WISN 121 PAC

INLEIDENDE ALGEBRA EN ANALISE II
STUDIEGIDS VIR
WISN 121 PAC
*WISN121PAC*
FAKULTEIT NATUURWETENSKAPPE

Studiegids saamgestel deur:
Prof GJ Groenewald, Dr M Hitge & Dr IM Schoeman
Taalsorg 2010.
# Bladuitleg deur M Hitge.
Hantering van drukwerk en verspreiding deur Departement Logistiek (Verspreidingsentrum).
Gedruk deur The Platinum Press (018) 299 4226.
Kopiereg 2011-uitgawe. Hersieningsdatum 2012.
Noordwes-Universiteit, Potchefstroomkampus.
Geen gedeelte van hierdie boek mag in enige vorm of op enige manier sonder skriftelike
toestemming van die publiseerders weergegee word nie.
ii

WAARSKUWING TEEN PLAGIAAT
WERKSTUKKE IS INDIVIDUELE TAKE EN NIE GROEPAKTIWITEITE NIE (TENSY DIT
UITDRUKLIK AANGEDUI WORD AS ‘N GROEPAKTIWITEIT)
Kopiëring van teks van ander leerders of uit ander bronne (byvoorbeeld die studiegids,
voorgeskrewe studiemateriaal of direk vanaf die internet) is ontoelaatbaar – net kort
aanhalings is toelaatbaar en slegs indien dit as sodanig aangedui word.
U moet bestaande teks herformuleer en u eie woorde gebruik om te verduidelik wat u
gelees het. Dit is nie aanvaarbaar om bestaande teks/stof/inligting bloot oor te tik en die
bron in 'n voetnoot te erken nie – u behoort in staat te wees om die idee of begrip/konsep
weer te gee sonder om die oorspronklike skrywer woordeliks te herhaal.
Die doel van die opdragte is nie die blote weergee van bestaande materiaal/stof nie, maar
om vas te stel of u oor die vermoë beskik om bestaande tekste te integreer, om u eie
interpretasie en/of kritiese beoordeling te formuleer en om 'n kreatiewe oplossing vir
bestaande probleme te bied.
Wees gewaarsku: Studente wat gekopieerde teks indien sal 'n nulpunt vir die opdrag
ontvang en dissiplinêre stappe mag deur die Fakulteit en/of die Universiteit teen
sodanige studente geneem word. Dit is ook onaanvaarbaar om iemand anders se werk
vir hulle te doen of iemand anders in staat te stel om u werk te kopieer – moet dus nie
u werk uitleen of beskikbaar stel aan ander nie!
iii

Inhoudsopgawe
Algemene Inligting ix
Woord van Verwelkoming . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ix
Rasionaal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ix
Vereiste ten opsigte van Veronderstelde Leer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . x
Benodighede . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . x
Studiemateriaal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . x
Hoe om die Studiegids te Gebruik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xi
Hoe om die Handboeke te Gebruik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xii
Hoe om te Studeer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xii
Aksiewoorde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xiii
Wiskundige Simbole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xiv
Module-plan en Tydskedule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xiv
Evaluering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xv
Hoe werk die Punte? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xvii
Slaagvereistes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xvii
Module-uitkomste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xvii
1 Toepassings van Differensiasie 1
1.1 Krommesketsing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2 Toegepaste Maksima- en Minimaprobleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2 Bepaalde Integrale en die Hoofstellings van Analise 17
2.1 Integrasie: Definisie en Bepaalde Integrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.2 Hoofstellings van Analise en die Substitusiereël . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3 Toepassings van Integrasie (1) 31
3.1 Oppervlakte tussen Twee Krommes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.2 Volume van ’n Omwentelingsliggaam . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.3 Arbeid Verrig . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
v

vi
4 Hiperboliese, Inverse Hiperboliese Funksies 39
4.1 Hiperboliese en Inverse Hiperboliese Funksies . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
5 Integrasietegnieke 49
5.1 Faktorintegrasie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
5.2 Trigonometriese Integrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
5.3 Trigonometriese Substitusie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
5.4 Integrasie van Rasionale Funksies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
6 Toepassings van Integrasie (2) 65
6.1 Lengte van ’n Kromme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
6.2 Oppervlakte van ’n Omwentelingsoppervlak . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
7 Rye en Reekse 71
7.1 Rye . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
7.2 Reekse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
7.3 Absolute Konvergensie en die Verhoudings- en Worteltoetse . . . . . . . . . 83
7.4 Taylorreekse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
8 Kombinatorika 91
8.1 Inleiding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
8.2 Wiskundige induksie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
A Geskiedenis en Filosofiese Aspekte van Wiskunde 99
A.1 Inleiding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
A.2 Wat is Wiskunde? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
A.3 ’n Oorsigtelike Geskiedenis van Wiskunde en in die besonder van Differensiaalen
Integraalrekening . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
A.3.1 Net Eers Kortliks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
A.3.2 Oppervlaktes, Getalle en die Limietbegrip in die Antieke Tyd . . . 102
A.3.3 Archimedes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
A.3.4 Die Middeleeue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
A.3.5 Vroeë Ondeelbares en Infinitesimale Tegnieke . . . . . . . . . . . . 109
A.3.6 Vroeëre Raaklynkonstruksies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
A.3.7 Napier se Wonderlike Logaritmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
A.3.8 Die Rekenkunde van Oneindig . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
A.3.9 Differensiaal- en Integraalrekening volgens Newton . . . . . . . . . . 114
A.3.10 Differensiaal- en Integraalrekening volgens Leibniz . . . . . . . . . . 117
A.3.11 Die Tydperk van Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

A.3.12 Differensiaal- en Integraalrekening volgens Cauchy, Riemann en Weierstrass
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
A.3.13 Die Twintigste Eeu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
A.3.14 Vir Verdere Leeswerk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
A.4 Die Lewe en Werk van Leonhard Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
A.4.1 Kort Geskiedenis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
A.4.2 Bydraes tot Wiskunde en Wetenskap . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
A.4.3 Lewensbeskouing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
A.4.4 Vir Verdere Leeswerk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
A.5 ’n Wêreldbeeld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
A.5.1 Wat is ’n Wêreldbeeld? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
A.5.2 Wat is die Invloed van ’n Wêreldbeeld? . . . . . . . . . . . . . . . . 136
A.5.3 ’n Christelike Wêreldbeeld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
A.5.4 ’n Eie Wêreldbeeld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
A.6 Wiskundige Modelle, Teorië en die Werklikheid . . . . . . . . . . . . . . . 137
A.7 Afsluiting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
B Lys van Ontoelaatbare Foute 141
C Oplos van Ongelykhede 143
D Oneindig en die Berekening van Limiete 149
E Lys van Formules 151
F Woordelys 157
vii

viii

Algemene Inligting
Woord van Verwelkoming
Die grootste antieke wiskundige skepping is sekerlik die Euklidiese meetkunde wat deur
jarelange praktiese waarneming en toepassing ontwikkel het tot die vak wat ons vandag
op skool leer ken. Die teorie word opgebou deur sekere basiese definisies en aksiomas
te formuleer op grond van deeglike waarneming en eksperimentering oor ’n lang tydperk
en dan verdere stellings te bewys en gevolgtrekkings daaruit af te lei. Die teorie is dus
oor baie jare ontwikkel en geformaliseer tot die produk wat ons vandag ken.
Gedurende die 17 e eeu is waarskynlik die grootste wiskundige ontdekking ooit gemaak -
die Differensiaal- en Integraalrekening (Calculus). Newton in Engeland en Leibnitz
in Duitsland het onafhanklik van mekaar in die laaste kwart van die sewentiende eeu die
fondament vir die ontwikkeling van hierdie teorie gelê deur die ontdekking van limiete
van funksies en die daaruit voortspruitende idees van die afgeleide van ’n funksie en
die integrale van funksies. Alhoewel die ontdekkings gelei het tot die beantwoording
van probleme uit die vorige eeue, was die dryfkrag vir die ontstaan van die differensiaal- en
integraalrekening juis om die belangrikste probleme van die sewentiende eeu aan te spreek.
Uiteindelik het daar na baie jare en bydraes deur verskillende wiskundiges, veral Franse
wiskundiges, ’n vakgebied ontstaan wat uit die praktiese toepassing gegroei het tot iets
wat in sy aard soos die meetkunde lyk - in dié sin dat die teorie opgebou is uit definisies,
stellings en gevolgtrekkings waarin die eienskappe van funksies en die differensiaal- en
integraalrekening in die algemene konteks beskou word. In ons studie sal ons dus baie klem
lê op korrekte weergawes van definisies, bewoordings van stellings, bewyse van sommige
van die stellings en ook natuurlik op die toepassings daarvan.
Welkom en geniet u studie.
Rasionaal
In WISN111 en WISN121 word die basiese tegnieke waarop al die wiskunde van verdere
studiejare sowel as ander vakgebiede berus, gedoen. As wiskundige vakleerling het u in
WISN111 differensiasie en integrasie wat twee van die belangrikste gereedskapstukke in
wiskunde is, geleer. In hierdie module, WISN121, word u die geleentheid gebied om u
vaardigheid in hierdie twee gereedskapstukke verder te verfyn.
In hierdie module gaan die as waarom die hele Analise draai, die hoofstelling van analise,
ix

x Algemene Inligting
aan u bekendgestel word. Hierdie stelling gee die verband tussen differensiasie en integrasie.
Die teoretiese grondslag vir differensiasie is reeds volledig in WISN111 behandel.
Die volledige teoretiese grondslag van integrasie, verdere integrasie-tegnieke en toepassings
van integrasie gaan gedoen word.
WISN121 vorm ’n noodsaaklike onderbou vir die volgende modules wat in die Fakulteit
Natuurwetenskappe aangebied word: Elektrisiteit en Magnetisme II, Spesiale Relatiwiteit,
Waarskynlikheidsleer, Dinamika I, Differensiaalvergelykings en Numeriese Metodes, Numeriese
Analise, Algebra III en Analise III. Hierdie modules vorm weer ’n noodsaaklike
onderbou vir nog meer modules. Dit is dus belangrik dat u hierdie module nie net sal
slaag nie, maar ook goed sal bemeester. Indien u dit nie slaag nie, het u nie net ’n verlies
aan belangrike wiskundige tegnieke en ervaring nie, maar maak u vir uself baie deure toe
en verleng u u studiejare met ten minste een jaar. Indien u nie die module slaag nie, sal
u nie toegelaat word om met die genoemde modules voort te gaan nie.
Hierdie module bestaan uit 3 dele (Analise, Rye en Reekse & Algebra), wat een na die
ander afgehandel word.
Vereiste ten opsigte van Veronderstelde Leer
U moes WISN111 geslaag het.
Benodighede
Vir hierdie module het u die volgende nodig:
1. Werksprogram (sal voorsien word)
2. Handboeke (sien Studiemateriaal)
3. Studiegids
4. Toegang tot die internet vir die gebruik van e-fundi
5. Werkboek vir klaswerk
6. Skryfblok (los velle) vir die inhandiging van opdragte
Studiemateriaal
Voorgeskrewe handboeke:
Titel: Calculus
Uitgawe: Sesde Uitgawe (2009) of Sewende Uitgawe (2011)
Outeur: James Stewart

Algemene Inligting xi
Uitgewers: Thomson - Brooks/Cole
Titel: Inleidende Algebra,
Uitgawe: Tweede Uitgawe (1990)
Outeur: De la Rosa et al.
Uitgewers: Lexicon Uitgewers
EN
Aanbevole boek vir addisionele gebruik: Analise 1. Differensiaal- en Integraalrekening;
J.C. Engelbrecht, et al., 1979.
Hoe om die Studiegids te Gebruik
Elke leereenheid se werk is duidelik uiteengesit onder die volgende opskrifte: Tydstoedeling,
Veronderstelde Leer, Leeruitkomste, Teksverwysings, Voorbereiding en Inoefening van
Vaardighede. Die aangeduide tyd is min of meer die tyd wat u nodig het om die betrokke
leereenheid se werk te bemeester. Dit sluit die tyd wat u gebruik om voor te berei vir
die leereenheid se kontaksessies en die huiswerk te doen, in. Die veronderstelde leer is
die vooraf kennis en vaardighede wat u nodig het om die betrokke leereenheid te kan
doen. Daar word veronderstel dat u reeds die kennis en vaardighede het wat hier gelys
word. Dit sal nie in die klas behandel word nie en indien u nie oor die nodige vooraf
kennis en vaardighede vir ’n betrokke leereenheid beskik nie, is dit u verantwoordelikheid
om dit te bekom voordat die betrokke leereenheid behandel word. Die leeruitkomste
gee vir u ’n opsomming van wat u tydens die betrokke leereenheid moet bemeester.
Bestudeer die voorgeskrewe studiemateriaal wat as teksverwysings gegee word. U moet
alle aktiwiteite onder Voorbereiding doen voordat u die betrokke kontaksessies bywoon.
Maak aantekeninge van al die probleme wat u ondervind. Oefen die betrokke leereenheid
se vaardighede in voordat die volgende leereenheid se werk tydens die daaropvolgende
leereenheid se kontaksessies behandel gaan word. Indien u al die probleme wat gegee
word, onafhanklik kan doen, het u die leeruitkomste van die betrokke leereenheid wat
betrekking het op probleemoplossing (die toepassing van definisies en stellings), bereik.
U moet nou nog net die gegewe definisies, stellings en bewyse van stellings leer, dan het
u alle uitkomste van die betrokke leereenheid bereik.
In bylaag A.3 word ’n oorsig oor die geskiedenis van die ontwikkeling van differensiaal- en
integraalrekening gegee en sommige filossofiese aspekte rakende Wiskunde word bespreek.
In bylaag B verskyn ’n lys van foute wat u nie moet maak nie. Bestudeer die lys goed
en maak seker dat u nie onnodige punte tydens toetse en die eksamen verloor nie. In
bylaag C word ’n opsomming van die oplos van ongelykhede gegee. In bylaag D word ’n
opsomming van die berekening van oneindige limiete gegee. In bylaag E verskyn ’n lys
van formules wat u moet ken en wat aan u verskaf sal word tydens toetse en eksamens.
U moet al die vergelykings in die lys kan aflei. Sorg dat u weet watter formules u moet
ken en sorg dat u dit goed ken. Bylaag F bevat ’n tweetalige lys (engels-afrikaans) van
algemene wiskundige terme wat in hierdie module gebruik word.
U behoort 120 kwaliteit ure aan die bestudering van hierdie studiegids en die voltooiing

xii Algemene Inligting
van die aktiwiteite te bestee.
Hoe om die Handboeke te Gebruik
Die handboek, Stewart vul die kennis, soos in die studiegids gegee, aan. Stewart moet
gebruik word om die teorie beter te verstaan en om voorbeelde deur te werk om sodoende
probleem-oplossingstegnieke beter te verstaan. Inleidende Algebra: Die klasse word
uit beide die handboek en die studiegids aangebied. Sorg dus dat albei elke periode (saam
met jouself) in die klas is. Beide handboeke moet ook gebruik word vir die inoefening
van vaardighede.
Hoe om te Studeer
Tydens kontaksessies word beide die teorie en toepassings bespreek. Om enigsins waarde
uit hierdie sessies te kry, moet u die voorgeskrewe studiemateriaal ten minste eenkeer
deurgelees het en die vooraf-aktiwiteite voltooi het. U moet ook reeds die huiswerk van
die vorige kontaksessie voltooi het en seker maak dat u die werk van die vorige kontaksessie
deeglik onder die knie het. Tipies sal daar tydens elke kontaksessie nuwe werk gedoen
word. Na elke kontaksessie sal u nuwe definisies, stellings en tegnieke hê om deur te werk en
te bemeester. Die kontaksessies word uit beide die handboek en die studiegids aangebied.
Sorg dus dat albei tydens elke kontaksessie saam met uself in die lesingslokaal is. Bewyse
van stellings en besprekings van die teorie en voorbeelde word met verduideliking tydens
die kontaksessies aangebied. Hou ’n lekker dik aantekeningboek aan waarin u tydens die
kontaksessies aantekeninge kan afneem - daar word gereeld dinge tydens die kontaksessies
gesê wat u nie in die handboek gaan kry nie.
Daar sal van u verwag word om voorbeelde deur te werk. Volg die volgende prosedure
wanneer u ’n voorbeeld moet deurwerk:
1. Lees die probleemstelling en maak seker dat u weet wat gevra word en wat bereken
moet word.
2. Lees die eerste stap van die oplossing en maak gebruik van u voorkennis (alles
wat u al voorheen in wiskunde geleer het) en nuwe kennis (dit wat u nou net in die
gedeelte wat die voorbeeld voorafgaan, geleer het) om te bepaal waarom die skrywer
die bepaalde stap neergeskryf het. U moet sover as moontlik die verband tussen die
bepaalde stap en die teorie wat die voorbeeld voorafgaan, bepaal. Indien u dit nie
verstaan of kan insien nie, moet dit nie net so aanvaar nie. Gaan eers weer deur die
teorie wat die voorbeeld voorafgaan. Indien u dit dan nog steeds nie verstaan nie,
kry hulp by ’n mede-leerder, u fasiliteerder of u dosent.
3. Lees die tweede stap van die oplossing en maak gebruik van u voorkennis en nuwe
kennis om te bepaal hoe die skrywer van die eerste na die tweede stap gevorder
het. U moet sover as moonlik die verband tussen die bepaalde stap en die teorie
wat die voorbeeld voorafgaan, bepaal. Indien u dit nie verstaan of kan insien nie,
moet dit nie netso aanvaar nie. Gaan eers weer deur die teorie wat die voorbeeld

Algemene Inligting xiii
voorafgaan. Indien u dit dan nog steeds nie verstaan nie, kry hulp by ’n medeleerder,
u fasiliteerder of u dosent.
4. Herhaal die vorige stap totdat u deur die hele voorbeeld gewerk het.
U moet kan sit en werk! Leer die definisies en bewoordings van stellings - verstaan kom
deur kennis. Werk die voorbeelde deur. Daarna behoort u min moeite te ondervind om
die huiswerkprobleme te kan doen. Indien ’n probleem besig is om baie van u tyd te mors,
los dit liewers eers en probeer hulp kry. Maar mense, veg asseblief teen die geneigdheid
om huiswerk af te skryf - jy verloor al die pad as jy dit doen! Die huiswerk dien as
voorbereiding vir jou weeklikse tutoriaal en uiteindelik vir die semestertoets en eksamen.
In die volgende paragraaf word ’n paar wenke in verband met die oplos van wiskunduge
probleme gegee.
Die bekende wiskundige George Polya het nogal heelwat aandag gegee aan die doen- en
leerproses in wiskunde. Daar is onder andere sy bekende boek How to solve it. In verband
met die oplos van probleme gee die skrywers Daepp en Gorkin in hulle Reading, Writing
and Proving - a closer look at mathematics die volgende opsomming van Polya se wenke
vir die oplos van wiskunde probleme.
1. Verstaan die probleem: Eerstens moet u al die woorde en die terminologie in die
probleem verstaan - slaan na indien nodig. Tweedens moet u bepaal wat gegee is.
Teken ’n skets waar van toepassing. Laastens moet u bepaal wat gevra word: Moet
iets bereken word? Moet iets vals bewys word? Moet ’n voorbeeld gegee word?
2. Beplan ’n plan: Hoe moet die probleem aangedurf word? Is dit bekend uit vorige
werk wat gedoen is? Kyk na vroeëre aantekeninge, probleme en stellings. Kyk na
die bewyse van vroeëre stellings. Probeer die probleem vereenvoudig.
3. Voer die plan uit: Los op en kyk na u antwoord. Is elke afleiding/bewerking
waar? Laat die probleem eenkant en kom later daarop terug.
4. Kyk terug: Kontroleer alles. Probeer selfs ’n ander tegniek of bewys en kyk of u
dieselfde resultate verkry. Bespreek die oplossing met mede-leerders - selfs al sou so
iemand geen wiskunde ken nie. Toets en hertoets.
Aksiewoorde
1. Begryp: met die verstand vat, verstaan. Iemand se bedoeling begryp.
2. Bemeester: oorwin, baasraak. Jou studie bemeester.
3. Bepaal: vasstel. Die afstand, datum, tyd bepaal.
4. Bereken: uitreken. Ons moet die koste bereken.
5. Beskryf: in woorde skets, ’n woordportret gee. Beskryf die aard van die wortels.
6. Bewering: iets wat beweer word, mening soms sonder bewys. Dis ’n bewering wat
nog bewys moet word.
7. Bewys: blyk, teken dat iets waar is, redenering wat ’n stelling bevestig. ’n Bewys
lewer vir ’n bewering.

xiv Algemene Inligting
8. Definieer: noukeurig omskryf, die presiese betekenis(se) vasstel. Definieer ’n term.
9. Formuleer: in die vorm van ’n formule uitdruk; duidelik, saaklik en noukeurig onder
woorde bring. Goed geformuleerde stelling.
10. Illustreer: verduidelik, ophelder, toelig. ’n Bewering, gedagte, stelling illustreer.
11. Kontroleer: nagaan, verifieer. Kontroleer asseblief al die syfers, al die feite.
12. Oefening: iets waarmee ’n mens oefen; opgawe. Twee oefeninge kry vir huiswerk.
13. Ontwikkel: uitwerk, ’n teorie ontwikkel, deur studie vorm, kennis bybring. Jou
ontwikkel.
14. Oplos: verklaar, die antwoord kry op. ’n Vraagstuk oplos.
15. Skets: ruwe tekening wat net die hooflyne, hooftrekke weergee. Skets die grafiek van
die polinoom.
16. Stel: in die juiste, korrekte stand. Stel en bewys die middelwaardestelling.
17. Toets: ondersoek in die algemeen. ’n Toets toepas, deurstaan.
18. Verifieer: die egtheid ondersoek, die juistheid vasstel, vergelyk om te kontroleer,
toets. Verifieer wat beweer word.
19. Verstaan: goed ken, deeglik vertroud wees met. Hy verstaan sy wiskunde deeglik.
20. Vind: bepaal, bereken, kry, soek na. Vind ’n punt op die lyn.
21. Voorbeeld: iets wat kan ophelder, toelig. Die vraag word toegelig met ’n voorbeeld.
Wiskundige Simbole
Hier volg ’n opsomming van al die simbole wat in hierdie module gebruik gaan word. Leer
dit en maak seker dat jy dit ken.
Simbool Betekenis Voorbeeld
∼ of ¬ nie ∼ p, ¬p, beteken nie p nie.
→ impliseer p → q (p impliseer q).
As p geld dan geld q.
p slegs as q.
↔ as en slegs as p ↔ q (p geld as en slegs as q geld)
Σ sigma-notasie Σ 4 i=1xi beteken x1 + x2 + x3 + x4
∈ element x ∈ X, beteken x is ’n element van X
∀ vir alle ∀ x ∈ X, beteken vir alle x in X
∃ daar bestaan ∃ p, beteken daar bestaan ’n p
∄ daar bestaan nie ∄ p, beteken daar bestaan nie ’n p nie
∴ dit wil sê
∋ sodanig dat
Module-plan en Tydskedule
U het ongeveer 120 kwaliteit studie-ure (12 krediete) nodig om hierdie module te bemeester.
Elke week bestaan uit 6 kontaksessies van 50 minute elk en 1 tutoriaalsessie van
100 minute. Dit neem 80 studie-ure in beslag. Normaalweg word een kontaksessie aan

Algemene Inligting xv
die begin van die semester afgestaan as inleidingsessie tot die module, 4 kontaktsessies
vir die skryf van toetse en 2 kontaksessies vir hersiening aan die einde van die semester.
U het ongeveer 120 minute per week vir voorbereiding, huiswerk en die voorbereiding en
van toetse nodig. Dit neem 24 studie-ure in beslag. Verder moet daar nog ongeveer 16
ure spandeer word aan die leer vir die eksamen en die skryf daarvan.
Evaluering
Leereenheid Tema Tydstoedeling
1. Toepassings van differensiasie 1 week
2. Integrasie 3 weke
3. Hiperboliese funksies 1 week
4. Toepassings van integrasie 2 weke
5. Rye & Reekse 2 weke
6. Kombinatorika 3 weke
Wanneer kennis en vaardighede in hierdie vak geëvalueer word, word daar na die volgende
aspekte (vlakke) gekyk.
1. Kennis: Die weergee van definisies, stellings en bewyse van stellings. Die kennis
wat nodig is om ’n vraag te kan beantwoord of ’n probleem op te los en parate
wiskundige kennis soos die afgeleides en integrale van standaard funksies lê ook op
hierdie vlak.
2. Begrip: Om te weet watter tegniek om te gebruik, hoe om ’n bepaalde definisie
of stelling toe te pas, waarheen om te werk of dat ’n bepaalde formule op ’n sekere
wyse gemanupileer moet word ten einde die probleem op te los.
3. Toepassing: Enige vraag of voorbeeld wat nie ingedril is nie, lê op hierdie vlak.
4. Analise: Deurdink die probleem goed. Besef uit watter komponente die probleem
bestaan. By probleemoplossingsvrae gebeur dit eerste. Op die memorandum is daar
gewoonlik nie direkte punte wat hiervoor toegeken word nie, maar indien dit nie reg
gedoen word nie, kan die res van die probleem wat op laer vlakke lê, nie gedoen
word nie. ’n Skets is ’n goeie aanduiding dat ’n analise gedoen is en punte (soms
bonuspunte) kan hiervoor toegeken word indien dit korrek is.
5. Sintese: Enige probleem waarin ’n leerder verder moet strek as sy of haar huidige
kennis; waarin vereis word dat ’n leerder ’n patroon moet erken en ’n algemene
formule daaruit moet neerskryf.
6. Evaluering: Vra self na die betekenis van ’n antwoord. Verduidelik die betekenis
van ’n antwoord, bv. om te sê die man ry teen 20 km/uur in ’n oostelike rigting
en nie net te skryf −20 km/uur nie. Evaluering van eie berekende antwoord. Toets
die geldigheid van ’n antwoord deur ’n bepaalde toets aan te lê sonder dat daar
spesifiek daarna gevra is. Hiervoor word meestal bonuspunte toegeken.

xvi Algemene Inligting
In meeste gevalle kom meer as een vlak by dieselfde vraag voor. Selfs die neerskryf van ’n
definisie, stelling of bewys van ’n stelling lê nie net op die kennis vlak nie aangesien die
neerskryf daarvan ’n bepaalde logiese volgorde het en daarvoor is insig ’n vereiste.
Vir toelating tot die eksamen moet u ’n deelnamepunt van minstens 35% behaal. Ook,
voordat u toegelaat word tot die WISN121 module moet u WISN111 geslaag het. Hierdie
deelnamepunt word saamgestel uit punte wat u deur die loop van die semester behaal
in deelname tydens kontaksessies, werksopdragte, tutoriaaltoetse en semestertoetse. In
die eksamen skryf u een vraestel van drie ure. Die finale modulepunt word bereken
uit die eksamenpunt en die deelnamepunt in ’n 1 : 1 verhouding. Om te
slaag moet die eksamenpunt ’n minimum van 40% wees en die modulepunt ’n
minimum van 50%. Let op dat die spesiale vergunning vir bona fide eerstejaarleerders
ten opsigte van slaagvereistes vir eerstevlakmodules soos in reël A.8.7.3, slegs vir eerstesemester
modules geld.
’n Leerder wat in ’n module ’n deelnamebewys verwerf het, ontvang twee eksamengeleenthede
waartydens in sodanige module eksamen afgelê kan word, waarvan die leerder enige
een of beide kan benut, met dien verstande dat, waar ’n leerder beide sodanige
geleenthede benut, die punt wat in die tweede eksamen verwerf word, die
modulepunt bepaal. Ook, ’n leerder wat na afloop van die twee eksamengeleenthede,
ongeag of een of albei daardie geleenthede benut is, nie in ’n module geslaag het nie,
moet die betrokke module weer van voor af loop. Verder nog, wil ons dit onder
die leerders se aandag bring dat dit baie riskant sal wees om nie die eerste
eksamengeleentheid te benut nie. Sulke leerders wat dan tydens die tweede
eksamengeleentheid byvoorbeeld siek is, sal nie ’n bykomende spesiale (d.w.s.
’n derde) eksamengeleentheid ontvang nie. So ’n leerder sal weer vir daardie module
moet registreer, klasgeld betaal en klasloop om ’n nuwe deelnamepunt te verwerf om
toegang tot die volgende geskeduleerde eksamen te kry.
By die nasien van tutoriale, toetse en eksamenvraestelle word die volgende voorskrifte
gebruik.
• Die antwoorde in ’n memorandum is slegs model-antwoorde. Indien ’n antwoord nie
presies ooreenstem met die antwoord op die memorandum nie, maar dis wiskundig
korrek en binne die voorskrifte van die vraag, word al die punte vir die antwoord
toegeken.
• Indien bepaalde stappe waarvoor daar op die memorandum punte gegee word, uitlaat
word, maar dit doen nie afbreek aan die wiskundige logiese uiteensetting van die
antwoord nie, word al die punte vir die antwoord toegeken, bv. by die berekening
van integrale waar substitusie (aantal stappe) of standaardvorm (een stap) gebruik
kan word.
• Indien enkele teken-, berekening- of oorskryffoute gemaak word, sonder om die wese
van die probleem te verander, en die prosedure wat gevolg is, is korrek, word ’n
halfpunt vir elke fout afgetrek en die res van die punte vir die antwoord toegeken.
• Indien teken-, berekening- of oorskryffoute gemaak word en die probleem in die
proses aansienlik makliker gemaak word, word op die meeste die helfte van die

Algemene Inligting xvii
punte vir die antwoord toegeken.
• Indien teken-, berekening- of oorskryffoute gemaak word en die wese van die probleem
verander word, word geen verdere punte vir die antwoord toegeken nie.
• Indien die metode wat gevolg moet word om ’n vraag te beantwoord, gespesifiseer
word, en ’n ander, maar korrekte metode word gevolg, word geen punte vir die
antwoord toegeken nie.
Hoe werk die Punte?
Die assesseringsplan en die wyse waarop die deelnamepunt bereken gaan word, sal aan
die begin van die semester vir u bekendgestel word. Die deelnamepunt tel dan 50% en
die eksamenpunt 50% van die modulepunt. Slaagpunt is 50% met ’n minimum van 40%
in die eksamen. Om toelating tot die eksamen te kry, moet die deelnamepunt minstens
35% wees.
Slaagvereistes
Die dosent wat die module aanbied, het die verantwoordelikheid om te oordeel of studente
die module genoegsaam bemeester het, al dan nie. Daar is twee meganismes wat gebruik
word om dit mee te doen: formatiewe (deurlopende) en summatiewe (opsommende) assessering.
Indien ’n student ’n deelname-punt van ten minste 50% vir die formatiewe
assessering behaal het, ’n eksamenpunt van ten minste 50% vir die summatiewe assessering
behaal het en ’n modulepunt (gemiddeld van die twee) van ten minste 60% behaal
het, kan die dosent met sekerheid s dat die student die module genoegsaam bemeester
het, om daarop voort te kan bou. Die universiteit vereis ’n minimum deelnamepunt van
40%, ’n minimum eksamenpunt van 40% en ’n minimum modulepunt van 50% om seker
te maak dat studente nie weens omstandighede gedurende die semester of wat die skryf
van eksamen kon belemmer het, benadeel word nie.
’n Modulepunt van 80% is ’n sekere aanduiding dat ’n persoon die module genoegsaam
bemeester het om met gemak daarop voort te bou. ’n Module punt van 60% is aanvaarbaar
en met ’n ekstra poging van die student se kant af, kan daar op die werk voortgebou word.
Die universiteit vereis net 50% vir studente om te mag te slaag. Dis om seker te maak dat
studente nie weens omstandighede gedurende die semester of wat die skryf van eksamen
kon belemmer het, benadeel word nie. Enige punt onder 50% is dus werklik ’n aanduiding
dat die student nie die vak bemeester het nie.
Module-uitkomste
Na voltooiing van hierdie module behoort u:
1. ’n basiese kennis van kombinatorika en dit gebruik om verskeie probleme op te los;

xviii Algemene Inligting
2. bepaalde integrale ken as limiete van somme van oppervlakgedeeltes en dit kan
gebruik vir oppervlakberekeninge;
3. die basiese stellings van integraalrekening te stel en kan bewys;
4. funksies deur Taylor-reekse te kan benader;
5. lengtes van krommes sowel as die oppervlaktes en volumes van omwentelingsliggame
te kan bereken;
6. te kan demonstreer dat u wiskundige bewysvoering aan die hand van die bewyse
van geselekteerde stellings uit die Analise bemeester het;
7. ’n vermoë om probleme op te los deur gereelde oefening ontwikkel het;
8. in spanverband aktief te kan deelneem aan al die aktiwiteite van die module;
9. te besef wat die grense van hierdie vak is en wat en waarom bewerings as waar of
vals gereken word.
10. die basiese konvergensietoetse vir rye en reekse te ken en te kan gebruik om vas te stel
of (toepaslike) reekse van reële getalle divergeer, konvergeer, absoluut konvergeer of
voorwaardelik konvergeer.
Meer algemene uitkomste wat u ook moet bereik.
1. U moet kan demonstreer dat u die vermoë besit om self verantwoordelikheid vir u
eie leer (studies) te aanvaar binne ’n gestruktureerde toesighoudende omgewing.
2. U moet besluite kan neem en verantwoordelikheid aanvaar vir u handelinge en u eie
taakuitvoering.
3. U moet u eie prestasie teen gegewe kriteria kan evalueer.
Die aanbieding en evaluering van hierdie module is so saamgestel sodat indien u nie die
bogenoemde uitkomste bereik nie, u nie hierdie module sal slaag nie.

Leereenheid 1
Toepassings van Differensiasie
Tydstoedeling
8 ure 40 minute (6 kontaksessies en 1 tutoriaalsessie).
Veronderstelde Leer
1. Leereenhede 1, 2, 4, WISN111.
Leeruitkomste
1. Die begrippe ewe funksie (Definisie 1), onewe funksie (Definisie 2), kritieke punt
(Defnisie 9), stygend (Definisie 10), dalend (Definisie 11), konstant (Definisie 12),
konkaaf op (Definisie 13), konkaaf af (Definisie 14) en buigpunt (Definisie 15) te kan
definieer, te kan gebruik om funksies van soortgelyke maar onbekende voorbeelde
te kan skets en neer te kan skryf deur gebruik te maak van standaard wiskundige
simbole.
2. Die begrippe globale maksimumwaarde (Definisie 3), globale minimumwaarde (Definisie
4), globale ekstreemwaarde (Defnisie 5), lokale maksimumwaarde (Definisie 6),
lokale minimumwaarde (Definisie 7) en lokale ekstreemwaarde (Defnisie 8) te kan
definieer, te kan gebruik om funksies van soortgelyke maar onbekende voorbeelde te
kan skets, te kan gebruik om maksima en minima probleme van soortgelyke maar
onbekende voorbeelde, op te los en neer te kan skryf deur gebruik te maak van
standaard wiskundige simbole.
3. Fermat se stelling (Stelling 1) te kan formuleer, te kan gebruik om funksies van
soortgelyke maar onbekende voorbeelde te kan skets, te kan gebruik om maksima
en minima probleme van soortgelyke maar onbekende voorbeelde, op te los en neer
te kan skryf deur gebruik te maak van standaard wiskundige simbole.
4. Die stygende/dalende toets (Stelling 2) te kan formuleer, te kan gebruik om funksies
van soortgelyke maar onbekende voorbeelde te kan skets en te kan gebruik om
Stelling 3 en die tweede afgeleide toets (Stelling 7) te kan bewys deur gebruik te
maak van standaard wiskundige simbole.
1

2 Toepassings van Differensiasie
5. Stelling 3 te kan formuleer, te kan gebruik om funksies van soortgelyke maar onbekende
voorbeelde te kan skets en neer te kan skryf deur gebruik te maak van
standaard wiskundige simbole.
6. Eerste afgeleide toets (Stelling 4) en die konkawiteitstoets (Stelling 5) te kan formuleer
deur gebruik te maak van standaard wiskundige simbole en te kan gebruik om
funksies van soortgelyke maar onbekende voorbeelde te kan skets en te kan gebruik
om maksima en minima probleme van soortgelyke maar onbekende voorbeelde, op
te los en neer te kan skryf deur gebruik te maak van standaard wiskundige simbole.
7. Die ekstreemwaarde stelling (Stelling 6) en Stelling 8 te kan formuleer en te kan
gebruik in probleemoplossing van maksima en minima vir praktiese probleme van
soortgelyke maar onbekende voorbeelde deur gebruik te maak van standaard wiskundige
simbole.
8. Die tweede afgeleide toets (Stelling 7) te kan formuleer, te kan bewys en te kan
gebruik in probleemoplossing van maksima en minima vir praktiese probleme van
soortgelyke maar onbekende voorbeelde deur gebruik te maak van standaard wiskundige
simbole.
9. Die begrippe produksievlak, kostefunksie, marginale koste, gemiddelde koste, aanvraagfunksie,
inkomstefunksie, marginale inkomste, winsfunksie en marginale wins
te kan definieer, te kan gebruik om Stellings 9 en 10 te kan bewys en te kan gebruik
in probleemoplossing van maksima en minima vir praktiese probleme van soortgelyke
maar onbekende voorbeelde deur gebruik te maak van standaard wiskundige
simbole.
10. Stellings 9 en 10 te kan formuleer, te kan bewys en te kan gebruik in probleemoplossing
van maksima en minima vir praktiese probleme van soortgelyke maar onbekende
voorbeelde deur gebruik te maak van standaard wiskundige simbole.
Teksverwysings
Stewart, 7de uitgawe: Afdelings 3.1, 3.3, 3.4, 3.5, 3.7, 3.8.
Stewart, 6de uitgawe: Afdelings 4.1, 4.3, 4.4, 4.5, 4.7, 4.8.
Studiegids: Afdelings 1.1, 1.2.
Voorbereiding
Lees die gegewe gedeeltes in die handboek en die studiegids deur.
Werk die volgende voorbeelde van Stewart (7de uitgawe) deur:
Afdeling 3.4: 1 - 4;
Afdeling 3.3: 1, 3, 4, 6;
Afdeling 3.4: 1;
Afdeling 3.5: 1 - 4;
Afdeling 3.7: 1;
Afdeling 2.7: 8.

Toepassings van Differensiasie 3
Werk die volgende voorbeelde van Stewart (6de uitgawe) deur:
Afdeling 4.4: 1 - 4;
Afdeling 4.3: 1, 3, 4, 6;
Afdeling 4.4: 1;
Afdeling 4.5: 1 - 4;
Afdeling 4.7: 1;
Afdeling 3.7: 8.
Beantwoord die volgende vrae en handig dit in aan die begin van die eerste kontaksessie
van die leereenheid:
1. Teken die funksies.
(a) y = 2|x − 2|
(b) y = 3e x
(c) x = cosx
2. Bepaal die limiete.
1 (a) lim
x→∞ x
sin3x
(b) lim
x→0 x
(c) lim
x→−∞
√ x 6
3. Bepaal die afgeleides.
(a) f(x) = sin x cosx
x
(b) g(x) = 3e 3x3 −x
(c) h(x) = sin 2 (4x)
4. Bepaal die asimptote van die funksies.
(a) f(x) = 3x 5 − 5x 3 + 3
(b) g(x) = x √ x 2 + 1
(c) h(x) = sin 2 x, 0 ≤ x ≤ π
Inoefening van Vaardighede
Werk die volgende voorbeelde van Stewart (7de uitgawe) deur:
Afdeling 3.1: 5 - 8;
Afdeling 3.3: 2, 5, 7;
Afdeling 3.5: 2 - 4;
Afdeling 3.7: 2 - 5.
Werk die volgende voorbeelde van Stewart (6de uitgawe) deur:
Afdeling 4.1: 5 - 8;

4 Toepassings van Differensiasie
Afdeling 4.3: 2, 5, 7;
Afdeling 4.5: 2 - 4;
Afdeling 4.7: 2 - 5.
Doen die volgende oefeninge:
Stewart, 7de uitgawe:
Oef. 3.1: 5, 6, 7, 8, 29, 34, 36, 45, 51, 55;
Oef. 3.3: 8, 9, 14, 21, 23, 38, 66;
Oef. 3.4: 54, 56;
Oef. 3.5: 17, 19, 25, 30;
Oef. 3.7: 13, 21, 23, 27, 61, 62;
Oef. 2.7: 29, 30.
Stewart, 6de uitgawe:
Oef. 4.1: 5, 6, 7, 8, 29, 34, 36, 45, 51, 55;
Oef. 4.3: 8, 9, 14, 21, 23, 38, 64;
Oef. 4.4: 52, 54;
Oef. 4.5: 15, 17, 23, 28;
Oef. 4.7: 11, 19, 21, 25, 57, 58;
Oef. 3.7: 27, 28.

Toepassings van Differensiasie 5
1.1 Krommesketsing
(Vier kontaksessies)
In hierdie paragraaf word geleer hoe om rasionale funksies en ander bekende funksies te
skets. Differensiaalrekening, limiete en begrippe soos simmetrie-lyn, ewe- en onewe
funksies, periodiese funksie en asimptoot is belangrik in die skets van krommes.
Akkurate puntsketsing van krommes kan natuurlik deur moderne tegnieke op rekenaar
gedoen word. In baie wiskundige toepassings is dit egter nie wat benodig word nie, maar
eerder presiese bepaling van enkele belangrike punte en intervalle soos bv. kritieke punte,
buigpunte, intervalle waarop die funksie styg of daal, punte van diskontinuïteit, ens.
Definisie 1
Die funksie f(x) is ’n ewe funksie indien f(x) = f(−x) vir alle x ∈ Df.
’n Ewe funksie word in figuur 19 (afdeling 1.1, Stewart, 7de uitgawe) of figuur 19 (afdeling
1.1, Stewart, 6de uitgawe) geïllustreer.
Definisie 2
Die funksie f(x) is ’n onewe funksie indien f(x) = −f(−x) vir alle x ∈ Df.
’n Onewe funksie word in figuur 20 (afdeling 1.1, Stewart, 7de uitgawe) of figuur 20
(afdeling 1.1, Stewart, 6de uitgawe) geïllustreer.
Definisie 3
’n Funksie f het ’n globale (absolute) maksimumwaarde f(c) in die punt c as f(c) ≥
f(x) vir alle x ∈ Df.
Definisie 4
’n Funksie f het ’n globale (absolute) minimumwaarde f(c) in die punt c as f(c) ≤
f(x) vir alle x ∈ Df.
Definisie 5
’n Funksie f het ’n globale (absolute) ekstreemwaarde f(c) in die punt c as f(c) óf
’n globale maksimumwaarde óf ’n globale minimumwaarde van f is.
Vir die funksie in figuur 1 (afdeling 3.1, Stewart, 7de uitgawe) en figuur 1 (afdeling 4.1,
Stewart, 6de uitgawe) is f(a) die globale minimumwaarde en f(d) die globale maksimumwaarde.
Funksies kan waardes hê wat lokaal ’n minimum of ’n maksimum is. Dit beteken dat slegs
’n gedeelte van die funksie beskou word.
Definisie 6
’n Funksie f het ’n lokale (relatiewe) maksimumwaarde f(c) in die punt c as f(c) ≥
f(x) vir alle x in ’n oop interval wat c bevat.

6 Toepassings van Differensiasie
Definisie 7
’n Funksie f het ’n lokale (relatiewe) minimumwaarde f(c) in die punt c as f(c) ≤
f(x) vir alle x in ’n oop interval wat c bevat.
Definisie 8
’n Funksie f het ’n lokale (relatiewe) ekstreemwaarde f(c) in die punt c as f(c) óf
’n lokale maksimumwaarde óf ’n lokale minimumwaarde van f is.
In figuur 1 (afdeling 3.1, Stewart, 7de uitgawe) en figuur 1 (afdeling 4.1, Stewart, 6de uitgawe)
is f(b) en f(d) lokale maksimumwaardes en f(c) en f(e) lokale minimumwaardes.
Die waarde f(a) is nie ’n lokale minimumwaarde nie aangesien dit nie aan die voorwaardes
van Definisie 7 voldoen nie. Lokale ekstreemwaardes kom dus nie by eindpunte
van intervalle voor nie. Bestudeer voorbeelde 1-4 (afdeling 3.1, Stewart, 7de uitgawe)
voorbeelde 1-4 (afdeling 4.1, Stewart, 6de uitgawe). Dit is belangrik om daarop te let
dat ekstreemwaardes (globaal en lokaal) funksiewaardes is en dus elemente is van die
waardeversameling van die funksie.
Stelling 1
Fermat se Stelling. As f ’n lokale ekstreemwaarde in die punt c het, dan is óf f ′ (c) = 0
óf f is nie differensieerbaar in die punt c nie.
Definisie 9
’n Kritieke punt van f is enige punt c ∈ Df waarvoor f ′ (c) = 0 óf waar f nie differensieerbaar
is nie. Die kritieke punte c van f waarvoor f ′ (c) = 0 word stasionêre punte
van f genoem.
Fermat se stelling kan dus ook soos volg geskryf word: As f ’n lokale ekstreemwaarde in
die punt c het, dan is c ’n kritieke punt van f. Dit is belangrik om daarop te let dat
alhoewel die punte waar ’n funksie lokale ekstreemwaardes het, ook kritieke punte is, daar
nie noodwendig lokale ekstreemwaardes by alle kritieke punte is nie soos in voorbeeld 5
(afdeling 3.1, Stewart, 7de uitgawe) en voorbeeld 5 (afdeling 4.1, Stewart, 6de uitgawe).
Bestudeer ook voorbeelde 6 en 7 (afdeling 3.1, Stewart, 7de uitgawe) of voorbeelde 6 en
7 (afdeling 4.1, Stewart, 6de uitgawe). Dit is verder ook belangrik om daarop te let dat
kritieke punte in die definisieversameling van die funksie is. Indien die afgeleide nul is of
nie bestaan nie by ’n punt wat nie in die definisieversameling van die funksie is nie, is so
’n punt nie ’n kritieke punt nie.
Fermat se stelling gee aanleiding tot die volgende metode om ekstreemwaardes van ’n
funksie f op die geslote interval [a, b] te bepaal:
1. Bepaal Df.
2. Bepaal die kritieke punte van f.
3. Bereken f(a), f(b) en f(c) by elke kritieke punt c.
4. Die grootste van die funksiewaardes in die vorige stap is die globale maksimumwaarde
van f en die kleinste van die funksiewaardes is die globale minimumwaarde van f.

