MATE 211 VAC - Index of
MATE 211 VAC - Index of MATE 211 VAC - Index of
ONDERWYSWISKUNDE: EUKLIDIESE EN SFERIESE MEETKUNDE STUDIEGIDS VIR MATE 211 VAC *MATE211VAC* SKOOL VIR OPVOEDINGSWETENSKAPPE VAALDRIEHOEKKAMPUS
- Page 2 and 3: Studiegids saamgestel deur: Me HH C
- Page 4 and 5: Leergedeelte 3.3 VERRASSINGS OP DIE
- Page 6 and 7: WOORD VAN VERWELKOMING Baie welkom
- Page 8 and 9: Asp, Gary; Dowsey, John; Stacey, Ka
- Page 10 and 11: x teken diagramme, teken breinkaart
- Page 12 and 13: Definieer Om presies te sê wat ʼn
- Page 14 and 15: xiv 5 Sferiese Trigonometrie 10 Keg
- Page 16 and 17: Logic can only go so far xvi after
- Page 18 and 19: VERTALING VAN WISKUNDIGE TERME alti
- Page 20 and 21: Leereenheid 1 1.1 INLEIDING Jy beno
- Page 22 and 23: Leereenheid 1 19. Hoe word jy bevoo
- Page 24 and 25: Leereenheid 1 35. Wat dink jy tot d
- Page 26 and 27: Leereenheid 1 Opdrag1B: Lees die vo
- Page 28 and 29: Leereenheid 1 10 secondary school g
- Page 30 and 31: Leereenheid 1 12 Internet accesses:
- Page 32 and 33: Leereenheid 1 1.2.1 Eenvoudigste Fi
- Page 34 and 35: Leereenheid 1 Gebruik http://math.r
- Page 36 and 37: Leereenheid 1 1.2.2 Meet aan Afstan
- Page 38 and 39: Leereenheid 1 Blaai nou terug na di
- Page 40 and 41: Leereenheid 2 2.1 TWEE LYNE SE GEME
- Page 42 and 43: Leereenheid 2 24 4. Beskryf jou baa
- Page 44 and 45: Leereenheid 2 Blaai nou terug na di
- Page 46 and 47: Leereenheid 3 3.1 VEELHOEKE Jy beno
- Page 48 and 49: Leereenheid 3 3.1.1 Tweehoeke en Ge
- Page 50 and 51: Leereenheid 3 3.1.2 Driehoeke: Hoek
ONDERWYSWISKUNDE:<br />
EUKLIDIESE EN SFERIESE MEETKUNDE<br />
STUDIEGIDS VIR<br />
<strong>MATE</strong> <strong>211</strong> <strong>VAC</strong><br />
*<strong>MATE</strong><strong>211</strong><strong>VAC</strong>*<br />
SKOOL VIR OPVOEDINGSWETENSKAPPE<br />
VAALDRIEHOEKKAMPUS
Studiegids saamgestel deur:<br />
Me HH Coetzee<br />
Hantering van drukwerk en verspreiding deur Departement Logistiek (Verspreidingsentrum).<br />
Gedruk deur The Platinum Press (018) 299 4226.<br />
Kopiereg 2012-uitgawe. Hersieningsdatum 2013.<br />
Noordwes-Universiteit, Potchefstroomkampus.<br />
Geen gedeelte van hierdie boek mag in enige vorm <strong>of</strong> op enige manier sonder skriftelike<br />
toestemming van die publiseerders weergegee word nie.<br />
ii
INHOUDSOPGAWE<br />
Woord van verwelkoming .................................................................................. vi<br />
Rasionaal ................................................................................. vii<br />
Voorvereistes ................................................................................. vii<br />
Bibliografie ................................................................................. vii<br />
Studiemateriaal ................................................................................ viii<br />
Hoe om hierdie studiegids te gebruik ............................................................................... ix<br />
Hoe om die leerinhoud te bestudeer ................................................................................. ix<br />
Aksiewerkwoorde vir wiskunde .................................................................................. xi<br />
Modulebeplanner ................................................................................ xiii<br />
Studie-ikone ................................................................................. xv<br />
Uitkomste van hierdie module ............................................................................... xvii<br />
Vertaling van wiskundige terme .............................................................................. xviii<br />
Leereenheid 1 DIE PLAT VLAK EN DIE SFEER ...................................................... 1<br />
Leergedeelte 1.1 INLEIDING 2<br />
Leergedeelte 1.2 BASIESE BEGRIPPE 13<br />
1.2.1 Eenvoudigste Figure en Reguit Lyne 14<br />
1.2.2 Meet van Afstande en Konstruksie van 'n Ewenaar en Poolpunte 18<br />
1.2.3 Meet van Hoeke 19<br />
Leereenheid 2 EWEWYDIGE EN LOODREGTE LYNE IN DIE PLAT VLAK EN<br />
OP DIE SFEER ............................................................................... 21<br />
Leergedeelte 2.1 TWEE LYNE SE GEMEENSKAPLIKE PUNTE EN LOODREGTE<br />
LYNE 22<br />
Leergedeelte 2.2 GEMEENSKAPLIKE LOODREGTE LYNE 25<br />
Leereenheid 3 VEELHOEKE IN DIE PLAT VLAK EN OP DIE SFEER ................... 27<br />
Leergedeelte 3.1 VEELHOEKE 28<br />
3.1.1 Tweehoeke en Gebiede 30<br />
3.1.2 Driehoeke: Hoekpunte en die Som van die Hoeke 32<br />
3.1.3 Driehoeke en Regtehoeke 34<br />
Leergedeelte 3.2 GELYKVORMIGHEID EN KONGRUENSIE OP DIE PLAT VLAK EN<br />
DIE SFEER 36<br />
3.2.1 Gelykvormige Veelhoeke en Driehoeke met Kongruente Hoeke 37<br />
3.2.2 Voorwaardes vir Kongruensie van Driehoeke 38<br />
iii
Leergedeelte 3.3 VERRASSINGS OP DIE SFEER 39<br />
iv<br />
3.3.1 Ingeskrewe Driehoeke 40<br />
3.3.2 Napier se Pentagoon / Pentagram 42<br />
Leergedeelte 3.4 POOLDRIEHOEKE 43<br />
3.4.1 Pooldriehoeke: Sye, Hoeke, Hoogtelyne 44<br />
3.4.2 Halveerlyne – Middelloodlyne – Swaartelyne 46<br />
Leereenheid 4 TOEPASSINGS VAN SFERIESE MEETKUNDE OP DIE<br />
AARDBOL ................................................................................. 49<br />
Leergedeelte 4.1 KARTERING VAN DIE AARDE 50<br />
Leergedeelte 4.2 LIGGING EN TYD OP DIE AARDBOL 52<br />
Leergedeelte 4.3 COLUMBUS SE VISIE VAN DIE AARDE - AARDBEWINGS EN<br />
VULKANE 61<br />
Leereenheid 5 SFERIESE TRIGONOMETRIE ........................................................ 63<br />
Leergedeelte 5.1 DIE KOSINUSREËL 64<br />
Leergedeelte 5.2 DIE SINUSREËL 72<br />
Leergedeelte 5.3 NAPIER SE REËLS 79<br />
Leereenheid 6 SIRKELS ................................................................................. 87<br />
Leergedeelte 6.1 EIENSKAPPE VAN ‘N SIRKEL EN SIRKELFAMILIES 88<br />
Leergedeelte 6.2 DIE VERHOUDING TUSSEN DIE OMTREK EN DEURSNEDE VAN<br />
SIRKELS 91<br />
Leereenheid 7 OPPERVLAKTE EN TESSELASIES OP DIE SFEER ..................... 93<br />
Leergedeelte 7.1 OPPERVLAKTE OP DIE SFEER 94<br />
7.1.1 Oppervlakte: Vierkante en Driehoeke 95<br />
7.1.2 Oppervlakte: Sirkels en Driehoeke 98<br />
Leergedeelte 7.2 TESSELLASIES OP DIE SFEER 104<br />
7.2.1 Tessellasies op die Plat Vlak en op die Sfeer 105<br />
7.2.2 3D Plato-Vasteliggame en Sferiese Tessellasies daarvan 107<br />
Leereenheid 8 DIE FORMULE VAN EULER ........................................................ 111<br />
Leereenheid 9 TRANSFORMASIES OP DIE SFEER EN OP DIE PLAT VLAK .... 115<br />
Leergedeelte 9.1 REFLEKSIES OP DIE SFEER 116<br />
Leergedeelte 9.2 EUCLIDIESE TRANSFORMASIE MEETKUNDE 118<br />
Leereenheid 10 KEGELSNEDES ........................................................................... 121<br />
Leergedeelte 10.1 DIE PARABOOL: DEFINISIE, MEETKUNDIGE EIENSKAPPE;<br />
STANDAARDVERGELYKINGS; GRAFIEKE VAN PARABOLE 123<br />
Leergedeelte 10.2 VERGELYKINGS VAN PARABOLE MET TOPPUNTE NIE IN DIE<br />
OORSPRONG NIE 130
Leergedeelte 10.3 DIE ELLIPS: MIDDELPUNT IN OORSPRONG,, EKSENTRISITEIT<br />
137<br />
Leergedeelte 10.4 DIE ELLIPS: MIDDELPUNT NIE IN DIE OORSPRONG IS NIE;<br />
HOOFAS EWEWYDIG AAN Y-AS 145<br />
Leergedeelte 10.5 DIE HIPERBOOL: DEFINISIE, MEETKUNDIGE EIENSKAPPE,<br />
STANDAARD VERGELYKINGS, GRAFIEKE VAN HIPERBOLE 154<br />
Leergedeelte 10.6 HIPERBOLE: TRANSLASIES VAN ASSE; TOEPASSINGS 160<br />
Leergedeelte 10.7 ROTASIE VAN ASSE 165<br />
Addendum ............................................................................... 172<br />
v
WOORD VAN VERWELKOMING<br />
Baie welkom by hierdie unieke module! Dit is sekerlik die eerste keer dat jy sferiese<br />
meetkunde bewustelik gaan doen. Ek vertrou jy voel baie opgewonde oor hierdie nuwe<br />
uitdaging.<br />
Residensieel: Om hierdie spesifieke module suksesvol af te handel, is dit noodsaaklik dat jy<br />
voorbereid na elke klas (kontaksessie) kom en elke opdrag na die beste van jou vermoë<br />
uitvoer. Op hierdie wyse verseker jy sinvolle gesprekke met jou fasiliteerder en ander<br />
leerders tydens kontaksessies. Daar is ook baie refleksie-ikone om te verseker dat jy nadink<br />
en seker maak dat jy alles onder die knie het.<br />
SBO: Om hierdie spesifieke module suksesvol af te handel, is dit noodsaaklik dat jy elke<br />
week omtrent 16 ure se werk voltooi volgens die aanduiding in die modulebeplanner. Jy word<br />
aangeraai om die laaste leereenheid van die begin af afwisselend met die sferiese<br />
meetkunde te doen. Dit is noodsaaklik om praktiese sessies by te woon om jou te help met<br />
die eerste leereenhede.<br />
vi<br />
CD-ROM.<br />
SBO: Skakel CD aan en kliek op A<br />
fotograaf: snsrjdv (met dank)
RASIONAAL<br />
In hierdie module word een van die vier leeruitkomste van Wiskunde in die VOO fase,<br />
naamlik meting, ruimte en vorm bespreek. In hierdie module word geleenthede geskep om<br />
noodsaaklike kennis, begrip en vaardighede met betrekking tot meetkunde te bemeester<br />
sodat jy dit effektief kan toepas en onderrig as wiskundeonderwyser.<br />
Hierdie module fokus op die bestudering van meetkunde op die plat vlak en op die sfeer; die<br />
vergelyking van die sferiese resultate met dié van Euklidiese meetkunde; asook die verband<br />
tussen trigonometrie en meetkunde op die sfeer. Ons lê ook baie klem daarop om aan te<br />
toon waar sferiese meetkunde in lewenswerklike situasies voorkom.<br />
Ons fokus ook op kegelsnedes. Analitiese meetkunde is ʼn algebraïese metode wat gebruik<br />
word om die meetkundige eienskappe van sekere meetkundige figure te ondersoek en te<br />
bewys. In die analitiese meetkunde word meetkundige begrippe “vertaal” na algebra: ʼn punt<br />
word geassosieer met ʼn getallepaar, ʼn reguitlyn met ʼn eerstegraadse vergelyking, die lengte<br />
van ʼn lynstuk met ʼn formule, ens. Jy het alreeds met hierdie begrippe kennis gemaak op<br />
skool, maar jy het waarskynlik nie die krag van die gebruik van algebra om meetkundige<br />
begrippe te bewys, besef nie. Die studie van kegelsnedes sal die krag van hierdie metode<br />
gewis tuisbring.<br />
VOORVEREISTES<br />
<strong>MATE</strong> 111 is ʼn voorvereiste vir <strong>MATE</strong> <strong>211</strong>.<br />
Daar word veronderstel dat jy kennis dra van alle meetkunde en trigonometrie wat in<br />
skoolwiskunde voorkom. 'n Goeie skoolhandboek is noodsaaklik indien jy nie alle stellings,<br />
identiteite en formules kan onthou nie.<br />
Die veronderstelling is ook dat jy analitiese meetkunde as deel van skoolwiskunde bestudeer<br />
het. Jy behoort basiese kennis daarvan te hê, soos byvoorbeeld die vergelyking van ʼn reguit<br />
lyn, ʼn sirkel, ʼn parabool en ʼn hiperbool, die lengte van ʼn lynstuk, ensovoorts. As jy nie hierdie<br />
kennis het nie, behoort jy paragraaf 1.8 in Precalculus van Stewart deur te werk.<br />
BIBLIOGRAFIE<br />
www.st-andrews.ac.uk/.../ images/earth.gif<br />
http://images.google.co.za/imgres?imgurl=http://www.tds.org/academics/Math/images<br />
www.counton.org/explorer/ circles/envelopes.shtml<br />
http://britton.disted.camosun.bc.ca/jbconics.htm<br />
http://math.rice.edu/~pcmi/sphere/sphere.html<br />
Lénárt, Istvan. 1996. Non-Euclidean Adventures on the LÉNÁRT SPHERE. Key Curriculum<br />
Press.<br />
De Klerk, J.H; Spoelstra, J. Inleiding tot die STERREKUNDE.<br />
vii
Asp, Gary; Dowsey, John; Stacey, Kaye; Tynan, David. 2004. Graphic Algebra. Key<br />
Curriculum Press<br />
Chanan, Steve et al. Exploring Algebra with The Geometer`s Sketchpad. 2002. Key<br />
Curriculum Press<br />
Exley, Linda L; Smith, Vincent K. 1993. College Algebra and Trigonometry. Prentice Hall<br />
Golightly, A. Planetêre Geografie GEOH 141 Diktaat.<br />
Haeussler, Ernest F Jr. ; Paul, Richard S. 2002. Introducing Mathematical Analysis for<br />
Business, Economics, and the Life and Social Sciences. Revised Edition. Prentice Hall<br />
Henderson, David W. 1996. Experiencing Geometry on Plane and Sphere. Prentice Hall<br />
Murdock, Jerald; Kamischke, Ellen and Eric 2002. Discovering Algebra An Investigative<br />
Approach. Key Curriculum Press<br />
Murdock, Jerald; Kamischke, Ellen and Eric 1998. Advanced Algebra Through Data<br />
Exploration A Graphing Calculator Approach. Key Curriculum Press<br />
Murdock, Jerald; Kamischke, Ellen and Eric 2004. Advanced Algebra An Investigative<br />
Approach. Key Curriculum Press<br />
Poulter, Bryony; Reeler, Lesley. 2001. Mathematics HG 12.Maskew Miller Longman.<br />
Sardar Ziauddin et al. 2005. Introducing Mathematics. Tien Wah Press Ltd.<br />
Scher, Daniel. 2002. Exploring Conic Sections with The Geometer’s Sketchpad. Key<br />
Curriculum Press<br />
Stewart, James. 2003. Single Variable Calculus International Student Edition. Thomson<br />
Brooks/Cole<br />
Van de Walle, John A. 2004 Elementary and Middle School Mathematics Teaching<br />
Developmentally Fifth Edition. Pearson Education, Inc<br />
Washington, Allyn J 2000 Basic technical Mathematics with Calculus. Seventh Edition.<br />
Addison Wesley Longman, Inc.<br />
STUDIE<strong>MATE</strong>RIAAL<br />
Lénárt Sphere Construction Materials Basic Set. (Koop by dosent <strong>of</strong> pr<strong>of</strong>md@mweb.co.za)<br />
The Geometer`s Sketchpad (Koop by dosent <strong>of</strong> pr<strong>of</strong>md@mweb.co.za)<br />
Geheuestokkie “USB Flashdrive”.<br />
Die volgende handboeke word gebruik:<br />
Lénárt, Istvan. 1996. Non-Euclidean Adventures on the LÉNÁRT SPHERE. Key<br />
Curriculum Press. (Koop by dosent <strong>of</strong> pr<strong>of</strong>md@mweb.co.za)<br />
Cohen, David. 2003. College Alegebra. Fifth Edition. Pacific Grove, CA: Brooks/Cole.<br />
Stewart, James. 2006. Precalculus. 5 th Ed. Pacific Grove: Brooks/Cole Publishing Company.<br />
Anton, Howard. 1995. Calculus. 5th Ed. New York: Wiley. (ingebind in addendum)<br />
Scher, Daniel. 2002. Exploring Conic Sections with The Geometer’s Sketchpad. Key<br />
Curriculum Press. (dosent sal kopieë in klas verskaf met die voorwaarde dat dit nie weer<br />
gekopieer mag word nie)<br />
viii
HOE OM HIERDIE STUDIEGIDS TE GEBRUIK<br />
Die studiegids bevat instruksies wat jou behoort te help om die handboek en ander<br />
studiemateriaal doeltreffend te gebruik. Sekere moeilike gedeeltes word verduidelik en vrae<br />
gestel om jou in staat te stel om jou kennis en begrip van die leerinhoud te bepaal. Die leer<br />
van wiskunde berus in groot mate op die doen daarvan. Gevolglik word aantal geleenthede<br />
in hierdie studiegids geskep om jou in staat te stel om wiskunde te doen, te leer en te<br />
verstaan. In die bestudering van <strong>MATE</strong> <strong>211</strong> moet jy :<br />
die uitkomste op alle vlakke (module, leereenheid, leergedeelte) intensief bestudeer;<br />
die modulebeplanner raadpleeg sodat jy idee kan vorm ten opsigte van die<br />
organisering van leerinhoude en verdeling van tyd;<br />
die leerinhoud bestudeer volgens die leeruitkomste en die instruksies in die studiegids;<br />
al die leeraktiwiteite (voorbeelde en oefeninge) van elke leereenheid uitvoer;<br />
al die opdragte van elke leereenheid voltooi en in lewer om gedeeltelik deur die dosent<br />
nagesien te word;<br />
die res self korrigeer d.m.v. memo’s op eFundi;<br />
voorbereiding as selfstudie (SBO)<br />
Do not pay attention to the words;<br />
Instead pay attention to meanings behind the words.<br />
But, do not just pay attention to meanings behind the words;<br />
Instead pay attention to your deep experience <strong>of</strong> those meanings.<br />
Tenzin Gyatso, soos aangehaal deur [Henderson: 1996]<br />
HOE OM DIE LEERINHOUD TE BESTUDEER<br />
Beplan jou studietyd met behulp van die “aanbevole studietyd” aan die begin van elke<br />
leereenheid. Elke leereenheid is verdeel in leergedeeltes, wat jou sowat 16 ure aktiewe<br />
studie per week sal neem om te voltooi. Dit beteken dat jy ten minste 11 ure per week<br />
opsy behoort te sit om die studiemateriaal vir daardie week te voltooi.<br />
Gebruik die uitkomste aan die begin van elke leereenheid <strong>of</strong> leergedeelte om jou in jou<br />
studies te lei. Die uitkomste vertel jou watter kennis en vaardighede jy moet hê nadat jy<br />
die leereenheid afgehandel het.<br />
Hou by die datums wat aan jou deur jou dosent gegee sal word vir die voltooiing van<br />
die verskillende onderwerpe, dan sal jy nie nodig hê om kort voor die eksamen te “blok”<br />
nie!<br />
As jy om een <strong>of</strong> ander rede agter raak, moenie moedeloos word nie, hou by die<br />
werkprogram op die tydskedule en haal so gou as moontlik in.<br />
Wanneer jy met ʼn nuwe leergedeelte begin, lees vinnig daardeur, om die volledige<br />
prentjie te kry. Raak dan aktief betrokke by die studiemateriaal: maak opsommings,<br />
ix
x<br />
teken diagramme, teken breinkaarte, doen voorbeelde, verduidelik dinge aan jouself.<br />
Onthou: ʼn Mens leer wiskunde net deur dit self te doen.<br />
Baie belangrike raad: Moenie net na die voorbeelde <strong>of</strong> vrae kyk en dink dat jy die vrae<br />
sal kan antwoord nie. Ons het gevind dat studente die probleme self moet doen<br />
(selfs al is dit net ʼn voorbeeld), anders “verstaan” hulle nie die werk nie en kan hulle nie<br />
die vrae in die eksamen beantwoord nie!<br />
Doen die oefeninge en selftoetse en merk hulle volgens die oplossings/antwoorde wat<br />
gegee word.<br />
Gedurende alle groepbesprekings word probleme wat studente met die studiemateriaal<br />
ondervind het, bespreek. As jy probleme ervaar, skryf neer presies wat jy nie verstaan<br />
nie. Jou dosent/ fasiliteerder kan jou slegs help wanneer jy presies weet wat dit is wat<br />
jy nie verstaan nie.<br />
Word deel van ʼn studiegroep waarin julle die werk kan bespreek en verduidelik dit aan<br />
mekaar.<br />
ASSESSERING VAN HIERDIE MODULE<br />
Assessering sal soos volg gedoen word:<br />
ASSESSERING VAN DIE INHOUD<br />
Voltooiing van skriftelike en praktiese klasopdragte (in klein groepies) en inhandiging<br />
op datum deur dosent verskaf vir gedeeltelike assessering.<br />
Versuiming om kontaksessies by te woon sal negatief beoordeel word.<br />
Voltooiing van huiswerkopdragte (individueel) en inhandiging op datum soos deur<br />
dosent verskaf vir gedeeltelike assessering.<br />
Die skryf van onvoorbereide en voorbereide klastoetse.<br />
Opdragte wat gedeeltelik deur dosent <strong>of</strong> assistent nagesien is, moet verder self<br />
nagesien word met behulp van memorandums op eFundi.<br />
Fakulteitsbesluit vir penalisering vir laat inhandiging van referate – voltydse studente: Daar is<br />
besluit dat referate/werkopdragte wat een dag tot en met ʼn week na die vasgestelde datum<br />
ingehandig word, wel nagesien word, maar dat die punt wat die student verwerf deur 2<br />
gedeel word. Byvoorbeeld sal ʼn student wat laat ingehandig het en ʼn punt van 90% behaal<br />
gevolglik net 45% verwerf. ʼn Week na die inhandigingsdatum word die memorandum (waar<br />
van toepassing) beskikbaar gestel en word geen referate meer aanvaar nie. Geldige<br />
menslikheidsfaktore sal wel na die dosent se eie oordeel aanvaar word<br />
TERUGVOER<br />
Sommige opdragte sal gedeeltelik <strong>of</strong> volledig deur die dosent <strong>of</strong> assistent nagesien<br />
word. Memorandums van gedeeltelik nagesiende opdragte sal na ʼn week op eFundi<br />
verskyn. Die student moet dit dan self nasien.<br />
Ander opdragte sal tydens die kontaksessies self <strong>of</strong> deur ʼn medestudent nagesien<br />
word vanaf memorandums deur die dosent verskaf.<br />
Terugvoering sal tydens die kontaksessies geskied wanneer opdragte teruggegee<br />
word.
