die omtrekshoek in 'n semi-sirkel en moeiliker voorbeelde o - AdMaths

GR. 12 DERDE VRAESTEL : MEETKUNDE
LES 3 : SIRKELMEETKUNDE :
DIE OMTREKSHOEK IN ‘N SEMI-SIRKEL EN
MOEILIKER VOORBEELDE OOR MIDDELPUNTSHOEKE EN OMTREKSHOEKE
Bl. 1 van 6
Ons het in die vorige les die stelling behandel wat sê dat die middelpuntshoek in ‘n
sirkel is altyd twee maal die grootte van die omtrekshoek wat deur dieselfde koord
onderspan word.
Wat dink jy gaan gebeur as die middelpuntshoek ‘n gestrekte hoek is, soos ∠ BOC in
die bygaande skets?
Wat dink jy sal die grootte van ∠ A wees?
Kom ons kyk of jy reg is …
3.1 STELLING 6
A
C
M
1.
A
B O C
Die omtrekshoek wat deur die middellyn van ‘n sirkel onderspan word, is ‘n regte hoek.
[ Die omtrekshoek in ‘n semi-sirkel is ‘n regte hoek. ]
In die skets is AB die middellyn van die sirkel.
Dus is ∠ ACB = 90° ( midpts. ∠ M 1 = 2 × omtreks ∠ on AB )
Die omgekeerse is ook waar :
As ∠ ACB = 90° , dan sal die koord AB die middellyn van die sirkel wees.
B

GR. 12 DERDE VRAESTEL : MEETKUNDE
LES 3 : SIRKELMEETKUNDE :
DIE OMTREKSHOEK IN ‘N SEMI-SIRKEL EN
MOEILIKER VOORBEELDE OOR MIDDELPUNTSHOEKE EN OMTREKSHOEKE
3.2 VOORBEELDE
A
Bl. 2 van 6
1. Bereken die onbekende hoeke. O is die middelpunt van die sirkel. Gee redes.
Oplossing
D
20°
z = 180° – 60° ( reguitlyn )
z = 120°
60°
z
O
C
x
y
x = 60° ( midpts. ∠ = 2 × omtreks ∠ op koord DA )
Sien jy dat z die middelpuntshoek op DA en dat x die omtrekshoek op DA is?
∠ ABC = 90° ( omtreks ∠ in ‘n semi-sirkel )
Dus is y = 180° – 20° – 90° ( som of ∠ e van ∆ = 180° )
y = 70°
B

GR. 12 DERDE VRAESTEL : MEETKUNDE
LES 3 : SIRKELMEETKUNDE :
DIE OMTREKSHOEK IN ‘N SEMI-SIRKEL EN
MOEILIKER VOORBEELDE OOR MIDDELPUNTSHOEKE EN OMTREKSHOEKE
Bl. 3 van 6
2. In die figuur is RS die middellyn. ∠ ROQ = ∠ ROP and SQ = QT .
Bewys dat 2.1 ∠ S = ∠ T
Oplossing
2.2 PU || QS
2.1 In ∆ e RSQ en RTQ
1. SQ = QT ( gegee )
S
U P
1
O 2
2. ∠ SQR = ∠ TQR = 90° ( omtreks ∠ in semi-sirkel ; SQT reguitlyn )
3. RQ is gemeen
∴ ∆RSQ ≡ ∆RTQ ( S ∠ S )
∴ ∠ S = ∠ T
2.2 ∠ T = ∠ S ( bewys )
∠ T = ½ ∠ ROQ ( midpts. ∠ = 2 × omtreks ∠ op koord RQ )
∠ T = ½ ∠ ROP ( ∠ ROQ = ∠ ROP ; given )
∠ T = ∠ U ( midpts. ∠ = 2 × omtreks ∠ op boog PR )
Sien jy dat ∠ ROP die middelpuntshoek op PR en dat ∠ U die
omtrekshoek op PR is?
Dus is PU || QS ( ∠ T = ∠ U ; verwisselende ∠ e )
R
Q
T

GR. 12 DERDE VRAESTEL : MEETKUNDE
LES 3 : SIRKELMEETKUNDE :
DIE OMTREKSHOEK IN ‘N SEMI-SIRKEL EN
MOEILIKER VOORBEELDE OOR MIDDELPUNTSHOEKE EN OMTREKSHOEKE
3.3 OEFENING 3
1. In die figuur is O die middelpunt
van die sirkel. ∠ BOC = 112°.
AD = CD.
Bereken ∠ DCE.
2. In die figuur is O die middelpunt
van die sirkel en ∠ BOA = 100°.
BC = CD.
Bereken ∠ AFB.
3. O is die middelpunt van die sirkel
en SQ halveer ∠ PQR .
Bewys dat OS die middelloodlyn
van PR is.
( M.a.w. bewys dat RT = TP en
dat OT ⊥ RP . )
Bl. 4 van 6
B
112°
A O C
A
B
Q
100° O
O
D
F
T
P
C
E
R
S
E
D

GR. 12 DERDE VRAESTEL : MEETKUNDE
LES 3 : SIRKELMEETKUNDE :
DIE OMTREKSHOEK IN ‘N SEMI-SIRKEL EN
MOEILIKER VOORBEELDE OOR MIDDELPUNTSHOEKE EN OMTREKSHOEKE
4. O is die middelpunt van die sirkel.
Bewys dat ∠ C2 + ∠ A = 90° .
Bl. 5 van 6
5. In sirkel S is ∠ MBA = y en ∠ BAC = x .
5.1 Druk ∠ BSC in terme van x uit.
5.2 Druk ∠ P in terme van x en y uit.
5.3 Bepaal ∠ DMA in terme van x en y .
5.4 Bewys dat ∠ BSC = ∠ DMA + ∠ P
6. In ∆ABC is AB = AC .
AB is die middellyn van die sirkel.
Bewys dat BD = CD .
B
B
1
2
C
B
A
A
O
1
y
S
1
2
D
M
C
x
A
D
C
P

GR. 12 DERDE VRAESTEL : MEETKUNDE
LES 3 : SIRKELMEETKUNDE :
DIE OMTREKSHOEK IN ‘N SEMI-SIRKEL EN
MOEILIKER VOORBEELDE OOR MIDDELPUNTSHOEKE EN OMTREKSHOEKE
Bl. 6 van 6
Kopiereg Mr. V 13/12/2010