Df{ t 0 t 6, 5;
t }
d t t t
84
= ≤ ≤ ∈ is.

Om die waardeversameling te bepaal, moet ons egter ‘n manier kry om die grootste en
kleinste waardes van d te bepaal. Algebraïes kan dit met behulp van differensiasietegnieke
bepaal word.
Ons beskik egter nog nie oor daardie tegnieke nie. Daarom sal ons in hierdie module eerder
van ‘n grafiese ontleding gebruik maak. Dit kom daarop neer dat ons die funksie
3 2
2 15, 4 25, 44
d = t − t + t akkuraat sal skets en aflesings vanaf ons grafiek sal maak.
Hoe om ‘n kubiese vergelyking grafies op te los
Wanneer ons ‘n kubiese funksie
inligting bepaal:
• die afsnit op die vertikale as
3 2
y = ax + bx + cx+ d grafies voorstel, moet ons volgende
• die afsnitte op die horisontale as (dit word die wortels van die kubiese vergelyking
3 2
ax bx cx d
+ + + = 0 genoem)
• die posisie van die draaipunt(e)
Ons kan die funksie natuurlik ook akkuraat met behulp van ‘n tabel van waardes skets.
Om die akkuraatste grafiek moontlik te verkry, kan van die afsnitte, draaipunte asook ‘n tabel
gebruik gemaak word.
Voorbeeld van ‘n kubiese model wat grafies gehanteer kan word:
‘n Sekere deeltjie kan heen en weer beweeg op ‘n plat vlak. Die afstand d (in meter) wat hy
hom vanaf sy beginpunt bevind, word gegee deur die formule
85
3 2
2 15, 4 25, 44
d = t − t + t waar t
in sekondes uitgedruk word. Indien d > 0 , is die deeltjie regs van sy beginposisie. Bepaal
op watter tydstippe (dit is, vir watter waardes van t ) bevind die deeltjie homself by sy
beginpunt indien die beweging 65 , sekondes lank aanhou.

Oplossing:
Let daarop dat ons vir t moet aflees wanneer die deeltjie by sy beginpunt geleë is, dit wil sê
wanneer d = 0 . Die vraag beteken dus eintlik:
Lees op die grafiek van .
3 2
2 15, 4 25, 44
d = t − t + t af waar die grafiek die t -as sny.
Om die akkurate grafiek van ‘n kubiese funksie te teken, kan ons GSP of Excel gebruik.
Indien u potlood en papier gebruik, sou u ‘n tabel soos die volgende moes opstel (onthou:
hoe meer punte u in u tabel insluit, hoe akkurater die grafiek wat u kan teken):
Indien hierdie punte nou op papier gestip word, sou die grafiek soos volg lyk:
Indien u van ‘n tabel gebruik maak, kan bostaande grafiek kan ook met behulp van Excel
geteken word.
(metode: Genereer eers die tabel (u kan die formule in die sel waar die eerste d -waarde
moet verskyn, intik en dan gewoon die formule na die ander selle kopieer)
Dan selekteer u die hele datastel (albei rye getalle) en kies “insert” “chart”
“scatter plot”.
86

U moet maar met die ander keuses in Excel eksperimenteer om die asse te
benoem, ‘n kromme deur die punte te trek, die rooster (“grid lines”) te verstel,
ensovoorts)
Wanneer ons egter die vergelyking van ‘n grafiek het, is dit die maklikste om GSP te gebruik
om die kromme te skets. Dan kan ons ‘n punt op die kromme plaas, die koördinate meet en
die punt gewoon skuif na enige plek op die kromme waar ons ‘n aflesing wil maak.
Sodoende verkry ons:
Uit die grafiese analises hierbo is dit duidelik dat die deeltjie aanvanklik (toe t = 0 sekondes)
by die beginpunt van die beweging was, asook na 24 , sekondes en toe weer na
53 , sekondes .
Die deeltjie het dus twee keer omgedraai en terugwaarts beweeg – dit het iewers tussen
t = 0 en t = 24 , gebeur en weer iewers tussen t = 24 , en t = 53 , .
Bogenoemde stem ooreen met die resultate van die algebraïese metode.
87

Uit die bespreking hierbo blyk dit dat die oplossings van die vergelyking
3 2
2t 15, 4t 25, 44t 0
− + = dieselfde is as die wortels van die vergelyking. Die wortels word
grafies verkry deur die horisontale as-afsnitte af te lees.
In die algemeen: Wanneer ons ‘n vergelyking
dan teken ons gewoon die grafiek van die funksie
88
3 2
ax bx cx d
+ + + = 0 grafies wil oplos,
3 2
y = ax + bx + cx+ d en lees af waar
die horisontale as gesny word; hierdie horisontale as-afsnitte gee die oplossings van
die vergelyking
3 2
ax bx cx d
+ + + = 0 .
Let verder daarop dat dit vanaf die grafieke duidelik is dat die waardeversameling van die
funksie gegee word deur Wf{ d 16, 73 d 64, 3;
d }
= − ≤ ≤ ∈ .
Die verste wat die deeltjie dus na links beweeg is 16,73 m en die verste wat dit na regs
beweeg, is 64,3 m.
Oefening 2.3 vir selfassessering
Oefening in die handboek Bladsynommer Probleme
15.3 432 Doen met behulp van GSP:
29, 31, 35
Die finale antwoorde van die gegewe probleme verskyn agterin die handboek.

‘n Battery het ‘n emk (maksimum
moontlike vermoë om stroom te
lewer) van 16 Volt en lewer ‘n
konstante stroom van
I = 10 Ampere . Namate die battery
arbeid verrig, neem die interne
weerstand r (gemeet in Ω ) toe (die
die battery word pap).
Die klemspanning V (dit is die
werklike “sterkte” van die battery),
gemeet in Volt, word gegee deur die
formule V = E − Ir .
1.1 Gebruik die gegewe inligting en toon
aan dat die formule V = 16 − 10r
vir
hierdie battery geld.
1.2 Gebruik die volgende skaal en skets
die kromme met vergelyking
V = 16 − 10r:
1cm = 1Volt
1cm = 01 , Ω
1.3 By watter interne weerstandswaarde
sal die battery heeltemal pap wees?
Opgawe 2
Vraag 1/ Question 1
89
A battery has an emf (maximum
possible ability to supply current) of
16 Volt and supplies a constant current
of I = 10 Ampere . While the battery
does work, its internal resistance r
(measured in Ω ) increases (the battery
runs down or becomes “flat”).
The terminal voltage V (that is the
actual “strength” of the battery),
measured in Volt, is given by the
formula V = E − Ir .
Use the given information and show
that for this battery the formula
V = 16 − 10r
holds.
Use the following scale and sketch the
curve of the equation V = 16 − 10r:
1cm = 1Volt
1cm = 01 , Ω
At which internal resistance will the
battery be completely flat?

1.4 Wat is die klemspanning wanneer die
battery splinternuut is (wanneer die
interne weerstand nul is)?
Die temperatuur in grade Celcius op
‘n hoogte y meter bo die
aardoppervlak word soos volg
grafies voorgestel:
2.1 Bepaal die vergelyking van die
grafiek in standaardvorm.
2.2 Bereken hoe hoog bo die
aardoppervlakte sal die
temperatuur 13° C wees.
Vraag 2/ Question 2
90
What is the terminal voltage when the
battery is brand new (when the internal
resistance is zero)?
The temperature in degrees
Centigrade at an altitude y meters
above the surface of the earth is
represented graphically as follows:
Determine the equation of the
graph in standard form.
Calculate how high above the
surface of the earth the
temperature would be 13° C .

‘n Argitek ontwerp ‘n venster sodat dit
die vorm het van ‘n reghoek met ‘n
halfsirkel bo-op:
Die hoogte van die reghoekige
gedeelte is 10 cm meer as die wydte
van die venster.
3.1 Toon aan dat die omtrek P van die
venster as funksie van die radius r
geskryf kan word as:
( ) ( π )
P r = + 6 r+
20
3.2 Teken ‘n grafiek van P teenoor r vir
0≤ r ≤ 50.
Vraag 3/ Question 3
91
An architect designs a window such
that it has the shape of a rectangle
with a semicircle on top:
The height of the rectangular part of
the window is 10 cm more that its
width.
Show that the circumference
(perimeter) P of the window may
expressed as a function of the radius
r as:
( ) ( π )
P r = + 6 r+
20
Sketch a graph of P against r for
0≤r≤ 50.

3.3 Skryf die waardeversameling van die
funksie ( ) ( π )
P r = + 6 r+
20 neer.
3.4 Bereken die omtrek van die venster
indien die radius 35 cm is en toon
duidelik op die grafiek aan waar u
hierdie waarde sou aflees.
Die vorm van ‘n betonboog in die
struktuur van ‘n gebou word beskryf
deur die vergelyking
1
y x
4
2
=− + 7 .
Die vloer van die gebou (grondvlak)
word as die X-as gekies; alle
afmetings is in meter.
4.1 Skets die boog en toon sy hoogte en
die breedte van die basis duidelik
aan.
Vraag 4/ Question 4
92
Write down the range of the function
( ) ( π )
P r = + 6 r+
20.
Calculate the circumference of the
window when the radius is 35 cm and
clearly indicate on the graph where
you would read off this value.
The shape of a concrete arch in the
structure of a building is described by
1 2
the equation y =− x + 7 .
4
The floor of the building (ground
level) is taken as the X-axis; all
dimensions are given in meters.
Sketch the arch and clearly indicate its
height and the width of its base.

Die vorm van die draagkabels van ‘n
hangbrug word deur middel van ‘n
funksie h = f ( x)
voorgestel, waar
( )
2
f x ax bx c
= + + :
5.1 Bepaal die waardes van a , b en c in
2
die funksie f ( x) = ax + bx+ c.
Vraag 5/ Question 5
93
The shape of the supporting cables of
a suspension bridge is represented by
a function h = f ( x)
where
( )
2
f x ax bx c
= + + :
Determine the values of a , b and c
2
in the function f ( x) = ax + bx+ c.

Die hoogte van ‘n projektiel word deur
middel van ‘n funksie h= f ( t)
2
voorgestel, waar f () t = at + bt+ c:
6.1 Bepaal die waardes van a , b en c in
2
die funksie f () t = at + bt+ c.
'n Silinder wat
3
5m vloeistof kan hou
word vervaardig deur ‘n vel
plaatmetaal op te rol in ‘n buis en ‘n
sirkelvormige skyf vir die bodem te
sny en dit onderaan die buis vas te
sweis:
Vraag 6/ Question 6
Vraag 7/ Question 7
94
The altitude of a projectile is
represented by a function h= f ( t)
2
where f ( t) = at + bt+ c:
Determine the values of a , b and c
2
in the function f () t = at + bt+ c.
A cylinder which must be able to hold
3
5m of liquid is manufactured by
rolling a sheet of sheet metal in a tube
and cutting a circular disk for the
bottom and welding it onto the tube:

7.1 Van watter twee veranderlikes hang
die grootte van die buite-oppervlakte
af?
7.2 Bewys dat die buite-oppervlakte van
die silinder in die vorm van ‘n funksie
uitgedruk kan word as
2 10
( ) π
A r = r + .
r
7.3 Voltooi die tabel hieronder en gebruik
dit om ‘n netjiese, akkurate grafiek
= +
r
te
skets. Gebruik ‘n skaal van
3 cm = 1eenheid op die x -as en ‘n
2 10
van die funksie A( r) π r
skaal van 1cm = 5 eenhede op die
vertikale as.
95
On which two variables does the
magnitude
depend?
of the surface area
Show that the surface area of the
cylinder may be expressed in the
form of a function as
2 10
( ) π
A r = r + .
r
Complete the table below and use it
to sketch a neat, accurate graph of
= +
r
. Use a
scale of 3cm= 1uniton
the x -axis
2 10
the function A( r) π r
and a scale of 1cm = 5 eenhede on
the vertical axis.

U hoef nie die tabel in u skrif oor te
teken nie.
7.4 Gebruik u grafiek en skat die waarde
van r waarvoor die buite-oppervlakte
‘n minimum sal wees en dui dit
duidelik op u grafiek aan.
7.5 Gebruik u antwoord op vraag 2.4 en
bereken die minimum moontlike
buite-oppervlakte van die silinder.
Toon hierdie waarde duidelik op u
grafiek aan.
7.6 Wat is die grootste aantal draaipunte
wat ‘n tweedegraadse grafiek kan hê?
7.8 Noem enige vier maniere maniere
waarop ‘n werkliksgetroue situasie
wiskundig voorgestel kan word.
96
You do not need to copy the table into
your answering script.
Use your graph to estimate the value
of r so that the surface area is a
minimum and clearly indicate it on
your graph.
Use your answer to question 2.4 and
calculate the minimum possible surface
area of the cylinder. Clearly indicate
this value on your graph.
What is the highest number of turning
points that a quadratic curve can have?
List any four ways in which a real life
situation my be represented
mathematically.

'n Kartonhouer word vervaardig deur
'n reghoekige vel karton, 45 cm by 30
cm te neem en uit elke hoek 'n
vierkantige stuk karton te sny. Die
kante word dan boontoe gevou om die
wande van die houer te vorm:
8.1 Laat x die sylengte wees van elke
vierkant wat uit die karton gesny word.
Toon aan dat die volume van die
houer gegee word deur die formule
3 2
V 4x 150x 1350x
= − + .
Vraag 8/ Question 8
97
A cardboard container is manufactured
from a rectangular sheet of cardboard,
45 cm by 30 cm. A square piece of
cardboard is cut from each of the four
corners and the sides are then folded
upwards to form the sides of the
container:
Let x be the side length of each of the
squares which are cut out of the sheet
of cardboard. Show that the volume of
the container is given by the formula
3 2
V 4x 150x 1350x
= − + .

8.2 Dit is moontlik om die formule hierbo
soos volg te skryf:
( ) 3 2
V x = 4x − 150x + 1350x,
Wat presies beteken hierdie
skryfwyse?
Wenke:
• Wat is die onafhanklike
veranderlike?
• Op watter as van ‘n grafiek sal ons
die onafhanklike veranderlike
aandui?
• Wat is die afhanklike veranderlike
en hoe sien u dit?
• Op watter as van ‘n grafiek sal ons
die afhanklike veranderlike
aandui?
• Wat moet ons weet voordat ons
die volume-waarde kan bereken?
8.3 Wat word bedoel met die
definisieversameling van die
funksie?
(Wees spesifiek in u verduideliking)
98
It is possible to write the formula above
as follows:
( ) 3 2
V x = 4x − 150x + 1350x,
What is the precise meaning of this
notation?
Hints:
• What is the independent variable?
• On which axis of the graph shall we
indicate the independent variable?
• What is the dependent variable and
how do you see that?
• On which axis of the graph shall we
indicate the dependent variable?
• What must we know before we can
calculate the volume-value?
What do we mean by the domain of
the function?
(Be explicit in your explanation)

8.4 Skryf die definisieversameling van
hierdie funksie neer deur middel van
die korrekte notasie en simbole.
8.5 Voltooi die volgende tabel van
waardes en stip (“plot”) die grafiek van
volume teen x :
8.6 Gebruik die grafiek en skat watter
waarde van x lewer die grootste
volume.
Wat is die maksimum moontlike
volume van die houer?
8.7 Skryf die waardeversameling van
hierdie funksie neer deur van die
korrekte notasie en simbole gebruik te
maak.
8.8 Gebruik Microsoft Excel en doen nr
7.5 hierbo op rekenaar.
8.9 Gebruik GSP en teken die grafiek van
die funksie
( ) 3 2
V x = 4x − 150x + 1350x.
99
Write down the domain of this function
by utilising the correct natation and
symbols.
Complete the following table and plot
the graph of volume against x :
Use the graph and estimate which
value of x yields the highest volume.
What is the maximum possible volume
of the container?
Write down the range of this function by
utilising the correct notation and
symbols.
Use Microsoft Excel and do nr 7.8
above on the computer.
Use GSP and sketch the graph of the
V x = 4x − 150x + 1350x.
function ( ) 3 2
Die oplossings van bogenoemde probleme word tydens lesings bespreek. Die
oplossings van sekere vrae sal op eFundi gepubliseer word.

3 Rasionale funksies, eksponensiële funksies en
logaritmiese funksies
Geskatte tyd benodig om die leeruitkomste te bemeester
12 ure
Noodsaaklike voorkennis
1. Leereenheid 1
2. Hoe om ‘n vergelyking wat breuke bevat, op te los deur regdeur met die KGV van
noemers te vermenigvuldig (WSKT 111, Leergedeelte 3.5)
3. Hoe om eksponensiële en logaritmiese vergelykings op te los (WSKT 111,
Leereenheid 5)
Leeruitkomste vir hierdie leereenheid
Na afhandeling van hierdie leereenheid moet die student in staat wees om die
volgende te doen:
1. Eenvoudige rasionale vergelykings in die standaardvorm
funksie te skryf;
100
k
y = vir ‘n rasionale
x
2. Rasionale funksies grafies voor te stel (met die hand sowel as met behulp van
geskikte rekenaarprogrammatuur);
3. Eenvoudige werklikheidsgetroue probleme waar rasionale funksie-modelle
betrokke is, op te los;
4. Eksponensiële vergelykings in die standaardvorm
kx ( 1 )
y A e −
= − vir ‘n eksponensiële funksie te skryf;
kx
y Ae −
= of
kx
y = Ae of
5. Eksponensiële funksies grafies voor te stel (met die hand sowel as met behulp
van geskikte rekenaarprogrammatuur);

6. Eenvoudige werklikheidsgetroue probleme waar eksponensiële modelle betrokke
is, op te los;
7. Logaritmiese vergelykings in die standaardvorm y = klogb ax vir ‘n logaritmiese
funksie te skets (met die hand of met geskikte rekenaarprogrammatuur);
8. Logaritmiese funksies grafies voor te stel (met die hand sowel as met behulp van
geskikte rekenaarprogrammatuur);
9. Eenvoudige werklikheidsgetroue probleme waar logaritmiese modelle betrokke is,
op te los
Hersiening uit vorige leereenhede
Uit Leergedeelte 1.3 volg:
‘n Funksie is ‘n spesiale soort reël waarvolgens ‘n waarde (die afhanklike veranderlike
genoem) bereken kan word deur ‘n ander waarde (die onafhanklike veranderlike
genoem) in ‘n sekere algebraïese vergelyking (die model) te vervang.
Funksies word gebruik om prosesse of situasies in die werklike lewe te beskryf. Ons
gebruik funksies om wiskundige modelle saam te stel.
Wat is ‘n wiskundige model?
Wel, dit is ‘n wiskundige voorstelling van ‘n fisiese situasie of probleem. Die werklike lewe
(en die meeste tegnologiese toepassings in fabrieke, werkswinkels of laboratoriums) het met
ingewikkelde probleme en situasies te doen.
Tog kan sulke situasies wiskundig vereenvoudig word deur slegs na twee of miskien drie
meetbare aspekte daarvan op ‘n keer te kyk. Hierdie meetbare aspekte word veranderlikes
genoem. Die manier waarop die een veranderlike van die ander afhanklik is, word in die
vorm van ‘n formule (wiskundige vergelyking) geskryf.
Hierdie formule word ‘n wiskundige model genoem.
101

Daar is minstens vyf maniere om ‘n werklikheidsgetroue proses (of die funksie wat dit
beskryf) voor te stel, naamlik
• ‘n numeriese beskrywing (‘n tabel van gemete of berekende waardes)
• ‘n grafiese beskrywing (‘n kromme op ‘n koördinaatvlak met ‘n assestelsel daarby)
• ‘n woordelikse beskrywing en/of ‘n skematiese beskrywing soos ‘n diagram
• ‘n algebraïese beskrywing (‘n formule of vergelyking)
• ‘n praktiese voorbeeld wat die gedrag van die proses of probleem illustreer
In hierdie leereenheid bestudeer ons werklikheidsgetroue probleme wat met behulp van een
van die volgende tipes funksies gemodelleer kan word:
1. Rasionale funksies (magsfunksies waar die eksponent negatief is, tipies iets soos
1
y k x −
= ⋅ , wat maar presies dieselfde beteken as
konstante is)
2. Eksponensiële funksies (
verval-funksies voorstel)
kx
y Ae −
= of
3. Logaritmiese funksies ( y = klogb ax )
kx
= of y A( 1 e ) −
kx
y Ae
102
k
y = waar k enige reële
x
= − , wat groei-funksies en
Hierdie tipes funksies is nie polinoomfunksies nie. Hulle kan dus nie in die vorm
y = a x + a x + a x + a x + + a x geskryf word nie.
0
Die funksies
n n−1 n−2 n−3
0
1 2 3 ... n
k
y = ,
x
kx
y Ae −
= of
kx
= of y A( 1 e ) −
kx
y Ae
= − en y = klogb ax besit bepaalde
algebraïese en grafiese eienskappe wat hulle geskik maak om sekere tipes probleme voor te
stel waarvoor polinoomfunksies nie geskik is nie.
Voorbeelde van sulke probleme waarvoor polinoomfunksies nie geskik is nie, is die
volgende:
• Indirekte eweredigheid (ook genoem: omgekeerde eweredigheid)