SBO: Probeer ʼn mentor vind om jou te help as jy vasbrand. As jy werklik sukkel met ʼn<br />
spesifieke probleem, kontak jou dosent by 11601167@nwu.ac.za <strong>of</strong> skakel tydens spreekure<br />
by 018 – 2991471.<br />
ASSESSERING VAN HIERDIE MODULE (SBO)<br />
ASSESSERING VAN DIE INHOUD<br />
Klastoetse wat Residensieel geskryf word sal elektronies aan u gestuur word. Dit moet as<br />
werkopdragte voltooi word en elektronies teruggestuur <strong>of</strong> gefaks word aan:<br />
SELFASSESSERING<br />
Die nasien van alle opdragte met behulp van memorandums op eFundi voorsien deur die<br />
dosent.<br />
DEELNAMEBEWYS<br />
SBO: Jy ontvang deelnamebewys van die Universiteit op grond van al die opdragte, die<br />
klastoetse wat jy as opdragte sal ontvang en betyds moet inlewer, asook die kontaktoets.<br />
DEELNAMEPUNT<br />
Jy bou deelnamepunt op met behulp van die punte wat behaal is in alle opdragte .<br />
EKSAMEN<br />
Jy het toelating tot die eksamen in hierdie module as jy deelnamepunt van ten minste<br />
40% opgebou het en daarmee deelnamebewys verwerf het.<br />
Aan die einde van die module word eksamenvraestel van 3 uur geskryf. Die<br />
subminimum vir afdeling A van die vraestel is 40% en die subminimum vir afdeling B<br />
van die vraestel is 40%. Indien die subminimum vir ‘n afdeling nie bereik word nie,sal<br />
die betrokke afdeling tydens die tweede geleentheid weer geskryf word.<br />
Jou modulepunt vir <strong>MATE</strong> <strong>211</strong> word m.b.v. die deelnamepunt en die eksamenpunt in<br />
die verhouding 1:1 bereken. Die slaagsyfer vir die module is 50%.<br />
AKSIEWERKWOORDE VIR WISKUNDE<br />
Toepas<br />
Om in staat te wees om wat jy in een situasie geleer het, in ʼn ander situasie te kan gebruik.<br />
VOORBEELD: Pas differensiasie toe op maksimeringsprobleme.<br />
Aflei<br />
Om reël /eienskap te bewys deur logiese redenering.<br />
VOORBEELD: Lei die eienskap : a.0 = 0 af deur gebruik te maak van die basiese<br />
eienskappe van die reële getalle.<br />
xi
Definieer<br />
Om presies te sê wat ʼn wiskundige begrip <strong>of</strong> bewerking beteken.<br />
VOORBEELD: Definieer ʼn funksie.<br />
Demonstreer<br />
Om jou kennis ten opsigte van ʼn wiskundige bewerking te toon.<br />
VOORBEELD: Demonstreer dat ʼn rasionale getal geskryf kan word óf as ʼn eindige óf as ʼn<br />
repeterende desimale getal.<br />
Illustreer<br />
Om jou kennis van ʼn begrip <strong>of</strong> ʼn stelling te demonstreer met behulp van die teken van ʼn<br />
grafiek <strong>of</strong> ʼn diagram.<br />
VOORBEELD: Illustreer die kontinuïteit van ʼn funksie deur gebruik te maak van die grafiek<br />
van die funksie.<br />
Voorstel<br />
Om ʼn wiskundige begrip op ʼn ander manier te beskryf.<br />
VOORBEELD: Gee ʼn meetkundige voorstelling van die komplekse getal z = 2 + 2i.<br />
Stel/noem<br />
Om spesifieke eienskappe neer te skryf sonder bespreking.<br />
VOORBEELD: Stel die assosiatiewe eienskap vir optelling.<br />
Bereken/bepaal<br />
Om die antwoord van ʼn bewerking te kry.<br />
VOORBEELD: Bereken:<br />
Bewys<br />
xii<br />
lim<br />
x 0<br />
x<br />
2<br />
2x<br />
.<br />
x<br />
Om aan te toon dat ʼn bewering waar is.<br />
VOORBEELD: Bewys dat 5 n - 1 deelbaar is deur 4 vir alle natuurlike getalle n.<br />
Los op<br />
Om ʼn oplossing te verkry vir ʼn gegewe probleem <strong>of</strong> vergelyking.<br />
VOORBEELD: Ek wil graag ʼn hok bou uit 20 m heining materiaal. Wat moet die lengte en<br />
breedte van die hok wees sodat die oppervlakte ʼn maksimum sal wees?<br />
Formuleer<br />
Om ʼn stelling <strong>of</strong> reël neer te skryf sonder enige bewys.<br />
VOORBEELD: Formuleer die stelling van Pythagoras.
MODULEBEPLANNER<br />
Sferiese meetkunde en kegelsnedes moet afgewissel word. Datums is slegs tentatief.<br />
LEEREENHEID LEERGEDEELTE OPDRAGTE URE DATUM<br />
Klastoets1 LE: 1 en 2 2 24/02/12<br />
Klastoets 2 LE: 3.1 - 3.3 LG: 10.1-10.2 2 09/03/12<br />
Klastoets 3 LE: 3.4 en 4 LG: 10.3 - 10.4 2 23/03/12<br />
Klastoets 4 LE: 5 2 11/05/12<br />
Klastoets 5 LG: 10.5 Le: 6 2 18/05/12<br />
Klastoets 6 LE 7 en 8 LG 10.6 – 10.7 25/05/12<br />
1 Die Plat<br />
Vlak en die<br />
Sfeer<br />
2 Ewewydige<br />
en Loodregte<br />
Lyne in<br />
die Plat Vlak<br />
en op die<br />
Sfeer<br />
10 Kegelsnedes<br />
as<br />
lokusse<br />
3 Veelhoeke<br />
in die Plat<br />
Vlak en op<br />
die Sfeer<br />
10 Kegelsnedes<br />
10 Kegelsnedes<br />
4 Toepassings<br />
van<br />
Sferiese<br />
Meetkunde<br />
op die<br />
Aardbol<br />
1.1 Inleiding 1A<br />
en B<br />
1.2 Basiese Begrippe 2 word na elke<br />
LG aangepas<br />
2.1 Twee Lyne se<br />
Gemeenskaplike Punte<br />
en Loodregte Lyne<br />
2.2 Gemeenskaplike<br />
Loodregte Lyne<br />
10.1 Die parabool met<br />
toppunt in die oorsprong<br />
3.1 Veelhoeke<br />
10.2 Die parabool met<br />
toppunt nie in die<br />
oorsprong nie<br />
3.2 Gelykvormigheid en<br />
Kongruensie<br />
3.3 Verrassings op die<br />
Sfeer<br />
3 08/02/12<br />
09/02/12<br />
9 (09-<br />
14/02)<br />
3 (15/02)<br />
3 (16/02)<br />
11A 4 (17/2)<br />
PC-opdrag 1<br />
via eFundi<br />
12<br />
13A<br />
3.4 Pooldriehoeke PC-opdrag 2<br />
via eFundi<br />
10.3 Die ellips met<br />
middelpunt in die<br />
oorsprong<br />
14A<br />
20/02/12<br />
9 (20-22/2)<br />
23/02/12<br />
8 (23-27/2)<br />
28/02/12<br />
02/03/12<br />
6 (28/2-<br />
29/2)<br />
6 (1/3-2/3)<br />
9 (5/3-7/3)<br />
08/03/12<br />
6 (08-12/3)<br />
13/03/12<br />
4.1 Kartering van die Aarde 2 (13/03)<br />
4.2 Ligging en Tyd op die<br />
Aardbol<br />
4.3 Columbus se Visie van<br />
die Aarde; Aardbewings<br />
en Vulkane<br />
4B<br />
5 opsioneel 0<br />
2 (13/03)<br />
14/03/11<br />
xiii
xiv<br />
5 Sferiese<br />
Trigonometrie<br />
10 Kegelsnedes<br />
5.1 Die Kosinusreël 3 (14/03)<br />
5.2 Die Sinusreël 6B 6 (15-16/3)<br />
10.4 Die ellips met<br />
middelpunt nie in die<br />
oorsprong nie<br />
5.3 Napier se reëls<br />
6 Sirkels 6.1 Eienskappe van ʼn Sirkel<br />
en Sirkelfamilies<br />
15A<br />
7A<br />
19/03/12<br />
6 (19-20/3)<br />
22/03/12<br />
3 (22/3)<br />
22/03/12<br />
3 (26/3)<br />
10 16A 27/03/12<br />
9 Transformasies<br />
6.2 Die Verhouding tussen<br />
die Omtrek en<br />
Deursnede van Sirkels<br />
9.2 Euclidiese<br />
Transformasie<br />
Meetkunde<br />
PC-opdrag 3<br />
via eFundi<br />
Selfstudie<br />
PC-opdrag 5<br />
via eFundi<br />
3 (27/3)<br />
6<br />
28/03/12<br />
02/05/12<br />
10 17 02/05/12<br />
7 Oppervlakte<br />
en Tesselasies<br />
op die<br />
Sfeer<br />
10 Kegelsnedes<br />
10 Kegelsnedes<br />
7.1 Oppervlakte<br />
8B<br />
7.2 Tessellasies PC-opdrag 4<br />
via eFundi<br />
10.5 Die hiperbool met<br />
middelpunt in die<br />
oorsprong<br />
10.6 Die hiperbool met<br />
middelpunt nie in die<br />
oorsprong nie<br />
9B<br />
18A<br />
19A<br />
9 (2-4/5)<br />
07/05/12<br />
6 (7-8/4)<br />
09/05/12<br />
09/05/12<br />
4 (10/5)<br />
15/04/12<br />
8 (14-16/5)<br />
17/05/11<br />
Ekskursie 21/5-22/5<br />
10 20 22/05/12<br />
8 Die Formule<br />
van Euler<br />
9 Transformasies<br />
10 Kegelsnedes<br />
10 3 23/05/12<br />
9.1 Refleksies op die Sfeer 3 (28-29/5)<br />
10.7 Rotasie van asse 21A 4 (30/5)<br />
Eksamen Voorbereiding 6 ?<br />
31/05/12<br />
Let wel: Finale afhandelings- / Inhandigingsdatums sal deur jou dosent voorsien word.
STUDIE-IKONE<br />
Prakties:<br />
Hierdie ikoon verwys na werk uit die voorgeskrewe handboek wat<br />
volgens die ondersoekende metode aangepak word om nuwe<br />
kennis te ontdek. Die “Adventure Card” moet gebruik word en as jy<br />
vashaak word die “ Student’s Guide” in NALS geraadpleeg.<br />
Refleksie:<br />
Nadat die prakties van 'n spesifieke avontuur gedoen is, moet u die<br />
“Teacher’s Guide” in NALS baie deeglik deurwerk. Bring elke keer jou<br />
tabel (Sien Opdrag 2 leergedeelte 2.1) van ooreenkomste en<br />
verskille op datum. Indien daar aspekte is wat jy nog nie verstaan nie,<br />
moet jy dit met jou dosent bespreek gedurende die volgende<br />
kontaksessie (Residensieel) <strong>of</strong> per e-pos(SBO).<br />
Toets die stand van u<br />
kennis/insig.<br />
Inleidende opmerkings.<br />
Bestudeer nou die<br />
volgende<br />
gedeelte/verduideliking /<br />
bespreking, aandagtig.<br />
Studiemateriaal benodig:<br />
Individuele PC-opdrag<br />
Individuele oefening.<br />
CD-Rom<br />
Praktiese voorbeeld.<br />
Verkry Internet toegang en<br />
voer die meegaande opdrag<br />
uit.<br />
PowerPoint-Aanbieding <strong>of</strong><br />
GSP ondersoek op die eFundi<br />
Antwoorde/oplossings<br />
Gedeeltelik deur dosent<br />
nagesien. Volledige<br />
memorandums op eFundi vir<br />
selfkontrole van die res.<br />
xv
Logic can only go so far <br />
xvi<br />
after that I must see-perceive-imagine.<br />
This geometry can help.<br />
I may reason logically thru theorem<br />
and propositions galore,<br />
but only what I perceive is real.<br />
If after studying I am not changed <br />
if after studying I still see the same <br />
the all has gone for naught.<br />
Geometry is to open up my mind<br />
so I may see what has always<br />
been behind<br />
the illusions that time<br />
and space construct.<br />
Space isn’t made <strong>of</strong> point and line<br />
the points and lines are in the mind.<br />
The physicists see space as curved<br />
with particles that are quite blurred.<br />
And, when I draw, everything is fat<br />
there are no points and that is that.<br />
The artists and the dreamer knows<br />
that space is where an image grows<br />
For me it’s a sea in which I swim<br />
a formless sea <strong>of</strong> hope and whim.<br />
Geometry<br />
Thru my fear <strong>of</strong> Infinity and One<br />
I structure space to confine<br />
my imaginations away from the idea<br />
that all is One.<br />
But, I can from this trap escape <br />
I can see the geometry in which I wander<br />
As but a structure I made to ponder.<br />
I can dare to let go the structures<br />
and go beyond<br />
and my fears<br />
to see what is always there to see.<br />
But, to let go, I must first grab on.<br />
Geometry is both the grabbing on<br />
It is a logical structure<br />
and the letting go.<br />
and a perceived meaning <br />
Q.E.D.’s and “Oh! I see!”’s.<br />
It is formal abstractions<br />
and beautiful contraptions.<br />
It is talking precisely about that<br />
which we know only fuzzily.<br />
But, in the end, and, most <strong>of</strong> all,<br />
it is seeing-perceiving<br />
the meaning that<br />
I AM.<br />
- David Henderson, 1978
UITKOMSTE VAN HIERDIE MODULE<br />
Na voltooiing van hierdie module moet jy in staat wees om grondige kennis, begrip en<br />
insig te demonstreer ten opsigte van:<br />
Euklidiese en sferiese meetkunde deur die bestudering van meetkunde op die platvlak<br />
en op die sfeer<br />
definisies van punte, afstand, “lyne” (sirkels), hoeke, driehoeke en vierhoek<br />
die stelling van Girard<br />
die vergelyking van die sferiese resultate met dié van Euklidiese meetkunde<br />
die verband tussen trigonometriese en meetkunde op die sfeer (oplos van driehoeke<br />
en die bepaling van area)<br />
die verband bring van die sferiese meetkunde met werklikheidsgetroue situasies.<br />
die gebruik van toepaslike rekenaarprogramme.<br />
Die uiteindelike doel van hierdie module is dat meetkunde op die sfeer jou sal lei tot dieper<br />
kennis en insig van die 2D meetkunde wat jy op skool sal moet fasiliteer. Ons poog ook dat<br />
jy na hierdie module op 'n hoër denkvlak volgens die Van Hiele vlakke sal kan funksioneer.<br />
Studente – sfere – ondersoekende metode<br />
fotograaf: snsrjdv (met dank)<br />
xvii
VERTALING VAN WISKUNDIGE TERME<br />
altitude hoogtelyn<br />
angle hoek<br />
angle bisector halveerlyn (van die hoek)<br />
circumference omtrek<br />
directrix riglyn<br />
equilateral triangle gelyksydige driehoek<br />
focal length brandpuntafstand / fokaal afstand<br />
focal ratio brandpuntverhouding / fokaalverhouding<br />
focus brandpunt / fokus<br />
inscribed circle ingeskrewe sirkel<br />
isosceles triangle gelykbenige driehoek<br />
lattitude breedtelyn<br />
longitude lengtelyn<br />
median swaartelyn<br />
perpendicular bisector / mediator middelloodlyn<br />
perpendiculat line loodregte lyn<br />
regular polygon reëlmatige veelhoek<br />
segment lynstuk<br />
similarity gelykvormigheid<br />
spherical excess sferiese surplus<br />
vertex hoekpunt<br />
xviii
1 DIE PLAT VLAK EN DIE SFEER<br />
Jy benodig ongeveer 12 uur om die leereenheid suksesvol te voltooi.<br />
UITKOMSTE:<br />
Na voltooiing van hierdie leereenheid moet jy in staat wees om<br />
die Lénárt Sfeer Konstruksie apparaat te gebruik;<br />
basies begrippe te ken;<br />
die doel van sferiese meetkunde te verstaan.<br />
Studiemateriaal benodig:<br />
Leereenheid 1<br />
Non-Euclidean Adventures on the Lénárt Sphere (hierna verwys as NALS) pp. v tot 5,<br />
ho<strong>of</strong>stuk 1; pp. 193-204 en Internet.<br />
http://www.keypress.com/images/product/tools/LenartSphereKit<br />
.jpg<br />
1
Leereenheid 1<br />
1.1 INLEIDING<br />
Jy benodig ongeveer 3 uur om die leergedeelte suksesvol te voltooi.<br />
UITKOMSTE:<br />
Na voltooiing van hierdie leergedeelte moet jy in staat wees om<br />
die Lénárt Sfeer Konstruksie apparaat te gebruik;<br />
basies begrippe te ken;<br />
die doel van sferiese meetkunde te verstaan.<br />
2<br />
Studiemateriaal benodig:<br />
Non-Euclidean Adventures on the Lénárt Sphere (hierna verwys as NALS) pp. v tot 5; pp.<br />
193-204 en Internet<br />
Prakties:<br />
NALS: Adventure Card 0.1<br />
NALS: Student’s Guide to Adventure 0.1<br />
Maak kennis met apparaat wat gebruik gaan word deur die Lénárt<br />
Sphere Construction Materials Basic Set uit te pak.<br />
Werk deur pp. v tot xx in NALS en voltooi dan die volgende:<br />
1. Hoekom bestudeer ons sferiese meetkunde en nie slegs Euklidiese meetkunde<br />
nie?................................................................................................................<br />
.................................................................................................................<br />
.................................................................................................................<br />
.................................................................................................................
2. Benoem die eenvoudigste figuur in sferiese meetkunde:<br />
Leereenheid 1<br />
........................................................................................................................<br />
3. 'n Lynstuk deur die middelpunt van die sfeer verbind twee<br />
.................................... sferiese punte.<br />
4. Wat word die eenvoudigste lyn wat op 'n sfeer getrek word genoem?<br />
........................................................................................................................<br />
5. Gee twee voorbeelde van bg. op die aardbol:<br />
........................................................................................................................<br />
........................................................................................................................<br />
6. Is die Steenbokskeerkring 'n grootsirkel?<br />
........................................................................................................................<br />
7. Watter breedtegraad is 'n grootsirkel?<br />
........................................................................................................................<br />
8. Watter lengtegraad is 'n grootsirkel?<br />
........................................................................................................................<br />
9. Hoeveel snypunte het twee verskillende grootsirkels?<br />
........................................................................................................................<br />
10. Watter twee grootsirkels op die sfeer is parallel?<br />
........................................................................................................................<br />
11. Hoeveel grootsirkels kan jy trek deur twee punte wat nie teenoorgesteld is nie?<br />
........................................................................................................................<br />
12. Hoeveel grootsirkels kan jy trek deur twee teenoorgestelde punte?<br />
........................................................................................................................<br />
13. Definieer die sferiese afstand tussen twee punte op 'n grootsirkel.<br />
........................................................................................................................<br />
........................................................................................................................<br />
14. Benoem die eenheid van sferiese afstand.<br />
........................................................................................................................<br />
15. Wat is die sferiese afstand tussen twee teenoorgestelde punte?<br />
........................................................................................................................<br />
16. Wat word die middelpunte van 'n grootsirkel genoem?<br />
........................................................................................................................<br />
17. Elke pool definieer 'n unieke grootsirkel wat ons die ............................. noem.<br />
18. Noem drie velde waar sferiese meetkunde gebruik word:<br />
........................................................................................................................<br />
........................................................................................................................<br />
........................................................................................................................<br />
3
Leereenheid 1<br />
19. Hoe word jy bevoordeel deur meetkunde in die plat vlak en op die sfeer gelyktydig te<br />
bestudeer?<br />
4<br />
............................................................................................................................<br />
............................................................................................................................<br />
20. Is alle stellings in meetkunde op die plat vlak ook waar op 'n sfeer?<br />
............................................................................................................................<br />
21. Watter drie rolle moet in elke groep voorkom?<br />
............................................................................................................................<br />
............................................................................................................................<br />
............................................................................................................................<br />
22. Teen watter gevaar moet jy waak wanneer jy met meetkunde op die sfeer werk?<br />
............................................................................................................................<br />
23. Moet hierdie werkboek chronologies in skole deurgewerk word?<br />
............................................................................................................................<br />
24. Gestel jy is besig met die stelling van Pythagoras in skoolmeetkunde. Wat is die<br />
nommer van die avontuur waarmee jy die les kan verryk met sferiese meetkunde?<br />
Gee ook die bladsynommer waar jy die verwysing gevind het.<br />
............................................................................................................................<br />
25. Noem die drie afdelings waaruit elke “adventure” bestaan.<br />
............................................................................................................................<br />
............................................................................................................................<br />
............................................................................................................................<br />
26. Watter onderafdelings kom voor op die studente-gidse?<br />
............................................................................................................................<br />
............................................................................................................................<br />
............................................................................................................................<br />
............................................................................................................................<br />
............................................................................................................................