Toepassings van Differensiasie 7
Hierdie metode word in voorbeelde 8 en 10 (afdeling 3.1, Stewart, 7de uitgawe) en voorbeelde
8 en 10 (afdeling 4.1, Stewart, 6de uitgawe) toegepas.
Die eerste en tweede afgeleides van ’n funksie word gebruik om te bepaal waar (op watter
intervalle) die funksie stygend of dalend is en waar dit konkaaf op of af is. Hierdie
gegewens is belangrik wanneer sketse van krommes gedoen word.
Definisie 10
Die funksie f is stygend op ’n interval I as vir elke keuse van x1, x2 ∈ I só dat x1 < x2
geld dat f(x1) < f(x2).
Definisie 11
Die funksie f is dalend op ’n interval I as vir elke keuse van x1, x2 ∈ I só dat x1 < x2
geld dat f(x1) > f(x2).
Definisie 12
Die funksie f is konstant op ’n interval I as vir elke keuse van x1, x2 ∈ I geld dat
f(x1) = f(x2).
Hierdie definisies word gebruik om die stygende/dalende toets, wat dit makliker maak om
te bepaal of ’n funksie stygend, dalend of konstant op ’n sekere interval is, te bewys.
Stelling 2
Stygende/Dalende Toets. Gestel f is kontinu op die geslote interval [a, b] en differensieerbaar
op die oop interval (a, b).
(a) As f ′ (x) > 0 vir alle x ∈ (a, b), dan is f stygend op [a, b].
(b) As f ′ (x) < 0 vir alle x ∈ (a, b), dan is f dalend op [a, b].
(c) As f ′ (x) = 0 vir alle x ∈ (a, b), dan is f konstant op [a, b].
Uit die stygende/dalende toets kan afgelei word dat:
Stelling 3
Gestel f en g is albei kontinu op die geslote interval [a, b] en differensieerbaar op die oop
interval (a, b). As f ′ (x) = g ′ (x) vir alle x ∈ (a, b) dan bestaan daar ’n konstante c só dat
Bewys:
Laat h(x) = f(x) − g(x). Dan is
f(x) − g(x) = c, ∀x ∈ [a, b].
h ′ (x) = f ′ (x) − g ′ (x) = 0
vir alle x ∈ (a, b).
Volgens die stygende/dalende toets is h(x) konstant vir alle x ∈ [a, b] en is
f(x) − g(x) = c

8 Toepassings van Differensiasie
vir alle x ∈ [a, b] met c ’n konstante. ✷
Aangesien die teken van die afgeleide van die funksie by kritieke punte, Definisie 9, kan
verander, moet die kritieke punte eers bepaal word. Die kritieke punte is die eindpunte
van die intervalle waarop die stygende/dalende toets toegepas moet word. Bestudeer
voorbeeld (afdeling 3.3, Stewart, 7de uitgawe) of voorbeeld 1 (afdeling 4.3, Stewart, 6de
uitgawe).
Wanneer die intervalle waarop die funksie stygend en dalend is, bekend is, kan die ekstreemwaardes
maklik bepaal word volgens die eerste afgeleide toets.
Stelling 4
Eerste Afgeleide Toets. Gestel f is kontinu in ’n kritieke punt c.
(a) As daar ’n δ > 0 bestaan só dat f ′ (x) > 0 vir alle x ∈ (c − δ, c) en f ′ (x) < 0 vir alle
x ∈ (c, c + δ), dan het f ’n lokale maksimumwaarde f(c) in die punt c.
(b) As daar ’n δ > 0 bestaan só dat f ′ (x) < 0 vir alle x ∈ (c − δ, c) en f ′ (x) > 0 vir alle
x ∈ (c, c + δ), dan het f ’n lokale minimumwaarde f(c) in die punt c.
(c) As daar ’n δ > 0 bestaan só dat f ′ (x) > 0 vir alle x ∈ (c −δ, c) ∪(c, c+δ) of f ′ (x) < 0
vir alle x ∈ (c − δ, c) ∪ (c, c + δ), dan het f geen lokale ekstreemwaarde in die punt c nie.
Hierdie stelling word in figuur 3 (afdeling 3.3, Stewart, 7de uitgawe) en figuur 3 (afdeling
4.3, Stewart, 6de uitgawe) geïllustreer. Bestudeer voorbeelde 2 en 3 (afdeling 3.3, Stewart,
7de uitgawe) of voorbeelde 2 en 3 (afdeling 4.3, Stewart, 6de uitgawe).
’n Stygende funksie kan op drie verskillende maniere vanaf ’n punt A na ’n punt B styg. Die
eerste manier is deur middel van ’n reguitlyn. In so ’n geval is die eerste afgeleide wat die
gradient van die reguitlyn aandui, konstant en die tweede afgeleide nul. Die tweede manier
is deur middel van ’n kromme met ’n kromming na bo (konkaaf op) soos in figuur 5(a)
(afdeling 3.3, Stewart, 7de uitgawe) en figuur 5(a) (afdeling 4.3, Stewart, 6de uitgawe). In
hierdie geval neem die waarde van die eerste afgeleide toe soos in figuur 6(a) (afdeling 3.3,
Stewart, 7de uitgawe) en figuur 6(a) (afdeling 4.3, Stewart, 6de uitgawe) aangedui. Die
derde manier is deur middel van ’n kromme met kromming na onder (konkaaf af) soos in
figuur 5(b) (afdeling 3.3, Stewart, 7de uitgawe) en figuur 5(b) (afdeling 4.3, Stewart, 6de
uitgawe). In hierdie geval neem die waarde van die eerste afgeleide af soos in figuur 6(b)
(afdeling 3.3, Stewart, 7de uitgawe) en figuur 6(b) (afdeling 4.3, Stewart, 6de uigawe)
aangedui. Dieselfde geld vir ’n funksie wat dalend is.
Definisie 13
Gestel f is ’n differensieerbare funksie op ’n interval I. Die funksie f is konkaaf op op
die interval as f ′ stygend is op die interval.
Definisie 14
Gestel f is ’n differensieerbare funksie op ’n interval I. Die funksie f is konkaaf af op
die interval as f ′ dalend is op die interval.
In figuur 7 (afdeling 3.3, Stewart, 7de uitgawe) en figuur 7 (afdeling 4.3, Stewart, 6de
uitgawe) word die begrippe konkaaf op en konkaaf af verder geïllustreer. Definisies 13 en

Toepassings van Differensiasie 9
14 kan gebruik word om die konkawiteit van ’n funksie op ’n spesifieke interval te bepaal.
Die konkawiteitstoets maak dit makliker om die konkawiteit van ’n funksie op ’n spesifieke
interval te bepaal.
Stelling 5
Konkawiteitstoets. Gestel f is op (a, b) gedefinieer en twee maal differensieerbaar op
(a, b).
(a) As f ′′ (x) > 0 vir alle x ∈ (a, b), dan is f konkaaf op op (a, b).
(b) As f ′′ (x) < 0 vir alle x ∈ (a, b), dan is f konkaaf af op (a, b).
Om die intervalle waar die funksie konkaaf op en konkaaf af is, te bepaal, moet op ’n wyse
soortgelyk aan die bepaling van die intervalle waarop die funksie stygend en dalend is, te
werk gegaan word. Die punte waar die tweede afgeleide nul is en nie bestaan nie, vorm
die eindpunte van die intervalle.
Punte waar ’n grafiek van ’n funksie se konkawiteit verander is van besondere belang.
Definisie 15
Die punt (x0, f(x0)) waar die konkawiteit van ’n kontinue funksie f op ’n interval I (met
x0 ∈ I) verander, is ’n buigpunt van die funksie f.
Anders as ekstreemwaardes wat funksiewaardes is en kritieke punte wat punte in die
definisieversameling van die funksie is, is buigpunte punte op die grafiek van die funksie
en is dit in die vorm (x0, f(x0) = y0). Buigpunte kom nie voor waar funksies diskontinue
spronge maak nie, al verander die konkawiteit daar.
As f ’n buigpunt (c, f(c)) het, dan is die teken van f ′′ verskillend links en regs van c.
As f ′′ boonop kontinu is in die punt c, kan afgelei word dat f ′′ (c) = 0 moet wees. Die
omgekeerde (g ′′ (c) = 0 impliseer dat g ’n buigpunt in die punt c het) is nie noodwendig
waar nie. Beskou bv. die funksie g(x) = x 4 . Hier is g ′′ (0) = 0, terwyl (0, 0) nie ’n
buigpunt van g is nie!
Bestudeer voorbeelde 5 en 7 (afdeling 3.3, Stewart, 7de uitgawe) of voorbeelde 5 en 7
(afdeling 4.3, Stewart, 6de uitgawe).
Om die grafiek van ’n funksie te skets, kan die volgende prosedure gevolg word:
1. Bepaal die definisieversameling van die funksie.
2. Bepaal die x- en y-afsnitte van die funksie.
3. Bepaal die vertikale- en horisontale asimptote van die funksie.
4. Bepaal die kritieke punte van die funksie.
5. Bepaal die intervalle waarop die funksie stygend of dalend is.
6. Bepaal die lokale ekstreemwaardes van die funksie.
7. Bepaal die intervalle waarop die funksie konkaaf op of konkaaf af is.

10 Toepassings van Differensiasie
8. Bepaal die buigpunte van die funksie.
9. Skets die grafiek van die funksie.
Voorbeeld 1: Skets die grafiek van f(x) = x 3 − x − 1.
1. Definisieversameling Df = {x ∈ R}.
2. x-afsnit: f(x) = 0 ⇒ x = 1.325. (Hierdie waarde is met behulp van Newton se
metode soos in (afdeling 4.9 in die 5de uitgawe en afdeling 4.9 in die 6de uitgawe,
Stewart) verduidelik, bepaal.)
y-afsnit: f(0) = −1.
3. Geen vertikale asimptote aangesien die funksie orals bestaan.
Geen horisontale asimptote aangesien
en
4. Kritieke punte
lim
x→−∞ (x3 − x − 1) = lim
x→−∞ x3 = −∞
lim
x→∞ (x3 − x − 1) = lim x
x→∞ 3 = ∞.
f ′ (x) = 3x 2 − 1 = 0 ⇒ x = ± 1
√ 3 is kritieke punte.
5. Intervalle waarop die funksie stygend en dalend is
6. Lokale ekstreemwaardes
x < − 1 √ , f
3 ′ > 0, stygend,
− 1 √ < x <
3 1 √ , f
3 ′ < 0, dalend,
x > 1 √ , f
3 ′ > 0, stygend.
f(−1/ √ 3) = 2/(2 √ 3) − 1 ≈ −0.62, lokale maksimumwaarde,
f(1/ √ 3) = −2/(2 √ 3) − 1 ≈ −1.38, lokale minimumwaarde.
7. Intervalle waarop die funksie konkaaf op en konkaaf af is: f ′′ (x) = 6x sodat
8. Buigpunt (0, f(0)) = (0, −1).
9. Grafiek
x < 0, f ′′ < 0, konkaaf af,
x > 0, f ′′ > 0, konkaaf op.

Toepassings van Differensiasie 11
−2
( −√ 3
3
−1
, −0.62)
1
−1
−2
y
p(x) = x 3 − x − 1
1 2
( √ 3,
−1.38) 3
Voorbeeld 2: Skets die grafiek van f(x) = x+5
√ x+2 .
1. Definisieversameling Df = {x ∈ R : x > −2}.
2. x-afsnit: f(x) = 0 ⇒ x = −5
y-afsnit: f(0) = 5/ √ 2 ≈ 3.54
3. ’n Vertikale asymptote kom voor by x = −2 want
lim
x→−2 +
x + 5
√ = ∞.
x + 2
Geen horisontale asimptoot kom voor nie want
lim
x→∞
4. Kritieke punte
x + 5
√ x + 2 = lim
x→∞
f ′ (x) =
1
= lim
1/2(x + 2) −1/2 x→∞ 2(x + 2)1/2 = ∞.
x − 1
= 0 ⇒ x = 1 is ’n kritieke punt.
2(x + 2) 3/2
Hoewel die afgeleide nie by x = −2 bestaan nie, is dit nie ’n kritieke punt aangesien
−2 nie in Df is nie.
5. Intervalle waarop die funksie stygend en dalend is
−2 < x < 1, f ′ < 0, dalend,
x > 1, f ′ > 0, stygend.
x

12 Toepassings van Differensiasie
6. Lokale ekstreemwaardes: f(1) = 2 √ 3 ≈ 1.73 is ’n lokale minimumwaarde.
7. Intervalle waarop die funksie konkaaf op en konkaaf af is: f ′′ (x) = −x+7
4(x+2) 5/2 sodat
8. Buigpunt (7, f(7)) = (7, 4).
9. Grafiek
−2
−1
9
8
7
6
5
4
3
2
1
y
(0; 5
√
2) 2
−2 < x < 7, f ′′ > 0, konkaaf op,
x > 7, f ′′ < 0, konkaaf af.
(1; 2 √ 3)
f(x) = x+5
√ x+2
(7; 4)
1 2 3 4 5 6 7 8 9
Bestudeer ook voorbeelde 1-4 (afdeling 3.5, Stewart, 7de uitgawe) of voorbeelde 1-4 (afdeling
4.5, Stewart, 6de uitgawe).
1.2 Toegepaste Maksima- en Minimaprobleme
(Twee kontaksessies)
Optimaliseringsprobleme berus op die bepaling van die grootste (globale maksimum) of
kleinste (globale minimum) waarde van ’n funksie op ’n sekere interval.
Die uitspraak van die volgende stelling is waarskynlik in lyn met ’n mens se intuïsie, maar
tog is die bewys nie so eenvoudig nie en berus op tegnieke wat nog nie tot dusver behandel
is nie. Vir die doeleindes van hierdie module sal die stelling sonder bewys aanvaar word.
Stelling 6
Ekstreemwaardestelling. As ’n funksie f kontinu is op ’n geslote interval [a, b] dan
het f beide ’n globale maksimum- en ’n globale minimumwaarde op [a, b], m.a.w. daar
bestaan ’n c ∈ [a, b] en ’n d ∈ [a, b] só dat f(c) ’n globale maksimumwaarde is en f(d) ’n
globale minimumwaarde is.
x

Toepassings van Differensiasie 13
Hierdie stelling word in figure 5, 6, en 7 (afdeling 3.1, Stewart, 7de uitgawe) en figure 5,
6 en 7 (afdeling 4.1, Stewart, 6de uitgawe) geïllustreer.
Indien die intervalle waarop ’n funksie stygend en dalend is, nie bekend is nie en die
funksie twee keer differensieerbaar is, kan die tweede afgeleide toets gebruik word om die
ekstreemwaardes te bereken.
Stelling 7
Tweede Afgeleide Toets. Gestel f is twee keer differensieerbaar in die punt c só dat
f ′ (c) = 0.
(a) As f ′′ (c) > 0, dan het f ’n lokale minimumwaarde in die punt c.
(b) As f ′′ (c) < 0, dan het f ’n lokale maksimumwaarde in die punt c.
In die geval waar f ′′ = 0 lewer die tweede afgeleide toets geen uitspraak nie. In hierdie
geval moet die eerste afgeleide toets gebruik word. Die algemene bewys van die stelling
word nie hier bespreek nie. Indien aangeneem word dat f ′′ kontinu is in die punt c (soos
dikwels die geval is), is die bewys eenvoudiger. Die stelling word vir (b) bewys. Die bewys
vir (a) wat op ’n soortgelyke wyse volg, moet u self uitskryf. U moet albei bewyse kan
weergee.
Bewys vir (b) as f ′′ kontinu is: Omdat f ′′ kontinu is, is lim f
x→c ′′ (x) = f ′′ (c) en bestaan
’n δ > 0 só dat f ′′ (x) < 0 vir alle x ∈ (c − δ, c + δ).
Dus is f ′ ’n dalende funksie op die interval (c − δ, c + δ) volgens die stygende/dalende
toets.
Maar f ′ (c) = 0.
Dus is f ′ (x) > 0 as c − δ < x < c en f ′ (x) < 0 as c < x < c + δ.
Volgens die eerste afgeleide toets het f ’n lokale maksimum in c. ✷
Bestudeer voorbeeld 6 (afdeling 3.3, Stewart, 7de uitgawe) of voorbeeld 6 (afdeling 4.3,
Stewart, 6de uitgawe).
Alhoewel die volgende stelling nie bewys word nie, kan u uself die resultaat maklik voorstel.
Stelling 8
Gestel f is kontinu op ’n interval I en dat f presies een lokale ekstreemwaarde f(c) in
die punt c ∈ I het.
(a) As f ’n lokale minimumwaarde f(c) in die punt c het, dan is f(c) die globale minimumwaarde
van f op I.
(b) As f ’n lokale maksimumwaarde f(c) in die punt c het, dan is f(c) die globale maksimumwaarde
van f op I.
Die volgende metode word in die oplossing van toegepaste maksima- en minimaprobleme
gebruik:
1. Maak ’n geskikte tekening waarop die relevante groothede duidelik aangedui word.

14 Toepassings van Differensiasie
2. Probeer ’n formule vind vir die grootheid wat gemaksimaliseer of geminimaliseer
moet word.
3. Deur ’n proses van eliminasie moet die grootheid wat gemaksimaliseer of geminimaliseer
moet word, as ’n funksie van een veranderlike geskryf word.
4. Gewoonlik is die veranderlike in die funksie waarna in die vorige stap verwys word,
beperk tot waardes in ’n interval wat deur fisiese beperkings voorgeskryf word.
Indien wel, moet hierdie interval bepaal word.
5. Bepaal dan die maksimum- of minimumwaarde van hierdie funksie op die interval
soos in die vorige stap bepaal.
Indien daar in die laaste stap net een punt is waar ’n lokale ekstreemwaarde voorkom,
kan Stelling 8 saam met die tweede afgeleide toets, Stelling 7, gebruik word. Indien
dit nie die gewenste resultaat lewer nie of indien daar meer as een punt is waar lokale
ekstreemwaardes voorkom, moet die metode wat net na Definisie 9, bespreek word, gebruik
word.
Voorbeeld: In die skets hieronder is x en y veranderlikes. Die binneveld van die 440
meter baan bestaan uit ’n reghoek en twee halfsirkels. Wat moet die waardes van x en y
wees sodat die oppervlakte van die reghoek maksimaal sal wees?
y
x
Die oppervlakte A van die reghoek moet gemaksimaliseer word. Let op dat
Dus
x =
Dus volg dat
Verder is
440 − πy
, A(y) =
2
A ′ (y) =
A = xy, 2x + πy = 440.
y(440 − πy)
2
= 440y − πy2
, y ∈ 0,
2
440
.
π
440 − 2πy
, A
2
′ (y) = 0 ⇒ y = 220
π .
220
A(0) = 0, A
π
= 24200
, A
π
sodat die maksimum oppervlakte 24200
is wanneer y = π 220
π
440
= 0,
π
en x = 110.

Toepassings van Differensiasie 15
Bestudeer ook voorbeelde 1-5 (afdeling 3.7, Stewart, 7de uitgawe) ofvoorbeelde 1-5 (afdeling
4.7, Stewart, 6de uitgawe).
In die besigheidswêreld word altyd gestreef na ’n minimum vervaardigingskoste en ’n
maksimum wins. Hier volg ’n paar definisies in verband met die vervaardigingskoste van
’n produk:
1. Die aantal eenhede of produksievlak van ’n bepaalde produk is x.
2. Die kostefunksie C(x) is die totale koste om x aantal eenhede te vervaardig.
3. Die marginale koste is C ′ (x).
4. Die gemiddelde kostefunksie c(x) = C(x)/x is die gemiddelde koste per eenheid.
Dit is belangrik om daarop te let dat indien die kostefunksie C(x) in R is, die marginale
koste C ′ (x) en die gemiddelde koste c(x) in R/eenheid is.
Stelling 9
Die gemiddelde koste is ’n minimum wanneer die marginale koste gelyk is aan die gemiddelde
koste.
C ′ (x) = c(x)
Bewys: Die afgeleide van die gemiddelde koste is
c ′ (x) = C′ (x)x − C(x)
x2 ⇒ C ′ (x) = C(x)
= c(x).
x
✷
Gebruik altyd die tweede afgeleide toets, Stelling 7, om te verseker dat ’n bepaalde produksievlak
wel ’n minimum gemiddelde koste gee. Dit beteken dat c ′′ (x) > 0 moet wees.
Hier volg ’n paar definisies in verband met wins:
1. Die aanvraagfunksie p(x) is die prys per eenheid waarteen ’n maatskappy die
produk kan verkoop indien dit x eenhede verkoop.
2. Die inkomstefunksie is R(x) = xp(x).
3. Die marginale inkomstefunksie is R ′ (x).
4. Die winsfunksie is P(x) = R(x) − C(x).
5. Die marginale winsfunksie is P ′ (x).
Dit is belangrik om daarop te let dat indien die aanvraagfunksie p(x) in R/eenheid is, die
inkomstefunksie R(x) en die winsfunksie P(x) in R en die marginale inkomste R ′ (x) en
marginale wins P ′ (x) in R/eenheid is.
= 0

16 Toepassings van Differensiasie
Stelling 10
Die wins is ’n maksimum wanneer die marginale inkomste gelyk is aan die marginale
koste.
R ′ (x) = C ′ (x)
Bewys: Die afgeleide van die winsfunksie is
P ′ (x) = R ′ (x) − C ′ (x) = 0
⇒ R ′ (x) = C ′ (x)
✷
Gebruik altyd die tweede afgeleide toets, Stelling 7, om te verseker dat ’n bepaalde produksievlak
wel ’n maksimum wins gee. Dit beteken dat
P ′′ (x) < 0
⇒ R ′′ (x) − C ′′ (x) < 0
⇒ R ′′ (x) < C ′′ (x).
Bestudeer voorbeeld 3 (afdeling 3.7, Stewart, 7de uitgawe) of voorbeeld 3 (afdeling 4.7,
Stewart, 6de uitgawe).

Leereenheid 2
Bepaalde Integrale en die
Hoofstellings van Analise
Tydstoedeling
9 ure 30 minute (7 kontaksessies en 1 tutoriaalsessie).
Veronderstelde Leer
1. Leereenhede 1, 2, 4, 5, WISN111.
2. Sigma notasie (bylaag E, Stewart).
Leeruitkomste
1. Die begrippe oppervlakte onder ’n kromme (Definisie 16), integreerbaarheid (Definisie
17), bepaalde integraal (Definisie 18) en begrens (Definisie 19) te kan definieer
en te kan gebruik om oppervlaktes onder krommes en bepaalde integrale van funksies
van soortgelyke maar onbekende voorbeelde te bepaal deur gebruik te maak van
standaard wiskundige simbole.
2. Die integrasiestellings 11, 12, 13 en 14 te kan formuleer en te kan gebruik om oppervlaktes
onder krommes en bepaalde integrale van funksies van soortgelyke maar
onbekende voorbeelde te bepaal deur gebruik te maak van standaard wiskundige
simbole.
3. Die middelwaardestelling (Stelling 15) te kan formuleer en te kan gebruik om die
tweede hoofstelling van analise (Stelling 18) en te bewys deur gebruik te maak van
standaard wiskundige simbole.
4. Die middelwaardestelling vir integrale (Stelling 16) te kan formuleer, te kan bewys
en te kan gebruik om die eerste hoofstelling van analise (Stelling 17) te bewys deur
gebruik te maak van standaard wiskundige simbole.
5. Die begrip gemiddelde waarde van ’n funksie oor ’n interval (Definisie 20) te kan
definieer en te kan gebruik om die gemiddelde waarde van ’n funksie oor ’n interval
te bereken deur gebruik te maak van standaard wiskundige simbole.
17

18 Bepaalde Integrale en die Hoofstellings van Analise
6. Die eerste hoofstelling van analise (Stelling 17) te kan formuleer, te kan bewys en
te kan gebruik om die afgeleides van funksies van soortgelyke, maar onbekende
voorbeelde te bepaal deur gebruik te maak van standaard wiskundige simbole.
7. Die tweede hoofstelling van analise (Stelling 18) te kan formuleer, te kan bewys en te
kan gebruik om die oppervlaktes onder krommes en bepaalde integrale van funksies
van soortgelyke, maar onbekende voorbeelde te bepaal deur gebruik te maak van
standaard wiskundige simbole.
8. Die substitusiereël vir bepaalde integrale (Stelling 19) te kan formuleer en te kan
gebruik om die oppervlaktes onder krommes en bepaalde integrale van funksies
van soortgelyke, maar onbekende voorbeelde te bepaal deur gebruik te maak van
standaard wiskundige simbole.
Teksverwysings
Stewart (7de uitgawe): Afdelings 3.2, 4.1, 4.2, 4.3, 4.5, 5.5.
Stewart (6de uitgawe): Afdelings 4.2, 5.1, 5.2, 5.3, 5.5, 6.5.
Studiegids: Afdeling 2.1, 2.2.
Voorbereiding
Lees die gegewe gedeeltes in die handboek en die studiegids deur.
Werk die volgende voorbeelde van Stewart (7de uitgawe) deur:
Bylaag E: 1-3;
Afdeling 3.2: 3;
Afdeling 4.1: 1, 2;
Afdeling 4.2: 1, 4, 6, 7;
Afdeling 4.3: 1, 3-5; Afdeling 4.5: 6, 7;
Afdeling 5.5: 2.
Werk die volgende voorbeelde van Stewart (6de uitgawe) deur:
Bylaag E: 1-3;
Afdeling 4.2: 3;
Afdeling 5.1: 1, 2;
Afdeling 5.2: 1, 4, 6, 7;
Afdeling 5.3: 1, 3-5; Afdeling 5.5: 6, 7;
Afdeling 6.5: 2.
Beantwoord die volgende vrae en handig dit in aan die begin van die eerste kontaksessie
van die leereenheid:
1. Bereken die oppervlakte onder die kromme f(x) = 2x + 1, x ∈ [0, 2] op die eenvoundigste
moontlike manier. Teken ’n skets om u antwoord toe te lig.
2. Bereken die benaderde oppervlakte onder die kromme f(x) = x 2 , x ∈ [0, 4] met
behulp van vier reghoeke waarvan die basisse ewe groot is. Kies die hoogte van die

Bepaalde Integrale en die Hoofstellings van Analise 19
reghoek telkens as die funksie-waarde in die middel van die reghoek. Teken ’n skets
om u antwoord toe te lig.
3. Wat is die gemiddeld van die funksie f(x) = 3x 2 oor die interval [1, 3]?
4. Bereken die afgeleide g ′ (x) van die funksie g(x) = x
2 (t2 + 1) 5 dt sonder om die
integraal te bereken.
5. Bereken die bepaalde integraal 3
1 x(x2 + 1) 6 dx.
Inoefening van Vaardighede
Werk die volgende voorbeelde van Stewart (7de uitgawe) deur:
Bylaag E: 6, 7;
Afdeling 3.2: 4;
Afdeling 4.2: 2, 5;
Afdeling 4.3: 2, 6-8.
Werk die volgende voorbeelde van Stewart (6de uitgawe) deur:
Bylaag E: 6, 7;
Afdeling 4.2: 4;
Afdeling 5.2: 2, 5;
Afdeling 5.3: 2, 6-8.
Doen die volgende oefeninge:
Stewart (7de uitgawe):
Oef. E: 12, 13, 14, 15, 16, 20, 35, 41(c), 44;
Oef. 3.2: 13, 14, 15, 16;
Oef. 4.1: 2, 5, 13, 14, 16, 20, 21, 22, 30;
Oef. 4.2: 2, 12, 19, 30, 36, 47, 54, 62, 68;
Oef. 4.3: 9, 14, 26, 27, 31, 43, 49, 57(a), 57(b), 73, 75;
Oef. 4.5: 4, 12, 35, 40, 43, 56, 81, 84.
Stewart (6de uitgawe):
Oef. E: 12, 13, 14, 15, 16, 20, 35, 41(c), 44;
Oef. 4.2: 12, 13, 15, 16;
Oef. 5.1: 2, 5, 11, 12, 14, 18, 19, 20, 26;
Oef. 5.2: 2, 11, 20, 30, 38, 47, 51, 58, 65;
Oef. 5.3: 9, 14, 26, 27, 31, 41, 47, 53(a), 53(b), 69, 71;
Oef. 5.5: 4, 12, 35, 40, 43, 54, 79, 82.

20 Bepaalde Integrale en die Hoofstellings van Analise
2.1 Integrasie: Definisie en Bepaalde Integrale
(Drie kontaksessies)
In afdeling 5.1 (Stewart, 6de uitgawe) en afdeling 5.1 (Stewart, 6de uitgawe) word die
definisie van die oppervlakte van die gebied onder ’n kontinue funksie op ’n geslote interval
bespreek. Dit lei tot die beskouing van verdelings van intervalle in deelintervalle en die
benadering van die gebied onder die kromme deur reghoeke op verskillende maniere. Daar
is bv. ’n linker-, middel- en regterpunt benadering ter sprake soos in figuur 6 (afdeling
4.1, Stewart, 7de uitgawe) en figuur 6 (afdeling 5.1, Stewart, 6de uitgawe) aangedui.
Uit die bespreking blyk dit dat hoe beter benadering vir die oppervlakte as ’n som van
oppervlaktes van kleiner reghoekies verkry wil word, hoe fyner sal die verdeling van die
gebied onder die kromme in reghoekies gemaak moet word. Hierdie aspek word in figure
8 en 9 (afdeling 4.1, Stewart, 7de uitgawe) en figure 8 en 9 (afdeling 5.1, Stewart, 6de
uitgawe) geïllustreer.
Definisie 16
As f ’n kontinue positiewe funksie op [a, b] is, dan is die oppervlakte onder die
kromme y = f(x) oor die interval [a, b]
A = lim
∆xk→0
n
k=1
f(x ∗ k )∆xk
waar a = x0 < x1 < x2 < · · · < xn = b die verdelingspunte is wat die interval in n
deelintervalle verdeel met ∆xk = xk − xk−1 en x ∗ k ∈ [xk−1, xk].
Hierdie definisie word in figuur 13 (afdeling 4.1, Stewart, 7de uitgawe) en figuur 13 (afdeling
5.1, Stewart, 6de uitgawe) geïllustreer. Volgens die definisie kan die lengtes van die
deelintervalle ∆xk en die punte x∗ k willekeurig gekies word. Die lengtes van die deelintervalle
is ook nie noodwendig almal dieselfde nie. Onder die limiet moet verstaan word dat
die aantal verdelingspunte na ∞ neig en dus sodoende die interval [a, b] in die limiet in
oneindig veel klein deelintervalle verdeel word en daarmee saam die oppervlakte onder die
kromme beskou as ’n oneindige som van die oppervlaktes van oneindig veel infinitisimaal
klein reghoekies. Bestudeer voorbeelde 1 en 2 (afdeling 4.1, Stewart, 7de uitgawe) en
voorbeelde 1 en 2 (afdeling 5.1, Stewart, 6de uitgawe).
Om sake makliker te maak, word die interval [a, b] in n deelintervalle van gelyke lengte
∆x verdeel. Sê die verdelingspunte is
Dan is dit duidelik dat
As x ∗ k
dus gekies word as die
a = x0, x1, x2, . . .,xn−1, xn = b.
xk = a + k∆x vir k = 0, 1, 2, . . ., n.
1. linker-eindpunt, is x ∗ k = xk−1 = a + (k − 1)∆x;

Bepaalde Integrale en die Hoofstellings van Analise 21
2. middelpunt, is x ∗ k
= 1
2 (xk−1 + xk) = a + (k − 1
2 )∆x;
3. regter-eindpunt, is x ∗ k = xk = a + k∆x.
Voorbeeld: Gebruik die linker-eindpunt, middelpunt en regter-eindpunt om die oppervlakte
onder die kromme y = 2x 2 oor die interval [0, 2] te bereken.
Verdeel die interval [0, 2] in n aantal deelintervalle met lengte
∆x =
Die linker-eindpunt van elke deelinterval is
x ∗ k
Die oppervlakte onder die kromme is
lim
∆x→0
n
k=1
f(x ∗ k)∆x = lim
n→∞
2 − 0
n
= 2
n .
= 0 + (k − 1)∆x = (k − 1)2
n .
n
k=1
16
= lim
n→∞ n3
2 (k − 1) 2
2
2
n n
n
2
k − 2k + 1
k=1
16
= lim
n→∞ n3
n(n + 1)(2n + 1)
−
6
16 8 8
= lim − +
n→∞ 3 n 3n2
= 16
3 .
Die middelpunt van elke deelinterval is
x ∗
k = 0 + k − 1
∆x = k −
2
1
2
2 n .
Die oppervlakte onder die kromme is
lim
∆x→0
n
k=1
f(x ∗ k)∆x = lim
n→∞
Die regter-eindpunt van elke deelinterval is
2n(n + 1)
2
n
2 k −
k=1
1
2
2 2
2 n n
16
= lim
n→∞ n3 n
k
k=1
2 − k + 1
4
16
= lim
n→∞ n3
n(n + 1)(2n + 1) n(n + 1)
−
6 2
16 4
= lim −
n→∞ 3 3n2
= 16
3 .
x ∗ k
= 0 + k∆x = 2k
n .
+ n
+ n
4

22 Bepaalde Integrale en die Hoofstellings van Analise
Die oppervlakte onder die kromme is
lim
∆x→0
n
k=1
f(x ∗ k )∆x = lim
n→∞
n
2
k=1
16
= lim
n→∞ n3 2k
n
n
k=1
k 2
2
2
n
16
= lim
n→∞ n3 n(n + 1)(2n + 1)
6
16 8 8
= lim + +
n→∞ 3 n 3n2
= 16
3 .
Bestudeer ook voorbeelde 2 en 5 (afdeling 4.2, Stewart, 7de uitgawe) of voorbeelde 2 en
5 (afdeling 5.2, Stewart, 6de uitgawe).
Definisie 17
Gestel f is ’n funksie gedefinieer op [a, b]. Die funksie f is Riemann integreerbaar op
[a, b] as vir elke verdeling van die interval [a, b] deur verdelingspunte
a = x0, x1, . . ., xn−1, xn = b
en elke keuse van punte x ∗ k ∈ [xk−1, xk] die limiet
lim
∆xk→0
n
k=1
bestaan (eindig is) en in alle gevalle dieselfde is.
Definisie 18
Die bepaalde integraal van f op [a, b] is
b
a
f(x) dx = lim
∆xk→0
f(x ∗ k )∆xk
n
k=1
f(x ∗ k )∆xk.
Die getalle a en b word die onderste en boonste grense van integrasie onderskeidelik genoem.
Verder is
(a) a
f(x) dx = 0
a
(b) a
b f(x) dx = − b
a
f(x) dx
Bestudeer voorbeelde 1 en 4 (afdeling 4.2, Stewart, 7de uitgawe) of voorbeelde 1 en 4
(afdeling 5.2, Stewart, 6de uitgawe).
Die volgende paar stellings beskryf eienskappe van integrale wat gebruik kan word wanneer
integrale bereken moet word.

Bepaalde Integrale en die Hoofstellings van Analise 23
Stelling 11
As f en g integreerbaar is op [a, b] en as k ’n konstante is, dan is kf, f + g en f − g ook
integreerbaar op [a, b] en
(a) b
a kf(x) dx = k b
f(x) dx a
(b) b
a [f(x) + g(x)] dx = b
a f(x) dx + b
a
(c) b
a [f(x) − g(x)] dx = b
a f(x) dx − b
a
g(x) dx
g(x) dx
Hierdie stelling word in voorbeeld 6 (afdeling 4.2, Stewart, 7de uitgawe) of voorbeeld 6
(afdeling 5.2, Stewart, 6de uitgawe) toegepas.
Om die integraal van ’n stuksgewys-gedefinieerde funksie te bereken, kan die volgende
stelling gebruik word.
Stelling 12
As f integreerbaar is op [a, b] en as c ∈ [a, b], dan is
Voorbeeld: Laat
b
a
f(x) dx =
f(x) =
c
a
f(x) dx +
b
1 as x ≥ 0,
x + 4 as x < 0.
c
f(x) dx.
Om die integraal 2
f(x) dx in hierdie geval te bereken, beskou die volgende skets.
−4
y
−5
f(x) = x + 4
−4
−3
Die integraal is dus
2
−4
−2
f(x) dx =
0
−1
−4
5
4
3
2
1
f(x) dx +
f(x) = 1
1 2 3 4 5
2
0
f(x) dx = A1 + A2 = 1
(4)(4) + 2(1) = 10.
2
Bestudeer ook voorbeeld 7 (afdeling 4.2, Stewart, 7de uitgawe) of voorbeeld 7 (afdeling
5.2, Stewart, 6de uitgawe).
x

24 Bepaalde Integrale en die Hoofstellings van Analise
Stelling 13
(a) As f integreerbaar is op [a, b] en f(x) ≥ 0 vir alle x ∈ [a, b], dan is
b
a
f(x) dx ≥ 0.
(b) As f en g integreerbaar is op [a, b] en f(x) ≥ g(x) vir alle x ∈ [a, b], dan is
b
a
f(x) dx ≥
b
a
g(x) dx.
Definisie 19
Die funksie f is begrens op die interval [a, b] as daar ’n positiewe reële getal M bestaan
só dat
−M ≤ f(x) ≤ M
vir alle x ∈ [a, b].
Definisie 17 kan gebruik word om te bepaal of ’n funksie op ’n bepaalde interval integreerbaar
is of nie. Die volgende stelling maak dit egter makliker om te bepaal of ’n funksie
op ’n bepaalde interval integreerbaar is, al dan nie.
Stelling 14
Laat f op [a, b] gedefinieer wees.
(a) As f kontinu is op [a, b] dan is f integreerbaar op [a, b].
(b) As f begrens is op [a, b] en daar is slegs ’n eindige aantal punte x ∈ [a, b] waar f nie
kontinu is nie, dan is f integreerbaar op [a, b].
(c) As f nie begrens is op [a, b] nie, dan is f nie integreerbaar op [a, b] nie.
2.2 Hoofstellings van Analise en die Substitusiereël
(Vier kontaksessies)
Hierdie afdeling vorm die hoogtepunt van die Analise I en Analise II modules. In hierdie
afdeling word die twee hoofstellings van analise behandel. Differensiasie het uit die
behoefte om die raaklyn aan ’n kromme te bereken, ontwikkel. Integrasie het uit die
behoefte om die oppervlakte onder ’n kromme te bereken, ontwikkel. Hierdie twee wiskundige
tegnieke het onafhanklik van mekaar ontwikkel. Die verband tussen die twee is
eers later ontdek en word saamgevat in die twee hoofstellings van analise.
Stelling 15
Middelwaardestelling. Gestel f is kontinu op die geslote interval [a, b] en differensieerbaar
op die oop interval (a, b). Dan bestaan daar ten minste een punt c ∈ (a, b) só
dat
f ′ (c) =
f(b) − f(a)
.
b − a

Bepaalde Integrale en die Hoofstellings van Analise 25
Hierdie stelling word in figure 3 en 4 (afdeling 3.2, Stewart, 7de uitgawe) en figure 3 en 4
(afdeling 4.2, Stewart, 6de uitgawe) geïllustreer. Die middelwaardestelling stel dat daar
ten minste een punt in die oop interval (a, b) is sodat die helling van die raaklyn in daardie
punt gelyk is aan die helling van die snylyn deur die twee eindpunte van die funksie.
Soos by afgeleides, Stelling 15, is daar ook ’n middelwaardestelling vir integrale.
Stelling 16
Die Middelwaardestelling vir Integrale. As die funksie f kontinu is op die geslote
interval [a, b], dan bestaan daar ten minste een getal c in [a, b] só dat
b
a
f(x) dx = f(c)(b − a).
Onthou dat f se kontinuïteit op die interval [a, b] f se integreerbaarheid op die interval
[a, b] volgens Stelling 14(a) impliseer, en dus bestaan die integraal b
f(x) dx. a
Hierdie stelling word in figuur 2 (afdeling 5.5, Stewart, 7de uitgawe) en figuur 2 (afdeling
6.5, Stewart, 6de uitgawe) geïllustreer. Die middelwaardestelling vir integrale stel dat
daar ’n punt c ∈ [a, b] bestaan sodat die oppervlakte van die reghoek met hoogte f(c)
en breedte b − a gelyk is aan die oppervlakte onder die kromme. Bestudeer voorbeeld 2
(afdeling 5.5, Stewart, 7de uitgawe) en voorbeeld 2 (afdeling 6.5, Stewart, 6de uitgawe).
Bewys: Omdat f kontinu is op [a, b], bestaan daar volgens die ekstreemwaardestelling,
Stelling 6, getalle M en m só dat M die globale maksimumwaarde en m die globale
minimumwaarde van f(x) op [a, b] is. Dus is
Uit Stelling 13(b) volg dat
Dus volg dat
m(b − a) ≤
b
a
b
a
m ≤ f(x) ≤ M ∀ x ∈ [a, b].
m dx ≤
b
a
f(x) dx ≤
b
a
M dx.
f(x) dx ≤ M(b − a), of m ≤ 1
b − a
b
a
f(x) dx ≤ M.
Omdat f kontinu is en alle waardes tussen m en M aanneem, bestaan daar volgens die
tussenwaardestelling ’n punt c ∈ [a, b] só dat
f(c) = 1
b − a
Definisie 20
As f integreerbaar is op [a, b], is die getal
fgem = 1
b − a
die gemiddelde waarde van f op [a, b].
b
a
b
a
f(x) dx.
f(x) dx
✷

26 Bepaalde Integrale en die Hoofstellings van Analise
Die middelwaardestelling vir integrale stel dus ook dat as f kontinu is op [a, b] dan bestaan
die gemiddelde waarde fgem op [a, b] en f neem hierdie gemiddelde waarde aan op [a, b].
Dit wil sê daar bestaan ’n c ∈ [a, b] sodat f(c) = fgem.
Die eerste hoofstelling verseker die bestaan van die onbepaalde integraal van ’n funksie
en gee die verband tussen die afgeleide en die intergraal van die funksie.
Stelling 17
Eerste Hoofstelling van Analise. As f kontinu is op ’n geslote interval I en a ∈ I,
dan is die funksie gedefinieer deur
g(x) =
x
a
f(t) dt
’n onbepaalde integraal van f op I, dus g ′ (x) = f(x) vir elke x ∈ I. Of
f(x) = d
x x
f(t) dt en g(x) = g
dx a
a
′ (t) dt.
Omdat f kontinu is op I, is dit integreerbaar op I volgens Stelling 14(a), en bestaan die
integraal x
f(t) dt. a
Bewys: Gestel x ∈ I is nie ’n eindpunt van die interval I nie. (Die bewyse vir die twee
eindpunte verloop identies met linker- en regterlimiete.) Beskou
g(x + h) − g(x)
lim
h→0 h
x+h
1
= lim
h→0 h
1
= lim
h→0 h
1
= lim
h→0 h
a
x+h
a
x+h
x
f(t) dt −
f(t) dt +
f(t) dt
x
a
a
x
f(t) dt
f(t) dt
Volgens die middelwaardestelling vir integrale bestaan daar ’n c tussen x en x + h só dat
Dus
g ′ (x) = lim
h→0
f(c) · h =
x+h
x
f(t) dt.
1
[f(c) · h] = lim f(c) = f(x)
h h→0
want f is kontinu en c → x as h → 0, sodat f(c) → f(x) as h → 0. ✷
Voorbeelde:
x
d sin t
dx 1 t dt
= sin x
x
en
x3 d sin t
dx 1 t dt
3 sin x
=
x3
d
dx [x3 3 sinx3
] = .
x

Bepaalde Integrale en die Hoofstellings van Analise 27
Bestudeer ook voorbeelde 1-4 (afdeling 4.3, Stewart, 7de uitgawe) of voorbeelde 1-4 (afdeling
5.3, Stewart, 6de uitgawe).
Die tweede hoofstelling vorm die basis vir die berekening van bepaalde integrale. Dit gee
’n verwantskap tussen bepaalde en onbepaalde integrale, sodat die tegniek van integrasie
(bepaling van anti-afgeleides) toegepas kan word in die berekening van die waardes van
bepaalde integrale. Let op dat ’n onbepaalde integraal van ’n funksie weer ’n funksie is,
terwyl die bepaalde integraal ’n getal is. Die bepaalde integraal is die verskil tussen die
waardes van enige onbepaalde integraal van die funksie by die eindpunte van die interval.
Stelling 18
Tweede Hoofstelling van Analise. As f kontinu is op [a, b] en g is enige onbepaalde
integraal van f op [a, b], dan is
b
a
f(x) dx = g(b) − g(a).
Volgens die eerste hoofstelling van analise is x
a f(t) dt = g(x) en g′ (x) = f(x). Dit
beteken dat g differensieerbaar is op [a, b] en dus ook kontinu op [a, b] volgens stelling 4
(afdeling 2.2, Stewart, 7de uitgawe) en stelling 4 (afdeling 3.2, Stewart, 6de uitgawe). Die
funksie g voldoen dus aan die voorwaardes van die middelwaardestelling (vir afgeleides),
Stelling 15, op die interval [a, b].
Bewys: Beskou enige verdeling van [a, b] deur die verdelingspunte
in n deelintervalle
met lengtes
a = x0 < x1 < x2 < · · · < xn−1 < xn = b
[a, x1], [x1, x2], . . .[xn−1, b],
∆x1, ∆x2, . . .,∆xn.
Die funksie g bevredig die voorwaardes van die middelwaardestelling (vir afgeleides) op
[a, b] (soos hierbo genoem) en dus ook op elke deelinterval sodat daar punte x ∗ k ∈ (xk−1, xk)
vir k = 1, 2, . . ., n, bestaan sodanig dat
vir k = 1, 2, . . ., n. Maar
sodat
g(xk) − g(xk−1) = g ′ (x ∗ k )∆xk
g ′ (x) = f(x) ∀x ∈ [a, b]
g(xk) − g(xk−1) = f(x ∗ k )∆xk
vir k = 1, 2, . . ., n. Deur optelling oor al die deelintervalle volg
g(b) − g(a) =
n
k=1
f(x ∗ k )∆xk.

28 Bepaalde Integrale en die Hoofstellings van Analise
Die funksie f is kontinu en dus integreerbaar op [a, b]. As n na oneindig neig, sal ∆xk → 0
en dan is
n
g(b) − g(a) = lim f(x
∆xk→0
∗ k )∆xk
b
= f(x) dx.
Notasie: Die simbool [g(x)] b
a
dus ook geskryf word as
Voorbeelde:
en
π/2
0
π/2
0
k=1
a
✷
word gebruik vir g(b) − g(a). Die bepaalde integraal kan
b
a
sin x cos xdx =
sin x cosxdx =
f(x) dx = [g(x)] b
a .
1
2 sin2 π/2 x
0
− 1
2 cos2 π/2 x
0
= 1 1
(1 − 0) =
2 2
= − 1 1
(0 − 1) =
2 2 .
Bestudeer ook voorbeelde 5-8 (afdeling 4.3, Stewart, 7de uitgawe) of voorbeelde 5-8 (afdeling
5.3, Stewart, 6de uitgawe).
As f ′ (x) = g ′ (x) = h(x) vir alle x ∈ [a, b], dan is f(x) = g(x) + k volgens Stelling 3 en
b
a
h(x) dx = [f(x)] b
a = f(b) − f(a) = [g(b) + k] − [g(a) + k] = [g(x)]b a .
Soos by onbepaalde integrale, word die substitusiereël ook gebruik om bepaalde integrale
te bereken.
Stelling 19
Substitusiereël vir Bepaalde Integrale. As g ′ kontinu is op [a, b] en f is kontinu en
het ’n onbepaalde integraal op ’n interval wat die waardes g(x) vir alle x ∈ [a, b] insluit,
dan is b
f(g(x))g ′ g(b)
(x) dx = f(u) du.
a
Dit is belangrik om daarop te let dat die integrasie grense ook verander. Hierdie stelling
kan op twee maniere toegepas word. Eerstens kan die substitusie gemaak word en nuwe
grense bereken word. Dit gee dan ’n nuwe bepaalde integraal wat bereken kan word.
Alternatiewelik kan die onbepaalde integraal deur substitusie bereken word en dan kan
die bepaalde integraal as die verskil tussen die funksiewaardes by die twee eindpunte
bereken word.
Voorbeeld: Bereken 3
Stel x = 3t om sodoende
−3
g(a)
1
√ 9 − x 2 dx.
√ 9 − x 2 = √ 9 − 9t 2 = 3 √ 1 − t 2

Bepaalde Integrale en die Hoofstellings van Analise 29
te verkry. Verder is t = x/3 en dx = 3 dt. Ná die substitusie word nuwe grense bereken:
x = −3 ⇒ t = −3
3
Die gegewe integraal word dus
3
−3
1
1
√ dx =
9 − x2 −1
3
= −1 en x = 3 ⇒ t = = 1.
3
1
√ 1 − t 2 dt = [sin−1 t] 1 −1 = sin −1 (1)−sin −1 (−1) = π/2−(−π/2) = π.
Alternatiewelik kan die onbepaalde integraal eers bereken word en dan daarna die bepaalde
integraal.
1
1
√ dx = √
9 − x2 1 − t2 dt = sin−1 t + C = sin −1
x
+ C.
3
Hieruit volg dan dat
3
−3
1
√ dx = sin
9 − x2 −1
x
3 = sin
3 −3
−1
3
− sin
3
−1
−3
= π.
3
Deur integrale met behulp van standaardvorme waar van toepassing, te bereken, bly steeds
die beste metode.
3
3
3
3 1 1
1/3
√ dx = dx = dx = sin
−3 9 − x2 3 −3 1 − x2 /9 −3 1 − (x/3) 2 −1
x
3 = π.
3 −3
Bestudeer ook voorbeelde 6 en 7 (afdeling 4.5, Stewart, 7de uitgawe) of voorbeelde 6 en
7 (afdeling 5.5, Stewart, 6de uitgawe).

30 Bepaalde Integrale en die Hoofstellings van Analise

Leereenheid 3
Toepassings van Integrasie (1)
Tydstoedeling
7 ure 50 minute (5 kontaksessies en 1 tutoriaalsessie).
Veronderstelde Leer
1. Leereenhede 5, WISN111.
2. Leereenhede 2, WISN121.
Leeruitkomste
1. Die formules vir die oppervlakte tussen twee krommes (Stelling 20) te kan formuleer
en te kan gebruik om die oppervlakte tussen twee krommes van soortgelyke, maar
onbekende voorbeelde te bereken deur gebruik te maak van standaard wiskundige
simbole.
2. Die formules vir die volumes van omwentelingsliggame (Stellings 21, 22 en 23) te kan
formuleer, te kan bewys en te kan gebruik om die volumes van omwentelingsliggame
van soortgelyke, maar onbekende voorbeelde te bereken deur gebruik te maak van
standaard wiskundige simbole.
Teksverwysings
Stewart, 7de uitgawe: Afdelings 5.1, 5.2, 5.3, 5.4.
Stewart, 6de uitgawe: Afdelings 6.1, 6.2, 6.3, 6.4.
Studiegids: Afdelings 3.1, 3.2, 3.3.
Voorbereiding
Lees die gegewe gedeeltes in die handboek en die studiegids deur.
31

32 Toepassings van Integrasie (1)
Werk die volgende voorbeelde van Stewart (7de uitgawe) deur:
Afdeling 5.1: 1, 2;
Afdeling 5.2: 1-3; Afdeling 5.3: 1.
Werk die volgende voorbeelde van Stewart (6de uitgawe) deur:
Afdeling 6.1: 1, 2;
Afdeling 6.2: 1-3; Afdeling 6.3: 1.
Beantwoord die volgende vrae en handig dit in aan die begin van die eerste kontaksessie
van die leereenheid:
1. Bepaal die grootte van die oppervlakte wat begrens word deur y = 2x + 1, y =
−2x + 1, x = 1 en x = 4.
2. Teken die drie-dimensionele figuur (omwentelingsliggaam) wat gevorm wanneer die
gebied wat begrens word deur y = √ x, y = 0, x = 1 en x = 4 om die x-as roteer
word. Bereken die benaderde volume van die omwentelingsliggaam deur dit in 6
sirkelskywe met gelyke diktes te verdeel. Kies die radius van elke sirkelskyf as die
y-waarde in die middel van die skyf.
Inoefening van Vaardighede
Werk die volgende voorbeelde van Stewart (7de uitgawe) deur:
Afdeling 5.1: 5, 6;
Afdeling 5.2: 4-6;
Afdeling 5.3: 2, 4;
Afdeling 5.4: 1-5.
Werk die volgende voorbeelde van Stewart (6de uitgawe) deur:
Afdeling 6.1: 5, 6;
Afdeling 6.2: 4-6;
Afdeling 6.3: 2, 4
Afdeling 6.4: 1-5.
Doen die volgende oefeninge:
Stewart (7de uitgawe):
Oef. 5.1: 2, 12, 32, 55;
Oef. 5.2: 3, 6, 11;
Oef. 5.3: 2, 4, 9, 12.
Stewart (6de uitgawe):
Oef. 6.1: 2, 20, 32, 53;
Oef. 6.2: 3, 6, 11;
Oef. 6.3: 2, 4, 9, 12.