• Situasies wat beskryf word deur diskontinue funksies (funksies wat so is dat daar
sekere waardes van die onafhanklike veranderlike bestaan, waarvoor ons nie ‘n
bybehorende waarde van die afhanklike veranderlike veranderlike kan bereken nie –
funksies waarvan die grafiek ‘n “sprong” of ‘n “oop punt” vertoon)
• Situasies waar gelykmatige groei of verval voorkom
• Situasies waar daar beperkte groei voorkom
In die volgende leergedeeltes word bogenoemde funksies bespreek. In elke geval beskou
ons ‘n tipiese situasie of probleem uit die tegniese of natuurwetenskaplike studieveld waar
die spesifieke tipe funksie gebruik word om die situasie of probleem te modelleer.
Let daarop dat die heuristiek wat in Leergedeelte 2.1 gegee is, steeds net so gebruik word
wanneer ons enige werklikheidsgetroue situasie of probleem modelleer.
Ter wille van hersiening, verskaf ons weereens die stappe van die heuristiek:
Die stappe van die heuristiek waarmee ons werklikheidsgetroue probleemsituasies
ontleed
1. Verkry twee stelle waardes (data) deur meting. (Die een stel waardes is die onafhanklike
veranderlike; die ander stel waardes is die afhanklike veranderlike)
2. Stel die waardes (gewoonlik metings) in ‘n tabel voor
3. Gebruik die tabel om ‘n akkurate grafiek te verkry
4. Gebruik die patroon waarin die data-punte op die grafiek voorkom en trek ‘n beste lyn of
kromme deur die punte.
5. Gebruik hierdie “beste lyn” of kromme om interpolasie en ekstrapolasie te doen deur
middel van aflesings.
6. Indien akkurate inter- en ekstrapolasie verlang word, verkry die vergelyking van die
“beste lyn” of kromme wat u in Stap 4 verkry het. Hierdie vergelyking is die funksie
(wiskundige model) wat die probleemsituasie wat u ondersoek, beskryf.
7. Sodra u die vergelyking van die regressie-lyn of regressie-kromme het, kan u dit gebruik
om inter- en ekstrapolasie te doen, deur middel van vervanging en berekening.
8. Die gedrag van die funksie kan nou vanaf die grafiek en vanaf die vergelyking (formule
vir die grafiek) beskryf word in terme van begrippe soos:
• Stygend/ dalend
103

• Konkaaf na bo/ konkaaf na onder (sien Fig. 24.31 (a) op p. 709 van die handboek)
• Maksimumwaarde/ minimumwaarde(s) soos uit draaipunte en randwaardes verkry
• Vertikale asimptote (ons bespreek dit later – dis waar die grafiek “spronge” maak
• Horisontale asimptote (dit is horisontale lyne waarna die grafiek streef, maar nooit
verbysteek nie)
• Definisieversameling
• Waardeversameling
Let gerus fyn op hoe ons in die gedeeltes wat volg, telkens van bogenoemde heuristiek in
een of ander vorm gebruik maak.
104

3.1 Rasionale funksies
Leeruitkomste vir hierdie leergedeelte
Na afhandeling van hierdie leergedeelte moet die student in staat wees om die
volgende te doen:
1. Eenvoudige rasionale vergelykings in die standaardvorm
funksie te skryf;
105
k
y = vir ‘n rasionale
x
2. Rasionale funksies grafies voor te stel (met die hand sowel as met behulp van
geskikte rekenaarprogrammatuur);
3. Eenvoudige werklikheidsgetroue probleme waar rasionale funksie-modelle betrokke
is, op te los
Bestudeer die volgende materiaal in die boek van Washington
Paragraaf Bladsynommers
3.4 92 – 96
Rasionale funksie-modelle en omgekeerde eweredigheid (ook
genoem: indirekte eweredigheid)
Indien ‘n werklikheidsgetroue probleem of situasie beskryf kan word deur ‘n magsfunksie met
‘n eksponent van − 1 (dit wil sê, ‘n vergelyking soos
1
y k x −
= ⋅ ) of voorgestel kan word deur ‘n
reghoekige hiperbool dan dui dit daarop dat die grootheid op die vertikale as (die
afhanklike veranderlike) omgekeerd eweredig is aan die grootheid op die horisontale
as (onafhanklike veranderlike).
k
Die vergelyking van so ‘n reghoekige hiperbool is op skool geskryf as . y = .
x

‘n Voorbeeld van omgekeerde eweredigheid uit elektriese stroomteorie
‘n Eenvoudige eksperiment word uitgevoer om vas te stel wat die verband is tussen die
stroomsterkte I en die weerstand R in ‘n elektriese stroombaan indien die potensiaalverskil
V konstant bly. Die eksperimentele opstelling bestaan uit ‘n battery (houer met selle wat in
serie verbind is), ‘n gloeilamp met verstelbare helderheid, ‘n ammeter (om stroom mee te
meet) en ‘n voltmeter (om spanning mee te meet).
Aanvanklik, by maksimum helderheid, besit die gloeilamp ‘n weerstand van 10 Ω sodat die
ammeter ‘n stroom van 0,6 A meet:
Die helderheid van die gloeilamp word nou geleidelikheid swakker gestel deur die weerstand
van die gloeilampie in stappe van 10 Ω te verhoog totdat die weerstand 70 Ω is.
Die ammeterlesing word telkens gemeet en saam met die weerstandwaardes in tabelvorm
voorgestel.
Die volgende resultate word verkry:
106

Om ‘n beter idee te kry van hoe die stroomsterkte in die stroombaan (helderheid van die
lampie) en die weerstand van die lampie verband hou, kan ons die inligting grafies voorstel.
Aangesien die weerstandswaardes waarby ons telkens die stroom gemeet het,
onafhanklik was van enige ander faktor buiten ons eie keuse, is die weerstand R die
onafhanklike veranderlike en sal dit op die horisontale as voorgestel word; volgens ‘n
soortgelyke redenasie moet die stroom I (waarvan die waarde afgehang het van die
weerstandswaarde waarby die stroomlesing geneem is) die afhanklike veranderlike wees
en sal dit op die vertikale as voorgestel word. Ons kan stroom dus beskou as ‘n funksie van
weerstand en dit soos volg skryf:
I = f ( R)
Dit is ook reeds uit die tabel van data duidelik dat die definisieversameling (“domain”) van die
stroomfunksie die volgende is:
f
{ 10 70; }
D = R ≤ R≤ R∈
Dit is ewe duidelik uit die tabel van data dat die waardeversameling (“range”) van die
stroomfunksie die volgende is:
f
{ 0,086 0,6; }
W = I ≤ I ≤ I∈
107

Die resulterende grafiek bevat sewe datapunte en ons kan interpolasie toepas deur die punte
met ‘n gladde kromme te verbind; die vorm van hierdie kromme laat ons vermoed dat dit ‘n
reghoekige hiperbool is:
Om te bevestig of ‘n gegewe kromme wel ‘n reghoekige hiperbool is of nie, kan ons ‘n
eenvoudige toets toepas:
Stel vas of die produk van die afhanklike en onafhanklike koördinate van elke punt op die
kromme ‘n konstante waarde k lewer; indien wel, het ons sonder twyfel met ‘n reghoekige
hiperbool te doen.
Dit is duidelik dat die produk van I en R telkens vir al sewe die datapunte in die tabel
dieselfde waarde lewer, naamlik 6. Die kromme is dus wel ‘n reghoekige hiperbool met
konstante k = 6 .
Dit is verder uit die vorm van die kromme duidelik dat as die weerstand in ‘n sekere
verhouding toeneem, die stroom in dieselfde verhouding afneem. Indien, byvoorbeeld, die
weerstand vanaf 20 Ω tot 60 Ω toeneem (drie maal groter word), dan neem die stroom
van 0,3 A tot 0,1 A af (word drie maal kleiner). Hierdie tipe verband tussen afhanklike en
onafhanklike veranderlike word ‘n omgekeerde eweredigheid genoem.
108

Die voorstellings hierbo is egter slegs skematiese, numeriese, grafiese en woordelikse
modelle; om behoorlike interpolasie en ekstrapolasie uit te voer, benodig ons ‘n
algebraïese model vir die situasie – met ander woorde ons moet die vergelyking van die
kromme bepaal.
Nou is dit uit skoolwiskunde bekend dat die vergelyking vir ‘n reghoekige hiperbool
in terme van ons situasie is die vergelyking dus
109
6
I = .
R
k
y = is;
x
Dit is dus maklik om vergelyking van ‘n eenvoudige rasionale algebraïese model te bepaal.
Ons kan natuurlik ook van Microsoft Excel se ingeboude regressiefunksie gebruik maak om
die vergelyking van die kromme deur die stel datapunte op die grafiek te verkry. Soos
voorheen (in Leergedeelte 2.2) kan ons soos volg te werk gaan:
Tik gewoon die datapunte in tabelvorm in Excel en selekteer al die dataselle. Kies dan
“Insert” “Scatter plot” en selekteer al die punte op die grafiek. Kies “Add Trendline” en soek
die tipe kromme wat die beste deur al die punte gaan (dit sal “power function” wees indien al
die geselekteerde punte wel op ‘n reghoekige hiperbool lê). Merk dan “Display Equation on
chart”. Excel vertoon dan die vergelyking van die kromme vir u:

Opmerking: U sal uit u kennis van eksponentwette onthou dat die vergelyking
Excel vertoon, geskryf kan word as
k
y = .
x
110
y x −
1
= 6 wat
Let ook daarop dat Excel ongelukkig ook nie die vergelyking in terme van die simbole I en
R kan gee nie; dit gebruik die simbool x vir die onafhanklike veranderlike en die simbool y
vir die afhanklike veranderlike. In terme van ons simbole stem Excel egter saam dat
6
I = .
R
6
Noudat ons die algebraïese model I = tot ons beskikking het, kan ons interpolasie
R
uitvoer (bereken byvoorbeeld die stroomwaarde wanneer die weerstand 24 Ω , of bereken
die weerstandswaarde waarby die stroom 0,5 A is) asook ekstrapolasie (bereken
byvoorbeeld die waarde van die stroom indien die weerstand 1Ω sou wees, of bepaal die
weerstand waarby die stroom 0,0001 A sou wees).
Indien ons die funksie
6
I = egter met behulp van GSP gaan teken (ons sal dit natuurlik
R
6
moet inlees as y = ) en ons skets die grafiek op die interval −10 ≤ x ≤ 100 verkry ons die
x
volgende interessante grafiek:

Dit is duidelik dat die funksie
6
y = ongewone gedrag vertoon in die omgewing van die punt
x
x = 0 ; klaarblyklik “breek” of spring die kromme waar x = 0 en dit beteken dat daar geen y -
waarde bestaan waar x = 0 nie. So ‘n punt (in hierdie geval die punt x = 0 ) waar ‘n kromme
“breek” of “spring” word ‘n diskontinuïteit genoem.
Die vraag is egter nou: Watter inligting gee die voorkoms van ‘n diskontinuïteit vir ons
6
omtrent ons wiskundige model I = waarvolgens stroom omgekeerd eweredig is aan
R
weerstand?
Daar is minstens drie belangrike waarnemings wat ons kan maak:
• In die eerste plek moet ons daarop let dat dit beteken dat die weerstand fisies nooit
‘n nulwaarde kan aanneem nie; indien wel, sou die stroomwaarde na oneindig streef.
Enigiemand met ‘n bietjie wetenskaplike kennis weet dat die verwarmingseffek van ‘n
elektriese stroom sterk afhang van die stroomsterkte; ‘n baie groot stroom veroorsaak
tipies dat die geleiers smelt en die stroombaan vernietig word. Wiskundig skryf ons
I →∞ indien R → 0 . Ons kan ook skryf
lim I = ∞ ; dit beteken dieselfde.
• In die tweede plek moet ons daarop let dat die grafiek van ‘n rasionale funksie
R→0
111
k
I =
R
nooit deur die vertikale lyn R = 0 (in hierdie geval is dieselfde as die vertikale as)
sal breek nie. Daarom noem ons die vertikale lyn R = 0 ‘n vertikale asimptoot vir die
k
funksie I = .
R
• Wanneer R = 0 , kan ons nie ‘n bybehorende I -waarde bereken nie, aangesien die
6
vergelyking van die funksie I = dan sou vereis dat ons deur nul deel:
R
6
I R=
0 0
wat beteken oneindig groot, ongedefinieerde waarde
=
=∞
In wese beteken ‘n diskontinuïteit by ‘n sekere punt dus dat deling deur nul by daardie
waarde in die vergelyking van die grafiek sou voorkom.

Dit is egter ook duidelik dat die funksie
van x baie groot raak:
6
y = ongewone gedrag vertoon waar die waarde
x
Klaarblyklik streef die waarde van y na nul, maar bereik dit nooit nie (indien wel, sou ons die
kromme deur die X-as sien gaan). Dit lyk trouens asof die waarde van y bloot al hoe kleiner
word namate x groter word. Ons kan ook gerus met ‘n rekenaar nagaan wat met y sou
gebeur as x baie groot word:
112

Die tabel hierbo gee vir ons interessante insig in verband met algebraïese model
Die volgende twee opmerkings kan gemaak word:
113
6
I = .
R
• In die eerste plek beteken die feit dat die kromme altyd bokant die stroom-as lê, dat
I → 0 indien R →∞. Fisies beteken dit dat die stroom al hoe kleiner word namate die
weerstand groter word, maar dat die stroom nooit presies nul bereik nie. Ons kan dit
wiskundig skryf as lim I = 0 .
R→∞
• In die tweede plek moet ons daarop let dat die grafiek van ‘n rasionale funksie
k
I =
R
nooit deur die horisontale lyn I = 0 (in hierdie geval is dieselfde as die horisontale
as) sal breek nie. Daarom noem ons die horisontale lyn I = 0 ‘n horisontale asimptoot
k
vir die funksie I = .
R
Ons ondersoek het dus interessante aspekte van omgekeerde eweredigheid en rasionale
funksies aan die lig gebring.

Bestudeer ook die volgende bespreking wat illustreer hoe
ingewikkelder rasionale funksies vir wiskundige modelle gebruik
kan word
Gestel ‘n pasiënt word ‘n binne-aarse inspuiting toegedien en die konsentrasie C van die
medisyne in sy bloedstroom word halfuurliks gemeet vir die daaropvolgende tien ure. Die
metings word hieronder numeries asook grafies voorgestel:
Die asimmetriese vorm van die kromme verraai onmiddellik dat die algebraïese model vir
hierdie situasie nie ‘n lineêre funksie, kwadratiese funksie, kubiese polinoomfunksie of
eenvoudige rasionale funksie kan wees nie. Ingewikkelde wiskundige metodes (wat ons nie
in WSKT 221 bestudeer nie) moet gebruik word om die vergelyking van die kromme te
25t
bepaal. So kan vasgestel word dat die kromme van die funksie C() t = 2
t + 2t + 1
feitlik
perfek deur die gegewe datapunte pas.
Rasionale funksies kan dus ook ingewikkelder formules besit as
y
f ( x)
= waar beide ( )
g ( x)
114
k
y = , soos byvoorbeeld
x
f x en g ( x ) polinoomfunksies is. In die geval van ons voorbeeld
25t
is die vergelyking van die rasionale funksie-model C = 2
t + 2t + 1
.

Sulke ingewikkelde rasionale funksies het ook (soos by eenvoudige rasionale funksies,
6
byvoorbeeld I = ) die interessante eienskap dat daar waardes van die onafhanklike
R
veranderlike bestaan waarvoor ons gewoon nie ‘n waarde van die afhanklike veranderlike
kan bereken nie.
Dit is so dat alle rasionale funksies in terme van algebraïese breuke gedefinieer word; die
25t
funksie C() t = , byvoorbeeld, is gedefinieer in terme van ‘n teller (naamlik 25t ) en
2
t + 2t + 1
‘n noemer (naamlik 2
t + 2t+ 1).
Aangesien die deel-bewerking slegs uitgevoer kan word
25t
solank as daar nie met nul gedeel word nie, is dit duidelik dat die funksie C() t = 2
t + 2t + 1
slegs bestaan solank 2
t + 2t+ 1≠ 0;
indien 2
t + 2t+ 1= 0,
dan kom deling deur nul voor en dus
kan ons die waarde van C nie bereken nie.
Aangesien die waarde t =− 1 nie in die tabel hierbo voorkom nie, lyk dit asof die funksie
kontinu is (en dit is inderdaad kontinu vir t ≥ 0 ). Onthou ook dat tyd in werklikheid nie
25t
negatiewe waardes kan aanneem nie. Die model C() t = is dus geldig vir praktiese
2
t + 2t + 1
doeleindes.
Kyk gerus wat gebeur indien u probeer om C te bereken as t =− 1 in die funksie
() = 2
C t
25t
t + 2t + 1
.
25t
Ons sê dat die rasionale funksie C() t = 2
t + 2t + 1
115
ongedefinieerd is vir t =− 1.
Dit beteken
dat die funksie diskontinu is waar t = − 1 en daarmee bedoel ons dat die grafiek van die
25t
funksie C() t = 2
t + 2t + 1
‘n sprong of ‘n opening het waar t = − 1.
25t
Die vraag is nou hoe die grafiek van C() t = 2
t + 2t + 1
lyk waar t = − 1.
25t
Op die volgende bladsy het ons ‘n grafiek van C() t = vir 3 8
2
t + 2t + 1
t − ≤ ≤ geteken; die
grafiek is met behulp van GSP geskep:

Dit is duidelik dat die grafiek buitengewone gedrag vertoon in die omgewing van die punt
t =− 1 op die tyd-as.
Hierdie tipe gedrag word, soos voorheen, ‘n diskontinuïteit genoem.
• Grafies word ‘n diskontinuïteit gekenmerk deur ‘n plek waar die kromme gebroke is (of
waar die kromme “spring”)
• Algebraïes word dit gekenmerk deur ‘n ontoelaatbare bewerking met die vergelyking
van die kromme (in hierdie geval, vind deling deur nul plaas by t =− 1;
indien hierdie
25t
waarde in die funksie C() t = vervang word, verkry ons (soos reeds gesien):
2
t + 2t + 1
C
( 1)
25( −1)
(
2
) ( )
− =
− 1 + 2 − 1 + 1
−25
=
1− 2+ 1
25
=−
0
Sommige rekenaars gee die antwoord van bogenoemde bewerking aan as C ( − 1)
=−∞;
dit is uit die grafiek maklik om te sien dat hierdie antwoord beteken dat die waarde van C
oneindig groot negatief raak as t se waarde naby − 1 kom.
116

Dit is ook interessant dat die tyd-as ‘n horisontale asimptoot is vir die funksie
25t
C() t = 2
t + 2t + 1
:
Daaruit kan ons die volgende afleidings maak:
• Grafies beteken dit dat die kromme al hoe nader aan die tyd-as kom namate die tyd ‘n
aanloop, maar dat die kromme nooit die as raak of daardeur breek nie.
• Fisies beteken dit dat die konsentrasie van die medisyne in die pasiënt se bloed al hoe
stadiger daal namate die tyd aanloop maar dat die konsentrasie (wiskundig gesproke)
nooit nul bereik nie.
117

Oefening 3.1 vir selfassessering
Oefening in die handboek Bladsynommer Probleme
3.4 96 Teken met behulp van ‘n tabel en
potlood en papier en
118
gaan u antwoorde na met GSP:
29, 30, 31
53 (GSP alleenlik)
3.6 106 By die volgende vrae moet u die grafiek
in Microsoft Excel teken en die asse
korrek benoem. Laat die rekenaar ‘n
gladde kromme deur die punte trek.
3, 5, 7
Die finale antwoorde van die gegewe probleme verskyn agterin die handboek.

3.2 Eksponensiële funksies
Leeruitkomste vir hierdie leereenheid
Na afhandeling van hierdie leereenheid moet die student in staat wees om die
volgende te doen:
1. Eksponensiële vergelykings in die standaardvorm
kx ( 1 )
y A e −
= − vir ‘n eksponensiële funksie te skryf;
119
kx
y = Ae of
kx
y Ae −
= of
2. Eksponensiële funksies grafies voor te stel (met die hand sowel as met behulp van
geskikte rekenaarprogrammatuur);
3. Eenvoudige werklikheidsgetroue probleme waar eksponensiële modelle betrokke is,
op te los
Bestudeer die volgende materiaal in die boek van Washington
Paragraaf Bladsynommers
13.1 370 – 372
13.2 373 – 377
Eksponensiële modelle as ‘n middel om groei en verval wiskundig
te modelleer
Die meeste mense is bekend met die konsep van saamgestelde rente – wanneer ‘n kliënt ‘n
sekere bedrag in ‘n spesiale rekening deponeer sodat die geld kan rente verdien, met ander
woorde: die bedrag “groei” teen ‘n tempo wat afhanklik is van die rentekoers. Die
eindwaarde van die belegging hang af van die grootte van die aanvanklike deposito, die
rentekoers asook die duur van die beleggingsperiode.
Die interessantste eienskap van ‘n belegging teen saamgestelde rente is die feit dat die geld
“rente” op “rente” verdien – so, hoe langer die geld in die rekening bly, hoe vinniger groei dit.
By enige tydstip is die groeitempo van die belegging eweredig aan die grootte van die
belegging op daardie oomblik.