27. Voltooi die volgende tabel:<br />
Instrumente vir platvlak meetkunde:<br />
Plat oppervlakte<br />
<strong>of</strong> rekenaarskerm<br />
Tekenliniaal<br />
Liniaal<br />
Gradeboog<br />
Passer<br />
Potlood<br />
Instrumente vir sferiese meetkunde:<br />
28 Watter apparaat maak deel uit van die Lénárt Konstruksie Stel?<br />
...........................................................................................................<br />
...........................................................................................................<br />
...........................................................................................................<br />
...........................................................................................................<br />
...........................................................................................................<br />
...........................................................................................................<br />
...........................................................................................................<br />
...........................................................................................................<br />
...........................................................................................................<br />
29. Hoe kan jy verhoed dat die sfeer breek?<br />
...........................................................................................................<br />
Leereenheid 1<br />
30. Watter kant van die sferiese liniaal word gebruik om grootsirkels mee te konstrueer?<br />
...........................................................................................................<br />
31. Sou jy die sferiese liniaal <strong>of</strong> passer gebruik om noukeurig te meet?<br />
...........................................................................................................<br />
32. Hoe maak jy 'n te dun pen pas in die pennehouer?<br />
...........................................................................................................<br />
33. Watter kleur pennehouer moet jy gebruik vir jou soort penne?<br />
...........................................................................................................<br />
34. Hoe moet jy die ekstra transparante stoor?<br />
...........................................................................................................<br />
5
Leereenheid 1<br />
35. Wat dink jy tot dusver van die nuwighede?<br />
6<br />
...........................................................................................................<br />
...........................................................................................................<br />
...........................................................................................................<br />
...........................................................................................................<br />
...........................................................................................................<br />
Refleksie:<br />
NALS: Teacher’s Guide to adventure 0.1<br />
Meaning is important in mathematics and<br />
geometry is an important source <strong>of</strong> that meaning.<br />
(Henderson,1996)
Opdrag 1A:<br />
Doen 'n “google”-soektog na “spherical distance on<br />
the earth” en voltooi die volgende:<br />
1. The shape <strong>of</strong> the Earth more closely<br />
resembles a flattened spheroid with extreme<br />
values for the radius <strong>of</strong> curvature <strong>of</strong><br />
……1.1…..km at the equator and ……1.2….<br />
km at the poles. Using a sphere with a radius<br />
<strong>of</strong> ……1.3……. km results in an error <strong>of</strong> up to<br />
about 0.5%.<br />
Leereenheid 1<br />
1.4 Toon aan hoe die fout van 0,5% bereken is indien die gemiddelde radius by die<br />
ewenaar gebruik word.<br />
1.5 Bereken die afstand vanaf die noordpool tot by die ewenaar. (werk met die<br />
gemiddelde radius)<br />
1.6 Watter breukdeel van die afstand in 1.5 het die beer geloop?<br />
1.7 Watter gevolg het dit vir konstruksies op die Lénárt sfeer?<br />
1.8 Watter webadres het jy gebruik?<br />
Antwoorde/oplossings<br />
Gedeeltelik deur dosent nagesien. Volledige memorandums op eFundi vir<br />
selfkontrole van die res.<br />
7
Leereenheid 1<br />
Opdrag1B: Lees die volgende gedeelte van ʼn artikel deur Istvan Lénárt (geplaas met dank<br />
en sy toestemming) tydens Amesa 2004. Die volledige artikel sal op eFundi geplaas word.<br />
8<br />
Introduction: Posing the problem<br />
LIVING KNOWLEDGE<br />
VERSUS ROTE LEARNING<br />
Comparative Systems in Mathematics:<br />
Mathematics, one <strong>of</strong> the essential school subjects in general education, lives<br />
through a difficult stage <strong>of</strong> its history.<br />
On the one hand, members <strong>of</strong> the young generation with easy access to<br />
channels <strong>of</strong> information <strong>of</strong>ten have doubts about the importance <strong>of</strong> learning and<br />
memorizing mathematical concepts. It has become everyday experience <strong>of</strong><br />
mathematics teachers to be openly asked by ten-year olders: ’Why should we<br />
learn about these things? What is the use <strong>of</strong> school mathematics in our life?’<br />
On the other hand, members <strong>of</strong> social classes living in poverty and isolation <strong>of</strong>ten<br />
look at theories <strong>of</strong> science, particularly <strong>of</strong> mathematics, as words <strong>of</strong> magic that<br />
show them the way out from the present situation to a better and easier life.<br />
Younger and older students who live with a bucket <strong>of</strong> water for a day, have no<br />
electricity in their homes, go barefooted to their schools miles away, - take great<br />
pride in memorizing rather than understanding Cosine Law or the pro<strong>of</strong> <strong>of</strong> the<br />
Theorem <strong>of</strong> Pythagoras, <strong>of</strong>ten in a language different from their mother tongue.<br />
Mathematics is and will be in the foreseeable future a mighty tool <strong>of</strong> organizing<br />
and leading our society. As such, it remains an indispensable part <strong>of</strong> educating<br />
the privileged classes.<br />
The question that I pose here is: Can mathematics remain part <strong>of</strong> general<br />
education? Can mathematics education <strong>of</strong> the present and <strong>of</strong> the near future<br />
satisfy controversial expectations <strong>of</strong> different members <strong>of</strong> the whole society?<br />
My answer to these questions is a definite YES; but I also think that mathematics<br />
education must continue to develop a less supercilious, less autocratic and more<br />
humanistic approach.<br />
Some remarks concerning the two extremes <strong>of</strong> expectations<br />
The doubts about the importance and style <strong>of</strong> school mathematics are very likely to<br />
contain elements <strong>of</strong> truth. In a democratic society where the citizen is allowed and<br />
expected to choose among different options in private and public life, it is unusual and<br />
uncomfortable to teach about infallible and irrevocable statements within any subject <strong>of</strong><br />
science. The more so in mathematics which was among the first sciences to accept the
Leereenheid 1<br />
fact that no theory <strong>of</strong> human invention is capable <strong>of</strong> explaining all phenomena within a<br />
given subject.<br />
Likewise, accessible channels <strong>of</strong> information have made out-<strong>of</strong>-date the teacher’s role<br />
as the only, or even the main, source <strong>of</strong> information. Let me give a personal example. I<br />
have been studying geometry <strong>of</strong> the sphere for over thirty years. When searching for<br />
webpages about this topic, I find hundreds <strong>of</strong> thousands <strong>of</strong> results, an amount that is<br />
beyond my human capacity to fully explore. If my teenage students became interested<br />
in the topic, and began to search the web, they probably find many concepts and<br />
theorems that are more or less unknown for me. I have no right to play Know-All, I can<br />
only aspire to be my students’ partner and companion in finding the truth.<br />
Even more delicate is the question <strong>of</strong> rote learners. Is it not dangerous to deprive them<br />
<strong>of</strong> their illusions about the magic power <strong>of</strong> scientific expressions? Is it not better for<br />
them to be rote learners rather than hopeless outcasts <strong>of</strong> Information Society?<br />
The problem is that the pith <strong>of</strong> science lies in independent thinking and action. Modern<br />
science was born when merchants, sailors, farmers and craftsmen inspired scientists to<br />
turn from humble respect <strong>of</strong> the classics to perception <strong>of</strong> their own, thoughts <strong>of</strong> their<br />
own, confidence in their own abilities. The miracle <strong>of</strong> scientific terms lies in their power<br />
<strong>of</strong> invocating independent thinking and judgement. This is the reason why rote learning<br />
lacks the fundamental message that makes modern science, including mathematics,<br />
worth studying.<br />
Comparative systems: a possible answer to the problem<br />
Experiences and experiments in several countries <strong>of</strong> the world have shown that<br />
teaching about comparative systems might prove one - but by no means the only -<br />
answer to the problem described above.<br />
The term ’comparative systems’ means teaching two or even more different systems<br />
within the same topic. Instead <strong>of</strong> sticking to one fixed way <strong>of</strong> thinking, the essence <strong>of</strong><br />
the comparative method lies in continuous contrast and comparison <strong>of</strong> different<br />
standpoints. This method can readily be applied in many subjects, from history to<br />
economy, from linguistics to social sciences, and in various branches <strong>of</strong> mathematics,<br />
such as algebra, set theory or number systems. In what follows, I describe a project in<br />
geometry and some <strong>of</strong> its consequences.<br />
The plane-sphere project<br />
The plane-sphere project compares the fundamental concepts <strong>of</strong> Euclidean plane<br />
geometry with spherical geometry on the level as it is generally taught in geography. It<br />
can be applied at any level <strong>of</strong> math education where plane geometry is dealt with, from<br />
primary schools to pre- and in-service teacher training.<br />
Although it is not detailed in the present paper, the plane-sphere comparison can<br />
readily be extended to the hemispherical Poincaré model <strong>of</strong> hyperbolic geometry. From<br />
9
Leereenheid 1<br />
10<br />
secondary school grades, three different geometries can successfully be taught for<br />
students <strong>of</strong> average ability and interest in mathematics.<br />
What is the target audience <strong>of</strong> the project?<br />
After decades <strong>of</strong> experimenting, I have become convinced that the project can<br />
successfully be taught for the general audience, and for all age groups from primary<br />
school to teacher training. The content and style must carefully be adapted to the given<br />
group, depending on their needs, expectations, ability, etc.; but getting familiar with the<br />
topic can lead not only to an increase <strong>of</strong> our pupils’ knowledge in geometry, but, more<br />
importantly, to a fundamental, positive change <strong>of</strong> their attitude towards the subject <strong>of</strong><br />
mathematics as a whole.<br />
What kind <strong>of</strong> prior knowledge is expected from the teacher?<br />
Familiarity with the basics <strong>of</strong> Euclidean plane geometry and the geographic coordinate<br />
system. No previous experience in learning and teaching about any type <strong>of</strong> non-<br />
Euclidean geometries is presumed.<br />
Why teach it? Some aims/advantages <strong>of</strong> the project:<br />
The spherical shape is familiar and attractive. It appears among the shapes <strong>of</strong><br />
fruits, toys, or parts <strong>of</strong> the human body. Kids like to play with the construction<br />
tools, not merely accept them as ’educational material.’<br />
Traditional plane geometry can much more effectively be taught, because the<br />
contrast, the counter-example is <strong>of</strong> great importance in understanding a concept<br />
and inspiring further research.<br />
Spherical geometry becomes palpable and clear. This geometry is just as<br />
important in many areas <strong>of</strong> modern science, technology and arts as plane<br />
geometry. In Nature, the spherical shape occurs much more frequently than the<br />
plane, as is the case with the Earthglobe itself. The geographic coordinate<br />
system, the time zones or meteorological phenomena can faithfully be depicted<br />
and efficiently studied on the real sphere.<br />
Manipulative methods are inevitable to arouse interest and develop creative<br />
thinking in younger and older students. These methods play a reinforcing role to<br />
computer-based teaching and learning. Experiences in the two-dimensional<br />
world <strong>of</strong> the computer screen are complementary with experiences on palpable<br />
three-dimensional manipulative devices (Szendrei).<br />
The coincidences with the Outcomes Based Education and Curriculum 2005 <strong>of</strong><br />
South Africa are many, particularly in issues <strong>of</strong> measurement, shape and space and<br />
natural sciences. In this regard, I mention three more aspects <strong>of</strong> the Curriculum: history<br />
<strong>of</strong> science (for example, planar and spherical models <strong>of</strong> the Earth from ancient times to<br />
the present); general and mathematical literacy (’...access, process and use<br />
information from a variety <strong>of</strong> sources and situations...’), and human and social sciences<br />
and life orientation – see below.
Communication and empathy<br />
Leereenheid 1<br />
If you teach your students to accept different approaches in the same topic in science,<br />
then you also teach them to apply this same attitude in other areas <strong>of</strong> life. They learn to<br />
communicate, to live and work together with other human beings <strong>of</strong> different traditional,<br />
cultural or social background. This is the most valuable knowledge, beyond all<br />
mathematics.<br />
Mathematics, as all school subjects, tries to find its place among the new<br />
circumstances and expectations <strong>of</strong> Information Society. One <strong>of</strong> the possible answers to<br />
this challenge is the role that mathematics in general and comparative systems in<br />
particular can play in developing mutual understanding among countries, among<br />
peoples and among individuals.<br />
Two hundred years ago, Gauss, one <strong>of</strong> the greatest mathematicians <strong>of</strong> all times,<br />
thought that mankind was immature to accept different systems within the same<br />
subject, geometry. I believe that today’s society is not only mature, but eager to learn<br />
about different systems within any humanistic or natural science. What is more, the<br />
attitude that is necessary to achieve this goal is <strong>of</strong> vital importance in our personal and<br />
social lives.<br />
References:<br />
Henderson, D.: Experiencing Geometry in Euclidean, Spherical and Hyperbolic<br />
Spaces. Englewood Cliffs, Prentice Hall, 2001. A very rich and useful selection <strong>of</strong><br />
topics in different geometries, on different surfaces. Mainly for the tertiary level.<br />
Maths for All Grade 8 Learner’s Activity Book. Schools Development Unit <strong>of</strong> the<br />
University <strong>of</strong> Cape Town. Writers: Yusuf Johnson, Peter Davidson, Shaheeda Jaffer<br />
and Jaamiah Galant. Macmillan Boleswa Publishers, 2000. I took most <strong>of</strong> the<br />
quotations and references regarding the Outcome Based Education and Curriculum<br />
2005 from this book.<br />
Szendrei, Julianna: Concrete Materials in The Classroom. In: International Handbook<br />
<strong>of</strong> Mathematics, Kluwer, 1997, Chapter 11. A study on the role <strong>of</strong> concrete materials,<br />
and their relevance to other forms <strong>of</strong> educational material.<br />
Van den Brink, Jan: Spherical Geometry Lessons. Mathematics Teaching 147 (June<br />
1994), pp. 27-33. Lessons in spherical geometry for high school students, in<br />
continuous comparison with plane geometry, and with geographical and cultural<br />
connections.<br />
11
Leereenheid 1<br />
12<br />
Internet accesses:<br />
Search engines give a number <strong>of</strong> accesses for the words ’Lenart Sphere’. Some further<br />
addresses that contain interesting material in spherical, hyperbolic and comparative<br />
geometry:<br />
http://www.math.ubc.ca/~cass/courses/m308-2b/projects/franco/index.htm#Introduction<br />
plaza.ufl.edu/youngdj/powerpoint/noneuclidean.ppt<br />
http://www.towson.edu/~gsarhang/Module%20for%20Spherical%20Geometry.doc<br />
http://h2g2.com/dna/h2g2/A974397<br />
http://mathcs.slu.edu/history-<strong>of</strong>-math/index.php/Introduction_to_Spherical_Geometry<br />
Opdrag 1B: Hoekom word sferiese meetkunde ingesluit in die opleiding van Wiskunde<br />
onderwysers? Beantwoord die vraag, na aanleiding van die artikel van Lénárt, in<br />
”WORD” en stuur via eFundi.<br />
Maths for all Macmillan Boleswa Publishers<br />
Blaai nou terug na die leeruitkomste wat aan die begin van die leergedeelte gestel is. Het jy<br />
die nodige kennis en vaardighede verwerf wat gestel is?
1.2 BASIESE BEGRIPPE<br />
Jy benodig ongeveer 9 uur om hierdie leergedeelte suksesvol te voltooi.<br />
UITKOMSTE:<br />
Na voltooiing van hierdie leergedeelte moet jy in staat wees om<br />
die eenvoudigste figuur op die plat vlak en op 'n sfeer te beskryf;<br />
Leereenheid 1<br />
vaardigheid te toon in die teken van reguit lyne op die plat vlak (papier en m.b.v. The<br />
Geometer’s Sketchpad en op 'n sfeer;<br />
die kortste afstand tussen twee punte op die plat vlak en op die sfeer te kan beskryf;<br />
te kan beskryf wat gebeur as jy hierdie kortste afstand na beide kante toe verleng;<br />
jou eie sferiese “liniaal” te maak en gebruik;<br />
die eenhede van afstand op die plat vlak en die sfeer te kan verduidelik en gebruik;<br />
'n ewenaar te kan teken as die pole gegee is;<br />
die pole te kan teken as 'n ewenaar gegee is;<br />
'n sferiese gradeboog te kan maak en gebruik om hoeke op die sfeer daarmee te<br />
meet.<br />
Studiemateriaal benodig:<br />
NALS ho<strong>of</strong>stuk 1 en Internet.<br />
Hierdie leergedeelte bevat vyf avonture wat aan jou die basiese idees en vaardighede sal<br />
verskaf wat jy gaan nodig kry om op die Lénárt sfeer te werk.<br />
13
Leereenheid 1<br />
1.2.1 Eenvoudigste Figure en Reguit Lyne<br />
14<br />
Verkry Internet toegang en voer die meegaande voorbereiding uit.<br />
Hierdie inligting is ook op die NWU se webtuiste gereserveer. Kliek op:<br />
nwu.ac.za – eFundi – <strong>MATE</strong> <strong>211</strong> – Webcontent – <strong>MATE</strong><strong>211</strong> –<br />
http://math.rice.edu/~pcmi/sphere/.<br />
Lees die eerste paragraaf “Basic Information about spheres” en definieer ʼn sfeer:<br />
....................................................................................................................................................<br />
....................................................................................................................................................<br />
en die radius van ʼn sfeer:<br />
....................................................................................................................................................<br />
Let veral op na die verskil tussen die oppervlakte van die bal en die bal self. In hierdie<br />
module sal ons met sfeer die oppervlakte bedoel.<br />
Lees die paragrawe oor “Lines and spheres” en voltooi die volgende:<br />
Hoeveel punte kan ʼn lyn en sfeer in die 3D ruimte gemeenskaplik hê? .....................................<br />
Definieer ʼn raaklyn aan die sfeer: .............................................................................................<br />
....................................................................................................................................................<br />
Definieer antipole: .....................................................................................................................<br />
....................................................................................................................................................<br />
Prakties:<br />
NALS: Adventure Card 1.1 en 1.2<br />
NALS: Student’s Guide to Adventure 1.1 en 1.2<br />
Definieer ʼn reguit lyn op die plat vlak. Gee ook jou bron <strong>of</strong> verwysing.<br />
....................................................................................................................................................<br />
....................................................................................................................................................<br />
....................................................................................................................................................
Wat is reguit op ʼn sfeer?<br />
Verbeel jou jy is ʼn gogga wat op ʼn sfeer rond kruip.<br />
Jy kan nie vlieg <strong>of</strong> grawe nie en jou pote is ewe<br />
lank. Jou heelal is net die oppervlakte van die<br />
sfeer. Jy kan dit nooit verlaat nie. Wat is vir jou<br />
reguit? Dis uit hierdie perspektief wat jy moet<br />
redeneer in sferiese meetkunde om te verstaan dat<br />
slegs grootsirkels reguit kan wees. Jy moet<br />
redeneer vanuit die oppervlakte van die sfeer en<br />
nie driedimensioneel nie.<br />
http://images.google.co.za/imgres?imgurl=http://home.att.net/~larvalbu<br />
grex/strider.jpg&imgrefurl=http://home.att.net/~larvalbugrex/striders.ht<br />
ml&h=205&w=300&sz=14&tbnid=HOc_Jem4mJhR4M:&tbnh=75&tbnw<br />
=111&hl=en&start=8&prev=/images%3Fq%3Dwater%2Bstrider%26sv<br />
num%3D10%26hl%3Den%26lr%3D%26sa%3DG<br />
http://cleanwater.uwex.edu/pubs/clip<br />
art/images/<br />
CRITTER/original/WaterS<br />
trider.jpg<br />
Leereenheid 1<br />
ʼn Waterloper (insek) beweeg op die<br />
oppervlakte van ʼn dammetjie en het ʼn<br />
tweedimensionele perspektief op die<br />
wêreld om hom. Daar is nie op <strong>of</strong> af<br />
nie. Sy wêreld is die vlak van die<br />
water. Die waterloper is baie sensitief<br />
vir beweging en vibrasies op die<br />
oppervlakte van die water, maar<br />
hy/sy(?) is feitlik onbewus van hoogte<br />
<strong>of</strong> diepte. Voëls en visse gebruik<br />
hierdie feit tot hulle voordeel om so<br />
naby aan hom te kom dat hulle hom<br />
kan vang. Hierdie is die tipe denke wat<br />
nodig is om die reguit lyn op ʼn sfeer te<br />
verstaan. (Henderson, 1996)<br />
Refleksie:<br />
NALS: Teacher’s Guide to adventure 1.1 en 1.2<br />
Dit sal jou weghou van die verkeerde pad af en van mense af wat verkeerde<br />
dinge verkondig, van dié af wat die reguit paaie verlaat om op donker paaie te<br />
loop,..... hulle paaie is krom en hulle koers is verkeerd.<br />
(Die Bybel: Spreuke 12: 12-15)<br />
Wat is die eenvoudigste figuur op die sfeer? Ek haal aan:<br />
“ I think that it is absolutely up to you to decide WHICH is the simplest shape on any surface.<br />
If you take, say, the point on the sphere, then you can say: "OK, but the spherical point<br />
unambiguously determines its opposite point, so we can also say that the simplest element<br />
on the sphere is the point AND its opposite point together - and we arrive at Riemannian<br />
elliptic geometry. But we can go even farther, and say: "OK, but the point also determines a<br />
spherical straight line, that is, great circle – its equator. So we can call the aggregate <strong>of</strong> the<br />
point, its opposite mate, AND its equator our simplest element together!" The only reason<br />
why in my book I choose the point as the simplest shape is that I do not want to talk back to<br />
a two-thousand-year-old educational tradition - and make the lives <strong>of</strong> poor students even<br />
harder. As for the biangle, it is highly questionable to be called the simplest shape. It is<br />
enough to remark that a great circle with a point on it is a perfect spherical UNIGON - a<br />
closed polygon with one side and one vertex. And a unigon is certainly simpler than a<br />
biangle, isn't it?<br />
Best regards,<br />
Istvan Lenart”<br />
15
Leereenheid 1<br />
Gebruik http://math.rice.edu/~pcmi/sphere/sphere.html en lees “Planes, spheres,<br />
circles and great circles”,; “Incidence Relations on a Sphere” asook “Making a spherical<br />
Straight Edge” en beantwoord die volgende vrae:<br />
Definieer ʼn grootsirkel: .............................................................................................................<br />
....................................................................................................................................................<br />
Definieer ʼn geodesiek: ..............................................................................................................<br />
....................................................................................................................................................<br />
Gestel A en B is twee punte op ʼn sfeer met middelpunt C. Onder watter voorwaarde sal A, B<br />
en C ʼn unieke plat vlak bepaal?<br />
....................................................................................................................................................<br />
Wat is die eerste gevolglike verband tussen twee punte op ʼn sfeer? ........................................<br />
....................................................................................................................................................<br />
....................................................................................................................................................<br />
Wat is die tweede verband op die sfeer? ...................................................................................<br />
....................................................................................................................................................<br />
Opdrag 2:<br />
16<br />
Praktiese voorbeeld.<br />
Maak ʼn sferiese “liniaal” vir jou eie sfeer (soos ʼn strandbal) volgens die<br />
artikel wat jy gelees het. Bring dit saam na die volgende kontaksessie sodat<br />
jy kan demonstreer hoe dit werk. [Dosent sal aanwys watter groep dit moet<br />
doen.]<br />
Begin met 'n tabel in “WORD” waarin alle verskille en ooreenkomste tussen die plat vlak en<br />
sfeer aangetoon word. Stoor dit elektronies sodat jy kan byvoeg wat in die volgende<br />
leergedeeltes ontdek word. [Residensieel: Bring tydens elke kontaksessie 'n e-kopie en<br />
hardekopie hiervan saam.]
Antwoorde/oplossings<br />
Leereenheid 1<br />
Gedeeltelik deur dosent nagesien. Volledige<br />
memorandums op eFundi vir selfkontrole van die res.<br />
17
Leereenheid 1<br />
1.2.2 Meet aan Afstande en Konstruksie van 'n Ewenaar en<br />
Poolpunte<br />
18<br />
Prakties:<br />
NALS: Adventure Card 1.3 en 1.4<br />
NALS: Student’s Guide to Adventure 1.3 en 1.4<br />
Wat is die sinoniem vir 'n grootsirkel op 'n sfeer?<br />
...........................................................................................................................................<br />
Refleksie:<br />
NALS: Teacher’s Guide to adventure 1.3 en 1.4<br />
Without understanding we will never be satisfied with<br />
understanding we want to expand that understanding and to<br />
communicate it to others.<br />
(Henderson, 1996)<br />
Opdrag 2 vervolg: Brei jou tabel in opdrag 2 uit deur ooreenkomste en verskille van hierdie<br />
leergedeelte by te voeg.
1.2.3 Meet van Hoeke<br />
Gebruik die volgende bron: http://math.rice.edu/~pcmi/sphere/sphere.html<br />
Lees die eerste paragraaf “Angles on the sphere” en definieer ʼn hoek op ʼn sfeer:<br />
Leereenheid 1<br />
....................................................................................................................................................<br />
....................................................................................................................................................<br />
....................................................................................................................................................<br />
http://www.bartleby.com/images/A4images/A4spheri.jpg<br />
Na hierdie definisie behoort jy te verstaan hoekom dit nodig gaan wees om ʼn gradeboog te<br />
maak wat hoeke op ʼn sfeer kan meet.<br />
Prakties:<br />
NALS: Adventure Card 1.5<br />
NALS: Student’s Guide to Adventure 1.5<br />
[Dosent sal aanwys watter groep “Making a Spherical Protractor”<br />
Stappe 1 tot 6 fisies moet doen.]<br />
Refleksie:<br />
NALS: Teacher’s Guide to adventure 1.5<br />
Opdrag 2 vervolg: Brei jou tabel in opdrag 2 uit deur ooreenkomste en verskille van hierdie<br />
leergedeelte by te voeg.<br />
19
Leereenheid 1<br />
Blaai nou terug na die leeruitkomste wat aan die begin van die leergedeelte gestel is. Het jy<br />
die nodige kennis en vaardighede verwerf wat gestel is?<br />
20
Leereenheid 2<br />
2 EWEWYDIGE EN LOODREGTE LYNE IN<br />
DIE PLAT VLAK EN OP DIE SFEER<br />
Jy benodig ongeveer 6 uur om hierdie leereenheid suksesvol te voltooi.<br />
UITKOMSTE:<br />
Na voltooiing van hierdie leereenheid moet jy<br />
kundigheid vertoon t.o.v. die hoeveelheid snypunte van twee lyne;<br />
kundigheid vertoon t.o.v. loodregte lyne op die sfeer;<br />
kundigheid vertoon t.o.v. die hoeveelheid gemeenskaplike loodregte lyne van twee<br />
lyne.<br />
NALS: Ho<strong>of</strong>stuk 2<br />
Studiemateriaal benodig:<br />
Dis verbasend hoe ewewydige en loodregte lyne op die plat vlak en sfeer van mekaar<br />
verskil. Die avonture in hierdie leereenheid sal hierdie verskille uitlig<br />
Lénárt 5B-072 Amesa-artikel<br />
21
Leereenheid 2<br />
2.1 TWEE LYNE SE GEMEENSKAPLIKE PUNTE<br />
EN LOODREGTE LYNE<br />
Jy benodig ongeveer 3 uur om hierdie leergedeelte suksesvol te voltooi.<br />
UITKOMSTE:<br />
Na voltooiing van hierdie leergedeelte moet jy<br />
kennis dra van en die snypunte van twee reguit lyne op die plat vlak ;<br />
kennis dra van en die snypunte van twee grootsirkels op die sfeer;<br />
waarnemings oor ewewydige lyne op die plat vlak en die sfeer kan beskryf;<br />
twee loodregte lyne op die plat vlak kan beskryf en konstrueer;<br />
twee loodregte grootsirkels op die sfeer kan beskryf en konstrueer.<br />
NALS: ho<strong>of</strong>stuk 2<br />
22<br />
Studiemateriaal benodig:<br />
Prakties:<br />
NALS: Adventure Card 2.1 en 2.2<br />
NALS: Student’s Guide to Adventure 2.1 en 2.2<br />
Refleksie:<br />
NALS: Teacher’s Guide to adventure 2.1 en 2.2<br />
Opdrag 2 vervolg: Brei jou tabel in opdrag 2 uit deur ooreenkomste en verskille van hierdie<br />
leergedeelte by te voeg.