Toepassings van Integrasie (1) 33
3.1 Oppervlakte tussen Twee Krommes
(Twee kontaksessies)
Die bepaalde integraal van ’n funksie f(x) is die oppervlakte onder die kromme y = f(x)
op die betrokke interval. Die oppervlakte tussen twee krommes is dus die verskil tussen
die oppervlaktes onder die twee krommes.
Stelling 20
(a) As f en g kontinue funksies van x op [a, b] is en f(x) ≥ g(x) vir alle x ∈ [a, b], dan
word die oppervlakte A van die gebied begrens deur die krommes y = f(x), y = g(x),
x = a en x = b gegee deur
A =
b
a
[f(x) − g(x)] dx.
(b) As f en g kontinue funksies van y op [c, d] is en f(y) ≥ g(y) vir alle y ∈ [c, d], dan
word die oppervlakte A van die gebied begrens deur die krommes x = f(y), x = g(y),
y = c en y = d gegee deur
A =
d
c
[f(y) − g(y)] dy.
Indien die oppervlakte tussen twee krommes bereken moet word op ’n interval waar die
voorwaarde f(x) ≥ g(x) nie orals geldig is nie, moet die verskillende gedeeltes apart
beskou word.
Voorbeeld: Bereken die oppervlakte tussen f(x) = −x+1 en g(x) = x−1 op die interval
[0, 2].
Vir x ∈ [0, 1] is f(x) ≥ g(x) en vir x ∈ [1, 2] is f(x) ≤ g(x). Die oppervlakte tussen die
twee krommes is dus
A =
=
=
1
0
1
0
1
0
[f(x) − g(x)] dx +
2
[(−x + 1) − (x − 1)] dx +
(2 − 2x) dx +
2
1
1
[g(x) − f(x)] dx
2
1
(2x − 2) dx
= (2x − x 2 ) 1 0 + (x2 − 2x) 2 1
= (2 − 1) − 0 + (4 − 4) − (1 − 2) = 2
[(x − 1) − (−x + 1)] dx
Bestudeer ook voorbeelde 1, 2, 5 en 6 (afdeling 5.1, Stewart, 7de uitgawe) of voorbeelde
1, 2, 5 en 6 (afdeling 6.1, Stewart, 6de uitgawe).

34 Toepassings van Integrasie (1)
3.2 Volume van ’n Omwentelingsliggaam
(Drie kontaksessies)
Om die volume van ’n voorwerp met ’n willekeurige vorm te bereken, kan die voorwerp
in skywe met oppervlaktes A(x) en dikte dx verdeel word en sommeer word soos in figure
2 en 3 (afdeling 5.2, Stewart, 7de uitgawe) en figure 2 en 3 (afdeling 6.2, Stewart, 6de
uitgawe) aangedui.
Stelling 21
(a) Laat S ’n liggaam wees wat deur twee parallelle platvlakke loodreg op die x-as by x = a
en x = b begrens word. As vir elke x ∈ [a, b] die dwarsdeursnee-oppervlakte van S loodreg
op die x-as by x deur A(x) gegee word, dan word die volume V van S gegee deur
V =
b
mits die funksie A integreerbaar op [a, b] is.
a
A(x) dx
(b) Laat S ’n liggaam wees wat deur twee parallelle platvlakke loodreg op die y-as by y = c
en y = d begrens word. As vir elke y ∈ [c, d] die dwarsdeursnee-oppervlakte van S loodreg
op die y-as by y deur A(y) gegee word, dan word die volume V van S gegee deur
V =
d
mits die funksie A integreerbaar op [c, d] is.
c
A(y) dy
Bewys: Die (a)-gedeelte word bewys. Die bewys vir die (b)-gedeelte volg soortgelyk.
Verdeel die interval [a, b] by die verdelingspunte a = x0, x1, x2, . . .,xn = b in n deelintervalle
[xk−1, xk] met lengtes ∆xk = xk − xk−1 vir k = 1, 2, . . ., n.
Die liggaam S word dan in skywe Sk vir k = 1, 2, . . ., n met dwarsdeursnee-oppervlaktes
A(xk−1) en A(xk) weerskante, verdeel.
Aangesien die skywe dun is, sal daar ’n waarde x ∗ k ∈ [xk−1, xk] vir elke k = 1, 2, . . ., n
wees sodat A(x ∗ k ) ’n goeie benadering vir beide A(xk−1) en A(xk) sal wees en die skyf Sk
se volume benader kan word deur Vk = A(x ∗ k )∆xk.
Die totale volume van die liggaam by benadering is
Die werklike volume is
V = lim
∆xk→0
V =
n
A(x ∗ k)∆xk.
k=1
n
A(x
k=1
∗ k )∆xk
b
=
a
A(x)dx
volgens die definisie van ’n bepaalde integraal. ✷

Toepassings van Integrasie (1) 35
Bestudeer voorbeeld 1 (afdeling 5.2, Stewart, 7de uitgawe) of voorbeeld 1 (afdeling 6.2,
Stewart, 6de uitgawe).
Deur ’n kromme y = f(x) op ’n bepaalde interval om die x-as te roteer, word ’n soliede
figuur verkry. Hierdie figuur kan dan in ronde skywe verdeel word met radius f(x). Die
oppervlakte van elke skyf in hierdie geval is A(x) = π[f(x)] 2 .
Stelling 22
(a) Gestel f(x) is ’n kontinue funksie op [a, b] en R is die gebied begrens deur die krommes
y = f(x), x = a, x = b en y = 0. As R om die x-as roteer word, is die volume van die
omwentelingsliggaam
V =
b
a
π[f(x)] 2 dx.
(b) Gestel g(y) is ’n kontinue funksie op [c, d] en R is die gebied begrens deur die krommes
x = g(y), y = c, y = d en x = 0. As R om die y-as roteer word, is die volume van die
omwentelingsliggaam
V =
d
c
π[g(y)] 2 dy.
Die (a)-gedeelte word in figuur 6 (afdeling 5.2, Stewart, 7de uitgawe) en figuur 6 (afdeling
6.2, Stewart, 6de uitgawe) geïllustreer en die (b)-gedeelte in figuur 7 (afdeling 5.2, Stewart,
7de uitgawe) en figuur 7 (afdeling 6.2, Stewart, 6de uitgawe).
Bewys: Die (a)-gedeelte word bewys. Die bewys vir die (b)-gedeelte volg soortgelyk.
Die deursnede van elke vertikale snyvlak by x ∈ [a, b] met die liggaam is sirkelvormig met
straal f(x).
Gevolglik word die dwarsdeursnee-oppervlakte by x gegee deur
A(x) = π[f(x)] 2 .
Uit Stelling 21 volg dus dat die volume van die liggaam
V =
b
a
π[f(x)] 2 dx
is. ✷
Bestudeer voorbeelde 2-6 (afdeling 5.2, Stewart, 7de uitgawe) of voorbeelde 2-6 (afdeling
6.2, Stewart, 6de uitgawe). Voorbeelde 7-9 (afdeling 5.2, Stewart, 7de uitgawe) en
voorbeelde 7-9 (afdeling 6.2, Stewart, 6de uitgawe) is vir verdere verryking.
Wanneer gebiede wat nie aan ’n as raak nie, om die as roteer word, word ’n hol figuur
gevorm. In so ’n geval is dit dan makliker om die figuur in silindriese skille te verdeel en
dan die volumes van hierdie silindriese skille te sommeer.
’n Silindriese skil is ’n liggaam wat deur twee konsentriese egte silinders met sirkelvormige
dwarsdeursnitte begrens word. Gestel die binne-silinder het straal r1 en die buite-silinder
het straal r2 soos in figuur 2 (afdeling 5.3, Stewart, 7de uitgawe) en figuur 2 (afdeling 6.3,

36 Toepassings van Integrasie (1)
Stewart, 6de uitgawe), en die hoogte van die silindriese skil is h. Dan word die volume
van die silindriese skil gegee deur
Gevolglik is
Stelling 23
V = [ dwarsdeursnee-oppervlakte ] · [ hoogte ] = (πr 2 2 − πr2 1 )h
= π(r2 + r1)(r2 − r1)h = 2π · [ 1
2 (r2 + r1)] · h · (r2 − r1).
V = 2π · [ gemiddelde straal ] · [ hoogte ] · [ dikte ].
(a) Gestel f(x) is ’n nie-negatiewe kontinue funksie op [a, b] en R is die gebied begrens
deur die krommes y = f(x), x = a, x = b en y = 0. As R om die y-as roteer word, is die
volume van die omwentelingsliggaam
V =
b
a
2πxf(x) dx.
(b) Gestel g(y) is ’n nie-negatiewe kontinue funksie op [c, d] en R is die gebied begrens
deur die krommes x = g(y), y = c, y = d en x = 0. As R om die x-as roteer word, is die
volume van die omwentelingsliggaam
V =
d
c
2πyg(y) dy.
Die (a)-gedeelte word in figuur 4 (afdeling 5.3, Stewart, 7de uitgawe) en figuur 4 (afdeling
6.3, Stewart, 6de uitgawe) geïllustreer.
Bewys: Die (a)-gedeelte word bewys. Die bewys vir die (b)-gedeelte volg soortgelyk.
Verdeel die interval [a, b] by die verdelingspunte a = x0, x1, x2, . . .,xn = b in n deelintervalle
[xk−1, xk] met lengtes ∆xk = xk − xk−1 vir k = 1, 2, . . ., n.
Dit verdeel die gebied R in stroke R1, R2, . . .Rn.
Benader die gebied Rk vir k = 1, 2, . . ., n met ’n reghoek met lengte f(x ∗ k ) waar x∗ k =
(xk + xk−1)/2 en breedte ∆xk.
Roteer Rk vir k = 1, 2, . . ., n om die y-as om die silindriese skil Sk met gemiddelde straal
x ∗ k , hoogte f(x∗ k ), dikte ∆xk en volume
Vk = 2πx ∗ k f(x∗ k )∆xk
te vorm. Die totale benaderde volume van die soliede liggaam is
n
V = 2πx ∗ kf(x∗k )∆xk.
k=1
Die werklike volume van die soliede liggaam is
n
V = lim
∆xk→0
2πx
k=1
∗ kf(x ∗ b
k)∆xk =
a
2πxf(x) dx
volgens die definisie van die bepaalde integraal. ✷
Bestudeer voorbeelde 1, 2 en 4 (afdeling 5.3, Stewart, 7de uitgawe) of voorbeelde 1, 2 en
4 (afdeling 6.3, Stewart, 6de uitgawe).

Toepassings van Integrasie (1) 37
3.3 Arbeid Verrig
Indien u Fisika as vak neem, is dit belangrik dat u afdeling 5.4 (Stewart, 7de uitgawe) of
afdeling 6.4 (Stewart, 6de uitgawe) bestudeer. Hierdie afdeling is vir verryking.

38 Toepassings van Integrasie (1)

Leereenheid 4
Hiperboliese, Inverse Hiperboliese
Funksies
Tydstoedeling
7 ure 50 minute (5 kontaksessies en 1 tutoriaalsessie).
Veronderstelde Leer
Leereenhede 1, 2, 4, 5, WISN111.
Leeruitkomste
1. Die begrippe hiperboliese funksies (Definisies 21 en 22) en inverse hiperboliese funksies
(Definisie 23) te kan definieer en te kan gebruik om hul grafieke te kan teken
en om die identiteite (Stellings 24, 25, 26, 27 en 28), afgeleides (Stellings 29 en 33)
en integrale (Stellings 30 en 34) van hiperboliese en inverse hiperboliese funksies te
bepaal deur gebruik te maak van standaard wiskundige simbole.
2. Die identiteite (Stellings 24, 25, 26, 27 en 28), afgeleides (Stellings 29 en 33), integrale
(Stellings 30, 31 en 34) van hiperboliese en inverse hiperboliese funksies, en
inverse hiperboliese funksies interme van die natuurlike logaritmiese funksie (Stelling
32) te kan formuleer, te kan bewys en te kan gebruik om afgeleides en integrale van
funksies van soortgelyke maar onbekende voorbeelde te bepaal deur gebruik te maak
van standaard wiskundige simbole.
Teksverwysings
Stewart (7de uitgawe): Afdeling 6.7.
Stewart (6de uitgawe): Afdeling 7.7.
Studiegids: Afdeling 4.1.
39

40 Hiperboliese en Inverse Hiperboliese Funksies
Voorbereiding
Lees die gegewe gedeeltes in die handboek en die studiegids deur.
Werk die volgende voorbeelde van Stewart (7de uitgawe) deur:
Afdeling 6.7: 1, 2, 5, 6.
Werk die volgende voorbeelde van Stewart (6de uitgawe) deur:
Afdeling 7.7: 1, 2, 5, 6.
Beantwoord die volgende vrae en handig dit in aan die begin van die eerste kontaksessie
van die leereenheid:
1. Gebruik ’n grafiese pakket en teken die grafieke van elk van die volgende.
2. Bepaal die afgeleide van elk van die volgende.
y = ex − e −x
2
y = ex + e −x
2
y = ex − e −x
e x + e −x
y = ex + e −x
y =
y =
Inoefening van Vaardighede
e x − e −x
2
ex + e−x 2
ex − e−x Werk die volgende voorbeelde van Stewart (7de uitgawe) deur:
Afdeling 6.7: 3, 4.
Werk die volgende voorbeelde van Stewart (6de uitgawe) deur:
Afdeling 7.7: 3, 4.
Doen die volgende oefeninge:
Stewart (7de uitgawe):
Oef. 7.7: 3, 4, 12, 14, 16, 29(b), 29(c), 35, 38, 39, 40, 41, 42, 44, 45, 59, 60, 62, 63, 65,
66, 67.
Stewart (6de uitgawe):
Oef. 7.7: 3, 4, 12, 14, 16, 29(b), 29(c), 35, 38, 41, 42, 43, 44, 46, 47, 57, 58, 60, 61, 63,
64, 65.

Hiperboliese en Inverse Hiperboliese Funksies 41
4.1 Hiperboliese en Inverse Hiperboliese Funksies
(Vyf kontaksessies)
Hiperboliese en inverse hiperboliese funksies word onder andere gebruik om die vorm van
kabels wat hang, te beskryf. Sekere kombinasies van die natuurlike eksponensiale funksie
wat in baie opsigte analoog is aan trigonometriese funksies, kom so baie voor dat hulle
spesiale name gekry het.
Definisie 21
Die hiperboliese sinus- en kosinus-funksies word onderskeidelik gedefinieer deur
sinh x = ex − e −x
2
en cosh x = ex + e−x .
2
Hieruit word die ander hiperboliese funksies gedefinieer.
Definisie 22
tanhx =
sech x =
cothx =
csch x =
sinh x
cosh x = ex − e−x 1
cosh x =
cosh x
sinh x = ex + e−x 1
sinh x =
2
ex − e−x ex + e−x, 2
ex + e−x, e x − e −x,
x = 0,
x = 0.
Die grafieke vir hierdie funksies word in figure 1, 2 en 3 (afdeling 6.7, Stewart, 7de uitgawe)
en figure 1, 2 en 3 (afdeling 7.7, Stewart, 6de uitgawe) getoon. U moet die grafieke vir
sinh x, cosh x en tanh x ken.
Hiperboliese funksies het identiteite wat soortgelyk is aan die identiteite van trigonometriese
funksies en kan op soortgelyke wyses afgelei word. U moet die afleidings kan doen.
Uit Definisies 21 en 22 kan afgelei word dat (kyk voorbeeld 1, afdeling 6.7, Stewart, 7de
uitgawe of voorbeeld 1, afdeling 7.7, Stewart, 6de uitgawe)
Stelling 24
cosh 2 x − sinh 2 x = 1,
1 − tanh 2 x = sech 2 x,
coth 2 x − 1 = csch 2 x.
Uit die basiese eienskappe van eksponente kan afgelei word dat
Stelling 25
sinh(x + y) = sinh x cosh y + cosh x sinh y,
cosh(x + y) = cosh x cosh y + sinh x sinh y.

42 Hiperboliese en Inverse Hiperboliese Funksies
Vir x = y volg dat
Stelling 26
Volgens Definisie 21 is
Stelling 27
sodat
Stelling 28
sinh 2x = 2 sinh x cosh x,
cosh 2x = 2 cosh 2 x − 1.
cosh(−x) = cosh x,
sinh(−x) = − sinh x
sinh(x − y) = sinh x cosh y − cosh x sinh y,
cosh(x − y) = cosh x cosh y − sinh x sinh y.
Waarom word die funksies “hiperboliese funksies” genoem? Die verband tussen die hiperboliese
funksies en die hiperbool x 2 − y 2 = 1 is soortgelyk aan die verband tussen
die trigonometriese funksies, ook soms die sirkelfunksies genoem, en die eenheidsirkel
x 2 + y 2 = 1. Kyk figure 5 en 6 (afdeling 6.7, Stewart, 7de uitgawe) of figure 6 en 7
(afdeling 7.7, Stewart, 6de uitgawe).
Trigonometriese funksies
• P(cost, sin t) lê op die rand van die eenheidsirkel x 2 + y 2 = 1.
• cos 2 t + sin 2 t = 1
• Die gekleurde area se grootte is t/2.
Hiperboliese funksies
• P(cosh t, sinh t) lê op die rand van die hiperbool x 2 − y 2 = 1.
• cosh 2 t − sinh 2 t = 1
• Die gekleurde area se grootte is t/2.
Die afgeleides kan uit Definisies 21 en 22 afgelei word. U moet die afleidings kan doen.

Hiperboliese en Inverse Hiperboliese Funksies 43
Stelling 29
d
(sinh x) = cosh x
dx
d
(cosh x) = sinh x
dx
d
dx (tanh x) = sech2 x
d
(csch x) = −csch x coth x
dx
d
(sech x) = −sech x tanh x
dx
d
dx (coth x) = −csch2 x
Die standaardvorme van die afgeleides wat die kettingreël insluit, word in bylaag E gegee.
Bestudeer voorbeeld 2 (afdeling 6.7, Stewart, 7de uitgawe) of voorbeeld 2 (afdeling 7.7,
Stewart, 6de-uitgawe).
Die integrale volg uit die afgeleides.
Stelling 30
cosh xdx = sinh x + C
sinh xdx = cosh x + C
sech 2 xdx = tanhx + C
csch x coth xdx = −csch x + C
sech x tanh xdx = −sech x + C
csch 2 xdx = − coth x + C
Die standaardvorme van die integrale word in bylaag E gegee.

44 Hiperboliese en Inverse Hiperboliese Funksies
Stelling 31
sinh x
tanhxdx =
cosh x dx
= ln | cosh x| + C
cosh x
cothxdx =
sinh x dx
= ln | sinh x| + C
1
sech xdx =
cosh x dx
cosh x
=
cosh 2 x dx
cosh x
=
1 + sinh 2 x dx
= tan −1 (sinh x) + C
csch x(csch x − coth x)
csch xdx =
dx
csch x − coth x
2
−csch x coth x + csch x
=
dx
csch x − cothx
= ln |csch x − cothx| + C
U moet al die bostaande integrale kan bewys. Die standaardvorme van hierdie integrale
word in bylaag E gegee.
Die inverse hiperboliese funksies word as volg gedefinieer:
Definisie 23
(a) Die funksie f −1 (x) = sinh −1 x, x ∈ R is die inverse funksie van f(x) = sinh x, x ∈ R.
(b) Die funksie g −1 (x) = cosh −1 x, x ∈ [1, ∞) is die inverse funksie van g(x) = cosh x,
x ∈ [0, ∞).
(c) Die funksie h −1 (x) = tanh −1 x, x ∈ (−1, 1) is die inverse funksie van h(x) = tanh x,
x ∈ R.
(d) Die funksie j −1 (x) = csch −1 x, x ∈ (−∞, 0) ∪ (0, ∞) is die inverse funksie van j(x) =
csch x, x ∈ (−∞, 0) ∪ (0, ∞).
(e) Die funksie k −1 (x) = sech −1 x, x ∈ (0, 1] is die inverse funksie van k(x) = sech x,
x ∈ [0, ∞).
(f) Die funksie m −1 (x) = coth −1 x, x ∈ (−∞, −1) ∪ (1, ∞) is die inverse funksie van
m(x) = coth x, x ∈ (−∞, 0) ∪ (0, ∞).
Die grafieke van hierdie funksies word in figure 8, 9 en 10 afdeling 6.7 (Stewart, 7de
uitgawe) of figure 8, 9, 10 afdeling 7.7 (Stewart, 6de uitgawe) getoon. U moet die grafieke
vir sinh −1 x, cosh −1 x en tanh −1 x ken.

Hiperboliese en Inverse Hiperboliese Funksies 45
−2
−2
−2
−1
−1
−1
2
1
−1
−2
2
1
−1
2
1
−1
−2
y
y
y
y = sinh −1 x
1 2
1 2
1 2
y = sinh x
x
y = cosh x
y = cosh −1 x
x
y = tanh −1 x
y = tanhx
x

46 Hiperboliese en Inverse Hiperboliese Funksies
−2
−2
−2
−1
−1
−1
2
1
−1
−2
2
1
−1
2
1
−1
−2
y
y
y
y = csch x
y = csch −1 x
1 2
y = sech −1 x
1 2
1 2
x
y = sech x
x
y = coth −1 x
y = cothx
Soos wat hiperboliese funksies in terme van die natuurlike eksponensiale funksie e x gedefinieer
word, word die inverse hiperboliese funksies in terme van die natuurlike logaritmiese
funksie ln x gedefinieer.
x

Hiperboliese en Inverse Hiperboliese Funksies 47
Stelling 32
sinh −1 x = ln(x + √ x 2 + 1), −∞ < x < ∞
cosh −1 x = ln(x + √ x2 − 1), x ≥ 1
tanh −1 x = 1
2 ln
1 + x
, |x| < 1
1 − x
csch −1
1
x = ln
x +
1
+ 1 , x = 0
x2 sech −1
1
x = ln
x +
1
− 1 , 0 < x ≤ 1
x2 coth −1 x = 1
2 ln
x + 1
, |x| > 1
x − 1
Hierdie uitdrukkings is baie nuttig in die praktyk veral wanneer in ’n taal geprogrammeer
word waar die hiperboliese funksies nie gedefinieer is nie. Die afleiding vir sinh −1 x word
in voorbeeld 3 (afdeling 6.7, Stewart, 7de uitgawe) en voorbeeld 3 (afdeling 7.7, Stewart,
6de uitgawe) bespreek. Hier volg die afleiding vir cosh −1 x.
Bewys: Laat y = cosh −1 x, met x ≥ 1 (en dus y ≥ 0). Dan is
Dus is e y − 2x + e −y = 0 en (×e y )
x = cosh y = ey + e−y .
2
e 2y − 2xe y + 1 = 0
wat ’n kwadratiese vergelyking van e y is. Dit lewer
Omdat y ≥ 0, is e y ≥ 1. Dus moet
sodat
e y = x ± √ x 2 − 1.
e y = x + √ x 2 − 1,
y = ln(x + √ x 2 − 1).
✷
Die ander kan op ’n soortgelyke wyse afgelei word. U moet die afleidings vir sinh −1 x,
cosh −1 x en tanh −1 x ken.

48 Hiperboliese en Inverse Hiperboliese Funksies
Stelling 33
d −1 1
sinh x = √
dx
1 + x2 d −1 1
cosh x = √ , x > 1
dx
x2 − 1
d −1 1
tanh x =
dx
1 − x2, |x| < 1
d −1 1
csch x = −
dx
|x| √ x = 0
1 + x2, d −1 1
sech x = −
dx
x √ 0 < x < 1
1 − x2, d −1 1
coth x =
dx
1 − x2, |x| > 1
U moet die afleidings vir sinh −1 x, cosh −1 x en tanh −1 x soos in voorbeeld 4 (afdeling 6.7,
Stewart, 7de uitgawe) of voorbeeld 4 (afdeling 7.7, Stewart, 6de uitgawe) kan doen. Die
standaardvorme van die afgeleides wat die kettingreël insluit, word in bylaag E gegee.
Uit die afgeleides volg die integrale.
Stelling 34
dx
√ 1 + x 2 = sinh−1 x + C = ln(x + √ x 2 + 1) + C
dx
√ = cosh
x2 − 1 −1 |x| + C = ln |x + √ x2 − 1| + C, |x| > 1
dx
1 − x2 = tanh−1 x + C, |x| < 1
= 1
2 ln
1 + x
1
− x
+ C, x = 1
dx
x √ 1 + x2 = −csch−1
1
x + C = ln
x +
1
+ 1 + C, x = 0
x2
dx
x √ 1 − x2 = −sech−1
1
|x| + C = ln
x
+
1
− 1
+ C, 0 < |x| < 1
x2
dx
1 − x2 = coth−1 x + C, |x| > 1
= 1
2 ln
x + 1
x
− 1
+ C, x = 1
In die literatuur word die integrale van die bogenoemde funksies nie in terme van die
inverse hiperboliese funksies gegee nie, maar in terme van die natuurlike logaritmiese
funksie. Die standaardvorme van die integrale word in bylaag E gegee. Bestudeer ook
voorbeelde 5 en 6 (afdeling 6.7, Stewart, 7de uitgawe) of voorbeelde 5 en 6 (afdeling 7.7,
Stewart, 6de uitgawe).

Leereenheid 5
Integrasietegnieke
Tydstoedeling
15 ure 40 minute (10 kontaksessies en 2 tutoriaalsessies).
Veronderstelde Leer
1. Leereenhede 1, 5, 7, WISN111.
2. Leereenheid 4, WISN121.
Leeruitkomste
1. Faktorintegrasie te kan gebruik om integrale van funksies van soortgelyke maar
onbekende voorbeelde te kan bepaal deur gebruik te maak van standaard wiskundige
simbole.
2. Integrale van trigonometriese funksies (Stelling 35) en kombinasies van trigonometriese
funksies van soortgelyke maar onbekende voorbeelde te kan bepaal deur gebruik
te maak van standaard wiskundige simbole.
3. Trigonometriese substitusie te kan gebruik om integrale van funksies van soortgelyke
maar onbekende voorbeelde te kan bepaal deur gebruik te maak van standaard
wiskundige simbole.
4. Integrale van rasionale funksies van soortgelyke maar onbekende voorbeelde te kan
bepaal deur die funksies in parsiële breuke te ontbind en deur gebruik te maak van
standaard wiskundige simbole.
Teksverwysings
Stewart (7de uitgawe): Afdelings 7.1, 7.2, 7.3, 7.4, 7.5, 7.6.
Stewart (6de uitgawe): Afdelings 8.1, 8.2, 8.3, 8.4, 8.5, 8.6.
Studiegids: Afdelings 5.1, 5.2, 5.3, 5.4.
49

50 Integrasietegnieke
Voorbereiding
Lees die gegewe gedeeltes in die handboek en die studiegids deur.
Werk die volgende voorbeelde van Stewart (7de uitgawe) deur:
Afdeling 7.1: 1, 3;
Afdeling 7.2: 1, 3, 4, 7-9;
Afdeling 7.3: 2, 3, 6, 7;
Afdeling 7.4: 1, 2, 4, 5, 7.
Werk die volgende voorbeelde van Stewart (6de uitgawe) deur:
Afdeling 8.1: 1, 3;
Afdeling 8.2: 1, 3, 4, 7-9;
Afdeling 8.3: 2, 3, 6, 7;
Afdeling 8.4: 1, 2, 4, 5, 7.
Beantwoord die volgende vrae en handig dit in aan die begin van die eerste kontaksessie
van die leereenheid:
1. Bereken die integraal x √ x 2 + 1dx deur van die geskikte standaardvorm gebruik
te maak.
2. Bereken die integraal x 3√ x 2 + 1dx deur van die geskikte substitusie gebruik te
maak.
3. Bereken die integraal x 2√ x 2 + 1 dx deur van faktorintegrasie gebruik te maak.
4. Bereken die integrale cos 5xdx en sin 3xdx.
Inoefening van Vaardighede
Werk die volgende voorbeelde van Stewart (7de uitgawe) deur:
Afdeling 7.1: 2, 4, 5;
Afdeling 7.2: 2, 5, 6;
Afdeling 7.3: 1, 4, 5;
Afdeling 7.4: 3, 6, 8, 9;
Afdeling 7.5: 1, 2, 3, 4, 5;
Afdeling 7.6: 1, 2, 3, 4.
Werk die volgende voorbeelde van Stewart (6de uitgawe) deur:
Afdeling 8.1: 2, 4, 5;
Afdeling 8.2: 2, 5, 6;
Afdeling 8.3: 1, 4, 5;
Afdeling 8.4: 3, 6, 8, 9;
Afdeling 8.5: 1, 2, 3, 4, 5;
Afdeling 8.6: 1, 2, 3, 4.
Doen die volgende oefeninge:
Stewart (7de uitgawe):
Oef. 7.1: 17, 30, 31, 35, 36, 49(a), 49(b), 57;

Integrasietegnieke (1) 51
Oef. 7.2: 1, 3, 8, 27, 30, 37, 41, 60;
Oef. 7.3: 11, 13, 17, 23, 24, 29.
Oef. 7.4: 16, 28, 35.
Stewart (6de uitgawe):
Oef. 8.1: 17, 26, 27, 31, 32, 45(a), 45(b), 54;
Oef. 8.2: 1, 3, 8, 30, 32, 39, 44, 60;
Oef. 8.3: 11, 13, 17, 23, 24, 29.
Oef. 8.4: 16, 28, 35.

52 Integrasietegnieke
5.1 Faktorintegrasie
Die integrasietegnieke wat tot dusver behandel is, behels metodes waarop ’n gegewe integraal
verander (getransformeer) word na ’n standaardvorm deur ’n geskikte substitusie te
gebruik. In baie gevalle is dit moeilik of selfs onmoontlik om so ’n transformasie te doen.
Ander tegnieke word dan benodig. ’n Baie nuttige tegniek van integrasie van funksies
h wat geskryf kan word as ’n produk h(x) = f(x)g(x) van twee ander funksies waarvan
die afgeleides en/of onbepaalde integrale bekend is, word bespreek. Hierdie tegniek staan
bekend as fakorintegrasie en is ekwivalent aan die produkreël vir differensiasie.
Uit die produkreël vir differensiasie volg dat
Dus
sodat
d
dx [f(x)g(x)] = f(x)g′ (x) + f ′ (x)g(x).
f(x)g(x) =
f(x)g ′
(x) dx +
f(x)g ′
(x) dx = f(x)g(x) −
f ′ (x)g(x) dx,
f ′ (x)g(x) dx.
Wanneer hierdie reël gebruik word om ’n integraal te bereken, word g ′ normaalweg as die
funksie wat die maklikste sal integreer, gekies en f as die funksie waarvan die afgeleide
eenvoudiger is as die funksie self.
Voorbeeld: Bereken die integraal xex dx.
Kies f(x) = x want d
dx (x) = 1 en g′ (x) = ex want ex dx = ex .
xe x
dx = x e x
d
dx −
dx x
e x
dx dx
= xe x
− e x dx
= xe x − e x + C.
Die berekening van bepaalde integrale kan op twee maniere geskied.
Voorbeeld:
π
2
− π
2
x sin xdx = [−x cos x] π
2
− π
2
= 0 + [sin x] π
2
− π
2
= 2.
+
π
2
Of die onbepaalde integraal kan eers bereken word.
F(x) = x sin xdx = −x cosx +
− π
2
= −x cosx + sin x.
cosxdx
cosxdx

Integrasietegnieke (1) 53
Dan is
π
2
− π
2
x sin xdx = F( π
) − F(−π
2 2 )
= 0 + 1 − 0 − (−1)
= 2.
Bestudeer ook voorbeelde 1 en 3 (afdeling 7.1, Stewart, 7de uitgawe) of voorbeelde 1 en
3 (afdeling 8.1, Stewart, 6de uitgawe).
Hierdie tegniek kan ook gebruik word om integrale wat tot dusver ontmoontlik was om te
bereken, te bereken.
Voorbeeld 1: Bereken die integraal sin −1 xdx.
Skryf die integraal as 1 · sin −1 xdx en stel f(x) = sin −1 x en g ′ (x) = 1. Dan is
sin −1
xdx = 1 · sin −1 xdx
= x sin −1
1
x − x √ dx
1 − x2 = x sin −1
x − − 1
(−2x)
2
1 − x 2−1/2 dx
= x sin −1 x + √ 1 − x 2 + C.
Voorbeeld 2: Bereken die integraal ln xdx
ln xdx = 1 · lnxdx
= x ln x − x( 1
) dx
x
= x ln x − dx
= x ln x − x + C.
Bestudeer ook voorbeelde 2 en 5 (afdeling 7.1, Stewart, 7de uitgawe) of voorbeelde 2 en
5 (afdeling 8.1, Stewart, 6de uitgawe).
Bestudeer voorbeeld 4 (afdeling 7.1, Stewart, 7de uitgawe) of voorbeeld 4 (afdeling 8.1,
Stewart, 6de uitgawe). In hierdie voorbeeld kan enige een van die funksies e x of sin x as
g ′ (x) gekies word aangesien albei ewe maklik is om te integreer. In gevalle soos hierdie,
gebeur dit dat die oorspronklike integraal weer in die verloop van die berekening van die
integraal navore kom. Die integraal word dan as ’n onbekende wat opgelos moet word,
beskou.

54 Integrasietegnieke
5.2 Trigonometriese Integrale
Soms is dit nodig om van trigonometriese identiteite en substitusies gebruik te maak om
integrale van magte van trigonometriese funksies te bereken. In die algemeen is
Die identiteite
cosnxdx = 1
sin nx + C,
n
sin nxdx = − 1
cosnx + C.
n
cos 2 x = 1
(1 + cos 2x),
2
sin 2 x = 1
(1 − cos 2x)
2
word gebruik om integrale van die vorm
cos 2 xdx = 1
(1 + cos 2x) dx,
2
sin 2 xdx = 1
(1 − cos 2x) dx
2
te bereken.
Die strategie vir die oplos van integrale van die vorm sin m x cos n xdx word in afdeling 7.2
(Stewart, 7de uitgawe) en afdeling 8.2 (Stewart, 6de uitgawe) bespreek. Bestudeer voorbeelde
1-4 (afdeling 7.2, Stewart, 7de uitgawe) of voorbeelde 1-4 (afdeling 8.2, Stewart,
6de uitgawe).
Stelling 35
sin x
tan xdx =
cosx dx
= − ln | cosx| + C
= ln | sec x| + C
cosx
cot xdx =
sin x dx
= ln | sinx| + C
sec x(sec x + tan x)
sec xdx =
dx
sec x + tanx
2 sec x tanx + sec x
=
dx
sec x + tanx
= ln | sec x + tan x| + C
csc x(csc x − cot x)
csc xdx =
dx
csc x − cot x
2 − csc x cotx + csc x
=
dx
csc x − cotx
= ln | csc x − cot x| + C

Integrasietegnieke (1) 55
U moet al die bostaande integrale kan bewys. Die standaardvorme van hierdie integrale
word in bylaag E gegee.
Die strategie vir die oplos van integrale van die vorm tan m x sec n xdx word in afdeling 7.2
(Stewart, 7de uitgawe) en afdeling 8.2 (Stewart, 6de uitgawe) bespreek. Die strategie vir
die oplos van integrale van die vorm cot m x csc n xdx is soortgelyk. Bestudeer voorbeelde
5-8 (afdeling 7.2, Stewart, 7de uitgawe) of voorbeelde 5-8 (afdeling 8.2, Stewart, 6de
uitgawe).
Die identiteite
word gebruik om integrale van die vorm
te bereken.
sin x cosy = 1
[sin(x − y) + sin(x + y)],
2
sin x sin y = 1
[cos(x − y) − cos(x + y)],
2
cosxcos y = 1
[cos(x − y) + cos(x + y)]
2
sin mx cosnxdx
= 1
[sin(mx − nx) + sin(mx + nx)] dx,
2
= 1
{sin[(m − n)x] + sin[(m + n)x]} dx,
2
= 1
−
2
1
1
cos[(m − n)x] − cos[(m + n)x]
m − n m + n
= sin mx sin nxdx
= 1
2
= 1
2
[cos(mx − nx) − cos(mx + nx)] dx,
{cos[(m − n)x] − cos[(m + n)x]} dx,
1
1
sin[(m − n)x] − sin[(m + n)x]
m − n m + n
= 1
2
cosmx cos nxdx
= 1
[cos(mx − nx) + cos(mx + nx)] dx
2
= 1
{cos[(m − n)x] + cos[(m + n)x]} dx,
2
= 1
2
1
1
sin[(m − n)x] + sin[(m + n)x]
m − n m + n
,
,

56 Integrasietegnieke
Voorbeeld: Let op dat
sodat
π/3
0
sin 6x cos 3xdx =
sin 6x cos 3x = 1
[sin(6x + 3x) + sin(6x − 3x)] ,
2
π/3
0
1
1
[sin 9x + sin 3x] dx =
2 2 [−1
1
cos 9x − cos 3x]π/3 0 =
9 3 4
9 .
Bestudeer ook voorbeeld 9 (afdeling 7.2, Stewart, 7de uitgawe) of voorbeeld 9 (afdeling
8.2, Stewart, 6de uitgawe).
Aangesien hiperboliese funksies identiteite het soortgelyk aan die identieite van trigonometriese
funksies, geld al die strategië soos bespreek in hierdie afdeling en in afdeling 7.2
(Stewart, 7de uitgawe) en afdeling 8.2 (Stewart, 6de uitgawe) ook vir die integrale van
hiperboliese funksies.
Die res van hierdie afdeling is vir verryking. Hoewel u nie hierdie stellings of hul bewyse
hoef te ken nie, moet u dit wel bestudeer want dieselfde tegniek word gebruik om die
integrale van magte van trignometriese en ander funksies te bepaal.
Deur van faktorintegrasie gebruik te maak, kan herleidingsformules waarmee integrale van
magte van trigonometriese en ander funksies bepaal kan word, afgelei word. U word na
die volgende resultate verwys:
Stelling 36
Bewys:
⇒ n
⇒
sin n xdx = −1
n sinn−1
n − 1
x cosx +
n
sin n
xdx = sin n−1 x sin xdx
= − sin n−1
x cosx + (n − 1)
= − sin n−1
x cosx + (n − 1)
= − sin n−1
x cosx + (n − 1)
= − sin n−1
x cosx + (n − 1)
sin n xdx = − sin n−1 x cosx + (n − 1)
sin n xdx = −1
n sinn−1 n − 1
x cosx +
n
’n Soortgelyke formule kan vir cos n xdx afgelei word.
sin n−2 xdx.
sin n−2 x cosxcosxdx
sin n−2 x cos 2 xdx
sin n−2 x(1 − sin 2 x) dx
sin n−2
xdx − (n − 1)
sin n−2 xdx
sin n−2 xdx
sin n xdx
✷

Integrasietegnieke (1) 57
Stelling 37
sec n xdx = 1
n − 1 secn−2
n − 2
x tanx +
n − 1
sec n−2 xdx.
Bewys:
sec n
xdx = sec n−2 x sec 2 xdx
= sec n−2
x tan x − (n − 2) sec n−3 x sec x tan x tanxdx
= sec n−2
x tan x − (n − 2) sec n−2 x tan 2 xdx
= sec n−2
x tan x − (n − 2) sec n−2 x(sec 2 x − 1) dx
= sec n−2
x tan x − (n − 2) sec n
xdx + (n − 2) sec n−2 xdx
⇒ (n − 1) sec n xdx = sec n−2
x tan x + (n − 2) sec n−2 xdx
⇒ sec n xdx =
1
n − 1 secn−2
n − 2
x tanx + sec
n − 1
n−2 xdx.
’n Soortgelyke formule kan vir
✷
cscn xdx afgelei word.
Stelling 38
Voorbeeld:
x n e x dx = x n e x
− n
sin 4 xdx = −1
4 sin3 x cos x + 3
4
= −1
4 sin3 x cos x + 3
4
= −1
4 sin3 x cos x + 3
4
−1
x n−1 e x dx.
sin 2 xdx
2
−1
2
5.3 Trigonometriese Substitusie
1
sin x cosx +
2
1
sin x cosx +
2 x
Die volgende integrale is reeds aan u bekend:
dx
√
a2 − x2 dx
√
a2 + x2 dx
√
x2 − a2
x
= sin−1 + C
a
x
= sinh−1 + C
a
x
= cosh−1 + C
a
dx
+ C.

58 Integrasietegnieke
Voorbeeld: Wat van
8 + 2x − x 2 = −
Die integraal word dan
dx
√
8 + 2x − x2 =
√ dx
8+2x−x2? Deur vierkantsvoltooiing volg dat
x 2 − 2x +
2
2
+ 8 +
2
dx
32 − (x − 1) 2 =
2 2
= 9 − (x
2
2 − 2x + 1) = 9 − (x − 1) 2 .
1/3
dx = sin−1
1 − [(x − 1)/3] 2
x − 1
+ C.
3
In die gedeelte wat volg, gaan metodes om die volgende drie integrale te bereken, bespreek
word:
√a
2 − x2 dx,
√a
2 + x2 dx,
√x
2 − a2 dx.
Die oplossings van die integrale verskaf nie formules wat u moet leer nie. Die klem lê
op die metodes wat gebruik word. U moet hierdie metode kan gebruik om soortgelyke
integrale op te los.
Om hierdie integrale te bereken, gaan die volgende identiteite gebruik word:
cos 2 t + sin 2 t = 1
sec 2 t − tan 2 t = 1
cos 2 t = 1
(1 + cos 2t)
2
sin 2 t = 1
(1 − cos 2t)
2
Die eerste twee identiteite word gebruik om ’n korrekte substitusie te maak om telkens
van die vierkantswortel ontslae te raak.
Beskou die integraal √a 2 − x 2 dx.
Stel x = a sin t sodat
√ a 2 − x 2
en die gedeelte onder die vierkantswortel word
t
a
a 2 − x 2 = a 2 − a 2 sin 2 t = a 2 cos 2 t.
x

Integrasietegnieke (1) 59
Verder is dx/dt = a cost en die integraal word soos volg opgelos:
√a
2 − x2 dx
= a2 − a2 sin 2 t(a cost) dt
= a 2
cos 2 t dt
= a2
(cos 2t + 1) dt
2
= a2
1
sin 2t + t + C
2 2
= a2
(sin t cost + t) + C
2
= a2
x
2 a ·
√
a2 − x2 −1 x
+ sin + C
a a
= x√
a
a2 − x2 +
2
2 x
sin−1 + C.
2 a
Hierdie klas integrale kan ook bepaal word deur die substitusie x = a cost te gebruik.
Hierdie tegniek word ook gebruik om integrale van die vorm
x m (a 2 − x 2 ) n/2 dx
waar m, n ∈ Z, n onewe en m = 1, te bepaal. Waar m > 1 kan die substitusie u = a 2 −x 2
ook gebruik word.
Beskou die integraal
√a 2 + x 2 dx.
Stel x = a tant sodat
√ a 2 + x 2
en die gedeelte onder die vierkantswortel word
t
a 2 + x 2 = a 2 + a 2 tan 2 t = a 2 sec 2 t.
a
x

60 Integrasietegnieke
Verder is dx/dt = a sec 2 t en die integraal word soos volg opgelos:
√a 2 + x 2 dx
= a2 + a2 tan2 t(a sec 2 t) dt
= a 2
sec 3 t dt
= a2
2
= a2
2
(sec t tan t + ln | sec t + tan t|) + C
√
a2 + x2 ·
a
x
√
a2 + x2 + ln +
a a
x
+ C
a
= x√
a
a2 + x2 +
2
2
2 ln |√a2 + x2 + x| + K
waar K = −(a 2 /2) lna + C.
Hierdie klas integtrale kan ook bepaal word deur van die substitusie x = a sinh t gebruik
te maak. In hierdie geval is
en
Ook is
a 2 + x 2 = a 2 + a 2 sinh 2 t = a 2 cosh 2 t
√
a2 + x2 cosh t = .
a
t = sinh −1
x
√
a2 + x2 = ln
+
a a
x
a
.
Verder is dx/dt = a cosh t en die integraal word soos volg opgelos:
√a 2 + x 2 dx
= a2 + a2 sinh 2 t(a cosh t) dt
= a 2
cosh 2 t dt
= a2
(cosh 2t + 1) dt
2
= a2
4
= a2
2
= a2
2
a2
sinh 2t + t + C
2
a2
sinh t cosh t + t + C
√
2
a2 + x2 ·
a
x
√
a2 + x2 + ln +
a a
x
+ C
a
= x√
a
a2 + x2 +
2
2
2 ln |√a2 + x2 + x| + K

Integrasietegnieke (1) 61
waar K = −(a 2 /2) lna + C.
Hierdie tegniek word ook gebruik om integrale van die vorm
x m (a 2 + x 2 ) n/2 dx
waar m, n ∈ Z, n onewe en m = 1, te bepaal. Waar m > 1 kan die substitusie u = a 2 +x 2
ook gebruik word.
Beskou die integraal √x 2 − a 2 dx.
Stel x = a sec t sodat
t
x
a
√ x 2 − a 2
Verder is dx/dt = a sec t tant en die integraal word soos volg opgelos:
√x 2 − a 2 dx
√a
= 2 sec2 t − a2 (a sec t tant) dt
= a 2
tan 2 t sec t dt
= a 2
(sec 3 t − sec t) dx
= a 2
1 1
sec t tant + ln | sec t + tan t| − ln | sec t + tant| + C
2 2
= a2
x
2 a ·
√
x2 − a2
− ln
x
a a
+
√
x2 − a2
a + C
= x√
a
x2 − a2 −
2
2
2 ln |x + √ x2 − a2 | + K
waar K = (a 2 /2) lna + C.
Hierdie klas integtrale kan ook bepaal word deur van die substitusie x = a cosh t gebruik
te maak. In hierdie geval is
en
x 2 − a 2 = a 2 cosh 2 t − a 2 = a 2 sinh 2 t
sinh t =
√
x2 − a2 .
a

62 Integrasietegnieke
Ook is
−1 x
t = cosh
a
√
= ln
x2 − a2 +
a
x
a
.
Verder is dx/dt = a sinh t en die integraal word soos volg opgelos:
√x 2 − a 2 dx
= a2 cosh 2 t − a2 (a sinh t) dt
= a 2
sinh 2 t dt
= a2
(cosh 2t − 1) dt
2
= a2
4
a2
sinh 2t − t + C
2
= a2 a2
sinh t cosh t − t + C
2 2
= a2
√
x2 − a2 ·
2 a
x
√
− ln
x2 − a2 a +
a
x
a
+ C
= x√
a
x2 − a2 −
2
2
2 ln |√x2 − a2 + x| + K
waar K = −(a 2 /2) lna + C.
Hierdie tegniek word ook gebruik om integrale van die vorm
x m (x 2 − a 2 ) n/2 dx
waar m, n ∈ Z, n onewe en m = 1, te bepaal. Waar m > 1 kan die substitusie u = x 2 −a 2
ook gebruik word.
Bestudeer voorbeelde 1-7 (afdeling 7.3, Stewart, 7de uitgawe) of voorbeelde 1-7 (afdeling
8.3, Stewart, 6de uitgawe).
5.4 Integrasie van Rasionale Funksies
Dit gaan oor die berekening van integrale waarby die integrand ’n rasionale funksie is
wat eers in parsiële breuke ontbind moet word. Kennis i.v.m. die ontbinding in parsiële
breuke is hier baie belangrik.
Resep vir die integrasie van p(x)
q(x) dx
1. As die graad van p(x) ≥ die graad van q(x) is, maak ’n deelsom om
p(x)
q(x)
= s(x) + t(x)
q(x)

Integrasietegnieke (1) 63
te verkry, waarby s, t en q polinome is en die graad van t(x) < as die graad van
q(x) is.
2. Ontbind q(x) in faktore en ontbind die breuk t(x)
q(x)
in parsiële breuke.
3. Pas bekende integrasietegnieke toe om die gevraagde integraal te bereken.
Die vier gevalle waarmee u meestal te doen sal kry, is
1. waar
q(x) = (a1x + b1)(a2x + b2) · · ·(akx + bk)
die produk van verskillende lineêre funksies is, dan is
2. waar
p(x)
q(x) =
A1
a1x + b1
’n lineêre faktor het wat herhaal, dan is
3. waar
p(x)
q(x)
= · · · + A1
ax + b +
+ A2
+ · · · +
a2x + b2
Ak
.
akx + bk
q(x) = · · ·(ax + b) r · · ·
A2
+ · · · +
(ax + b) 2
q(x) = · · ·(ax 2 + bx + c) · · ·
Ar
+ · · · .
(ax + b) r
’n kwadratiese faktor het wat nie gefaktoriseer kan word nie, dan is
4. waar
p(x)
q(x)
Ax + B
= · · · +
ax2 + · · · .
+ bx + c
q(x) = · · ·(ax 2 + bx + c) r · · ·
’n kwadratiese faktor het wat herhaal, dan is
p(x)
q(x) = · · · + A1x + B1
ax2 + bx + c + A2x + B2
(ax2 Arx + Br
+ · · · +
+ bx + c) 2 (ax2 + · · · .
+ bx + c) r
Voorbeeld: As f(x) = x3
breuk-ontbinding is
Dus
x 2 −3x+2
7x−6
volg deur deling dat f(x) = x+3+ x2 . Deur parsiële
−3x+2
f(x) = x + 3 + 8 1
−
x − 2 x − 1 .
x3 x2 1
dx =
− 3x + 2 2 x2 + 3x + 8 ln |x − 2| − ln |x − 1| + C.
Bestudeer ook voorbeelde 1-9 (afdeling 7.4, Stewart, 7de uitgawe) of voorbeelde 1-9 (afdeling
8.4, Stewart, 6de uitgawe).