‘n Tipiese grafiek van ‘n belegging teen saamgestelde rente word hieronder voorgestel:
Let op dat die kromme skynbaar lyk soos ‘n gedeelte van ‘n parabool of hiperbool; Nietemin
is dit nòg ‘n parabool nòg ‘n hiperbool, aangesien:
• Hierdie spesifieke werklikheidsgetroue situasie te doen het met geleidelike groei en nie
met ‘n situasie waar draaipunte (ekstreemwaardes) betrokke is nie.
• Verder, indien ons die gedrag van die funksie vir alle reële waardes van tyd ontleed, let
ons op dat die kromme geen draaipunte vertoon nie; so ook vertoon die kromme geen
spronge of onderbrekings nie, wat beteken dat die funksie inderdaad kontinu is vir alle
reële waardes van die onafhanklike veranderlike.
120

Terwyl dit waar is dat die model hierbo slegs fisiese betekenis het vir positiewe en nulwaardes
van tyd, is die grafiek heel oortuigend: Daar kom geen draaipunte voor nie – en
ook geen spronge of onderbrekings nie – so hierdie is nie ‘n kwadratiese funksie nie en dit is
ook nie ‘n rasionale funksie nie.
Net so, is die meeste mense bewus van die feit dat die waarde van sekere bates,
byvoorbeeld motorvoertuie, hul waarde teen ‘n sekere tempo verloor soos hulle ouer word.
Baie interessant is die feit dat die voertuig baie vinnig waarde verloor wanneer dit nuut is,
maar hoe ouer dit is, hoe stadiger daal die waarde daarvan.
‘n Tipiese grafiek van die waardevermindering van ‘n motorvoertuig word getoon:
Let weer eens daarop dat die kromme skynbaar lyk soos ‘n gedeelte van ‘n parabool of
hiperbool; Nietemin is dit nòg ‘n parabool nòg ‘n hiperbool, aangesien:
• Hierdie spesifieke werklikheidsgetroue situasie te doen het met geleidelike afname
(verval) en nie met ‘n situasie waar draaipunte (ekstreemwaardes) betrokke is nie.
• Verder, indien ons die gedrag van die funksie vir alle reële waardes van tyd ontleed, let
ons op dat die kromme geen draaipunte vertoon nie; so ook vertoon die kromme geen
spronge of onderbrekings nie, wat beteken dat die funksie inderdaad kontinu is vir alle
reële waardes van die onafhanklike veranderlike.
121

Weer eens: terwyl dit waar is dat ook die model hierbo slegs fisiese betekenis het vir
positiewe en nul-waardes van tyd, is die grafiek weer eens oortuigend: Daar kom geen
draaipunte voor nie – en ook geen spronge of onderbrekings nie – so hierdie is nie ‘n
kwadratiese funksie nie en dit is ook nie ‘n rasionale funksie nie.
Ons sien dus dat die funksies wat hierbo voorgestel word, radikaal verskil van enige van die
ander funksies wat sover bespreek is.
Die tipes gedrag wat ons in die twee voorbeelde hierbo teëgekom het, is nie beperk tot
ekonomiese kontekste nie; ons het die voorbeelde hierbo maar net gebruik om die konsep
van eksponensiële groei en eksponensiële verval in te voer, aangesien die meeste mense ‘n
intuïtiewe aanvoeling het vir hierdie situasies. Die volgende voorbeeld handel juis oor
ekonomiese toepassing van eksponensiële funksies:
122

Belegging teen saamgestelde rente
Indien u ‘n bedrag P by ‘n bank gaan belê vir t jare teen r % rente per jaar, jaarliks
bereken, dan gebruik die bank die volgende formule om die eindbedrag A te bereken:
⎛ r ⎞
A= P⎜1+ ⎟
⎝ 100 ⎠
t
(dit is ‘n wiskundige model – ‘n formule wat ‘n werklike proses beskryf)
Soos u kan sien, hang die waarde van die eindbedrag A van baie sake af, naamlik die
grootte van die aanvanklike deposito P , die rentekoers r en die tyd t wat die geld in die
bankrekening bly voordat u dit gaan opvra. Maar in die werklike lewe is P ‘n vaste bedrag
(byvoorbeeld R3000) wat u inbetaal en die rentekoers r (byvoorbeeld 10%) gee die bank vir
u op skrif. Dus is die tyd t die enigste veranderlike wat op die proses inspeel terwyl die geld
in die bank lê en rente verdien (tensy die bank op enige tyd die rentekoers aanpas, of ek een
of ander tyd van die geld gaan onttrek – maar vir die doel van ons bespreking laat ons sulke
interessanthede vir eers buite rekening).
Dus, met die bedrag R3000 en die rentekoers van 10%, kan ons die wiskundige model
⎛ r ⎞
(formule) A= P⎜1+ ⎟
⎝ 100 ⎠
t
soos volg skryf:
Natuurlik vereenvoudig dit tot: 3000( 11) t
A = ,
⎛ 10 ⎞
A = 3000⎜1+ ⎟
⎝ 100 ⎠ .
Let op dat die eindbedrag A dus in werklikheid vir ‘n sekere belegging slegs afhanklik is van
die veranderlike t (die aantal jaar); daarom kan ons sê dat A ‘n funksie is van t :
() 3000( 11) t
=
A t ,
Let nou op dat die regterkant van die funksie uit ‘n koëffisiënt (naamlik 3000) bestaan,
asook ‘n grondtal (naamlik 1,1) en ‘n simboliese eksponent of onafhanklike veranderlike
, naamlik t . Die regterkant is dus ‘n eksponensiële uitdrukking. Dit is waarom ons hierdie
funksie () 3000( 11) t
A t ,
= ‘n eksponensiële funksie noem.
123
t

Laat ons nou kyk hoe die grafiek van hierdie funksie lyk, vir die eerste 10 jaar:
Gestel ons kyk na die waardeverminderingsprobleem.
Waardevermindering op ‘n voertuig teen ‘n vaste koers, saamgesteld bereken
Indien u ‘n voertuig nuut koop teen ‘n bedrag P en u besit die voertuig vir t jare, dan vind
waardevermindering plaas teen ‘n koers van r % rente per jaar. Die waarde van r hang hier
af van ekonomiese faktore soos inflasie, maar ook die duursaamheid van die voertuig en
hoeveel u dit gebruik. Voertuighandelaars gebruik gewoonlik die volgende formule om die
waarde A van u voertuig na t jare te bereken:
⎛ r ⎞
A= P⎜1− ⎟
⎝ 100 ⎠
t
(dit is ‘n wiskundige model – ‘n formule wat ‘n werklike proses beskryf)
Soos u kan sien, hang die eindwaarde A van baie sake af, naamlik die grootte van die
verkoopprys P wat u vir die voertuig betaal het, die waardeverminderingskoers r en die tyd
t wat die voertuig in u besit was.
124

Neem nou aan dat die prys P ‘n bedrag van R110 000 was en dat die
waardeverminderingskoers r 10% per jaar was. Dan is die tyd t die enigste veranderlike
wat op die proses inspeel terwyl die voertuig in u besit is en waarde verloor (tensy u op ‘n
stadium verbeterings aan die voertuig aangebring het, of skade aan die voertuig gehad het,
of die voertuig meer gereeld begin gebruik het – maar vir die doel van ons bespreking laat
ons sulke interessanthede vir eers buite rekening).
Dus, met die prys van R110 000 en die verminderingskoers van 10%, kan ons die
⎛ r ⎞
wiskundige model (formule) A= P⎜1− ⎟
⎝ 100 ⎠
Natuurlik vereenvoudig dit tot: 110 000( 0 9) t
A = ,
t
soos volg skryf:
125
⎛ 10 ⎞
A = 110 000⎜1− ⎟
⎝ 100 ⎠ .
Let op dat die eindwaarde A dus in werklikheid vir ‘n sekere voertuig slegs afhanklik is van
die veranderlike t (die aantal jaar); daarom kan ons, soos voorheen, sê dat A ‘n funksie is
van t :
() 110 000( 0 9) t
=
A t ,
Let nou op dat die regterkant van die funksie uit ‘n koëffisiënt (naamlik 110 000) bestaan,
asook ‘n grondtal (naamlik 0,9) en ‘n simboliese eksponent of onafhanklike veranderlike
, naamlik t . Die regterkant is dus ‘n eksponensiële uitdrukking. Dit is waarom ons ook
hierdie funksie () 110 000( 0 9) t
A t ,
= ‘n eksponensiële funksie noem.
t

Laat ons nou kyk hoe die grafiek van hierdie funksie lyk, vir die eerste 10 jaar:
Deur nou bogenoemde twee gevalle te vergelyk, kan ons interessante opmerkings maak; dit
is onder meer duidelik dat ‘n eksponensiële funksie met ‘n grondtal groter as 1 ‘n stygende
funksie is (dink: “belegging teen saamgestelde rente”), terwyl ‘n eksponensiële funksie
met ‘n grondtal kleiner as 1 ‘n dalende funksie is (dink: “waardevermindering op ‘n
voertuig”).
Onthou net dat die eksponent t altyd groter of gelyk aan 0 moet wees – tyd kan nie
negatiewe waardes aanneem nie.
Ons kan hierdie gedagtes nou van toepassing maak op enige eksponensiële funksie van die
vorm
kx
y = a⋅ b waar a ‘n positiewe getal en kx ‘n positiewe getal is.
• Indien b < 1,
daal
• Indien b > 1,
styg
kx
y = a⋅ b
kx
y = a⋅ b
126

Vervolgens sal ons kontekste uit die tegnologiese en natuurwetenskaplike studievelde
beskou waar beperkte eksponensiële groei en eksponensiële verval voorkom; sodoende sal
ons die tersaaklike eienskappe wat eksponensiële funksies so nuttig maak, ontdek.
Eksponensiële funksies met die natuurlike grondtal e
U sal sien dat ons in die tegniese en natuurwetenskaplike kontekste gewoonlik verkies om
met eksponensiële funksies van die vorm
kx
y = Ae of
127
kx
= of y A( 1 e ) −
kx
y Ae −
= − te werk. In
hierdie formules is die grondtal van die eksponensiële funksie elke keer die natuurlike
grondtal e .
Hierdie getal (die natuurlike grondtal e ) is ‘n konstante in die natuur. Die presiese waarde
daarvan, akkuraat tot nege desimale plekke, word geneem as e = 2, 718 281828 . Hierdie
waarde word in gevorderde wiskunde-kursusse afgelei – ons is nie nou in die teorie agter die
natuurlike grondtal e geïnteresseer nie. Die waarde van e kan in elk geval vanaf u
sakrekenaar verkry word.
Vir ons doeleindes is e ‘n gerieflike grondtal om te gebruik wanneer ons met geleidelike
groei of afname in die natuur te doen het. Die hoofrede hiervoor is dat die grafieke van die
funksies
kx
y = Ae of
kx
= of of y A( 1 e ) −
kx
y Ae −
= − baie goed deur die datapunte pas wat uit
eksperimente verkry word wanneer daar geleidelike groei of afname ter sprake is.
Aangesien e > 1 sal die grafiek van die funksie
dit dui op eksponensiëke groei. Net so, sal die grafiek van
dalend wees; dit dui op eksponensiële afname:
kx
y = Ae met k > 0 altyd stygend wees;
kx
y Ae −
= met k > 0 altyd
Ons spreek dus af dat die konstante k in die formules altyd ‘n positiewe waarde sal
wees; hoe nader aan nul, hoe stadiger styg of daal die funksie. Hoe groter die waarde van
k , hoe vinniger styg of daal die funksie. Daarom word daar soms na k verwys as die
groeikonstante.

Eksponensiële modelle in die tegnologiese en natuurwetenskaplike
studieveld
‘n Voorbeeld van eksponensiële groei uit die natuurwetenskaplike studieveld:
Bakterieë wat in ‘n vrugbare medium groei
Hierdie, asook ander tersaaklike voorbeelde, sal tydens lesings as klasbesprekings behandel
word.
128

3.3 Logaritmiese funksies
Leeruitkomste vir hierdie leergedeelte
Na afhandeling van hierdie leergedeelte moet die student in staat wees om die
volgende te doen:
1. Logaritmiese vergelykings in die standaardvorm y = klogb ax vir ‘n logaritmiese
funksie te skryf;
2. Logaritmiese funksies grafies voor te stel (met die hand sowel as met behulp van
geskikte rekenaarprogrammatuur);
3. Eenvoudige werklikheidsgetroue probleme waar logaritmiese modelle betrokke is, op
te los
Bestudeer die volgende materiaal in die boek van Washington
Paragraaf Bladsynommers
13.1 370 – 372
13.2 373 – 377
Agtergrond
Logaritmiese funksies kom in die tegniese en natuurwetenskaplike vakgebiede voor by die
volgende kontekste:
• Operasionele versterkers (elektronika)
• pH-waardes (Chemie van sure en basisse)
• die intensiteit van aardbewings
Wat goed is omtrent ‘n logaritmiese funksie, is dat dit ‘n wiskundige manier is om baie groot
en baie klein getalle hanteerbaar uit te druk.
129

Kyk byvoorbeeld na die volgende situasie:
Laat a die waarde
12
11
3, 456 × 10 hê en laat b die waarde 1,713 × 10 hê. Stel nou vir a en b
op skaal op dieselfde getallelyn voor. Laat 1 cm een eenheid voorstel.
Oplossing:
Goeiste! Indien 1 cm een eenheid voorstel sal a 34 560 000 km regs van die nulpunt lê en
b sal 1713 000 km regs van die nulpunt lê.
Dit is duidelik onmoontlik om die getalle op skaal voor te stel.
Logaritmes los hierdie probleem vir ons op. Kom ons stel die getalle loga en logb grafies
op dieselfde getallelyn voor. Laat 1 cm een eenheid voorstel.
12
( )
loga = log 3,456 × 10
= 12,539 Met behulp van u sakrekenaar!
11
( )
logb = log 1,713 × 10
= 11,234 Met behulp van u sakrekenaar!
Voorstelling:
U sien hoe ons nou maklik die posisie van die logaritmes van die twee getalle kan aandui.
Let egter daarop dat die skaal van die getallelyn nou die volgende is: 1 cm = 10, 2 cm = 100,
3 cm = 1000 en so aan.
By onder meer operasionele versterkers, pH-waardes en die intensiteit van aardbewings
werk ons ook met baie groot of baie klein getalle of metings wat moeilik voorgestel kan word;
daarom gebruik ons by hierdie tipe probleme logaritmes om die groot of klein getalle “te
verwerk” tot meer hanteerbare waardes.
130

Voorbeeld van ‘n logaritmiese funksie in elektronika: Operasionele
versterkers
Die versterkingswins A (gemeet in desibel, met die simbool dB) van ‘n operasionele
⎛P⎞ uit
versterker word gegee deur die formule A = 10log⎜ ⎟ waar P in die inset-sein van die
⎝ Pin
⎠
versterker (gemeet in Watt) voorstel en P uit die uitset-sein van die versterker voorstel.
Deur die sterkte van die inset-sein P in te reguleer, kan die versterkingswins A vir ‘n sekere
uitset-seinsterkte wat ons wil verkry, beheer word. Dus is die versterkingswins A die
afhanklike veranderlike en die inset-sien P in is die onafhanklike veranderlike.
Gestel nou dat ons vir ‘n sekere operasionele versterker ‘n uitset-sein van 3Watt wil verkry.
Die algebraïese model vir die gedrag van die versterker is dus:
131
⎛ 3 ⎞
A = 10log⎜
⎟
⎝Pin ⎠
Laat ons nou ‘n numeriese model vir die gedrag van die versterker verkry deur die volgende
tabel te voltooi (die waardes vir P in in die tabel is willekeurig gekies, aangesien dit mos in elk
geval die onafhanklike veranderlike is):
(Die waardes vir A is met ‘n gewone sakrekenaar bereken.)
Laat ons nou ‘n grafiese model vir die gedrag van die versterker verkry deur die waardes in
die tabel op grafiekpapier te stip (te plot); let op dat ons soos voorheen die afhanklike
veranderlike op die vertikale as plaas en die onafhanklike veranderlike op die horisontale as:

(Dit is nie nodig om die punte met ‘n gladde kromme te verbind nie, maar dit is ook nie
verkeerd om dit te doen nie.)
Laat ons nou ‘n woordelikse model vir die gedrag van die versterker saamstel.
• Definisieversameling (“Domain”): Df { Pin 0,5 Pin 6; Pin
}
132
= ≤ ≤ ∈ (Let op: P in mag
nie nul wees nie, want dan word daar met nul gedeel in die formule
Kyk weer na die tabel wat verkry is)
• Waardeversameling (“Range”) Wf= { A − 3,01 < A≤7,782; A∈
}
• Die kromme is oral konkaaf na bo
⎛ 3 ⎞
A = 10log⎜
⎟.
⎝Pin ⎠
• Die kromme is dalend so die funksiewaarde A neem af soos wat die inset-sein P in
toeneem, maar die afname verminder geleidelik
• Die kromme het ‘n horisontale as-afsnit by P in = 3 so die funksie het ‘n wortel of
nulpunt by P in = 3
Gevolgtrekking:
• Vir inset-seine van kleiner as 3Watt lewer die versterker ‘n versterkingswins
(positiewe versterkingswins)

• Vir inset seine van groter as 3Watt lewer die versterker ‘n versterkingsverlies
(negatiewe versterkingswins)
• Indien die inset-sein en die uitset-sein ewe groot is (in hierdie geval 3Watt elk) dan
vind geen versterking (of verswakking) plaas nie ( A = 0 wanneer P = P = 3Watt)
Laat ons nou berekeninge doen met die model wat ons verkry het:
133
in uit
1. Bereken die versterkingswins indien ‘n inset-sien van 5Watt gebruik word.
Verduidelik wat u antwoord beteken.
Oplossing:
Stel P in = 5 in
⎛ 3 ⎞
A = 10log⎜
⎟ en bereken A :
⎝Pin ⎠
⎛3⎞ A = 10log⎜ 5
⎟
⎝ ⎠
= 10log( 0,6)
= 10 ⋅( −0,221849)
=−2,218
dB en dit stem ooreen met wat u op die grafiek kan sien
Vir hierdie waarde van die inset-sein vind daar versterkingsverlies (“verswakking van
die sein” plaas) aangesien die teken van die antwoord negatief is.
2. Bereken die inset-sein wat ‘n versterkingswins van 4dB sal lewer
Oplossing:
Stel A = 4 in
⎛ 3 ⎞
A = 10log⎜
⎟
⎝Pin ⎠
en bereken P in :
⎛ 3 ⎞
4= 10log⎜
⎟
⎝Pin ⎠
4 ⎛ 3 ⎞
∴ = log⎜ ⎟
10 ⎝Pin ⎠
x
volgens die inligtingsblad: p = a beteken x = loga
p
Let nou op dat log eintlik log 10 beteken as daar "niks" langs die g staan nie:
⎛ 3 ⎞
∴ 0, 4 = log 10 ⎜ ⎟
⎝Pin ⎠

Verder lees ons nou gewoon die verwantskap op die inligtingsblad van regs
na links om die volgende te skryf:
3
∴
Pin
=
3
∴
Pin
= 2,511886 die tot-die-mag-bewerking
op u sakrekenaar!
∴ 3 = 2,511886 ⋅Pin
3
∴ Pin
=
2,511886
daar is weerskante met die noemer van die breuk gemaal
= 1,194 Watt en dit stem ooreen met wat u op die grafiek kan sien
0,4 0,4
10 die bewerking 10 word soms die "antilog van 0,4" genoem
Let daarop dat daar ‘n bietjie algebra ter sprake kom wanneer u die waarde van die
onafhanklike veranderlike wil uitreken vir ‘n gegewe waarde van die afhanklike veranderlike.
Hier is nog ‘n voorbeeld van dieselfde tipe berekening:
3. Bereken die inset-sein wat ‘n versterkingswins van − 1dB sal lewer
Oplossing:
Stel A =− 1 in
⎛ 3 ⎞
A = 10log⎜
⎟
⎝Pin ⎠
en bereken P in :
⎛ 3 ⎞
− 1= 10log⎜
⎟
⎝Pin ⎠
−1
⎛ 3 ⎞
∴ = log⎜ ⎟
10 ⎝Pin ⎠
⎛ 3 ⎞
∴− 0,1 = log 10 ⎜ ⎟
⎝Pin ⎠
x
volgens die inligtingsblad: p = a beteken x = loga
p
3
∴
Pin
=
3
∴
Pin
= 0,794 328
∴ 3 = 0,794328
⋅ Pin
3
∴ Pin
=
0,794 328
=
3,777 Watt en dit stem ooreen met wat u op die grafiek kan sien
−0,1 −0,1
10 die bewerking 10 word ook die "antilog van -0,1" genoem
134

Voorbeeld van ‘n logaritmiese funksie in Chemie: pH-waardes
(Lees gerus hierdeur – maar dit is ‘n moeilike voorbeeld wat ek nie sal assesseer nie)
Die pH-waarde (gemeet as ‘n eenheidlose getal vanaf 0 tot 14) van ‘n waterige oplossing
word gegee deur die formule pH log(
H ) +
=− .
Die simbool H + verwys na die waterstofioonkonsentrasie (gemeet in mol per liter of mol per
kubieke desimeter). Hierdie konsentrasie is ‘n baie klein getal – dit verwys na die aantal
waterstofione in een liter oplossing. Hoe meer waterstofione in ‘n oplossing, hoe meer suur
is die oplossing. Dus is die pH-waarde die afhanklike veranderlike en die
waterstofioonkonsentrasie H + is die onafhanklike veranderlike.
Daar is ‘n natuurwet wat bepaal dat die waterstofioonkonsentrasie van enige oplossing nie
hoër as 1 mol per liter kan styg nie nie en ook nie minder as ongeveer
kan word nie.
Met behulp van die gegewens kan ons ‘n numeriese model (tabel) opstel:
Let daarop dat 1.E-14 die volgende beteken:
14
1 10 −
× .
Indien ons ‘n grafiek van die inligting gaan trek, verkry ons:
135
−14
10 mol per liter

Hierdie grafiek toon duidelik dat die pH van ‘n oplossing nie lineêr afhanklik is van die
waterstofioonkonsentrasie nie. Omdat die getalle op die horisontale as so bitter klein is, is
die grafiek eintlik onleesbaar vir die grootste deel van die definisieversameling. Ook is die
waardes op die horisontale af erg afgerond om in te pas op die grafiek.
Tog kan ons die gedrag van die pH van ‘n oplossing sinvol in woorde beskryf deur na die
grafiek te kyk:
+ − 14 + +
• Definisieversameling (“Domain”): Df= { H 10 ≤ H ≤1; H ∈ }
• Waardeversameling (“Range”) Wf= { pH 0< pH ≤14; pH ∈ }
• Die kromme is oral konkaaf na bo
• Die kromme is dalend so die funksiewaarde pH neem af soos wat die
waterstofioonkonsentrasie toeneem, maar die afname verminder geleidelik
• Die kromme het ‘n horisontale as-afsnit by H 1
+ = so die funksie het ‘n wortel of
nulpunt by H 1
+ = (dit is teoreties – so iets is fisies onmoontlik)
Gevolgtrekking:
Die pH-waarde is laag as die konsentrasie waterstofione hoog is – die oplossing is
dan suur; net so, as die pH-waarde hoog is (naby 14) dan is die oplossing alkalies.
Laat ons nou berekeninge doen met die model wat ons verkry het:
1. Bereken die pH van ‘n oplossing indien die waterstofioonkonsentrasie
is. Is die oplossing suur of basies?
Oplossing:
Stel H 0,003
+ = in pH log(
H ) +
=− en bereken pH :
pH =−
=− −
= 2,523
log( 0,003)
( 2,522 879)
136
3
0,003 mol/dm
Aangesien die pH ‘n klein waarde het (nie ver van nul nie) is die oplossing suur.