Verduidelik die volgende:<br />
Lénárt 4-071.jpg Amesa-artikel<br />
1. Wat is die verskil tussen die Noordpool en magnetiese noord?<br />
Leereenheid 2<br />
2. Beskryf die roetes van twee persone wat vanuit verskillende posisies noord<br />
beweeg.<br />
3. Is dit moontlik om vanuit jou huidige posisie in 'n reguit lyn wes te stap? Onthou<br />
reguit lyn beteken nou grootsirkel.<br />
23
Leereenheid 2<br />
24<br />
4. Beskryf jou baan as jy in 'n westelike rigting sou beweeg.<br />
Blaai nou terug na die leeruitkomste wat aan die begin van die leergedeelte gestel is. Het jy<br />
die nodige kennis en vaardighede verwerf wat gestel is?
2.2 GEMEENSKAPLIKE LOODREGTE LYNE<br />
Jy benodig ongeveer 3 uur om hierdie leergedeelte suksesvol te voltooi.<br />
UITKOMSTE:<br />
Na voltooiing van hierdie leergedeelte moet jy<br />
Leereenheid 2<br />
kan aantoon hoeveel gemeenskaplike loodregte lyne enige twee reguitlyne op die plat<br />
vlak kan hê;<br />
kan aantoon hoeveel gemeenskaplike loodregte lyne enige twee grootsirkels op die<br />
sfeer kan hê.<br />
NALS: ho<strong>of</strong>stuk 2<br />
Studiemateriaal benodig:<br />
Prakties:<br />
NALS: Adventure Card 2.3<br />
NALS: Student’s Guide to Adventure 2.3<br />
Refleksie:<br />
NALS: Teacher’s Guide to adventure 2.3<br />
Vorige klastoetse op eFundi.<br />
Opdrag 2 vervolg: Brei jou tabel in opdrag 2 uit deur ooreenkomste en verskille van hierdie<br />
leergedeelte by te voeg.<br />
25
Leereenheid 2<br />
Blaai nou terug na die leeruitkomste wat aan die begin van die leergedeelte gestel is. Het jy<br />
die nodige kennis en vaardighede verwerf wat gestel is?<br />
26
Leereenheid 3<br />
3 VEELHOEKE IN DIE PLAT VLAK EN OP<br />
DIE SFEER<br />
Jy benodig ongeveer 30 uur om hierdie leereenheid suksesvol te voltooi.<br />
UITKOMSTE:<br />
Na voltooiing van hierdie leereenheid moet jy kennis dra van en op beide die plat vlak<br />
en sfeer kan aantoon<br />
<strong>of</strong> 'n poligoon net twee sye kan besit;<br />
hoeveel gebiede met drie lyne gevorm kan word;<br />
hoeveel driehoeke met dieselfde drie hoekpunte gevorm kan word;<br />
wat die som van die hoeke van 'n driehoek is;<br />
<strong>of</strong> 'n driehoek meer as een regtehoek kan besit;<br />
wat die konstruksie moontlikheid van gelykvormige poligone is;<br />
wat die eienskappe van driehoeke met gelyke hoeke is;<br />
wat die kongruensie-voorwaardes van sferiese driehoeke is;<br />
hoe om pooldriehoeke te konstrueer;<br />
wat die verwantskappe tussen die sye en hoeke van twee pooldriehoeke is;<br />
wat besondere eienskappe van die hoogtelyne van pooldriehoeke is;<br />
wat die eienskappe van halveerlyne van die hoeke en middelloodlyne van die sye van<br />
driehoeke is;<br />
wat die eienskappe van swaartelyne van driehoeke is;<br />
wat die spesiale eienskappe is van ʼn driehoek wat ingeskrewe is op die deursnede van<br />
'n sirkel;<br />
wat die spesiale eienskappe is van 'n driehoek wat ingeskrewe is in 'n oktant;<br />
hoe om Napier se pentagoon te konstrueer..<br />
Studiemateriaal benodig:<br />
NALS: ho<strong>of</strong>stuk 3, 4, 8, 10 en Internet.<br />
27
Leereenheid 3<br />
3.1 VEELHOEKE<br />
Jy benodig ongeveer 9 uur om hierdie leergedeelte suksesvol te voltooi.<br />
UITKOMSTE:<br />
Na voltooiing van hierdie leergedeelte moet jy in staat wees om<br />
ʼn tweehoek te konstrueer, die dimensie daarvan te meet en die eienskappe daarvan<br />
kan aflei;<br />
die aantal en tipes gebiede te beskryf wat met drie lyne gevorm kan word op die plat<br />
vlak;<br />
die aantal en tipes gebiede te kan beskryf wat met drie grootsirkels gevorm kan word<br />
op die sfeer;<br />
die algemene patroon te kan aflei vir die aantal gebiede wat gevorm word as meer as<br />
drie lyne/grootsirkels getrek word; kennis dra van en kan illustreer hoeveel driehoeke<br />
op die plat vlak gevorm word deur drie hoekpunte met lynstukke te verbind;<br />
te kan illustreer hoeveel driehoeke op die sfeer gevorm word deur drie hoekpunte met<br />
sirkelboë te verbind;<br />
te kan aflei en vergelyk wat die som van die hoeke van driehoeke op die plat vlak en<br />
sfeer is<br />
te kan aflei wat die som van die hoeke van vierhoeke en ander poligone op die sfeer is;<br />
driehoeke met meer as een regtehoek te kan konstrueer;<br />
te kan aantoon dat die HHS–voorwaarde nie kongruensie waarborg vir bg. driehoeke<br />
nie;<br />
te kan aantoon dat die SSH–voorwaarde nie kongruensie waarborg vir bg. driehoeke<br />
nie;<br />
te kan onderskei <strong>of</strong> die stelling van Pythagoras geldig is op 'n sfeer;<br />
tot 'n gevolgtrekking kan kom oor die hoekgroottes van die basishoeke van 'n<br />
gelykbenige driehoek op die sfeer.<br />
28<br />
Studiemateriaal benodig:<br />
NALS ho<strong>of</strong>stuk 3 en Internet.
Leereenheid 3<br />
Baie eienskappe en reëls oor poligone / veelhoeke wat op die plat vlak voor die hand liggend<br />
is, is nie waar op die sfeer nie. Om hierdie eienskappe te ondersoek gaan ons ter wille van<br />
eenvoud fokus op driehoeke. Jy gaan egter baie gou ontdek dat 'n driehoek nie die<br />
eenvoudigste poligoon op die sfeer is nie! Die grootste verrassing gaan egter wees om die<br />
som van die hoeke van 'n driehoek te bepaal.<br />
29
Leereenheid 3<br />
3.1.1 Tweehoeke en Gebiede<br />
30<br />
Prakties:<br />
NALS: Adventure Card 3.1 en 3.2<br />
NALS: Student’s Guide to Adventure 3.1 en 3.2<br />
Wenk vir 3.2: Werk op die sfeer en op 'n transparant by vraag 6.<br />
Definieer 'n tweehoek: ...............................................................................................................<br />
...........................................................................................................................................<br />
Definieer 'n veelhoek / poligoon: ............................................................................................<br />
...........................................................................................................................................<br />
Definieer 'n reëlmatige veelhoek: ............................................................................................<br />
...........................................................................................................................................<br />
Definieer 'n meridiaan: ...............................................................................................................<br />
...........................................................................................................................................<br />
Definieer 'n tessellasie: ...............................................................................................................<br />
...........................................................................................................................................<br />
Definieer 'n reëlmatige tessellasie: ............................................................................................<br />
...........................................................................................................................................<br />
Noem die voorwaarde waaraan die hoek van 'n tweehoek moet voldoen om 'n sfeer volledig<br />
te tesselleer ........................................................................................................................<br />
Individuele oefening. Doen Adventure 3.2 no. 12.<br />
Residensieel: Bring 'n A4-transparant saam waarop jy die<br />
gebiede wat 1 tot 6 reguit lyne vorm aangedui is.<br />
Bring ook sferiese transparante saam waarop die gebiede<br />
aangedui is wat 1 tot 6 grootsirkels vorm.
Leereenheid 3<br />
Gebruik http://math.rice.edu/~pcmi/sphere/sphere.html : lees “Lunes” en<br />
beantwoord die volgende vrae:<br />
Wat is die minste aantal maanskywe wat ʼn sfeer kan besit? ....................................................<br />
Hoekom is 1 'n verkeerde antwoord? .......................................................................................<br />
....................................................................................................................................................<br />
Opdrag 2 vervolg: Brei jou tabel in opdrag 2 uit deur ooreenkomste en verskille van hierdie<br />
leergedeelte by te voeg.<br />
Individuele PC-opdrag 1: Teken reëlmatige veelhoeke wat kan<br />
animeer m.b.v. GSP. Gebruik een dokument met nege bladsye.<br />
Teken ʼn 3-, 4-, 5-, 6-, 7-, 8-, 9-, 12- en 20-hoek; een op elke bladsy.<br />
Die maklikste manier is deur die hoekpunte om ’n middelpunt te<br />
roteer. As jy egter die veelhoek later as ’n “tool” wil gebruik, is dit<br />
beter om met die binnehoeke te werk.<br />
Steek alle punte weg, behalwe een wat as rotasie en vergrotings /<br />
verkleiningspunt gebruik kan word.<br />
Benoem elke bladsy.<br />
Stuur die .gsp lêer via eFundi en lewer ook ‘n hardekopie in. Jy<br />
mag die veelhoeke op een bladsy in ‘n WORD dokument intrek en<br />
slegs dit uitdruk.<br />
Refleksie:<br />
NALS: Teacher’s Guide to adventure 3.1 en 3.2<br />
31
Leereenheid 3<br />
3.1.2 Driehoeke: Hoekpunte en die Som van die Hoeke<br />
32<br />
http://www.krysstal.com/images/sphertrig_triangle2.gif<br />
Prakties:<br />
NALS: Adventure Card 3.3 en 3.4<br />
NALS: Student’s Guide to Adventure 3.3 en 3.4<br />
Verduidelik die twee gedegenereerde sferiese driehoeke aan die hand van sketse:<br />
Voorbeeld: Gestel ABC is 'n sferiese driehoek met A = 90 en B =80. Bereken<br />
C.<br />
Oplossing: 180 A + B +C 540<br />
180 90 + 80 + C 540<br />
180 170 + C 540<br />
10 C 370
Refleksie:<br />
NALS: Teacher’s Guide to adventure 3.3 en 3.4<br />
Leereenheid 3<br />
Korreksie: NALS p. 57 no.5 derde paragraaf: “Only the degenarate<br />
triangle with angles <strong>of</strong> measure 180, 180, and 180 has its angle<br />
measure exactly equal to 540.”<br />
Opdrag 2 vervolg: Brei jou tabel in opdrag 2 uit deur ooreenkomste en verskille van hierdie<br />
leergedeelte by te voeg.<br />
33
Leereenheid 3<br />
3.1.3 Driehoeke en Regtehoeke<br />
34<br />
Prakties:<br />
NALS: Adventure Card 3.5<br />
NALS: Student’s Guide to Adventure 3.5<br />
Verduidelik met sketse <strong>of</strong> die volgende in bewerings op die sfeer geldig is <strong>of</strong> nie:<br />
HHS voorwaarde waarborg kongruensie.<br />
waar / vals?<br />
Stelling van Pythagoras geld op ʼn sfeer.<br />
waar / vals<br />
SSH voorwaarde waarborg kongruensie.<br />
waar / vals?<br />
Die sye van gelykbenige driehoeke<br />
onderspan gelyke hoeke.<br />
waar / vals<br />
Refleksie:<br />
NALS: Teacher’s Guide to adventure 3.5
Leereenheid 3<br />
Opdrag 2 vervolg: Brei jou tabel in opdrag 2 uit deur ooreenkomste en verskille van hierdie<br />
leergedeelte by te voeg.<br />
Blaai nou terug na die leeruitkomste wat aan die begin van die leergedeelte gestel is. Het jy<br />
die nodige kennis en vaardighede verwerf wat gestel is?<br />
35
Leereenheid 3<br />
3.2 GELYKVORMIGHEID EN KONGRUENSIE OP<br />
DIE PLAT VLAK EN DIE SFEER<br />
Jy benodig ongeveer 6 uur om hierdie leergedeelte suksesvol te voltooi.<br />
UITKOMSTE:<br />
Na voltooiing van hierdie leergedeelte moet jy<br />
gelykvormigheid t.o.v. veelhoeke te kan definieer;<br />
kan onderskei op watter soort oppervlakte jy gelykvormige veelhoeke kan konstrueer;<br />
kan onderskei wat die gevolge is van die HHH-voorwaarde by driehoeke op die plat<br />
vlak en op die sfeer<br />
kan af lei watter van die voorwaardes (SSS HHH HHS SSH HSH SHS) kongruensie<br />
van driehoeke op die sfeer waarborg;<br />
die voorwaardes vir kongruensie van driehoeke op die plat vlak en op die sfeer kan<br />
vergelyk.<br />
NALS: ho<strong>of</strong>stuk 4.<br />
36<br />
Studiemateriaal benodig:<br />
In hierdie leergedeelte fokus ons om voorwaardes te bepaal wat gelykvormigheid en<br />
kongruensie van figure waarborg. Hierdie resultate beklemtoon weereens die merkwaardige<br />
verskille tussen meetkunde op die sfeer en op die plat vlak. Ons sal weereens driehoeke<br />
bestudeer ter wille van die eenvoud daarvan.
Leereenheid 3<br />
3.2.1 Gelykvormige Veelhoeke en Driehoeke met Kongruente Hoeke<br />
Prakties:<br />
NALS: Adventure Card 4.1 en 4.2<br />
NALS: Student’s Guide to Adventure 4.1 en 4.2<br />
[Dosent sal aanwys watter groep “Construction on the Sphere”<br />
Stappe 1 tot 5 fisies moet doen.]<br />
Residensieel: Adventure 4.2 konstruksie 4 sal tydens kontaksessie gedoen word.<br />
Definieer gelykvormigheid van veelhoeke: ..........................................................................<br />
...........................................................................................................................................<br />
Definieer kongruensie van veelhoeke: ...................................................................................<br />
...........................................................................................................................................<br />
'n Sferiese driehoek het twee hoeke van 90. Wat is die verband tussen die derde hoek en<br />
die teenoorstaande sy? .....................................................................................................<br />
...........................................................................................................................................<br />
Refleksie:<br />
NALS: Teacher’s Guide to adventure 4.1 en 4.2<br />
Opdrag 2 vervolg: Brei jou tabel in opdrag 2 uit deur ooreenkomste en verskille van hierdie<br />
leergedeelte by te voeg.<br />
37
Leereenheid 3<br />
3.2.2 Voorwaardes vir Kongruensie van Driehoeke<br />
38<br />
Prakties:<br />
NALS: Adventure Card 4.3<br />
NALS: Student’s Guide to Adventure 4.3<br />
Kongruensie op die Plat Vlak Kongruensie op die Sfeer<br />
SSS SSS<br />
SS* <br />
S** SS<br />
SS90 S<br />
S**<br />
SS SS<br />
S<br />
Die volgende byvoeglike naamwoorde is baie belangrik:<br />
* Sy ingeslote hoek sy<br />
** Hoek hoek ooreenstemmende sy<br />
Refleksie:<br />
NALS: Teacher’s Guide to adventure 4.3<br />
Opdrag 2 vervolg: Brei jou tabel in opdrag 2 uit deur ooreenkomste en verskille van hierdie<br />
leergedeelte by te voeg. Maak seker dat jy die verskillende voorwaardes van kongruensie<br />
goed verstaan.<br />
Blaai nou terug na die leeruitkomste wat aan die begin van die leergedeelte gestel is. Het jy<br />
die nodige kennis en vaardighede verwerf wat gestel is?
3.3 VERRASSINGS OP DIE SFEER<br />
Jy benodig ongeveer 6 uur om hierdie leergedeelte suksesvol te voltooi.<br />
UITKOMSTE:<br />
Na voltooiing van hierdie leergedeelte moet jy kennis dra van<br />
Leereenheid 3<br />
al die eienskappe van die hoeke van driehoeke wat ingeskrewe is op die deursnede<br />
van ʼn sirkel;<br />
wat gebeur as die middelpunt van die sirkel verbind word met die teenoorstaande<br />
hoekpunt van bogenoemde driehoeke;<br />
die definisie van ʼn oktant;<br />
die eienskappe van die sye en hoeke van die ingeskrewe driehoek van ʼn oktant;<br />
die eienskappe van Napier se pentagoon en pentagram;<br />
en bogenoemde kan konstrueer op die sfeer.<br />
NALS: ho<strong>of</strong>stuk 8.<br />
Studiemateriaal benodig:<br />
As jy werklik min tyd tot jou beskikking het, is hierdie leergedeelte uiters geskik om die<br />
verrassende ontdekkings oor die verskille tussen meetkunde op die plat vlak en sfeer met<br />
leerders op skool te deel sodat hulle kan besef dat die plat vlak nie die alfa en omega van<br />
meetkunde is nie. Al voorkennis wat jy nodig het, is dat die kortste afstand tussen twee punte<br />
'n boog op 'n grootsirkel is.<br />
39
Leereenheid 3<br />
3.3.1 Ingeskrewe Driehoeke<br />
40<br />
Prakties:<br />
NALS: Adventure Card 8.1 en 8.2<br />
NALS: Student’s Guide to Adventure 8.1 en 8.2<br />
Residensieel: Bring die hoekgroottes wat jy in Adventure 8.1 se konstruksies gemeet het<br />
saam na die kontaksessie.<br />
Bring alle sylengtes en hoekgroottes saam wat jy in Adventure 8.2 se konstruksies gemeet<br />
het saam na die kontaksessie.<br />
Definieer 'n oktant. ...............................................................................................................<br />
...........................................................................................................................................<br />
Oplossing van 8.2 Explore more (met dank aan I. Lénárt):<br />
Gegee: Die hoogtelyne van die oorspronklike driehoek is die halveerlyne van die<br />
hoeke van die ingeslote driehoek.<br />
Bewys: Die som van die sylengtes van die ingeslote driehoek is 180.<br />
Beskou die skets op p. 145 in NALS.<br />
Reflekteer, by voorbeeld, punt P m.b.t. L en M.<br />
Noem die spieëlbeelde U en V.<br />
UV = UL + LP + PM + MV<br />
= LP + LP + PM + PM [refleksie]<br />
= 2(LP + PM)<br />
= 2 LM<br />
= 2(90) [sy van 'n oktant]<br />
= 180 (sferiese afstandseenhede)<br />
U en V is teenoorgestelde punte<br />
URL PRL [SS]<br />
Netso: VMQ PMQ.<br />
KRQ = 90 - MRQ [MR LK in oktant]<br />
(Opmerking: hierdie is sferiese hoekeenhede)<br />
= 90 - PRM [RM is 'n halveerlyn van 'n R]<br />
= LRP [MR LK in oktant]<br />
= URL [URL PRL]<br />
URQ = URL + LRP + PRM + MRQ<br />
= KRQ + LRP + PRM + MRQ<br />
= (LRP + PRM ) + (MRQ + KRQ )<br />
= LRK<br />
= 180 [boog van grootsirkel]
Dit beteken dat die sy UR op dieselfde grootsirkel is as die sy RQ.<br />
Netso volg dat sy VQ op dieselfde grootsirkel is as die sy RQ.<br />
PR + RQ + QP = UR + RQ + QP [URL PRL ]<br />
= UR + RQ + QV [VMQ PMQ]<br />
= URQV ('n meridiaan <strong>of</strong> helfte van grootsirkel)<br />
= UV [sy van tweehoek]<br />
= 180 (sferiese afstandseenhede)<br />
Refleksie:<br />
NALS: Teacher’s Guide to adventure 8.1 en 8.2<br />
Leereenheid 3<br />
Opdrag 2 vervolg: Brei jou tabel in opdrag 2 uit deur ooreenkomste en verskille van hierdie<br />
leergedeelte by te voeg.<br />
41
Leereenheid 3<br />
3.3.2 Napier se Pentagoon / Pentagram<br />
42<br />
Prakties:<br />
NALS: Adventure Card 8.3<br />
NALS: Student’s Guide to Adventure 8.3<br />
Definieer Napier se pentagoon. ............................................................................................<br />
...........................................................................................................................................<br />
Refleksie:<br />
NALS: Teacher’s Guide to adventure 8.3<br />
Vorige klastoetse op eFundi.<br />
Opdrag 2 vervolg: Brei jou tabel in opdrag 2 uit deur ooreenkomste en verskille van hierdie<br />
leergedeelte by te voeg.<br />
Blaai nou terug na die leeruitkomste wat aan die begin van die leergedeelte gestel is. Het jy<br />
die nodige kennis en vaardighede verwerf wat gestel is?
3.4 POOLDRIEHOEKE<br />
Jy benodig ongeveer 9 uur om hierdie leergedeelte suksesvol te voltooi.<br />
UITKOMSTE:<br />
Na voltooiing van hierdie leergedeelte moet jy<br />
pooldriehoeke kan konstrueer en die konstruksie beskryf;<br />
Leereenheid 3<br />
die verband tussen 'n pooldriehoek en sy oorspronklike sferiese driehoek kan beskryf;<br />
kennis dra van die verwantskappe tussen die sye en hoeke van twee pooldriehoeke;<br />
'n hoogtelyn van 'n driehoek kan definieer;<br />
kennis dra van die eienskappe van die drie hoogtelyne van driehoeke op die plat vlak;<br />
kennis dra van die eienskappe van die drie hoogtelyne van sferiese driehoeke en die<br />
ooreenstemmende pooldriehoek.<br />
halveerlyne, middelloodlyne en swaartelyne kan definieer;<br />
die spesiale eienskappe van halveerlyne en middelloodlyne in driehoeke op die plat<br />
vlak, sferiese driehoeke en hul ooreenstemmende pooldriehoeke kan beskryf;<br />
kennis dra van die spesiale eienskappe van swaartelyne van driehoeke op die plat vlak<br />
en op die sfeer;<br />
kennis dra van die spesiale eienskappe van die grootsirkels wat die middelpunte van<br />
die sye van 'n sferiese driehoek en die middelpunte van die ooreenstemmende sye van<br />
sy pooldriehoek.<br />
NALS: ho<strong>of</strong>stuk 10.<br />
Studiemateriaal benodig:<br />
Pooldriehoeke bestaan nie op die plat vlak nie, omdat 'n plat vlak nie poolpunte en ewenaars<br />
het nie.<br />
43
Leereenheid 3<br />
3.4.1 Pooldriehoeke: Sye, Hoeke, Hoogtelyne<br />
NALS: ho<strong>of</strong>stuk 10<br />
44<br />
Prakties:<br />
NALS: Adventure Card 10.1, 10.2 en 10.3<br />
NALS: Student’s Guide to Adventure 10.1, 10.2 en 10.3<br />
Residensieel: Bring Adventure 10.2 “Explore more” 3a, en 4 se skets en metings saam na<br />
die kontaksessie.<br />
Wat is die pooldriehoek van A * B * C * ? ...................................................................................<br />
Gee die verband tussen die sye en hoeke van 'n driehoek en sy ooreenstemmende<br />
pooldriehoek. ........................................................................................................................<br />
...........................................................................................................................................<br />
Maak 'n skets van jou figuur en meet beide driehoeke se hoeke en sylengtes:<br />
Beskryf die pooldriehoek van DEF as E = F = 90. .......................................................<br />
...........................................................................................................................................<br />
...........................................................................................................................................