64 Integrasietegnieke
In afdeling 7.5 (Stewart, 7de uitgawe) en afdeling 8.5 (Stewart, 6de uitgawe) word ’n
strategie bespreek wat help om te besluit watter integrasie tegniek gebruik moet word.
Bestudeer al die voorbeelde in hierdie afdeling. In afdeling 7.6 (Stewart, 7de uitgawe)
en afdeling 8.6 (Stewart, 6de uitgawe) word dit aangetoon hoe integrasie tabelle gebruik
word om intgrale op te los. Bestudeer voorbeelde 1 to 4 in hierdie afdeling.

Leereenheid 6
Toepassings van Integrasie (2)
Tydstoedeling
7 ure 50 minute (5 kontaksessies en 1 tutoriaalsessie).
Veronderstelde Leer
1. Leereenhede 5, WISN111.
2. Leereenhede 2, 4, 5, WISN121.
Leeruitkomste
1. Die formules vir die lengtes van krommes (Stelling 39) te kan formuleer, te kan bewys
en te kan gebruik om die lengte van krommes van soortgelyke, maar onbekende
voorbeelde te bereken deur gebruik te maak van standaard wiskundige simbole.
2. Die formules vir die oppervlaktes van omwentelingsoppervlakke (Stelling 40) te kan
formuleer, te kan bewys en te kan gebruik om die oppervlaktes van omwentelingsoppervlakke
van soortgelyke, maar onbekende voorbeelde te bereken deur gebruik
te maak van standaard wiskundige simbole.
Teksverwysings
Stewart, 7de uitgawe: Afdelings 8.1, 8.2, 8.3, 8.4.
Stewart, 6de uitgawe: Afdelings 9.1, 9.2, 9.3, 9.4.
Studiegids: Afdelings 6.1, 6.2.
Voorbereiding
Lees die gegewe gedeeltes in die handboek en die studiegids deur.
65

66 Toepassings van Integrasie (2)
Werk die volgende voorbeelde van Stewart (7de uitgawe) deur:
Afdeling 8.1: 1, 2;
Afdeling 8.2: 1, 2.
Werk die volgende voorbeelde van Stewart (6de uitgawe) deur:
Afdeling 9.1: 1, 2;
Afdeling 9.2: 1, 2.
Beantwoord die volgende vrae en handig dit in aan die begin van die eerste kontaksessie
van die leereenheid:
1. Beskou die kromme y = x 2 , 2 ≤ x ≤ 4. Verdeel die interval [2, 4] in 4 gelyke
subintervalle. Benader die gedeelte van die kromme op elke subinterval met ’n
reguitlyn. Bereken die benaderde lengte van die kromme deur die lengtes van die
reguitlynstukke bymekaar te tel.
2. Teken die drie-dimensionele figuur (omwentelingsoppervlak) wat gevorm wanneer
die kromme y = x 2 , 2 ≤ x ≤ 4 om die x-as roteer word. Verdeel die omwentelingsoppervlak
in 4 skywe met gelyke diktes. Benader die skuinssye met reguitlyne.
Bereken die benaderde oppervlakte van die omwentelingsoppervlak deur die oppervlaktes
van die skywe (stompkeëls) bymekaar te tel.
Inoefening van Vaardighede
Werk die volgende voorbeelde van Stewart (7de uitgawe) deur:
Afdeling 8.2: 3.
Werk die volgende voorbeelde van Stewart (6de uitgawe) deur:
Afdeling 9.2: 3.
Doen die volgende oefeninge:
Stewart (7de uitgawe):
Oef. 8.1: 7, 9, 11, 16;
Oef. 8.2: 5, 11, 15.
Doen die volgende oefeninge:
Stewart (6de uitgawe):
Oef. 9.1: 7, 9, 11, 16;
Oef. 9.2: 5, 11, 15.

Toepassings van Integrasie (2) 67
6.1 Lengte van ’n Kromme
(Twee kontaksessies)
In hierdie afdeling word slegs gladde krommes beskou, m.a.w. krommes wat geen knakpunte
het nie. Op die interval [−1, 1] is die kromme y = x 2 glad, maar nie y = |x| nie. ’n Kromme
van die vorm y = f(x) is glad op die interval [a, b] indien die funksie f sowel as sy afgeleide
f ′ kontinu is op die interval [a, b]. Anders gestel, ’n kromme y = f(x) is glad op die interval
[a, b] indien die funksie f kontinu is op [a, b] en differensieerbaar is op (a, b). Sulke funksies
word kontinu-differensieerbare funksies genoem. Die kromme y = f(x) is dus glad indien
die funksie f(x) kontinu-differensieerbaar is. Kontinu-differensieerbare funksies voldoen
aan die voorwaardes van die middelwaardestelling (vir afgeleides), Stelling 15. In die
verloop van die bewys van die volgende stelling is dit nodig om die middelwaardestelling
te gebruik en is dit dus nodig dat die kromme ter sprake glad moet wees.
Stelling 39
(a) As y = f(x) ’n gladde kromme op [a, b] is, dan is die booglengte L van die kromme op
[a, b]
b
b 2 dy
L = 1 + [f ′ (x)] 2 dx = 1 + dx.
dx
a
(b) As x = g(y) ’n gladde kromme op [c, d] is, dan is die booglengte L van die kromme op
[c, d]
d
d 2 dx
L = 1 + [g ′ (y)] 2 dy = 1 + dy.
dy
c
Hierdie stelling word in figuur 3 (afdeling 8.1, Stewart, 7de uitgawe) en figuur 3 (afdeling
9.1, Stewart, 6de uitgawe) geïllustreer.
Bewys: Die (a)-gedeelte word bewys. Die bewys vir die (b)-gedeelte volg soortgelyk.
Verdeel die interval [a, b] by die verdelingspunte a = x0, x1, x2, . . .,xn = b in n deelintervalle
[xk−1, xk] met lengtes ∆xk = xk − xk−1 vir k = 1, 2, . . ., n.
Die kromme y = f(x) word ook in n stukkies by die punte Pk = (xk, f(xk)) vir k =
1, 2, . . ., n verdeel.
Verbind die punte Pk−1 en Pk vir k = 0, 1, . . ., n met reguit lynstukke met lengtes
Lk = (∆xk) 2 + [f(xk) − f(xk−1)] 2 .
Die middelwaardestelling (vir afgeleides) lewer ’n punt x ∗ k ∈ [xk−1, xk] vir elke k =
1, 2, . . ., n só dat
f(xk) − f(xk−1) = f ′ (x ∗ k )∆xk.
Dus is
Lk =
1 + [f ′ (x ∗ k )]2 ∆xk
a
c

68 Toepassings van Integrasie (2)
vir k = 1, 2, . . ., n. Die totale lengte van die kromme by benadering is
Die werklike lengte is
L = lim
∆xk→0
n
Lk =
k=1
n
k=1
n
k=1
1 + [f ′ (x ∗ k )]2 ∆xk.
1 + [f ′ (x ∗ k )]2 ∆xk =
b
a
1 + [f ′ (x)] 2 dx
volgens die definisie van die bepaalde integraal. ✷
Voorbeeld: Laat x = 1
3 (y2 + 2) 3/2 op [0, 1].
L =
1
0
1 +
1
2 (y2 + 2) 1/2 2 (2y) dy =
1
0
(y 2 + 1) dy = 4
3 .
Bestudeer ook voorbeelde 1 en 2 (afdeling 8.1, Stewart, 7de uitgawe) en voorbeelde 1 en
2 (afdeling 9.1, Stewart, 6de uitgawe).
6.2 Oppervlakte van ’n Omwentelingsoppervlak
(Drie kontaksessies)
Vooraf word die formule A = πrl vir die oppervlakte van die sy-oppervlak van ’n keël met
basis-straal r en skuinshoogte l kortliks bespreek. As die keël langs die skuinsrib geknip
en plat gevou word, word ’n sirkelsektor met straal l wat ’n hoek θ by die middelpunt
onderspan, verkry soos in figuur 2 (afdeling 8.2, Stewart, 7de uitgawe) en figuur 2 (afdeling
9.2, Stewart, 6de uitgawe). Let op dat die oppervlakte van ’n sirkelsektor wat hoek θ
radiale by die middelpunt van ’n sirkel met straal l onderspan, gegee word deur
Aθ = θ
2π πl2 = 1
2 l2 θ.
Omdat θ = 2πr/l, volg dat A = πrl.
Beskou die stompkeël met topstraal r1, basisstraal r2 en skuinshoogte l in figuur 3 (afdeling
8.2, Stewart, 7de uitgawe) en figuur 3 (afdeling 9.2, Stewart, 6de uitgawe). Die
oppervlakte van die sy-oppervlak van die stompkeël is
Maar
dus
S = πr2(l + l1) − πr1l1 = π(r2l + r2l1 − r1l1).
l1
r1
= l1 + l
,
r2
r2l1 = r1l1 + r1l of r2l1 − r1l1 = r1l.

Toepassings van Integrasie (2) 69
Dus
S = π(r1l + r2l) = πl(r1 + r2).
In die verloop van die bewys van die volgende stelling is dit nodig om die middelwaardestelling
(vir afgeleides), Stelling 15, te gebruik en is dit dus nodig dat die funksie
ter sprake kontinu-differensieerbaar moet wees.
Stelling 40
(a) Gestel y = f(x) is ’n nie-negatiewe kontinu-differensieerbare funksie op [a, b]. Dan is
die oppervlakte van die omwentelingsoppervlak wat ontstaan as die kromme y = f(x) om
die x-as roteer word,
met c = y(a) en d = y(b).
S =
=
=
b
a
b
a
d
c
2πf(x) 1 + [f ′ (x)] 2 dx
2 dy
2πy(x) 1 + dx
dx
2 dx
2πy 1 + dy
dy
(b) Gestel x = g(y) is ’n nie-negatiewe kontinu-differensieerbare funksie op [c, d]. Dan is
die oppervlakte van die omwentelingsoppervlak wat ontstaan as die kromme y = f(x) om
die y-as roteer word,
met a = x(c) en b = x(d).
S =
=
=
d
c
d
c
b
a
2πg(y) 1 + [g ′ (y)] 2 dy.
2 dx
2πx(y) 1 + dy
dy
2 dy
2πx 1 + dx
dx
Die (a)-gedeelte word in figuur 4 (afdeling 8.2, Stewart, 7de uitgawe) en figuur 4 (afdeling
9.2, Stewart, 6de uitgawe) geïllustreer.
Bewys: Die (a)-gedeelte word bewys. Die bewys vir die (b)-gedeelte volg soortgelyk.
Verdeel die interval [a, b] by die verdelingspunte a = x0, x1, x2, . . .,xn = b in n deelintervalle
[xk−1, xk] met lengtes ∆xk = xk − xk−1 vir k = 1, 2, . . ., n.
Die kromme y = f(x) word ook in n stukkies by die punte Pk = (xk, f(xk)) vir k =
1, 2, . . ., n verdeel.
Verbind die punte Pk−1 en Pk vir k = 1, 2, . . ., n met reguit lynstukke met lengtes
Lk = (∆xk) 2 + [f(xk) − f(xk−1)] 2 .

70 Toepassings van Integrasie (2)
Roteer die lynstuk Lk vir k = 1, 2, . . ., n om die x-as en kry die stompkeël met basisstraal
f(xk−1), topstraal f(xk), skuinshoogte Lk en sy-oppervlakte
Sk = π[f(xk−1) + f(xk)] × (∆xk) 2 + [f(xk) − f(xk−1)] 2 .
Die middelwaardestelling (vir afgeleides) lewer ’n punt x ∗ k ∈ [xk−1, xk] vir elke k =
1, 2, . . ., n só dat
f(xk) − f(xk−1) = f ′ (x ∗ k )∆xk.
Die tussenwaardestelling lewer ’n punt x ∗∗
k ∈ [xk−1, xk] vir elke k = 1, 2, . . ., n só dat
Dus is
f(x ∗∗ 1
k ) =
2 [f(xk−1) + f(xk)].
Sk = 2πf(x ∗∗
k )
1 + [f ′ (x∗ k )]2∆xk vir k = 1, 2, . . ., n. Die totale oppervlakte van die omwentelingsoppervlak by benadering
is
n n
Sk = 2πf(x ∗∗
k )
1 + [f ′ (x∗ k )]2∆xk. k=1
Die werklike oppervlakte is
S = lim
∆xk→0
n
k=1
k=1
2πf(x ∗∗
k ) 1 + [f ′ (x∗ k )]2∆xk =
b
a
2πf(x) 1 + [f ′ (x)] 2 dx
volgens die definisie van die bepaalde integraal. ✷
Voorbeeld: Beskou ’n sfeer met straal r. Dit is die omwentelingsoppervlak wat verkry
word deur die kromme y = √ r2 − x2 om die x-as te roteer. Die oppervlakte van die sfeer
word gegee deur:
r
S = 2π
−r
√ r2 − x2 r
r
√ dx = 2πr dx = 4πr
r2 − x2 −r
2 .
Bestudeer ook voorbeelde 1-3 (afdeling 8.2, Stewart, 7de uitgawe) of voorbeelde 1-3 (afdeling
9.2, Stewart, 6de uitgawe).
Vir verdere toepassings in u studieveld, bestudeer afdelig 8.3 en 8.4 (Stewart, 7de uitgawe)
of afdelings 9.3 en 9.4 (Stewart, 6de uitgawe).

Leereenheid 7
Rye en Reekse
Tydstoedeling
15 ure 40 minute (10 kontaksessies en 2 tutoriaalsessies).
Veronderstelde Leer
1. Leereenheid 1, 2, 4, WISN111.
2. Sigma notasie (bylaag E, Stewart).
Leeruitkomste
1. Die begrippe fakulteit (Definisie 24), limiet van ’n ry (Definisie 25), konvergensie
en divergensie van ’n ry (Definisie 26) te kan definieer en te kan gebruik om die
konvergensie en divergensie van rye van soortgelyke maar onbekende voorbeelde te
bepaal deur gebruik te maak van standaard wiskundige simbole.
2. Die limietreëls vir rye (Stellings 41, 42, 43 en 44) te kan formuleer en te kan gebruik
om die limiete van rye van soortgelyke, maar onbekende voorbeelde te bereken deur
gebruik te maak van standaard wiskundige simbole.
3. Die begrippe stygende ry (Definisie 27), dalende ry (Definisie 28) en begrensde ry
(Definisies 29, 30 en 31) te kan definieer en te kan gebruik om te bepaal of rye
stygend of dalend is en die begrensdheid van rye van soortgelyke maar onbekende
voorbeelde deur gebruik te maak van standaard wiskundige simbole.
4. Stelling 45 te kan formuleer en te kan gebruik om die konvergensie van monotone
rye van soortgelyke, maar onbekende voorbeelde te bepaal deur gebruik te maak
van standaard wiskundige simbole.
5. Die begrippe konvergensie en divergensie van ’n reeks (Definisie 32) te kan definieer
en te kan gebruik om die konvergensie en divergensie van reekse van soortgelyke maar
onbekende voorbeelde te bepaal deur gebruik te maak van standaard wiskundige
simbole.
71

72 Rye en Reekse
6. Meetkundige reekse (Stelling 46) te kan identifiseer en die som daarvan bereken
indien dit konvergent is van soortgelyke, maar onbekende voorbeelde deur gebruik
te maak van standaard wiskundige simbole.
7. Stellings 47 en 48 te kan formuleer, te kan bewys en te kan gebruik om die divergensie
van reekse van soortgelyke, maar onbekende voorbeelde te bepaal deur gebruik te
maak van standaard wiskundige simbole.
8. Stelling 49 te kan formuleer en te kan gebruik om die somme van reekse te bereken
indien dit konvergent is, van soortgelyke, maar onbekende voorbeelde deur gebruik
te maak van standaard wiskundige simbole.
9. Stelling 50 te kan formuleer en te kan gebruik om die konvergensie en divergensie
van p-reekse van soortgelyke, maar onbekende voorbeelde te bepaal deur gebruik te
maak van standaard wiskundige simbole.
10. Stelling 51 te kan formuleer, te kan bewys en te kan gebruik om die konvergensie
van alternerende reekse van soortgelyke, maar onbekende voorbeelde te bepaal deur
gebruik te maak van standaard wiskundige simbole.
11. Die begrippe absolute konvergensie (Definisie 33) en voorwaardelike konvergensie
(Definisie 34) te kan definieer en Stelling 52 kan formuleer en te kan gebruik om die
konvergensie van reekse van soortgelyke maar onbekende voorbeelde te bepaal deur
gebruik te maak van standaard wiskundige simbole.
12. Die verhoudingstoets (Stelling 53) en die worteltoets (Stelling 54) te kan formuleer
en te kan gebruik om die absolute konvergensie en divergensie van reekse van soortgelyke
maar onbekende voorbeelde te kan bepaal deur gebruik te maak van standaard
wiskundige simbole.
13. Die bergrip Taylorpolinoom (Definisie 35) te kan definieer en te kan gebruik om Taylorpolinoomuitbreidings
van funksies van soortgelyke maar onbekende voorbeelde te
bepaal deur gebruik te maak van standaard wiskundige simbole.
14. Taylor se stelling (Stelling 55) te kan formuleer en te kan gebruik om die resterm
van Taylorreekse van soortgelyke maar onbekende voorbeelde te kan bepaal deur
gebruik te maak van standaard wiskundige simbole.
Teksverwysings
Stewart (7de uitgawe): Afdelings 11.1, 11.2, 11.5, 11.6, 11.7, 11.8, 11.10, bylaag E.
Stewart (6de uitgawe): Afdelings 12.1, 12.2, 12.5, 12.6, 12.7, 12.8, 12.10, bylaag E.
Studiegids: Afdelings 7.1, 7.3, 7.4.
Voorbereiding
Lees die gegewe gedeeltes in die handboek en die studiegids deur.
Werk die volgende voorbeelde van Stewart (7de uitgawe) deur:
Afdeling 11.1: 1 - 13;

Rye en Reekse 73
Afdeling 11.2: 1 - 10;
Afdeling 11.5: 1 - 3;
Afdeling 11.6: 1, 2, 3, 4, 6;
Afdeling 11.10: 1, 2, 4, 5.
Werk die volgende voorbeelde van Stewart (6de uitgawe) deur:
Afdeling 12.1: 1 - 12;
Afdeling 12.2: 1 - 9;
Afdeling 12.5: 1 - 3;
Afdeling 12.6: 1, 2, 3, 4, 6;
Afdeling 12.10: 1, 2, 4, 5.
Beantwoord die volgende vrae en handig dit in aan die begin van die eerste kontaksessie
van die leereenheid:
1. Skryf 0! + 1! + 2! + 3! + 4! in sigma-notasie en bereken die waarde daarvan.
2. Wat is die n-de afgeleide f (n) (x) van f(x) = x −1 in die punt 1? Toon alle berekeninge.
Inoefening van Vaardighede
Werk die volgende voorbeelde van Stewart (7de uitgawe) deur:
Afdelinf 11.3: 2, 3;
Afdeling 11.6: 5;
Afdeling 11.7: 1, 2, 3, 4, 5, 6;
Afdeling 11.8: 1, 2, 3, 4, 5;
Afdeling 11.10: 3, 6, 7, 8.
Werk die volgende voorbeelde van Stewart (6de uitgawe) deur:
Afdeling 12.3: 2, 3;
Afdeling 12.6: 5;
Afdeling 12.7: 1, 2, 3, 4, 5, 6
Afdeling 12.8: 1, 2, 3, 4, 5
Afdeling 12.10: 3, 6, 7, 8.
Doen die volgende oefeninge:
Stewar (7de uitgawe):
Oef. 11.1: 5, 14, 19, 25, 42, 73, 81;
Oef. 11.2: 20, 23, 29, 31, 33, 39;
Oef. 11.5: 5, 7, 12, 16, 19;
Oef. 11.6: 8, 13, 18;
Oef. 11.7: 3, 12, 17, 25, 30, 38;
Oef. 11.8: 4, 12, 19, 26;
Oef. 11.10: 17.
Stewart (6de uitgawe):
Oef. 12.1: 5, 13, 19, 32, 36, 61, 69;
Oef. 12.2: 14, 17, 23, 25, 27, 31;
Oef. 12.5: 5, 7, 13, 15, 19;
Oef. 12.6: 8, 13, 18;

74 Rye en Reekse
Oef. 12.7: 3, 12, 17, 25, 30, 38;
Oef. 12.8: 4, 12, 19, 26;
Oef. 12.10: 15.
Bereken telkens die n-de graadse Taylorpolinoom, die Taylorreeks en die interval waarop
die funksie gelyk is aan sy Taylorreeks vir die volgende funksies.
1. sin x om a = π
2. cosx om π/2
3. x −3 om 1
4. (1 − x) −1 om 0.

Rye en Reekse 75
7.1 Rye
(Twee kontaksessies)
’n Ry is ’n lys van getalle in ’n spesifieke volgorde.
Voorbeeld:
Die ry a1, a2, a3, · · · word deur die volgende eksplisiete formule gedefinieer:
ak = k
, ∀k ∈ N.
k + 1
Om die eerste drie terme van die ry te bereken:
• Vervang die eerste moontlike waarde van k, naamlik k = 1 in k in, dan is
a1 = 1
1 + 1
= 1
2 .
• Vervang nou die volgende moontlike waarde in k in, naamlik k = 2, dan is
• Netso volg dat
a2 = 2
2 + 1
a3 = 3
3 + 1
= 2
3 .
= 3
4 .
• Hieruit volg dat die eerste drie terme van die ry: 1
2
2 3
, , 3 4 is.
Bestudeer ook voorbeelde 1, 2 en 3 (afdeling 11.1, Stewart, 7de uitgawe) of voorbeelde 1,
2 en 3 (afdeling 12.1, Stewart, 6de uitgawe).
Die fakulteitsfunksie wat vir nie-negatiewe heelgetalle gedefinieer is, word baie in die
definiëring van rye en reekse gebruik.
Definisie 24
1. Vir elke positiewe heelgetal n, word die grootheid n fakulteit aangedui deur n!, hierdie
grootheid definieer die produk van alle heelgetalle vanaf 1 tot by n. Dus,
2. Nulfakulteit word gedefinieer as 1:
3.
n! = n.(n − 1) · · ·3.2.1.
0! = 1.
n! = n.(n − 1)!

76 Rye en Reekse
Uit die definisie volg dat
Voorbeeld:
0! = 1
1! = 1
2! = 1 × 2
3! = 1 × 2 × 3
4! = 1 × 2 × 3 × 4
.
n! = 1 × 2 × 3 × 4 × · · · × n
n!
(n − 3)!
= n(n − 1)(n − 2)(n − 3)!
(n − 3)!
= n(n − 1)(n − 2)
= n 3 − 3n 2 + 2n.
Let op dat ’n ry (an) van reële getalle ’n funksie f : N → R is, só dat f(n) = an vir alle
n ∈ N. Die limiet van ’n ry kan ook bereken word.
Definisie 25
’n Ry {an} het die limiet L as vir elke ǫ > 0 ’n N ∈ Z bestaan sodanig dat as n > N
dan is |an − L| < ǫ. Ons skryf lim
n→∞ an = L.
In kort:
lim
n→∞ an = L, ∀ ǫ > 0, N ∈ Z ∃, ∋ n > N ⇒ |an − L| < ǫ
Definisie 26
As lim
n→∞ an bestaan en eindig is, is die ry konvergent, andersins is dit divergent.
Alle limitstellings (reëls) vir reëlwaardige funksies geld ook vir rye (funksies van natuurlike
getalle).
Stelling 41
As lim
x→∞ f(x) = L en f(n) = an, n ∈ N, dan lim
n→∞ an = L
Stelling 42
As an ≤ bn ≤ cn en lim
n→∞ an = lim
n→∞ cn = L, dan lim
n→∞ bn = L.
Hieruit volg dat
Stelling 43
As lim
n→∞ |an| = 0, dan lim
n→∞ an = 0

Rye en Reekse 77
Bestudeer voorbeelde 4, 5, 6, 7, 8 (afdeling 11.1, Stewart, 7de uitgawe) of voorbeelde 4,
5, 6, 7 (afdeling 12.1, Stewart, 6de uitgawe).
Stelling 44
As lim
n→∞ an = L en die funksie f is kontinu in L, dan lim
n→∞ f(an) = f(L)
Bestudeer voorbeelde 9, 10, 11 (afdeling 11.1, Stewart, 7de uitgawe) of voorbeelde 8, 9,
10 (afdeling 12.1, Stewart, 6de uitgawe).
Definisie 27
’n Ry is stygend as an < an+1 en monotoon stygend as an < an+1 ∀n ≥ 1.
Definisie 28
’n Ry is dalend as an > an+1 en monotoon dalend as an > an+1 ∀n ≥ 1.
Om te toets of jy die begrippe stygende - en dalende ry mooi verstaan en om ’n idee te
kry van hoe mens bepaal of ’n ry stygend of dalend is, bestudeer voorbeelde 12 en 13
(afdeling 11.1, Stewart, 7de uitgawe) of voorbeelde 11 en 12 (afdeling 12.1, Stewart, 6de
uitgawe). Let veral op die tegniek van differensiasie wat in die tweede oplossing van die
tweede voorbeeld gebruik is – dit is ’n metode wat dikwels baie handig te pas kom.
Definisie 29
’n Ry is van onder begrens as daar ’n getal m1 bestaan sodat m1 ≤ an ∀n ≥ 1.
Definisie 30
’n Ry is van bo begrens as daar ’n getal m2 bestaan sodat an ≤ m2 ∀n ≥ 1.
Definisie 31
’n Ry is van begrens as dit van bo en onder begrens is.
Stelling 45
’n Monotoon begrensde ry is konvergent.
Die bewys van die stelling is nie vir eksamendoeleindes nie. U kan gerus deur die bewys
van die stelling wat in die afdeling 12.1 (Stewart) gegee word, werk vir verryking. Die
ondergrens van ’n monotoon stygende ry is a1 en indien dit van bo grens is, is lim an ’n
n→∞
bogrens. Soortgelyk is die bogrens van ’n monotoon dalende ry a1 en indien dit van onder
begrens is, is lim an ’n ondergrens.
n→∞
7.2 Reekse
(Drie kontaksessies)
As (an) ’n ry van reële getalle is, noem ons ∞ n=1 an = a1 + a2 + a3 + . . . ’n reeks van
reële getalle.

78 Rye en Reekse
Σ word gebruik om die som van ’n ry elemente aan te dui. D.w.s.
n
ak = a1 + a2 + a3 + · · · + an.
k=1
As a1 = −2, a2 = −1, a3 = 0, a4 = 1 en a5 = 2 dan is
Voorbeeld:
10
k=1
en
5
k=1
2
k=1
(k + 3) 3 13
= k 3 13
= k 3 −
k=4
k=1
ak = a1 + a2 + a3 + a4 + a5
= −2 + (−1) + 0 + 1 + 2
= 0
a2k = a2·1 + a2·2
= a2 + a4
= −1 + 1
= 0
3
k 3
(13)(14)
=
2
k=1
2
(3)(4)
−
2
2
= 8245.
U moet bylaag E in Stewart veral voorbeelde 1, 2, 3, 6 en 7, bestudeer.
Om die begrip konvergensie van ’n reeks te verstaan, moet jy eers weet wat konvegensie van
’n ry beteken. Die n-de parsiële som van die reeks ∞ n=1 an word gegee deur sn = n i=1 ai.
Ons noem die reeks konvergent as die ry (sn) van parsiële somme van die reeks na ’n getal
s konvergeer. In hierdie geval skryf ons ∞ n=1 an = s.
Definisie 32
Gegee ’n reeks ∞
n=1 an = a1 + a2 + a3 + · · ·, laat sn die nde parsiële som voorstel:
sn =
n
ak = a1 + a2 + a3 + · · · + an.
k=1
As di ry {sn} konvergent is, is die reeks ∞
n=1 an convergent en
∞
n=1
an = a1 + a2 + a3 + · · · = lim
n→∞ sn = s.
Die getal s word die som van die reeks genoem. As die ry {sn} divergent is, dan is die
reeks ∞
n=1 an divergent.
Bestudeer voorbeeld 1 (afdeling 11.2, Stewart, 7de uitgawe).
Jy word in voorbeeld 2 (afdeling 11.2, Stewart, 7de uitgawe) en in voorbeeld 1 (afdeling
12.2, Stewart, 6de uitgawe) herinner aan die meetkundige reeks

Rye en Reekse 79
Stelling 46
as |r| < 1 en divergent as |r| ≥ 1.
∞
n=1
ar n−1 = a
1 − r
Werk self voorbeelde 3, 4, 5 en 6 (afdeling 11.2, Stewart, 7de uitgawe) of voorbeelde 2,
3, 4 en 5 (afdeling 12.2, Stewart, 6de uitgawe) deur – almal voorbeelde van meetkundige
reekse wat jy behoort te kan toets vir konvergensie en waarvan jy in geval van konvergensie
die limiet behoort te kan bepaal. Hierdie is hersiening van skoolwerk! Dit word dus as
bekend aanvaar en nie in die klas behandel nie.
Soms is dit nodig (en moontlik) om die definisie van konvergensie van reekse te gebruik
om vas te stel dat ’n gegewe reeks konvergeer; m.a.w. dat mens die ry (sn) van parsiële
somme moet bepaal en dan moet vasstel of hierdie ry konvergeer. Kyk byvoorbeeld na
voorbeeld 7 (afdeling 11.2, Stewart, 7de uitgawe) of voorbeeld 6 (afdeling 12.2, Stewart,
6de uitgawe). Daar sien jy dat die reeks
i=1
∞
n=1
1
n(n + 1)
se n-de parsiële som deur middel van parsiële breukontbinding geskryf kan word as
n
1 1
sn = − = 1 −
i i + 1
1
n + 1 ,
sodat lim
n→∞ sn = 1. Die reeks konvergeer dus na die limiet 1.
Dit is belangrik om te weet dat alhoewel die ry (1/n) na 0 konvergeer, die reeks ∞
divergeer (m.a.w. nie konvergent is nie); dit is die boodskap van voorbeeld 8 (afdeling
11.2, Stewart, 7de uitgawe) en voorbeeld 7 (afdeling 12.2, Stewart, 6de uitgawe). Werk
hierdie voorbeeld deur; daar word vir jou verduidelik hoe ons kan sien dat die ry van
parsiële somme divergeer.
Stelling 47
As die reeks ∞
n=1 an konvergent is, is lim
n→∞ an = 0.
Bewys: Beskou die ry van parsiële somme
n
Dan is
en
{sn} ∞ n=1 =
k=1
ak
an = sn − sn−1
∞
n=1
lim
n→∞ an = lim
n→∞ sn − lim
n→∞ sn−1 = s − s = 0
n=1
1
n

80 Rye en Reekse
As lim
n→∞ an = 0 is dit nie noodwendig waar dat ∞
divergent, maar lim
n→∞
1
n
konvergent is of nie.
Uit stelling 47 volg dat
n=1
an = s, s ∈ R. Die reeks ∞
n=1
✷
1
n is
= 0. Stelling 47 kan dus nie gebruik word om te bepaal of ’n reeks
Stelling 48 Divergensie toets
As lim an = 0 of nie bestaan nie, dan is die reeks
n→∞ ∞ n=1 an divergent.
(Volgens Wiskundige logika, as waarheid A waarheid B impliseer, dan impliseer die omgekeerde
van B die omgekeerde van A.)
Hierdie stelling word gebruik om te bepaal of ’n reeks divergeer. Indien lim an = 0 of nie
n→∞
bestaan nie, is die reeks defnitief divergent. Indien lim an = 0 kan die reeks konvergent
n→∞
of divergent wees en moet ander toetse aangelê word om te bepaal of die reeks divergent
of konvergent is. Bestudeer voorbeeld 9 (afdeling 11.2, Stewart, 7de uitgawe) of voorbeeld
8 (afdeling 12.2, Stewart, 6de uitgawe).
Die volgende stelling sê dat die bewerkings optelling en skalaarvermenigvuldiging met
reekse gedoen kan word. Soms is dit voordelig om ’n reeks as die som van twee reekse
te skryf. Vergelyk voorbeeld 10 (afdeling 11.2, Stewart, 7de uitgawe) en voorbeeld 9
(afdeling 12.2, Stewart, 6de uitgawe).
Stelling 49 Eienskappe van sommasies
As am, am+1, am+2, · · · en bm, bm+1, bm+2, · · · die rye van reële getalle is en c is enige reële
getal. Dan geld die volgende gelykhede vir alle heelgetalle n ≥ m :
(1) n
k=m ak + n
k=m bk = n
k=m ak + bk.
(2) c n
k=m ak = n
k=m c.ak
Die bewys van hierdie stelling is nie vir eksamendoeleindes nie, maar kan in die handboek
bestudeer word vir verryking.
Vir p-reekse geld dat:
Stelling 50
∞
n=1
1
is konvergent as p > 1 en divergent as p ≤ 1.
np Ons aanvaar hierdie stelling sonder bewys. Bestudeer voorbeelde 2 en 3 (afdeling 11.3,
Stewart, 7de uitgawe) of voorbeelde 2 en 3 (afdeling 12.3, Stewart, 6de uitgawe).
’n Alternerende reeks (of wisselende reeks) is bloot ’n reeks waarvan die terme
afwisselend (alternerend) positief en negatief is. Dus reekse van die vorm
∞
n=1
(−1) n−1 bn of
∞
(−1) n bn ,
n=1

Rye en Reekse 81
waar bn ≥ 0 vir alle n.
Die konvergensie van alternerende reekse word bepaal met behulp van die Alternerende
Reeks-toets.
Stelling 51
Alternerende Reeks-toets As vir die alternerende reeks
geld dat
∞
(−1) n−1 bn = b1 − b2 + b3 − b4 + · · · , bn > 0
n=1
(i) bn+1 ≤ bn, ∀ n, d.w.s. die ry (bn) dalend is, en
(ii) lim
n→∞ bn = 0
dan is die reeks konvergent.
Proof: Die ewe parsiële somme is
s2 = b1 − b2 ≥ 0, b2 ≤ b1
s4 = s2 + b3 − b4 ≥ s2, b4 ≤ b3
.
s2n = s2n−2 + b2n−1 − b2n ≥ s2n−2, b2n ≤ b2n−1
⇒ 0 ≤ s2 ≤ s4 ≤ · · · ≤ s2n ≤ · · ·
Die ry van ewe parsiële somme is dus monotoon stygend en van onder begrens.
Skryf ook
s2n = b1 − (b2 − b3) − · · · − (b2n−2 − b2n−1) − b2n.
Al die terme in die hakkies is positief, dus
s2n ≤ b1.
Die ry van ewe parsiële somme is dus ook van bo begrens.
Die ry van ewe parsiële somme is dus konvergent (monotoon stygend en begrens):
Hieruit volg dat
lim
n→∞ s2n = s
lim
n→∞ s2n+1 = lim (s2n + b2n+1)
n→∞
= lim s2n + lim b2n+1
n→∞ n→∞
= s + 0
= s

82 Rye en Reekse
Dus
∞
n=1
(−1) n−1 bn = lim
n→∞ sn = s
en die reeks is konvergent. ✷
Voorbeeld: Gestel ons wil vasstel of die reeks
∞
(−1)
n−1ln n
n
n=1
konvergeer. Wat moet ons alles kontroleer?
(i) Dat die ry dalend is: Dit kan ons nie altyd sommer uit die algemene term van
die reeks agterkom nie. Hier kom jou kennis van differensiasieteorie handig te pas.
ln x
Laat f(x) =
x . Dan is f ′ (x) < 0 as x > e, d.i. die funksie f is dalend op [3, ∞).
Dus is
ln(n + 1)
<
n
lnn
∀ n ≥ 3.
n
(ii) Dat lim
n→∞ bn = 0: Jou kennis van differensiasieteorie, in besonder L’ Hôpital se reël,
kom weer handig te pas. Dit volg nl. dat lim
x→∞
ln n
lim
n→∞ n
= 0.
Uit die toets vir alternerende reekse volg dat die reeks
∞
(−1)
n−1ln n
n
n=1
ln x
x
1
= lim
x→∞ x
= 0. Dus,
wel konvergent is.
Bestudeer voorbeelde 1 en 3 (afdeling 11.5, Stewart, 7de uitgawe) of voorbeelde 1 en
3 (afdeling 12.5, Stewart, 6de uitgawe). Dit is belangrik dat jy die twee voorwaardes
van die stelling vir elke alternerende reeks wat jy ondersoek sal kontroleer voordat enige
uitspraak oor konvergensie van die reeks gemaak kan word. Kyk na voorbeeld 2 (afdeling
11.5, Stewart, 7de uitgawe) of voorbeeld 2 (afdeling 12.5, Stewart, 6de uitgawe). Daar
word ’n alternerende reeks beskou wat nie die eis (ii) hierbo bevredig nie. Die toets
vir alternerende reekse lewer nie uitspraak nie. Maar, die divergensietoets gee egter wel
uitspraak. Die alternerende reeks-toets toets net vir konvergensie. Indien een of albei van
die voorwaardes nie bevredig word nie, moet ’n ander toets gebruik word om te bepaal of
die reeks konvergent of divergent is.
Soms is die alternerende eienskap van die reeks bietjie verskuil. Neem byvoorbeeld die
reeks
∞
n=1
cosnπ
.
n3/4

Rye en Reekse 83
’n Geoefende oog sien raak dat cosnπ se waardes alternerend -1 en 1 is, sodat die reeks
geskryf kan word as
∞
n 1
(−1) ,
n3/4 n=1
wat ’n alternerende reeks is. Dit is nou maklik om te sien dat laasgenoemde reeks volgens
die toets vir alternerende reekse konvergent moet wees.
7.3 Absolute Konvergensie en die Verhoudings- en
Worteltoetse
(Een kontaksessie)
Beskou die reeks
en die reeks van absolute terme
Definisie 33
Die reeks ∞
vergent is.
n=1
Definisie 34
Die reeks ∞
n=1
konvergent is nie.
∞
n=1
an = a1 + a2 + a3 + · · ·
∞
|an| = |a1| + |a2| + |a3| + · · · .
n=1
an is absoluut konvergent as die reeks van absolute terme ∞
|an| kon-
an is voorwaardelik konvergent as dit konvergent is, maar nie absoluut
Bestudeer voorbeelde 1 en 2 (afdeling 11.6, Stewart, 7de uitgawe) of voorbeelde 1 en 2
(afdeling 12.6, Stewart, 6de uitgawe). Die reeks ∞
is absoluut konvergent want
beide ∞
n=1
want ∞
n=1
(−1) n−1
n 2
(−1) n−1
n
en ∞
n=1
n=1
1
n2 is konvergent. Die reeks ∞
is konvergent, maar ∞
n=1
1
n
n=1
is divergent.
(−1) n−1
n 2
(−1) n−1
n
n=1
is voorwaardelik konvergent
Uit die voorafgaande voorbeeld is dit duidelike dat elke konvergente reeks nie noodwendig
absoluut konvergent is nie. Anders gestel, as ’n alternerende reeks konvergent is, is die
ooreenstemmende reeks van positiewe terme nie noodwendig ook konvergent nie. Dit is
wel waar dat elke absoluut konvergente reeks ook konvergent is. Anders gestel, as ’n reeks
van positiewe terme konvergent is, sal die ooreenstemmende alternerende reeks van ook
konvergent wees.

84 Rye en Reekse
Stelling 52
As die reeks ∞
n=1
an absoluut konvergent is, is dit ook konvergent.
Die bewys van die stelling is nie vir eksamendoeleindes nie. U kan gerus deur die bewys
in die handboek werk vir verryking. Bestudeer voorbeeld 3 (afdeling 11.6, Stewart, 7de
uitgawe) of voorbeeld 3 (afdeling 12.6, Stewart, 6de uitgawe).
Die absolute konvergensie en divergensie kan met behulp van die verhoudingstoets bepaal
word. Onthou dat as ’n reeks absoluut konvergent is, is dit ook konvergent. Hierdie toets
kan dus vir reekse met net positiewe terme of net negatiewe terme en alternerende reekse
gebruik word.
Stelling 53
Verhoudingstoets As
lim
n→∞
an+1
an
= L < 1
dan is ∞
n=1 an konvergent. Vir L > 1 is dit divergent.
Dit is belangrik om daarop te let dat indien L = 1, hierdie stellings geen uitspraak lewer
nie. Dink hier aan die reekse ∞ ∞ 1 (−1)
en n
n=1 n=1
n−1
n2 . Die verhoudingstoets lewer vir beide
lim = 1, maar ∞
∞
1
1
is divergent en n n2 is konvergent. Bestudeer voorbeelde 4
n→∞
an+1
an
n=1
n=1
en 5 (afdeling 11.6, Stewart, 7de uitgawe) of voorbeelde 4 en 5 (afdeling 12.6, Stewart,
6de uitgawe).
Beskou die reeks
∞ (−1) n−1
.
n!
n=1
Dit is maklik om met behulp van die toets vir alternerende reekse te sien dat hierdie reeks
konvergeer. Maar is dit absoluut konvergent? Let op dat
an+1
lim
n! 1
n→∞ = lim = lim = 0.
n→∞ (n + 1)! n→∞ n + 1
an
Die reeks is dus absoluut konvergent volgens die verhoudingstoets.
Stelling 54
Worteltoets As
n
lim |an| = L < 1
n→∞
dan is ∞
n=1 an konvergent. Vir L > 1 is dit divergent.
Hierdie toets word gewoonlik nuttig gebruik as die terme van die reeks magte van n bevat,
bv. ’n reeks van die vorm
∞ (n2 + 2) n
(3n2 + 1) n.
n=1

Rye en Reekse 85
Bestudeer voorbeeld 6 (afdeling 11.6, Stewart, 7de uitgawe) of voorbeeld 6 (afdeling 12.6,
Stewart, 6de uitgawe).
Bestudeer afdeling 11.7 (Stewart, 7de uitgawe) of afdeling 12.7 (Stewart, 6de uitgawe). In
hierdie afdeling word ’n strategie gegee hoe om te besluit watter toets om te gebruik om
die konvergensie en divergensie van reekse te bepaal. Bestudeer ook voorbeelde 1, 2, 3, 4,
5 en 6 (afdeling 11.7, Stewart, 7de uitgawe) of voorbeelde 1, 2, 3, 4, 5 en 6 (afdeling 12.7,
Stewart, 6de uitgawe) en voorbeelde 1, 2, 3, 4 en 5 (afdeling 11.8, Stewart, 7de uitgawe)
of voorbeelde 1, 2, 3, 4 en 5 (afdeling 12.8, Stewart, 6de uitgawe).
7.4 Taylorreekse
(Vier kontaksessies)
Dit is baie belangrik om die Taylorreeks van ’n funksie te kan uitskryf. Taylorreekse
word onder andere gebruik om waardes van funksie soos sin, cos, sinh, cosh en log, en die
getal e te bereken. Taylorreekse vergemaklik ook die integrasie van moeilik integreerbare
funksies.
Definisie 35
As f se n-de orde afgeleide in die punt a bestaan, is die n-de graadse Taylorpolinoom
van f om a
Tn(x) = f(a) + f ′ (a)(x − a) + f ′′ (a)
=
n
k=0
f (k) (a)
(x − a)
k!
k .
2!
(x − a) 2 + · · · + f(n) (a)
(x − a)
n!
n
Die funksie Rn(x) := f(x)−Tn(x) word die n-de resterm vir f om a genoem (algemeen
bekend as Lagrange se vorm van die resterm). Dus:
n f
f(x) =
(k) (a)
(x − a)
k!
k + Rn(x).
Die volgende belangrike stelling gee ’n uitdrukking vir die resterm.
k=0
Stelling 55
Taylor se Stelling. Gestel f is n + 1-keer differensieerbaar in elke punt van ’n oop
interval I wat die punt a bevat. Vir elke x ∈ I bestaan ten minste een punt c tussen a en
x só dat
Rn(x) = f(n+1) (c)
(n + 1)! (x − a)n+1 .
Let op dat Rn(x) = 0 as x = a.
Indien Rn(x) → 0 as n → ∞, dan volg uit
n f
f(x) =
(k) (a)
(x − a)
k!
k + Rn(x)
k=0

86 Rye en Reekse
vir alle n ∈ N, dat
f(x) = lim
n→∞
n
k=0
f (k) (a)
(x − a)
k!
k
+ Rn(x) =
∞
k=0
f (k) (a)
(x − a)
k!
k .
In hierdie geval word die oneindige reeks ∞ f
k=0
(k) (a)
(x −a) k! k die Taylorreeks van f om
a genoem. In die geval wanneer a = 0 word dit die Maclaurinreeks van f genoem.
Voorbeeld: Laat f(x) = ex . Dan is f (k) (x) = ex vir k = 0, 1, 2 . . .. Die n-de Taylorpolinoom
van f om 0 word gegee deur (kyk voorbeeld 1, afdeling 11.10, Stewart, 7de uitgawe
of voorbeeld 1, afdeling 12.10, Stewart, 6de uitgawe).
Tn(x) =
n
k=0
f (k) (0)
k! xk =
Volgens die verhoudingstoets (Stelling 53) sal hierdie reeks konvergeer indien
an+1
lim
n→∞
= lim
x
n→∞
n+1 /(n + 1)!
xn
|x| 1
/n! = lim = |x| lim = 0 < 1
n→∞ n + 1 n→∞ n + 1
an
vir alle waardes van x.Volgens Stelling 47 is
lim
n→∞ an
x
= lim
n→∞
n
n!
n
k=0
= 0.
x k
k! .
Dit is ’n handige resultaat om te onthou. In dié geval is die resterm
Dus is
Rn(x) = f(n+1) (c)
(n + 1)! xn+1 vir ’n c tussen 0 en x.
e x =
n
k=0
xk k! +
ec (n + 1)! xn+1 .
Hierdie is nou waar vir alle n ∈ N. Let op dat vir x = 0 is 0 < |c| < |x|, sodat
0 ≤
e
c
(n + 1)! xn+1
≤ e|x| |x| n+1
→ 0 as n → ∞.
(n + 1)!
Volgens die knyptangstelling is lim
n→∞ Rn(x) = 0. Dus
n=0
e x =
∞
n=0
As toepassing van bogenoemde resultaat, kan ’n benaderde waarde vir die getal e gevind
word. Let op dat
∞ 1 1 1
e = = 1 + 1 + + + . . ..
n! 2! 3!
x n
n! .

Rye en Reekse 87
Die waarde van e kan binne ’n baie klein foutgrens verkry word, deur die waarde van
1 + 1 + 1 1 1
+ + · · · +
2! 3! n!
vir ’n baie groot n te bereken.
Dit is belangrik om voorbeelde 3, 4, 5, 6 en 7 (afdeling 11.10, Stewart, 7de uitgawe) of
voorbeelde 3, 4, 5, 6 en 7 (afdeling 12.10, Stewart, 6de uitgawe) deur te werk.
Hier volg ’n voorbeeld van ’n funksie wat slegs op ’n sekere interval gelyk is aan sy
Taylorreeks. Dit is belangrik om daarop te let dat die Taylorreeks afhanklik is van die
punt waarom dit bereken word en so ook die interval waarop die funksie gelyk is aan sy
Taylorreeks.
Voorbeeld: Bereken die n-de graadse Taylorpolinoom vir f(x) = 1/x om 1, die Taylorreeks
en die interval waar die funksie gelyk is aan sy Taylorreeks.
Bereken die eerste paar afgeleides van die funksie. Onthou die nulde afgeleide van ’n
funksie is die funksie: f(x) = f (0) (x).
f (0) (x) = x −1
f (1) (x) = (−1)x −2
f (2) (x) = (−2)(−1)x −3 = (−1) 2 2!x −3
f (3) (x) = (−3)(−2)(−1)x −4 = (−1) 3 3!x −4
f (4) (x) = (−4)(−3)(−2)(−1)x −5 = (−1) 4 4!x −5
waaruit afgelei kan word dat die n-de afgeleide
f (n) (x) = (−1) n n!x −n−1 .
Bereken nou die afgeleides in die punt a = 1. Dit gee
f (0) (1) = 1
f (1) (1) = −1
f (2) (1) = (−2)(−1) = (−1) 2 2!
f (3) (1) = (−3)(−2)(−1) = (−1) 3 3!
f (4) (1) = (−4)(−3)(−2)(−1) = (−1) 4 4!
waaruit afgelei kan word dat die n-de afgeleide
f (n) (1) = (−1) n n!

88 Rye en Reekse
moet wees. Die n-de graadse Taylorpolinoom is
Tn(x) = f(1) + f (1) (1)(x − 1) + f(2) (1)
(x − 1)
2!
2 + f(3) (1)
(x − 1)
3!
3
+ f(4) (1)
(x − 1)
4!
4 + · · · + f(n) (1)
(x − 1)
n!
n
= 1 − (x − 1) + 2!
2! (x − 1)2 + −3!
(x − 1)3
3!
+ 4!
4! (x − 1)4 + · · · + (−1)nn! (x − 1)
n!
n
= 1 − (x − 1) + (x − 1) 2 − (x − 1) 3 + (x − 1) 4 + · · · + (−1) n (x − 1) n
=
Die Taylorreeks is
n
k=0
(−1) k (x − 1) k .
T(x) = 1 − (x − 1) + (x − 1) 2 − (x − 1) 3 + (x − 1) 4 + · · · + (−1) n (x − 1) n + . . .
=
∞
k=0
(−1) k (x − 1) k .
Vir die resterm geld dat
0 ≤ |Rn(x)| =
f
(n+1)
(c)
(x − 1)n+1
(n + 1)! =
(n + 1)!(x − 1) n+1
(n + 1)!c n+2
vir ’n c tussen 1 en x. Maar
(x − 1) n+1
cn+2
≤
1
cn+2
, |x − 1| ≤ 1
en
sodat
lim
n→∞
1
cn+2
= 0
lim
n→∞ |Rn(x)| = 0, |x − 1| ≤ 1 or 0 ≤ x ≤ 2.
=
(x − 1)
n+1
cn+2
Dit beteken dat vir waardes van x ∈ [0, 2] is die funksie gelyk aan sy Taylorreeks om 1,
dus
1
x =
∞
(−1) n (x − 1) n , 0 ≤ x ≤ 2.
n=0
Of anders gestel: vir waardes van x ∈ [0, 2] konvergeer die Taylorreeks na die funksiewaarde
in die punt x, dus
∞
n=0
(−1) n (x − 1) n = 1
x
, 0 ≤ x ≤ 2.
Voorbeeld: Bereken die Taylorpolinoom vir f(x) = cosx om 0, die Taylorreeks en die
interval waar die funksie gelyk is aan sy Taylorreeks.