2. Bereken die H + -konsentrasie van ‘n oplossing indien die pH van die oplossing 7 is.
(Terloops: ‘n pH-waarde van 7 beteken dat ‘n oplossing neutraal is.)
Oplossing:
Stel pH = 7 in pH log(
H ) +
=− en bereken H + :
7 =−log
∴− 7 = log
10
+ −7
+ ( H )
+ ( H )
∴ H = 10 Volgens die inligtingsblad beteken x = log a p dat p = a
+
∴ H
3
= 0,000 000 1 mol/dm
Dit is maar ‘n baie klein konsentrasie waterstofione.
137
x

4 Trigonometriese funksies
Leeruitkomste vir hierdie leereenheid
Na afhandeling van hierdie leereenheid moet die student in staat wees om die
volgende te doen:
1. ‘n Rotasiebeweging (draaibeweging van ‘n katrol of elektriese motor of generator of
dergelike masjien) as ‘n trigonometriese funksie te beskryf;
2. ‘n Periodiese beweging (reëlmatig-herhaalde beweging (dit is ‘n reëlmatige heenen-weer-
of op-en-af-beweging)) as ‘n trigonometriese funksie te beskryf;
3. ‘n Golf as ‘n trigonometriese funksie te beskryf;
4. kan verduidelik wat die betekenis is van elkeen van die begrippe amplitude,
hoekfrekwensie, periode, frekwensie en vertikale translasie (verplasing) soos wat dit
voorkom by rotasiebeweging, periodiese beweging en golwe;
5. die waardes van die amplitude A , die hoekfrekwensie ω , die periode T , die
frekwensie f en die vertikale translasie (verplasing) d uit ‘n gegewe grafiese
voorstelling van ‘n rotasiebeweging, periodiese beweging of golf te bepaal;
6. die periode, die frekwensie en die hoekfrekwensie in die korrekte meeteenhede kan
uitdruk;
7. die algemene vergelyking van die funksies y = Asin( ω t) + d en cos(
)
deur middel van ‘n tabel of andersins grafies voor te stel;
8. algemene vergelyking van die funksies y = Asin( ω t) + d en cos(
)
pas op werklike probleme in die tegniese vakgebied
138
y = A ω t + d
y = A ω t + d toe te
Bestudeer die volgende materiaal in die boek van Washington
Paragraaf Bladsynommers
10.5 306 - 309
10.6 309

Bestudeer die PowerPoint-skyfiereeks “Betekenisvolle
Trigonometriese Grafieke” wat vooraf per e-pos na u toe
aangestuur is of op eFundi gevind kan word.
Werk ook deur die volgende voorbeelde:
Trigonometriese model vir die menslike hartklop
Gestel die menslike hart word beskou as ‘n bolvormige (sferiese) struktuur met ‘n radius r
wat tussen die waardes r = 4cmand
r = 6cmwissel
soos wat die hartspier saamtrek en
ontspan. Indien die menslike hart teen 58 slae per minuut klop, stel ‘n wiskundige model
saam waarmee die radius van die hart as funksie van tyd voorgestel kan word. Neem die
aanvangstoestand van die hart (as t = 0 minute ) as ‘n die gemiddelde van die maksimum-
en minumumradius (dus, ‘n neutrale stand). Teken ook die model as ‘n kromme van radius
r teenoor tyd t .
Oplossing:
Uit ons alledaagse ervaring weet ons dat die hartklop ‘n reëlmatig-herhaalde periodiese
proses is – daar is volgens die gegewe inligting 58 saamtrekkings per minuut. Aangesien
daar vir elke sametrekking (wat die “slag” van die pols verteenwoordig) ook een ontspanning
is, kan ons sê dat daar eintlik 58 saamtrek-en-ontspan-siklusse per minuut plaasvind.
Hierdie proses kan dus geredelik d.m.v. ‘n sinus- of cosinus-funksie gemodelleer word, want
hulle is reëlmatig-herhaalde periodiese funksies van ‘n veranderlike (in hierdie geval, t).
Laat ons nou ‘n hulpskets maak om ons te help om intelligente keuses te maak aangaande
die tipe funksie wat ons gaan gebruik, die amplitude, vertikale verplasing, faseverskuiwing en
hoeksnelheid:
139

max=6
gemiddelde= 6+4
2 =5
min=4
Radius r in cm
7
6
5
4
3
2
1
-0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1
-1
aanvangsradius as t=0
Is dit vir u duidelik dat die model () sin(
ω φ)
140
58 siklusse
rt = a t+ + d geskik sal wees?
1 minuut
Tyd t in minute
Die radius begin op die gemiddelde waarde van die maksimum- en minimumradius wanneer
t = 0 minute; indien die radius by ‘n maksimum- of minimumwaarde begin het wanneer
t = 0 minute, sou rt () = acos( ωt+ φ)
+ d meer geskik gewees het.
Laat ons nou besin oor die waardes wat ons vir a , ω , φ en d moet kies:
Amplitude a : Maksimum uitwyking vanaf die neutrale stand is 1 cm, aangesien die
Vertikale
radius tussen 4 cm en 6 cm wissel en ons die neutrale stand as die
gemiddelde van 4 cm en 6 cm (dit is 5cm, sien die skets) neem.
Dus is a = 1cm.
Verplasing d : Die gemiddelde radius van die kloppende hart is 5cm (ons het dit
hierbo die neutrale stand van die beweging genoem). By die basiese
sinusfunksie y= sin x en die basiese cosinusfunksie y = cos x het ons
gesien dat die neutrale stand die horisontale as is. By die gegewe
model het is die neutrale stand 5 cm, dus 5 cm bokant die horisontale

as. Die funksie waarmee ons werk is dus 5 cm bo die horisontale as
verplaas.
Dus is d = 5cm.
Faseverskuiwing φ : Die radius begin (volgens die voorskrif in die inligting hierbo) presies
6
5
4
O
op ‘n waarde van 5 cm wanneer t = 0 minute. Dan “klop” die hart
(sametrekking, dus radius verminder tot 4 cm) en daarna ontspan dit
tot 6 cm, ens. Die gedrag lyk dus so:
Let op die interessante manier waarop die gedrag van die proses van
die gewone sinusfunksie s’n verskil: Hierdie funksie daal, waar die
gewone sinus-funksie styg. Dit is dus “presies uit fase” met die
gewone sinusfunksie. Die begrip “presies uit fase” impliseer ‘n
faseverskuiwing van 180° wat beteken dat die teken voor die
amplitude moet verander:
a =− 1
Hoeksnelheid ω : Daar vind 58 siklusse per minuut plaas – dus is die frekwensie f van
die proses f = 58 siklusse per minuut. Hiervolgens kan die periode
T (die tyd wat een siklus duur) dan uitgedruk word as
141
1
T = minuut.
58

2
Per definisie is = 2 f of =
T
π
ω π ω (omwenteling gedeel deur
periode) en dus is
( )
ω = 2π f = 2π 58 = 116π radiale/minuut
of
2π 2π
ω = = = 116π
radiale/minuut .
T 0,017
( ) = − 1sin 116 + 5
Ons hele model lyk dus soos volg: rt ( πt)
Laat ons hierdie algebraïese vorm van die wiskundige model nou skets en vasstel of ons
model saamstem met die inligting wat aan die begin gegee is omtrent die gedrag van die
radius as funksie van tyd; ons wil dus nou die geldigheid van ons model toets:
142

Hoe om die funksie met die hand op papier te skets:
Teken ‘n stippellyn waar die neutrale stand van die funksie is. In hierdie geval is die vertikale
verplasing 5 cm, so die funksie het 5 cm opgeskuif. Beskou hierdie stippellyn 5 cm bo die
horisontale as nou as ‘n getransleerde horisontale as wat halfpad tussen die
maksimum en minimum uitwyking van die grafiek loop. Die funksie se amplitude word
vanaf hierdie stippellyn (die neutrale stand) na bo of na onder afgemeet.
Aangesien die grootte van die amplitude 1 cm is, sal die waardeversameling van die funksie
dus as volg wees: { r 4≤r ≤6; r∈ R}
Die periode (tyd wat een volledige saamtrek-en-ontspan-siklus duur) is verder
1 minuut
T = = 0,017 minuut . Omdat die gewone sinus-kromme een maksimum en een
58
minimum en een nulpunt halfpad tussen die maksimum en minimum het, is een siklus in vier
gelyke kwarte verdeel, elkeen 0,017
= 0,004 minute (afgerond) lank.
4
Teken dus ‘n omgekeerde sinus-kromme met amplitude van 1 cm op die lyn r = 5cmasof
hierdie lyn die horisontale as is en neem die periode (“golflengte in minute gemeet”) as 0,017
minute.
6
5
4
O
radius r
in cm
143
r(t)=-1sin(116πt)+5
0,004 0,009 0,013
0,017
tyd t in minute

Gebruik ons Geometer’s Sketchpad 4 om ons skets hierbo te kontroleer, verkry ons die
volgende:
(Laat die program gewoon die funksie y ( π x)
hoekmaat in radiale gestel, teken.)
6
5
4
3
2
1
-1
-2
-3
= − sin 116 + 5 op reghoekige assestelsel met
0. 002 0. 004 0. 006 0. 008 0. 01 0. 012 0. 014 0. 016 0. 018
Ons sien dus dat ons model korrek is.
144
f x ( ) = -sin 116⋅π⋅x ( )+5
Ons kan GSP nou gebruik om die gedrag van die hart vir byvoorbeeld t=0 sekonde tot t=10
sekonde (een sesde van ‘n minuut) te ondersoek. Onthou egter om in ag te neem dat ons tas
in minute is en dat 10 sekondes 10
= 0,167 minute verteenwoordig:
60

6
5
4
3
2
1
-1
-2
-3
Tel gerus: net minder
as 10 volledige
siklusse in een sesde
van 'n minuut
0. 02 0. 04 0. 06 0. 08 0. 1 0. 12 0. 14 0. 16 0. 18
145
f x ( ) = -sin 116⋅π⋅x ( )+5
In ‘n volle minuut sal daar dus net minder as 60 siklusse wees (en ons inligting reg aan die
begin het gestel dat die hart 58 keer per minuut klop (saamtrek) en dus ook 58 keer per
minuut ontspan).
Verder trek die hart eers saam en dan ontspan hy – “klop, rus, klop, rus,…”. Die feit dat ons
‘n persoon se hartklop begin tel wanneer ons die eerste klop (sametrekking) hoor, vereis dat
ons model moet voorspel dat die radius eers afneem tot minimum en daarvan toeneem,
afneem ens. Ons model (sien die grafiek hierbo) voorspel presies dit.
Dus klop ons wiskundige model wanneer ons die woordelikse, numeriese, algebraïese en
grafiese weergawes daarvan kombineer en dit toets of dit korrekte voorspellings kan doen.
Mooi, nè?
Vergelyk nou wat ons hierbo gedoen het met die skema wat ons aan die einde van
Leergedeelte 2.1 bespreek het.

Nog voorbeelde
Voorbeeld 1:
Situasie-analise
Die gemiddelde minimum dagtemperatuur in Potchefstroom vir die afgelope 10 jaar
was 11°C en die gemiddelde maksimum dagtemperatuur vir dieselfde tydperk was
31°C. Die laagste gemiddelde dagtemperatuur het tussen die sesde en sewende
maand voorgekom en die hoogste gemiddelde dagtemperatuur het tussen die
twaalfde maand en die eerste maand van die volgende jaar voorgekom (In die tabel
beteken t=0 die begin van Januarie, dit betekend die einde van die vorige Desember.
t=1 beteken die einde van Januarie en dus die begin van Februarie, ens):
t (tyd in
maande)
T (gemiddelde
dagtemperatuur
in °C)
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
31 29 26 19 16 12 11 13 15 20 25 29 31
Verdere analise van die temperature toon dat die temperatuur die vinnigste gedaal
het tussen die derde en vierde maande toe die gemiddelde dagtemperatuur 19°C
was vir die derde maand en en dat temperature die vinnigste gestyg het tussen die
negende en tiende maande toe die gemiddelde dagtemperatuur 20°C was.
Probleemstelling:
Stel die inligting grafies voor en ontwikkel ‘n trigonometriese vergelyking om dit te
beskryf.
Oplossing:
Let daarop dat daar sprake is van ‘n sikliese, reëlmatige, herhaalde proses: Die
seisoene, naamlik somer, herfs, winter, lente, somer, herfs,...
Let daarop dat die temperatuurwaardes wat gemeet is afhang van die tyd van die jaar
(laag in die winter, hoog in die somer, ens)
146

Bogenoemde impliseer dat ons ‘n funksie nodig het wat die tipe verandering wat ons
in die temperatuurwaardes bespeur in sy eie gedrag sal weerspieël.
(Dink hoe die sinus- en cosinus-funksies se krommes lyk)
Kom ons plaas nou die getalwaardes wat in die probleemstelling hierbo gegee is, op
‘n temperatuur-tyd-assestelsel; laat ons afspreek dat Januarie by die punt t=0 begin
en dat Desember by die punt t=12 eindig:
45
40
35
30
25
20
15
10
5
-5
Temperatuur (°C)
Stylste daling
2 4 6 8 10 12
Laat ons nou die model () cos(
ω )
147
Steilste styging
tyd (maande)
Tt = A t + dprobeer
toepas (ons kies die cosinus-
funksie aangesien ons proses by ‘n maksimumwaarde (hoogste temperatuur by t=0,
dit is die begin van Januarie) begin):
Vrae om ons onsself af te vra:
• Wat is die amplitude A (grootste wisseling tussen die gemiddelde van die
hoogste en laagste waarde en die hoogste of laagste waarde)?
• Wat die die periode T van die siklus (hoe lank neem die proses om homself
te herhaal; ‘n tydwaarde in maande, dus?) sodat ons die waarde van ω uit sy
definisie kan bereken?

• Wat is die vertikale verplasing d van die kromme (hoe ver bo of onder die
horisontale as is die gemiddelde van die hoogste en laagste
temperatuurwaarde geleë?)
Kom ons skenk nou aan die beantwoording van hierdie vrae aandag:
• Wat die amplitude betref: Uit die definisie van amplitude en die gegewe
inligting (veral duidelik in die grafiese voorstelling) blyk dit dat die grootte van
die amplitude A = 10 °C . A het ‘n positiewe waarde aangesien die kromme
by ‘n maksimum begin en daarvandaan afneem soos die gewone cos-funksie
(LET DAAROP dat indien die vorm van die kromme andersom was (by ‘n
minimum begin het en daarvandaan toegeneem het) dan was die amplitude
A =− 10° C en sou ons gesê het die cos-funksie is 180° of π radiale uit fase.)
Wat die periode betref: Uit ons ervaring en die gegewe inligting (wat
besonder duidelik in die grafiese voorstelling blyk) weet ons dat dit 12
maande duur voordat die seisoene hulself begin herhaal. Die periode is dus
12 maande).
Ons het afgespreek om die periode en frekwensie van ‘n reëlmatig herhaalde
proses aan die begrip hoeksnelheid ω te koppel en wel deur die definisie
ω = 2π f in te voer. Aangesien ons uit die voorkennis van Graad 10 (Golwe,
uit die leerarea Natuurwetenskap) weet dat
148
1
f = kan ons hoeksnelheid op ‘n
T
1
meer bruikbare manier definieer as ω = 2π
⋅ wat natuurlik dieselfde is as
T
2π
ω = .
T
2π
π
Dus ω = = 0,524 wat u ook as ω = mag skryf as u so verkies.
12
6
• Uit die grafiese voorstelling is dit duidelik dat die gemiddelde van die hoogste
en laagste waarde, naamlik 21°C, 21 eenhede bo die horisontale as lê; dus is
d=21°C
⎛π⎞ Ons model is dus die funksie Tt ( ) = 10cos( 0,524t) + 21 (of Tt () = 10cos⎜ t + 21
6
⎟
⎝ ⎠
as u verkies om dit so te skryf).
Skets ons nou die funksie Tt ( t)
ons:
( ) = 10cos 0,524 + 21 bo-oor ons data-punte, verkry

45
40
35
30
25
20
15
10
5
-5
Temperatuur (°C)
2 4 6 8 10 12
tyd (maande)
149

Dit is duidelik dat ons model nogal goed ooreenstem met die werklikheid. Lees weer deur
die situasie-analise en gaan na of u al die elemente van die situasie in die model kan herken.
Voorbeeld 2:
Situasie-analise
‘n Wisselspanning-seinopwekker word aan ‘n ossilloskoop verbind. Die skerm van die
ossilloskoop wys die volgende inligting:
Die skaal op die vertikale as is 3V per indeling en die skaal op die horisontale as is 5
millisekondes per indeling.
Probleemstelling:
Bepaal die volgende inligting:
1. Die piekwaarde (amplitude) van die sein (in Volt)
2. Die periode van die seinopwekker (in millisekondes)
3. Die frekwensie van die seinopwekker (in Hertz, waar 1 Hz=1 siklus/sekonde)
Skryf ‘n trigonometriese vergelyking (funksie) neer wat die gedrag van die sein beskryf;
neem in ag dat die tyd in millisekondes uitgedruk word.
Oplossing:
150

1. Dit is met die eerste oogopslag duidelik dat die gegewe grafiese voorstelling grootliks
ooreenstem met die gedrag van die gewone sin-funksie. Die amplitude is doodmaklik
om uit die grafiese voorstelling te bepaal: Die maksimum uitwyking vanaf die
middelstand is duidelik 4 vertikale as-indelings en dus 4× 3= 12 V (onthou dat elke
vertikale as-indeling 3 V verteenwoordig).
Die begrip “middelstand” beteken soos voorheen die gemiddelde van die maksimumen
die minimumwaarde wat die sein aanneem; in hierdie geval is die middelstand die
horisontale as (tyd-as)
Die amplitude A is dus 12 V. (LET DAAROP dat indien die kromme by nul begin het
en daarvandaan afgeneem het tot by ‘n minimumwaarde dan sou die amplitude
A =− 12 V gewees het en ons sou gesê het dat die funksie 180° of π radiale uit fase
is.)
2. Uit die grafiese voorstelling blyk dit dat een siklus (vol golf) van die sein twee-en-‘nhalf
horisontale as-indelings in beslag neem. Elke indeling verteenwoordig 5
millisekondes, so twee-en-‘n-half indelings beteken 2,5 × 5 = 12,5 millisekondes.
Die periode T van die sein is dus 12,5 millisekondes.
3. Die frekwensie f van die sein kan volkome sonder insident bereken word uit die
verwantskap f
1
1
= en dus is f = = 0,08 siklusse per millisekonde.
T
12,5
1
Maar ons is gevra om die frekwensie in Hz uit te druk, so f = = 80 Hz.
−3
12,5 × 10
Ons kon dit ewe maklik verkry deur gewoon te redeneer dat 0,08 siklusse per
millisekonde sou beteken 0,08 × 1000 = 80 siklusse per sekonde, aangesien 1
millisekonde tog per definisie een duisendste van ‘n sekonde is.
Ons is nou gereed om die sein as ‘n trigonometriese funksie Vt () Asin( t)
A = 12 en per definisie is ω= 2π f sodat ω = 2 ×π× 0,08 = 0,503 .
Dan is die funksie Vt ( ) 12sin( 0,503t) of Vt ( ) 12sin( 0,16 t)
= = π .
151
= ω te skryf:
LET DAAROP dat indien ons die funksie so wou skryf dat V in Volt en t in sekondes
uitgedruk word, die funksie so sou gelyk het:
( ) ( )
Vt ( ) = 12sin 502,655t of Vt ( ) = 12sin 160π
t.