Maak 'n skets van jou figuur en meet alle hoeke en sylengtes:<br />
Leereenheid 3<br />
Watter driehoek en sy pooldriehoek is identies? ................................................................<br />
Definieer 'n hoogtelyn: ...............................................................................................................<br />
...........................................................................................................................................<br />
Wanneer is hoogtelyne in 'n sferiese driehoek nie saamlopend nie? .....................................<br />
...........................................................................................................................................<br />
Refleksie:<br />
NALS: Teacher’s Guide to adventure 10.1, 10.2 en 10.3<br />
Opdrag 2 vervolg: Brei jou tabel in opdrag 2 uit deur ooreenkomste en verskille van hierdie<br />
leergedeelte by te voeg.<br />
45
Leereenheid 3<br />
3.4.2 Halveerlyne – Middelloodlyne – Swaartelyne<br />
NALS: ho<strong>of</strong>stuk 10<br />
46<br />
Prakties:<br />
NALS: Adventure Card 10.4 en 10.5<br />
NALS: Student’s Guide to Adventure 10.5<br />
Definieer 'n middelloodlyn: .....................................................................................................<br />
........................................................................................................................................<br />
Opmerking: Middelloodlyne sny in die middelpunt van die omgeskrewe sirkel.<br />
Definieer 'n halveerlyn: ...............................................................................................................<br />
........................................................................................................................................<br />
Opmerking: Halveerlyne in hoeke sny in die middelpunt van die ingeskrewe sirkel.<br />
Wat is die verband tussen die middelpunte van die omgeskrewe en ingeskrewe sirkels van 'n<br />
sferiese driehoek en sy pooldriehoek? ...................................................................................<br />
........................................................................................................................................<br />
........................................................................................................................................<br />
Definieer 'n swaartelyn. .....................................................................................................<br />
........................................................................................................................................<br />
Aan watter voorwaardes moet DEF voldoen sodat die swaartelyne uit D en D * van die<br />
ooreenstemmende pooldriehoek D * E * F *. saamval? ................................................................<br />
........................................................................................................................................
Refleksie:<br />
NALS: Teacher’s Guide to adventure 10.4 en 10.5<br />
Vorige klastoetse op eFundi.<br />
Leereenheid 3<br />
Opdrag 2 vervolg: Brei jou tabel in opdrag 2 uit deur ooreenkomste en verskille van hierdie<br />
leergedeelte by te voeg.<br />
PC opdrag 2 m.b.v. GSP:<br />
Indien u probleme ondervind om die verskillende spesiale lyne en sirkels te konstrueer,<br />
raadpleeg die leesbundel pp.36 tot 44.<br />
Gebruik GSP en teken 'n willekeurige driehoek. Konstrueer op p. een met middelloodlyne<br />
die omgeskrewe sirkel. Verander die tipe driehoek deur een van die hoekpunte te trek en<br />
skryf u waarnemings neer m.b.v. ’n “text box”. [Wenk: Sorg dat die omgeskrewe sirkel aan<br />
die driehoek gebonde bly deur die radiuspunt aan ‘n hoekpunt vas te maak. Wat is die<br />
posisie van die middelpunt van die omgeskrewe sirkel as die driehoek skerphoekig,<br />
stomphoekig ens. is?]<br />
Dupliseer die skets na p. twee. Steek alles weg behalwe die oorspronklike driehoek en<br />
middelpunt van die omgeskrewe sirkel. Konstrueer met halveerlyne die ingeskrewe sirkel.<br />
Verander die tipe driehoek deur een van die hoekpunte te trek en skryf u waarnemings neer<br />
m.b.v. ’n “text box”. [Wenk: Die sye van die driehoek moet raaklyne aan die ingeskrewe sirkel<br />
wees. ‘n Raaklyn aan ‘n sirkel is loodreg op die radius van die sirkel. Wat kan u doen om te<br />
verseker dat die ingeskrewe sirkel altyd by drie raakpunte aan die driehoek raak?]<br />
Dupliseer die skets na p. drie. Steek alles weg behalwe die oorspronklike driehoek,<br />
middelpunt van die omgeskrewe sirkel en middelpunt van die ingeskrewe sirkel. Konstrueer<br />
met hoogtelyne die ortosnypunt. Verander die tipe driehoek deur een van die hoekpunte te<br />
trek en skryf u waarnemings neer m.b.v. ’n “text box”.<br />
Dupliseer die skets na p. vier. Steek alles weg behalwe die oorspronklike driehoek,<br />
middelpunt van die omgeskrewe sirkel, middelpunt van die ingeskrewe sirkel en die<br />
ortosnypunt. Konstrueer swaartelyne en die swaartepunt. Bereken die verhoudings van die<br />
lengtes van die lynstukke tussen die hoekpunt en swaartepunt, en swaartepunt en<br />
middelpunt op die teenoorstaande sy. Meet ook die oppervlaktes van die driehoek gevorm<br />
deur twee hoekpunte en die swaartepunt. Verander die tipe driehoek deur een van die<br />
hoekpunte te trek en skryf u waarnemings neer m.b.v. ’n “text box”.<br />
Dupliseer die skets na p. vyf. Steek alles weg behalwe die oorspronklike driehoek,<br />
middelpunt van die omgeskrewe sirkel, middelpunt van die ingeskrewe sirkel, ortosnypunt en<br />
swaartepunt. Drie van hierdie snypunte lê altyd op ʼn lyn, genoem die lyn van Euler. Stel self<br />
vas watter punt is nie op Euler se lyn nie?<br />
Benoem elke bladsy sinvol.<br />
Stuur u skets as 'n .gsp lêer via eFundi en druk slegs die laaste bladsy uit om in te lewer.<br />
47
Leereenheid 3<br />
Blaai nou terug na die leeruitkomste wat aan die begin van die leergedeelte gestel is. Het jy<br />
die nodige kennis en vaardighede verwerf wat gestel is?<br />
48
4 TOEPASSINGS VAN SFERIESE<br />
MEETKUNDE OP DIE AARDBOL<br />
Jy benodig ongeveer 4 uur om hierdie leereenheid suksesvol te voltooi.<br />
UITKOMSTE:<br />
Na voltooiing van hierdie leereenheid moet jy wiskunde kan integreer met ander<br />
wetenskappe deur<br />
'n 2D-kaart van die aarde te kan omskep tot 'n bolvorm<br />
ligging op die aarde te kan bepaal;<br />
te kan bereken hoe laat dit (hier en elders) is.<br />
Leereenheid 4<br />
Die volgende uitkomste is vir verryking. Werk op jou eie daardeur om jou te help sodat jy in<br />
die klassituasie oor hierdie addisionele kennis beskik om jou leerders aan lewenswerklike<br />
situasies bekend te stel.<br />
kennis te dra van Columbus se visie van die aarde;<br />
kennis te dra van die oorsake van aardbewings en vulkane.<br />
Studiemateriaal benodig:<br />
NALS: ho<strong>of</strong>stuk 7 en Internet.<br />
Hierdie leereenheid word gewy aan geografiese toepassings en bevat minder formele<br />
wiskunde as die ander leergedeeltes. Hier is egter geleentheid om wiskunde te integreer met<br />
sosiale en suiwer wetenskappe.<br />
Lénárt 6a-064 Amesa-artikel<br />
49
Leereenheid 4<br />
4.1 KARTERING VAN DIE AARDE<br />
Jy benodig ongeveer 2 uur om hierdie leergedeelte suksesvol te voltooi.<br />
UITKOMSTE:<br />
Na voltooiing van hierdie leergedeelte moet jy<br />
ʼn 2D-kaart van die aarde kan omskep tot ʼn bolvorm.<br />
Die volgende uitkoms is vir verryking:<br />
kennis dra van verskillende projeksies as gevolgtrekking uit die stelling van Girard.<br />
50<br />
Studiemateriaal benodig:<br />
NALS: ho<strong>of</strong>stuk 7 en Internet<br />
Prakties:<br />
NALS: Adventure Card 7.1<br />
NALS: Student’s Guide to Adventure 7.1<br />
[Dosent sal aanwys watter groep “Creating Your Own Globe”<br />
Stappe 1 tot 6 fisies moet doen.]<br />
Stappe 7 en 8 uit op p. 114 is opsioneel.<br />
“Investigate 5” se mere en riviere is opsioneel.<br />
“Investigate 7” is opsioneel.<br />
“Explore More” 8 en 9 is opsioneel.<br />
Refleksie:<br />
NALS: Teacher’s Guide to adventure 7.1
Vir verryking:<br />
Leereenheid 4<br />
Gebruik http://math.rice.edu/~pcmi/sphere/sphere.html en lees “Consequences<br />
<strong>of</strong> Girard’s Theorem; Exercise: Distortion <strong>of</strong> maps” (en die twee skakels) om die volgende<br />
vrae te beantwoord:<br />
Opdrag 3 (opsioneel):<br />
1 Definieer 'n “ideale” kaart.<br />
2 Bestaan 'n “ideale” kaart? Motiveer jou antwoord.<br />
3 Aan watter vereiste van “ideale” kaarte voldoen gnomoniese kaarte?<br />
4 Definieer 'n gnomoniese projeksie.<br />
5 Waarvoor word gnomoniese projeksies gebruik? Noem twee. Motiveer jou antwoord.<br />
6 Aan watter vereiste van “ideale” kaarte voldoen Mercator projeksies?<br />
7 Deur wie word Mercator projeksies gebruik? Motiveer jou antwoord.<br />
8 Hoe word Mercator projeksies verkry?<br />
Antwoorde/oplossings<br />
Gedeeltelik deur dosent nagesien. Volledige memorandums op<br />
eFundi vir selfkontrole van die res.<br />
Opdrag 2 vervolg: Brei jou tabel in opdrag 2 uit deur ooreenkomste en verskille van hierdie<br />
leergedeelte by te voeg.<br />
Blaai nou terug na die leeruitkomste wat aan die begin van die leergedeelte gestel is. Het jy<br />
die nodige kennis en vaardighede verwerf wat gestel is?<br />
51
Leereenheid 4<br />
4.2 LIGGING EN TYD OP DIE AARDBOL<br />
Jy benodig ongeveer 2 uur om hierdie leergedeelte suksesvol te voltooi.<br />
UITKOMSTE:<br />
Na voltooiing van hierdie leergedeelte moet jy<br />
die aarde se koördinaatstelsel op jou bol kan konstrueer en;<br />
afstande in grade kan omskakel na afstande in km;<br />
die aarde se koördinaatstelsel vergelyk met die Cartesiese koördinaatstelsel;<br />
die ligging van plekke daarmee kan bepaal;<br />
tyd kan bereken op enige plek op aarde met enige ander plek se tyd as verwysing.<br />
Die volgende uitkomste is vir verryking:<br />
ʼn bol konstrueer met die aarde se tydsones volgens lengtelyne;<br />
jou tydsones kan vergelyk met die werklike grense in ʼn atlas.<br />
52<br />
Die nag daal oor Europa
Leereenheid 4<br />
Genesis 1: 3-5: Toe het God gesê: “Laat daar lig wees!” En daar was lig. God het gesien die lig is<br />
goed, en Hy het die lig en die donker van mekaar geskei. God het die lig toe “dag” genoem, en die<br />
donker het Hy ”nag” genoem. Dit het aand geword en dit het môre geword. Dit was die eerste dag.<br />
Johannes 8: 12 Op ʼn ander keer het Jesus vir die mense gesê: “Ek is die lig vir die wêreld. Wie My<br />
volg, sal nooit in die duisternis lewe nie, maar sal die lig hê wat lewe gee.”<br />
Studiemateriaal benodig:<br />
NALS: ho<strong>of</strong>stuk 7 en Internet<br />
Gebruik http://math.rice.edu/~pcmi/sphere/ en lees “Spherical distances and<br />
isometries” om die volgende vraag te beantwoord:<br />
Deur watter formule word afstand op ʼn sirkel (booglengtes) bereken:<br />
..............................................................<br />
Kan jy verduidelik hoe om hierdie formule af te lei? (Wenk: Gebruik die formule vir die omtrek<br />
van ʼn sirkel en maak ʼn skets)<br />
Lengtegraad en lengtelyne: ʼn Lengtelyn is die kortste lyn op die aardbol wat die Noordpool<br />
en die Suidpool verbind. Twee lengtelyne wat presies reg teenoor mekaar op die aardbol<br />
loop, vorm ʼn grootsirkel. ʼn Lengtelyn word ook ʼn meridiaan <strong>of</strong> “middaglyn” genoem omdat al<br />
die plekke op die lyn gelyktydig middag is d.w.s. die “middagson” skyn op dieselfde tyd daar.<br />
ʼn Meridiaan is ʼn halwe grootsirkel, terwyl die teenmeridiaan verwys na die ander halwe<br />
grootsirkel. Die algemeen aanvaarde standaard-meridiaan is diè van Greenwich (naby<br />
Londen, Engeland) en word die 0-meridiaan genoem. Die teenmeridiaan is sal dus 180<br />
53
Leereenheid 4<br />
wees. By die 0 meridiaan sal dit byvoorbeeld 12:00 die middag wees, terwyl dit by die 180<br />
teenmeridiaan 12:00 die nag sal wees.<br />
ʼn Lengtegraad is die hoekafstand (gemeet in grade en dele van ʼn graad) na wes <strong>of</strong> oos van<br />
die standaard-meridiaan <strong>of</strong> Greenwich-meridiaan. Hierdie sfeer (die aardbol) kan suid 360<br />
om die ewenaar verdeel word. Daar is dus 180 oos en wes van Greenwich, wat jou by<br />
dieselfde meridiaan, presies aan die anderkant van die aarde bring. Elke lengtegraad word in<br />
minute (1 = 60) en sekondes (1 = 60) verdeel.<br />
ʼn Sinkende skip kan met behulp van breedtegrade en lengtegrade sy presiese ligging aandui<br />
deur net na die koördinate te verwys. By die breedtegraad sal die kaptein van die skip eers<br />
die grade, dan die minute en sekondes moet gee en ook aandui <strong>of</strong> die breedtelyn suid <strong>of</strong><br />
noord van die ewenaar is. Dieselfde word gedoen met die lengtelyn, maar hier moet<br />
aangedui word <strong>of</strong> die lengtelyn oos <strong>of</strong> wes van die Greenwich-meridiaan voorkom. Geen plek<br />
op aarde het dieselfde ligging nie. Ligging van ʼn spesifieke plek word soos volg aangedui:<br />
(15 14 53 Suid; 21 43 21 Oos)<br />
Lengtegraad en tyd: Lengtegraad speel ʼn belangrike rol by die bepaling van tyd. Die aarde<br />
draai van wes na oos. Die 360 lengtegrade neem 24 uur om onder die son deur te draai. Dit<br />
360<br />
neem dus 1 uur vir die aarde om 15<br />
onder die loodregte strale van die son te draai.<br />
24<br />
1 uur 60 min ute<br />
Dit neem dus 4 minute vir die loodregte strale van die son om te<br />
15 15<br />
verskuif van die een lengtegraad tot die volgende.<br />
Wanneer die loodregte strale van die son op ʼn meridiaan val, is dit middag (12-uur) vir alle<br />
plekke op daardie meridiaan. As jy 12-uur op hierdie meridiaan staan, sal die son dus in die<br />
hemelmeridiaan kulmineer, d.w.s. die son sal halfpad tussen oos en wes wees. Die tyd is<br />
dan bekend as Sontyd, Plaaslike <strong>of</strong> Lokale tyd.<br />
Alle tye word gewoonlik vasgestel in terme van die tyd van Greenwich. Die aarde draai van<br />
wes na oos om sy denkbeeldige as. Gevolglik sal plekke wat oos van ʼn bepaalde meridiaan<br />
lê, tye hê wat later in die dag is, en plekke wat wes daarvan lê tye ondervind wat vroeër in<br />
die dag is.<br />
54<br />
Tydsverskille op verskillende Breedtegrade<br />
90 WES 30 WES 15 WES 0 15 OOS 30 OOS 60 OOS<br />
6h00 10h00 11h00 12h00 13h00 14h00 16h00<br />
Uit hierdie tabel is dit duidelik dat indien daar ooswaarts beweeg word, dit later word, en as<br />
daar weswaarts oor die lengtelyne beweeg word, dit vroeër word.<br />
Dit sou egter groot verwarring veroorsaak as elke plek sy eie meridiaan se tyd sou gebruik.<br />
Dink byvoorbeeld al die probleme wat sou ontstaan in die spoorweë en veral by die<br />
vertrektye van die treine indien elke dorp sy eie meridiaan se tyd sou gebruik het. Dit is dus<br />
gebruiklik vir elke land <strong>of</strong> gedeelte van ʼn land, wat veral uitgestrek is van Oos na Wes om<br />
sogenoemde standaardtyd te kies vir die gebruik van die hele land <strong>of</strong> ʼn groot gedeelte van<br />
die land. In Suid-Afrika word die standaardtyd geneem van die 30- oosmeridiaan wat deur<br />
Breyten in Mpumalanga gaan. Vir Breyten is die gemiddelde plaaslike tyd en die Suid-<br />
Afrikaanse standaardtyd (afgekort S.A.S.T.) dus dieselfde.<br />
Oor die algemeen word die standaardtydmeridiane so gekies dat dit met veelvoude van 15<br />
<strong>of</strong> 7,5 verskil, d.w.s. met presiese getal ure <strong>of</strong> halfure.
Lénárt 3-069.jpg Amesa-artikel<br />
Leereenheid 4<br />
Op hierdie wyse word die aarde in verskillende tydsones verdeel. Die grense van die<br />
tydsones word deur politieke en ekonomiese oorsake beïnvloed. Die tyd op die Greenwichmeridiaan<br />
word Greenwichtyd <strong>of</strong> Greenwich-gemiddelde Tyd genoem <strong>of</strong> eenvoudig G.G.T.<br />
Indien hierdie beginsel toegepas word en die tyd van verskillende meridiane word ooswaarts<br />
en weswaarts bereken duik ʼn ernstige probleem op. Gestel die tye word vanaf Greenwich<br />
bereken waar dit op ʼn bepaalde oomblik Maandag 8:00 is. Indien die tyd ooswaarts vir die<br />
180 O lengtelyn bereken word, sal dit Maandag 20:00 wees. Indien die tyd vanaf Greenwich<br />
weswaarts bereken word sal dit by dieselfde lengtelyn 180 W lengtelyn Sondag 20:00 wees.<br />
Onthou dat die180 W en 180 O lengtelyn een lyn is. Daar is dus ʼn verskil van 24 uur ( een<br />
etmaal) wat onprakties is. Om hierdie probleem op te los, is daar deur ʼn internasionale<br />
konferensie in 1884 in Washington D.D. in die V.S.A. ooreengekom dat die 180 oos- <strong>of</strong> 180<br />
wesmeridiaan die Internasionale Datumlyn (datumgrens) genoem word. Indien die<br />
internasionale datumgrens weswaarts oorgesteek word moet ʼn volle dag (24 uur) beweeg<br />
word. (ʼn Sondag 20:00 word dus Maandag 20:00) Wanneer tye dus ooswaarts bereken word<br />
55
Leereenheid 4<br />
en die internasionale datumgrens word oorgesteek moet ʼn volle dag (24 uur) van die week<br />
afgetrek word (ʼn Maandag 20:00 word dus Sondag 20:00).<br />
Die Internasionale Datumgrens volg nie oral die 180 wes- <strong>of</strong> oosmeridiaan nie, maar wyk<br />
wel op sekere plekke af. Die afwyking word gedoen om verwarring te voorkom en dat een<br />
deel van ʼn eiland nie een kalenderdag het en ʼn ander deel van ʼn eiland ʼn ander kalenderdag<br />
het nie.<br />
Berekening van tyd m.b.v. lengtegraad: By die berekenings moet daar altyd twee<br />
faktore in gedagte gehou word, nl.<br />
56<br />
Die aarde draai deur ʼn hoek van 360 in 24 uur en daarom deur 15 in een uur<br />
en deur 1 in 4 minute.<br />
Die aarde draai om sy eie as van wes na oos, daarom sal die sonsopkoms,<br />
middag en sonsondergang op plekke oos vroeër wees as die plekke was.<br />
Onthou: Die tyd in die OOSTE sal VOOR wees in verhouding tot die tyd na die weste.<br />
Voorbeeld:<br />
As die in New York (standaardtyd 75W) 6:30 is, hoe laat sal dit tyd in Potchefstroom<br />
(standaardtyd volgens die 30) wees?<br />
Onthou dat New York wes van die Greenwich meridiaan is en Potchefstroom oos daarvan.<br />
Om die verskil in die lengtegraadsligging tussen die twee plekke te bepaal, moet die<br />
lengtegrade bymekaar getel word d.w.s. 75 + 30 = 105 lengtegrade. Deel hierdie<br />
lengtegrade deur 15 om die verskil in lengtegrade in tyd om te sit. 105 sal dus 7 ure<br />
voorstel. Nou moet bepaal word <strong>of</strong> die onbekende plek se tyd voor <strong>of</strong> agter die tyd van die<br />
bekende plek is. Potchefstroom lê oos van New York en sal 7 ure bygetel moet word. Dit sal<br />
dus13:30 in Potchefstroom wees. (6:30 + 7 ure = 13:30)<br />
New York Greenwich Potchefstroom<br />
75W 0 30O<br />
--------------------------------------------------------<br />
Verskil in grade is<br />
Tydsverskil<br />
:<br />
:<br />
1uur<br />
105<br />
<br />
15<br />
7 uur<br />
30<br />
<br />
105<br />
75<br />
<br />
<br />
<br />
<strong>of</strong><br />
4 minute <br />
105<br />
<br />
1<br />
<br />
<strong>of</strong><br />
1uur<br />
<br />
420 min <br />
<br />
<br />
<br />
60 min <br />
Opmerking: Indien twee plekke aan dieselfde kant van die Greenwichlyn (0) is, moet die<br />
lengtegrade van mekaar afgetrek word om die verskil in lengtegraad te bereken.<br />
Wenk: Teken ʼn prentjie
Prakties:<br />
NALS: Adventure Card 7.2 en 7.3<br />
NALS: Student’s Guide to Adventure 7.2** en 7.3<br />
Leereenheid 4<br />
Gebruik die papieraardbol bedek met transparante van 7.1<br />
** Vervang vraag 7 met die volgende: Die twee stede Minneapolis in Minnesota en Lake<br />
Charles in Louisiana lê albei op die 93 W lengtelyn. Die breedtegraad van Minneapolis is<br />
45N en die van Lake Charles 30N. Bereken die afstand tussen die twee stede.<br />
....................................................................................................<br />
....................................................................................................<br />
....................................................................................................<br />
....................................................................................................<br />
....................................................................................................<br />
Opmerking: Geografiese koördinate word andersom geskryf as Cartesiese koördinate.<br />
By geografiese koördinate (; ) is die eerste koördinaat 'n Noord (+) <strong>of</strong> Suid (-);<br />
m.a.w. 'n vertikale posisie aanduiding. Die tweede koördinaat dui Oos (+) <strong>of</strong> Wes (-) aan,<br />
m.a.w. 'n horisontale posisie.<br />
(a N; b W) beteken dus (a; -b) en lê in die “tweede kwadrant” en nie in die vierde kwadrant<br />
soos by Cartesiese koördinate nie.<br />
Refleksie:<br />
NALS: Teacher’s Guide to adventure 7.2 en 7.3<br />
Opdrag 2 vervolg: Brei jou tabel in opdrag 2 uit deur ooreenkomste en verskille van hierdie<br />
leergedeelte by te voeg.<br />
57
Leereenheid 4<br />
Opdrag 4A:<br />
Bereken die volgende en toon alle berekeninge:<br />
1. Bereken die afstand tussen Athene (375638N ; 24O) en<br />
De Aar (303933S ; 24O). [Opmerking: Die internet-adres www.multimap.com/<br />
kan gebruik word om in te zoem op enige plek in die wêreld en dit gee ook die<br />
koördinate daarvan.]<br />
2. Charles Lindbergh het in 1927 met sy beroemde vlug oor die Atlantiese Oseaan 473<br />
myl korter gevlieg as met 'n direk ooswaartse vlug. Verduidelik hoe hy dit reggekry het.<br />
3. Die Oranje-Vistonnel is 82,8 km lank<br />
en het 'n inklinasie van 1:2000. Neem<br />
die aarde se radius as 6399 km.<br />
58<br />
3.1 Hoekom is die inklinasie nodig?<br />
Gee twee redes.<br />
3.2 Bereken hoek . (Werk tot drie<br />
desimale syfer noukeurig)<br />
3.3 Bereken hoek .<br />
3.4 Bereken hoek .<br />
3.5 Bereken hoek .<br />
3.6 Bereken die diepte van die<br />
tonnel (x) in meter.<br />
3.7 Bereken die foutpersentasie as<br />
die werklike diepte gegee word<br />
as 405 m.<br />
3.8 Bereken die afwyking as 'n<br />
persentasie in vergelyking met<br />
die radius van die aarde.<br />
3.9 Maak 'n gevolgtrekking.<br />
Inlaat<br />
x<br />
4. Veronderstel dit is Dinsdag 14:00 op 150O. Hoe laat is dit op 18O?<br />
5. Veronderstel dit is 18:00 op Saterdag 4 Junie by 70W. Hoe laat is dit op in Kaapstad?<br />
6. Ons moet vroeg opstaan om Saterdag 4:20 na ʼn rugbywedstryd in Nieu-Seeland<br />
180O te kyk. Hoe laat is dit in Christchurch?<br />
7. Veronderstel ʼn persoon in Japan (135O) kyk om 11:00, 23 Desember na ʼn direkte<br />
TV-uitsending van ʼn branderplankry-kompetisie. Hoe laat is dit in Hawaii (165W) waar<br />
die kompetisie plaasvind?