Rye en Reekse 89
Bereken die eerste paar afgeleides van die funksie. Onthou die nulde afgeleide van ’n
funksie is die funksie: f(x) = f (0) (x).
f (0) (x) = cosx
f (1) (x) = − sin x
f (2) (x) = − cosx
f (3) (x) = sin x
f (4) (x) = cosx
f (5) (x) = − sin x
f (6) (x) = − cosx
Bereken nou die afgeleides in die punt a = 0. Dit gee
f (0) (0) = 1
f (1) (0) = 0
f (2) (0) = −1
f (3) (0) = 0
f (4) (0) = 1
f (5) (0) = 0
f (6) (0) = −1
Omdat die onewe afgeleides telkens nul is, sal die Taylorpolinoom op ’n ewe term eindig.
Die 2n-de afgeleide sal dus
f (2n) (0) = (−1) n
wees. Die 2n-de graadse Taylorpolinoom is dus
Die Taylorreeks is
T2n(x) = f(0) + f (1) (0)(x − 0) + f(2) (0)
2!
+ f(4) (0)
4!
= 1 − x2 x4 x6
+ −
2! 4! 6!
n
k x2k
= (−1)
(2k)!
k=0
(x − 0) 4 + · · · + f(2n) (0)
(x − 0)2n
(2n)!
T(x) = 1 − x2 x4 x6
+ −
2! 4! 6!
∞
k x2k
= (−1)
(2k)!
k=0
+ · · · + (−1)n x2n
(2n)!
(x − 0) 2 + f(3) (0)
(x − 0)
3!
3
x2n
+ · · · + (−1)n + · · ·
(2n)!

90 Rye en Reekse
Vir die resterm geld dat
0 ≤ |Rn(x)| =
f
(n+1)
(c)
(x − 0)n+1
(n + 1)! ≤
x
n+1
(n + 1)! ∀x ∈ R.
lim
x
n→∞
n+1
(n + 1)! = 0
sodat
lim
n→∞ |Rn(x)| = 0
volgens die knyptangstelling. Dit beteken dat vir alle waardes van x ∈ R is die funksie
gelyk aan sy Taylorreeks om 0, dus
cosx =
∞
k x2k
(−1)
(2k)! .
k=0

Leereenheid 8
Kombinatorika
Tydstoedeling
24 ure 20 minute (16 kontaksessies en 3 tutoriaalsessies).
Veronderstelde Leer
1. Leereenheid 6, WISN111.
2. Sigma notasie (bylaag E, Stewart).
Leeruitkomste
1. Kort opsommings van die kenmerkende eienskappe en gebruike van die reële getallestelsels
kan gee (Afdeling 2, Hoofstuk 1) deur gebruik te maak van standaard wiskundige
simbole.
2. Die basiese definisies en aannames waarop die algebraïese struktuur sowel as die
ordeningstruktuur van die reële getallestelsel gebou kan word, kan formuleer en ook
lyste van verdere bekende eienskappe hieruit kan aflei en sonder bewys kan weergee
(Afdeling 3, Hoofstuk 1) deur gebruik te maak van standaard wiskundige simbole.
3. Die basiese eienskappe van die natuurlike getalle kan formuleer (Afdeling 4.1, Hoofstuk
1) deur gebruik te maak van standaard wiskundige simbole en gebruik om die
bewysmetode van wiskundige induksie daaruit af te lei.
4. Die struktuur van bewyse met behulp van wiskundige induksie goed ken en in staat
wees om ’n verskeidenheid van wiskundige bewerings met behulp hiervan te kan
bewys (Afdeling 4.2, Hoofstuk 1) deur gebruik te maak van standaard wiskundige
simbole.
5. Beskryf watter eienskappe bykom en wat verlore gaan as van natuurlike getalle na
die heelgetalle oorgegaan word (Definisie 5.1, Hoofstuk 1) deur gebruik te maak van
standaard wiskundige simbole.
6. Die delingsalgoritme (Stelling 5.2, Hoofstuk 1) vir heelgetalle kan formuleer en implementeer
vir positiewe sowel as negatiewe heelgetalle van soortgelyke maar onbekende
voorbeelde deur gebruik te maak van standaard wiskundige simbole.
91

92 Kombinatorika
7. Die begrip die GGD van twee heelgetalle kan definieer (Definisie 5.3, Hoofstuk 1)
en dit kan gebruik om die GGD van twee heelgetalle met behulp van die Euklidiese
algoritme (Afdeling 5.4, Hoofstuk 1) van soortgelyke maar onbekende voorbeelde te
bereken deur gebruik te maak van standaard wiskundige simbole.
8. Stelling 5.5 (Hoofstuk 1) kan formuleer, kan bewys en kan gebruik om te bepaal
of diofantiese vergelykings ’n oplossing het, en, indien dit wel ’n oplossing het, die
oplossing van soortgelyke maar onbekende voorbeelde te kan bepaal deur gebruik
te maak van standaard wiskundige simbole.
9. Rasionale getalle as kwosiënte van heelgetalle uit R kan afsonder (Definisie 6.1,
Hoofstuk 1) en kan aandui watter eienskappe bykom en watter verlore gaan as van
heelgetalle na die rasionale getalle beweeg word deur gebruik te maak van standaard
wiskundige simbole.
10. Kan bewys dat R elemente bevat wat nie rasionaal is nie (Stelling 6.2, Hoofstuk 1)
deur gebruik te maak van standaard wiskundige simbole.
11. Die onderskeid tussen rasionale en irrasionale getalle aan die hand van hulle desimale
voorstellings kan beskryf deur gebruik te maak van standaard wiskundige simbole.
12. Kan verduidelik waarom spesiale simbole vir irrasionale getalle wat dikwels na vore
kom, gebruik moet word deur gebruik te maak van standaard wiskundige simbole.
13. Die produkreël (Afdeling 2.1, Hoofstuk 2), permutasies (Definisie 2.3, Hoofstuk 2) en
kombinasies (Definisie 3.1 en Stelling 3.2, Hoofstuk 2) kan formuleer en definieer, kan
onderskei tussen tipes probleme wat onderskeidelik met behulp van die produkreël,
permutasies of kombinasies opgelos kan word en probleme van soortgelyke maar
onbekende voorbeelde kan oplos deur gebruik te maak van standaard wiskundige
simbole.
14. Die verskillende basiese formules (Afdelings 2.2, 2.4, 2.5, 3.3, 5.1, Hoofstuk 2) wat in
hierdie werk na vore kom, kan formuleer en kan gebruik om probleme van soortgelyke
maar onbekende voorbeelde op te los deur gebruik te maak van standaard wiskundige
simbole.
15. Stellings 3.4 en 3.5 (Hoofstuk 2) wat die basiese formules aan mekaar verbind, kan
formuleer, kan bewys en kan gebruik om probleme van soortgelyke maar onbekende
voorbeelde op te los deur gebruik te maak van standaard wiskundige simbole.
16. Die binomiaalstelling vir natuurlike getal eksponente Stelling 4.1, (Hoofstuk 2) kan
formuleer, bewys en kan gebruik om magte van die vorm (a + b) n , a, b ∈ R, n ∈ N
van soortgelyke maar onbekende voorbeelde uit te brei deur gebruik te maak van
standaard wiskundige simbole.
17. Die binomiaalstelling vir rasionale eksponente (Stelling 5.2, Hoofstuk 2) kan formuleer,
kan bewys, kan gebruik om magte van die vorm (1 + x) n , x ∈ R, n ∈ Q
uit te brei en om benaderings vir n-de magswortels van reële getalle van soortgelyke
maar onbekende voorbeelde te bepaal deur gebruik te maak van standaard
wiskundige simbole.

Kombinatorika 93
18. Vermenigvuldiging (Stelling 7.1, Hoofstuk 3) en deling (Gevolg 7.3, Hoofstuk 3) van
komplekse getalle in modulus-argumentvorm kan formuleer, en kan gebruik om die
produk en kwosiënt van twee komplekse getalle van soortgelyke maar onbekende
voorbeelde te bereken deur gebruik te maak van standaard wiskundige simbole.
19. Die stelling van de Moivre (Stelling 7.2, Hoofstuk 3) vir heelgetal eksponente kan
formuleer, bewys en gebruik om magte van komplekse getalle van soortgelyke maar
onbekende voorbeelde te bereken deur gebruik te maak van standaard wiskundige
simbole.
20. Stelling 7.4 (Hoofstuk 3) kan formuleer en gebruik om n-de magswortels (n ∈ N)
van komplekse getalle van soortgelyke maar onbekende voorbeelde te bereken en
meetkundige voor te stel deur gebruik te maak van standaard wiskundige simbole.
21. Die eksponensiaalvoorstelling r exp iθ van die modulus-argumentvorm kan gee en dit
in bewerkings van soortgelyke maar onbekende voorbeelde te gebruik deur gebruik
te maak van standaard wiskundige simbole.
Teksverwysings
Inleidende Algebra:
Hoofstuk 1: Afdeling 1 - 6; Hoofstuk 2: Afdelings 1 - 5; Hoofstuk 3: Afdeling 7.
Studiegids: Afdelings 8.1, 8.2.
Voorbereiding
Lees die gegewe gedeeltes in die handboek en die studiegids deur.
Werk die volgende voorbeelde van Inleidende Algebra Hoofstuk 1 deur:
Afdeling 4: 1;
Afdeling 5: 1.
Werk die volgende voorbeelde van Inleidende Algebra Hoofstuk 2 deur:
Afdeling 2: 1, 3;
Afdeling 3: 1;
Afdeling 4: 1;
Afdeling 5: 1.
Werk die volgende voorbeelde van Inleidende Algebra Hoofstuk 3 deur:
Afdeling 7: 1, 3.
Beantwoord die volgende vrae en handig dit in aan die begin van die eerste kontaksessie
van die leereenheid:
1. As ab = 0, wat weet jy van a en b?
2. As a + c = b + c, wat weet jy van a en b?
3. As ac = bc, c = 0, wat weet jy van a en b?

94 Kombinatorika
4. Voltooi
a. a(−b) =
b. −(−a) =
c. (−a)(−b) =
d. −(a + b) =
e. −(a − b) =
f. a(b − c) =
g. (a + b)c =
5. As a > 0 en b > 0, wat weet jy van ab?
6. As a > 0 en b < 0, wat weet jy van ab?
h. (a + b)(c + d) =
i. b = 0, a c
+
b b =
j. b, d = 0, a c
+
b d =
k. b, d = 0, a c
·
b d =
7. As a > b, wat weet jy van a + c en b + c?
8. As a > b, wat weet jy van a − c en b − c?
9. As a > b, wat weet jy van 1/a en 1/b?
l. b, c, d = 0, a c
÷
b d =
10. As a > b en c > 0, wat weet jy van ac en bc?
11. As a > b en c > 0, wat weet jy van a/c en b/c?
12. As a > b en c < 0, wat weet jy van ac en bc?
13. As a > b en c < 0, wat weet jy van a/c en b/c?
14. Bepaal die volgende.
a. (a + b) 2
b. (a + b)(c + d)
c. (a + b) 3
d. (a + b)(c + d)(e + f)
e. (a + b) 5
f. (a + b) 10

Kombinatorika 95
15. Skryf in modules-argumentvorm.
16. Skryf in standaardvorm.
Inoefening van Vaardighede
a. 2 + 3i
b. −5 − i
a. 3cis π
3
b. 2cis 3π
4
Werk die volgende voorbeelde van Inleidende Algebra Hoofstuk 1 deur:
Afdeling 4: 2.
Werk die volgende voorbeelde van Inleidende Algebra Hoofstuk 2 deur:
Afdeling 2: 2, 4;
Afdeling 3: 2, 3;
Afdeling 4: 2, 3;
Afdeling 5: 2, 3, 4.
Werk die volgende voorbeelde van Inleidende Algebra Hoofstuk 3 deur:
Afdeling 7: 2, 4, 5, 6.
Doen die volgende oefeninge in die handboek:
Inleidende Algebra:
Oef. 1-4: 1, 3, 6, 13, 15, 17, 19, 20, 21, 22;
Oef. 1-5: 1(4), 2(2), 2(4), 3, 5;
Oef. 2-2: 1(1), 2, 3, 4, 5, 7, 10;
Oef. 2-3: 1, 2, 3, 4, 5, 6;
Oef. 2-4: 1(1), 1(3), 1(6), 1(7), 2(1), 3(2), 4;
Oef. 2-5: 1(3), 1(6), 2.
Oef. 3-7: 3, 4, 5(3), (4), 10, 11.

96 Kombinatorika
8.1 Inleiding
Die eerste doelwit in hierdie afdeling is om aan die leerder ’n oorsig te gee oor die tiperende
eienskappe van twee van die getallestelsels wat baie in wiskunde gebruik word en om in die
geval van natuurlike getalle ’n rede te gee waarom die getallestelsel, wat as deelstelsel van
die reële getalle beskou kan word, steeds selfstandig as ’n getallestelsel gehandhaaf word.
Terselfdertyd word die doel bereik om wiskundige induksie as bewysmetode te bemeester
en om die belang daarvan vir die vak as geheel te beklemtoon. (Twee kontaksessies)
Die tweede doelwit in hierdie afdeling is om die heelgetalle as deelversameling van R af te
sonder en om aan die student die vermoë te gee om een van die besondere rekentegnieke
wat op die tiperende eienskappe van heelgetalle gegrond is, te gebruik. Die delingsalgoritme
en Euklidiese algoritme vir heelgetalle is kragtige rekenhulpmiddels wat in verskeie
vertakkinge van wiskunde invloed uitoefen en wat deur elkeen wat oor gespesialiseerde
wiskundigekennis beskik, gebruik moet word. (Twee kontaksessies)
Die derde doelwit in hierdie afdeling is om die begrip vir die rol van rasionale getalle
en irrasionale getalle binne die konteks van R by die leerder tuisbring deur aan te dui
hoe rasionale getalle enersyds met behulp van heelgetalle beskryf kan word, om sodoende
te beklemtoon dat die rasionale getallestelsel die belangrikste rekenkundige werktuig in
enige wiskundige opset is. (Twee konstaksessies)
Die vierde doelwit in hierdie afdeling is om die leerder vertroud te maak met formules
waarmee die aantal keuses bereken kan word wat moontlik is as die deelversameling van die
elemente van eindige versamelings gekies of gekies en gerangskik moet word. ’n Verdere
doelwit is om bogenoemde toe te pas in die behandeling van die binomiaalstelling as ’n
tipiese algebra-stelling en om te leer hoe hierdie resultate weer aanleiding gee tot die opbou
van wiskundige gegewens wat in ander vakafdelings van waarde is. (Ses kontaksessies)
Die vyfde doelwit in hierdie afdeling is om die leerder vertroud te maak met die uitvoering
van die bewerkings vermenigvuldiging, deling, magsverheffing en worteltrekking in C
wanneer die modulus-argumentvorm vir die voorstelling van hierdie getalle gebruik word.
(Ses kontaksessies)
8.2 Wiskundige induksie
Aanvullend tot die handboek word ’n paar voorbeelde van Wiskundige induksie gegee.
Wiskundige induksie kan gebruik word om ’n vermoede te bevestig oor die uitkoms van
’n proses wat herhaaldelik of in ’n sekere patroon voorkom.
Voorbeeld 1:
Ons gaan nou deur wiskundige induksie bewys dat vir alle n ∈ N is:
1 + 2 + · · · + n =
n(n + 1)
2

Kombinatorika 97
Bewys:
(1) Die bewering geld vir n = 1, want:
RK =
1(1 + 1)
2
= 2
= 1 = LK.
2
(2) Gestel die bewering is waar vir n = k, dan is:
1 + 2 + · · · + k =
k(k + 1)
, ∀ k ∈ N.
2
(3) Ons gaan nou bewys die bewering is waar vir n = k + 1 :
{Ons moet dus bewys dat: 1+2+· · ·+(k+1) = (k+1)((k+1)+1)
2
∴ Die bewering geld.
LK = 1 + 2 + · · · + k + (k + 1) =
= k(k + 1)
= (k + 1)(k + 2)
= (k+1)(k+2)
2
k(k + 1)
+ (k + 1)
2
+
2
(k + 1)2
2
= RK.
2
, ∀ k ∈ N.}
Voorbeeld 2:
Ons gaan nou ’n deelbaarheids eienskap bewys deur wiskundige induksie te gebruik.
Vir alle n ∈ N is 2 2n − 1 deelbaar deur 3.
Bewys:
(1) Die bewering geld vir n = 1, want:
2 2(1) − 1 = 4 − 1 = 3 en ons weet 3 is deelbaar deur 3.
(2) Gestel die bewering is waar vir n = k, dan is:
2 2k − 1 deelbaar deur 3 d.w.s. daar bestaan ’n m ∈ N sodat 2 2k − 1 = 3m
(3) Ons gaan nou bewys die bewering is waar vir n = k + 1 :
{Ons moet dus bewys dat: 2 2(k+1) − 1 deelbaar deur 3 is.}
Beskou: 2 2(k+1) − 1 = 2 2k+2 − 1
= 2 2k .2 2 − 1
= 2 2k .4 − 1
= 2 2k .(3 + 1) − 1
= 2 2k .3 + (2 2k − 1)
Uit (2) volg dat 2 2k −1 deelbaar is deur 3, maar 2 2k .3 is ’n veelvoud van 3 en daarom
ook deelbaar deur 3. D.w.s. 2 2(k+1) − 1 is die som van 2 groothede wat deelbaar
deur 3 is en is daarom ook deelbaar deur 3.
∴ Die bewering geld.

98 Kombinatorika
Die gebruik van wiskundige induksie om ongelykhede te bewys.
Voorbeeld 3:
Vir alle heelgetalle n ≥ 3 is 2n + 1 < 2 n .
Bewys: Die ongelykheid geld vir n = 3 want:
LK: 2(3) + 1 = 7
Rk: 2 3 = 8 d.w.s. LK= 7 < 8 =RK
Gestel die ongelykheid geld vir n = k, dan is:
2k + 1 < 2 k , vir alle heelgetalle k ≥ 3.
Ons gaan bewys die ongelykheid geld vir n = k + 1 :
{D.w.s. ons wil bewys dat 2(k + 1) + 1 < 2 k+1 }
2(k + 1) + 1 = 2k + 2 + 1
= 2k + 1 + 2
hipotese
< 2 k + 2
< 2 k + 2 k want 2 < 2 k vir alle heelgetalle k ≥ 2
= 2.2 k
= 2 k+1
D.w.s. die ongelykheid geld.
Voorbeeld 4:
Ons gaan nou bewys dat ’n ry ’n sekere eienskap besit deur wiskundige induksie te gebruik.
Definieer ’n ry a1, a2, a3, · · · soos volg: a1 = 2 en ak = 5ak−1 vir alle heelgetalle k ≥ 2.
Gebruik wiskundige induksie om te bewys dat die terme van die ry die volgende formule
an = 2.5 n−1 vir alle heelgetalle n ≥ 1 bevredig.
Bewys:
(1) Die formule geld vir n = 1, want:
LK: a1 = 2
RK: 2.5 1−1 = 2.5 0 = 2.1 = 2.
LK = RK
(2) Gestel die formule is waar vir n = k, dan is:
ak = 2.5 k−1 vir alle heelgetalle k ≥ 1.
(3) Ons gaan nou bewys die ongelykheid is waar vir n = k + 1 :
{Ons moet dus bewys dat: ak+1 = 2.5 (k+1)−1 = 2.5 k }
∴ Die formule geld.
ak+1
def. van ry
= 5a(k+1)−1
= 5ak
induksie hipotese
= 5.(2.5 k−1 )
= 2(5.5 k−1 )
= 2.5 1+k−1 = 2.5 k .

Bylaag A
Geskiedenis en Filosofiese Aspekte
van Wiskunde
A.1 Inleiding
U is ingeskryf vir die modules WISN111 en WISN121. Waarom het u ingeskryf vir hierdie
betrokke modules? U antwoord op hierdie vraag het ’n groot invloed op u gesindheid
teenoor die modules en die uiteindelike bemeestering van die werk aan u oorgedra. Wat
gaan u leer in die twee semesters wat voorlê? Waar kom alles vandaan? Waar gaan dit
heen? Waar en hoe gaan u dit eendag gebruik?
Hierdie verhandeling is ’n poging om u te help om hierdie vrae te beantwoord. Die eerste
afdeling handel oor die begrip wiskunde. In die tweede afdeling word die geskiedenis van
wiskunde behandel. Die geskiedenis van wiskunde begin in die antieke tyd 2000 vC, deur
die tyd van die Grieke, die Middeleeue, die Renaissance en die daaropvolgende eeue tot die
moderne era waarin ons vandag leef. Die derde afdeling handel oor die lewe en werk van
Leonard Euler. Leonard Euler is die persoon wat die grootste bydrae gelewer het tot die
wiskunde wat u op eerstejaarsvlak gaan leer. Daarna word die begrip wêreldbeeld behandel
deur te kyk na wat dit is, wat die invloed daarvan is, wat ’n christelike wêreldbeeld is en ’n
eie wêreldbeeld. Hierdie begrippe word behandel sodat u kan verstaan hoe hierdie aspekte,
veral die aspekte van die algemene wêreldbeeld van ’n bepaalde tyd of kultuurgroep en eie
wêreldbeelde van individue, die ontwikkeling van wiskunde deur die eeue beïnvloed het.
In die daaropvolgende en laaste afdeling word wiskundige modelle en toerieë behandel en
hul verband met die werklikheid.
Lees, leer en geniet.
A.2 Wat is Wiskunde?
Wat sou u sê, is wiskunde? Wat dink u van wiskunde? Die HAT (Odendaal & Gouws,
2000:1373) verduidelik wiskunde soos volg: die wetenskap wat die eienskappe van getalle
en figure ondersoek. Meetkunde, algebra en rekenkunde behoort almal tot die wiskunde.
Die vraag waarom ons wiskunde nodig het en waarom so baie mense hul lewens daaraan
99

100 Geskiedenis en Filosofie
wy om wiskunde te ontwikkel en te verstaan, kan beantwoord word deur die vraag: hoe
sou die wêreld gewees het sonder wiskunde? Elke (groot) vooruitgang in wiskunde het sy
oorsprong in ’n behoefte in die natuurwetenskappe (liggaamlike behoefte) of in die verdere
ontwikkeling en uitbreiding van wiskunde (intellektuele behoefte).
Die Egiptenare het meetkunde ontwikkel omdat hulle ’n (liggaamlike) behoefte daaraan
gehad het om grond op te meet. Die landsburgers moes belasting betaal volgens die
grootte van die stuk grond se oppervlak wat hulle besit het. Die Nyl het elke jaar sy walle
oorstroom en die belasbare waarde van die grond het verander. Die priesters het aan ’n
betroubare stelsel gewerk waarmee hulle jaarliks die land akkuraat kon opmeet (Jourdain,
1919:20). Die Grieke het wiskunde gedoen omdat dit vir hulle interessant was en omdat
hulle meer van wiskunde wou weet. Hulle het dit gedoen om hulle intellektuele behoeftes
te bevredig.
Die rede waarom wiskunde belangrik is, is omdat wiskunde wel verstaanbaar en bruikbaar
is (Jourdain, 1919:14).
Wanneer u wiskunde studeer, spesifiek in WISN111 en WISN121, is u besig om die deel
van wiskunde wat reeds deur u voorgangers ontwikkel is, te leer ken en gebruik. Watter
deel van wiskunde gaan u ontwikkel?
A.3 ’n Oorsigtelike Geskiedenis van Wiskunde en in
die besonder van Differensiaal- en Integraalrekening
Ons weet nou almal wat is wiskunde, maar wat is calculus? Dit is die berekeningsmasjien
waarmee ons wiskunde en, in besonder, analise doen: differensiaal- en integraalrekening.
In WISN111 en WISN121 sal u ’n gedeelte van differensiaal- en integraalrekening,
wat betrekking het op enkelveranderlikes (eendimensioneel), leer ken en gebruik. In die
tweedejaar leer u differensiaal- en integraalrekening in sy meerveranderlike formaat (tweeen
driedimensioneel) ken en in die derdejaar in n-dimensies. U sal ook deurentyd die definisies
en stellings leer wat die onderbou van differensiaal- en integraalrekening vorm.
Hierdie tegnieke, definisies en stellings is oor eeue ontwikkel tot die vorm waarin u dit
nou leer.
A.3.1 Net Eers Kortliks
Om u in ’n paar minute oor ’n tydbestek van meer as 4000 jaar te neem, word ’n baie
kort oorsig van die geskiedenis van wiskunde, soos opgesom in Jourdain (1919:102-104),
gegee.
In die vroegste tye (2000 vC en vroeër) het die mense (wiskundiges) hul besig gehou
met spesifieke vrae oor eienskappe van spesifieke getalle, meetkundige eienskappe van
spesifieke figure en eenvoudige meganika probleme. Die Grieke het ’n meer algemene
studie van klasse van meetkundige figure begin. Die ontwikkeling van algebra (die gebruik
van algemene plekhouers in die plek van spesifieke getalle), hoofsaaklik deur die Arabiere,

Geskiedenis en Filosofie 101
het gelei tot die ekonomiese gebruik van denke en berekeninge.
Die groot wiskundige revolusie het in 1637 begin toe René Descartes (1596-1650) algebra
in meetkunde begin gebruik het. Hy het die (kartesiese) koördinaatstelsel bekendgestel en
meetkundige probleme in terme van algebraïese uitdrukkings geskryf. Die probleem om
’n raaklyn (die limiet posisie van ’n snylyn) aan ’n kromme te teken, een van die klassieke
probleme van wiskunde, het weer prominensie verkry deur sy werk. Galilei Galileo (1564-
1642) verduidelik in sy klassieke werk oor vryvallende liggame, gepubliseer in 1638, die
konsep van oombliklike snelheid en versnelling. Die probleem van die raaklyn, saam met
die konsep van oombliklike snelheid en versnelling, het tot die ontwikkeling van Gottfried
Wilhelm Leibniz (1646-1716) se infinitesimale differensiaal- en integraalrekening en Isaac
Newton (1642-1727) se fluksies gelei.
Die probleem om ’n raaklyn aan ’n kromme in ’n sekere punt te bereken en om die
oombliklike snelheid van ’n deeltjie waarvan die posisie deur ’n kromme beskryf word, op
’n sekere tydstip te bereken, is wiskundig dieselfde probleem. Hulle word albei uitgedruk
as die differensiale kwosiënt (volgens Leibniz) of die fluksie kwosiënt (volgens Newton).
Die twee metodes van berekening wat teoreties verskillend is, maar prakties dieselfde, was
onafhanklik van mekaar ontwikkel. Newton het sy metode van fluksies eerste ontwikkel,
maar Leibniz se metode van differensiale kwosiënte is eerste gepubliseer in 1684. In hierdie
differensiaal- en integraalrekening is die berekening van die oppervlakte onder ’n kromme
die omgekeerde van hierdie proses. Die metode om die raaklyn aan ’n kromme te bepaal,
word differensiasie genoem en die omgekeerde metode om die oppervlak onder die kromme
te bepaal integrasie.
Leibniz se uiteensetting van die differensiaal- en integraalrekening is meerendeels nagevolg
omdat dit ’n meer sistematiese notasie en skryfwyse as Newton s’n gehad het. Newton
het sy bekendheid verwerf vir die toepassing van hierdie teorie in die beweging van die
planete en die ontwikkeling van die algemene gravitasiewet.
Vir meer as ’n eeu na die aanvanklike ontwikkelings en werk van Newton en Leibniz,
het wiskundiges aan die uitbreiding en toepassing van differensiaal- en integraalrekening
gewerk. Hierna is meer moderne werk begin waarin gepoog is om die wiskundige metodes
van differensiaal- en integraalrekening op ’n logiese grondslag te plaas. Die differensiaalen
integraalrekeningmetodes is al meer en meer op ’n wiskundige grondslag geplaas en
losgemaak van intuïtiewe meetkundige konsepte. Trigonometrie het ’n studie van sekere
wiskundige funksies geword en meetkunde die verskaffer van pragtige en voorstellende
prentjies vir abstrakte wiskundige prosesse.
In die onderafdelings wat volg, word ’n breedvoeriger oorsig van die geskiedenis van wiskunde
gegee. Die meeste van die feite is verkry uit Edwards (1979) en sy uiteensetting
is gevolg - slegs bladsy-verwysings word gegee. Die hoop word uitgespreek dat die oorsig
wat hier gegee word, by u die belangstelling sal wek om die boek self te bestudeer. Die
boek gee meer as net die geskiedenis in woorde. Dit wys, in terme van vandag se moderne
wiskunde, hoe wiskunde eeue gelede gedoen is. Dit bevat ook heelwat oefeninge wat u
kan deurwerk om ’n werklike gevoel te kry van die wiskunde van eeue gelede en hoeveel
meer ingewikkeld dit was om eenvoudige berekeninge te kon doen.
Aan die einde van die afdeling word ’n lys van boeke wat oor dieselfde onderwerp handel,
gegee.

102 Geskiedenis en Filosofie
A.3.2 Oppervlaktes, Getalle en die Limietbegrip in die Antieke
Tyd
Die mense wat langs die Nyl-, Tigris- en Eufraatrivier gewoon het, het belasting betaal
volgens die oppervlakte van die grond wat hulle besit en bewerk het. Die oppervlakte
het egter jaarliks verander as gevolg van die riviere wat hulle oewers oorstroom het in die
reënseisoen. Daar het gevolglik ’n behoefte aan die berekening van oppervlaktes ontstaan.
(p. 1)
Die Egiptenare het ’n metode ontwikkel om ’n regtehoek (90o ) te bepaal. Hulle het ’n
tou d.m.v. knope in drie dele in die verhouding 3:4:5 verdeel. Die twee eindpunte van die
tou is bymekaar gebring om een van die hoeke van die reghoekige driehoek te vorm. Die
twee knope het die ander twee hoeke gevorm met die gedeelte met lengte 5 die skuinssy
van die driehoek. (Jourdain, 1919:20)
Die oudste wiskundige geskrif, is die Rhind Papirus. Dit is in 1650 vC gekopiëer deur
Ahmes wat stel dat dit dateer uit die tyd van die Middelryk - 2000-1800 vC. Die geskrif
bevat ’n lys van probleme met oplossings van spesifieke getalle, bv. 2 1 1 1 1
= + + + 29 24 58 174 232 .
Dit bevat ook ’n lys van oppervlaktes en volumes van spesifieke driehoeke, reghoeke,
parallelogramme en trapesiums. Dit het geen algemene probleme met algemene oplossings
nie. (pp. 1-2)
Wiskundige spykerskrif tablette wat dateer uit die ou Babiloniese tydperk van die Hammurabiryk
(1800-1600 vC), is opgegrawe en ontsyfer. Volgens hierdie tablette het die Babiloniërs
akkurate numeriese waardes bereken deur ’n numeriese stelsel met basis 60 te gebruik.
Hulle het byvoorbeeld √ 2 as 1 + 24 51 + 60 602 + 10
603 = 1.414213 wat met minder as 0.000001
van die regte waarde verskil, bereken. Verder kon hulle kwadratiese algebraïese vergelykings
van een onbekende oplos en twee vergelykings met twee onbekendes gelyktydig oplos.
Hulle kon die oppervlaktes van driehoeke en trapesiums en die volumes van silinders en
prismas korrek bereken. Hulle het Pythagoras (ongeveer 570-500 vC) se stelling reeds ’n
eeu voor sy bestaan, geken en gebruik. Die tablette bevat egter geen eksplisiete stellings,
algemene reëls, metodes of prosedures nie. Die wiskunde is ook nie in enige deduktiewe
sisteem geörganiseer nie. (pp. 3-5)
Die Grieke het die kennis van getalle en meetkunde ongeveer die 6 e eeu vC van die
Babiloniërs en Egiptenare oorgeneem. Die Grieke se groot bydrae tot wiskunde was hul
bewuste logiese en eksplisiete deduktiewe benadering. Tales en Pythagoras het, volgens
oorlewering, albei na Babelonië en Egipte gereis om die kennis en kundigheid van die
lande te verkry. (p. 5)
Tales het ongeveer gedurende die eerste helfte van die 6 e eeu vC geleef. Hy het die
volgende stellings geformuleer en bewys:
1. Die diameter van ’n sirkel verdeel die sirkel in twee gelyke dele.
2. Die basishoeke van ’n gelyksydige driehoek is gelyk.
3. Die regoorstaande hoeke wat deur twee snylyne gevorm word, is gelyk.
4. Die hoek-sy-hoek kongruente stelling vir driehoeke.
Die stelling wat stel dat die hoek in ’n halwe sirkel ’n regtehoek is, is na hom vernoem en
heet die Talesstelling. Hy is die eerste persoon na wie ’n stelling in wiskunde vernoem is.
(p. 5)

Geskiedenis en Filosofie 103
Pythagoras wat ongeveer in die jaar 500 vC oorlede is, het ’n geheime vereniging of
kultus gestig met duidelike misterieuse aspekte. Die aktiwiteite van die vereniging het na
sy dood voortgegaan. Hulle was aktief betrokke in die najaag van kennis en kundigheid,
ook in wiskunde. Onder hulle hande het wiskunde geleidelik ’n meer abstrakte vorm begin
aanneem. Voor die einde van die 5 e eeu vC het hulle die algemene stellings van driehoeke
en ander reghoekige figure geformuleer en bewys. (p. 6)
Democritus (ongeveer 460-370 vC) het bewys dat die volume van ’n piramide gelyk is aan
’n derde van die volume van ’n prisma, as ook dat die volume van ’n kegel gelyk is aan ’n
derde van die volume van ’n silinder. (p.8)
Die metode waarvolgens hulle oppervlaktes en volumes bereken het, was die sogenaamde
“uitputtingsmetode”. Hiervolgens is ’n oppervlakte in ’n aantal driehoeke verdeel. Die
basisse van die driehoek is al kleiner gemaak sodat al meer en meer driehoeke in die
figuur kon inpas. Deur die aantal driehoeke baie groot te maak, kon ’n goeie benadering
vir ’n oppervlakte bereken word. Dieselfde is vir die berekening van volumes gedoen. Die
volume van ’n figuur is in ’n aantal piramides verdeel. Die basisse van die piramides is al
kleiner gemaak sodat al meer en meer piramides in die figuur kon inpas. Deur die aantal
piramides baie groot te maak, kon ’n goeie benadering vir ’n volume bereken word. Hierin
is die konsep van ’n limiet implisiet gebruik. (pp. 7, 16)
Hulle het algebra en meetkunde in verband met mekaar gebring deurdat hulle algebra in
terme van meetkunde (lengtes, oppervlaktes en volumes) verduidelik het. (p. 10)
Hulle het egter slegs met positiewe heelgetalle gewerk. Ander getalle is in terme van die
verhoudings van twee heelgetalle gegee. Getalle bv. √ 2, wat nie as die verhouding van
twee heelgetalle geskryf kan word nie, is as onmeetbaar beskou en het dus nie bestaan
nie. Die probleem x 2 = 2 het dus nie ’n oplossing gehad nie. (pp. 10-11)
Die probleem van onmeetbare meetkundige groothede het ’n hersiening en herskryf van
die grondslae van die wiskunde van daardie tyd vereis, ’n taak wat meeste van die 4 e
eeu vC geneem het om te voltooi. Gedurende hierdie tydperk het die Griekse algebra en
meetkunde ’n hoogs georganiseerde en streng deduktiewe vorm aangeneem wat voortgesit
is in die 13 boeke van die Elemente wat Euklidius (365 vC gebore) gedurende 330-320 vC
geskryf het. Hierdie sistematiese uiteensetting van die Griekse wiskunde van die vorige
drie eeue, is die oudste groot Griekse wiskundige geskrif wat vandag nog tot ons beskikking
is, en wat deur baie eeue na die skryf daarvan deur wiskundiges bestudeer is. (p. 10)
Eudoxus van Cnides (ongeveer 408-355 vC) het die probleem van onmeetbares opgelos
deur die formulering van ’n behoorlike definisie waaruit ander definisies en stellings afgelei
is. Die algemene teorie en die definisie waarop alles gebasseer is, word in Boek V van
Euklidius se Elemente behandel. Hierdie werk van Eudoxus wys hoe belangrik ’n goeie
definisie in wiskunde is. (pp. 13-14)
A.3.3 Archimedes
Archimedes van Syracuse (287-212 vC) kan beskou word as die grootste wiskundige van
die antieke tyd. Sy gelyke is eers weer gevind in Newton in die 17 e eeu en Gauss in
die 18 e eeu. Hy was ook beroemd vir sy meganiese uitvindsels. ’n Paar van hulle is
die Archimedes waterpompskroef, talle hefboom- en katroltoestelle, sy planetarium wat

104 Geskiedenis en Filosofie
eklipse baie akkuraat voorspel het, asook ’n hele paar oorlogmasjiene wat teen die Romeine
in die beleg van Syracuse gebruik is. Hy is ongelukkig tydens hierdie beleg oorlede. (p.
29)
Archimedes het die “uitputtingsmetode” verder uitgebrei na die “samepersingsmetode”.
In hierdie metode word driehoeke gevorm wat binne-in die betrokke figuur inpas, sowel
as driehoeke waarbinne die betrokke figuur inpas. Die driehoeke binne word al groter en
die driehoeke buite al kleiner sodat dit die figuur saampers. Hier het ons weer te doen
met die implisiete konsep van ’n limiet. Hierdie metode is soortgelyk aan die bosom en
ondersom van integrasie. Met hierdie metode het hy probleme opgelos wat vandag met
integrale gedoen word en het hierin die grondslag vir differensiaal- en integraalrekening
gelê. (p. 31)
Hy het die “samepersingsmetode” gebruik om die volgende af te lei:
1. Die omtrek van ’n sirkel is 2πr en sy oppervlakte πr 2 .
2. Die oppervlakte van ’n ellips is πab.
3. Die oppervlakte van ’n sfeer is 4πr 2 en sy volume 4
3 πr3 .
4. Die waarde van π lê tussen 3 10
71
en 31
7 .
5. Die oppervlakte sowel as die volume van ’n sfeer is 2
3
van dié van ’n silinder met
dieselfde deursnee en hoogte as die deursnee van die sfeer.
Hierdie laaste ontdekking is werklik merkwaardig omdat die verhouding van die oppervlaktes
sowel as die volumes tot mekaar dieselfde is. Archimedes het dit beslis ook as
merkwaardig beskou, want hy het versoek dat ’n sfeer wat presies in ’n silinder pas, op sy
grafsteen gegraveer moet word. Nadat die Romeinse redenaar Cicero betaalmeester van
Sisilië geword het, is die grafsteen gevind en deur Cicero laat restoreer. Die Romeine wat
prakties geöriënteerde mense was, het so min in suiwer wiskunde belanggestel, dat hierdie
daad van Cicero die grootste bydrae is wat die Romeine tot die geskiedenis van suiwer
wiskunde gelewer het. (pp. 31-54)
Nog ’n uitstaande uitvinding van Archimedes, was die Archimedes-spiraal. Die algemene
magneetveld van die son is in die vorm van ’n Archimedes-spiraal. Hierdie spiraal word
verkry deur ’n potlood op ’n konstante roterende skyf teen ’n konstante radiale spoed
uitwaarts te beweeg. ’n Groot gedeelte van sy werk oor spirale is gewy aan die bepaling
van raaklyne (lyne wat krommes net raak, maar nie sny nie) in gegewe punte. (pp. 54-62)
Hoewel Archimedes probleme wat vandag met bepaalde integrale gedoen word, opgelos het
en so die grondslag vir differensiaal- en integraalrekening gelê het, is daar drie onmisbare
eienskappe van differensiaal- en integraalrekening wat nie deel vorm van sy metodes nie,
nl. die eksplisiete bekendstelling van die limietbegrip, ’n algemene berekenings-algoritme
(’n basiese eienskap van differensiaal- en integraalrekening) vir oppervlaktes en volumes
en ’n erkenning van die inverse verband tussen die berekening van raaklyne (differensiasie)
en oppervlaktes (integrasie). Hierdie laaste eienskap staan bekend as die hoofstelling van
differensiaal- en integraalrekening. (pp.74-75)
A.3.4 Die Middeleeue
Die klassieke Griekse era het oor 10 eeue van ongeveer 600 vC tot 400 nC gestrek. Sy
klimaks is in die werk van Archimedes en sy jonger tydgenoot Apollonius (ongeveer 260-

Geskiedenis en Filosofie 105
170 vC) van Perganum, wat ’n uitgebreide teorie oor keëlsnedes uitgewerk het, bereik. Na
die Romeinse oorname van die gebiede rondom die Middellandse See, het die ontwikkeling
van wiskunde ’n tyd van afname begin beleef wat geen nuwe bydraes vergelykbaar met
dié van Eudoxus, Euklidius, Archimedes en Apollonius, opgelewer het nie. (p. 77)
Na die 3 e en 4 e eeu vC het die Griekse wiskunde meer op toepassings gefokus en geen
werklike nuwe ontwikkelings opgelewer nie. Die beste was die wiskundige sterrekunde en
geassosieerde toegepaste trigonometrie van Hipparchus (ongeveer 140 vC) en Ptolomius
(ongeveer 150 nC), albei van Alexandria. (p. 78)
Archimedes se werk moes 18 eeue wag voordat dit voortgesit is in infinitesimale wiskunde.
Daar was hoofsaaklik twee redes daarvoor. Eerstens het die politieke en sosiale klimaat van
daardie tyd ’n rol gespeel. Daar was min professionele werkers en net ’n paar akademiese
sentrums in enkele stede soos Athene en Alexandria. Hierdie akademiese sentrums was
baie afhanklik van staatsubsidies. Die oorlog teen die Romeine het ook sy tol geëis.
Archimedes is dood tydens die beleg van Syracuse en ’n groot deel van die biblioteek
van Alexandria het afgebrand. Dit het ’n einde gebring aan die Griekse voorspoed. Die
Romeine was prakties geöriënteerde mense. Hulle het meer belanggestel in die bou van
brûe, ens. as in teoretiese wiskunde. (pp. 78)
Hierdie eksterne faktore was egter nie die hoofoorsaak van die Grieke se onvermoë om
na die tyd van Archimedes wiskundig te vorder nie. Daar was egter interne wiskundige
faktore wat voldoende is om die mislukking te verduidelik. Hierdie belemmerende faktore
sentreer om die rigiede skeiding tussen meetkunde en algebra en ’n eensydige klem op
eersgenoemde. Hulle het net met meetkundige groothede soos oppervlakte, lengte en volume
gewerk, en nie met numeriese groothede nie. Die manipulasie van hierdie groothede
was hoofsaaklik woordeliks, en nie simbolies nie. Die gevolg hiervan was dat hulle nie
ooreenkomste tussen verskillende gevalle kon raaksien en algemene verbande kon trek nie.
(p. 79)
Die Grieke se meetkundige wiskunde wat algebra uitgesluit het, het die effektiewe ontwikkeling
van ’n algoritme-tradisie gebaseer op algemene toegepaste metodes, gekortwiek.
Hulle was ook baie streng in die gebruik van wiskundige begrippe. Hulle het niks gebruik
wat hulle nie presies kon formuleer en verstaan nie. Daarom het hulle irrasionale getalle as
getalle verwerp sowel as oneindig en die limietbegrip. Hulle het verder ook nie met magte
hoër as drie gewerk nie. Die derde orde is gekoppel aan meetkundige driedimensionele
figure. Onmeetbare groothede is in terme van verhoudings van meetbare (heel)getalle
gegee. Die berekeninge met hierdie onmeetbares was so moeilik dat slegs die begaafdes
wiskunde kon doen - anders as vandag waar die doen van wiskunde toeganklik is tot byna
alle mense. (p. 79)
Hoewel die Grieke se streng deduktiewe afleidings ’n uitstaande kenmerk van moderne
wiskunde is, was dit juis dít wat hulle gekortwiek het. Indien alle generasies ook geweier
het om reële getalle (rasionale en irrasionale getalle) en die limietbegrip te gebruik totdat
hulle dit ten volle kon verstaan, sou differensiaal- en integraalrekening heelwaarskynlik
nie ontwikkel het tot dit wat dit vandag is nie, en sou wiskunde dalk lankal dood en ’n
vergete wetenskap gewees het. (p. 79)
Met die val van die Wes-Romeinse Ryk in die 5 e eeu nC het Wes-Europa in ’n donker
era wat wiskundige en wetenskaplike ontwikkeling betref, ingegaan. Net die Rooms-

106 Geskiedenis en Filosofie
Katolieke Kerk het oorgebly om die barbare op te voed. In 529 nC het Keiser Justinus
die Griekse skool van “heidense” filosofie en Plato se Akademie in Athene gesluit. Skole
was hoofsaaklik aan die kerk gekoppel. Baie skrywers het dele van die ouer werke geneem
en saam geflans om nuwe boeke te vorm. Ongelukkig was dit meestal ’n ongeörganiseerde
versameling van kontrasterende feite en mites. (p. 80)
Die belangrikste van hierdie Romeinse skrywers was Boethuis (ongeveer 480-524 nC) wat
vier elementêre handboeke geskryf het - in rekenkunde, meetkunde, sterrekunde en musiek.
Hierdie boeke het as ’n basis vir die middeleeuse monnikskole gedien. Van hier af het die
Wes-Europese wiskunde ’n afname beleef tot en met die tyd van Gerbert (940-1003), ’n
Fransman wat Pous Sylvester II (999-1003) geword het. Hy het na Spanje gereis om
wiskunde by die Arabiere te leer en dit in die skole te laat leer. Gedurende hierdie tyd het
meetkunde hoofsaaklik bestaan uit die eerste paar stellings van Euklidius sonder enige
logiese volgorde of bewyse. Die Pythagoras stellings was blykbaar lank reeds vergete. Die
beroemdste wiskundige (in Wes-Europa) gedurende die 11 e eeu was Franco van Liege wat
’n boek oor die oppervlakte van ’n sirkel geskryf het. (p. 81)
Gedurende die 7 e eeu nC neem die Moslems baie van die gebiede rondom die Middellandse
See oor, van Persië en Sirië in die ooste tot by Spanje en Morokko in die Weste.
In 641 nC val Alexandria, die hoofsentrum van Griekse geleerdheid, in die hande van
die Moslems. Die Moslems het gretiglik al die wetenskap en wiskunde van die Grieke
aangeleer. Gedurende die 9 e en 10 e eeu word die geskrifte van Euklidius (die Elemente),
Archimedes, Apollonius en Ptolomius in Arabies vertaal. Dis te danke aan hierdie Arabiese
vertalings dat soveel van die Griekse meesterstukke behoue gebly het. Bagdad, die
hoofstad van die Oostelike deel, het die nuwe kosmopolitaanse sentrum (’n “nuwe Alexandria”)
geword waar die antieke wetenskap van die Grieke, Indië en Mesopotamië bestudeer
is. Die Griekse meesterstukke is deeglik bestudeer en alternatiewe bewyse en veralgemings
is gegee wat ’n goeie aanduiding is van die vlak waartoe die Griekse wiskunde deur die
Arabiere verstaan is. (pp. 81-82)
Die wiskundige en sterrekundige Mohammed ibn Musa al-Khowarizmi (Mohammed, die
seun van Moses van Khwarezm) (ongeveer 825 nC) het gedurende die 9 e eeu in Bagdad
gewerk waar hy geskiedkundig belangrike handboeke oor algebra en rekenkunde geskryf
het. Sy eerste boek het gehandel oor die Hindus se manier om met getalle te werk. Dit was
vir hulle ’n kuns. Hulle het irrasionale getalle ook erken, maar het nie veel in meetkunde
en bewyse belanggestel nie. In hulle getallestelsel gebruik hulle desimale (basis 10) syfers,
posisie notasie (ene, tiene, honderde, duisende, ens.) en die getal nul. Dit is te danke aan
al-Khowarizmi dat ons vandag nog hierdie getallestelsel gebruik. (p. 82)
Sy tweede boek Al-jabr wa’l muqabalah het oor algebra gehandel. Die term al-jabr beskryf
die oordra van ’n negatiewe term na die anderkant van die vergelyking en die term muqabalah
die kanselering van gelyke terme weerskante. Sy behandeling van die oplos van
vergelykings, was heeltemal woordeliks, selfs die getalle was uitgeskryf. In hierdie opsig
was dit ’n agteruitgang in vergelyking met die werk van Diophantes van Alexandria
(ongeveer 250 nC) se Arithmetica (Rekenkunde) waarin hy sekere simbole ingevoer het.
Die groot, uitstaande kenmerk van al-Khowarizmi se werk, is die algemene prosedures
wat hy verskaf het om probleme op te los. Die woord algoritme is uit sy naam afgelei:
al-Khowarizmi → algorismi → algoritme. (p. 82)