Voorbeeld 3
‘n Generator draai teen 60 revolusies per sekonde en wek ‘n piekspanning van 220V
wisselspanning op. Die wisselspanning wat opgewek word kan as volg wiskundig beskryf
word:
Vrae:
( ) = sin(
ω )
V t V t
maksimum
1. Bepaal die amplitude van die opgewekte spanning.
2. Bepaal die periode van een wisselspanningsiklus.
3. Bepaal die hoekfrekwensie ω in radiale per sekonde.
4. Skryf die vergelyking V ( t) V sin(
ωt)
= vir die opgewekte spanning.
maksimum
5. Stel twee siklusse van die spanning grafies voor. Gebruik ‘n vertikale as-skaal van 110
mm = 220 V en ‘n horisontale as-skaal van 50 mm = 0,017 s
6. Bereken wat die waarde van V is 0,005 s na die begin van ‘n siklus.
7. Bereken hoe lank na die begin van ‘n siklus die spanning ‘n waarde van 180 V bereik.
Oplossing:
1. 220 V (piekwaarde. Die opgewekte spanning wissel tussen -220 V en 220 V)
2. 60 revolusies per sekonde = 60 siklusse per sekonde en dit is die frekwensie.
i
1
1
Uit die verwantskap T = bereken ons die periode T as T = = 0,016 sekondes . Dit
f
60
is hoe lank een omwenteling duur en dus hoe lank dit duur om een siklus van die
wisselspanning op te wek.
3. Ons het ‘n formule vir hoekfrekwensie:
ω = 2π
f
= 2× π × 60
= 120π radiale/sekonde of 376,991radiale/sekonde
4. V ( t) = 220 sin( 376,991t) of V ( t) =
220 sin( 120π
t)
152

5.
6.
V (Volt)
220
-220
( ) = 220 sin( 120π
)
( 0,005) 220 sin( 120π 0,005)
V t t
∴ V =
= 209,232 V
×
7.
( ) = 220 sin( 120π
)
( πt
)
( πt
)
πt
−1
( )
V t
∴ 180 = 220sin 120
t
∴ sin 120 = 0,81818
∴ 120 = sin 0,81818
= 0,958
0,958
∴ t = =
120π
∴ t =
0,00254 sekondes
0,017
153
T (sekonde)
0,033

Voorbeeld 4
‘n Krukas in ‘n groot masjien beweeg reëlmatig op en af volgens die volgende model:
ht ( ) = A⋅ f( ω t) + d waar h die hoogte van die bopunt van die dryfas bo die vloer van die
enjinkamer in meter, A die vertikale afstand is waardeur die punt van die as beweeg, ω die
hoekfrekwensie van die beweging in radiale/sekonde, t die tyd in sekondes en d ‘n vertikale
afstand in meter.
f ( ω t)
is ‘n trigonometriese funksie wat by die besondere situasie pas.
‘n Rekenaarsimulasie van ‘n paar siklusse van die beweging lyk soos volg:
1,8
1,6
1,4
1,2
1,0
0,8
0,6
0,4
0,2
O
h (m)
0,2
0,4
Analiseer die gedrag van die krukas deur die volgende vrae te beantwoord (toon alle
berekeninge wat u uitvoer):
1. Wat is die amplitude van die beweging?
2. Wat die die vertikale verplasing van die beweging?
154
0,6
0,8
1,0
t (s)

Wenk: Dit is die afstand wat die middelstand van die beweging bo of onder die
horisontale as verplaas is.
3. Is die funksie f ( ω t)
‘n sinusfunksie, of is dit ‘n cosinusfunksie? Verduidelik u
antwoord.
4. Wat is die periode van die beweging (hoe lank duur een volledige op-en-af-siklus)?
5. Wat is die frekwensie van die beweging?
6. Wat is die hoekfrekwensie van die beweging?
7. Skryf nou die model ht ( ) = A⋅ f( ω t) + d neer in terme van al die inligting wat u in
vrae 1 tot 6 versamel het.
8. Bepaal hoe hoog die punt van die krukas bo die vloer van die enjinkamer sal wees op
‘n tydstip 0,7 s nadat die beweging begin het.
155

Oplossings:
1.
maksimum vertikale verplasing − minimum vertikale verplasing
A =
2
1, 8 − 0, 2
∴ A =
2
= 0,8 m
U kon dit ook uit die grafiese voorstelling gesien het.
Maar die amplitude het ook 'n teken; indien die kromme presies uit fase uit is met die
gewone sinusfunksie of cosinusfunksie moet ons 'n negatiewe teken toeken. Aangesien
hierdie kromme kenmerkend is van 'n cosinusfunksie (let op dat die beweging nie op die
middelstand begin nie; indien dit die geval was dan het ons 'n sinusfunksie gehad) maar
by 'n minumumwaarde begin en dan toeneem, sien ons dat hierdie situasie 'n
"omgekeerde" cosinusfunksie is; dus is die amplitude negatief:
A =−0,8
m
2.
maksimum vertikale verplasing + minimum vertikale verplasing
middelstand =
2
1, 8 + 0, 2
∴ middelstand =
2
= 1m
U kon dit ook uit die grafiese voorstelling gesien het.
3.
Cosinusfunksie wat presies uit fase is met die gewone cosinusfunksie. Sien die opmerkings
by die tweede gedeelte van vraag 1 se antwoord.
4.
T = 0,4 sekondes . Dit is die tyd wat die beweging neem tussen twee gelykfasige punte.
5.
156

1
f =
T
1
=
0,4
∴ f = 2,5 siklusse per sekonde, wat ook geskryf kan word as 2,5 Hz.
6.
7.
ω= 2πf
= 2×π× 2,5
= 5πradiale/sekonde of 15,708 radiale/sekonde
( ) ( ) ( ) ( )
ht =−0,8⋅cos 5π t + 1 of ht =−0,8⋅ cos 15,708t + 1
8.
( ) ( )
( )
=− ⋅ ( ) +
h 0,7 =−0,8 ⋅cos 5π× 0,7 + 1
=−0,8⋅ cos 10,996 + 1
0,8
=1m
0 1 SAKREKENAAR IN RADIALE!!!
Stem die antwoord ooreen met wat u uit die grafiese voorstelling sou kon aflees?
Ja! (Dankie tog)
157

5 Kegelsnitte
Leeruitkomste vir hierdie leereenheid
Na afhandeling van hierdie leereenheid moet die student in staat wees om die
volgende te doen:
1. Die definisies van die vier basiese kegelsnitte as lokusse kan gee;
2. Die Cartesiese vergelykings van die vier basiese kegelsnitte in algemene vorm kan
identifiseer;
3. Die Cartesiese vergelykings van die vier basiese kegelsnitte vanuit algemene vorm
na standaardvorm oor te skakel (dit wil sê, u moet y die onderwerp van die
vergelyking kan maak);
4. Die vier basiese kegelsnitte met behulp van ‘n tabel of geskikte rekenaarprogram te
skets;
5. ‘n Getransleerde sirkel in terme van sy Cartesiese vergelyking in middelpuntvorm
kan beskryf, dit is die vorm
( x a) ( y b) r
2 2 2
− + − = ;
6. Die Cartesiese vergelyking van ‘n getransleerde sirkel na die algemene vorm om te
skakel, dit is die vorm
2 2
x y px qy c
+ + + + = 0 ;
7. Eenvoudige probleme waar kegelsnitte betrokke is, op te los.
Agtergrond
Blaai na p. 595 van die boek van Washington en beskou die paragraaf bo-aan p. 595 tesame
met figuur 21.92. Dit verklaar waarom ons die sirkel, ellips, sentrale hiperbool en parabool
dikwels as kegelsnitte (“conic sections”) beskou.
Bespreking van kegelsnedes (Kegelsnitte)
Sirkels, ellipse, sentrale hiperbole en selfs parabole kan beskou word as figure wat verkry
word deur 'n reghoekige kegel (Engels: "cone") op verskillende maniere met 'n platvlak te
sny. Hierdie bespreking vervang paragrawe 21.3 tot 21.8 in die boek van Washington.
158

Ons sal vervolgens elkeen van die kegelsnedes vlugtig bespreek.
1. Sirkels
159
Let op dat die snyvlak parallel aan die
basisvlakke loop; die snykromme is ‘n
sirkel. Die snyvlak sny die simmetrie-as
van die kegel loodreg.
(Die aansig hiernaas is natuurlik isometries;
om die sirkelvorige snykromme te sien,
moet ‘n mens eintlik loodreg van bo op die
snyvlak afkyk)
'n Sirkel kan gedefinieer word as die lokus van 'n punt wat sodanig beweeg dat die
afstand tussen die punt en ‘n ander, vaste punt (die middelpunt genoem) konstant bly,
Hierdie afstand word die radius van die sirkel genoem (sien hieronder).
Die vergelyking van die sirkel in algemene vorm is
2 2
x y px qy c
+ + + + = 0 .
Hierdie vergelyking kan deur middel van kwadraatsvoltooiing so gemanipuleer word dat
dit in die sogenaamde middelpuntsvorm geskryf kan word:
( x − a) + ( y− b) = r
2 2 2
Hierdie vorm van die vergelyking is nuttig aangesien die koördinate van die middelpunt van
die sirkel dan gegee word deur ( ab ; ) en die radius se lengte deur r .
In die spesiale geval waar die middelpunt van die sirkel op die oorsprong van die assestelsel
( 0; 0 ) val, reduseer die vergelykings hierbo na
2 2 2
x + y = r .
Dit is belangrik om enige sirkel te kan skets indien sy vergelyking bekend is. Net so, is dit
net so belangrik om enige sirkel te beskryf in terme van sy vergelyking.
Om 'n bietjie agtergrond te gee oor hierdie twee prosesse, kan u deur die volgende
bespreking werk:

Probleem: Skets die grafiek van die volgende vergelyking:
Opmerkings:
160
2 2
x y x y
+ −6 −8 − 24= 0
Omdat dit gewoon nie moontlik is om hierdie vergelyking maklik in die standaardvorm
y= f( x)
te skryf nie, kan ons nie ‘n tabel van waardes gebruik nie. (Probeer gerus om
y die onderwerp van die vergelyking te maak – u sal dit nie weer doen nie!)
Ook kan mens nie gewoon die afsnitte op die asse bereken deur eers x nul te maak en vir y
op te los en dan vir y nul te maak en vir x op te los nie. (Kyk gerus wat gebeur as ‘n mens
dit probeer doen.)
Die enigste manier om hierdie vergelyking se kromme te skets, is om dit te herken as die
vergelyking van 'n sirkel in die algemene vorm
2 2
x y px qy c
+ + + + = 0 .
Dan sal ‘n mens dit moet manipuleer totdat ons die middelpunt en radius uit die vergelyking
kan verkry.
Laat ons nou ondersoek instel na hoe dit gedoen kan word (Vir interessantheid):
Let eers op hoe die vergelyking
2 2
x y px qy c
+ + + + = 0 ontstaan het:
Gewoonweg as ons ‘n sirkel se vergelyking in die algemene vorm het, lyk dit so:
2 2 2
x + y = r
(1)
Grafies voorgestel:
Maar dit is ‘n sirkel waarvan die middelpunt op die oorsprong (0;0) lê. Onthou nou dat ons
enige afstand tussen twee punte kan beskou as ‘n verskil tussen koördinate.

As daar dus ‘n punt P( xy) ; iewers op ons sirkel lê, sal die horisontale afstand tussen hierdie
punt en die middelpunt ( x − 0 ) eenhede wees en die vertikale afstand tussen hierdie punt en
die middelpunt sal ( y − 0 ) eenhede wees.
Dus sou ons die sirkel se vergelyking kon skryf as
( x 0) ( y 0) r
2 2 2
− + − = (2)
Gestel egter die sirkel se middelpunt skuif nou a eenhede na regs en b eenhede op, sodat
die middelpunt (noem dit punt C) se koördinate nou C( ab ; ) is:
Nou is die horisontale afstand tussen C en P gelyk aan ( x − a)
eenhede en die vertikale
afstand tussen C en P is gelyk aan ( y− b)
eenhede.
Gaan ons nou terug na die vergelyking (2) hierbo en herskryf dit vir ons nuwe middelpunt
C( ab ; ) , kry ons:
( x a) ( y b) r
2 2 2
− + − = (3)
Neem nou hierdie vergelyking en verwyder die hakies; dit lewer
2 2 2 2 2
x − 2ax + a + y − 2by
+ b = r
(4)
Maar dit is ‘n redelik deurmekaar vergelyking en dit val sleg op die oog – so,
gerieflikheidshalwe kies ons om (soos by alle kwadratiese vergelykings die gebruik is) dit in
orde van dalende magte te skryf en om die regterkant nul te maak:
161

2 2 2 2 2
x + y −2ax − 2by + a + b − r = 0
(5)
Onthou egter dat a ,b en r almal konstantes is en dus opgetel kan word; sodoende kry ons
‘n getal c wat ons in hulle plek kan vervang as ons c so kies dat
Dan word ons vergelyking (5) nou die volgende:
2 2
x y ax by c
+ −2 − 2 + = 0
(6)
Dit lyk al heelwat beter as vergelyking (4) hierbo.
162
2 2 2
c = a + b − r .
Verder, aangesien a en ook b konstantes is, kan ons getalle p en q invoer sodat p = − 2a
en q =− 2b
want dan vereenvoudig ons vergelyking (6) verder na
2 2
x y px qy c
+ + + + = 0
(7)
en dit is presies die algemene vorm van ‘n sirkel.
Bogenoemde vergelyking lyk presies soos die vorm van die vergelyking wat ons wil skets.
Wat ons nou net gedoen het, was eintlik om al die belangrike inligting omtrent die
sirkel (soos hoe lank sy radius is en waar sy middelpunt geleë is) in 'n enkele
kwadratiese vergelyking gekodeer het. (sien vergelyking 7 hierbo).
Indien ons egter 'n sirkel wil skets wanneer 'n vergelyking soos
gegee is, moet ons dus die proses in punt 4 hierbo terugwerk om by
2 2
x y px qy c
+ + + + = 0
( x − a) + ( y− b) = r
2 2 2
(vergelyking (3) in die paragraaf hierbo) uit te kom – want dan het ons die koördinate van die
middelpunt, wat natuurlik tipies ( ab ; ) sal wees en die radius r .
Dit is al die inligting wat nodig is om die sirkel te skets.
Ongelukkig verg dit wat ons in die vorige paragraaf sê, redelik drastiese algebra en meer
spesifiek, die toepassing van ‘n proses genaamd kwadraatsvoltooiing.
Ons gaan nou poog om hierdie proses so deursigtig as moontlik toe te pas op ons probleem.

Ons gaan dus die vergelyking
( x a) ( y b) r
2 2
x y x y
+ −6−8− 24 = 0 terugneem na die vorm
2 2 2
− + − = , waaruit ons volkome sonder insident die middelpunt en radius
kan verkry:
Oplossing:
2 2
x + y −6x−8y− 24= 0
2 2
∴x − 6x+ y − 8y = 24
−6 −8 −6 −8
∴x − 6 x+ ( ) + y − 8 y+
( ) = 24 + ( ) + ( )
2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
(ons het beide kante van die = -teken die kwadraat van die helfte van die getal voor die x en
voor die y bygetel)
2 2
∴ x − x+ + y − y+
= + +
6 9 8 16 24 9 16
Faktoriseer nou gewoon beide drieterme en vereenvoudig regterkant:
Dit lewer die Cartesiese vergelyking van die sirkel
2 2
middelpuntvorm: ( x ) ( y )
− 3 + − 4 = 49
Vergelyk nou hierdie vergelyking met vergelyking (3) in punt 6 hierbo.
Kan u wel sien dat die middelpunt (3;4) en die radius 7 eenhede moet wees?
163
2 2
x + y −6x−8y− 24= 0 in
Indien wel, kan die sirkel nou volkome sonder insident m.b.v. ‘n passer en liniaal geskets
word.
U moet bloot die vergelyking van 'n gegewe sirkel in middelpuntvorm kan saamstel en
verwerk na die algemene vorm (geen hakies). Tweedens moet u in staat wees om 'n
sirkel te skets indien sy vergelyking in die middelpuntvorm gegee is; daar sal nie in
toetse of eksamens van u verwag word om deur middel van kwadraatsvoltooiing ‘n
vergelyking vanaf algemene vorm na middelpuntsvorm te herlei nie.

2. Ellipse
164
Let op dat die snyvlak ‘n hoek α van minder
as 90º met die simmetrie-as van die kegel
maak. Hierdie hoek is egter groter as die
tophoek θ van die kegel.
'n Ellips kan gedefinieer word as die lokus van 'n punt wat sodanig beweeg dat die
som van die afstande tussen die punt en twee ander vaste punte (die brandpunte
genoem), 'n konstante waarde aanneem (sien fig. 21.55 op p. 579 van die boek van
Washington).
Die planete en hul mane, asook mensgemaakte satelliete en ruimtetuie, beweeg in elliptiese
bane. Dit is onder meer as gevolg van die elliptiese baan van die aarde dat ons seisoene
beleef.
Vir die doel van WSKT 221 beskou ons slegs ellipse waarvan die middelpunt op die
oorsprong van die Cartesiese Assestelsel geleë is. Sulke ellipse word beskryf deur die
vergelyking
2 2
x y
+ = 1.
2 2
a b
So 'n ellips sny die X-as by –a en +a en die Y-as by –b en +b.
'n Ellips kan met behulp van bogenoemde inligting maklik geskets word indien sy vergelyking
in die algemene vorm
2 2
x y
+ = 1 gegee is.
2 2
a b

Indien 'n meer akkurate skets verlang word, kan die ellips met behulp van 'n tabel geplot
word.
In daardie geval moet die vergelyking
2
1 2
x
y =± b⋅−
omgeskakel word.
a
Dit verloop soos volg:
2 2
x y
+ = 1 eers na die algemene vorm, nl.
2 2
a b
2 2
x y
+ = 1
2 2
a b
2 2 2 2 2 2 2 2
x ab y ab ab
∴ × + × = 1× 2 2
a 1 b 1 1
Vermenigvuldig regdeur met KGV van noemers
2 2 2 2
∴ bx + ay
2 2
= ab
2 2
∴ a y
2 2 2 2
= a b −b
x
2 2 2 2
2 ab − bx
∴ y = 2
a
∴ y =±
2 2 2 2
ab − bx
2
a
Natuurlik kan ons hiermee volstaan, aangesien ons y die onderwerp gemaak het van die
vergelyking
2 2
x y
+ = 1 en dit is wat ons wou doen. Daarom is ons antwoord voldoende.
2 2
a b
Die laaste resultaat hierbo kan natuurlik tog verder vereenvoudig word tot die vorm
2
1 2
x
y =± b⋅−
. Dit is nie vir assesseringdoeleindes nie, maar vir intereressantheid.
a
Dit verloop soos volg:
y =±
2 2 2 2
ab − bx
2
a
=±
ab
2
a
bx
− 2
a
=±
2 2
2 bx
b −
2
a
2 2 2 2
165

2
2 ⎛ x ⎞
⎜12⎟ ∴ y = ± b −
⎝ a ⎠
2
2 ⎛ x ⎞
=± b ⋅ ⎜1− 2 ⎟
⎝ a ⎠
2 ⎛ x ⎞
⎜12⎟ ∴ y = ± b⋅
−
⎝ a ⎠
Ons kan nou bewys dat, wanneer ons die grafiek met ‘n tabel teken, ons slegs x -waardes
tussen − a en a in ons tabel hoef in te sluit. Hierdie bewys is nie vir assessering nie,
maar vir interessantheid:
Let daarop dat die getalle binne vierkantswortels nie negatief mag wees nie. Dus moet dit
2
x
geld dat 1− ≥ 0.
Hieruit volg dan:
2
a
2
x
1− ≥ 0 2
a
2 2
∴ a −x ≥ 0
∴ ( a− x)( a+ x)
≥ 0
∴ a−x ≥ 0 en a+ x ≥ 0 of a−x ≤ 0 en a+ x ≤ 0
∴ x ≤ a en x ≥ −a of x ≥ a en x ≤ −a
∴ −a ≤ x ≤ a
of geen oplossing
Dus kan u enige x-waardes tussen –a en +a kies en bybehorende y-waardes bereken. Hoe
meer punte u plot, hoe akkurater die skets.
Indien die vergelyking van die ellips in die standaardvorm
166
2 2 2 2
ab − bx
y =± of
2
a
2
1 2
x
y =± b⋅−
bekend is, kan die ellips ook met behulp van 'n rekenaarprogram geteken
a
word.
U moet die vergelyking van 'n gegewe ellips uit die skets kan aflei en tweedens moet u
in staat wees om 'n ellips te skets indien sy vergelyking gegee is.

3. Sentrale Hiperbole (moenie verwar met die Reghoekige Hiperbool nie)
167
Let op dat die snyvlak ‘n hoek α met die
simmetrie-as maak wat kleiner is as die
tophoek θ van die kegel. Die hoek α kan
selfs nul wees (dan is die snyvlak parallel
met die simmetrie-as).
'n Sentrale Hiperbool kan gedefinieer word as die lokus van 'n punt wat sodanig
beweeg dat die verskil van die afstande tussen die punt en twee ander vaste punte
(die brandpunte genoem),'n konstante waarde aanneem (sien fig. 21.67 op p. 584 van
die boek van Washington).
Wanneer ‘n positiefgelaaide deeltjie (soos byvoorbeeld ‘n proton) na ‘n swaar atoomkern
(baie groot massa en baie sterk positiewe lading in vergelyking met ‘n proton s’n) geskiet
word, veroorsaak die elektrostatiese afstotingskrag dat die proton in die vorm van ‘n sentrale
hiperbool gedeflekteer (weggestoot) word.
Vir die doel van WSKT 221 beskou ons slegs sentrale hiperbole waarvan die middelpunt op
die oorsprong van die Cartesiese Assestelsel geleë is en waarvan die wortels op die X-as
voorkom. Sulke hiperbole word beskryf deur die vergelyking
So 'n sentrale hiperbool sny die X-as by –a en +a.
2 2
x y
− = 1.
2 2
a b

Daar is geen snypunte met die Y-as nie. Die sentrale hiperbool het egter asimptote met die
b
b
vergelykings y =− x en y =+ x.
a
a
'n Sentrale Hiperbool kan met behulp van bogenoemde inligting maklik geskets word indien
sy vergelyking in die algemene vorm
2 2
x y
− = 1 gegee is.
2 2
a b
Indien 'n meer akkurate skets verlang word, kan die sentrale hiperbool met behulp van 'n
tabel geplot word. In hierdie geval moet die vergelyking
vorm, nl.
168
2 2
x y
− = 1 eers na die algemene
2 2
a b
2
2 1
x
y =± b⋅
− omgeskakel word (maak seker dat u dit kan doen); daarna kan u enige
a
x-waardes kleiner as of gelyk aan –a en groter as of gelyk aan +a kies en bybehorende y-
waardes bereken. Hoe meer punte u plot, hoe akkurater die skets.
2
Indien die vergelyking van die sentrale hiperbool in die standaardvorm
2 1
x
y =± b⋅
−
a
bekend is, kan die hiperbool ook met behulp van 'n rekenaarprogram geteken word.
U moet die vergelyking van 'n gegewe sentrale hiperbool uit die skets kan aflei en
tweedens moet u in staat wees om 'n sentrale hiperbool te skets indien sy vergelyking
gegee is.