Leereenheid 4<br />
8. Hoe laat begin die Amerikaanse Ope Tennis eindstryd in New York (4045’ N; 74W)<br />
as ons dit op Saterdag om 23:00 in Suid-Afrika oor televisie kyk? (Rond af tot die<br />
naaste 15)<br />
9. Gestel die son kom op in Rio De Janeiro op Vrydag om 06:00<br />
(22:54:34S; 43:12:54W). Hoe laat is dit in Napels (40,8396 N; 14,2528 O )? Werk<br />
noukeurig.<br />
Opdrag 4B:<br />
Bereken die volgende en toon alle berekeninge:<br />
1. 'n Satelliet word gelanseer in 'n sirkelvormige wentelbaan rondom die aarde. As die<br />
afstand van die satelliet na die middelpunt van die aarde 9000 km is, hoe ver beweeg<br />
die satelliet as die hoek waardeur hy beweeg 70 is?<br />
2. Veronderstel ʼn skag is 500m diep en daarvandaan word ʼn tonnel onder die aarde<br />
gebou sodat die tonnel ʼn hoek van 90 met die skag maak. Hoe lank kan die tonnel<br />
wees voordat dit op die oppervlakte sal uitsteek indien die aarde ʼn gladde oppervlakte<br />
sou hê?<br />
3. Die Oranje-Vistonnel is 82,8 km lank<br />
en het 'n inklinasie van 1:2000. Neem<br />
die aarde se radius as 6399 km.<br />
3.1 Hoekom is die inklinasie nodig?<br />
Gee twee redes.<br />
3.2 Bereken hoek . (Werk tot drie<br />
desimale syfer noukeurig)<br />
3.3 Bereken hoek .<br />
3.4 Bereken hoek .<br />
3.5 Bereken hoek .<br />
3.6 Bereken die diepte van die<br />
tonnel (x) in meter.<br />
3.7 Bereken die foutpersentasie as<br />
die werklike diepte gegee word<br />
as 405 m.<br />
3.8 Bereken die afwyking as 'n<br />
persentasie in vergelyking met<br />
die radius van die aarde.<br />
3.9 Maak 'n gevolgtrekking.<br />
Inlaat<br />
x<br />
4. Veronderstel dit is Maandag 12:00 in Suid-Afrika. Hoe laat is dit op 30W?<br />
5. Veronderstel dit is Woensdag 4:00 op 72W. Hoe laat is dit op 141W?<br />
6. In Suid-Afrika kyk ons om 15:00 na die Wimbledon tenniseindstryd. Hoe laat is dit op<br />
Wimbledon?<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
59
Leereenheid 4<br />
7. Jy vertrek Maandag om 10:00 vanaf Johannesburg lughawe en die vlug duur 12 uur<br />
later tot in Engeland. Hoe laat is dit daar as jy land?<br />
8. Dit neem ongeveer 12 ure om vanaf Johannesburg tot in Parys (Frankryk) te vlieg.<br />
Verduidelik hoe dit moontlik is dat daar in beide Suid-Afrika en Frankryk presies op<br />
dieselfde tyd (bv. 15:00) na ’n wêreldbeker-rugbywedstryd gekyk word.<br />
9. Rodger Federer het op Sondag 28 Januarie 2007 sy tiende “grand slam” titel ingepalm<br />
deur die Australiese Ope eindstryd te wen. Hy het ongeveer om 20:00 in Melbourne<br />
(-37,8138; 144:57:47 ) gespeel. Wanneer het ons in Suid-Afrika na ’n direkte uitsending<br />
van die wedstryd gekyk?<br />
60<br />
Antwoorde/oplossings<br />
Gedeeltelik deur dosent nagesien. Volledige memorandums op eFundi<br />
vir selfkontrole van die res.<br />
Refleksie:<br />
Vorige klastoetse op eFundi.<br />
Blaai nou terug na die leeruitkomste wat aan die begin van die leergedeelte gestel is. Het jy<br />
die nodige kennis en vaardighede verwerf wat gestel is?
4.3 COLUMBUS SE VISIE VAN DIE AARDE<br />
AARDBEWINGS EN VULKANE<br />
Jy benodig ongeveer 0 uur om hierdie leergedeelte suksesvol te voltooi.<br />
UITKOMSTE:<br />
Die volgende uitkomste is opsioneel:<br />
ʼn kaart konstrueer soos Columbus se siening van die aarde;<br />
Columbus se kaart vergelyk met die werklike aarde;<br />
Columbus se fout kan bereken ten opsigte van die omtrek van die ewenaar;<br />
ʼn aardbol konstrueer met die “living earth” plakkaat;<br />
met skaalberekenings bogenoemde bol met die aardbol vergelyk;<br />
kennis dra van tektoniese plate en die invloed van hulle bewegings.<br />
NALS: ho<strong>of</strong>stuk 7<br />
Studiemateriaal benodig:<br />
Prakties:<br />
NALS: Adventure Card 7.4 en 7.5<br />
NALS: Student’s Guide to Adventure 7.4 en 7.5<br />
Refleksie:<br />
NALS: Teacher’s Guide to adventure 7.4 en 7.5<br />
Leereenheid 4<br />
61
Leereenheid 4<br />
Opdrag 5:<br />
Neem die radius van die aarde as 6366km.<br />
62<br />
1. Bereken die lengte (in km) van die ewenaar.<br />
2. Bereken die lengte (in km) van 1 op die ewenaar.<br />
3. Columbus het 1 as 84 km bereken. Watter persentasie fout het hy gemaak ?<br />
Opdrag 2 vervolg: Brei jou tabel in opdrag 2 uit deur ooreenkomste en verskille van hierdie<br />
leergedeelte by te voeg.<br />
Blaai nou terug na die leeruitkomste wat aan die begin van die leergedeelte gestel is. Het jy<br />
die nodige kennis en vaardighede verwerf wat gestel is?
5 SFERIESE TRIGONOMETRIE<br />
Jy benodig ongeveer 12 uur om hierdie leereenheid suksesvol te voltooi.<br />
UITKOMSTE:<br />
Na voltooiing van hierdie leereenheid moet jy<br />
die kosinusreël kan aflei en toepas op die plat vlak en op die sfeer;<br />
die sinusreël kan aflei en toepas op die plat vlak en op die sfeer.<br />
Die volgende uitkoms is opsioneel:<br />
Napier se reëls vir reghoekige sferiese driehoeke kan aflei en toepas.<br />
Leereenheid 5<br />
In hierdie leereenheid word die bekende kosinusreël op die plat vlak gebruik om die<br />
kosinusreël op die sfeer af te lei. Dit stel ons in staat om die kortste afstand tussen enige<br />
twee plekke op aarde te bepaal asook die hoeke waarmee vliegtuie moet beweeg vir die<br />
kortste vlug.<br />
http://www2.umt.edu/Geology/faculty/sheriff/350-<br />
Computation_Computer_Techniques/Images/Spherical%20trig%20law%20<strong>of</strong>%20cosines.gif<br />
63
Leereenheid 5<br />
5.1 DIE KOSINUSREËL<br />
Jy benodig ongeveer 3 uur om hierdie leergedeelte suksesvol te voltooi.<br />
UITKOMSTE:<br />
Na voltooiing van hierdie leergedeelte moet jy<br />
die kosinusreël kan toepas op die plat vlak;<br />
die kosinusreël kan aflei en toepas op die op die sfeer.<br />
Die eerste formule wat ons gaan aflei gee ʼn verband tussen die drie sye van ʼn boldriehoek<br />
en een van die hoeke. Dit is ʼn basiese formule, want al die ander word daaruit herlei.<br />
64<br />
B<br />
Bewys:<br />
<br />
A<br />
<br />
c b<br />
a<br />
Ons bewys net die eerste van die drie formules.<br />
Trek raaklyne aan die grootsirkels AB en AC deur A<br />
en verleng die strale OB en OC,<br />
waar O die middelpunt van die sfeer is.<br />
<br />
C<br />
cos a = cos b cos c + sin b sin c cos <br />
cos b = cos a cos c + sin a sin c cos <br />
cos c = cos a cos b + sin a sin b cos <br />
Die raaklyn aan AB lê op die plat vlak deur die grootsirkel deur A en B,<br />
en só ook die straal OB.<br />
Die raaklyn en die verlenging van OB sny mekaar dus, sê in D.
Gestel die raaklyn aan AC by A en die verlengde straal OC sny in E.<br />
Verbind DE.<br />
ADE is nou ʼn gewone plat-vlak driehoek met DAE = .<br />
In ADE geld dus:<br />
DE 2 = AD 2 + AE 2 – 2AD.AE cos (1)<br />
In ODE is DOE = a en dus geld:<br />
DE 2 = OD 2 + OE 2 – 2OD.OE cos a (2)<br />
Vergelyking (2) – (1) lewer:<br />
0 = (OD 2 – AD 2 ) + (OE 2 – AE 2 ) – 2OD.OE cos a + 2AD.AE cos <br />
2OD.OE cos a = (OD 2 – AD 2 ) + (OE 2 – AE 2 ) + 2AD.AE cos <br />
2OD.OE cos a = OA 2 + (OE 2 – AE 2 ) + 2AD.AE cos (Stelling van<br />
2OD.OE cos a = OA 2 + OA 2 + 2AD.AE cos (Stelling van<br />
2OD.OE cos a = 2 OA 2 + 2AD.AE cos <br />
OD.OE cos a = OA 2 + AD.AE cos <br />
cos a <br />
OA OA<br />
.<br />
OD OE<br />
<br />
AD AE<br />
. cos <br />
OD OE<br />
OA AE<br />
cos a cos c.<br />
sin c.<br />
cos<br />
OE OE<br />
D<br />
Leereenheid 5<br />
Pythagoras in OAD)<br />
Pythagoras in OAE)<br />
A<br />
c<br />
O<br />
65
Leereenheid 5<br />
cos a = cos c cos b + sin c sin b cos <br />
66<br />
<strong>of</strong><br />
cos a = cos b cos c + sin b sin c cos <br />
Voorbeeld 1:<br />
A<br />
b<br />
O<br />
Die ander twee formules volg soortgelyk.<br />
Die drie sye van ʼn boldriehoek is 45, 60 en 30 respektiewelik. Bereken die hoeke.<br />
Bewys: Ons maak ʼn verduidelikende skets soos<br />
hier langsaan:<br />
Volgens die kosinusreël vir boldriehoeke is:<br />
cos a = cos b cos c + sin b sin c cos <br />
cos 45 = cos 60 cos 30 + sin 60 sin 30 cos <br />
sin 60 sin 30 cos = cos 45 - cos 60 cos 30<br />
cos <br />
<br />
bg<br />
<br />
50,<br />
729<br />
cos 45<br />
cos 60<br />
cos 30<br />
sin 60<br />
sin 30<br />
cos 45<br />
cos 60<br />
cos 30<br />
cos <br />
<br />
sin 60<br />
sin 30<br />
Toon aan dat = 108,532 en bereken dan ook .<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
B<br />
30<br />
<br />
A<br />
<br />
45<br />
60<br />
<br />
E<br />
C
Voorbeeld 2:<br />
Leereenheid 5<br />
Gebruik Johannesburg (26:09:34 S ; 28:04:21 O ) en Bombaai (19:04:36 N; 72:45:49 O)<br />
http://www.planetary.org/mars/earthdial/map.jpg<br />
<br />
2.1 Bepaal die hoekafstand tussen die twee stede. (Wenk: Neem die Noordpool as<br />
derde hoekpunt en gebruik die cos-reël)<br />
2.2 As die radius van die aarde 6378 km is, hoe lank is die boog op ʼn grootsirkel<br />
tussen die stede?<br />
2.3 Wat is die kortste afstand tussen die stede?<br />
<br />
67
Leereenheid 5<br />
68<br />
Oplossing:<br />
Teken die figuur soos volg op die sfeer met die stede min <strong>of</strong> meer op die regte<br />
plekke.<br />
Gestel die sferiese driehoek NJB het<br />
hoekpunte N(Noordpool),<br />
J(Johannesburg) en B(Bombaai).<br />
N1 = 28:04:21<br />
N2 = 72:45:49 – 28:04:21<br />
= 44,691 <br />
j = 90 – 19:04:36<br />
= 70,923 <br />
Opmerking: Vanaf N tot die ewenaar<br />
is 90, maar Bombaai is ongeveer<br />
19 noord van die ewenaar. Ons<br />
moet dus aftrek.<br />
b = 90 + 26:09:34<br />
= 116,159 <br />
Wes ewenaar<br />
N<br />
2<br />
1<br />
Opmerking: Vanaf N tot die ewenaar is 90 , maar Johannesburg is ongeveer 26 suid van<br />
die ewenaar. Ons moet dus optel.<br />
Suid<br />
b<br />
J<br />
j<br />
n<br />
B<br />
Oos
2.1 cos n = cos b cos j + sin b sin j cos N2 <br />
2.2<br />
= cos 116,159 cos 70,923 + sin 116,159 sin 70,923 cos 44,691 <br />
= 0,458…<br />
n = 62,680<br />
Hoekafstand is dus 62,68 <br />
Booglengte 62,<br />
68<br />
<br />
2r<br />
360<br />
62,<br />
68<br />
Booglengte = 2r<br />
<br />
360<br />
62,<br />
68<br />
= 2<br />
( 6378)<br />
360<br />
= 6977,356 km <br />
2.3 Kortste afstand is die hoekafstand as 'n booglengte dus 6977,356 km<br />
Voorbeeld 3:<br />
Leereenheid 5<br />
3.1 Bewys dat die (kortste) hoekafstand tussen twee plekke A (A; A) [in die suidelike<br />
halfrond, wes van Greenwich] en B (B; B) [in Europa] gegee word deur die formule:<br />
sin sin cos cos cos<br />
<br />
<br />
n cos <br />
1<br />
A<br />
B<br />
(Onthou om jou tekens reg te kies.)<br />
<br />
<br />
3.2 Gebruik die formule in 3.1 en bereken die hoekafstand tussen Rio De Janeiro<br />
(22:54:34 S; 43:12:54 W) en Berlyn (52:27:39 N; 13:28:29 O)<br />
3.3 As die radius van die aarde 6378 km is, hoe lank is die boog op ʼn grootsirkel tussen<br />
die stede?<br />
3.4 Wat is die kortste afstand tussen die stede?<br />
A<br />
B<br />
A<br />
B<br />
69
Leereenheid 5<br />
Oplossing:<br />
3.1 [Teken 'n skets en gebruik die korrekte kwadrante en onthou watter veranderlikes<br />
positiewe <strong>of</strong> negatiewe hoeveelhede voorstel]<br />
70<br />
N = θB – θA<br />
b = 90 - A<br />
a = 90 - B<br />
b=90+ (- A )<br />
= 90- A<br />
A<br />
-A<br />
B<br />
n<br />
N: Noordpool / North Pole (90; 0)<br />
a=90- B<br />
B<br />
Ewenaar / Equator<br />
cos n = cos b cos a + sin b sin a cos N [cos-reël vir sferiese driehoeke]<br />
cos n = cos(90- A ) cos(90 - B) + sin(90- A ) sin(90 - B) cos(θB – θA )<br />
= sin A sin B + cosA cos B cos(θB – θA ) [uit ko-verhoudings]<br />
= sin A sin B + cosA cos B cos(θA – θB ) [cosinus-funksie is ewe]<br />
<br />
n cos sin sin<br />
cos<br />
cos<br />
cos<br />
<br />
1<br />
A<br />
B<br />
Opmerking: Onthou om redes te gee vir beginsels wat gebruik word.<br />
3.2<br />
A<br />
B<br />
= 22:54:34 S<br />
= -22,909<br />
= 52:27:39 N<br />
= 52,461<br />
ΘA = 43:12:54 W<br />
= -43,215<br />
A<br />
B<br />
A<br />
B
ΘB = 13:28:29 O<br />
= 13,475<br />
sin sin<br />
cos<br />
cos<br />
cos<br />
<br />
<br />
n cos <br />
1<br />
n <br />
<br />
cos 1<br />
90,<br />
026<br />
A<br />
B<br />
A<br />
B<br />
sin 22,<br />
909sin<br />
52,<br />
461 cos<br />
22,<br />
909cos<br />
52,<br />
461cos<br />
43,<br />
215 13,<br />
475<br />
A<br />
B<br />
Leereenheid 5<br />
Opmerking: Anders as in voorbeeld 2, word hierdie lengtegrade nie by 90 opgetel <strong>of</strong><br />
afgetrek nie. Dis klaar in die formule verreken. Die regte tekens moet egter gebruik word.<br />
3.3<br />
Boog 90,<br />
026<br />
<br />
Omtrek van aarde 360<br />
Boog<br />
2<br />
6378 90,<br />
026<br />
<br />
360<br />
Booglengte<br />
10021,<br />
433 km<br />
3.4 10021,433 km<br />
Formuleer die kosinusreël vir beide ʼn skerphoekige en stomphoekige driehoek op die plat<br />
vlak:<br />
Opdrag 2 vervolg: Brei jou tabel in opdrag 2 uit deur ooreenkomste en verskille van hierdie<br />
leergedeelte by te voeg.<br />
Blaai nou terug na die leeruitkomste wat aan die begin van die leergedeelte gestel is. Het jy<br />
die nodige kennis en vaardighede verwerf wat gestel is?<br />
71
Leereenheid 5<br />
5.2 DIE SINUSREËL<br />
Jy benodig ongeveer 6 uur om hierdie leergedeelte suksesvol te voltooi.<br />
UITKOMSTE:<br />
Na voltooiing van hierdie leergedeelte moet jy<br />
die sinusreël kan aflei en toepas op die plat vlak en op die sfeer.<br />
Opmerking: Abu Wafa (998 nC) het die sinusformule vir sferiese driehoeke bewys.<br />
Die sinusreël vir boldriehoeke:<br />
Bewys:<br />
Skryf die kosinusreël in die vorm:<br />
en kwadreer dit om te kry<br />
72<br />
sin sin sin <br />
<br />
sin a sin b sin c<br />
sin b sin c cos = cos a – cos c cos b<br />
sin 2 b sin 2 c cos 2 = cos 2 a – 2cos a cos c cos b + cos 2 c cos 2 b<br />
sin 2 b sin 2 c (1 – sin 2 ) = (1 – sin 2 a) - 2cos a cos c cos b + (1 – sin 2 c)(1 – sin 2 b)<br />
sin 2 b sin 2 c - sin 2 b sin 2 c sin 2 = 1 – sin 2 a - 2cos a cos c cos b +<br />
1 – sin 2 b – sin 2 c + sin 2 c sin 2 b<br />
- sin 2 b sin 2 c sin 2 = 2 – sin 2 a - 2cos a cos c cos b – sin 2 b – sin 2 c (1)<br />
Ons kan hierdie hele proses herhaal met die vergelyking:<br />
Ruil a en b , en en se rolle om:<br />
sin a sin c cos = cos b – cos c cos a<br />
- sin 2 a sin 2 c sin 2 = 2 – sin 2 b - 2cos b cos c cos a – sin 2 a – sin 2 c<br />
= 2 – sin 2 a - 2cos a cos c cos b – sin 2 b – sin 2 c (2)<br />
Aangesien die regterkante van vergelykings (1) en (2) dieselfde is, moet die linkerkante ook<br />
gelyk wees:
- sin 2 b sin 2 c sin 2 = - sin 2 a sin 2 c sin 2 <br />
sin 2 b sin 2 = sin 2 a sin 2 <br />
sin b sin = sin a sin <br />
sin b sin = sin a sin [neem die positiewe teken, want ons beskou<br />
<br />
sin a sin b<br />
<br />
sin sin <br />
Die ander gelykheid volg net so.<br />
Voorbeeld 1:<br />
boldriehoeke met alle elemente kleiner as 180]<br />
Leereenheid 5<br />
Twee sye van ʼn boldriehoek is 30 en 60 en die ingeslote hoek is 60. Bereken die ander<br />
elemente.<br />
Bewys:<br />
Beskou die boldriehoek soos in die meegaande<br />
skets:<br />
Aangesien ons nie ʼn hoek en sy teenoorstaande sy<br />
se waardes het nie, kan ons nie die sinusreël<br />
gebruik nie.<br />
Volgens die kosinusreël is:<br />
cos a = cos b cos c + sin b sin c cos <br />
= cos 30 cos 60 + sin 30 sin 60 cos 60<br />
a = bgcos (0,6495…) *<br />
= 49,495<br />
* Opmerking: As jy nie hele uitdrukking weer wil<br />
neerskryf nie, kan jy dit solank bereken, maar<br />
moenie afrond nie. Vandaar die …<br />
Op hierdie stadium is die hoek (60) en die teenoorstaande sy a bekend. Ons kan dus die<br />
sinus- <strong>of</strong> kosinusreël gebruik om en te bereken.<br />
Dit is veilig om die hoek () teenoor die kortste sy te bereken met die sinusreël, want dit sal<br />
die kleinste hoek in die driehoek wees. Ons kan dus hoeke in die tweede kwadrant<br />
(stomphoeke) ignoreer.<br />
B<br />
60<br />
<br />
A<br />
60<br />
a<br />
30<br />
<br />
C<br />
73
Leereenheid 5<br />
Volgens die sinusreël is:<br />
74<br />
sin <br />
<br />
sin b<br />
sin <br />
<br />
sin 30<br />
sin <br />
sin a<br />
<br />
bg sin<br />
34,<br />
715<br />
Plaas altyd die onbekende veranderlike<br />
sin 60<br />
sin 49,<br />
495<br />
sin 60<br />
sin 30<br />
sin <br />
sin 49,<br />
495<br />
0, 5694...<br />
<br />
om die aantal berekenings<br />
[ 145,<br />
285<br />
is nie van toepas sin g]<br />
links bo<br />
te ver min der<br />
Aangesien teenoor die langste sy lê, is dit veiliger om dit met die kosinusreël te bereken:<br />
cos c = cos a cos b + sin a sin b cos <br />
cos =<br />
cos c cos a cos b<br />
sin a sin b<br />
= <br />
cos 60<br />
cos 49,<br />
495<br />
cos 30<br />
<br />
bg cos <br />
<br />
sin 49,<br />
495<br />
sin 30<br />
<br />
= 99,462<br />
Met die sinusreël kry ons die volgende:<br />
<br />
<br />
sin<br />
sin<br />
sin <br />
<br />
<br />
c<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
sin<br />
sin<br />
sin sin c<br />
sin a<br />
sin 60<br />
sin 60<br />
sin 49,<br />
495<br />
bg sin<br />
<br />
a<br />
<strong>of</strong><br />
0, 986...<br />
<br />
80,<br />
536<br />
<strong>of</strong><br />
80,<br />
536<br />
<strong>of</strong><br />
sin<br />
sin<br />
<strong>of</strong><br />
<br />
b<br />
sin sin c<br />
sin b<br />
<strong>of</strong><br />
180<br />
80,<br />
536<br />
99,<br />
464<br />
sin 34,<br />
715<br />
sin 60<br />
sin 30<br />
Om te weet watter hoek om te kies sal dit nie help om na die lengtes van die sye te kyk nie,<br />
want c is die langste sy en beide 80,536 en 99,464 is die grootste hoek. Die som van die<br />
drie hoeke sal egter kleiner as 180 wees as ons 80,536 gebruik. Dit moet dus 99,464<br />
wees , soos verkry uit die kosinusreël.<br />
Gevolgtrekking: Wees versigtig om die sinusreël te gebruik. As jy ʼn keuse het, is die<br />
kosinusreël veiliger, want ons werk nie met hoeke in die vierde kwadrant nie.