Geskiedenis en Filosofie 107
Arabiese wiskunde bereik sy piek gedurende die 11 e eeu. Al-Haitham (ongeveer 965-1039),
in die Weste bekend as Alhazen, het ’n invloedryke verhandeling geskryf oor meetkundige
optika en brei sommige van Archimedes se resultate oor volume uit. (p. 83)
Vir vier eeue het die Moslems/Arabiere die Grieke se wiskundige tradisie bewaar en verryk
met die byvoeging van oosterse elemente van rekenkunde en algebra. (p.85)
In die 11 e eeu met die val van Spanje (Toledo) en Sisilië, was die klassieke Griekse werke,
wat in Arabies vertaal was, weer toeganklik tot Christen Wes-Europa. Gedurende die 12 e
en 13 e eeu is dit weer in Latyn vertaal. Die Elemente van Euklidius is deur die Engelsman
Adelard van Bath (ongeveer 1120 gebore) in 1142 van Arabies na Latyn vertaal. In 1145
het Robert van Chester al-Khowarizmi se Al-jabr ook na Latyn vertaal. Gerard van
Cremona (1114-1187) het ’n verbeterde vertaling van Euklidius se Elemente en dele van
Archimedes se werk geskryf. In 1269 het William van Moerbeke ’n Latynse vertaling van
’n uitgebreide Griekse versameling van Archimedes se verhandelings, gepubliseer. Hierdie
vertalings het kwantitatiewe wetenskap in die Weste herstel tot ’n vlak van elementêre
algebra en meetkunde. Archimedes se werk was egter te ingewikkeld vir ’n onmiddelike
en wydverspreide aanvaarding. Dit het eers in die 16 e en 17 e eeu vrugte begin afwerp.
(pp. 85-86)
Vir die wetenskaplikes van die 13 e eeu was die wetenskaplike en filosofiese verhandelings
van Aristoteles (384-322 vC) meer aanvaarbaar en verstaanbaar as die moeilike werke
van Archimedes en Boethuis. Aristoteles het in sy verhandeling oor Fisika die aard van
oneindig, die bestaan van onverdeelbares/infinitesimale en die deelbaarheid van kontinue
groothede soos tyd, beweging en meetkundige groothede, behandel. Hy het uitgewys dat
beweging veronderstel is om aan ’n klas van dinge wat kontinu is, te behoort en dat
oneindig dikwels voorkom in definisies vir kontinuïteit. Hy het sy studente aangemoeding
om die begrip oneindig te bespreek: bestaan dit werklik en indien dit bestaan, wat is dit?
(p. 86)
Die middeleeuse filosofie studente het met groot entoesiasme Aristoteles se uitdaging
aanvaar en daarop gereageer. Hulle spekulasies en verskille oor oneindig, die aard van
kontinuïteit en die bestaan van onverdeelbares het ’n groot bydrae gelewer tot die aanvaarbaarheid
van die infinitesimale tegnieke wat voorheen onaanvaarbaar was in Griekse
wiskunde en vrylik in die 17 e eeu gebruik is. (pp. 86-87)
Van meer onmiddelike belang was die kwantitatiewe studies van verandering en beweging
wat in die vroeg 14 e eeu begin is. Die Griekse wetenskap het nie verskynsels van verandering
of veranderlikheid in kwantitatiewe terme, bespreek nie. Die probleem om beweging
te kwantifiseer, is aangepak deur ’n groep van logici en filosowe van Merton Kollege in
Oxford wat persone soos Thomas Bradwardine (1290-1349), die “Doctor profundus” van
sy dag en later aartsbiskop van Canterbury, en Richard Swineshead, bekend as die Rekenmasjien
soos wat Aristoteles die Filosoof en Paulus die Apostel was, ingesluit. Hulle het
besef dat die kruks van die saak die opstelling van definisies vir begrippe wat ’n voldoende
basis kan vorm vir ’n kwantitatiewe analise, is. (p. 87)
Die Mertonstudies het uitgebrei na Frankryk en Italië. ’n Baie belangrike uitkoms van
hierdie studies was Nicole Oresme (ongeveer 1323-1382) se konsep van grafiese voorstelling
van intensiteite wat hy in 1350 ingevoer het. Die werk van Oresme en die Mertonstudente
met betrekking tot beweging, het wyd oor Europa versprei gedurende die volgende twee

108 Geskiedenis en Filosofie
eeue en het ongetwyfeld tot die werk van Galileo gelei. Ryper weergawes van hierdie aanvanklike
idees het ’n sleutelrol in die ontwikkeling van differensiaal- en integraalrekening
in die 17 e eeu gespeel. (p. 88)
Hoewel die 14 e , 15 e en 16 e eeu geen belangrike resultate opgelewer het nie, het ’n belangrike
verandering in denke plaasgevind, veral wat betref die limietbegrip en daarmee saam
oneindig. Die middeleeuse denkrigtings het die weg voorberei vir meer sinvolle werk in
oneindige reekse en prosesse gedurende die 17 e eeu toe ’n arsenaal van rekenkundige en
algebraïese tegnieke beskikbaar was. (p. 93)
In wiskunde het die Renaissance van die 15 e en 16 e eeu hoofsaaklik uit die snelle vooruitgang
van algebra bestaan. Dit het sy oorsprong hoofsaaklik in die praktiese rekenkunde en
algebra wat op al-Khowarizmi se metodes vir probleemoplossing gebaseer is, gehad. Die
algebra van daardie tyd was nog hoofsaaklik woordeliks eerder as simbolies. Die idee om
’n algemene vergelyking wat ’n hele klas van vergelykings voorstel, te bestudeer, het nog
nie bestaan nie. Om dit te kon doen, moes onderskei word tussen die rol wat parameters
en veranderlikes in die vergelyking speel. Hierdie belangrike idee is deur die Fransman
Francois Viète (1540-1603), ingevoer. Hy het vokale vir veranderlikes gebruik en konsonante
vir parameters. Hy het ook ander wiskundige simbole ingevoer en begin gebruik.
Die gebruik van simbole het die klem vanaf spesifieke probleme na meer algemene oplossings
en algoritmes laat verskuif. Dit was ’n belangrike klemverskuiwing wat nodig was
vir die algoritme benadering wat differensiaal- en integraalrekening karakteriseer. (pp.
93-94)
Die finale stap in die voorbereiding van die nuwe infinitesimale wiskunde, en die verreikenste
van almal, was die ontwikkeling van analitiese meetkunde deur René Descartes
(1596-1650) en Pierre de Fermat (1601 - 1665). Descartes se weergawe is in 1637 gepubliseer.
Hoewel Fermat se weergawe meer sistematies was, is dit eers na sy dood in 1679
gepubliseer en daarom praat ons vandag van kartesiese meetkunde en nie van fermatiese
meetkunde nie. Die sentrale idee is die ooreenkoms tussen die vergelyking f(x, y) = 0
en die kromme bestaande uit alle punte (x, y) op ’n kartesiese koördinaatstelsel wat die
vergelyking bevredig. Ons maak ook gebruik van Descartes se notasies, o.a. sy mageksponentvorm,
begin van die alfabet vir parameters en einde van die alfabet vir veranderlikes.
Beide Fermat en Descartes se hoofdoel was om algebra te gebruik om meetkundige
probleme op te los, en nie meetkunde om algebraïese probleme op te los soos die Grieke nie.
Fermat het in sy werk algebraïese vergelykings geneem en meetkundige betekenis daaraan
gegee, terwyl Descartes meetkundige probleme met behulp van algebraïese vergelykings
opgelos het. Fermat en Descartes se werk bevat albei die twee komplimentêre aspekte van
analitiese meetkunde, nl. dat algebraïese vergelykings d.m.v krommes bestudeer word en
dat krommes d.m.v. algebraïese vergelykings gedefinieer word. ’n Belangrike gemeenskaplike
kenmerk van hul werk is hul fokus op onbegrensde vergelykings van kontinue
veranderlikes. (pp. 95-96)
Die ontwikkeling van die kontinue veranderlike, soos vir die eerste keer eksplisiete klem op
gelê deur Descartes en Fermat, was onmisbaar vir die ontwikkeling van die infinitesimale
differensiaal- en integraalrekening. Analitiese meetkunde het ’n wye onontginde veld
van nuwe krommes geopen en gevra na die ontwikkeling van algoritmiese tegnieke om
hulle sistematies te ondersoek. Dit is in teenstelling met die Grieke wat slegs bekende

Geskiedenis en Filosofie 109
krommes gebruik het. ’n Nuwe kromme kon nou gevorm word deur slegs ’n volgende
vergelyking neer te skryf. Op die manier het analitiese meetkunde ’n breë speelveld vir
die infinitesimale tegnieke van die 17 e eeu daargestel, sowel as die tegniese gereedskap wat
nodig was om dit te verklaar en te verstaan, verskaf. (p. 97)
Die Griekse werke wat weer teruggekry is, saam met die middeleeuse skolastiese spekulasies
oor beweging, veranderlikheid en oneindigheid en die simboliese algebra en analitiese
meetkunde van die laat Renaissance, het ’n ryk mengsel gevorm wat die ontploffing van
infinitesimale wiskunde aan die gang gesit het. (p. 78)
A.3.5 Vroeë Ondeelbares en Infinitesimale Tegnieke
Die Grieke kon nie vorder nie as gevolg van hul weiering om die begrip oneindig te aanvaar
en te gebruik. As gevolg van die middeleeuse skolastiese spekulasie oor oneindigheid en
kontinuïteit, was die 17 e eeuse wiskunde nie meer huiwerig om met infinitesimale tegnieke
te begin nie. Die wiskundiges van daardie tyd het irrasionale getalle begin gebruik, al
het hulle nog nie ’n logiese getallestelsel gehad nie. Hierdie tydperk was ook gekenmerk
deur die beklemtoning van berekenings en gebruik van “enige iets” wat werk, eerder as
om filosofiese vrae te beantwoord oor die werklike bestaan van ’n bepaalde begrip. (p.
98)
Die simboliese algebra van Viète en Descartes het die ontwikkeling van formele tegnieke
wat metodes van berekening meer beklemtoon het as logiese bewyse, ondersteun. Verder
het die algebraïese voorstelling van krommes dit maklik gemaak om nuwe oppervlaktes en
volumes te formuleer. Die Archimediese probleme, algebraïese berekeningstegnieke en die
vrye gebruik van die intuïtiewe begrip oneindig het ’n oorvloed van kragtige infinitesimale
metodes vir die oplos van oppervlakte- en volumeprobleme, geproduseer gedurende die
“eeu van voorgevoel” wat die tyd van Newton en Leibniz voorafgegaan het. (p. 99)
Johann Kepler (1571-1630) wat meer bekend is vir sy ontdekking van die wette vir planeetbeweging,
het ook ’n aantal volumes bereken deur gebruik te maak van infinitesimale
metodes. Hy het ’n boek spesifiek vir wynmakers geskryf waarin hy verduidelik hoe om,
o.a., die volumes van wynvaatjies te bereken. Hy het die betrokke figuur in oneindig
baie klein figuurtjies - onverdeelbares - met dieselfde dimensie verdeel en dan oor die
onverdeelbares gesommeer. (pp. 99-103)
Twee invloedryke boeke geskryf deur Bonaventura Cavalieri (1598-1647) in 1635 en 1647
het die gebruik van infinitesimale tegnieke vir die berekening van oppervlaktes en volumes
bekend en gewild gemaak. Sy metode het op twee maniere van diè van Kepler verskil.
Ten eerste het hy begin deur die onverdeelbares van twee figure met mekaar te vergelyk
waarvan die oppervlakte en volume van een bekend is. Indien die ooreenstemmende
onverdeelbares van die twee figure ’n sekere (konstante) verhouding het, het hy tot die
gevolgtrekking gekom dat die oppervlakte en volume van die twee figure dieselfde verhouding
het. Tweedens was die onverdeelbares van ’n laer dimensie as die figuur self, bv.
indien die volume (drie dimensies) van ’n figuur bereken moes word, was die onverdeelbares
tweedimensioneel. (p. 104)
Die berekening van oppervlaktes van sekere kromlynige figure dateer terug na die antieke
tyd. John Wallis (1616-1703), professor in meetkunde aan die Universiteit van Oxford,

110 Geskiedenis en Filosofie
was die eerste om die taak om die oppervlakte onder krommes van die vorm y = xk waar k nie noodwendig ’n positiewe heelgetal is nie, te bereken, aan te pak. Hy het
rasionale en negatiewe eksponente vir die eerste keer in sy boek Arithmetica Infinitorum
(Die Rekenkunde van Oneindig) in 1655 bekendgestel. In die verloop van sy afleidings,
wat hoogs spekulatief maar wel korrek was, het hy die eksponent xp/q met die mag ( q√ x) p
geassosiëer. Hy het bereken dat die oppervlakte onder die kromme y = x1/q waar q
positief of negatief kan wees, tussen x = 0 en x = 1, 1/(1/q+1) is. In terme van bepaalde
integrale is dit ekwivalent aan
1
0
x 1/q dx =
1
1/q + 1 x1/q+1
1
0
=
1
1/q + 1 .
Wallis se spekulasie dat die oppervlakte onder die kromme y = x p/q met p/q ’n positiewe
rasionale getal, tussen x = 0 en x = a met a ’n positiewe konstante, a p/q+1 /(p/q +1) is, is
bewys deur Fermat en Evangelista Torricelli (1608-1647). In terme van bepaalde integrale
is dit ekwivalent aan
a
0
x p/q dx =
1
p/q + 1 xp/q+1
a
0
= ap/q+1
p/q + 1 .
Hoewel die ondersoeke van Fermat en Torricelli plaasgevind het voor diè van Wallis, is
dit eers heelwat later gepubliseer. (pp. 113-116)
Daar is egter lank gedink dat ’n segment van ’n algebraïese kromme nie dieselfde lengte
kan hê as ’n reguitlynsegment nie. Om ’n reguitlynsegment te konstrueer wat dieselfde
lengte het as ’n gegewe segment van ’n algebraïese kromme, staan bekend as die gelykrigtingsprobleem.
In die laat 1650’s is die lengtes van krommes met behulp van infinitesimale
tegnieke bereken. Die eerste gelykrigting is gedoen deur die Engelsman William Neil in
1657 vir die kromme y 2 = x 3 . (p. 118)
A.3.6 Vroeëre Raaklynkonstruksies
In moderne differensiaal- en integraalrekening kursusse word differensiasie en die konstruksie
van raaklyne eerste behandel en daarna integrasie en die berekening van oppervlaktes
onder krommes. In die verloop van die geskiedenis van wiskunde, het dit egter andersom
verloop. Die berekening van, of pogings om, die oppervlaktes onder krommes te bereken,
vind al sedert die vroegste tye plaas. Raaklyne, behalwe vir ’n paar eenvoudige konstruksies
aan kegelsnedes met die statiese Griekse idee van ’n raaklyn as ’n lyn wat ’n kromme
net in een punt raak, en enkele geïsoleerde voorbeelde van Archimedes, is werklik eers in
die middel 17 e eeu bestudeer. (p. 122)
In 1635 en daarna is ’n hele aantal metodes om raaklyne te konstrueer, kort agtermekaar
ontwikkel. Dit was die ontwikkeling van hierdie raaklynmetodes saam met oppervlakprobleme
en -tegnieke wat gelei het tot die ontwikkeling van differensiaal- en integraalrekening
as ’n wiskundige analise gedurende die laaste termyn van die 17 e eeu. (p. 122)
Fermat was die eerste om minima en maksima van funksies te bereken deur die gedrag
van die funksie naby sulke punte in ag te neem. Die metode wat hy ontwikkel en gebruik
het, het met skynbare gelykhede gewerk en is baie soortgelyk aan die metode wat

Geskiedenis en Filosofie 111
vandag gebruik word. Descartes het ’n meer algebraïese sirkelmetode ontwikkel en gebruik.
Alhoewel Fermat se skynbaar-gelykheidmetode ’n meer infinitesimale benadering
gehad het as die sirkelmetode van Descartes, het Descartes se metode ’n groter invloed op
die onmiddelike ontwikkeling van differensiaal- en integraalrekening gehad. (pp. 122-127)
Die direkte toepassing van Descartes se sirkelmetode op ingewikkelder krommes het gelei
tot lang, moeisame algebraïese bewerkings. Dit kon ook net op eksplisiete funksies van
die vorm y = f(x) toegepas word. Die eerste formele algoritmes vir die berekening van
raaklyne is ontwikkel gedurende die 1650’s deur die Hollandse wiskundiges Johann Hudde
(1633-1704) en Renè Francois de Sluse. Hulle meganiese reëls het dit moontlik gemaak
om die raaklyn langs enige algebraïese kromme te bereken. Hudde se reël, soos Descartes
se sirkelmetode, was slegs van toepassing op eksplisiete funksievorms, terwyl Sluse se
reël ook op implisiete funksies van die vorm f(x, y) = 0 toegepas kon word. Hierdie
algemene algebraïese metodes of algoritmes was nog ’n stap nader aan differensiaal- en
integraalrekening. (pp. 127-132)
Na die bekendstelling van Hudde en Sluse se reëls, het infinitesimale afleidings van metodes
gevolg. Hierin is meer Fermat se idee van skynbare gelykhede as Descartes se algebraïese
metode gevolg en is ’n raaklyn gesien as die limiet van die snylyn PQ in die punt P op
die kromme. Een so ’n metode is beskryf deur Isaac Barrow (1630-1677) tydens lesings
wat hy gedurende die middel 1660’s gelewer het. Hy was professor in wiskunde aan die
Universiteit van Cambridge. (In 1669 is hy opgevolg deur Newton.) Die metode wat hy
beskryf het, was klaarblyklik sy eie modifikasie van die metode wat Fermat ontwikkel het
om raaklyne aan krommes wat implisiet gedefinieer is, te konstrueer. Hy het nie gewerk
met skynbare gelykhede nie, maar het limiete geneem. (p. 132)
Gedurende die 1630’s en 1640’s is ’n benadering tot raaklyne wat gebaseer is op die
intuïtiewe konsep van oombliklike snelheid, deur Torricelli en veral deur Gilles Persone
de Roberval (1602-1675) ’n professor aan die College Royal (Frankryk) vanaf 1634 tot
1675, ontwikkel. Hulle idee was om ’n kromme te beskou as die pad van ’n bewegende
deeltjie en die raaklyn as die oombliklike snelheid van die deeltjie. As die beweging van
die deeltjie die resultant van twee eenvoudige bewegings is, kan dit as vektore volgens die
parallelogrammetode bymekaar getel word om die raakvektor te bereken. (p. 134)
Die toepassing van die konsepte van tyd en beweging op die studie van krommes, het
beide Torricelli en Barrow gelei tot ’n intuïtiewe begrip van die inverse (omgekeerde)
verband tussen raaklyn- en oppervlakteprobleme. Die oppervlakte onder ’n snelheid-tydgrafiek
gee die verplasing van ’n deeltjie. Die raaklyn aan ’n verplasing-tyd-grafiek gee die
oombliklike snelheid van ’n deeltjie. Hierdie is ’n vroeë formulering van die hoofstelling
van die differensiaal- en integraalrekening: die tempo van verandering van die oppervlakte
onder ’n kromme is gelyk aan sy ordinaat (funksiewaarde). (pp. 138-141)
A.3.7 Napier se Wonderlike Logaritmes
Die laat 16 e eeu was ’n era van numeriese berekeninge, veral omdat die ontwikkeling in
sterrekunde en navigasie al meer gevra het na toenemende akkurate en lang trigonometriese
berekeninge. Georg Joachim Rheticus (1514-1576) het aan die berekening van ’n
groot versameling van 15-plek trigonometriese tabelle gewerk wat voltooi en gepubliseer

112 Geskiedenis en Filosofie
is deur Otho in 1596 en deur Pitiscus in 1613. Daar was egter ook ’n dringende behoefte
aan ’n metode om berekeninge met lang en moeisame vermenigvuldigings en delings te
vergemaklik en te bespoedig. John Napier (1550-1617), die agtste baron van Merchiston
in die suide van Skotland, en ’n paar ander, het hierdie behoefte bevredig deur die
ontwikkeling van logaritmes. (p. 142)
In vandag se era van die rekenaar en sakrekenaar wat al die donkie-werk van berekeninge
doen, is daar nie meer ’n werklike begrip vir die omvangrykheid van die ontwikkeling van
logaritmes nie. Probeer ’n slag die waarde van 0.089 3 ×123.78 2/5 / √ 537.09 sonder die hulp
van ’n sakrekenaar bereken.
John Napier het eerste sy teologiese geskrif ’n Eenvoudige Verklaring van die Hele Openbaring
van Johannes (1593) geskryf. In hierdie geskrif wat hy as sy belangrikste bydrae
tot die mensdom beskou het, bewys hy wiskundig dat die Pous die Antichris is en dat
die wêreld in 1786 tot ’n einde sou kom. Met hierdie teologiese geskrif nou agter die
rug, begin hy in 1594 werk aan die ontwikkeling van logaritmes. Hierdie groot werk wat
’n ommekeer in praktiese numeriese berekeninge gebring het, het 20 jaar van isolasie in
Merchiston se kasteel geneem om te voltooi. Na die voltooiing van die werk, het hy twee
boeke gepubliseer, nl. Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio (Beskrywing van die
Wonderlike Leerreëls van Logaritmes) in 1614 en Mirifici Logarithmorum Canonis Constructio
(Konstruksie van die Wonderlike Leerreëls van Logaritmes) in 1619. Die tabelle
is in die eerste een vervat saam met ’n inleiding en gids hoe om die tabelle te gebruik. Die
tweede een wat eerste geskryf is, maar eers later gepubliseer is, bevat die metode hoe die
tabelle bereken is en in ’n mindere mate, die beredenering waarop dit gebaseer is. (pp.
142-143)
Nou kon langdradige en moeisame vermenigvuldigings en delings omgeskakel word na relatief
makliker optelling en aftrekking. Die aanvanklike idee hiervan het uit die ooreenkoms
tussen rekenkundige en meetkundige reekse gekom. Kepler was so entoesiasties oor die
nuwe berekeningsmetode dat hy, nadat hy Napier se tabelle ontvang het, dadelik begin
het om dit op sy geweldige klomp sterrekundige data toe te pas. Dit het gelei tot die
ontdekking van sy derde wet van planeetbeweging. (p. 143)
In Napier se tyd was breukmagte en die eksponentnotasie nog nie bekend nie. Die logaritme
is ook nie gesien as ’n funksie met inverse funksie die eksponensiale funksie nie.
Die desimale puntstelsel vir die skryf van getalle was ook nog nie algemeen aanvaarbaar
nie. Dit is Napier se gebruik van die desimale puntstelsel wat die desimale puntstelsel
aanvaarbaar gemaak het. (p. 143)
Vandag word aan die logaritme log a x gedink as die getal (eksponent) waartoe die grondtal
a verhef moet word om die waarde x te verkry. Napier se definisie vir ’n logaritme is
gebasseer op die kontinue beweging van ’n punt. Daardie tyd was die intuïtiewe konsepte
van fisiese beweging die enigste bruikbare basis vir kwantitatiewe beskouings van kontinue
veranderlikes. ’n Logaritme is gedefinieer in terme van twee bewegende punte. Beskou
twee parallelle lynstukke Po0 en LoL. Die eerste punt P begin met ’n aanvanklike spoed
van 10 000 000 (10 7 ) beweeg vanaf die beginpunt Po op die lynstuk PoO met lengte 10
000 000. Die spoed van die punt P neem af sodat sy oombliklike spoed altyd gelyk is aan
die oorblywende afstand PO. Die tweede punt L begin by die beginpunt Lo en beweeg
teen ’n konstante spoed van 10 000 000. Die lynstuk y = LoL is die logaritme van die

Geskiedenis en Filosofie 113
lynstuk x = PO: y = log x. Indien ons y = Nog x gebruik vir Napier se logaritme, is
Nog x = 10 7 7 10
log .
x
Dis duidelik dat Nog 10 7 = 0 en Nog x → ∞ as x → 0. (pp. 148-149)
Die Engelse professor Henry Briggs (1561-1631) het Napier in 1615 besoek. Hulle besprekings
het Briggs gelei tot die konstruksie van ’n tabel van verbeterde logaritmes met
grondtal 10 sodat log 1 = 0 en log 10 = 1. Hy het dadelik aan die berekening van die
nuwe tabel begin werk. In 1624 is ’n 14-plek tabel vir logaritmes van die heelgetalle van
1 tot 20 000 en 90 000 tot 100 000 gepubliseer. Die Hollander Adrian Vlacq (ongeveer
1600-1667) het later die ontbrekende deel van die tabel voltooi met die publisering van sy
10-plek tabel vir die heelgetalle van 1 tot 100 000 in 1628. Hierdie tabel het die basis vir
alle logaritmiese tabelle van die volgende drie eeue gevorm. (p. 153)
Die studie van logaritmes het tot die berekening van die oppervlakte onder ’n hiperbool
gelei en so ’n belangrike rol in die ontwikkeling van differensiaal- en integraalrekening
gespeel. In 1647 het die Belg Jesuit Gregory St. Vincent ’n artikel wat ’n verrassende
ooreenkoms tussen die natuurlike logaritmiese funksie en die oppervlakte onder
die kromme xy = 1 wys, gepubliseer. Die gedrag van die oppervlakfunksie stem ooreen
met die gedrag van die logaritmiese funksie. Hierdie feit is egter eers in die 18 e eeu deur
Euler bewys. (pp. 154-157)
Hoewel die presiese verband tussen die natuurlike logaritmiese funksie en die oppervlakte
onder ’n hiperbool in die vroeg 17 e eeu nie bekend was nie, het die algemene logaritmiese
karakter van die oppervlakte onder ’n hiperbool gelei tot verdere studie van die oppervlakte
onder ’n hiperbool. Hierdie ondersoeke het ’n sleutelrol gespeel in die bekendstelling
van oneindige reekse en algoritmiese differensiaal- en integraalrekening-tegnieke wat in die
1650’s en 1660’s begin ontstaan het. Newton was die eerste om logaritmes te gebruik om
die oppervlakte onder ’n hiperbool te bereken. Dit was gedurende die middel 1660’s. (p.
158)
In 1668 word Nicolas Mercator (1620-1687) se boek Logarithmotechnia gepubliseer. Die
eerste twee dele van hierdie boek is gewy aan die berekening van ’n tabel van 10 miljoen
logaritmes tussen 1 en 10. In die derde deel van die boek gee hy sy beroemde reeks vir
die oppervlakte onder die hiperbool y = 1/(1 + x) oor die interval van 0 tot x as (pp.
161-162)
ln(1 + x) = x − x2
2
+ x3
3
A.3.8 Die Rekenkunde van Oneindig
− x4
4
+ · · · .
Twee strome het gelei tot die ontwikkeling van ’n heel nuwe infinitesimale analise. Die
eerste was die wye verskeidenheid van oppervlakte- en raaklynberekeningsmetodes waaruit
Newton en Leibniz basiese, algemene algoritmes vir differensiaal- en integraalrekening
uitgehaal het. Die tweede was die ontwikkeling en toepassing van oneindige reekse. Die
twee, differensiaal- en integraalrekening en oneindige reekse, het mekaar ondersteun in hul
gelyktydige ontwikkeling want elkeen het mekaar se toepassingsveld verbreed. (p. 166)
Die gebruik van oneindige reekse het die vraag laat ontstaan of hulle volgens algemene algebraïese
manipulasies hanteer kon word of nie. Een van die uitvloeisels van die ondersoek

114 Geskiedenis en Filosofie
na die algebraïese manipuleerbaarheid van oneindige reekse, was Newton se ontwikkeling
van die binomiaalreeks vir (1+x) α waar α enige reële getal kan wees. Die eerste eksplisiete
gebruik van negatiewe- en breukmagte is deur Newton ingelei in sy binomiaalreeks. Die
koëffisiënte van die reeks is in terme van Pascal se driehoek bepaal wat slegs vir positiewe
heelgetalle uitgeskryf was. Om die koëffisiënte van die binomiaalreeks vir 0 < α < 1 te
bepaal, het Newton na ’n metode gesoek om tussen die rye en kolomme te interpoleer. Hy
het sy interpolasie-metode gebaseer op die ingewikkelde metode van Wallis waarvolgens
hy sy beroemde oneindige produk vir π, nl.
π
2
2 2 4 4 6 6
= · · · · · · · ·
1 3 3 5 5 7
bepaal het. (pp. 167-169)
Die interpolasie prosedure waarvolgens Wallis die oneindige produk ontwikkel het, sowel
as die interpolasie prosedure waarvolgens Newton die koëffisiënte vir die binomiaalreeks
bepaal het, het nie gedien as ’n voldoende bewys vir die bestaan van die oneindige produk
of die binomiaalreeks nie. Beide is wel later, na die ontwikkeling van voldoende tegniese
gereedskap, volledig bewys. Hierdie volgorde van gebeure wys op ’n belangrike kenmerk
van wiskundige ontwikkeling: die belangrike onderskeid tussen die streng wiskundige bewys
van ’n stelling en die ontwikkeling daarvan wat die bewys vooraf moet gaan. (pp.
169-170)
Die mees merkwaardige kenmerk van Newton se binomiaalondersoek is die reeks van
ontwikkelings wat daarmee saamgeloop het. Hy het begin met die berekening van die oppervlaktes
van sirkel- en hiperboliese segmente volgens Wallis se metode van interpolasie.
Daarna het hy deur term-vir-term differensiasie van hierdie oppervlaktes die binomiaalreeks
ontwikkel. Ten einde het die nodigheid om die binomiaalreeks te kontroleer, hom
gelei tot die ontwikkeling van algebraïese langdeling en worteltrekking. Die finale resultaat
van hierdie reeks, die toepassing van algebraïese bewerkings op oneindige reekse, was
die belangrikste van almal. Oneindige reekse is nie meer gesien as benaderings nie, maar
as alternatiewelike vorms van die funksies self. (p. 187)
A.3.9 Differensiaal- en Integraalrekening volgens Newton
Die ontwikkeling van differensiaal- en integraalrekening gaan oor die daarstelling van algemene
algoritmiese prosedures vir hele klasse van soortgelyke probleme. Die metodes
wat vroeër ontwikkel is, is as spesifieke metodes op spesifieke probleme toegepas. Dis belangrik
om te kan onderskei tussen die ontdekking van ’n belangrike feit en die erkenning
van die belangrikheid daarvan, met ander woorde dat dit die basis vorm vir verdere ontwikkeling.
In wiskunde sluit die erkenning van die belangrikheid van ’n nuwe konsep die
ontwikkeling van nuwe terminologie of notasie wat verdere ontwikkeling kan ondersteun,
in. Fermat het bv. die basiese uitdrukking vir ’n afgeleide gebruik, maar nie die belangrikheid
daarvan ingesien en dit iets genoem nie. Dit is gevolglik nie onmiddelik verder
gebruik en ten volle ontwikkel nie. Newton en Leibniz word nie die ontwikkelaars van
die differensiaal- en integraalrekening genoem bloot net omdat hulle die hoofstelling van
differensiaal- en integraalrekening as ’n wiskundige feit erken het nie, maar omdat hulle
dit gebruik het om uit vorige infinitesimale tegnieke ’n kragtige algoritmiese instrument
vir sistematiese berekeninge te ontwikkel. (pp. 189-190)

Geskiedenis en Filosofie 115
Isaac Newton (1642 - 1727) is gebore op die 25 e Desember 1642 in Woolsthorpe in Lincolnshire.
Hy het in 1661 by Cambridge Universiteit ingeskryf en sy BA-graad vroeg
in 1665 verwerf. Die jare 1665 en 1666 het hy in sy plattelandse huis in Lincolnshire
deurgebring omdat Cambridge Universiteit gesluit was as gevolg van die uitbreek van ’n
builepes-plaag. Dis tydens hierdie tyd wat hy die fondamente gelê het vir die drie hoofprestasies
in sy lewe: differensiaal- en integraalrekening, die aard van lig en die teorie van
gravitasie. In 1669 het hy Barrow opgevolg as professor in wiskunde by Cambridge Universiteit
en het hierdie posisie tot 1696 beklee. Van 1696 tot en met sy dood in 1727 het
hy die pos as Bewaarder van die Munt in London beklee. Hy is begrawe in Westminster
Abbey. (p. 190)
Newton se Principia Mathematica van 1687 en Opticks van 1704 gee in detail sy bydraes
tot meganika en optika. Sy bydraes tot suiwer wiskunde het meestal ongepubliseer
gebly. Daardie tyd het daar nog nie joernale vir suiwer wiskunde artikels bestaan nie.
Wiskundige ontwikkelings is meer by wyse van persoonlike briewe of studiestukke wat
gesirkuleer het, bekendgestel. Met sy dood het hy ’n versameling van ongeveer 5 000
blaaie handgeskrewe manuskripte, wat eers in 1967 suksesvol georganiseer en gepubliseer
is deur Cambridge, agtergelaat. (p. 191)
In Oktober 1666 het Newton sy differensiaal- en integraalrekening resultate van die vorige
twee jaar bymekaar gevoeg en geörganiseer in ’n manuskrip later bekend as die Oktober
1666 Bundel oor Fluksies. Aan die begin van 1665 het hy die raaklynprobleem bestudeer
aan die hand van ’n metode waar die raaklyn die kombinasie van twee snelheidskomponente
van ’n bewegende punt in ’n geskikte koördinaatstelsel is. Hierdie metode is
soortgelyk aan Roberval se metode, maar hierdie vroeëre werk was onbekend aan Newton.
Hierdie ondersoek van raaklyne aan die hand van komponente van beweging, was die
motivering vir die ontwikkeling van die fluksies sowel as die sleutel tot die meetkundige
betekenis daarvan. (p. 191)
Newton het die kromme f(x, y) = 0 as die meetkundige pad van die snyding tussen twee
bewegende lyne, een vertikaal en een horisontaal, beskou. Die x- en y-koördinate van die
bewegende punt is dan funksies van tyd t, wat die posisies van die vertikale en horisontale
lyne onderskeidelik aandui. Die beweging is dan die kombinasie van die horisontale beweging
˙x en die vertikale beweging ˙y. Hierdie verandering van die veranderlikes x en y as
funksies van tyd, staan bekend as fluksies. Om die raakvektor te kry, is ˙x en ˙y volgens die
parallelogrammetode bymekaar getel. Die helling van die raaklyn is dan ˙y/˙x. Hy moes
dus die verhouding tussen ˙y en ˙x kry, gegee f(x, y) = 0. Hy het dit wel vir polinome
afgelei, die sogenaamde magreël. (pp. 191-194)
In terme van Leibniz se differensiale word Newton se fluksies as volg geskryf
sodat ˙y
˙x
˙y = dy
dt
= dy/dt
dx/dt
en ˙x = dx
dt
= dy
dt
· dt
dx
= dy
dx .
Hy kon nou ˙y/ ˙x bereken, gegee f(x, y) = 0. Die volgende probleem was om f(x, y) = 0
te bereken as ˙y/ ˙x bekend is. Newton bespreek die berekening van oppervlaktes onder
krommes deur middel van anti-differensiasie. Dit was die eerste historiese verskyning van

116 Geskiedenis en Filosofie
die hoofstelling van differensiaal- en integraalrekening in die eksplisiete vorm ˙ A/ ˙x = y
waar A die oppervlakte onder die kromme y = f(x) is. In terme van Leibniz se integrale
word die hoofstelling as volg geskryf
˙A/˙x = y
⇒
dA/dt
= y
dx/dt
⇒
dA
= y
dx
⇒ dA = ydx
⇒ dA =
y dx
⇒ A = y dx.
Volgens die hoofstelling is die oppervlak onder die kromme die integraal van die funksie
y oor x en verskaf dit die basis vir ’n algoritmiese benadering tot die berekening van
oppervlaktes. Dis vir die bekendstelling en uitbreiding van algemene algoritmes soos
hierdie waarvolgens berekeninge georden kon word, dat Newton die ontwikkelaar van
differensiaal- en integraalrekening genoem word. (pp. 194-195)
Hier volg ’n kort opsomming van Newton se werk in suiwer wiskunde (pp. 196-222):
1. Hy het die algemene magreël van differensiasie vir saamgestelde funksies met behulp
van substitusie, afgelei.
2. Hy het ook die produkreël en kwosiëntreël van differensiasie as voorbeeldprobleme
afgelei.
3. Vir eerste orde afgeleides het hy die notasies ˙x en f ′ (x) gebruik en as integrasie-teken
het hy gebruik.
4. Hy het ’n metode om wortels van funksies te bereken, ontwikkel en dit gebruik om
reekse om te keer - inverse reekse.
5. Hy het dit ook gebruik om reekse vir sinx en cosx te bereken.
6. Hy het minima en maksima van funksies bereken deur die afgeleides gelyk te stel
aan nul f ′ (x) = 0.
7. Hy het integrasie ontwikkel deur middel van substitusie.
8. In 1671 en 1704 het hy tabelle met integrale van sekere funksies gepubliseer.
9. Hy het die basiese tegniek van fluksies toegepas om booglengtes te bereken.
Newton se De Quadratura Curvarum (Oor Oppervlaktes onder Krommes) was die laaste
van ’n hele aantal geskrewe verhandelings oor differensiaal- en integraalrekening. Hierdie
verhandeling wat geskryf is tussen 1691 en 1693, was ’n hoogs tegniese uiteensetting van sy
differensiaal- en integraalrekening van fluksies. Hoewel hierdie verhandeling laaste geskryf
is, is dit eerste gepubliseer as ’n wiskundige aanhangsel aan sy Opticks van 1704. (p. 226)
In dieselfde twaalf jaar (1664-1676) wat hy aan sy differensiaal- en integraalrekening van
fluksies gewerk het, het hy die universele gravitasie wet ontdek, die kleurspektrum van
die reënboog verduidelik, die reflektor teleskope uitgevind en gebou, en baie ure afgestaan
aan chemiese eksperimente. (p. 230)

Geskiedenis en Filosofie 117
A.3.10 Differensiaal- en Integraalrekening volgens Leibniz
In die tyd van Kepler, Galileo, Descartes, Pascal en Newton was Gottfried Wilhelm Leibniz
(1646-1716) die veelsydigste genie van hulle almal. Hy is gebore en het groot geword in
Leipzig. In 1661, op vyftienjarige ouderdom, het hy ingeskryf aan die Universiteit van
Leipzig en het sy baccalaureus graad in 1663 op sewentienjarige ouderdom verwerf. Hy
het sy studies voortgesit in logika, filosofie en regte en op twintigjarige ouderdom (1666)
’n briljante verhandeling oor die historiese benadering tot die onderwys in regte voltooi.
Hy het na die Universiteit van Adendorf verskuif omdat die Universiteit van Leipzig sy
aansoek om doktoraat in regte op grond van sy jeugdige ouderdom geweier het. Hy het
sy doktorsgraad in filosofie in 1667 op een-en-twintigjarige ouderdom ontvang. (p. 231)
Na die voltooiing van sy akademiese werk, het hy die politieke arena, en meer spesifiek
regeringsdienste van die Keurvors van Mainz, betree. Sy belangstelling in wiskunde het
eers in 1672 begin toe hy vir vier jaar na Parys is vir ’n diplomatieke besoek. Gedurende
hierdie tyd in Parys het hy die hoofkenmerke van sy eie weergawe van differensiaal- en
integraalrekening bedink. Die benadering wat hy gevolg het, is ’n benadering wat hy in
die balans van sy lewe uitgeleef het (later meer hieroor). Dis ook die benadering wat in die
18 e eeu gedomineer het oor Newton se benadering tot differensiaal- en integraalrekening.
(p. 231)
In 1676 het hy teruggekeer na Duitsland waar hy die volgende veertig jaar as bibliotekaris
en raadslid van die Keurvors van Hanover gedien het. Hoewel hy sy professionele loopbaan
aan regte en diplomasie gewy het, kon die omvangrykheid van sy fundamentele bydraes
tot verskeie gebiede van wiskunde, filosofie en wetenskap nie maklik deur enige iemand
anders geëwenaar word nie. (p. 231)
’n Lewenslange projek van Leibniz was sy soeke na ’n universele taal of simboliese logika
wat nie net numeriese berekeninge sou standariseer en meganiseer nie, maar ook alle
prosesse van rasionale menslike denke en wat die verstandswerk van roetine en herhalende
stappe sou verminder of selfs uitskakel. Hy het gehoop so ’n universele taal sou
alle opgevoede mense, nie net ’n paar geleerdes nie, die vermoë van helder en korrekte
beredenering gee. Dit was die formulering van hierdie verrykende doel wat sy ernstige
belangstelling in wiskunde voorafgegaan het. Dit was dan ook juis in wiskunde waar hy
hierdie doel ten volle bereik het. Sy infinitesimale differensiaal- en integraalrekening is
die mees uitstaande voorbeeld in wetenskap en wiskunde van ’n stelsel van notasie en
terminologie wat sy onderwerp so goed ondersteun dat dit die basiese logiese uitvoerings
en prosesse weerspieël. Hy het dit moontlik gemaak vir studente om probleme op te los
wat voorheen die vernuftigheid van ’n Archimedes of ’n Newton vereis het. (p. 232)
Leibniz het sy simboliese notasie so ontwikkel dat dit as gids kon dien om die gedagtegang
na die korrekte antwoord te lei. Neem bv. die kettingreël. Volgens die notasie wat later
deur Joseph Louis Lagrange (1736-1813) ingevoer is, word die kettingreël vir die funksie
h(x) = f(g(x)) geskryf as h ′ (x) = f ′ (g(x))g ′ (x). Maar in Leibniz se differensiasie notasie
is dit dz dz dy
=
dx dy dx
met z = f(y) en y = g(x). Die tweede formulering van die kettingreël is ooglopend korrek:
deur die dy’s aan die regterkant te kanselleer asof hulle reële getalle is, word die resultaat
aan die linkerkant verkry. In die eerste geval is die korrektheid van die stelling nie so

118 Geskiedenis en Filosofie
ooglopend nie. Let op dat hierdie nie dien as ’n bewys van die korrektheid van die stelling
nie, maar slegs dien as ’n aanduiding van die korrektheid daarvan. (pp. 232-233)
Die integraalweergawe van die kettingreël is die formule vir integrasie deur substitusie
f(g(x))g ′
(x)dx = f(u)du.
Die simboliese substitusie u = g(x) en du = g ′ (x)dx maak die formulering noodwendig,
ongeag sy bewys. Hierdie kom neer op die onveranderlike differensiaalvorm f(u)du met
betrekking tot willekeurige verandering in die veranderlike. Hierdie is dan ook ongetwyfeld
een van Leibniz se belangrikste ontwikkelings. (p. 233)
Leibniz het wiskunde begin doen deur eers met die sommasie van rye te werk. Hierin het
hy ’n belangrike konsep raakgesien: die omgekeerde (inverse) verband tussen die vorming
van somme van die elemente van ’n ry en die neem van verskille. Dit het ’n dominante
rol gespeel in die ontwikkeling van sy differensiaal- en integraalrekening. (pp.234-239)
Sy eerste gepubliseerde artikel getiteld ’n Nuwe Metode vir Maxima en Minima sowel as
Raaklyne, wat gestrem is deur nòg Breuk- nóg Irrasionale Groothede, en wat ’n Merkwaardige
Tipe van Differensiaal- en Integraalrekening is diè, het in 1684 in Leipzig se
tydskrif Acta Eruditorum verskyn. Hoewel Leibniz se differensiaal- en integraalrekening
later as Newton s’n ontwikkel is, is dit eerste gepubliseer. In hierdie artikel gee hy die
meganiese reëls vir die berekening van differensiale van magte, produkte en kwosiënte
sonder om dit te bewys. Hy dui verder aan dat dy positief is indien die ordinaat y toeneem
soos wat x toeneem en negatief indien dit afneem soos wat x toeneem. Die nodige
voorwaarde vir ’n maxima of minima is dy = 0 wat ooreenstem met ’n horisontale raaklyn
en d(dy) = 0 vir ’n buigpunt. Die integraal en die simbool het die eerste keer verskyn
in ’n artikel van Leibniz gepubliseer in 1686 in die Acta Eruditorum. Die hoofstelling
van differensiaal- en integraalrekening met bewys het in die Acta Eruditorum van 1693
verskyn. (pp. 258-260)
Leibniz beskryf ’n kromme in terme van sy absis x en ordinaat y. ’n Diskrete ry van
oneindig baie y-waardes word geassosieer met ’n ooreenstemmende ry x-waardes. Die ry
van ordinate is dieselfde as ’n gewone ry getalle met die ry van absisse wat die volgorde
van die ry bepaal. ’n Kromme kan dus gesien word as ’n oneindige veelhoek met oneindig
baie infinitesimale kante, wat elk ooreenstem met ’n raaklyn aan die kromme. Die basiese
ry van veranderlikes wat met die kromme geassosieer word, is die rye van absisse x en
ordinate y wat die oneindig baie hoekpunte van die veelhoek vorm. Die verskil tussen twee
opeenvolgende x-waardes is die differensiaal dx en tussen twee opeenvolgende y-waardes
dy. Die groothede dx en dy is nie nul nie, maar onvergelykbaar klein en dus weglaatbaar
met betrekking tot die waardes van x en y. Soortgelyk is die waardes van produkte tussen
twee differensiale, soos dxdy of (dx) 2 weglaatbaar met betrekking tot dx en dy. Op grond
van hierdie aannames, geneem as die uitvoerbare reëls, het hy die standaard differensiasie
formules afgelei. (p. 261)
Dit is belangrik om daarop te let dat die differensiale dx en dy vaste, nie-nul groothede
is. Hulle is nie veranderlikes wat na nul nader of bedoel is om uiteindelik na nul te nader
nie. Hulle is eintlik rye van differensiale wat met ’n kromme geassosieer word. Die ry
van differensiale dx is die verskilry van die ry van absisse x. Hierdie verskilry het op sy
beurt ook ’n verskilry wat se elemente tweede-orde differensiale is d(dx) = ddx = d 2 x.

Geskiedenis en Filosofie 119
Dieselfde geld vir die ordinate y met verskilry dy wat op sy beurt weer die verskilry
d(dy) = ddy = d 2 y lewer. Op soortgelyke wyse volg nog hoër orde differensiale. Dit is dus
duidelik dat die notasie die bepaling en skryf van hoër orde differensiale baie vergemaklik.
(p. 261)
In sy publikasies wat handel oor differensiaal- en integraalrekening het Leibniz die reëlmatige
en formele karakter van sy reëls vir die berekening en manipulasie van differensiale beklemtoon.
Hy het verder aangevoer dat die behoorlike en korrekte toepassing van die reëls
sonder uitsondering tot die korrekte resultate sou lei, al bestaan daar onsekerheid oor
die presiese betekenis van die infinitesimaal wat in die berekeninge voorkom. Dit was
die korrektheid van sy resultate wat hom gelei het tot die formulering van sy algemene
algoritmes. (p. 264)
In kort kan ’n infinitesimaal gedefinieer word as ’n grootheid groter as nul, maar kleiner
as alle ander reële getalle. Leibniz het hom nie werklik besig gehou met die filosofiese
vraag of infinitesimale werklik bestaan nie. Hy het dit gebruik, want dit het gewerk. (p.
264)
Hoewel Leibniz en Newton tydgenote was en albei die ontwikkelaars van differensiaalen
integraalrekening was, het hul benadering tot en ontwikkeling van differensiaal- en
integraalrekening heelwat verskil. In tabel A.1 word ’n opsomming van die belangrikste
verskille gegee. Albei, Newton en Leibniz, het integrale bereken volgens die proses van
anti-differensiasie. Die wiskundige ontginning van die inverse verband tussen raaklyne en
oppervlaktes onder krommes, was hul gemeenskaplike sleutelbydrae. (pp. 265-266)
In die laat 1690’s het navolgers van Newton vir Leibniz daarvan begin beskuldig dat hy
kernvoorstelle uit die briewe van Newton van 1676, sonder die toestemming van of krediet
aan Newton, gebruik het. Hulle het ook beweer dat hy van Newton se werk te wete
gekom het tydens sy kort besoeke aan London in 1673 en 1676, hoewel Leibniz gedurende
daardie tyd nooit eens vir Newton ontmoet het nie. Dit het later begin uitloop op publieke
beskuldigings van plagiaat. In 1711 het Leibniz ’n regstelling van die Royal Society van
London van wie hy ook ’n lid was en Newton die president was, geëis. Die Royal Society
het ’n kommissie aangewys om die saak te ondersoek. Die kommissie het in 1712 tydens
’n bespreking wat ooglopend vooraf beplan was en gelei is deur Newton, hom skuldig
bevind. (p. 267)
Hierdie ongelukkige geskil het eintlik niks met wiskunde te doen gehad nie, maar wel
met nasionalistiese wedywering tussen die Engelse en die Europese wiskundiges op die
vasteland. Op wiskundige grond gesien, is dit duidelik dat elkeen sy differensiaal- en
integraalrekening onafhanklik ontwikkel het. Die ironie van die gebeure is dat die Engelse
“oorwinning” daartoe gelei het dat Engelse wiskundiges met die doodse navolging
van Newton se metodes en die weiering om Leibniz se analitiese metodes te aanvaar,
hulle afgesny het van die hoofstroom van wiskundige ontwikkelings van die volgende eeu.
Meeste van die vooruitgang in wiskunde tydens die 18 e eeu is gedoen deur die vasteland
wiskundiges wat Leibniz se analitiese skryfwyses en metodes gebruik het. (p. 267)

120 Geskiedenis en Filosofie
Leibniz Newton
Hy het korrekte, sinvolle notasie as ’n Veelbetekenende en konsistente notasie
baie belangrike onderbou vir korrekte was nie vir hom van groot belang nie.
berekeninge beskou. Dis juis oor die
sinvolle en logiese notasie dat sy
differensiaal- en integraalrekening,
eerder as diè van Newton, nagevolg is.
Sy konstante doel was die formulering Hy het ook algemene algoritmes ontwikkel,
van algemene metodes en algoritmes vir maar het tog klem gelê op spesifieke
’n verskeidenheid van probleme met die probleme - beklemtoon konkrete resultate
klem op algemene tegnieke wat wat veralgemeen kan word.
spesifieke probleme kan oplos.
Diskrete infinitesimale het ’n Die fundamentele konsep was die fluksies
sentrale rol gespeel. of tydsverandering gebasseer op intuïtiewe
idees van kontinue beweging.
Die notasie en terminologie het die Die limietkonsep kom eksplisiet voor.
limietkonsep effektief weggesteek.
Die afsonderlike differensiale dx en Die afgeleide self as verhouding van
dy is fundamenteel; hulle verhou- fluksies, was vir hom die kruks van die
ding is bloot ’n meetkundige kwosiënt. saak. ’n Tweede orde afgeleide is eenvou-
Die bepaling van hoër orde afgeleides, dig ’n fluksie van ’n fluksie met elke
is op soortgelyke wyse as dx en dy fluksie wat slegs eerste orde infinitebepaal
en die infinitesimale betrokke simales bevat.
was ook van ’n hoër orde.
Die integraal is die som van oneindige Die integraal is ’n funksie wat uit sy
differensiale. gegewe fluksie bepaal moet word.
Hy het slegs ’n sekondêre belang in Oneindige reekse was sy gereedskap wat
oneindige reekse gehad. Hy het verkies hy elke dag gebruik het. Hy het
om met die geslote vorm van die funk- differensiale en integrale in terme van
sie te werk. reekse bereken.
Hy het gedurende 1672 tot 1676 aan die Hy het gedurende 1664 tot 1666
basis van sy differensiaal- en aan die basis van sy differensiaalintegraalrekening
gewerk. en integraalrekening gewerk.
Sy eerste publikasies oor differensiaal- Sy eerste publikasies oor differensiaalen
integraalrekening verskyn in 1684 en integraalrekening verskyn in 1687 en
en 1686. 1704 slegs as aanhangsels. Hy het meestal
sy verhandelinge slegs aan kollegas gewys.
Tabel A.1: Die belangrikste verskille tussen die werk van Newton en Leibniz.