4. Parabole
169
Let op dat die snyvlak ‘n hoek α met die
simmetrie-as maak wat gelyk is aan die
tophoek θ van die kegel. Dit beteken
dieselfde as om te sê dat die snyvlak parallel
is aan die sykant van die kegel.
Soos u kan sien, kan 'n parabool ook as 'n tipe kegelsnede beskou word.
‘n Parabool is die lokus van ‘n punt P wat so beweeg dat dit ewe ver vanaf ‘n vaste
punt (die brandpunt genoem) en ‘n vaste lyn (die riglyn genoem) bly (sien fig. 21.40 op
p.575 van die boek van Washington).
Ons werk egter meestal nie op hierdie manier met parabole in die Tegniese Vakrigtigting
nie; ons hanteer hulle eerder as die krommes van kwadratiese funksies van die vorm
2
y = ax + bx + c . Dit is reeds bespreek en ons volstaan daarby.
U mag dit egter interessant vind om op p. 574 tot 579 in die boek van Washington te gaan
kyk hoe ons ’n parabool se vergelyking aflei deur die kromme te beskou as die lokus van ’n
punt wat op ’n sekere manier (onder sekere voorwaardes) beweeg. Hierdie afleiding sal
egter nie geassesseer word nie en is vir blote interessantheid.

Opgawe 5
1 Skets die volgende kegelsnit in u
antwoordboek:
2 2
x y
+ = 1
25 49
Dui alle snypunte met die asse aan
en skryf die naam van die kegelsnit
neer.
2 Skryf neer die vergelyking van die
sirkelvormige dam naby die hoek van
Juliusstraat en Smithstraat.
Vereenvoudig die vergelyking totdat
dit geen hakies meer bevat nie:
Julius Str.
O
N
170
A
Sketch the following cone section in
your answering book:
2 2
x y
+ = 1
25 49
Indicate all intercepts with the axes
and write down the name of this cone
section:
Write down the equation of the circular
pond near the corner of Julius Street
and Smith Street. Simplify the
equation so that it contains no
brackets:
C (7; 6)
B (9; 9)
Smith Str.
E

3. Die vorm van ‘n betonsloot in ‘n
besproeiingskema word gegee deur
die vergelyking
2 2
x y
+ = 1 met y ≤ 0 .
144 , 064 ,
Die oppervlak van die grond
(grondvlak) word as die X-as gekies;
alle afmetings is in meter.
Skets die sloot en toon sy diepte en
breedte duidelik aan.
4. Gee die naam en vergelyking van die
volgende kegelsnede:
Wenk: Wat is die vergelyking van die
asimptote? Onthou die asimptote het
b
die vorm y =± x en die vergelyking
a
vir hierdie kegelsnit is
2 2
x y
− = 1.
2 2
a b
171
The shape of a concrete ditch in an
irrigation scheme is described by the
equation
2 2
x y
+ = 1 with y ≤ 0 .
144 , 064 ,
The surface of the ground (ground
level) is taken as the X-axis; all
dimensions are given in meters.
Sketch the ditch and clearly indicate its
depth and width.
Supply the name and equation of the
following conic section:
Hint: What is the equation of the
asymptotes? Recall that the
b
asymptotes have the form y =± x
a
and that the equation for this conic
section is
2 2
x y
− = 1.
2 2
a b

5. Die deursnit van ‘n besproeiingsvoor
word getoon. Die vorm van die
deursnit van die voor word gegee
deur die vergelyking
2
x
y = 6⋅ 1+ −8 met −17 , ≤ x ≤ 17 ,
3
5.1. Bereken die breedte van die
watervlak.
172
The cross-section of an irrigation ditch
is shown. The shape of the crosssection
of the ditch is given by the
equation
2
x
y = 6⋅ 1+ −8 with −17 , ≤ x ≤ 17 , .
3
Determine the width of the water level.
5.2 Bereken die diepte van die voor. Calculate the depth of the ditch.
6. Skryf die definisie van ‘n parabool
neer in terme van die lokus van ‘n
punt wat op ‘n sekere manier
beweeg.
7. Skryf in standaardvorm, met ander
woorde maak vir y die onderwerp
7.1
van die vergelyking en stel ‘n tabel
van minstens 8 waardes op om die
deel van die grafiek bo die X-as te
teken deur punte te stip:
2 2
x y
+ = 1
16 25
Write down the definition of a parabola
in terms of a locus which moves
according to a certain law.
Write in standard form, in other words,
make y the subject of the equation
and set up a table of at least 8 values
in order to sketch the part of the graph
above the X-axis by plotting points:
2 2
x y
+ =
1
16 25

7.2
2 2
x y
− = 1
9 36
7.3 Ons weet dat die basiese ellips en
sentrale hiperbool simmetries om die
X-as is. Gebruik hierdie feit en teken
die volledige grafieke (bo en onder
die X-as) van die kegelsnitte in 7.1 en
7.2.
173
2 2
x y
− = 1
9 36
We know that the basic ellipse and
central hyperbola are symmetrical with
respect to the X-axis. Use this fact and
draw complete graphs (above as well
as below the X-axis) of the conic
sections in 7.1 and 7.2

6 Trigonometrie
Geskatte tyd benodig om die leeruitkomste te bemeester
12 ure
Noodsaaklike voorkennis
1. Kennis en vaardighede in die toepassing van Pythagoras se stelling soos op skool en
in vorige kursusse behandel;
2. Trigonometriese kennis soos in vorige kursusse (onder meer WSKT 111) behandel
3. Leereenheid 1 van WSKT 221
Leeruitkomste vir hierdie leereenheid
Na afhandeling van hierdie leereenheid moet die student in staat wees om die
volgende te doen:
1. Radiaalmaat toe te pas om die lengte van ‘n sirkelboog en die oppervlakte van ‘n
sirkelsektor te bereken;
2. Die hoeksnelheid sowel as lineêre snelheid van ‘n voorwerp wat in ‘n sirkelbaan
beweeg, te bereken;
3. Trigonometrie toe te pas by probleme waar tweedimensionele vektore betrokke is;
4. Die sinusreël toe te pas by probleme waar nie-reghoekige driehoeke betrokke is;
5. Die cosinusreël toe te pas by probleme waar nie-reghoekige driehoeke betrokke is;
6. Die oppervlaktereël toe te pas by probleme waar nie-reghoekige driehoeke betrokke
is;
7. Eenvoudige trigonometriese vergelykings op te los
174

6.1 Toepassing van radiaalmaat
Leeruitkomste vir hierdie leergedeelte
Na afhandeling van hierdie leergedeelte moet die student in staat wees om die
volgende te doen:
1. Radiaalmaat toe te pas om die lengte van ‘n sirkelboog en die oppervlakte van ‘n
sirkelsektor te bereken;
2. Die hoeksnelheid sowel as lineêre snelheid van ‘n voorwerp wat in ‘n sirkelbaan
beweeg, te bereken
Bestudeer die volgende materiaal in die boek van Washington
Paragraaf Bladsynommers
8.4 249 – 251
Belangrike voorbeelde in die boek van Washington
Voorbeeld nr Bladsynommers
1 249
3 250
4 251
5 251
Let daarop dat die toepaslike formules in die inligtingsblad vir
WSKT 221 voorkom.
175

Oefening 6.1 vir selfassessering
Oefening in die handboek Bladsynommer Probleme
8.4 252 5, 7, 9, 11, 13, 15
176
17, 21, 23, 27, 37, 39, 45
Die finale antwoorde van die gegewe probleme verskyn agterin die handboek.

6.2 Toepassing van trigonometrie by vektore
Leeruitkomste vir hierdie leergedeelte
Na afhandeling van hierdie leergedeelte moet die student in staat wees om die
volgende te doen:
1. Trigonometrie toe te pas by probleme waar tweedimensionele vektore betrokke is
Bestudeer die volgende materiaal in die boek van Washington
Paragraaf Bladsynommers
9.2 263 – 265
9.3 267 – 270
9.4 272 – 273
Belangrike voorbeelde in die boek van Washington
Voorbeeld nr Bladsynommers
1 264
2 264
3 265
3 (BAIE BELANGRIKE VOORBEELD) 269
4 (BAIE BELANGRIKE VOORBEELD) 273
Die teorie van vektore en heelwat toepassings van trigonometrie is
volledig in WSKT 111 bespreek.
177

Oefening 6.2 vir selfassessering
Oefening in die handboek Bladsynommer Probleme
9.2 265 3, 5, 7
178
17, 19, 23
9.3 271 7, 9, 25
9.4 275 20
Die finale antwoorde van die gegewe probleme verskyn agterin die handboek.

6.3 Die sinusreël, die cosinusreël en oppervlaktereël
Leeruitkomste vir hierdie leergedeelte
Na afhandeling van hierdie leergedeelte moet die student in staat wees om die
volgende te doen:
1. Die sinusreël toe te pas by probleme waar nie-reghoekige driehoeke betrokke is;
2. Die cosinusreël toe te pas by probleme waar nie-reghoekige driehoeke betrokke is;
3. Die oppervlaktereël toe te pas by probleme waar nie-reghoekige driehoeke betrokke
is
4. Eenvoudige trigonometriese vergelykings op te los
6.3.1 Die sinusreël
Bestudeer die volgende materiaal in die boek van Washington
Paragraaf Bladsynommers
9.5 277 – 282
Belangrike voorbeelde in die boek van Washington
Voorbeeld nr Bladsynommers
1 278
2 279
179

Addisionele voorbeeld
Probleem 32 op p. 283 van die groen boek
Punt P op die meganisme word horisontaal heen en weer gedryf.
Indien die minimum waarde van die hoek θ 32° is, wat is die afstand tussen die uiterste
posisies van P? Wat is die maksimum waarde van die hoek θ ?
Oplossing:
Geval 1 ( θ = 32°,
wat is die afstand x ?):
Let op dat P in enige een van die twee posisies P 1 of P 2 kan wees met AB en BP steeds
onderskeidelik 36 cm en 24,5 cm lank. Ons berekening vir die lengte van AP behoort dus
twee antwoorde te lewer. Die rede daarvoor is dat die hoek BPA een van twee moontlike
waardes kan besit. Laat ons hierdie waardes bereken:
sinBPA sinθ
=
AB BP
sinBPA sin32°
∴ =
36 24,5 of ook in die ander notasie:
36 ⋅ sin32°
∴ sinBPA =
24,5
∴ sinBPA = 0, 778 657
180
sinP sinθ
=
p a
sinP sin32°
∴ =
36 24,5
36 ⋅ sin32°
∴ sinP =
24,5
∴ sinP =
0778657 ,

Laat ons die moontlike oplossings vir hierdie vergelyking ondersoek:
Daar is dus twee moontlike oplossings vir die waarde van
BPA :
BPA = 51, 137 764° of BPA = 180°− 51, 137 764°
∴ BPA = 51, 137 764° of BPA = 128, 862 236°
Die twee moontlike waardes vir AP, dit is vanaf A tot by P 1 of P 2 , kan nou bereken word, uit
die feit dat daar ook twee moontlike waardes vir ABP moet wees:
ABP = 180°−32−BPA
∴ ABP = 180°−32− 51,137 764° of ABP = 180°−32 − 128,862 236°
∴ ABP = 96, 862 236° of ABP = 19, 137 764°
Dus:
AP BP
=
sinABP sinθ
AP 24,5
∴ =
sin96,862 236° sin32°
24, 5 ⋅ sin96,862 236°
∴ AP =
sin32°
∴ AP = 45, 902 256 cm
of
AP BP
=
sinABP sinθ
AP 24,5
∴ =
sin19,137 764° sin32°
24, 5 ⋅ sin19,137 764°
∴ AP =
sin32°
∴ AP =
15, 157 207 cm
181

Die afstand x wat ons wil bepaal, is die verskil tussen hierdie waardes, so:
x = 45, 902 256 −15,
157 207
∴ x = 30, 745 cm
Nou kan ons die maksimum waarde wat θ kan hê, uitreken (Geval 2, dis die tweede deel
van die vraag):
Dit gebeur klaarblyklik wanneer BPA = 90°
; dan is :
sinθ
=
a
p
24, 5
∴ sinθ
=
36
−1
∴ θ = sin 0, 680 556
= 42, 887°
Let uit die praktiese opstelling van die meganisme dat daar geen ander waarde van θ
moontlik is nie.
Dit was ‘n interessante voorbeeld wat die krag van die sinusreël goed geïllustreer het binne
‘n tegniese konteks.
Let daarop dat die toepaslike formule vir die sinusreël in die
inligtingsblad vir WSKT 221 voorkom.
182

Oefening 6.3.1 vir selfassessering
Oefening in die handboek Bladsynommer Probleme
9.5 282 Maak ‘n rowwe skets by elkeen van die
volgende en bepaal al die onbekende
sye en hoeke:
183
3, 5, 7, 9
Doen ook:
29, 31
Die finale antwoorde van die gegewe probleme verskyn agterin die handboek.

6.3.2 Die cosinusreël
Bestudeer die volgende materiaal in die boek van Washington
Paragraaf Bladsynommers
9.6 284 – 287
Belangrike voorbeelde in die boek van Washington
Voorbeeld nr Bladsynommers
1 285
2 285
3 286
5 286
Addisionele voorbeelde
Voorbeeld 1
‘n Helikopter meet met ‘n laser-rigtingvinder die afstande na die hoofmaste van die Humber
Brug in Engeland. Die hoek tussen die twee laserstrale word gemeet as presies 15º:
Bereken BC, dit is die lengte van die hoofspan van die Humber Brug.
184

Oplossing:
Met behulp van die standaardnotasie volg in ΔABC dat
2
a
2 2
= b + c −2bccos
A
2 2 2
( )( )
∴ a = 5 427, 091 + 5 365, 057 − 2 5 427, 091 5 365, 057 cos15°
= 58 237 153, 336 −56
249 053, 364
∴ a = 1 988 099, 972
= 1410
Dus, die lengte van BC, die hoofspan, is 1 410 m.
Voorbeeld 2
Bepaal die hoek tussen die bene van die trapleër:
Oplossing:
Benoem die driehoek, indien moontlik volgens standaardnotasie:
185

Aangesien die onbekende hoek tussen twee bekende sye geleë is, het ons met ‘n ingeslote
hoek te doen – dit is een kenmerkende aspek van die meeste probleme wat met die
cosinusreël (en die oppervlaktereël – sien later) te doen het.
So, ons kan die cosinusreël vir die situasie skryf en vir die onbekende hoek oplos.
Aangesien ons vir A wil bereken, moet ons die cosinusreël so formuleer dat a aanvanklik
links van die vergelyking staan; daarna kan ons vir cos A die onderwerp maak en A
uitreken:
2 2 2
a = b + c −2bccos
A
2 2 2
∴a −b − c = −2bccos
A
2 2 2
∴ 2bc
cos A = c + b −a
2 2 2
c + b −a
∴ cos A =
2bc
Vervolgens hoef ons slegs vir die waardes van a , b en c in te vervang:
195 , + 18 , −1
cos A =
218 ( , )( 195 , )
∴ cos A = 0, 860 755
2 2 2
(Natuurlik kon ons ook soos volg te werk gegaan het om die vergelyking cos A = 0, 860 755 te
verkry:
186

2 2 2
a = b + c −2bccos
A
2 2 2
∴1−1, 8 − 1, 95 = −2(
1, 8)( 1, 95)
cosA
∴− 6, 042 500 = −7,
02cosA
∴ 7, 02cos A = 6, 042 500
6, 042 500
∴ cos A =
702 ,
∴ cos A = 0860755 ,
Dit is egter u eie besluit hoe u te werk gaan – om simbole te manipuleer en later die waardes
in te vervang, of om van die begin af die waardes in te vervang, soos ons nou net gedoen
het)
Vervolgens moet ons die oplossing van die vergelyking cos A = 0, 860 755 ondersoek vir
geldige oplossings:
cos A = 0, 860 755
Daar is dus twee moontlike oplossings vir die waarde van A :
A = 30, 598 541° of A = 360°− 30, 598 541°
∴ A = 30, 599° of A = 329, 401°
187

Aangesien die som van die binnehoeke van geen driehoek 180° mag oorskry nie, is die
tweede oplossing (uit die vierde kwadrant) ongeldig; die grootte van die hoek tussen die
bene van die leër is dus 30, 599°
.
Let daarop dat die toepaslike formule vir die cosinusreël in die
inligtingsblad vir WSKT 221 voorkom.
Oefening 6.3.2 vir selfassessering
Oefening in die handboek Bladsynommer Probleme
9.6 282 Maak ‘n rowwe skets by elkeen van die
volgende en bepaal al die onbekende
sye en hoeke:
188
3, 5, 7, 9
Doen ook:
27, 31
Die finale antwoorde van die gegewe probleme verskyn agterin die handboek.

6.3.3 Die oppervlaktereël
Dikwels gebeur dit dat ons die oppervlakte van ‘n driehoek wil bereken. Die klassieke
formule
1
A driehoek = × basis × loodregte hoogte
2
oftewel
1
Adriehoek = b⋅⊥ h
2
behoort vir u bekend te wees. Die probleem is egter dat daar gevalle is waar die loodregte
hoogte van ‘n gegewe driehoek nie bekend is nie; wat dan?
Voorbeeld:
Bereken die oppervlakte van die driehoek ABC :
Let daarop dat alle inligting omtrent die driehoek ABC bekend is (die driehoek is met ander
1
woorde volkome opgelos) – en tog: indien u die formule Adriehoek = b⋅⊥ h probeer toepas,
2
dan werk dit gewoon nie.
Die probleem is natuurlik dat ons nêrens inligting het omtrent enige van die hoogtelyne van
die driehoek nie. Die lengte van enige van die hoogtelyne sou vir ons ‘n loodregte hoogte
gee; daardie waarde sou ons dan saam met die basis wat deur die hoogtelyn gesny word, in
1
die formule Adriehoek = b⋅⊥ h kon vervang.
2
189

Laat ons nou die hoogtelyne van die driehoek inteken en kyk of ons nie miskien genoeg
inligting het om die lengte van een van die hoogtelyne te bereken nie:
Beskou nou enige hoogtelyn, sê nou maar AE. Is daar miskien ‘n manier waarop ons die
lengte van AE kan bereken?
Wel, in ΔACE is
AE
sin ACE AE
= , so = sin 56, 251°
.
AC 7,191
Daaruit volg dat AE = 7, 191⋅ sin 56, 251°
Die lengte van AE kom dan uit as 5979168 , cm.
Ons kan AE net sowel met behulp van die ander driehoek (driehoek ΔABE ) uitreken:
In ΔABE is
AE
sin ABE AE
= , so = sin 44, 874°
.
AB 8,475
190

Daaruit volg dat AE = 8, 475 ⋅ sin 44, 874°
Die lengte van AE kom dan uit as 5, 979 537 cm.
Let wel: Die klein verskil in antwoorde het uit te waai met hoe akkuraat die hoeke en
sylengtes in die gegewe driehoek gemeet is. Dit is nie aan rekenfoute te wyte dat die twee
waardes vir AE se lengte so effe verskil nie. U hoef uself dus nie daaroor te ontstel nie.
Hoe dit ook al sy: ons het daarin geslaag om die lengte van hoogtelyn AE te bereken en dus
het ons nou die hoogte van ΔABC . Ons is nou gereed om die oppervlakte van ΔABC op
die gewone manier te bereken:
1
Adriehoek = b⋅⊥ h
2
⎧Ek
het met AE=5,979 cm gewerk aangesien albei
1 ⎪
= ( 10) ⋅( 5, 979)
⎨antwoorde wat ons vir AE gekry het, tot die derde
2
⎪⎩ desimaal ooreenstem
2
= 29, 895 cm
Gevolgtrekking:
• Wanneer ons die oppervlakte van enige driehoek wil bereken, is dit nie streng
gesproke nodig dat die loodregte hoogte van die driehoek bekend moet wees nie.
• Ons kan die loodregte hoogte uit trigonometrie bereken (dit het ons hierbo gedoen).
• Dit is egter interessant om die patroon hierbo raak te sien:
AE = 7, 191⋅ sin 56, 251°
en AE = 8, 475 ⋅ sin 44, 874°
Let op dat die sylengte 7,191 cm en die sylengte 8,475 cm die sye van die driehoek
ΔABC is, naamlik sy AC en sy AB.
Let verder daarop dat die hoek 56,251° en die hoek 44,874° die basishoeke is op die
1
basis BC wat ons in die oppervlakformule Adriehoek = b⋅⊥ h gebruik het.
2
Ons noem hierdie tipe hoek, wat tussen twee bekende sye geleë is, ‘n die
ingeslote hoek van die twee sye. So is die hoek 56,251° die ingeslote hoek van
sye AC en CB.
191

• Die loodregte hoogte wat ons uiteindelik in die formule
was dus die getal
ACsinACE of die getal
192
ABsinABE
• In simbole het ons die oppervlakte van ΔABC dus soos volg bereken:
1
Adriehoek = b⋅⊥ h
2
1
= ( 10) ⋅(
5, 979)
2
1
= ⋅BC ⋅ACsin
ACE
2
of = ( ) ⋅(
, )
1
Adriehoek = b⋅⊥ h gebruik het,
2
1
Adriehoek = b⋅⊥ h
2
1
10 5 979
2
1
= ⋅BC ⋅AB
sin ABE
2
Laat ons nou, ter vereenvoudiging, die driehoek ABC se hoeke en sye in
dieselfde notasie skryf as wat ons by die sinusreël en by die cosinusreël
gebruik het:
Dan kan ons die formules hierbo soos volg skryf:
1
A driehoek = ab sinC of
2
1
A driehoek = ac sinB .
2
Bogenoemde staan as die sogenaamde oppervlaktereël bekend.
1
A driehoek = gegewe sy gegewe sy ⋅ sin ingeslote hoek tussen sy en sy
2
( )( ) ( )
1 2 1 2
Let wel: Bogenoemde argument waarmee ons die oppervlaktereël ontdek het, kan wel nie
as ‘n formele bewys of formele afleiding beskou word nie. Dit werp egter baie meer lig op
hoe en waarom die oppervlaktereël werk, as wat ‘n formele bewys sou doen. Die formele
bewys van die oppervlaktereël kan in elk geval in skoolhandboeke of op die internet gevind
word – dit is nie vir ons nodig om die wiel weer van voor af uit te vind nie.