Voorbeeld 2<br />
Hierdie vraag het betrekking op voorbeeld 2 in Leergedeelte 5.1.<br />
Leereenheid 5<br />
2.4 In watter rigting moet 'n vliegtuig korrel wat vanaf Johannesburg na Bombaai<br />
wegtrek? (Gebruik die sin-reël)<br />
Oplossing:<br />
sin J<br />
sin j<br />
sin J <br />
sin N<br />
<br />
sin n<br />
sin N sin j<br />
sin n<br />
sin 44,<br />
691sin<br />
70,<br />
923<br />
sin J <br />
<br />
sin 62,<br />
680<br />
= 0,748….<br />
J = 48,426 <strong>of</strong> 131,574<br />
Opdrag 6A:<br />
Vliegtuig moet dus N 48,426 O vlieg (anders gestel 48,428 oos van noord) <br />
Werk tot 3 desimale syfers noukeurig.<br />
1. Twee dorpe A en B is 7000 km van mekaar op die ewenaar geleë. Gestel N is die<br />
Noordpool.<br />
1.1 Bereken die hoekafstand AB. (in grade)<br />
1.2 Bereken ANB m.b.v. die sinus-reël.<br />
1.3 Tot watter gevolgtrekking kom u?<br />
2. In die sferiese ABC is die volgende gegee. Bereken die oorblywende elemente:<br />
b = 30, c = 60, A = 45<br />
a = 3245, b = 50 39, C = 61 12<br />
a = 32, b = 32, c = 64<br />
75
Leereenheid 5<br />
3.<br />
76<br />
3.1 Bepaal die hoekafstand tussen Potchefstroom (26 41 S; 27 5 40 O) en New<br />
York (40 45 N; 74 W). [Wenk: Gebruik die Noordpool <strong>of</strong> Suidpool as derde<br />
hoekpunt]<br />
<br />
3.2 As die radius van die aarde 6378 km is, hoe lank is die deel van die grootsirkel<br />
tussen Potchefstroom en New York?<br />
3.3 Wat is die kortste afstand tussen Potchefstroom en New York?<br />
3.4 In watter rigting moet ʼn vliegtuig korrel wat vanaf Potchefstroom na New York<br />
wegtrek? Gebruik die sinus-reël.<br />
4. ʼn Skip trek by Londen (51 30 N; 0) weg en vaar in ʼn rigting 20 W van S teen 35km/h<br />
vir vier dae, wanneer dit strand op ʼn eiland. Waar is die eiland (ongeveer)? Gebruik ʼn<br />
atlas.<br />
5. Om die (kortste) afstand tussen twee plekke op die aarde te bepaal (soos in vraag 3),<br />
gebruik navigators die volgende formule:<br />
D<br />
r<br />
bg cossin<br />
A<br />
180<br />
sin B<br />
cos A cos B<br />
cos<br />
A B <br />
,<br />
met r die radius van die aarde en die koördinate van plek A (A; A) en B (B; B). Noord<br />
en Oos word beskou as positiewe hoeke en Suid en Wes as negatiewe hoeke.<br />
5.1 Lei hierdie formule af met A iewers in Suid-Amerika en B in Asië. Gebruik<br />
dieselfde stappe as in vraag 3.1.<br />
5.2 Kontroleer jou antwoord in vraag 3.2 met hierdie formule.<br />
6. Vereenvoudig die kosinusreël van leergedeelte 5.1 vir sferiese driehoeke as gegee is<br />
dat hoek 'n regtehoek is. [Opmerking: Hierdie staan bekend as die Stelling van<br />
Pythagoras in Sferiese Meetkunde.] Tydens <strong>MATE</strong> 321 sal m.b.v. vektore en Taylor<br />
reeks bewys word waarom dit so genoem word.<br />
7. Gebruik die volgende skets en bewys<br />
dat ʼn boldriehoek met gelyke<br />
basishoeke twee gelyke sye het.<br />
<br />
B<br />
c<br />
=<br />
A<br />
a<br />
b<br />
=<br />
C
Opdrag 6B:<br />
Werk tot 3 desimale syfers noukeurig.<br />
Leereenheid 5<br />
1. Twee dorpe A en B is 5000 km van mekaar op die ewenaar geleë. Gestel N is die<br />
Noordpool.<br />
1.1 Bereken die hoekafstand AB. (in grade)<br />
1.2 Bereken ANB m.b.v. die sinus-reël.<br />
1.3 Tot watter gevolgtrekking kom u?<br />
2. In die sferiese ABC is die volgende gegee. Bereken die oorblywende elemente:<br />
2.1 b = 30, c = 60, A = 45<br />
2.2 a = 3245, b = 50 39, C = 61 12<br />
2.3 a = 32, b = 32, c = 64<br />
3.<br />
3.1 Bepaal die hoekafstand tussen Johannesburg (26:09:34 S ; 28:04:21 O ) en<br />
Sydney (33:52:06 S; 151:12:31O). Gebruik die cos-reël.<br />
3.2 Hoe lank (in km) is die boog op ʼn grootsirkel tussen die stede?<br />
3.3 In watter rigting moet 'n vliegtuig korrel wat vanaf Johannesburg na Sydney<br />
wegtrek? Gebruik die sinus-reël.<br />
4. ʼn Skip trek by Londen (51 30 N; 0) weg en vaar in ʼn rigting 20 W van S teen 35km/h<br />
vir vier dae, wanneer dit strand op ʼn eiland. Waar is die eiland (ongeveer)? Gebruik ʼn<br />
atlas.<br />
5.<br />
5.1 Bewys met redes, dat die (kortste) hoekafstand tussen twee plekke D (D; D) [in<br />
die suidelike halfrond, oos van Greenwich] en N (Y; Y) [in Noord-Amerika]<br />
gegee word deur die formule:<br />
<br />
n cos sin<br />
sin<br />
cos<br />
cos<br />
cos <br />
1<br />
.<br />
<br />
D<br />
Y<br />
D<br />
Y<br />
<br />
D<br />
Y<br />
<br />
77
Leereenheid 5<br />
78<br />
<br />
5.2 Gebruik die formule in 5.1 en bereken die hoekafstand tussen Durban<br />
(29:44:53S; 30:59:31O) en New York (4045’ N; 74W).<br />
6. Vereenvoudig die kosinusreël van leergedeelte 5.1 vir sferiese driehoeke as gegee is<br />
dat hoek 'n regtehoek is. [Opmerking: Hierdie staan bekend as die Stelling van<br />
Pythagoras in Sferiese Meetkunde.] Tydens <strong>MATE</strong> 321 sal m.b.v. vektore en Taylor<br />
reeks bewys word waarom dit so genoem word.<br />
7. Gebruik die volgende skets en bewys<br />
dat ʼn boldriehoek met gelyke<br />
basishoeke twee gelyke sye het<br />
Antwoorde/oplossings<br />
<br />
Gedeeltelik deur dosent nagesien. Volledige memorandums op eFundi vir<br />
selfkontrole van die res.<br />
Opdrag 2 vervolg: Brei jou tabel in opdrag 2 uit deur ooreenkomste en verskille van hierdie<br />
leergedeelte by te voeg.<br />
Blaai nou terug na die leeruitkomste wat aan die begin van die leergedeelte gestel is. Het jy<br />
die nodige kennis en vaardighede verwerf wat gestel is?<br />
B<br />
c<br />
=<br />
A<br />
a<br />
b<br />
=<br />
C
5.3 NAPIER SE REËLS<br />
Jy benodig ongeveer 3 uur om hierdie leergedeelte suksesvol te voltooi.<br />
UITKOMSTE:<br />
Na voltooiing van hierdie leergedeelte moet jy<br />
Leereenheid 5<br />
probleme met reghoekige sferiese driehoek kan oplos met behulp van die cosinus- en<br />
sinus-reëls.<br />
Opsionele uitkoms:<br />
Napier se reëls vir reghoekige sferiese driehoeke kan aflei en toepas.<br />
In reghoekige sferiese driehoeke vereenvoudig die kosinus- en sinusreëls wat ons<br />
berekenings aansienlik vergemaklik.<br />
B<br />
<br />
A<br />
<br />
c b<br />
In ABC word die sinusreël:<br />
Dit lewer: sin a = sin sin c<br />
a<br />
en sin b = sin sin c<br />
C<br />
Indien een van die hoeke van ʼn boldriehoek 90 is,<br />
vereenvoudig die formules heelwat.<br />
Gestel ABC is ʼn boldriehoek met ACB = = 90.<br />
Dan geld:<br />
sin = 1<br />
cos = 0<br />
Ons gaan tien formules aflei wat ons later in een<br />
reël sal saamvat in ʼn vorm wat maklik onthou kan<br />
word.<br />
sin a sin b sin c<br />
. (**)<br />
sin sin 1<br />
en dus: cos(90 - a) = sin sin c (1)<br />
cos(90 - b) = sin sin c (2)<br />
79
Leereenheid 5<br />
80<br />
Die kosinusreël lewer:<br />
en dus:<br />
cos c = cos a cos b + sin a sin b . 0<br />
= cos a cos b , (*)<br />
cos c = sin(90 - a)sin (90 - b). (3)<br />
Uit die kosinusreëls volg verder:<br />
cos <br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
cos a cos b cos c<br />
sin b sin c<br />
cos a cos b cos a cos b<br />
sin b sin c<br />
2<br />
1 cos b <br />
cos a <br />
<br />
sin b sin c <br />
<br />
<br />
2<br />
sin b <br />
cos a <br />
<br />
sin b sin c <br />
<br />
<br />
sin b <br />
cos a <br />
<br />
sin c <br />
<br />
<br />
cos a sin <br />
uit (*)<br />
uit(**)<br />
en dus: cos = sin(90 - a) sin (4)<br />
Netso volg: cos = sin(90 - b) sin . (5)<br />
(***)<br />
en dus ook: cos = cos b sin (****)<br />
Verder is: cos c = cos a cos b uit (*)<br />
<br />
<br />
cos <br />
cos b<br />
sin <br />
cos cos <br />
sin sin <br />
uit (*<br />
uit (*<br />
* *)<br />
* **)<br />
en dus: cos c = cot cot (6)
Verder is ook: cos = cos b sin uit (****)<br />
cos c<br />
sin <br />
cos a<br />
<br />
cos<br />
cos<br />
c<br />
a<br />
sin<br />
sin<br />
cot c tan a<br />
<br />
a<br />
c<br />
cot c cot( 90<br />
a)<br />
uit (*)<br />
uit (**)<br />
Netso volg: cos = cot c cot(90 - b) (8)<br />
Dan is ook: cos(90 - a) = sin sin c uit (1)<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
cos <br />
sin c<br />
cos b<br />
cos<br />
cos<br />
<br />
b<br />
sin b<br />
sin <br />
cot tan b<br />
cot cot( 90<br />
b)<br />
uit<br />
(* *<br />
uit (**)<br />
Netso volg: cos(90 - b) = cot cot(90 - a) (10)<br />
Ons het nou tien vergelykings van die vorm:<br />
cos = cot cot <br />
<strong>of</strong> cos = sin sin ,<br />
en hulle bevat die hoeke en , die sy c en 90 - a en 90 - b.<br />
Ons kan dit soos volg saamvat:<br />
Napier se reëls:<br />
**)<br />
(7)<br />
(9)<br />
Leereenheid 5<br />
Gestel een hoek van ʼn boldriehoek is 90. Rangskik die oorblywende twee hoeke, die sy<br />
teenoor die 90-hoek en die komplimente van die ander twee sye (aangrensend aan die 90hoek)<br />
in ʼn sirkel in die volgorde waarin hulle voorkom.<br />
Dan geld vir die dele van die driehoek in die sirkel:<br />
Die kosinus van enige deel is gelyk aan die produk van die kotangense van die<br />
aangrensende dele.<br />
OF:<br />
Die kosinus van enige deel is gelyk aan die produk van die sinusse van die twee<br />
teenoorstaande dele.<br />
[Ek onthou dit so: cot naby, sin ver]<br />
81
Leereenheid 5<br />
Verduideliking:<br />
B<br />
82<br />
<br />
c<br />
Volgens Napier se reëls geld dan:<br />
Voltooi:<br />
a<br />
A<br />
cos = cot(90 - c) cot a<br />
b<br />
<br />
C<br />
<br />
90-c<br />
<br />
<br />
Hoekom verskil hierdie formule van die een in nommer (7)?<br />
...................................................................<br />
= sin(90 - b) sin <br />
cos a = ……………………<br />
= ……………………<br />
cos = ……………………<br />
= ……………………<br />
cos (90 - c) = ……………………<br />
= ……………………<br />
cos (90 - b) = ……………………<br />
= ……………………<br />
90-b<br />
<br />
<br />
a
Voorbeeld 1:<br />
Leereenheid 5<br />
ʼn Boldriehoek met een sy en die teenoorstaande hoek beide 90, het nog ʼn sy van 90.<br />
Die hoek teenoor hierdie sy is dan ook 90.<br />
Bewys:<br />
B<br />
<br />
A<br />
<br />
90 b<br />
a<br />
C<br />
cos 90 = sin(90 - a) sin (90 - b)<br />
0 = sin(90 - a) sin (90 - b)<br />
sin(90 - a) = 0 <strong>of</strong> sin (90 - b) = 0<br />
a = 90 <strong>of</strong> b = 90<br />
Gestel b = 90.<br />
Dan is cos = sin sin(90 - b)<br />
= sin sin (90 - 90)<br />
= 0<br />
= 90<br />
<br />
volgens<br />
Napier<br />
90 <br />
<br />
<br />
<br />
<br />
90-a<br />
<br />
90-b<br />
83
Leereenheid 5<br />
Voorbeeld 2:<br />
ʼn Boldriehoek het hoeke 50, 60 en 90. Bereken die sye.<br />
B<br />
84<br />
50<br />
A<br />
60<br />
c b<br />
a<br />
cos c = cot 50 cot 60<br />
c = <br />
1 <br />
bg cos <br />
<br />
tan 50<br />
tan 60<br />
<br />
= 61,023<br />
C<br />
cos (90 - b) = sin c sin 50<br />
<br />
volgens<br />
Napier<br />
sin b = sin 61,023 sin 50<br />
b = bgsin (0,670...)<br />
= 42,078<br />
c<br />
<br />
<br />
50<br />
<br />
60<br />
<br />
90-a<br />
Hoekom nie ook (180-42,078) nie?...............................................................................<br />
.................................................................................................................................<br />
cos(90 - a) = sin c sin 60<br />
sin a = sin 61,023 sin 60<br />
a = bgsin (0,7576...)<br />
= 49,254<br />
Gevolgtrekking: Hierdie voorbeeld toon dat, anders as by driehoeke in die plat vlak, drie<br />
hoeke voldoende is om al die elemente van die driehoek te bepaal. Dit geld ook vir driehoeke<br />
wat nie 90 hoeke het nie; die berekeninge raak net lastiger.<br />
<br />
90-b
Opdrag 7A:<br />
Leereenheid 5<br />
1. Die sferiese driehoek ABC het C as regtehoek. Bepaal die orige elemente van die<br />
driehoek as die volgende gegee is:<br />
a = 30, b = 40<br />
a = 77,35, = 50,23<br />
c = 40, = 50<br />
2. In die sferiese ABC is die volgende gegee: A = 100, B = 100 en C = 100.<br />
Bereken die sye as a, b en c kleiner is as 90<br />
3.<br />
L Londen, 'n skip G op die ewenaar in die Golf van<br />
Guinee en 'n skip V in die Victoriameer vorm<br />
hoekpunte van 'n sferiese driehoek.<br />
3.1 Bereken die orige elemente van die driehoek<br />
met die reëls van Napier.<br />
3.2 Wat is die som van die binnehoeke van<br />
hierdie driehoek?<br />
3.3 Hoe ver is die skepe uit mekaar (in km)?<br />
Opdrag7B:<br />
1. Die sferiese driehoek ABC het C as regtehoek. Bepaal die orige elemente van die<br />
driehoek as die volgende gegee is:<br />
1.1 a = 30, b = 40<br />
1.2 a = 77,35, = 50,23<br />
1.3 c = 40, = 50<br />
2. ’n Skip A in die Amasone Delta<br />
(0; 50 W); ’n ander skip M suid van die<br />
Maldives (0; 75 O) en ’n vliegtuig G<br />
suid van Groenland (60 N; 50 W)<br />
hoekpunte van 'n spesiale sferiese<br />
driehoek.<br />
G<br />
L<br />
51,5<br />
G<br />
35<br />
A M<br />
V<br />
85
Leereenheid 5<br />
86<br />
2.1 Hoekom is A ʼn regtehoek?<br />
2.2 Wat is die hoekafstand tussen A en M?<br />
2.3 Wat is die hoekafstand tussen A en G?<br />
2.4 Bereken die orige elemente van die driehoek met die reëls van Napier.<br />
2.5 Wat is die som van die binnehoeke van hierdie driehoek?<br />
2.6 Hoe ver is die skepe uit mekaar (in km)?<br />
Antwoorde/oplossings<br />
Gedeeltelik deur dosent nagesien. Volledige memorandums op eFundi vir<br />
selfkontrole van die res.<br />
Opdrag 2 vervolg: Brei jou tabel in opdrag 2 uit deur ooreenkomste en verskille van hierdie<br />
leergedeelte by te voeg.<br />
Refleksie:<br />
Vorige klastoetse op eFundi.<br />
Blaai nou terug na die leeruitkomste wat aan die begin van die leergedeelte gestel is. Het jy<br />
die nodige kennis en vaardighede verwerf wat gestel is?
6 SIRKELS<br />
Jy benodig ongeveer 6 uur om hierdie leereenheid suksesvol te voltooi.<br />
UITKOMSTE:<br />
Na voltooiing van hierdie leereenheid moet jy kennis dra van en kan aantoon<br />
watter eienskappe sirkels op die sfeer besit;<br />
watter verwantskappe bestaan tussen families konsentriese sirkels;<br />
wat die verhouding is tussen die omtrek en deursnede van ʼn sirkel.<br />
Studiemateriaal benodig:<br />
NALS: ho<strong>of</strong>stuk 5.<br />
Al ooit gewonder oor die volgende:<br />
sal jy die geheim ontrafel.<br />
Omtrek van sirkel<br />
Deursnede<br />
???<br />
http://shum.cc.huji.ac.il/~cariel/2002astronomy4/triangle.jpg<br />
Leereenheid 6<br />
In hierdie leereenheid<br />
87
Leereenheid 6<br />
6.1 EIENSKAPPE VAN ‘N SIRKEL<br />
EN SIRKELFAMILIES<br />
Jy benodig ongeveer 3 uur om hierdie leergedeelte suksesvol te voltooi.<br />
UITKOMSTE:<br />
Na voltooiing van hierdie leergedeelte moet jy<br />
sirkels op die plat vlak kan vergelyk met sirkels op die sfeer om ooreenkomste en<br />
verskille te vind (aantal middelpunte, raaklyne en die stelling oor die verband tussen ʼn<br />
middelpuntshoek en ʼn omgeskrewe hoek);<br />
sirkelfamilies op die plat vlak en sfeer kan konstrueer en die families vergelyk;<br />
kongruente sirkels op die aardbol kan identifiseer.<br />
NALS: ho<strong>of</strong>stuk 5<br />
88<br />
Studiemateriaal benodig:<br />
Prakties:<br />
NALS: Adventure Card 5.1 en 5.2<br />
NALS: Student’s Guide to Adventure 5.1 en 5.2
Lénárt 5a-063.jpg Amesa-artikel<br />
Leereenheid 6<br />
Opmerking: Die sin "This implies that the sum <strong>of</strong> the two inscribed angles <strong>of</strong> a spherical<br />
triangle can't be less than the central angle." op p. 83 moet eerder wees: “This implies that<br />
the inscribed angle <strong>of</strong> a spherical triangle can't be less than half the central angle."<br />
Definieer 'n sirkel in terme van 'n lokus: .............................................................................<br />
....................................................................................................................................................<br />
Definieer konsentriese sirkels: .........................................................................................<br />
....................................................................................................................................................<br />
Bewys die volgende:<br />
Die middelpuntshoek is kleiner as 2 keer die ingeskrewe hoek vir 'n sirkel op 'n sfeer.<br />
Gestel ABC is 'n sferiese driehoek ingeskrewe in<br />
'n sirkel met middelpunt D.<br />
Konstruksie:<br />
A<br />
D<br />
B<br />
C<br />
89
Leereenheid 6<br />
Opdrag 2 vervolg: Brei jou tabel in opdrag 2 uit deur ooreenkomste en verskille van hierdie<br />
leergedeelte by te voeg.<br />
90<br />
Refleksie:<br />
NALS: Teacher’s Guide to adventure 5.1 en 5.2<br />
Blaai nou terug na die leeruitkomste wat aan die begin van die leergedeelte gestel is. Het jy<br />
die nodige kennis en vaardighede verwerf wat gestel is?
Leereenheid 6<br />
6.2 DIE VERHOUDING TUSSEN DIE OMTREK<br />
EN DEURSNEDE VAN SIRKELS<br />
Jy benodig ongeveer 3 uur om hierdie leergedeelte suksesvol te voltooi.<br />
UITKOMSTE:<br />
Na voltooiing van hierdie leergedeelte moet jy<br />
die verskillende verhoudings tussen die omtrek en deursnede van sirkels<br />
eksperimenteel kan bepaal;<br />
die verskillende verhoudings tussen die omtrek en deursnede van sirkels m.b.v. die<br />
metode van Archimedes kan bepaal.<br />
NALS: ho<strong>of</strong>stuk 5<br />
Studiemateriaal benodig:<br />
Prakties:<br />
NALS: Adventure Card 5.3<br />
NALS: Student’s Guide to Adventure 5.3<br />
Residensieel: Bring die mate van alle deursnedes en omtrekke wat jy in Adventure 5.3 se<br />
konstruksies gemeet het saam na die kontaksessie.<br />
Refleksie:<br />
NALS: Teacher’s Guide to adventure 5.3<br />
Vorige klastoetse op eFundi.<br />
91
Leereenheid 6<br />
92<br />
Individuele PC-opdrag 3: Gebruik GSP. Konstrueer ʼn sirkel met radius 4<br />
eenhede en bereken met reëlmatige pentagone / heksagone / oktagone<br />
(dosent sal aandui watter soort poligoon u moet instuur):<br />
a) die omtrek van die ingeskrewe veelhoek<br />
b) die omtrek van die omgeskrewe veelhoek<br />
c) die gemiddelde omtrek<br />
d) en ʼn benadering vir .<br />
Opmerking: Hierdie staan bekend as Archimedes se metode.<br />
Stuur hierdie as ʼn .gsp lêer via eFundi en lewer ook ‘n hardekopie in.<br />
Opdrag 2 vervolg: Brei jou tabel in opdrag 2 uit deur ooreenkomste en verskille van hierdie<br />
leergedeelte by te voeg.<br />
Blaai nou terug na die leeruitkomste wat aan die begin van die leergedeelte gestel is. Het jy<br />
die nodige kennis en vaardighede verwerf wat gestel is?