Geskiedenis en Filosofie 121
A.3.11 Die Tydperk van Euler
Die 18 e eeu in wiskunde was ’n tyd van verstewiging en uitbreiding van die groot ontwikkelings
van die vorige eeu en van toepassings in wetenskaplike probleme. Die dominante
figuur van die tyd was Leonard Euler (1707-1783) wat die mees vrugbare wiskundige van
alle tye was. Hy het ’n versameling van ongeveer vyf-en-sewentig volwaardige volumes
agtergelaat. Die geweldige omvangrykheid en kreatiwiteit van sy fundamentele bydraes
tot beide wiskunde en toegepaste wiskunde, plaas hom ongetwyfeld op die kortlys van
onvergelykbare reuse in wiskunde: Archimedes, Newton, Gauss. (p. 268)
Euler is gebore en het groot geword in Basel, Switzerland, waar hy ook sy universiteitsopleiding
voltooi het op die ouderdom van vyftienjaar. Hy het sy professionele loopbaan
deurgebring by die koninklike akademies van St. Pietersburg (1727-1741 en 1766-1783) en
Berlyn (1741-1766). Sy pa, ’n predikant wat wiskunde onder James Bernoulli studeer het,
wou gehad het dat hy teologie moes navolg. Hyself het wiskunde onder John Bernoulli
studeer en besluit dat dit die rigting is waarin hy wou gaan. (p. 268)
James (1654-1705) en John (1667-1748) Bernoulli was die bekende Bernoulli-broers. Hulle
was in gereelde korrespondensie met Leibniz en het na sy publikasies in 1684 en 1686
gelyke medewerkers aan die verdere ontwikkeling van differensiaal- en integraalrekening
geword. Om die term “integraal” in plaas van “sommasie” te gebruik, was ’n voorstel
van James. Gedurende 1691 en 1692 skryf John twee kort, ongepubliseerde verhandelings
oor differensiasie en integrasie. Hy stem daarna in om die jong Marquis de l’Hôspital
(1661-1704) wiskunde, en meer spesifiek differensiaal- en integraalrekening, te leer en om
teen ’n gereelde salaris al sy wiskundige ontwikkelings aan Marquis te gee sodat hy dit
na sy eie goeddinke kon gebruik. In 1696 publiseer Marquis die eerste differensiaal- en
integraalrekening handboek getiteld Analyse des Infiniment Petits pour ll’intelligence des
Linges Coubes (Analise van die Oneindige Klein vir die Verstaan van Krommes). Hierdie
boek word vandag onthou vir die insluiting van ’n resultaat van Bernoulli bekend as
l’Hôspital se reël vir onbepaalde limiete: as f(x) en g(x) differensiëerbare funksies is met
f(a) = g(a) = 0, dan is
lim
x→a
f(x)
g(x) = lim
x→a
f ′ (x)
g ′ (x)
gegee dat die regterkantste limiet bestaan. (pp. 268-269)
L’Hôspital se boek was die eerste gedrukte handboek vir differensiaal- en integraalrekening,
maar dit was Euler se twee volume boek Introductio in Analysin Infinitorum van
1748 wat die weg gebaan het vir ’n nuwe tak in wiskunde nl. analise, naas algebra en
meetkunde. Analise het voortgevloei uit die konsep van ’n funksie en oneindige prosesse
(soos sommasie van reekse) en is ontwikkel vir die voorstelling en ondersoek van funksies.
In hierdie werkstukke is logaritmes en eksponente vir die eerste keer sistematies behandel.
Daar is ook ’n sistematiese behandeling van trigonometriese funksies as numeriese verhoudings
eerder as lynsegmente. Dit bevat ook ’n studie van die funksionale eienskappe
van die elementêre funksies deur middel van hulle oneindige reeksuitbreidings. Dit is ook
die eerste wiskunde handboek wat met gemak deur ’n moderne student wat nie noodwendig
Latyn kan verstaan nie, gelees kan word. Die terminologie en notasies wat hy
ingevoer het, word vandag nog gebruik. Hy skryf en publiseer nog twee boeke, nl. Institutiones
Calculi Differentialis in 1755 en die drie-volume Institutiones Calculi Integralis

122 Geskiedenis en Filosofie
gedurende 1768-1770. Hierdie drie boeke vorm die oorspronklike bron vir meeste van die
inhoud en metodes in moderne kursusse en handboeke in differensiaal- en integraalrekening.
(pp. 269-270)
In moderne wiskunde kursusse word ’n funksie van X na Y , waar X en Y versamelings
is van reële of komplekse getalle, as die reël wat aan elke element x in die versameling X
’n unieke element y in die versameling Y toeken, gedefinieer. Euler se Introductio was die
eerste werk waarin die funksie-konsep ’n sentrale en eksplisiete rol gespeel het. Funksies,
en nie krommes nie, was die sentrale onderwerp van studie. Dit het die verwiskundiging
van meetkunde moontlik gemaak en infinitesimale analise van meetkunde geskei. (p. 270)
Voorheen, in die 17 e eeuse infinitesimale analise, was krommes die sentrale onderwerp van
studie en is dit in die raamwerk van kartesiese meetkunde bestudeer. Die veranderlikes wat
geassosieer is met ’n kromme, was uitsluitlik meetkundige groothede nl. absisse, ordinate,
raaklyne, normale, booglengtes en segmente van krommes, oppervlaktes onder krommes,
ens. Die verband tussen hierdie groothede is dikwels beskryf in terme van vergelykings.
Hierdie veranderlikes was egter primêr beskou as geassosieer met die kromme self, eerder as
met mekaar. Hulle was dus nie beskou as afhanklik van ’n enkele onafhanklike veranderlike
nie. (p. 270)
Leibniz het die woord “funksie” in wiskunde ingevoer as die term wat na al die meetkundige
groothede wat met ’n kromme geassosieer word, verwys: hulle was die “funksies” van die
kromme. Soos wat die klem geleidelik verskuif het na die formules en vergelykings wat
die funksies van die kromme in verband gebring het met mekaar, is die aandag meer
gevestig op hul rol as simbole in hierdie vergelykings. Dit is veranderlikes wat afhanklik
is van ander veranderlikes en konstantes en nie meer eksplisiet van die kromme self nie.
Hierdie geleidelike klemverskuiwing het uiteindelik gelei tot die definisie van ’n funksie
soos gegee in Euler se Introductio: ’n funksie van ’n veranderlike grootheid is ’n analitiese
uitdrukking wat op enige manier saamgestel is uit hierdie veranderlike en uit getalle of
konstante groothede. (p. 271)
Euler se toelaatbare operatore vir die samestelling van analitiese uitdrukkings was standaard
algebraïese operatore soos optelling, aftrekking, vermeningvuldiging, deling, magsverheffing
en worteltrekking, en verskeie abstrakte prosesse soos die neem van limiete, somme
van oneindige reekse, oneindige produkte, ens. Op hierdie basis het hy infinitesimale
analise so goed versimboliseer dat daar nie een enkele meetkundige skets in Volume I van
sy Introductio verskyn het nie. Volume II handel oor analitiese meetkunde. (p. 271)
In die voorwoord van Institutiones Calculi Differentialis gee hy ’n meer uitgebreide definisie
vir ’n funksie wat feitlik ekwivalent aan moderne definisies vir funksies is: indien
sekere groothede so afhanklik is van ander groothede dat die eersgenoemde verander wanneer
die laasgenoemde verander, word die eersgenoemde ’n funksie van die laasgenoemde
genoem. Hierdie benaming is in die wydste sin en sluit elke metode in waarvolgens een
grootheid deur ’n ander bepaal kan word. Indien x ’n veranderlike grootheid voorstel, dan
is alle groothede wat afhanklik is van x op enige manier of deur x bepaal word, funksies
van x. (p. 271)
Euler het sonder huiwering die bestaan van beide oneindig groot en oneindig klein aanvaar
en gebruik. Hy het oneindige reekse vir die elementêre funksies soos die logaritmiese,
eksponensiale, sinus, cosinus, ens. funksies, afgelei sonder om differensiaal- en integraal-

Geskiedenis en Filosofie 123
rekening te gebruik. Hy het dan hierdie reekse gebruik om die Leibniziaanse differensiale
vir die funksies af te lei. In die afleiding van die reekse het hy komplekse getalle op ’n
gelyke voet met reële getalle gebruik. Die notasie i = √ −1 het hy eers heelwat later in
sy loopbaan bekendgestel. (p. 272)
Voor Euler se tyd was sinusse en cosinusse lengtes van lynsegmente relatief tot ’n eenheidsirkel.
Die sinus van die hoek A was die helfte van die koord van die sirkel wat ’n
middelpuntshoek 2A onderspan het, en die cosinus van A die lengte van die lyn vanaf
die middelpunt van die sirkel loodreg op die koord. In Introductio het Euler trigonometriese
funksies soos volg gedefinieer: sin x en cos x dui die sinus en cosinus aan van die
middelpuntshoek in ’n eenheidsirkel wat ’n boog met lengte x onderspan, dus sin x en
cos x is die sinus en cosinus van ’n hoek van x radiale in ’n sirkel met radius een. Die
fundamentele trigonometriese identiteit volg dan onmiddelik: sin 2 x + cos 2 x = 1. Euler
het ook dadelik die periodiese aard van die sinus en cosinus raakgesien en voortgegaan
om die ander standaard trigonometriese formules vir bv. sin(x + y), af te lei. Euler se
definisie en afleidings is die definisie afleidings wat vandag gebruik word. (p. 275)
Vroeg in die 18 e eeu was daar ’n geskilpunt tussen Leibniz en John Bernoulli oor die
bestaan en betekenis van logaritmes van negatiewe en komplekse getalle. Euler het hierdie
geskilpunt uitgeklaar in ’n artikel wat in 1749 gepubliseer is, wat spesifiek oor hierdie
onderwerp gehandel het. (p. 280)
Vroeg in die 18 e eeu het verskeie persone raakgesien dat die reeks-uitbreidings van die
elementêre funksies almal spesiale gevalle van die algemene uitbreiding wat vandag as
die Taylor-reeks bekendstaan, is. Dit is so genoem omdat dit vir die eerste keer deur
Brook Taylor (1685-1731) gepubliseer is in sy Methodus Incrementorum van 1715. Die
ontwikkeling van hierdie algemene benadering tot oneindige reekse, het nou saamgeloop
met die ontwikkeling van interpolasie metodes. (p. 287)
Interpolasie metodes is ontwikkel om tussen die waardes in tabelle, soos logaritme- en
trigonometrie-tabelle, te interpoleer. Hierdie behoefte het gedurende die 17 e eeu ontstaan
om die geweldige werk wat gepaard gegaan het met die opstel van tabelle deur direkte
berekeninge, te verminder. Met goeie, akkurate interpolasie metodes, was dit slegs nodig
om enkele waardes direk te bereken. Die ander waardes kon dan deur interpolasie ingevoeg
word. Metodes vir meer akkurate interpolasies, gaan so ver terug as Briggs se berekeninge
van logaritmes in 1640. Die eerste gepubliseerde afleiding van ’n interpolasie formule het
in Newton se Methodus Differentialis van 1711 verskyn. (pp. 281-283)
Differensiaal- en Integraalrekening het die 18 e eeu ingegaan met groot gapings en onsekerhede
in sy logiese fondamente. Dit het egter nie die snelle ontwikkeling van berekeningsmetodes
vir differensiaal- en integraalrekening verhinder nie. Integrasie is bloot gesien
as die omgekeerde van differensiasie. In die 1754 artikel Differéntiel van Jean d’Alembert
(1717-1783) het hy die afgeleide eksplisiet gedefinieer as die limiet van ’n kwosiënt van
inkremente eerder as die kwosiënt van differensiale (Leibniz) of fluksies (Newton). (p.
292)
Joseph Louis Lagrange (1736-1813) het in 1797 ’n omvattende, uitgebreide ontwikkeling
van differensiaal- en integraalrekening gepubliseer wat bedoel was om alle verwysings na
differensiale, infinitesimale en limiete, uit te skakel. Dit was egter nie suksesvol nie. Hy
het wel die resterm van die Taylorreeks afgelei. Sy afleiding van die Taylorreeks word

124 Geskiedenis en Filosofie
vandag gebruik. Hierdie werk het ’n goeie fondament vir die Taylorreeks gelê en die
behoefte vir die studie van die basiese eienskappe van kontinue funksies, uitgewys. (pp.
296, 299)
A.3.12 Differensiaal- en Integraalrekening volgens Cauchy, Riemann
en Weierstrass
Volgens Euler word ’n funksie gedefinieer deur een en dieselfde analitiese uitdrukking op
sy hele definisieversameling. Hierdie spesifieke definisie, veral die feit dat dit uit slegs een
uitdrukking bestaan, is bevraagteken deur Euler, d’Alembert en Daniel Bernoulli (1700-
1782), seun van John Bernoulli, tydens besprekings oor die aard van funksies wat ontstaan
uit die integrasie van parsiële differensiaalvergelykings, bv. die parsiële differensiaalvergelykings
wat die beweging van ’n vibrerende snaar voorstel. (p. 301)
Die laat 18 e eeuse siening van ’n funksie, wat hoofsaaklik voortgevloei het uit die probleem
van die vibrerende snaar, is soos volg: ’n funksie is kontinu indien dit dieselfde analitiese
uitdrukking oor sy hele definisieversameling het; ’n funksie is diskontinu indien dit by
sekere geïsoleerde punte nie glad is nie (dus van uitdrukking verander) of indien daar
nie ’n analitiese uitdrukking bestaan om die funksie te beskryf nie - vryhand krommes.
In kontras hiermee het moderne diskontinuïteit eerder te doen met nie-aangrensendheid.
Louis Arbogast (1759-1803) het onderskei tussen diskontinu en nie-aangrensend. Hy het
gesê ’n funksie kan op twee maniere diskontinu wees. Eerstens kan dit van uitdrukking
verander, selfs in elke punt (vryhand), en tweedens, kan dit ’n sprong maak en dan is dit
nie-aangrensend. (pp. 302-303)
Joseph Fourier (1768-1830) het in sy boek Theorie Analytique de la Chaleur (Analitiese
Teorie van Hitte), gepubliseer in 1822, die metode van trigonometriese reekse uitgebrei
na ’n veelomvattende algemene teorie. Ongeveer ’n half eeu vroeër het Euler en Bernoulli
hierdie metode toegepas op geïsoleerde spesiale gevalle in hulle werk op vibrerende snare.
In die metode moes integrale van funksies wat diskontinu (nie-aangrensend) is, bereken
word. Die bekendstelling van Fourierreeks-tegnieke het in wese die hantering van kontinue
en diskontinue funksies op gelyke voet afgedwing en gevra na die ontwikkeling van ’n
integrasie-teorie vir diskontinue funksies. (pp. 304-307)
In die laaste hoofstuk van Theorie Analytique de la Chaleur gee Fourier die volgende
algemene formulering van die funksie-konsep wat baie ooreenstem met die moderne konsep
van ’n funksie: In die algemeen verteenwoordig die funksie f(x) ’n opeenvolging van
waardes toegeken aan die absis x. Daar is ’n gelyke aantal ordinate f(x) en absisse
x. Die ordinate is nie noodwendig onderwerp aan ’n gemeenskaplike vergelyking nie, en
volg mekaar op op enige manier asof elkeen ’n enkele grootheid is. Die opeenvolging van
ordinate kan kontinu wees, maar dit is nie ’n noodwendigheid nie. (p. 307)
Die meeste van die funksies wat Fourier gebruik het, was op hul “ergste” stuksgewys
glad met enkele punte waar die funksie nie-aangrensend is. Die eerste “regte” diskontinue
funksie is gedefinieer deur Peter Lejeune-Dirichlet (1805-1859) in ’n artikel gepubliseer in
1829, nl. f(x) = c indien x ’n rasionale getal is en f(x) = d indien x ’n irrasionale getal
is, met c en d konstantes ongelyk aan mekaar. Hierdie funksie is orals diskontinu. (pp.
307-308)

Geskiedenis en Filosofie 125
Die presiese formulering van die moderne konsep van kontinuïteit is vir die eerste keer
gegee deur Bernard Bolzano (1781-1848). Hy het kontinuïteit soos volg gedefinieer: indien
x enige element van ’n bepaalde interval is, dan is f(x) kontinu op daardie interval indien
die verskil f(x + ω) − f(x) kleiner gemaak kan word as enige ander gegewe waarde,
as ω klein genoeg is. Dus, in terme van limiete, is f(x) kontinu op ’n interval indien
limω→0 f(x + ω) = f(x) vir elke x in die interval. (p. 308)
Augustin-Louis Cauchy (1789-1857) was ’n dominante wiskundige figuur in Parys. Vandag
word die begin van die moderne era van streng wiskundige bewyse dikwels aan Cauchy
toegeskryf. Hy het drie puik handboeke geskryf, nl. Cours d’Analyse (1821), Resume
des Leqons sur le Calcul Infinitesimal (1822) en Leqons sur le Calcul Differentiel (1829).
Hierdie was die eerste boeke om ’n volledige, streng afleiding vir wiskunde analise as
hoofdoel, te vestig. Hy het definisies geformuleer en daaruit het stellings en die bewyse
van stellings gevolg. Sy uitleg van die analise van differensiaal- en integraalrekening word
vandag nog gevolg. (p. 309)
Cauchy se werk was die eerste uitgebreide behandeling van wiskunde analise gebaseer op
die uitkoms van ’n duidelike definisie van die limietbegrip. Die definisie van die limiet
het ’n nuwe definisie vir die infinitesimaal moontlik gemaak, nl. ’n veranderlike met nul
as limiet. ’n Infinitesimaal is dus ’n afhanklike veranderlike of funksie α(h) wat na nul
nader as h → 0. Dit is in teenstelling met die vroeëre definisie van ’n infinitesimaal as ’n
oneindige klein vaste getal wat tot baie verwarring en geskille gelei het. (p. 310)
In die tweede hoofstuk van Cours d’Analyse gee Cauchy ’n definisie vir die kontinuïteit
van ’n funksie soortgelyk aan die definisie van Bolzano. Hy stel en bewys die tussenwaardestelling:
as f(x) kontinu is op die interval [a, b], en N is ’n getal tussen f(a) en
f(b), dan bestaan daar ten minste een punt c in die interval (a, b) sodat f(c) = N. In
die sesde hoofstuk gee hy die eerste sistematiese uiteensetting van die konvergensie van
oneindige reekse, met die stel en bewys van die verhouding- en worteltoets daarby. (pp.
310-312)
In vorige weergawes van differensiaal- en integraalrekening is die differensiaal as die fundamentele
konsep beskou. Die afgeleide van y = f(x) was beskou as die differensiasie
koëffisiënt in die uitdrukking dy = f ′ (x)dx. Cauchy, daarenteen, het die afgeleide
gedefinieer as die limiet van ’n verskilkwosiënt (soos dit vandag algemeen gegee word):
f ′ △y f(x + h) − f(x)
(x) = lim = lim
.
△x→0 △x h→0 h
Hy het ook die kettingreël vir die bepaling van afgeleides van saamgestelde funksies gegee.
Hoewel die reël voorheen al deur ander bv. Newton, gegee is, is dit hier in sy werk vir die
eerste keer na verwys as die “kettingreël”. (pp. 312-313)
Daar is drie uitstaande kenmerke van Cauchy se differensiaal- en integraalrekening wat
die patroon neergelê het vir soortgelyke uiteensettings, nl. die eksplisiete formulering
van kontinuïteit en differensiasie in terme van limiete, die sentrale rol toegeken aan die
middelwaardestelling, en die definisie van die integraal en die bewys van die hoofstelling
van differensiaal- en integraalrekening. (pp.313-314)
Vandag word die middelwaardestelling soos volg gestel: as f op ’n interval [a, b] kontinu
is en differensieerbaar is op ’n interval (a, b), dan is
f(b) − f(a) = f ′ (c)(b − a)

126 Geskiedenis en Filosofie
vir ’n c ∈ (a, b); en volgens die Rolle se stelling bewys. ’n Onmiddelike gevolg van die
middelwaardestelling is dat indien die afgeleide positief is, dan styg die funksie. Vir
’n negatiewe afgeleide daal die funksie en vir ’n afgeleide gelyk aan nul is die funksie
konstant. In teenstelling hiermee begin Cauchy sy aanloop tot die middelwaardestelling
deur die betekenis van die teken van die afgeleide van die funksie te ondersoek. Hy gee
dan die “algemene middelwaardestelling” as volg: As f(x) en g(x) twee funksies is met
kontinue afgeleides op die interval [a, b] en g ′ (x) = 0 vir x ∈ (a, b), dan is
f(b) − f(a)
g(b) − g(a) = f ′ (c)
g ′ (c)
vir ’n c ∈ (a, b). Hy gebruik hierdie weergawe van die middelwaardestelling om l’Hôspital
se reël af te lei. (pp. 314-315)
In die 18e eeu is die integraal as die inverse van die afgeleide beskou. Cauchy was die
eerste om die noodsaaklikheid van ’n algemene definisie en bewys vir die bestaan van die
integraal vir ’n breë klas van funksies, aan te spreek. Dit kan dan as ’n basis dien vir die
bespreking van spesifieke integrale en hulle eienskappe. Hy het (in ’n artikel van 1823)
die bepaalde integraal as die limiet van die som van reghoeke waarvan die breedte na
nul nader, gedefinieer. Hierdie definisie, wat later deur Riemann voltooi is, word vandag
gebruik. Cauchy het in wese die algemene teorie van integrasie van kontinue funksies op
geslote intervalle, voltooi. Hy het ook integrale van funksies met geïsoleerde oneindige
diskontinuïteite beskou. (pp. 317-318) Dit is tot op hierdie vlak wat u integrasie op
eerstejaarsvlak bestudeer.
Egte diskontinue funksies het deel geword van die hoofstroom wiskunde deur die werk wat
Georg Friedich Bernhard Riemann (1826-1866) op Fourierreekse gedoen het. Hy het die
veralgemening van Cauchy se definisie vir ’n integraal geformuleer. Hierdie formulering is
tot vandag toe nog die mees geskikte en bruikbare vorm vir elementêre toepassings van
differensiaal- en integraalrekening. (p. 322)
Peano het in ’n boek gepubliseer in 1887 die eerste formele definisie van oppervlakte
gegee. Hy het dit in terme van ’n binne-oppervlak en ’n buite-oppervlak gedoen. Die
binne-oppervlak van S is die kleinste bogrens van die oppervlaktes van alle veelhoeke wat
in S bevat is en die buite-oppervlak van S is die grootste ondergrens van die oppervlaktes
van alle veelhoeke wat S bevat. (p. 327)
Die differensiaal- en integraalrekening van Newton en Leibniz was ’n differensiaal- en
integraalrekening van meetkundige veranderlikes, van groothede eksplisiet geassosieer met
meetkundige krommes en meeste van hul analises en oplossings afhanklik van intuïtiewe
meetkundige konsepte. Euler, Lagrange en Cauchy het probeer om analise slegs op rekenkundige
beginsels te grond - nie meetkundige intuïsie nie. Dit was egter nie suksesvol nie
want reële getalle is nog slegs intuïtief verstaan. ’n Volledige en uitgebreide begrip van die
reële getallestelsel was nodig om ’n vaste fondament vir differensiaal- en integraalrekening
te verskaf. Sekere eienskappe van reële getalle is nodig om sekere hoofstellings te bewys.(p.
329)
In die differensiaal- en integraalrekening van die 19e eeu was daar nie net logiese gapings
nie, maar sekere foute ook. Daar is bv. algemeen aanvaar dat alle kontinue funksies
orals, behalwe miskien vir ’n paar geïsoleerde, singuliere punte, differensieerbaar is. Karl
Weierstrass (1815-1897) het in 1861 ’n voorbeeld van ’n funksie wat orals kontinue is en

Geskiedenis en Filosofie 127
nêrens differensieerbaar, gewys. Hierdie voorbeeld het die noodsaaklikheid om die fondamente
van differensiaal- en integraalrekening weer te ondersoek, uitgewys. Wat spesifiek
nodig was, was ’n goed gedefinieerde getallestelsel waarin die bestaan en eienskappe van
irrasionale getalle streng bewys is. (p. 329)
Die jaar 1872 is gekenmerk deur die byna gelyktydige publikasie van die konstruksie van
die reële getalle deur Richard Dedekind (1831-1916), Georg Cantor (1845-1918), Charles
Meray (1835-1911) en Edward Heine (1821-1881). Weierstrass het ’n vroeëre konstruksie
tydens sy Berlynlesings gegee. Die konstruksies van Dedekind en Cantor word vandag
gebruik. In kort bestaan die stelsel uit die rasionale en irrasionale getalle wat saam die
reële getalle vorm. Die reële getalle gehoorsaam alle algebraïese reëls. Die streng bewys
van die volledigheid van die reële getalle speel ’n sleutelrol in infinitesimale analise.
Die laaste los draadjie is gebind deur Weierstrass se suiwer wiskundige formulering van
die limietbegrip: die limx→a f(x) = L as daar vir elke ǫ > 0 ’n δ > 0 bestaan sodanig
dat |f(x) − L| < ǫ wanneer 0 < |x − a| < δ. Met die verskeie tipes van limiete wat in
differensiaal- en integraalrekening voorkom, herformuleer op hierdie wyse, was die verwiskundiging
van analise volledig. Differensiaal- en integraalrekening het presies die vorm
aangeneem soos dit vandag in die 20 e (21 e ) eeuse uiteensettings voorkom. (pp. 330-333)
A.3.13 Die Twintigste Eeu
Daar is twee 20 e eeuse ontwikkelings wat op verskillende wyses bygedra het om die geskiedkundige
ontwikkeling van differensiaal- en integraalrekening te voltooi. Die eerste was
Henri Lebesgue (1875-1941) se uitgebreide teorie van integrasie wat die fundamentele veralgemening
van die konsep van die integraal vir reëlwaardige funksies gevorm het. Die
tweede was die nie-standaard analise van Abraham Robinson (1918-1974) wat ’n logiese
fondament vir die infinitesimale soos wat dit in die 17 e en 18 e eeu gebruik is, verskaf het.
(p. 335)
Die hoofstelling van differensiaal- en integraalrekening gee ’n algemene formulering van
die inverse verband tussen differensiasie en integrasie. Die afgeleide van die integraal van
’n funksie is x
d
f(t)dt = f(x)
dx a
en die integraal van die afgeleide van x ’n funksie is
f ′ (t)dt = f(x) − f(a).
a
Die status van die hoofstelling in die integrasie teorie van Cauchy was bevredigend aangesien
hy slegs met kontinue funksies gewerk het. Met Riemann se meer algemene definisie
van ’n integraal wat diskontinue funksies ingesluit het, is die bogenoemde stelling nie meer
algemeen geldig nie. Lebesgue het ’n nuwe teorie vir integrasie in 1902 in sy doktorale
proefskrif bekendgestel en uitgebrei in sy boek Leqons sur l’Integration et al Recherche
des Fonctions Primitives van 1904 en daaropvolgende artikels. (pp. 335-336) Volgens
Lebesgue se nuwe integrasie teorie is die volgende funksie integreerbaar en kan die integraal
bepaal word:
1, x ’n rasionale getal
f(x) =
0, x ’n irrasionale getal
Indien u analise tot op derdejaarsvlak gaan neem, sal u leer hoe om die integraal van
hierdie funksie te bepaal.

128 Geskiedenis en Filosofie
Sedert Weierstrass is alle studente geleer dat infinitesimale nie bestaan nie en nie in formele
wiskunde genoem of gebruik moet word nie. In 1960 het Abraham Robinson bewys dat
dit bestaan en dat dit gebruik kan word om te dien as basis vir ’n alternatiewe, streng,
wiskundig korrekte ontwikkeling van differensiaal- en integraalrekening. Sy ontwikkel
van differensiaal- en integraalrekening is uiteengesit in sy boek Non-standard Analysis
van 1966. In 1976 het ’n handboek Elementary Calculus oor nie-standaard differensiaalen
integraalrekening deur H. J. Keisler, verskyn. Hy het ook die boek Foundations of
Infinitesimal Calculus oor dieselfde onderwerp geskryf. (p. 341)
Die werk wat in u differensiaal- en integraalrekeninghandboek behandel word, kom dus ’n
lang pad. Te danke aan volhardende werk deur wiskundiges oor baie eeue heen, is daar
nou relatief maklike wiskundige metodes, gebaseer op ’n goeie, fundamentele wiskundige
grondslag, beskikbaar om probleme op te los.
En nog is dit nie die einde nie. Vandag werk wiskundiges steeds onverpoos voort aan die
verdere ontwikkeling en uitbreiding van analise.
Hierdie is slegs ’n baie kort uittreksel uit die geskiedenis van wiskunde. Daar is ook vele
wiskundiges wat onmisbare bydraes gelewer het, wat nie hier genoem is nie. Hieronder
volg ’n lys van boeke wat die geskiedenisprentjie verder inkleur.
A.3.14 Vir Verdere Leeswerk
1. BALL, W.W.R. 1915. The history of mathematics. London : Macmillan. 536 p.
2. BELL, E.T. 1945. The development of mathematics. New York, N.Y. McGraw-Hill.
637 p.
3. BHANU, M.T.S. 1993. A modern introduction to ancient Indian mathematics New
Delhi : Wiley Eastern. 214 p.
4. BOYER, C.B. 1991. A history of mathematics. New York, N.Y. : Wiley, 715 p.
5. BUNT, L.N.H. 1976. The historical roots of elementary mathematics. Englewood
Cliffs, N.J. : Prentice-Hall. 299 p.
6. CAJORI, F. 1953. A history of mathematics. New York : Macmillan. 516 p.
7. DANTZIG, T. 1955. The bequest of the Greeks. London : Allen and Unwin. 191
p.
8. EWING, J. 1994. A century of mathematics : through the eyes of the Monthly.
Washington, DC : Mathematical Association of America. 323 p.
9. FIELD, J.V. 1997. The invention of infinity : mathematics and art in the Renaissance
Oxford : Oxford University Press. 250 p.
10. GROZA, V.S. 1968. A survey of mathematics : elementary concepts and their
historical development. New York, N.Y. : Holt, Rinehart and Winston. 327 p.

Geskiedenis en Filosofie 129
11. HEATH, T.L. 1910. Diophantus of Alexandria : a study in the history of Greek
algebra. Cambridge, Cambridgeshire : Cambridge University Press. 387 p.
12. KLINE, M. 1961 Mathematics in Western culture. New York, N.Y. Oxford University
Press. 484 p.
13. KLINE, M. 1972. Mathematical thought from ancient to modern times. New York,
N.Y. Oxford University Press. 1238 p.
14. KLINE, M. 1980. Mathematics, the loss of certainty. New York, N.Y. Oxford
University Press. 366 p.
15. KRAMER, E.E. 1988. The main stream of mathematics. Princeton Junction, N.J.
Scholar’s Bookshelf. 321 p.
16. LIBBRECHT, U. 1973. Chinese mathematics in the thirteenth century : the Shushu
chiu-chang of Ch’in Chiu-shao. Cambridge, Mass. : MIT Press. 555 p.
17. NEUGEBAUER, O. 1969. The exact sciences in antiquity. New York : Dover
Publications. 240 p.
18. RASHED, R. 1994. The development of Arabic mathematics : between arithmetic
and algebra. Dordrecht : Kluwer Academic. 372 p.
19. SANFORD, V. 1930. A short history of mathematics. London : Harrap. 402 p.
20. SCHAAF, W.L. 1948. Mathematics our great heritage : essays on the nature and
cultural significance of mathematics. New York, N.Y. : Harper. 291 p
21. SMITH, D.E. 1929. A source book in mathematics. New York, N.Y. : McGraw-Hill.
701 p.
22. STILLWELL, J. 2002. Mathematics and its history. New York : Springer. 542 p.
23. STRUIK, D.J. 1948. A concise history of mathematics. New York, N.Y. : Dover.
299 p.
24. VAN DER WAERDEN, B.L. 1975. Science awakening I. Princeton Junction, N.J.
Scholar’s Bookshelf. 306 p.
A.4 Die Lewe en Werk van Leonhard Euler
A.4.1 Kort Geskiedenis
Leonhard Euler is gebore op 15 April 1707 in Basel, Switserland. Hy kom uit ’n geslag van
vakmanne. Sy pa was ’n predikant van die Protestante Evangelies Gereformeerde Kerk.
Hy het saam met Johan Bernoulli wiskunde onder Jacob Bernoulli, Johan se ouer broer,
studeer. Sy ma was Margareta Brucken, ’n dogter van ’n predikant. Hy het twee jonger

130 Geskiedenis en Filosofie
susters, Anna Maria en Maria Magdalena gehad. Hulle het groot geword in Richen in die
platteland. (James, 2002:1-2)
Aanvanklik is hy tuis onderrig, maar later het hy skoolgegaan in Basel. In Basel het hy by
sy ouma aan sy ma se kant, gebly en die Latynse skool, wat geen wiskunde aangebied het
nie, bygewoon. Hy het gematrikuleer in 1720 op dertienjarige ouderdom. Daarna het hy
ingeskryf by die Fakulteit Filosofie van die Universiteit van Basel. Hy neem en slaag alle
moontlike vakke en gradueer in 1722 op vytienjarige ouderdom. In daardie selfde jaar het
hy aansoek gedoen om professorskappe in logika en regte, maar was egter nie suksesvol
nie. (James, 2002:2)
In 1723 het hy, volgens die wense van sy pa, na die Fakulteit Teologie oorgegaan. Dis eers
gedurende daardie tyd wat hy ernstiglik wiskunde begin studeer het. Hy het egter geen
formele opleiding in wiskunde ontvang nie. Hy het op sy eie wiskundeboeke en -handboeke
gelees. Hy is wel bygestaan deur Johan Bernoulli wat op daardie stadium professor was
aan dieselfde universiteit. Hy en Daniel Bernoulli, die seun van Johan en sewe jaar ouer
as hy, het met die tyd goeie en behoudende vriende geword. (James, 2002:2)
Hy het sy meestersgraad in 1724 voltooi. In sy verhandeling het hy die natuurlike filosofie
van Descartes met diè van Newton vergelyk. Onderleiding van Johan Bernoulli het hy
goed in wiskunde begin vorder. Dit was dan ook Johan Bernoulli wat sy pa oortuig het dat
sy roeping eerder in wiskunde as in die teologie, geleë is. In die volgende twee jaar, terwyl
hy werk gesoek het, het hy sy eerste wiskundige werkstuk wat oor die teorie van akostiek
gehandel het, geskryf. Dit was vir ’n kompetisie wat geloods is deur die Académie Royale
des Sciences in Parys (in kort Parys Akademie). Hierdie kompetisies is gewoonlik deur
die koninklike akademies van daardie tyd, veral Parys en Berlyn, uitgeskryf en geborg.
Die doel van die kompetisies was om oplossings te vind vir bestaande vraagstukke en
probleme. Enige persoon kon inskryf en sodoende is ook geleentheid gebied aan jong
navorsers om bydraes te lewer tot nuwe velde. Die naam van die skrywer het die werkstuk
in ’n verseëlde koevert vergesel en is eers na die beoordeling bekend gemaak. (James,
2002:3)
Met die hulp van Johan Bernoulli het hy aansoek gedoen vir die vakante professorskap in
Fisika, maar is afgewys, deels as gevolg van sy jong ouderdom. Daniel Bernoulli het in die
tussentyd ’n seniorpos by die nuutgestigte Keiserlike Russiese Akademie vir Wetenskap
in St. Petersburg (in kort St. Petersburg Akademie) aanvaar. Hy het Euler gehelp om
twee jaar later, in 1727, ’n juniorpos in die mediese afdeling van die Akademie te kry. Hy
moes toe eers ’n paar maande gebruik om anatomie en fisiologie te bestudeer. Hy het
later as permanente persooneellid na wiskunde oorgeskuif. Hy en Daniel Bernoulli het
saamgewerk aan hidrodinamika-probleme.
Euler se aankoms in Rusland het min of meer saamgeval met die dood van Catherine die
Eerste wat probeer het om die vooruitstrewende politiek van haar oorlede eggenoot, die
gedugte Tsaar Peter die Grote, te handhaaf. Haar dood is gevolg deur ’n tyd van algemene
haat en onverdraagsaamheid. Na ses jaar in St. Petersburg is Daniel terug Basel toe.
Euler het hom opgevolg as die hoof van die wiskunde afdeling van die Akademie. In
dieselfde jaar is hy getroud met Catharina Gsell, dogter van ’n Switserse kunstenaar wat
op daardie stadium werksaam was in Rusland. Hulle het in ’n gemaklike, ruim huis langs
die Nevarivier gewoon. (James, 2002:3,4)

Geskiedenis en Filosofie 131
Euler en sy gesin het vir veertien jaar in St. Petersburg gebly. Gedurende daardie tyd
het hy elke jaar vir die kompetisie van die Parys Akademie ingeskryf en het twaalf van
die veertien keer gewen. Dis ook gedurende hierdie tydperk wat hy die gebruik van sy
regteroog verloor het as gevolg van kliertuberkulose. (James, 2002:4)
Na die dood van die Ryksbestuurder Anna Leopoldovna, die ma van baba Tsar Ivan
die Sesde, het die politieke toestand in Rusland weereens versleg. In 1741 het Euler ’n
uitnodiging van Frederik die Grote, die koning van Pruise, om na die Pruise Koninklike
Akademie vir Wetenskap (in kort Berlyn Akademie) in Postdam oor te gaan, aanvaar. Op
daardie stadium het hy ’n dubbele salaris ontvang aangesien die St. Petersburg Akademie
hom ’n pensioen betaal het. Hy het gevolglik nog sekere verpligtinge teenoor die St.
Petersburg Akademie gehad. (James, 2002:4)
Hulle het eers in Behrenstrasse in Postdam gebly en later verhuis na Charlottenburg net
buite die stad. Hulle het vir 25 jaar in Pruise gewoon. Gedurende daardie tyd het hy
onder andere privaat wetenskaplesse aan een van die koning se niggies, die Prinses van
Anhalt-Dessau, gegee. Hierdie lesse het ongetwyfeld tot die gewildheid van wetenskap
gelei. (James, 2002:5)
Frederik die Grote het wetenskap as dienaar van die staat beskou. Vir hom het die
belangrikheid daarvan in verdere tegnologiese vooruitgang gelê en nie soseer in basiese
navorsing nie. Hy het min kennis van teoretiese wetenskap of wiskunde gehad en het die
prestasie van wetenskaplike bevindinge gemeet aan die onmiddelike sukses daarvan in die
praktyk en veral in millitêre toepassings. Die probleme wat hy aan die wiskundiges van
die Akademie gegee het om op te los, was egter nie ondoenbaar of tydrowend nie. Die
gevolg was dat daar baie tyd oorgebly het vir (basiese) navorsing van hul eie keuse. Op
daardie stadium het Euler hom as die gelukkigste man in die hele wêreld beskou, want
hy kon doen net wat hy wou - in navorsing. Dit het egter nie lank gehou nie. (James,
2002:5)
Die Franse wetenskaplike Pierre Maupertius wat hoof was van die Akademie, is in 1759
oorlede. Euler het hom opgevolg, maar onder direkte toesig van die koning. Die koning,
Frederik die Grote, het hom nie volkome vertrou nie en het hom oorlaai met onnodige
akademiese werk en praktiese take. Daar het maar min tyd oorgebly vir navorsing. Euler
het dit as ’n inbreuk op sy akademiese vryheid beskou. Die koning het ook, al was hy vir die
meeste van die tyd gedurende die Sewe Jare Oorlog afwesig vanaf Berlyn, baie ingemeng in
die administrasie van die Akademie, onder andere in die maak van professionele afsprake.
Dit het uiteindelik tot die vervreemding van hul verhouding gelei. Euler het in onguns by
die koning verval wat op hom neergesien het en na hom verwys het as “sy eenoog”. In
1766 op nege-en-vyftigjarige ouderdom het hy en sy gesin Berlyn verlaat tot die misnoeë
van die koning. Hulle is terug Rusland toe en hy het weer by die St. Petersburg Akademie
aangesluit. (James, 2002:5-6)
Op daardie stadium het Catherine die Grote, van Duitse oorsprong, op Rusland se troon
gesit. Sy was baie gulhartig teenoor Euler. Hy en sy gesin het vir sewe jaar tot en met
sy dood daar gewoon. Aan die begin het dit maar sleg gegaan en het hulle ’n hele paar
teëspoede beleef. Hulle huis het afgebrand en hulle het amper al hulle besittings verloor.
Hy het ook amper heeltemal blind geword as gevolg van ’n mislukte operasie om ’n katarak
van sy goeie linker-oog te probeer verwyder. Hy het gelukkig ’n geweldige goeie geheue

132 Geskiedenis en Filosofie
gehad. Dit was alombekend dat hy ingewikkelde berekeninge in sy kop kon doen. Dit
was dan ook sy goeie geheue wat hom gehelp het om sy blindheid te oorkom en aan te
gaan. Hierdie laaste sewe jaar van sy lewe was dan ook sy vrugbaarste jare wat wiskunde
betref. (James, 2002:6)
Sy eerste vrou Catharina is in 1776 oorlede. Hulle het altesaam dertien kinders gehad
waarvan drie seuns en twee dogters hulle vroeëre kinderjare oorleef het. Hy was baie
lief vir kinders en daar het gereeld ’n kind op sy skoot gesit terwyl hy wiskunde gedoen
het. In 1777 is hy met Catharina se half-sister, Salome Abigail Gsell, getroud. Hy is
op 18 September 1783 in die ouderdom van ses-en-sewentig aan ’n beroerte oorlede. Hy
was egter ’n baie energieke persoon wat tot die dag van sy dood voluit geleef het. Die
dag waarop hy oorlede is, het hy nog ’n wiskunde les aan ’n kleinkind van hom gegee,
berekeninge gedoen oor die opstyging van lugbalonne en ’n bespreking gehou saam met
sy assistent oor die baan van die nuutontdekte Uranus. (James, 2002:6)
A.4.2 Bydraes tot Wiskunde en Wetenskap
Euler se akademiese beroepsloopbaan kan in drie gedeeltes verdeel word, nl. die eerste
veertien jaar aan die St. Petersburg Akademie, vyf-en-twintig jaar aan die Berlyn Akademie
en die laaste sewe jaar weer aan die St. Petersburg Akademie.
Gedurende die eerste veertien jaar in St. Petersburg het hy elementêre en gevorderde
handboeke vir gebruik in Russiese skole, geskryf. Hy het ook baie praktiese probleme
opgelos wat deur die Russiese regering aan hom gegee is. As professor in wiskunde was
hy ook in beheer van die geografie departement. Hy is die taak opgelê om ’n kaart van
die land op te stel. Sy bekendste werk van daardie tyd was die formulering en oplossing
van die probleem van die sewe brûe van Königsberg. Dit was die begin van die tak van
wiskunde bekend as grafiekteorie. (James, 2002:4)
Hy het ook ’n verhandeling met die titel Mechanica geskryf waarin hy wiskunde analise
toegepas het op Newtoniaanse dinamika. In daardie tyd het hy ongeveer 90 werke vir
publikasie geskryf. Hy het ook heelwat aantekeninge geskryf oor verskeie belangrike idees
vir latere ontwikkeling. Soos reeds genoem, het hy elke jaar ingeskryf vir die Parys
Akademie se kompetisie en twaalf van die veertien keer gewen. (James, 2002:4)
Gedurende die vyf-en-twintig jaar aan die Berlyn Akademie het hy sy meesterstuk Methodus
Inveniendi Lineas Curvas Maxime Minimive Proprietate Gaudentes wat handel oor
differensiaal- en integraalrekening van veranderlikes, voltooi. Die publikasie daarvan in
1744 het onder andere gelei tot sy verkiesing tot die Royal Society van London en ander
vererings. In 1750 stel hy die bekende formule wat die verband gee tussen die aantal
vlakke, kante en hoekpunte van ’n konvekse veelvlak bekend en probeer om dit te bewys.
In ’n meer populêre lyn publiseer hy sy Lettres à une Princesse d’Allemagne (Briewe
aan ’n Duitse Prinses). Hierdie 234 briewe wat hy tussen 1760 en 1762 aan die koning,
Ferdinand die Grote, se niggie, die Prinses van Anhalt-Dessau, geskryf het, was lesse in
wetenskap. Dit was die suksesvolste bekendmaking van die 18 e eeu van wetenskap op
’n populêre vlak. Behalwe vir die wetenskaplike waarde van die stuk werk, is dit ook
’n volledige en gesagheddende behandeling van natuurlike filosofie (fisika, chemie, plantkunde,
dierkunde) deur ’n vername wetenskaplike van die 18 e eeu. Hierdie is maar net

Geskiedenis en Filosofie 133
’n paar voorbeelde van die geweldige uitset wat hy gelewer het. (James, 2002:5)
Na Euler se aanstelling as hoof van die Berlynse Akademie moes hy verskeie praktiese
take vir die koning onderneem, onder andere finansies, ballistiek (projektielbeweging van
koeëls), navigasie, watervoorsiening, en so aan. Hy moes ook die koning raad gee in sake
soos die aankoop van wetenskaplike instrumente, konstruksie van watermeulens, die administrasie
van loterye, die verbetering van kanale en selfs die konstruksie van ’n klipmuur
om die tuin van die Akademie. In baie van hierdie take het hy met nuwe oplossings vir
probleme vorendag gekom. (James, 2002:5)
In suiwer wiskunde was die velde waarin hy belanggestel en gewerk het, differensiaalen
integraalrekening, differensiaalvergelykings, analitiese en differensiaalmeetkunde van
krommes en oppervlaktes, getalteorie, oneindige reekse en differensiaal- en integraalrekening
van veranderlikes. In toegepaste wiskunde het hy analitiese meetkunde ontwikkel.
Hy het maklik leesbare handboeke in meganika, algebra, wiskunde analise, analitiese
meetkunde, differensiaalmeetkunde en differensiaal- en integraalrekening van veranderlikes
geskryf, wat standaard werke vir meer as ’n eeu was. In wiskundige fisika het hy
voortgebou op die werk van Daniel Bernoulli waar hy bv. in hidrodinamika die fundamentele
differensiaalvergelykings vir die beweging van ’n ideale vloeistof ontwikkel het.
Hy het dit toegepas op die vloei van bloed in die menslike liggaam. Hy het ook werk
gedoen in hitte-teorie, die golfmodel van lig, die voortplanting van klank en die breking
en dispersie van lig. (James, 2002:6-7)
Hy het ’n besonderse gawe gehad om praktiese probleme wiskundig op te los. Hy het bv.
die deurbuiging van balke ondersoek en die ladings wat balke kan dra, bereken. Hy het
die effek wat hemelliggame op die bane van planete het, bereken. Hy het die bane van
projektiele in weerstandbiedende mediums bereken. Sy drie volumes wat hy oor optiese
instrumente geskryf het, het gelei tot die ontwerp van teleskope en mikroskope. Hy het
aan die ontwerpe van skepe se navigasie gewerk. Hy het ’n teorie vir die getye van die see
gegee. Hy het ook oor chemie, aardrykskunde, kartografie en baie ander velde, geskryf.
(James, 2002:7)
Daar is en was nie weer ’n wiskundige wat meer gepubliseer het as Euler nie. Hy het
meer as 900 artikels, verhandelings, boeke en ander werke geskryf, waarvan meer as die
helfde gedurende sy tweede verblyf in St. Petersburg was nadat hy byna blind geword
het. Daar word gereken dat van al die artikels wat gedurende die laaste driekwart van die
18 e eeu in wiskunde, wiskundige fisika, astronomie en ingenieurswetenskappe gepubliseer
is, een derde deur Euler geskryf is. Ongeveer 560 titels is gepubliseer tydens sy leeftyd.
Die Opera Omnia wat teen ’n gemiddeld tempo van een groot volume per jaar vir die
afgelope sewentig jaar reeds verskyn het, bevat sy werke. (Die oorspronklike program van
publikasie is nou amper al voltooi.) (James, 2002:7)
A.4.3 Lewensbeskouing
Euler was ’n nederige, eenvoudige mens, maar veelsydig. Hy het ’n uitstekende konsentrasie
vermoë gehad en ’n uitstaande geheue. Hy kon die volledige teks van Virgil se
Aeneïde opsê. Sy huis was sy vreugde en hy was baie lief vir kinders. Hy kon onder byna
enige omstandighede wiskunde doen. Dit was nie vreemd om ’n kind op sy skoot te vind

134 Geskiedenis en Filosofie
en klomp ander wat rondom hom speel, terwyl hy wiskunde doen nie. Ten spyte van al
sy beproewings, was hy ’n energieke, opgeruimde en vrolike mens. (Turnbull, 1929:99)
Euler was ’n algorist. Algoriste is wiskundiges wat algoritmes uitdink en ontwikkel. Hulle
is wiskundiges wat ’n bonatuurlike insig het om formules wat oënskynlik nie verband
hou met mekaar nie, in verband te bring. Hulle is wiskundiges by wie die uitdink van
wiskundige kunsgrepe, soos om ’n veranderlike met ’n bepaalde funksie te vervang om
die probleem te kan oplos, tweede natuur is. Hulle is so gebore, nie gemaak nie. (Bell,
1937:164-165)
Wiskunde was vir hom ’n avontuur en ontdekkingsreis. Dit was vir hom ’n plesier om
besig te wees met suiwer intellektuele werk soos in analise. Hy het selfs in Virgil se gedigte
beelde gevind wat na nuwe wiskundige idees gelei het. Hy het ’n besonderse vermoë gehad
om praktiese probleme wiskundig op te los (Turnbull, 1929:100). Soms was hy so besig
met die wiskunde en die mooiheid van die wiskundige formules dat hy die realiteit van sy
oplossings uit die oog verloor het. Vir Euler was die heelal ’n geleentheid om wiskunde
te doen en as die heelal nie by sy wiskunde wou inval nie, was die heelal verkeerd. (Bell,
1937:168-169)
Dis hierdie positiewe en energieke lewensuitkyk van Euler wat tot al sy ontwikkelings gelei
het. Die volgende klein formule gee ’n samevatting van wat Euler bereik het:
e iπ + 1 = 0.
Elke simbool het sy eie geskiedenis: 0 en 1 is die fundamentele getalle van die reële
getallestelsel; + en = is die twee hoof wiskundige verbande; π is die uitvinding van
Hippokrates; i is die teken van die onmoontlike vierkantswortel van −1; en e is die grondtal
van die Napier-logaritmes. Iets van alles van wiskunde. (Turnbull, 1929:100)
A.4.4 Vir Verdere Leeswerk
1. BELL, E.T. 1937. Men of mathematics. London : Victor Gollanz. 653 p.
2. FANG, J. 1972. Mathematicians from antiquity to today. New York: Paideia. 341
p.
3. GOW, J. 1968. A short history of Greek mathematics. New York, N.Y. : Chelsea.
325 p.
4. JAMES, I. 2002. Remarkable mathematicians from Euler to von Neumann. Cambridge
: Cambridge. 433 p.
5. KAC, M. 1987. Enigmas of chance : an autobiography / Mark Kac. Berkeley, Calif.
: University of California Press. 163 p.
6. MAHONEY, M.S. 1973. The mathematical career of Pierre de Fermat, 1601-1665.
419 p.
7. MANSFELD, J. 1998. Prolegomena mathematica : from Apollonius of Perga to
late Neoplatonism. Leiden ; Boston : Brill. 178 p.