Belangrike voorbeelde
Voorbeeld 1
Bereken die oppervlakte van die volgende masjienonderdeel:
Oplossing:
Benoem eers die driehoek volgens die notasie waaroor ons afgespreek het; noem sommer
die hoekpunte P, Q en R (of wat ook al) en benoem die ooreenkomstige sye:
Let nou op dat die enigste hoek wat bekend is, tussen twee gegewe sye lê. Ons sien dus
dat hoek Q die ingeslote hoek is van sy p en sy r.
Die oppervlaktereël kan dus vir hierdie situasie soos volg geskryf word:
1
AΔPQR =
pr sinQ
2
193

Die berekening vir die oppervlakte verloop dus soos volg:
1
AΔPQR = pr sinQ
2
1
= ( 175)( 120) ⋅ sin 17, 5°
2
2
= 3157, 411mm
Voorbeeld 2
2
Die oppervlakte van ‘n driehoekige stuk grond (noem dit ΔLMN) is 3000m
. Indien die sye
MN en ML onderskeidelik 70 m en 90 m is, bereken die grootte van die hoek α wat deur
MN en ML ingesluit word. Bereken ook die lengte van die grensdraad regoor hoek α .
Oplossing:
Skets eers die driehoek volgens die notasie waaroor ons afgespreek het; soos voorheen
hoef dit nie ‘n skaaltekening te wees nie:
2
Aangesien die twee gegewe sye die hoek 3000m
insluit en die oppervlakte van die
driehoek gegee is, het ons hier met die oppervlaktereël te doen:
194

1
AΔLMN = ⋅l⋅n⋅sinα 2
1
∴ 3 000 = ( 70)( 90)
sinα
2
∴ 3000= 3150sinα
3000
∴ sinα =
Ek het net die kante omgeruil
3150
∴ sin α = 0, 952 381
Laat ons die oplossing van hierdie vergelyking ondersoek:
Daar is dus twee moontlike oplossings vir die waarde van α :
α = 72, 247 210° of α = 180°− 72, 247 210°
∴ α = 72, 247° of α = 107, 753°
Toets gerus: Indien enigeen van hierdie waardes in die formule
195
1
AΔLMN = l⋅ nsinα met
2
l = 70 m en n = 90 m vervang word, lewer dit in beide geval ‘n oppervlakte van
2
3000m
.
2
Vervolgens kan ons die lengte van die grensdraad teenoor hoek 3000m
bereken; daarvoor
benodig ons die cosinusreël, aangesien ons ‘n twee sylengtes en hul ingeslote hoek ken
(sien die eerste skets hierbo):

2
m
2 2
= l + n −2⋅l⋅n⋅cosα 2
∴ m
2 2
= 70 + 90 − 2( 70)( 90) cos 72, 247 210° of
2 2 2
m = 70 + 90 − 2( 70)( 90) cos 107, 752 790°
2
∴ m = 13 000 − 12 600cos 72, 247 210° of
2
m = 13 000 − 12 600cos 107, 752 790°
2
∴ m = 13 000 − 3 841, 874 509 of
2
m = 13 000 + 3 841, 874 509
∴ m = 9 158, 125 491
of m = 16 841, 874 509
∴ m = 95, 698 m of m = 129, 776 m
Geweldig interressant: Driehoeke met gelyke oppervlaktes het nie noodwendig dieselfde
vorm nie.
Let daarop dat die toepaslike formule vir die oppervlaktereël in die
inligtingsblad vir WSKT 221 voorkom.
Oefening 6.3.3 vir selfassessering
1. Bereken die volume van die volgende regte driehoekige prisma (wenk: volume is die
produk van basisoppervlakte en loodregte hoogte):
Antwoord: Volume =
45 466, 334 mm
3
196

2. Die skets toon ‘n gedeelte van ‘n sypaadjiewat uit ‘n betonlaag van uniforme dikte
bestaan:
Bereken die grootte van θ sodat
1690370
(wenk: θ is ‘n stomphoek, dit wil sê 90°< θ < 180°).
Antwoord: θ = 105°
Opgawe 6
3
, m beton benodig sal word om dit te gooi.
Vraag 1/ Question 1
1.1 ‘n Helikopter meet met ‘n laserrigtingvinder
die afstande na die
hoofmaste van die Humber Brug in
Engeland. Die hoek tussen die twee
laserstrale word gemeet as presies 15º:
197
A helicopter measures the distances to
the main pylons of the Humber Bridge
in England using a laser range finder.
The angle between the laser beams is
measured as exactly 15º:

Bereken die grootte van θ , dit is die
hoek wat die een laserstraal by die
oostelike mas maak.
1.2 ‘n Krag van 450 kN werk teen ‘n hoek
van 34º ten opsigte van die vertikale
as.
Maak ‘n diagram van die krag en
ontbind dit in onderling loodregte
komponente.
1.3 Vir ‘n kar wat teen ‘n snelheid v om ‘n
draai met ‘n radius r beweeg, geld dit
dat die ryvlak AB van die pad teen ‘n
hoek θ gekantel moet wees sodat
2
v
tanθ
= :
gr
1.3.1 Bereken die grootte van θ indien
2
v = 33 m/s , g = 9,8 m/s en
r = 150 m .
198
Calculate the magnitude of θ , that is
the angle formed by one of the laser
beams at the eastern pylon.
A force of 450 kN acts at an angle of
34º with respect to the vertical axis.
Construct a diagram of the force and
resolve it in mutually perpendicular
components.
For a car travelling at a velocity v
around a curve of radius r , it holds that
the driving surface AB should be
inclined at an angle θ so that
2
v
tanθ
= :
gr
Calcultate the value of θ if
2
v = 33 m/s , g = 9,8 m/s and
r = 150 m .

1.3.2 Gestel AC, die buitenste rand van
die ryvlak, is 4,762 m hoog.
Bereken AB, die breedte van die
ryvlak.
Vraag 2/ Question 2
2.1 Die grootte van die emk E in Volt wat
in ‘n generator opgewek word deur ‘n
draadlus wat teen ‘n hoeksnelheid ω
(in radiale per sekonde) in ‘n
magneetveld B roteer, word gegee
deur die formule E = NABω⋅ sinθ
waar
N die aantal windings in die lus, A die
oppervlakte van die lus en θ die hoek
in grade wat die normaalvektor met die
magneetveld maak:
Bereken die grootte van θ in
E = NABω⋅ sinθ
indien N = 3 ,
2
A = 0,02 m , B = 0,5 Tesla ,
ω = 157,08 rad/s en E = 4 V .
Gee twee oplossings.
199
Suppose AC, the outer edge of the
driving surface, is 4,762 m high.
Calculate AB, the width of the
driving surface.
The magnitude of the induced emf
E in Volt which is generated by a
generator when a loop of wire rotates
at an angular velocity ω (in radians
per second) inside a magnetic field
B , is given by the formula
E = NABω⋅ sinθ
where N is the
number of windings in the loop, A is
the area of the loop and θ is the
angle in degrees between the normal
vector and the magnetic field:
Calculate the magnitude of θ in
E = NABω⋅ sinθ
if N = 3 ,
2
A = 0,02 m ,
B = 0,5 Tesla , ω = 157,08 rad/s and
E = 4 V .
Give two solutions.

2.2 Die diagram hieronder toon ‘n sekere
dakraam:
2.2.1 Bereken die lengte van balk BD, korrek
tot twee desimale plekke, deur slegs
gebruik te maak van die inligting in
driehoek ABD.
2.2.2 Gebruik slegs die inligting in driehoek
BCD en voer ‘n berekening uit om u
antwoord op vraag 2.2.1 te kontroleer.
(Benader u antwoord weer tot twee
desimale plekke)
Vraag 3/ Question 3
3.1 ‘n Krag van 350 kN werk in ‘n plat
horisontale vlak in ‘n rigting 37° wes
van suid.
3.1.1 Bereken die westelike komponent van
die krag.
3.1.2 Bereken die suidelike komponent van
die krag.
200
The diagram below shows a certain
roof frame:
Calculate the length of beam BD,
correct to two decimal places, using
only the information in triangle ABD.
Use only the information in triangle
BCD and perform a calculation to
check your answer to question 2.2.1.
(Once again, approximate your
answer to two decimal places)
A Force of 350 kN acts in a flat
horizontal plane in a direction 37° west
of south.
Calculate the westward component of
the force.
Calculate the southward component of
the force.

3.2 Beskou die volgende dakkap: Consider the following roof truss:
3.2.1 Bereken die lengte van balk PQ,
korrek tot twee desimale plekke.
3.2.2 Gebruik die cosinus-reël en bepaal
die lengte van PR.
201
Calculate the length of beam PQ,
correct to two decimal places.
Use the cosine rule and determine the
lenght of PR.

7 Elementêre beskrywende statistiek
Geskatte tyd benodig om die leeruitkomste te bemeester
10 ure
Noodsaaklike voorkennis
1. Opleiding in Microsoft Excel, soos behandel in CMPF 111 of soortgelyke kursus.
Leeruitkomste vir hierdie leereenheid
Na afhandeling van hierdie leereenheid moet die student in staat wees om die
volgende te doen:
1. ‘n Frekwensieverspreidingstabel van data op te stel met behulp van Microsoft Excel;
2. ‘n Histogram te teken met behulp van Microsoft Excel;
3. Die modus van ‘n gegewe datastel te bepaal;
4. Die mediaan van ‘n gegewe datastel te bepaal;
5. Die rekenkundige gemiddelde van ‘n gegewe datastel te bepaal;
6. Die geweegde gemiddelde van ‘n stel data te bepaal waar verskillende waardes
verskillende gewigte dra;
7. Die standaardafwyking van ‘n stel data te bepaal;
8. Bogenoemde vaardighede te gebruik om ‘n gerekenariseerde punteboek te
administreer;
9. Excel se ingeboude regressiefunksie te gebruik om die vergelyking te bepaal van die
kromme wat die beste deur ‘n gegewe stel datapunte gaan
202

7.1 Frekwensieverspreidings
Leeruitkomste vir hierdie leergedeelte
Na afhandeling van hierdie leergedeelte moet die student in staat wees om die
volgende te doen:
1. ‘n Frekwensieverspreidingstabel van data op te stel met behulp van Microsoft Excel;
2. ‘n Histogram te teken met behulp van Microsoft Excel
Bestudeer die volgende materiaal in die boek van Washington
Paragraaf Bladsynommers
22.1 609 – 613
Definisies
Term of begrip Beskrywing
Rou data Inligting (getalwaardes) wat nog nie op enige manier georganiseer is
nie, byvoorbeeld ‘n vel papier waarop 30 kinders se name, vanne en
punte behaal vir ‘n toets aangeteken is.
Geordende data Rou data wat op een of ander manier gerangskik is, byvoorbeeld ‘n
puntelys met 30 kinders se inligting wat gerangskik is vanaf laagste
punt tot hoogste punt.
Gegroepeerde data Wanneer data in groepe (ook klasse genoem) verdeel word.
‘n Voorbeeld is wanneer 30 kinders toets geskryf het en die
toetsresultate in die volgende groepe (klasse) verdeel word:
Klas 1: alle punte onder 40%
Klas 2: alle punte vanaf 40% maar minder as 50%
Klas 3: alle punte vanaf 50% maar minder as 75%
Klas 4: alle punte vanaf 75% en hoër
203

Frekwensie Die aantal waardes wat in ‘n klas gegroepeerde data voorkom.
Frekwensieverspreidingstabel
Byvoorbeeld: Gestel uit ‘n klas van 30 kinders het 5 kinders onder
40% behaal, 11 kinders het 40% of meer maar minder as 50%
behaal, 10 kinders het 50% of meer maar minder as 75% behaal en 4
kinders het 75% of meer behaal.
Dan is die eerste klas se frekwensie 5, die tweede klas se frekwensie
is 11, die derde klas se frekwensie is 10 en die vierde klas se
frekwensie is 4.
‘n Tabel wat die klasse waarin ‘n gegroepeerde datastel verdeel is,
asook die frekwensie van elke klas, voorstel. Byvoorbeeld:
klas 1 2 3 4
klasinterval [0; 40) [40; 50) [50; 75) [75;100]
frekwensie 5 11 10 4
Let op die skryfwyse vir die klasintervalle:
Byvoorbeeld: By klas 2 beteken die klasinterval [40; 50) dat alle
punte vanaf 40 en insluitende 40 tot net minder as 50 in daardie klas
val; 50 is nie ingesluit nie. ‘n Punt van 50 sal in die derde klas val.
Histogram ‘n Histogram is ‘n grafiese voorstelling van gegroepeerde data in
terme van klasse en frekwensies. Effektief is dit maar ‘n visuele
voorstelling van ‘n frekwensieverspreidingstabel, byvoorbeeld:
204

Histogram Soms maak histogramme gebruik van die sogenaamde
klasmiddelwaarde (“class mark”) in plaas daarvan om die
klasintervalle op die horisontale as aan te dui:
Die klasmiddelwaarde is die gemiddelde van die klasinterval se
ondergrens en bogrens.
Frekwensieveelhoek ‘n Frekwensieveelhoek is ‘n grafiese voorstelling van gegroepeerde
data in terme van klasse en frekwensies, waar die frekwensiewaardes
die punte van ‘n veelhoek teenoor die klasmiddelwaardes vorm,
byvoorbeeld:
205

Hoe om ‘n frekwensieverspreidingsdiagram in Microsoft Excel te
genereer
Gestel u het ‘n datastel bestaande uit 10 kinders se name, vanne en punte vir ‘n sekere
assessering of evaluasie, byvoorbeeld ‘n Toets 1:
Bogenoemde verteenwoordig ‘n tipiese rou datastel. Dit kan op verskillende maniere
georden word, onder meer deur dit volgens van in alfabetiese volgorde te rangskik:
Selekteer (kleur in deur te linkskliek en die muis terwyl die linkermuisknoppie ingehou word
oor die selle te beweeg) al die data (nie die opskrifte nie).
Kliek dan op “Data” in die boonste horisontale taakbalk en kies “Sort”. Wanneer die
sorteringskeuselys oopmaak, selekteer u die kolom waar die vanne voorkom (dit is B):
206

Indien u nou “OK” kliek, sal Excel dan die datastel alfabeties sorteer volgens die vanne; let
daarop dat al die data wat by die vanne pas (voornaam en punt) saam met die vanne gedra
word – die data raak dus nie deurmekaar nie:
207

Om ons geordende datastel verder te verwerk, kan ons byvoorbeeld die persentasie bereken
wat elke kind behaal het. Ons kan dit in Excel doen deur ‘n formule in te voer in sel D6 tot
D15 – hierdie formule moet gewoon die punt in die C-kolom deur die totaal van die toets in
sel C4 deel en met 100 vermenigvuldig.
Ons kan die formule in sel D6 invoer en dit dan kopieer deur die muis op die regterkantste
onderste hoek van sel D6 te plaas totdat die merker ‘n plus vorm; dan linkskliek u en sleep
die formule in D6 af oor al die selle D6 tot D15.
Voordat ons dit egter kan doen, moet ons daarop let dat elke berekening wat in D6 tot D 15
plaasvind, deur dieselfde getal (die waarde in C4) gedeel word. Omdat C4 in elkeen van die
rye 6 tot 15 gebruik word, moet ons die sel C4 in die formule wat ons in D6 invoer “anker”
deur van die dollar-teken gebruik te maak. Voeg gewoon ‘n dollar-teken in voor die letter en
voor die nommer van die sel wat u wil anker:
$C$4
Die formule wat u dus invoer terwyl u merker op D6 staan, is: =C6/$C$4*100
208

Druk “Enter” en kopieer die formule vanaf D6 tot D 15.
Die volgende sal gebeur:
U kan die selle D6 tot D15 (of enige reghoekige deel van die sigblad) formatteer om getalle
tot ‘n sekere aantal desimale af te rond. Indien u byvoorbeeld wil hê dat die persentasie
afgerond moet word tot een desimaal, moet u die selle D6 tot D15 inkleur en op die
gekleurde gebied regskliek en “Format Cells” kies. Kies dan in die aftrek-keuselys “Number”
en stel die aantal desimale plekke op 1:
209

Indien u nou “OK” kliek, sal die volgende gebeur:
210

Die volgende stap is nou om die geordende datastel in ‘n gegroepeerde datastel te verander.
Let daarop dat die begrip “gegroepeerde data” daarop dui dat ons die data in groepe (klasse)
verdeel en dan die frekwensie van elke klas bepaal.
Ons wil ‘n statistiese prentjie kry van die persentasies wat die klas vir die toets behaal het.
Die vraag is dus nou: hoe groepeer ons die data?
In die eerste plek, let op dat ‘n persentasie ‘n getal is wat in die geslote interval [ 0; 100 ] lê.
Hiermee bedoel ons dat ‘n persentasie nul mag wees, maar nie kleiner as nul nie – dit mag
ook 100 wees, maar nie groter nie – en alle waardes tussen 0 en 100 is ook moontlike
persentasiewaardes. Dink nou aan die interval [ 0; 100 ] as ‘n horisontale getallelyn. Ons
kan hierdie getallelyn op baie maniere verdeel; een manier is om dit in vyf ewe breë dele te
verdeel:
Sodoende het ons vyf klasse van gelyke klaswydte (naamlik 20%) verkry. Om nou die
frekwensies te bepaal moet ons gewoon die persentasies wat behaal is in die klasse gaan
sorteer en tel getalle daar in elke klas beland:
Ons sal nou met die hand die volgende frekwensieverspreidingstabel kon konstrueer:
klas 1 2 3 4 5
klasinterval [0; 20) [20; 40) [40; 60) [60;80) [80; 100]
frekwensie 0 1 4 2 3
211

Die hele gedagte is egter om bogenoemde proses (die groeperingsproses) volledig met
behulp van Excel te doen. Om dit te doen, gaan ons gewoon soos volg te werk:
Maak vir uself drie bykomende kolomme regs van die bestaande kolomme:
Selle E6 tot E 10 kan u as “Text” formatteer; selle F6 tot G10 kan u as “Number” formatteer,
tot twee desimale plekke.
Nou moet ons die “Bin” kolom invul. Om dit te doen, moet ons aan elke klas in die selle E6
tot E10 as ‘n mandjie (in Engels: “Bin”) dink. In die “Bin”-kolom vul ons die bogrens van elke
klasinterval in. Omdat die bogrens van elke klas (behalwe die laaste klas) “oop” is (let op na
die ronde hakies), is die bogrens van elke klasinterval net kleiner as die getal voor die ronde
hakie. Dus vul ons in die “Bin”-kolom waardes in soos die volgende:
212

Die “Bin”-kolom moet dus waardes bevat wat net kleiner is as die “volgende” waarde wat in
die klas net regs daarvan gesorteer moet word. Indien die eerste klas, se “Bin”-waarde dus
20 was, sou dit beteken dat ‘n persentasie van 20% in hierdie klas gereken sou word – dit is
nie wat ons wil hê nie; 20% moet in die tweede klas gereken word. Dit is wat die skryfwyse
[0; 20) beteken – alle persentasies tot net kleiner as 20% word in hierdie klas gereken.
Ons is nou gereed om die ingeboude “Frequency”-funksie in Excel te gebruik om vir ons die
frekwensie van elke klas in die selle G6 tot G10 te vertoon.
Om dit te doen, gaan soos volg te werk:
• Kleur die selle G6 tot G10 (waar u die frekwensies wil sien) in
• Tik in die boonste formulevenster van die sigblad: =Frequency(
• U sal sien dat Excel nou verlang dat u twee kolomme moet inkleur, naamlik die kolom
waarin die data voorkom(die persentasies, dit is selle D6 tot D15) asook die “Bin”kolom
(selle F6 tot F10). Wanneer u klaar die kolom D6 tot D15 gemerk het, tik die
komma en merk dan die kolom F6 tot F10. Sluit die hakie in die boonste
formulevenster:
• Om die frekwensies in die ingekleurde gebied (selle G6 tot G10) te vertoon, druk
eers “CTRL” en “SHIFT” gelyk en dan, terwyl u hulle albei inhou, druk “Enter”.
Die volgende sal gebeur:
213

Dit is dieselfde resultate wat ons ‘n paar bladsye gelede met die hand verkry het.
Excel het dus nou vir ons ‘n frekwensieverspreidingstabel gegenereer.
Waarskuwing: U moet nooit self enige waardes probeer intik waar Excel frekwensies
vertoon nie. Indien u met u hand waardes probeer intik in enigeen van die selle G6 tot G10,
mag die program toemaak en u al u data verloor. Indien u die selle G6 tot G10 wil
skoonmaak, is dit ook gevaarlik om “Delete” te gebruik. Kleur liewer die hele gebied G6 tot
G10 in, regskliek op die gebied en kies “Clear Contents”. Dit is veiliger as “Delete”.
Die volgende stap is nou om ‘n histogram van die frekwensieverspreidingstabel te teken.
Om dit te doen, gaan soos volg te werk:
• Selekteer die frekwensies (selle G6 tot G10)
• Kies “Insert” in die boonste horisontale taakbalk en kies “Column”
214

• U kan enige van die tipes kolomgrafieke kies wat Excel aanbied; daar is egter niks
verkeerd met die heel eerste keuse heel bo nie (eksperimenteer gerus met die
ander). Kies die eerste keuse wat aangebied word. Die volgende behoort te
gebeur:
215