Geskiedenis en Filosofie 135
8. TURNBULL, H.W. 1929. The great mathematicians. London : Methuen. 128 p.
9. ULAM, S.M. 1976. Adventures of a mathematician. New York, N.Y. : Scribner.
317 p.
A.5 ’n Wêreldbeeld
A.5.1 Wat is ’n Wêreldbeeld?
Die heelal kan nie as geheel waargeneem word nie. Om dit te kan doen, sal mens op een of
ander manier dit moet regkry om buite die heelal te gaan staan en van buite af binne toe
te kyk. Op hierdie oomblik, en al die eeue voor hierdie oomblik, is en was dit onmoontlik
om dit reg te kry. Daarom maak die mens vir homself ’n voorstelling van die heelal of
dan die werklikheid. In kort kan gesê word ’n wêreldbeeld is ’n voorstelling of ’n siening
van die werklikheid.
’n Wêreldbeeld sluit die volgende ses basiese komponente in (Van der Walt, 2001:3): ’n
begrip
1. van God of iets geestelik of absoluut,
2. van reg, orde en waarde,
3. van wat dit beteken om mens te wees,
4. van die ideale samelewing,
5. van ons verhouding tot die natuur en
6. van tyd en geskiedenis.
Elke persoon se wêreldbeeld sal noodwendig van ’n ander persoon s’n verskil. Ons kennis
en geloof is die twee hooffaktore wat ’n rol speel in die vorming van ons wêreldbeeld.
Omdat ons kennis met die tyd verander (meer word of minder) en ons in ons geloof groei
of dalk verander, is ons wêreldbeeld dinamies. Dink maar net vir ’n oomblik aan u siening
van die werklikheid wat u as kind gehad het. En nou ...
’n Wêreldbeeld word ook beïnvloed deur die omstandighede waarin mense leef, die waardes
van die samelewing, kultuur, wetenskaplike ontwikkelings, die politiek van die dag en die
tyd waarin geleef word. In die vroegste tye was die algemene wêreldbeeld van die mens
organisties. Die heelal is as ’n lewende wese gesien, bv. die sterre beweeg omdat hulle
lewendig is en siele het. Aan die begin van die 17 e eeu het ’n meer meganistiese wêreldbeeld
gewild geraak. Die heelal is gesien as ’n masjien. Dit het saamgeval met die verskyning
van outomaties-werkende masjiene soos pendulumhorlosies. Hiervolgens kan die heelal as
’n groot horlosie gesien word en God as die horlosiemaker. Vir sommige mense is God die
ingenieur en die eienaar van die horlosie en hou Homself gedurig deur daarmee besig. Vir
ander het God die horlosie gemaak, opgewen en neergesit. Nou sit Hy agteroor en hou
dit dop.
Die wêreldbeeld of denkwyse van die samelewing in die algemeen is dus duidelik gekoppel
aan ’n bepaalde tyd en omstandigheid. Dit ontwikkel ook met die tyd en het ’n besliste
invloed op individue se wêreldbeelde.

136 Geskiedenis en Filosofie
A.5.2 Wat is die Invloed van ’n Wêreldbeeld?
Ons wêreldbeeld sal niks aan die fisiese werklikheid soos dit deur God geskep is, verander
nie. Dit beïnvloed wel die wyse waarop ons die fisiese werklikheid rondom ons interpreteer,
verstaan en oordra aan ander. Luister maar net op hoeveel verskillende maniere mense
verslag doen oor dieselfde gebeurtenis. Dit beïnvloed die wyse waarop ons elkeen ons
dagtaak verrig, hoe ons met ander mense omgaan, hoe ons op gebeure reageer of nie
reageer nie. Mense in besluitnemende posisies se wêreldbeelde het definitief ’n invloed
op die lewens van die mense oor wie hulle aangestel is. Dink aan hoe die ideologië van
wêreldleiers die geskiedenis deur die eeue beïnvloed het en steeds beïnvloed.
Wetenskaplike ontwikkelinge deur die eeue heen is ook beïnvloed deur die algemene
wêreldbeeld van ’n bepaalde tyd. Newton het byvoorbeeld in die sogenaamde Moderne
Rasionalistiese tyd (1600-1900) geleef. Sy werke het duidelik die gedagteneiging van sy
tyd weerspieël nl. natuurwetenskaplik-wiskundige denke. Die ontwikkeling van hierdie
denkwyse is voorafgegaan deur die Renaissance (1400-1600) waartydens die kerk op die
agtergrond gedruk is. Daar is al meer gemeen dat die rede kan regkom sonder die kritiek
of steun van die geloof. Rasionalisme het in fases toegeneem: aanvanklik is gemeen dat
die verstand toegerus met aangebore kennis of vorms, op sy eie die wêreld kan verstaan;
daarna het dit gegroei tot die mening dat die rede sy eie orde kan skep en hierdie orde is
progressief op die wêreld afgedwing; uiteindelik is die rede voorgehou as die skepper en
innerlike struktuur van die totale werklikheid.
Om jou rede te gebruik om bv. verskynsels om jou uit te pluis, is niks mee verkeerd nie.
Dit is presies wat wetenskaplikes en wiskundiges doen. Waak egter daarteen dat jou rede
en redeneervermoë die uitgangspunt in jou lewe word en as die belangrikste komponent
van die werklikheid gesien word.
Die nuwe waarheidsidee dat die waarheid die produk van die natuurwetenskaplike denkwyse
is, wat by die mensdom ontstaan het as gevolg van die vinnige groei van die natuurwetenskappe
sedert die Renaissance, het natuurwetenskappe in twee kennisgebiede verdeel,
nl. wiskunde (algebra, meetkunde en sterrekunde) en natuurlike filosofie (fisika, chemie,
plantkunde en dierkunde). Dit het op sy beurt weer gelei tot twee standpunte oor wetenskaplikheid
en die vind van waarheid: deur òf wiskundige denke óf waarneming. Onder
waarneming word ook ervaring bedoel. Voorstaanders van die wiskundige denke bv. Descartes
en Leibniz, het aanvaar dat die krag van die natuurwetenskappe in die gebruik van
wiskundige beredenerings lê en dat wiskundige metodes die waarneming oorheers. Daar
kan dus in alle vakgebiede tot die waarheid gekom word deur wiskundige denkwyses so
goed as moontlik na te boots. Hierdie mense het nie ontken dat die mens ervarings het
nie, maar wel dat dit tot die waarheid kan lei.
Die aard van wiskunde is onafhanklik van elke mens as persoon en die wêreld daar buite.
Ons ontwikkelings en sienings beïnvloed nie wiskunde nie, maar die wyse waarop ons dit
interpreteer en dit gebruik. (Jourdain, 1919:119)

Geskiedenis en Filosofie 137
A.5.3 ’n Christelike Wêreldbeeld
Die hele lewe is ’n diens aan God en daar is geen deel van die lewe wat as sekulêr beskou
kan word nie. Alles wat ek doen en dink en nie doen nie, is tot eer van God. God is
die Skepper en die Onderhouer van die heelal en niks gebeur sonder rede nie. God het
die natuurwette daargestel om die heelal te laat “werk”, maar Hy is nie self onderhewig
daaraan nie.
As dit my wêreldbeeld is, sal ek elke dag alles doelgerig doen: tot eer van God. Ek sal
met die liefde van God teenoor my medemens optree. Ek sal daaraan werk om die heelal
te probeer verstaan en beskryf, maar weet dat God altyd ’n hoër hand het. Ek sal weet
en glo dat alles wat gebeur, so deur God bepaal is - al verstaan ek dit nie. Ek is ’n
instrument in God se hand wat sy werk in sy Skepping doen.
Wat is jou wêreldbeeld?
A.5.4 ’n Eie Wêreldbeeld
Elke persoon het ’n wêreldbeeld. Elke persoon het sy/haar eie wêreldbeeld. Selfs die eenvoudigste
boemelaar op straat. Al besef jy dit nie en al het jy nog nie daaroor gedink nie,
het jy ook ’n wêreldbeeld. En jou wêreldbeeld beïnvloed jou siening van die werklikheid,
die wyse waarop jy optree, dit wat jy sê, dit wat jy dink. Omdat niemand van ons buite
die heelal kan gaan staan nie en omdat elkeen van ons se wêreldbeelde van mekaar verskil,
kan niemand werklik sê wat die werklikheid is nie.
A.6 Wiskundige Modelle, Teorië en die Werklikheid
Van die vroegste tye af probeer die mens om die skepping om hom (die werklikheid) te
beskryf en te verstaan. Sommige doen dit deur die skryf van gedigte, ander deur te skilder
en ander deur die beoefening van wetenskap. Wetenskap is ’n poging om die skepping te
beskryf en te verstaan. Dit is belangrik om te begryp dat dit slegs ’n beskrywing van
die werklikheid is en nie ’n volledige weergawe van die werklikheid nie en ook nie die
werklikheid self nie.
In wetenskap word wiskundige modelle gebruik om die werklikheid te beskryf. ’n Wiskundige
model bestaan uit een of meer formules wat ’n bepaalde fisiese sisteem beskryf.
Die formules is saamgestel op grond van sekere geldige aannames en waarnemings van die
fisiese sisteem. Dit wat die model voorspel en waarnemings vanuit die fisiese sisteem word
met mekaar vergelyk. Op grond van die verskil in data vanuit die model en die fisiese
sisteem, kan die model verbeter word deur die aannames van die model te verbeter en/of
meer aspekte van die fisiese sisteem in die model in te sluit.
Wanneer met ’n wiskundige model gewerk word, word nie met die hele werklikheid gewerk
nie. Dit maak nie wiskundige modelle nutteloos nie. Wanneer ’n fisiese sisteem aan die
voorwaardes (aannames) van die model voldoen, sal die model ’n goeie beskrywing daarvan
gee. Die wiskundige modelle wat op eerstejaarsvlak in fisika gebruik word, het almal die
aanname dat daar geen wrywingskragte betrokke is nie. Ons almal weet dat dit nie die

138 Geskiedenis en Filosofie
waarheid is nie, maar onder sekere omstandighede is wrywingskragte klein relatief tot
ander kragte wat op ’n bepaalde fisiese sisteem inwerk sodat die betrokke model ’n goeie
beskrywing van die werklikheid gee.
Om alle aspekte van die werklikheid in ’n wiskundige model te vervat, is ’n moeisame en
soms onmoontlike taak. God se skepping is so omvangryk en daar is soveel aspekte wat
daarop inwerk, dat indien ons van alles sou geweet het, en alles volgens ’n wiskundige
formule kon neerskryf, die formules so lank en ingewikkeld sou wees, dat dit ’n geweldige
en moeisame taak sou wees om die formules op te los.
Dit is belangrik om daarop te let dat, hoewel ’n wiskundige model die werklikheid nie ten
volle akkuraat beskryf nie, dit nie die wiskunde wat in die model gebruik word, verkeerd
maak nie.
Die wetenskap is opgebou uit teorië (of wette) waarvan sommiges uit wiskundige modelle
bestaan, bv. Einstein se relatiwiteitsteorie, die groot-knalteorie en Darwin se evolusieteorie.
’n Teorie, in meeste vakgebiede, kan nooit bewys word nie. Dit sou slegs deur ’n
oneindige aantal toetsings bewys kon word. Dit is egter ’n saak van onmoontlikheid. ’n
Teorie is dus nooit waar nie, maar het ’n sekere mate van betroubaarheid wat gemeet
word aan pogings om dit verkeerd te probeer bewys.
In wiskunde het ’n teorie ’n ander betekenis en kan dit as waar bewys word. ’n Eenvoudige
voorbeeld is die hoofstelling van analise, nl. dat
x
x
d
f(t)dt = f(x) en f
dx
′ (t)dt = f(x) − f(a).
a
Dit is altyd waar solank daar aan die voorwaardes van die stellings voldoen word. In
wiskunde is ’n teorie waar indien die reëls van die logika gevolg is om dit te bewys en
geen wiskundige foute gemaak is nie.
Wiskunde is ’n deduktiewe wetenskap. Aristoteles het ’n reeks van vyf reëls neergelê vir
’n deduktiewe wetenskap. ’n Deduktiewe wetenskap is ’n stelsel W van bewerings sodanig
dat (Van der Merwe, 1957:4)
1. alle bewerings van W betrekking het op een en dieselfde gebied van werklike objekte,
2. alle bewerings van W waar is,
3. indien sekere bewerings tot W behoort, dan behoort alle logiese gevolgtrekkings uit
hierdie bewerings ook tot W,
4. daar ’n eindige aantal terme is waarvan die betekenis geen nadere verklaring nodig
het nie en alle ander terme in terme van hierdie terme beskryf word, en
5. daar ’n eindige aantal bewerings is waarvan die waarheid daarvan duidelik is en alle
ander bewerings van W uit hierdie bewerings op ’n deduktiewe wyse verkry word.
Dit is juis punt 3 hierbo wat wiskunde as ’n deduktiewe wetenskap regverdig. Indien u
wiskunde analise tot op derdejaarsvlak gaan neem, sal u sien dat wiskunde op ’n paar
aksiomas (punte 4 en 5 hierbo) gebou word. ’n Aksioma is ’n grondstelling wat sonder
bewys as waar aanvaar word. Aksiomas moet onafhanklik van mekaar, volledig en nie
teenstryding wees nie (Van der Merwe, 1957:7). Onafhanklik beteken dat een aksioma nie
uit ’n ander een afgelei kan word nie. Volledig beteken dat die aksiomas wat aan die begin
gestel word, voldoende moet wees om alle stellings af te lei. Nie teenstrydig nie beteken
dat die aksiomas nie tot stellings wat teenstrydighede stel, moet lei nie. Uit die aksioma’s
a

Geskiedenis en Filosofie 139
word verdere eienskappe afgelei. In wiskunde word alle begrippe wat gebruik word, streng
in ’n definisie beskryf. Vanuit die definisies volg nog definisies en word stellings bewys.
Vanuit hierdie stellings word nog stellings bewys. Solank die bewyse van die stellings die
reëls van logika nakom en geen wiskundige foute in het nie, is dit waarheid en kan dit
gebruik word om die werklikheid te beskryf om sekere probleme op te los en resultate te
verkry.
Hoe word ’n lyn getrek tussen fundamentele geloofsaanvaardings en die gebruik van die
vak wiskunde om die werklikheid te beskryf? Gesien vanuit ’n christelike perspektief sou
’n antwoord op die vraag die volgende kan wees:
1. God het die skepping daargestel en hoef nie noodwendig op ’n wiskundige patroon
gebou te wees nie.
2. ’n Christen-wiskundige moet daarvan bewus wees dat hy/sy sy/haar kultuuropdrag
of rentmeesterskap moet sien teen die agtergrond van die verlossing en die herskepping.
Die mens is daar om oor die skepping te heers, nie om dit te oorheers nie.
3. Aspekte van die skepping kan wel wiskundig beskryf word, maar die wiskundige
model word nooit die werklikheid nie.
4. Wiskunde neem ’n relatiewe posisie in en is nie ’n mag waarmee alles aangedurf
word nie.
5. Teorië (wette) is slegs beskrywings van sekere wetmatighede onder sekere aannames.
Dit kan nie gesien word as wette wat vir ewig geld nie.
Deur wiskundige modelle te bou, is ons voortdurend besig om die werklikheid te beskryf
en te verwiskundig. Ons maak reëls en lei wette af. Ons kan net so maklik die fout maak
om te begin dink die heelal is ’n horlosie en ons is besig om uit te werk hoe die ratte
inmekaar pas en werk. God se skepping is veel groter as dit. Ons kan nooit die wiskunde
of die wetenskap verabsoluteer nie - die heelal is nóg ’n lewende wese, nóg ’n horlosie.
Psalm 8: Here, ons Here, hoe wonderbaar is u Naam oor die hele aarde, hoe glansryk
alles wat U in die hemelruim geplaas het! Kinders en suigelinge besing die magtige werk
wat U tot stand gebring het. So word u teëstanders, die vyande en wraakgieriges, tot swye
gebring.
As ek u hemel aanskou, die werk van u vingers, die maan en die sterre waaraan U ’n plek
gegee het, wat is die mens dan dat U aan hom dink, die mensekind dat U na hom omsien?
U het hom net ’n bietjie minder as ’n hemelse wese gemaak en hom met aansien en eer
gekroon, U laat hom heers oor die werk van u hande, U het alles aan hom onderwerp:
skape, beeste, alles; selfs die diere in die veld, die voëls in die lug, en die visse in die see
wat die oseane deurkruis.
Here, ons Here, hoe wonderbaar is u Naam oor die hele aarde!
A.7 Afsluiting
God openbaar Hom aan die mens deur sy Woord waaronder ons onderskei tussen sy
Seun, die Bybel en die natuur. Wetenskaplike studie, of dit gedoen word deur ’n christen
wetenskaplike of nie, gee aandag aan die laasgenoemde. Ons wetenskaplike studies moet

140 Geskiedenis en Filosofie
die liefde tussen ons en God versterk. Wanneer ons wiskunde doen en die vak verder leer
ken en gebruik, moet dit lei tot die verheerliking van God - soos in alle ander aspekte van
ons lewens.
Die fisiese heelal deur God geskep, is gebasseer op orde en skeppingswette. Wiskunde is
’n hulpmiddel om sommige aspekte van hierdie skeppingswette te bestudeer. Ons moet
altyd onthou ons is besig met modelbou en ’n beskrywing van die werklikheid. Ons moet
daarteen waak om die skepping in ons modelle in te forseer.
Soos wat u wiskunde leer ken en al meer die bruikbaarheid van hierdie kragtige wetenskaplike
gereedskap ontdek, moet u as wetenskaplike daarteen waak om dit te verabsoluteer.
Wiskundige formules moet nie as die werklikheid gesien word nie en ’n wiskundige model
nooit so ’n status verkry dat dit nie ruimte laat vir ’n verbeterde model nie. Wiskunde
maak nie van ons beter mense nie, dit gee ons slegs ’n beter perspektief op die werklikheid.
Ons kan nie sin en betekenis in die lewe kry deur wiskunde nie.
Deur sin en betekenis vir die lewe in wiskunde te soek, is om ’n afgod daarvan te maak.
Wiskunde moet nie te hoog verhef word nie en moet nie bo die skepping uitstyg nie. En
as u ’n Christen-gelowige is, besef dit en dank God daarvoor, dat Hy u na sy beeld geskep
het en u die verstand gegee het om deur wiskunde enkele aspekte van die skepping beter
te kan beskryf en te kan verstaan.
Bibliografie
BELL, E.T. 1937. Men of mathematics. London : Victor Gollanz. 653 p.
EDWARDS, C.H. 1979. The historical development of the calculus. New York : Springer-
Verlag. 351 p.
JAMES, I. 2002. Remarkable mathematicians from Euler to von Neumann. Cambridge :
Cambridge University Press. 433 p.
JOURDIAN, P.E.B. 1919. The nature of mathematics. Rev. ed. London : Jack. 126 p.
ODENDAAL, F.F. en Gouws, R.H. 2002. HAT Verklarende handboek van die Afrikaanse
taal. 4de uitgawe. Midrand : Perskor Uitgewers. 1387 p.
TURNBULL, H.W. 1929. The great mathematicians. London : Methuen. 128 p.
VAN DER MERWE, J.H. 1957. Enkele opmerkings oor die grondslae van die Wiskunde.
Pretoria : UNISA. 16 p.
VAN DER WALT, B.J. 2001. Shaping a biblical worldview. Woord en Daad. (Lente):3-8

Bylaag B
Lys van Ontoelaatbare Foute
Indien enige van die volgende foute tydens ’n toets of eksamen begaan word, sal ten minste
een punt afgetrek word.
1.
1
= 0 =⇒ x = ∓a.
x ± a
2.
1 1 1
= ±
x ± a x a .
3. y 2 = a 2 ± x 2 =⇒ y = a ± x of √ a2 ± x2 = a ± x.
4. log(x + a) = log x + log a of ln(x + a) = ln x + lna.
5. log(x + a) = x + a of ln(x + a) = x + a.
6.
log x
= 1 of
x
ln x
= 1.
x
7.
log x
= 0 of
x
ln x
= 0.
x
8. Die = teken uitlaat.
9. Die lim-gedeelte uitlaat, bv.
lim
x→a x(x − 1) = x2 − x = . . . i.p.v lim x(x − 1) = lim(x
x→a x→a 2 − x) = lim . . .
x→a
10. Die funksie gelyk stel aan sy afgeleide, bv.
f(x) = 1 −1
=
x + 2 (x + 2) 2 i.p.v f(x) = 1
x + 2 =⇒ f ′ (x) = −1
(x + 2) 2.
11. Die -teken uitlaat, bv.
x(x + 1) dx = (x 2
+ x) dx i.p.v x(x + 1) dx = (x 2 + x) dx.
12. Die dx uitlaat, bv.
x(x + 1) dx = (x 2 + x) i.p.v
141
x(x + 1) dx = (x 2 + x) dx.

142 Ontoelaatbare Foute

Bylaag C
Oplos van Ongelykhede
Hier volg enkele voorbeelde van ongelykhede wat opgelos word.
Voorbeeld 1: Watter waardes van x bevredig die onderstaande ongelykheid?
1
x − 1
Om hierdie ongelykheid op te los, moet die twee gevalle x − 1 > 0 en x − 1 < 0 beskou
word.
> 2
x − 1 > 0 en
⇒ x > 1 en x < 3
2
⇒ 1 < x < 3
2
of
x − 1 < 0 en
⇒ x < 1 en x > 3
2
⇒ x ∈ ∅
1
x − 1
1
x − 1
> 2
> 2
Die waardes van x wat die gegewe ongelykheid bevredig, is dus
1 < x < 3
2
of x ∈ (1, 3/2).
Hierdie ongelykheid kan ook soos volg opgelos word.
⇒
⇒
1
> 2
x − 1 1
− 2 > 0
x − 1
3 − 2x
> 0
x − 1
143

144 Oplos van Ongelykhede
Hierdie ongelykheid sal bevredig word indien beide (3 −2x) en (x −1) positief of negatief
is, dus vir
1 < x < 3
of x ∈ (1, 3/2).
2
Hierdie ongelykheid kan ook nog soos volg opgelos word.
1
> 2
x − 1
⇒
1
x − 1 · (x − 1)2 > 2(x − 1) 2
⇒ x − 1 > 2x 2 − 4x + 2
⇒ 2x 2 − 5x + 3 < 0
⇒ (2x − 3)(x − 1) < 0
Hierdie ongelykheid sal bevredig word indien (3 − 2x) en (x − 1) verskillende tekens het,
dus vir
1 < x < 3
of x ∈ (1, 3/2).
2
Voorbeeld 2: Watter waardes van x bevredig die onderstaande ongelykheid?
1 ≤ 1
< 5
x − 4
Hierdie ongelykheid is die kombinasie van die twee ongelykhede
1 ≤ 1
x − 4 en
1
< 5
x − 4
waar die twee gevalle x − 4 > 0 en x − 4 < 0 beskou moet word.
Beskou eers die ongelykheid 1 ≤ 1
x−4 .
x − 4 > 0 en 1 ≤ 1
x − 4
⇒ x > 4 en x ≤ 5
⇒ 4 < x ≤ 5
of
x − 4 < 0 en 1 ≤ 1
x − 4
⇒ x < 4 en x ≥ 5
⇒ x ∈ ∅
Die waardes van x wat die ongelykheid 1 ≤ 1
x−4
4 < x ≤ 5. (1)
bevredig, is dus

Oplos van Ongelykhede 145
Beskou nou die ongelykheid 1 < 5. x−4
1
x − 4 > 0 and < 5
x − 4
⇒ x > 4 and x > 21
5
⇒ x > 21
5
Die waardes van x wat die ongelykheid 1
x−4
or
1
x − 4 < 0 and < 5
x − 4
⇒ x < 4 and x < 21
5
⇒ x < 4
< 5 bevredig, is dus
x < 4 of x > 21
. (2)
5
Ongelykhede (1) en (2) moet gelyktydig bevredig word. Die waardes van x wat die gegewe
ongelykheid bevredig, is dus
21
5
< x ≤ 5 of x ∈ (21/5, 5].
Hierdie ongelykheid kan ook soos volg opgelos word.
1 ≤ 1 < 5 x−4
⇒ 1 ≤ 1
x−4
1
en < 5
x − 4
⇒ 1 − 1 1
≤ 0 en − 5 < 0
x−4 x − 4
⇒ x−5 ≤ 0 x−4
21 − 5x
en < 0
x − 4
⇒ 4 ≤ x ≤ 5 en x < 4 of x > 21
< x ≤ 5
5
⇒ 21
5
Hierdie ongelykheid kan ook nog soos volg opgelos word.
1 ≤ 1 < 5 x−4
⇒ 1 ≤ 1
x−4
1
en < 5
x − 4
⇒ (x − 4) 2 ≤ x − 4 en x − 4 < 5(x − 4) 2
⇒ x 2 − 9x + 20 ≤ 0 en 0 < 5x 2 − 41x + 84
⇒ (x − 4)(x − 5) ≤ 0 en 0 < (5x − 21)(x − 4)
⇒ 4 ≤ x ≤ 5 en x < 4 of x > 21
⇒
21
5
< x ≤ 5
5

146 Oplos van Ongelykhede
Die absolute waarde funksie word soos volg gedefinieer:
x, x ≥ 0
|x| =
−x, x < 0
Hieruit volg dat
Stelling 56 √ x 2 = |x| en − √ x 2 = −|x|
Bewys:
Netso is
√ x 2 =
x, x ≥ 0
−x, x < 0
− √ x 2 = −|x|.
= |x|.
Hier volg enkele stellings van ongelykhede van absolute waardes.
Stelling 57
Bewys:
Veronderstel |x| ≤ a. Dan is
Veronderstel −a ≤ x ≤ a. Dan is
Stelling 58
Bewys: Vir x en y geld dat
|x| ≤ a ⇔ −a ≤ x ≤ a
x ≤ a as x ≥ 0 en − x ≤ a as x < 0
⇒ x ≤ a as x ≥ 0 en x ≥ −a as x < 0
⇒ −a ≤ x ≤ a.
−a ≤ x en x ≤ a
⇒ −x ≤ a en x ≤ a
⇒ |x| ≤ a
|x + y| ≤ |x| + |y|
−|x| ≤ x ≤ |x| en − |y| ≤ y ≤ |y|
⇒ −(|x| + |y|) ≤ x + y ≤ |x| + |y|
⇒ |x + y| ≤ |x| + |y|
volgens Stelling 57. ✷
✷
✷

Oplos van Ongelykhede 147
Stelling 59
Bewys:
|x − y| ≤ |x| + |y|
|x − y| = |x + (−y)| ≤ |x| + | − y| = |x| + |y|
volgens Stelling 58. ✷
Stelling 60
Bewys:
volgens Stelling 58. Hieruit volg dat
Net so volg dat
||x| − |y|| ≤ |x − y|
|x| = |x − y + y| ≤ |x − y| + |y|
|x| − |y| ≤ |x − y|. (1)
|y| = |y − x + x| ≤ |y − x| + |x| ⇒ |y| − |x| ≤ |y − x|
Uit (1) en (2) volg dat
⇒ −(|x| − |y|) ≤ |x − y|
⇒ −|x − y| ≤ |x| − |y|. (2)
−|x − y| ≤ |x| − |y| ≤ |x − y| ⇒ ||x| − |y|| ≤ |x − y|
volgens Stelling 57. ✷
Stelling 61
Bewys:
||x| − |y|| ≤ |x + y|
||x| − |y|| = ||x| − | − y|| ≤ |x − (−y)| = |x + y|
volgens Stelling 60. ✷
Stellings 58, 59, 60 en 61 kan saamgevat word as
||x| − |y|| ≤ |x ± y| ≤ |x| + |y|.

148 Oplos van Ongelykhede

Bylaag D
Oneindig en die Berekening van
Limiete
1. Gestel lim f(x) = L > 0 en lim g(x) = ∞ waar lim vir enige een van die volgende
staan
lim,
lim
x→a x→a +,
lim
x→a−, lim , lim
x→+∞ x→−∞ .
Dan geld die volgende:
lim[f(x) + g(x)] = L + ∞ = ∞
lim[f(x) − g(x)] = L − ∞ = −∞
lim[±g(x) · f(x)] = ±∞ · L = ±∞
lim ±g(x)
f(x)
lim f(x)
±g(x)
= ±∞
L
= L
±∞
= ±∞
2. Gestel lim f(x) = L < 0 en lim g(x) = ∞ waar lim vir enige een van die volgende
staan
lim,
lim
x→a x→a +,
lim
x→a−, lim , lim
x→+∞ x→−∞ .
Dan geld die volgende:
= 0.
lim[f(x) + g(x)] = L + ∞ = ∞
lim[f(x) − g(x)] = L − ∞ = −∞
lim[±g(x) · f(x)] = ±∞ · L = ∓∞
lim ±g(x)
f(x)
lim f(x)
±g(x)
= ±∞
L
= L
±∞
= ∓∞
3. Gestel lim f(x) = 0 en lim g(x) = ∞ waar lim vir enige een van die volgende staan
lim,
lim
x→a +,
lim
x→a
x→a −,
149
= 0.
lim , lim
x→+∞ x→−∞ .

150 Oneindig en die Berekening van Limiete
Dan geld die volgende:
lim[f(x) + g(x)] = 0 + ∞ = ∞
lim[f(x) − g(x)] = 0 − ∞ = −∞
lim f(x)
±g(x)
= 0
±∞
= 0.
Die volgende is ’n onbepaalde vorm wat nie direk bereken kan word nie:
lim[±g(x) · f(x)] = ±∞ · 0.
4. Gestel lim f(x) = ∞ en lim g(x) = ∞ waar lim vir enige een van die volgende staan
Dan geld die volgende:
lim,
lim
x→a +,
lim
x→a
x→a −,
lim , lim
x→+∞ x→−∞ .
lim[f(x) + g(x)] = ∞ + ∞ = ∞
lim[±f(x) · g(x)] = ±∞ · ∞ = ±∞.
Die volgende is onbepaalde vorme wat nie direk bereken kan word nie:
lim[f(x) − g(x)] = ∞ − ∞
lim ±f(x)
g(x)
= ±∞
∞ .

Bylaag E
Lys van Formules
Die formules gemerk met ’n (*) sal tydens die skryf van toetse en die eksamen verskaf
word. Die ander formules moet u ken. U moet al die formules in die lys kan aflei.
1. sin(x ± y) = sin x cosy ± cos x sin y (∗)
2. cos(x ± y) = cosxcosy ∓ sin x sin y (∗)
3.
tanx ± tan y
tan(x ± y) =
1 ∓ tan x tan y (∗)
4. sin x cosy = 1
5.
[sin(x − y) + sin(x + y)] (∗)
2
sin x sin y = 1
6.
[cos(x − y) − cos(x + y)] (∗)
2
cosxcosy = 1
[cos(x − y) + cos(x + y)] (∗)
2
7. sinh(x ± y) = sinh x cosh y ± cosh x sinh y (∗)
8. cosh(x ± y) = cosh x cosh y ± sinh x sinh y (∗)
9. cos 2 x = 1
(1 + cos 2x)(∗)
2
10. sin 2 x = 1
(1 − cos 2x)(∗)
2
11. cosh 2 x = 1
(cosh 2x + 1) (∗)
2
12. sinh 2 x = 1
(cosh 2x − 1) (∗)
2
13. sinh −1 x = ln(x + √ x2 + 1) (∗)
14. cosh −1 x = ln(x + √ x2 − 1) (∗)
15. tanh −1 x = 1
2 ln
1 + x
(∗)
1 − x
16. csch −1
1
x = ln
x +
√
1 + x2 (∗)
|x|
151

152 Formules
17. sech −1 √
1 + 1 − x2 x = ln
(∗)
x
18. coth −1 x = 1
2 ln
x + 1
(∗)
x − 1
d
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
31.
32.
33.
34.
35.
36.
37.
dx {[u(x)]n } = n[u(x)] n−1 u ′ (x)
d
dx [sin u(x)] = [cosu(x)]u′ (x)
d
dx [cos u(x)] = [− sin u(x)]u′ (x)
d
dx [tan u(x)] = [sec2 u(x)]u ′ (x)
d
dx [csc u(x)] = [− csc u(x) cotu(x)]u′ (x)
d
dx [sec u(x)] = [sec u(x) tanu(x)]u′ (x)
d
dx [cot u(x)] = [− csc2 u(x)]u ′ (x)
d
−1 u
sin u(x) =
dx
′ (x)
1 − u(x) 2
d
−1 u
cos u(x) = −
dx
′ (x)
1 − u(x) 2
d
−1 u
tan u(x) =
dx
′ (x)
1 + u(x) 2
d −1 u
csc u(x) = −
dx
′ (x)
u(x) u(x) 2 − 1 (∗)
d −1 u
sec u(x) =
dx
′ (x)
u(x) u(x) 2 − 1 (∗)
d −1 u
cot u(x) = −
dx
′ (x)
(∗)
1 + u(x) 2
d
dx [au(x) ] = a u(x) u ′ (x) ln a
d
dx [eu(x) ] = e u(x) u ′ (x)
d
dx [loga u(x)] = u′ (x)
u(x) lna
d
dx [ln u(x)] = u′ (x)
u(x)
d
dx [sinh u(x)] = [cosh u(x)]u′ (x)
d
dx [cosh u(x)] = [sinh u(x)]u′ (x)

Formules 153
38.
39.
40.
41.
42.
43.
44.
45.
46.
47.
48.
49.
50.
51.
52.
53.
54.
55.
56.
d
dx [tanhu(x)] = [sech 2 u(x)]u ′ (x)
d
dx [csch u(x)] = −[csch u(x) cothu(x)]u′ (x)
d
dx [sech u(x)] = −[sech u(x) tanhu(x)]u′ (x)
d
dx [coth u(x)] = −[csch 2 u(x)]u ′ (x)
d −1 u
sinh u(x) =
dx
′ (x)
1 + [u(x)] 2
d −1 u
cosh u(x) =
dx
′ (x)
[u(x)] 2 − 1
d −1 u
tanh u(x) =
dx
′ (x)
1 − [u(x)] 2
d −1 u
csch u(x) = −
dx
′ (x)
|u(x)| (∗)
1 + [u(x)] 2,
d −1 u
sech u(x) = −
dx
′ (x)
u(x) (∗)
1 − [u(x)] 2,
d −1
coth u(x) =
dx
u ′ (x)
1 − [u(x)] 2,
(∗)
[u(x)] n u ′ (x) dx = 1
n + 1 [u(x)]n+1 + C
[cosu(x)]u ′ (x) dx = sin u(x) + C
[sin u(x)]u ′ (x) dx = − cosu(x) + C
[sec 2 u(x)]u ′ (x) dx = tan u(x) + C
[csc u(x) cotu(x)]u ′ (x) dx = − csc u(x) + C
[sec u(x) tanu(x)]u ′ (x) dx = sec u(x) + C
[csc 2 u(x)]u ′ (x) dx = − cot u(x) + C
[tan u(x)]u ′ (x) dx = ln | sec u(x)| + C
[csc u(x)]u ′ (x) dx = ln | csc u(x) − cotu(x)| + C

154 Formules
57.
58.
59.
60.
61.
62.
63.
64.
65.
66.
67.
68.
69.
70.
71.
72.
73.
74.
75.
[sec u(x)]u ′ (x) dx = ln | sec u(x) + tan u(x)| + C
[cot u(x)]u ′ (x) dx = ln | sin u(x)| + C
u ′ (x)
1 − u(x) 2 dx = sin−1 u(x) + C
u ′ (x)
1 − u(x) 2 dx = − cos−1 u(x) + C
u ′ (x)
1 + u(x) 2 dx = tan−1 u(x) + C
u ′ (x)
u(x) u(x) 2 − 1 dx = − csc−1 u(x) + C
u ′ (x)
u(x) u(x) 2 − 1 dx = sec−1 u(x) + C
u ′ (x)
1 + u(x) 2 dx = − cot−1 u(x) + C
a u(x) u ′ (x) dx = au(x)
ln a
+ C
e u(x) u ′ (x) dx = e u(x) + C
′ u (x)
dx = ln |u(x)| + C
u(x)
[cosh u(x)]u ′ (x) dx = sinh u(x) + C
[sinh u(x)]u ′ (x) dx = cosh u(x) + C
[sech 2 u(x)]u ′ (x) dx = tanh u(x) + C
[csch u(x) cothu(x)]u ′ (x) dx = −csch u(x) + C
[sech u(x) tanhu(x)]u ′ (x) dx = −sech u(x) + C
[csch 2 u(x)]u ′ (x) dx = − coth u(x) + C
[tanh u(x)]u ′ (x) dx = ln | cosh u(x)| + C
[csch u(x)]u ′ (x) dx = ln |csch u(x) − coth u(x)| + C

Formules 155
76.
77.
78.
79.
80.
81.
82.
83.
84.
85.
86.
87.
88.
[sech u(x)]u ′ (x) dx = tan −1 | sinh u(x)| + C
[coth u(x)]u ′ (x) dx = ln | sinh u(x)| + C
u ′ (x)
1 + u(x) 2 dx = sinh−1
u(x) + C = ln u(x) + u(x) 2
+ 1 + C
u ′ (x)
dx = cosh
u(x) 2 − 1 −1
|u(x)| + C = ln u(x) + u(x) 2
− 1
+ C
u ′ (x)
1 − u(x) 2 dx = tanh−1 u(x) + C = 1
2 ln
1 + u(x)
1
− u(x) + C
u ′ (x)
|u(x)| u(x) 2 + 1 dx = −csch −1
1
u(x) + C = ln
u(x) +
1
+ 1 + C
u(x) 2
u ′ (x)
u(x) 1 − u(x) 2 dx = −sech −1
1
|u(x)| + C = ln
u(x)
+
1
− 1
+ C
u(x) 2
u ′ (x)
1 − u(x) 2 dx = coth−1 u(x) + C = 1
2 ln
u(x) + 1
u(x)
− 1
+ C
n
1 = n (∗)
k=1
n
c = nc
k=1
n n(n + 1)
i = (∗)
2
n
i 2 n(n + 1)(n + 1)
= (∗)
6
n
i 3 2 n(n + 1)
= (∗)
2
k=1
k=1
k=1

156 Formules

Bylaag F
Woordelys
absolute extreme value − absolute ekstreemwaarde
absolute maximum value − absolute maksimumwaarde
absolute minimum value − absolute minimumwaarde
absolute value function − absolute waarde-funksie
acceleration − versnelling
analysis − analise
arc length − booglengte
area − oppervlakte
area under a curve − oppervlakte onder ’n kromme
asymptote − asimptoot
average cost function − gemiddelde kostefunksie
average rate of change − gemiddelde tempo van verandering
average value − gemiddelde waarde
calculate − bereken
calculus − differensiaal- en integraalrekening
chain rule − kettingreël
circle − sirkel
closed interval − geslote interval
composition − samestelling
concave downward − konkaaf af
concave upward − konkaaf op
concavity test − konkawiteitstoets
constant − konstant
continuity − kontinuïteit
continuous − kontinu
cost function − kostefunksie
critical point − kritieke punt
cube − kubus
curve sketching − krommesketsing
decreasing − dalend
definite integral − bepaalde integraal
definition − definisie
demand function − aanvraagfunksie
denominator − noemer
157

158 Woordelys
derive − aflei
derivative − afgeleide
determine − bepaal
difference − verskil
differentiable − differensieerbaar
differential − differensiaal
differentiate − differensieer
differentiation − differensiasie
discontinuous − diskontinu
displacement − verplasing
domain − definisieversameling
even function − ewe funksie
exponential function − eksponensiale funksie
extreme value theorem − ekstreemwaardestelling
finite − eindig
function − funksie
global extreme value − globale ekstreemwaarde
global maximum value − globale maksimumwaarde
global minimum value − globale minimumwaarde
gradient − gradiënt, helling
higher order derivative − hoër orde afgeleide
hyperbolic function − hiperboliese funksie
implicit − implisiet
increasing − stygend
increment − inkrement
indefinite integral − onbepaalde integraal
infinite − oneindig
inflection point − buigpunt
instantaneous rate of change − oombliklike tempo van verandering
integrable − integreerbaar
integrand − integrant
integration − integrasie
integration by parts − faktorintegrasie
intermediate value theorem − tussenwaardestelling
limit − limiet
linear approximation − liniêre benadering
logarithmic differentiation − logaritmiese differensiasie
logarithmic function − logaritmiese funksie
local extreme value − lokale ekstreemwaarde
local maximum value − lokale maksimumwaarde
local minimum value − lokale minimumwaarde
marginal cost − marginale koste
marginal profit function − marginale winsfunksie
marginal revenue function − marginale inkomstefunksie
mean value theorem − middelwaardestelling
number of units − aantal eenhede
numerator − teller
obtuse cone − stompkeël

Woordelys 159
one-to-one function − een-eenduidige funksie
open interval − oop interval
operations − bewerkings
partial fraction decomposition − parsiële breukontbinding
piecewise defined function − stuksgewys gedefinieerde funksie
polynomial − polinoom
power function − magsfunksie
power rule − magreël
product − produk
production level − produksievlak
profit function − winsfunksie
quotient − kwosiënt
radian − radiaal
radian measure − radiaalmaat
rational function − rasionale funksie
range − waardeversameling
radical function− wortelfunksies
ratio test − verhoudingstoets
rectangle − reghoek
reduction formula − herleidingsformule
related rates − verwante tempo’s
relative extreme value − relatiewe ekstreemwaarde
relative maximum value − relatiewe maksimumwaarde
relative minimum value − relatiewe minimumwaarde
remainder term − resterm
revenue function − inkomstefunksie
root test − worteltoets
secant − snylyn
series − reeks
set − versameling
slope − helling, gradiënt
smooth − glad
solid of revolution − omwentelingsliggaam
square − vierkant
squeeze theorem − knyptangstelling
stationary point − stasionêre punt
straight line − reguitlyn
substitution rule − substitusie reël
sum − som
surface − oppervlak
tangent − raaklyn
Taylor series − Taylorreeks
theorem − stelling
triangle − driehoek
trigonometric function − trigonometriese funksie
uneven function − onewe funksie
velocity − snelheid

160 Woordelys
aantal eenhede − number of units
aanvraagfunksie − demand function
absolute ekstreemwaarde − absolute extreme value
absolute maksimumwaarde − absolute maximum value
absolute minimumwaarde − absolute minimum value
absolute waarde-funksie − absolute value function
aflei − derive
afgeleide − derivative
analise − analysis
asymptote − asimptoot
bepaal − determine
bepaalde integraal − definite integral
bereken − calculate
bewerkings − operations
booglengte − arc length
buigpunt − inflection point
dalend − decreasing
differensiasie − differentiation
differensieer − differentiate
differensieerbaar − differentiable
definisie − definition
definisieversameling − domain
differensiaal − differential
differensiaal- en integraalrekening − calculus
diskontinu − discontinuous
driehoek − triangle
een-eenduidige funksie − one-to-one function
eindig − finite
eksponensiale funksie − exponential function
ekstreemwaardestelling − extreme value theorem
faktorintegrasie − integration by parts
funksie − function
gemiddelde kostefunksie − average cost function
gemiddelde tempo van verandering − average rate of change
gemiddelde waarde − average value
geslote interval − closed interval
glad − smooth
globale ekstreemwaarde − global extreme value
globale maksimumwaarde − global maximum value
globale minimumwaarde − global minimum value
gradiënt − gradient, slope
helling − slope, gradient
herleidingsformule − reduction formula
hiperboliese funksie − hyperbolic function
hoër orde afgeleide − higher order derivative
implisiet − implicit
inkomstefunksie − revenue fucntion
inkrement − increment

Woordelys 161
integrant − integrand
integrasie − integration
integreerbaar − integrable
keël − cone
kettingreël − chain rule
konkaaf af − concave downward
konkaaf op − concave upward
konkawiteitstoets − concavity test
konstant − constant
kontinu − continuous
kontinuïteit − continuity
kostefunksie − cost function
knyptangstelling − squeeze theorem
kritieke punte − critical point
krommesketsing − curve sketching
kubus − cube
kwosiënt − quotient
limiet − limit
liniêre benadering − linear approximation
logaritmiese differensiasie − logaritmic differentiation
logaritmiese funksie − logarithmic function
lokale ekstreemwaarde − local extreme value
lokale maksimumwaarde − local maximum value
lokale minimumwaarde − local minimum value
magreël − power rule
magsfunksie − power function
marginale inkomstefunksie − marginal revenue function
marginale koste − marginal cost
marginale winsfunksie − marginal profit function
middelwaardestelling − mean value theorem
omwentelingsliggaam − solid of revolution
onbepaalde integraal − indefinite integral
oneindig − infinite
oombliklike tempo van verandering − instantaneous rate of change
oop interval − open interval
oppervlak − surface
oppervlakte − area
oppervlakte onder ’n kromme − area under a cruve
parsiële breukontbinding − partial fraction decomposition
polinoom − polynomial
produk − product
produksievlak − production level
raaklyn − tangent
radiaal − radian
radiaalmaat − radian measure
rasionale funksie − rational function
reeks − series
reghoek − rectangle

162 Woordelys
reguitlyn − straight line
relatiewe ekstreemwaarde − relative extreme value
relatiewe maksimumwaarde − relative maximum value
relatiewe minimumwaarde − relative minimum value
resterm − remainder term
samestelling − composition
sirkel − circle
snelheid − velocity
snylyn − secant
som − sum
stasionêre punt − stationary point
stelling − theorem
stompkeël − obtuse cone
stuksgewys gedefinieerde funksie − piecewise defined function
stygend − increasing
substitusiereël − substitution rule
Taylorreeks − Taylor series
trigonometriese funksie − trigonometric function
tussenwaardestelling − intermediate value theorem
verhoudingtoets − ratio test
verplasing − displacement
versameling − set
verskil − difference
versnelling − acceleration
verwante tempo’s − related rates
vierkant − square
waardeversameling − range
winsfunksie − profit function
wortelfunksie − radical function
worteltoets − root test