Regskliek op “Series 1” en “Delete” dit. Om die intervalle in selle E6 tot E10 onderaan die
horisontale as te skryf, gaan soos volg te werk:
• Regskliek op enige van die syfers onder die horisontale as
• Kies “Select Data”
• Linkskliek op “Edit” bo in die regterkantste wit venstertjie
• Wanneer die ander klein “Axis Labels”-venstertjie oopmaak, gaan kleur u gewoon
die selle E6 tot E10 in en kliek op die klein rooi pyltjie bokant “OK” op die “Axis
Labels”-venstertjie:
216

• Indien u twee keer “OK” kliek, sal die grafiek soos volg lyk:
• Om die stawe aan mekaar te laat raak, regskliek op enige staaf en kies “Format Data
Series”. Kies die “Gap width” as nul.
• Om die stawe se kleure te wissel, kies “Fill” aan die linkerkant en merk “Vary colours
by point”:
217

• Om die frekwensie op elke staaf te vertoon, regskliek op enige staaf en kies “Add
Data Labels”.
• Kies “Labels” in die heel boonste horisontale taakbalk en eksperimenteer met die
“Labels” en ander bykomstighede om die asse van die grafiek te benoem en die
grafiek ‘n titel te gee. Interessante dinge kan ook met die rooster (“grid lines”)
gedoen word:
218

Indien u enige plek op die wit oppervlakte van die grafiek regskliek en “Move Chart” kies, kry
u die keuse om die grafiek uit die sigblad te verwyder en as ‘n groot prent wat onderaan die
sigblad hang, te vertoon.
Dit sou nou relatief maklik wees om ook ‘n frekwensieveelhoek van die data te genereer; so
‘n voorstelling gee egter nie regtig nuwe inligting omtrent die data nie en ons vereis dit dus
ook nie in die leeruitkomste van hierdie leereenheid nie.
Belangrik:
Oefen gereeld om Excel as punteboek te gebruik. Dit spaar ure en help om u werk
professioneel en akkuraat te laat vertoon.
Onthou net altyd:
Bêre (“Save”) u data gereeld (elke dag!) op minstens twee veilige plekke. Die nadeel van ‘n
elektroniese punteboek is dat dit uiters kwesbaar is vir nalatigheid. As u data weg is, dan is
dit werklik weg en dan sal u dit nooit weer sien nie.
Hou rugsteunkopieë (“Back-up copies”) op minstens twee veilige plekke (twee verskillende
rekenaars of twee skywe wat nie tegelyk permanent aan dieselfde rekenaar behoort nie).
Oefening 7.1 vir selfassessering
Oefening in die handboek Bladsynommer Probleme
22.1 612 Doen met Excel: nr 21
219
Teken slegs ‘n histogram. Benoem die
asse en versorg u grafiek tegnies.
Doen met Excel: nr 27
Maak ‘n frekwensieverspreidingstabel
met ses gelyke klasse en teken die
histogram.
Wenk: Die eerste klasinterval is
[25; 26,83), die klaswydte is 1,83
en die sesde klasinterval is
[34,15; 36]

Oplossings:
21 Let op na die wyse waarop die klasinterval geskryf word.
27. Let daarop dat die “Bin”-kolom waardes bevat wat net kleiner is as die regtergrens van
elke interval, omdat die regtereindpunt van alle intervalle (behalwe die laaste een) altyd
oop gekies word.
220

7.2 Mediaan, modus, rekenkundige gemiddelde en
standaardafwyking
Leeruitkomste vir hierdie leergedeelte
Na afhandeling van hierdie leergedeelte moet die student in staat wees om die
volgende te doen:
1. Die modus van ‘n gegewe datastel te bepaal;
2. Die mediaan van ‘n gegewe datastel te bepaal;
3. Die rekenkundige gemiddelde van ‘n gegewe datastel te bepaal;
4. Die geweegde gemiddelde van ‘n stel data te bepaal waar verskillende waardes
verskillende gewigte dra;
5. Die standaardafwyking van ‘n stel data te bepaal
Bestudeer die volgende materiaal in die boek van Washington
Paragraaf Bladsynommers
22.2 613 – 616
22.3 617 – 618
Definisies
Term of begrip Beskrywing
Mediaan Gestel ‘n aantal datapunte is van klein na groot gerangskik. Indien
die aantal datapunte onewe is, dan is die mediaan die middelste
waarde van die skikking. Indien die aantal datapunte ewe is, is die
mediaan die rekenkundige gemiddelde van die twee middelste
waardes.
Voorbeeld: Gegee: 23; 44; 10; 7; 0; 15; 80; 70; 15
Rangskik die data: 0; 7; 10; 15; 15; 23; 44; 70; 80
Mediaan: 15 (die middelste waarde)
221

Voorbeeld: Gegee: 23; 44; 10; 7; 0; 15; 80; 70
Rangskik die data: 0; 7; 10; 15; 23; 44; 70; 80
Mediaan: 19 (gemiddelde van 15 en 23)
Modus Gestel ‘n aantal datapunte is gegee. Die waarde wat die meeste kere
voorkom, word die modus genoem. Indien elke waarde slegs een
keer voorkom, is daar geen modus nie. Daar mag meer as een
modus voorkom.
Rekenkundige
gemiddelde
(“arithmetic mean”
of “average”)
Die aantal kere wat die modus voorkom, word sy frekwensie genoem.
Voorbeeld: Gegee: 23; 44; 10; 7; 0; 15; 80; 70; 15
Modus: 15 (en sy frekwensie is 2)
Gestel ‘n aantal datapunte is gegee. Die rekenkundige gemiddelde is
dan die som van die datapunte gedeel deur die aantal datapunte.
Voorbeeld: Gegee: 23; 44; 10; 7; 0; 15; 80; 70; 15
som van datapunte
Rekenkundige gemiddelde =
aantal datapunte
∑
xn
∴ x =
Dit is die formule in terme van simbole
n
23 + 44 + 10 + 7 + 0 + 15 + 80 + 70 + 15
=
9
264
=
9
= 29,333
Geweegde rekenkundige gemiddeldes (“weighted means”)
Soms wil ons die rekenkundige gemiddelde bereken van ‘n stel waardes, maar dan het die
waardes nie dieselfde gewig nie. Dit kan byvoorbeeld wees dat een of meer van die
waardes meer as een keer voorkom. In so ‘n geval kan ons die berekening aanpas deur die
x1⋅ f1+ x2 ⋅ f2 + ... + xn ⋅ fn
formule x =
te gebruik. Die frekwensie f van elke waarde is dan
f + f + ... + f
sy gewigswaarde.
1 2
n
222

Voorbeeld:
Gestel die volgende datastel is gegee: 23; 44; 15; 10; 7; 0; 15; 80; 70; 15; 44; 15
Let daarop dat elkeen van die datapunte 23; 10; 7; 0; 80; 70 slegs een keer voorkom; hulle
frekwensies is dus 1. Die datapunt 15 kom egter vier keer voor, so sy frekwensie is 4. Die
datapunt 44 kom twee keer voor, so sy frekwensie is 2.
Die gewig van die waarde 15 is dus 4 en die gewig van die waarde 44 is dus 2.
Die geweegde rekenkundige gemiddelde is dan:
x1⋅ f1+ x2 ⋅ f2 + ... + x8 ⋅ f8
x =
f1+ f2 + ... + f8
231 ⋅ + 101 ⋅ + 71 ⋅ + 01 ⋅ + 801 ⋅ + 701 ⋅ + 154 ⋅ + 442 ⋅
=
1+ 1+ 1+ 1+ 1+ 1+ 4+ 2
338
=
12
= 28,167
Geweegde gemiddeldes en punteberekeninge
Onderwysers en dosente moet in staat wees om kwartaalpunte, semesterpunte of jaarpunte
te bereken. Dikwels tel die assesserings of evaluasies waaruit hierdie punte opgemaak
word, verskillende gewigte. Die probleem is dan om die persentasies wat vir die verskillende
assesserings behaal is, volgens hul gewigte tot ‘n finale persentasie te verwerk.
Voorbeeld 1:
‘n Student het ‘n deelnamepunt van 43% en ‘n eksamenpunt van 58%. Bereken die
modulepunt indien die deelnamepunt en die eksamenpunt in die verhouding 2:1 tel.
Oplossing:
Die verhouding 2:1 beteken dat die finale punt uit derdes bestaan (2+1=3) en dat die
deelnamepunt twee-derdes (⅔) en die eksamenpunt een-derde (⅓) van die finale punt
uitmaak. Indien albei die punte in terme van persentasies uitgedruk is, kan ons die
berekening soos volg doen:
Modulepunt = w1⋅ Deelnamepunt + w2
⋅Eksamenpunt
2 1
= × 43 + × 58
3 3
=
48 %
223

Voorbeeld 2
‘n Student het ‘n deelnamepunt van 58% en ‘n eksamenpunt van 45%. Bereken die
modulepunt indien die deelnamepunt en die eksamenpunt in die verhouding 60:40 tel.
Oplossing:
Aangesien die gegewens persentasies is en die antwoord wat ons wil bereken ook in
persentasie is, kan ons die berekening gewoon soos volg aanpak:
Modulepunt = w1⋅ Deelnamepunt + w2
⋅Eksamenpunt
60 40
= × 58 + × 45
100 100
= 52,8 %
Voorbeeld 3
‘n Student se deelnamepunt bestaan uit drie evaluasies wat in die volgende verhouding tel:
35% van die deelnamepunt, 40% van die deelnamepunt en 25% van die deelnamepunt. Die
drie evaluasiepunte, uitgedruk as persentasies, is 81%, 62% en 95%. Bereken sy
deelnamepunt.
Oplossing:
Deelnamepunt = w ⋅ Evaluasie + w ⋅ Evaluasie + w ⋅Evaluasie
35 40 25
= × 81+ × 62 + × 95
100 100 100
= 76,9 %
Voorbeeld 4
1 1 2 2 3 3
‘n Student se deelnamepunt bestaan uit vier toetse wat uit die volgende totale getel het:
45; 55; 50; 40
Sy punte was soos volg:
39 uit 45; 40 uit 55; 19 uit 50; 29 uit 40
Bereken die student se deelnamepunt deur van ‘n geweegde gemiddelde gebruik te maak.
224

Oplossing:
• Verwerk eers die vier punte na persentasies; dit vereenvoudig in elk geval die
berekeninge wat volg:
39 uit 45 beteken 39 × 100% en dit lewer 86,667% Net so beteken 40 uit 55
45
dieselfde as 40 × 100% en dit lewer 72,727%; op soortgelyke wyse is die ander twee
55
punte dan onderskeidelik 38% en 72,5%.
• Nou moet ons die gewigswaardes vir elke toets uitwerk. Daarvoor gebruik ons die
groottotaal van al die punte waaruit die vier toetse getel het. Die som van hulle totale
is klaarblyklik 45+55+50+40 en dit is 190. Let nou daarop dat elke toets se gewig
beskou kan word as die breuk wat daardie toets se totaal van die groottotaal uitmaak:
45
190
w 1 = , 2
55 50
40
w = , w 3 = en w 4 =
190 190 190
• Die formule vir die deelnamepunt is dan gewoon:
Deelnamepunt = w1⋅ Toets1+ w2 ⋅ Toets2 + w3 ⋅ Toets3 + w4
⋅Toets4
45 55 50 40
= × 86,667 + × 72,727 + × 38 + × 72,5
190 190 190 190
= 66,842 %
Let net daarop dat die formule met die toetspunte as persentasies werk en dat die antwoord
wat dit lewer, outomaties ‘n persentasie is.
Term of begrip Beskrywing
Standaardafwyking Die standaardafwyking van ‘n stel data is ‘n maatstaf van hoeveel die
datapunte van die rekenkundige gemiddelde verskil. Datapunte wat
naby mekaar lê (min van mekaar verskil) sal ‘n klein
standaardafwyking hê. Net so, sal ‘n datastel waarvan die waardes
baie van mekaar verskil, ‘n groot standaardafwyking hê.
Die standaardafwyking s kan met behulp van ‘n sakrekenaar of
rekenaarprogram (Excel) bereken word.
225

Hoe om die mediaan, modus, rekenkundige gemiddelde en
standaardafwyking deur middel van Microsoft Excel te bepaal
Microsoft Excel beskik oor die funksies “Median”, “Mode”, “Average” en “Stdev” waarmee
bogenoemde eienskappe van ‘n datastel bepaal kan word.
Gestel u het ‘n datastel (die selle waar getalle voorkom, is geformatteer as “Number” en tot
een desimale plek en die “alignment” is gestel om die getalle te sentreer):
Om die mediaan van die getalle in selle B4 tot B9 in sel B11 te vertoon, linkskliek op B11 en
tik in die formulevenster: =median(
Merk dan gewoon selle B4 tot B9 deur hulle in te kleur (linkskliek met die muis op B4, hou
die linkermuisknoppie in en trek die merker oor die selle B4 tot B9). Sluit die hakie in die
formulevenster:
226

Druk nou “Enter” en die mediaan van die datastel sal in B11 verskyn.
Gaan op presies soortgelyke wyse te werk en laat Excel die modus, rekenkundige
gemiddelde (“average”) en standaardafwyking in die selle B12 tot B14 vertoon:
227

Die finale resultaat, behoort soos volg te lyk:
Let op hoe die rekenaar aandui dat daar geen modus voorkom nie (sel B12).
Hoe om die finale punt van ‘n aantal assesserings wat verskillende
gewigte tel, deur middel van Microsoft Excel te bepaal
Gestel u het die volgende datastel:
(Let daarop dat die wit selle geformatteer is as “Number” en tot 1 desimale plek met die
“alignment” so gestel dat die getalle in die selle gesentreer word).
Ons wil nou die finale persentasie van die student bereken.
228

Gaan soos volg te werk:
• Verwerk al die punte na persentasies. “Insert” ‘n kolom regs van elke punt sodat u
die persentasie van elke assessering daar kan bereken:
Om nou die punte as persentasies in die selle E5, G5, I5, K5 en M5 te bereken, hoef
u gewoon die formule “=Punt/Totaal*100” in die toepaslike selle in te sleutel. Om die
persentasie P1 van die eerste assessering in E5 te vertoon, kliek gewoon op E5 en
tik in die formulevenster: =D5/D3*100
Druk “Enter” en herhaal die proses om die persentasies P2 tot P5 op die regte plekke
te vertoon:
• Bereken nou die groottotaal van die assesserings in sel B7:
• Bereken nou die gewigte van die assesserings in selle B8 tot B12; om die eerste
gewig uit te reken, tik gewoon in sel B8 die formule “totaal gedeel deur groottotaal”:
229

• Herhaal die proses om al die gewigte te bereken:
• Om nou die geweegde gemiddelde van die assesserings in sel N5 te bereken, hoef u
gewoon op sel N5 te linkskliek en die volgende formule in die formulevenster in te tik:
=B8*E5+B9*G5+B10*I5+B11*K5+B12*M5
Die venster hierbo toon die resultaat nadat u “Enter” gedruk het.
Belangrik:
Bogenoemde proses verloop presies dieselfde wanneer u ‘n puntelys met ‘n groot aantal
studente het. U kan formules wat vir meer as een sel in ‘n kolom geld, na ander selle
kopieer. Onthou net om die $-simbool te gebruik wanneer die formule wat u kopieer elke
keer met ‘n vaste waarde werk wat in ‘n sekere sel staan.
230

Oefening 7.2 vir selfassessering
Oefening in die handboek Bladsynommer Probleme
22.2 616 Doen met die hand sowel as Excel:
231
33, 34, 37, 38
(“mean” is die rekenkundige gemiddelde)
Die finale antwoorde van die gegewe probleme verskyn agterin die handboek.
Addisionele vraag:
‘n Leerling se kwartaalpunt bestaan uit vier toetse wat uit die volgende totale getel het:
55; 45; 50; 35
Sy punte was soos volg:
32 uit 55; 38 uit 45; 34 uit 50; 21 uit 35
Bereken die leerling se kwartaalpunt as persentasie deur van ‘n geweegde gemiddelde
gebruik te maak. Toon alle stappe van u berekening.
(Antwoord: 67,568 %)

7.3 Die administrasie van gerekenariseerde puntestate met behulp
van Microsoft Excel
Leeruitkomste vir hierdie leergedeelte
Na afhandeling van hierdie leergedeelte moet die student in staat wees om die
volgende te doen:
1. ‘n Gerekenariseerde puntestaat deur middel van Microsoft Excel te administreer
Laat ons nou na ‘n toepassing kyk van al die kennis en vaardighede wat ons tot dusver in
hierdie leereenheid teëgekom het.
Oefening 7.3 vir selfassessering
Gestel u het die volgende puntestaat:
Gebruik die kennis en vaardighede wat tot dusver in hierdie leereenheid ontwikkel is en
bereken die waardes in die geskakeerde selle.
Bepaal ook die frekwensieverspreiding van die kwartaalpunte deur van die volgende
klasintervalle gebruik te maak: [0; 50), [50; 80) en [80; 100].
Teken ‘n histogram van die frekwensieverspreiding.
232

Oplossing:
U resultate behoort ongeveer soos volg te lyk (u formattering en waar u kies om sekere
waardes te bereken, mag natuurlik verskil):
Opmerking: Sorteer gerus die data in die sigblad alfbaties volgens name of vanne.
Die resultate hierbo wys dat een kind druip, ses kinders deurkom en een kind ‘n
onderskeiding behaal het.
233

7.4 Regressie met behulp van Microsoft Excel
Leeruitkomste vir hierdie leergedeelte
Na afhandeling van hierdie leergedeelte moet die student in staat wees om die
volgende te doen:
1. Die vergelyking te bepaal van die kromme wat die beste deur ‘n gegewe stel
datapunte pas
Bestudeer die volgende materiaal in die boek van Washington
Paragraaf Bladsynommers
22.6 632 – 640
Agtergrond en hersiening
Ons het reeds in vroeëre leereenhede met die volgende probleem kennis gemaak:
Gestel ons het ‘n grafiek waarop datapunte grafies voorgestel is. Watter tipe kromme sou
die beste deur die punte pas en wat is die vergelyking van hierdie kromme?
Hierdie probleem word regressie genoem.
Regressie kan algebraïes gedoen word deur van redelik ingewikkelde analitiese metodes
gebruik te maak. Moderne tegnologie maak dit egter vir ons moontlik om regressie deur
middel van geskikte rekenaarprogrammatuur te doen; Microsoft Excel het ‘n redelik kragtige
regressie-funksie waarmee ons alreeds in vorige leereenhede te doen gekry het.
Ons hersien vervolgens net vlugtig die tegniek aan die hand van ‘n geskikte voorbeeld.
234

Voorbeeld
Gegee:
Bepaal die vergelyking van die kromme wat die beste deur die datapunte pas.
Oplossing:
• Voer die data in Excel in
• Selekteer al die waardes en kies “Insert” “Scatter”:
• Kies die eerste keuse in die aftrek-keuselys en Excel sal die volgende grafiek
vertoon:
235

• Regskliek op “Series1” en kies “Delete”.
• Regskliek nou op enige datapunt in die grafiek en kies “Add Trendline”
• ‘n Aftrek-keuselys sal oopmaak:
• Soek nou deur die lys van regressietipes deur met u muis op die verligte
moontlikhede te kliek.
236

• Indien ‘n ongewenste keuselys opkom (dit gebeur soms as u die “Logarithmic” tipe
kies), kliek gewoon op “Close” en kies “Undo” in die boonste horisontale taakbalk.
Regskliek dan weer op enige datapunt en kies “Add Trendline” sodat u die “Format
Trendline”-aftrek-keuselys terug kry.
• Indien u op die “Polynomial” tipe gekliek het, het u die keuse om die graad (“Order”)
van die polinoomkromme te stel. Eksperimenteer met ‘n reguit lyn (polinoomkromme
van die eerste graad), ‘n parabool (polinoomkromme van die tweede graad) en ‘n
derdegraadse kromme (polinoomkromme van die derde graad) ens. totdat u ‘n
kromme kry wat na u bevrediging deur die datapunte pas.
• Indien u nie geskikte polinoom-tipe vind nie, kan u in die lysie afbeweeg. (“Moving
Average” is nie ‘n tipe funksie waarmee ons vir ons doeleindes sal werk nie)
• In die geval van hierdie voorbeeld, behoort u te vind dat ‘n derdegraadse
polinoomkromme die beste deur die punte pas:
• Merk nou die blokkies “Display Equation on chart” en “Display R-squared value on
chart”. Die volgende sal gebeur:
237

• Indien u op die teks langs die kromme regskliek, kan u die lettertipe (“font”),
grootte ensovoorts verander. Indien u op die teks regskliek en “Format Trendline
Label” kies, kan u die wyse waarop die getalle in die teks vertoon word stel
(byvoorbeeld die aantal desimale plekke).
• Die R-kwadraat-waarde wat Excel bepaal, is ‘n statistiese maatstaf van hoe
akkuraat die kromme wel deur die datapunte gaan. Hoe nader aan 1 hierdie
waarde, hoe betroubaarder is die vergelyking wat Excel vir u bepaal het.
• Die vergelyking van die kromme wat die beste deur ons datapunte pas, is dus
(korrek tot drie desimale plekke)
x t t t
238
3 2
= 1,990 − 15,034 + 33,506 − 18,6 en dit is
volgens die R-kwadraat-waarde ‘n baie betroubare model vir die data.

Oefening 7.4 vir selfassessering
Oefening in die handboek Bladsynommer Probleme
22.6 636 Doen met behulp van Excel soos die
voorbeeld hierbo. Plot die punte, soek
die beste kromme en meet sy
vergelyking en R-kwadraat-waarde:
239
5, 7, 9
22.7 640 Doen met behulp van Excel soos die
voorbeeld hierbo. Plot die punte, soek
die beste kromme en meet sy
vergelyking en R-kwadraat-waarde:
5, 7, 9
Die finale antwoorde van die gegewe probleme verskyn agterin die handboek.