Leereenheid 7<br />
7 OPPERVLAKTE EN TESSELLASIES OP<br />
DIE SFEER<br />
Jy benodig ongeveer 15 uur om hierdie leereenheid suksesvol te voltooi.<br />
UITKOMSTE:<br />
Na voltooiing van hierdie leereenheid moet jy<br />
kennis dra en kan aantoon <strong>of</strong> vierkante altyd gebruik kan word om oppervlakte te meet;<br />
oppervlaktes van driehoeke kan meet;<br />
kennis dra hoe om die oppervlakte van ʼn sirkel te benader;<br />
die formule vir oppervlakte van sferiese driehoeke volgens Girard se stelling kan aflei;<br />
kennis dra van sommige tessellasies op die sfeer;<br />
ʼn sokkerbal kan konstrueer;<br />
die sfeer kan teël met drie verskillende tipes reëlmatige poligone;<br />
Platoniese 3D-figure kan inpas in 'n sfeer;<br />
Platoniese 3D-figure “opblaas” om 'n sfeer te teël.<br />
Studiemateriaal benodig:<br />
NALS: ho<strong>of</strong>stuk 6, 9 en Internet.<br />
Lénárt 6b-048.jpg Amesa-artikel<br />
93
Leereenheid 7<br />
7.1 OPPERVLAKTE OP DIE SFEER<br />
Jy benodig ongeveer 9 uur om hierdie leergedeelte suksesvol te voltooi.<br />
UITKOMSTE:<br />
Na voltooiing van hierdie leergedeelte moet jy<br />
kennis dra van en kan aantoon <strong>of</strong> vierkante altyd gebruik kan word om oppervlakte te<br />
meet;<br />
ʼn nuwe definisie vir oppervlakte op die sfeer kan formuleer;<br />
'n benaderde formules kan gebruik om die oppervlakte van driehoeke te bereken;<br />
die oppervlakte van ʼn sirkel met ingeskrewe en omgeskrewe reëlmatige veelhoeke kan<br />
benader;<br />
die oppervlakte van sirkels met gepaste formules kan bereken;<br />
die formule vir oppervlakte van sferiese driehoeke kan aflei en toepas volgens die<br />
stelling van Girard;<br />
bogenoemde formule kan uitbrei na die oppervlakte van veelhoeke.<br />
94<br />
Studiemateriaal benodig:<br />
NALS: ho<strong>of</strong>stuk 6 en Internet.<br />
As jy verbaas was om afstand op die sfeer in grade te meet, gaan dit jou nog meer verras<br />
om sferiese oppervlakte ook in grade te meet. Om oppervlakte op die sfeer te meet, gaan<br />
dalk moeiliker wees as wat jy verwag.
7.1.1 Oppervlakte: Vierkante en Driehoeke<br />
Prakties:<br />
NALS: Adventure Card 6.1 en 6.2<br />
NALS: Student’s Guide to Adventure 6.1 en 6.2<br />
Leereenheid 7<br />
Definieer die sferiese surplus van 'n sferiese driehoek: ......................................................<br />
....................................................................................................................................................<br />
Tabuleer u metings van pp. 99 en 100 (no. 4 en 5) in NALS hieronder:<br />
ABD A B D A+B+D A+B+D-180<br />
ADC A D C A+D+C A+D+C-180<br />
ABC A B C A+B+C A+B+C-180<br />
Gevolgtrekking: .................................................................................................................<br />
Hulp met NALS p. 100 no. 11a:<br />
.................................................................................................................<br />
Bereken die sferiese surplus van 'n oktant. ..........................................................................<br />
Bereken nou die sferiese surplus van enige sfeer. ................................................................<br />
95
Leereenheid 7<br />
Hulp met NALS p. 100 no. 12b en 13:<br />
Die volgende verhouding kan gebruik word:<br />
96<br />
sferiese surplus<br />
720<br />
van driehoek<br />
sferiese surplus van driehoek<br />
720<br />
<br />
oppervlakte<br />
oppervlakte<br />
van driehoek<br />
van sfeer<br />
oppervlakte<br />
van driehoek<br />
<br />
2<br />
4r<br />
Refleksie:<br />
NALS: Teacher’s Guide to adventure 6.1 en 6.2<br />
Opdrag 2 vervolg: Brei jou tabel in opdrag 2 uit deur ooreenkomste en verskille van hierdie<br />
leergedeelte by te voeg.<br />
Prakties:<br />
NALS: Adventure Card 6.3<br />
NALS: Student’s Guide to Adventure 6.3<br />
[Werk direk op die sfeer – nie op transparante nie.]<br />
Maak die volgende fout in NALS reg: Op p. 105 no. 8 moet die formule wees:<br />
A = (1 - cosr)360<br />
Residensieel: Bring die volgende resultate na die volgende kontaksessie sodat ons<br />
vergelykings kan tref.<br />
Konstruksie van minstens twee van die ingeskrewe driehoeke en minstens twee van die<br />
omgeskrewe driehoeke van die 12-hoekige poligoon.<br />
Die radius van die sferiese sirkel: .......................<br />
Grootte van een van die ewe groot hoeke in die ingeskrewe driehoek: .......................<br />
Grootte van een van die ewe groot hoeke in die omgeskrewe driehoek: .......................
Bereken die sferiese surplus (oppervlakte) van een ingeskrewe driehoek:<br />
Leereenheid 7<br />
........................................................................................................................................<br />
Bereken die sferiese surplus (oppervlakte) van twaalf ingeskrewe driehoeke:<br />
...........................................................................................................................................<br />
Bereken die sferiese surplus (oppervlakte) van een omgeskrewe driehoek:<br />
...........................................................................................................................................<br />
Bereken die sferiese surplus (oppervlakte) van twaalf omgeskrewe driehoeke:<br />
...........................................................................................................................................<br />
Bereken die benaderde oppervlakte van die sirkel as 'n gemiddeld van die oppervlaktes van<br />
die twaalf ingeskrewe en omgeskrewe driehoeke; ................................................................<br />
Bereken die oppervlakte van die sirkel met die formule: .......................................................<br />
.......................................................<br />
.......................................................<br />
Hoekom verskil die twee antwoorde? ...................................................................................<br />
...........................................................................................................................................<br />
Refleksie:<br />
NALS: Teacher’s Guide to adventure 6.3<br />
97
Leereenheid 7<br />
7.1.2 Oppervlakte: Sirkels en Driehoeke<br />
Gebruik: : http://math.rice.edu/~pcmi/sphere/sphere.html :en lees “Area on the sphere”; “The<br />
area <strong>of</strong> a lune”, “Spherical triangles” en “Degree/Radian Circle” en voltooi die volgende:<br />
[Lees weer die gedeelte oor radiaalmaat in u <strong>MATE</strong> 111 gids om u kennis op te skerp.]<br />
Wat is die oppervlakte van 'n sfeer met radius R? .....................................................................<br />
Opmerking: Hierdie formule word met behulp van integrasie bewys in <strong>MATE</strong> 321.<br />
Wat is die oppervlakte van 'n maanskyf met hoek in radiale, op 'n sfeer met radius R?<br />
98<br />
........................................................................................................................<br />
Wat is die verband tussen grade en radiaalmaat? ....................................................................<br />
Wat is die oppervlakte van 'n maanskyf met hoek θ in grade, op 'n sfeer met radius R?<br />
........................................................................................................................<br />
Jy moet kan verduidelik hoe om hierdie formules af te lei.<br />
CD-ROM.<br />
A<br />
SBO: Skakel CD aan en kliek op B: 2<br />
2 4R<br />
Residensieel: 2<br />
A<br />
sal verduidelik word.<br />
2 4R<br />
In hoeveel gebiede word die sfeer verdeel deur drie grootsirkels wat 'n driehoek vorm? .........<br />
Opmerking: As jy hierdie antwoord nie verstaan nie, gaan terug na leergedeelte 4.1.<br />
Watter afspraak maak ons ten opsigte van driehoeke om verwarring te voorkom? ..................<br />
....................................................................................................................................................<br />
Gebruik: : http://math.rice.edu/~pcmi/sphere/sphere.html :en “The area <strong>of</strong> a<br />
spherical triangle. Girard's Theorem” sodat jy die volgende twee sketse kan animeer en die<br />
kleure kan sien.
[Die artikel is geplaas met toestemming en dank aan John. C. Polking ]<br />
groen<br />
blou<br />
The area <strong>of</strong> a spherical triangle. Girard's Theorem.<br />
rooi<br />
swart<br />
Leereenheid 7<br />
Consider the black triangle T on the sphere to the left.<br />
We will be deriving a formula for the area <strong>of</strong> T. The<br />
key to understanding the derivation is the<br />
configuration <strong>of</strong> the three great circles on the sphere,<br />
as shown on this figure. There is no difficulty<br />
understanding what you see there. What might cause<br />
problems is what the configuration looks like on the<br />
other side <strong>of</strong> the sphere. However this figure is a java<br />
applet and you can rotate it by clicking and dragging<br />
the mouse starting anywhere on the figure.<br />
We will label the vertices <strong>of</strong> T by R, G, and B, and the<br />
groen corresponding angles <strong>of</strong> T by r, g, and b. The letters<br />
rooi<br />
stand for red, green, and blue, and, for example, the<br />
vertex R is the vertex <strong>of</strong> T where T is opposite a red triangle. The angles at R in the black<br />
triangle T and in the red triangle are opposite angles and therefore are equal. Their value will<br />
be denoted by r. In fact R is the vertex <strong>of</strong> two congruent lunes, one <strong>of</strong> which consists <strong>of</strong> the<br />
red triangle and a gray triangle, and the other <strong>of</strong> which contains the black triangle and<br />
another red triangle. We will refer to these two lunes as the red lunes. We will denote by Lr'<br />
the red lune which does not contain T, and by Lr the red lune which does contain T. In<br />
exactly the same way we see that G is the vertex <strong>of</strong> two congruent, green lunes --- Lg which<br />
contains T, and Lg' which does not contain T, and the vertex B is the vertex <strong>of</strong> two congruent,<br />
blue lunes --- Lb which contains T, and Lb' which does not contain T.<br />
If you rotate the sphere you will also see a gray triangle that looks pretty much the same as<br />
T. This is the antipodal triangle T'. Its vertices are R', G', and B', which are the points<br />
antipodal to R, G, and B respectively. Since T and T' are images <strong>of</strong> each other under the<br />
antipodal map, which is an isometry, they have the same area.<br />
It is important to understand the situation <strong>of</strong> each<br />
pair <strong>of</strong> like colored lunes. Concentrate on the two<br />
blue lunes, Lb and Lb'. They are shown in isolation in<br />
the applet to the right. Notice the black triangle T is<br />
part <strong>of</strong> the lune Lb and the gray triangle T', which is<br />
antipodal to T, is part <strong>of</strong> Lb'. Examination <strong>of</strong> the other<br />
pairs <strong>of</strong> lunes reveals that the lunes Lg and Lr also<br />
contain T, while Lg' and Lr' contain T'.<br />
To sum up, the six lunes Lr, Lr', Lg, Lg', Lb, and Lb',<br />
have the following properties:<br />
The triangle T is contained in each <strong>of</strong> the<br />
three lunes Lr, Lg, Lb, and in no others.<br />
The antipodal triangle T' is contained in each<br />
<strong>of</strong> the three lunes Lr', Lg', Lb', and in no others.<br />
blou<br />
swart<br />
grys<br />
blou<br />
Every point <strong>of</strong> the sphere which is not in T or T' is contained in precisely one <strong>of</strong> the<br />
lunes.<br />
99
Leereenheid 7<br />
Understanding the pro<strong>of</strong> <strong>of</strong> Girard's Theorem comes down to understanding the configuration<br />
<strong>of</strong> the triangle and the six lunes, and verifying the three bulleted points. Hopefully the applets<br />
on this page are helpful. However, by far the best way to visualize the six lunes is by physical<br />
experimentation with an actual sphere. Get a beach ball (gebruik jou Lénárt sfeer) about 8<br />
to 12 inches in diameter. Draw a triangle T on it. Then carefully extend each side <strong>of</strong> the<br />
triangle to a complete great circle. It will be noticed that these great circles intersect on the<br />
other side <strong>of</strong> the sphere and form another triangle T' which is the antipodal image <strong>of</strong> T. Thus<br />
T' is congruent to T and consequently has the same area.<br />
Suppose that the three angles <strong>of</strong> T are R, G, and B. At each <strong>of</strong> these vertices there are two<br />
lunes <strong>of</strong> the appropriate angle that meet. One <strong>of</strong> them contains T. Call this lune Lr, Lg, and Lb<br />
as the case may be. Denote the other lune, which does not contain T by Lr', Lg', and Lb'.<br />
Hatch the two lunes Lr and Lr' with a distinctive color or marking (such as little circles). Hatch<br />
the lunes Lg and Lg' with a different color or marking, and use yet a third for the lunes Lb and<br />
Lb'.<br />
Now by examining the beach ball you will be able to verify the three bulleted points.<br />
We can sum up the bulleted points by saying that the six lunes cover the entire sphere with<br />
the points in T and T' covered two additional times. Therefore when we add up the areas <strong>of</strong><br />
the lunes we have<br />
Into this equation we substitute the formulas for the area <strong>of</strong> a lune, and the surface area <strong>of</strong> a<br />
sphere <strong>of</strong> radius R. Finally, using the fact that T and T' have the same area, we get<br />
Next, solving for the area <strong>of</strong> T, and collecting terms this becomes<br />
100<br />
4 area(T) = 2R 2 (r + g + b + r + g + b) - 4R 2<br />
This last formula is called Girard's formula, and the result <strong>of</strong> the formula is called Girard's<br />
Theorem.<br />
We get an interesting variant if we solve for the sum <strong>of</strong> the angles:<br />
Both formulas are interesting. The first emphasizes the area <strong>of</strong> the spherical triangle, and the<br />
second emphasizes the sum <strong>of</strong> the angles <strong>of</strong> the spherical triangle. For comparison with<br />
planar geometry, the second is especially interesting because it says precisely how much the<br />
sum <strong>of</strong> the angles <strong>of</strong> a spherical triangle exceeds two right angles, the sum <strong>of</strong> the angles for<br />
a planar triangle. That the difference involves the area <strong>of</strong> the sphere is a remarkable<br />
departure from what we would expect from our knowledge <strong>of</strong> plane geometry.<br />
.<br />
.<br />
.<br />
.
Leereenheid 7<br />
Exercise: Find the formula for the result <strong>of</strong> Girard's Theorem when the angles are measured<br />
in degrees instead <strong>of</strong> radians.<br />
Opmerking: Bogenoemde is 'n formele bewys. Ons noem dit logies-deduktiewe (sferiese)<br />
meetkunde. Kan jy nou verstaan hoekom die begrip sferiese surplus in die werkboek<br />
ingevoer is?<br />
Opdrag 8A:<br />
1. Doen bogenoemde “exercise”.<br />
2. In “Adventure 4.2” het ons tot die gevolgtrekking gekom dat gelykvormige driehoeke op<br />
die sfeer kongruent moet wees. Verduidelik dit aan die hand van die stelling van<br />
Girard. (Let op die volgorde: Begin met twee gelykvormige driehoeke, gebruik Girard<br />
en kom dan tot die gevolgtrekking dat die driehoeke ook kongruent moet wees.)<br />
3. 3.1 Beskou 'n groot driehoekige plaas met oppervlakte 10km 2 . Met hoeveel grade<br />
sal die som van die hoeke van 180 verskil?<br />
3.2 Sal hierdie verskil beduidend waarneembaar wees?<br />
3.3 Hoe groot moet die oppervlakte van 'n driehoek op aarde wees sodat die som<br />
van die drie hoeke 181 sal wees?<br />
3.4 Watter persentasie van Suid-Afrika sal hierdie driehoek beslaan?<br />
4. Gestel P is 'n sferiese vierhoek met hoeke a, b, c en d. Bewys dat<br />
1<br />
b c d 2 oppervlakte(<br />
P ) .<br />
R<br />
a 2<br />
[Wenk: Trek ʼn diagonaal]<br />
5. [Mag uitlos] Gestel P is 'n sferiese veelhoek met “n” sye. Bewys dat die som van die<br />
hoeke gegee word deur:<br />
1<br />
.<br />
R<br />
2 oppervlakteP<br />
<br />
n 2<br />
(Wenk: wiskundige induksie en noem die hoeke ai)[Word eers in <strong>MATE</strong> 221 gedoen.]<br />
6. Is hierdie formule waar vir 'n tweehoek? Motiveer jou antwoord.<br />
7. Beskou die gedegenereerde driehoek waarvan al drie hoekpunte op dieselfde<br />
grootsirkel lê.<br />
101
Leereenheid 7<br />
102<br />
7.1 Bereken die som van die binnehoeke van hierdie gedegenereerde driehoek.<br />
7.2 Bereken die sferiese surplus van hierdie driehoek.<br />
7.3 Bereken die oppervlakte van hierdie gedegenereerde driehoek op die Lénárt<br />
sfeer met die stelling van Girard.<br />
7.4 Bereken die oppervlakte van die halfsirkel (in grade) wat ooreenstem met hierdie<br />
driehoek.<br />
7.5 Maak 'n gevolgtrekking oor die resultate in 7.2 en 7.4<br />
8. Afrika, die tweede grootste vasteland het 'n oppervlakte van ongeveer 30 miljoen<br />
vierkante kilometer (30 000 000 km 2 ). Neem die aarde se radius as 6367 km. Bereken<br />
die som van die hoeke (in grade) van 'n driehoek met oppervlakte so groot soos die<br />
van Afrika.<br />
Opdrag 8B:<br />
1. Doen bogenoemde “exercise”.<br />
2. In “Adventure 4.2” het ons tot die gevolgtrekking gekom dat gelykvormige driehoeke op<br />
die sfeer kongruent moet wees. Verduidelik dit aan die hand van die stelling van<br />
Girard. (Let op die volgorde: Begin met twee gelykvormige driehoeke, gebruik Girard<br />
en kom dan tot die gevolgtrekking dat die driehoeke ook kongruent moet wees.)<br />
3. 3.1 Beskou 'n groot driehoekige plaas met oppervlakte 10km 2 . Met hoeveel grade<br />
sal die som van die hoeke van 180 verskil?<br />
3.2 Sal hierdie verskil beduidend waarneembaar wees?<br />
3.3 Hoe groot moet die oppervlakte van 'n driehoek op aarde wees sodat die som<br />
van die drie hoeke 181 sal wees?<br />
3.4 Watter persentasie van Suid-Afrika sal hierdie driehoek beslaan?<br />
4. Gestel P is 'n sferiese vierhoek met hoeke a, b, c en d. Bewys dat<br />
1<br />
b c d 2 oppervlakte(<br />
P ) .<br />
R<br />
a 2<br />
[Wenk: Trek ʼn diagonaal]<br />
5. [Mag uitlos] Gestel P is 'n sferiese veelhoek met “n” sye. Bewys dat die som van die<br />
hoeke gegee word deur:<br />
1<br />
.<br />
R<br />
2 oppervlakteP<br />
<br />
n 2<br />
(Wenk: wiskundige induksie en noem die hoeke ai)[Word eers in <strong>MATE</strong> 221 gedoen.]<br />
6. Is hierdie formule waar vir 'n tweehoek? Motiveer jou antwoord.
Leereenheid 7<br />
7. Die aarde het 'n radius van ongeveer 6367 km. Gebruik die stelling van Girard om die<br />
2<br />
oppervlakte van 'n sferiese driehoek op die aarde met hoeke ; ; en te bereken.<br />
3 3 3<br />
8. ’n Skip A in die Amasone Delta (0; 50 W); ’n ander skip M suid van die Maldives<br />
(0; 75 O) en ’n vliegtuig G suid van Groenland (60 N; 50 W) is hoekpunte van 'n<br />
spesiale sferiese driehoek. Bereken die oppervlakte van hierdie driehoek in km 2 .<br />
Antwoorde/oplossings<br />
Gedeeltelik deur dosent nagesien. Volledige memorandums op<br />
eFundi vir selfkontrole van die res.<br />
Opdrag 2 vervolg: Brei jou tabel in opdrag 2 uit deur ooreenkomste en verskille van hierdie<br />
leergedeelte by te voeg.<br />
Blaai nou terug na die leeruitkomste wat aan die begin van die leergedeelte<br />
gestel is. Het jy die nodige kennis en vaardighede verwerf wat gestel is?<br />
103
Leereenheid 7<br />
7.2 TESSELLASIES OP DIE SFEER<br />
Jy benodig ongeveer 6 uur om hierdie leergedeelte suksesvol te voltooi.<br />
UITKOMSTE:<br />
Na voltooiing van hierdie leergedeelte moet jy<br />
'n tessellasie kan definieer;<br />
kennis dra van al die tipes “pure” tessellasies op die plat vlak;<br />
bogenoemde tessellasies kan illustreer;<br />
die sfeer kan teël met poligone gevorm deur vier ewenaars;<br />
'n sokkerbal kan konstrueer;<br />
kan verduidelik wat die verhouding tussen die oppervlaktes van die wit en swart<br />
leergedeeltes is deur net een hoek te meet;<br />
'n tessellasie op die sfeer konstrueer bestaande uit drie soorte reëlmatige poligone;<br />
bogenoemde tessellasie kan klassifiseer as semireëlmatig <strong>of</strong> demireëlmatig;<br />
3-D Plato-vasteliggame kan definieer;<br />
al vyf 3-D Plato-vasteliggame se nette kan ontwerp met The Geometer’s Sketchpad en<br />
dit gebruik vir konstruksie van die vasteliggame;<br />
die volume van bogenoemde kan bereken en hulle daarvolgens rangskik;<br />
die 3-PLATO-vasteliggame “opblaas” om 'n sfeer te teël;<br />
aflei <strong>of</strong> Euler se reël op die plat vlak en sfeer geldig is;<br />
kennis dra van die aantal en soorte “pure” tessellasies op die sfeer.<br />
NALS: ho<strong>of</strong>stuk 9.<br />
104<br />
Studiemateriaal benodig:<br />
In hierdie leergedeelte word wiskunde en kuns geïntegreer.
7.2.1 Tessellasies op die Plat Vlak en op die Sfeer<br />
Prakties:<br />
NALS: Adventure Card 9.1; 9.2 en 9.3<br />
NALS: Student’s Guide to Adventure 9.1; 9.2 en 9.3<br />
Leereenheid 7<br />
[Dosent sal aanwys watter groep verantwoordelik is vir ‘n spesifieke<br />
tessellasie.]<br />
Definieer 'n tessellasie: .....................................................................................................<br />
...........................................................................................................................................<br />
SBO: Laai die volgende van die eFundi af en ondersoek die tessellasies.<br />
Triangle Tessellations.gsp<br />
Quad Tesselation Demo.gsp<br />
Translation Tesselation.gsp<br />
Residensieel: Sal tydens kontaksessie ondersoek word.<br />
Opmerking: Hierdie is ”pure” tessellasies, maar die veelhoeke is nie reëlmatig nie.<br />
Opdrag 9A:<br />
Sokkerballe het 'n voorgeskrewe omtrek van tussen<br />
27 en 28 duim en bestaan uit 12 swart pentagone en<br />
20 wit heksagone soos in meegaande skets. Die<br />
binnehoek van een van die heksagone is ongeveer<br />
124,4. Bereken hoeveel wit en hoeveel swart leer 'n<br />
fabriek benodig om 1000 sokkerballe met omtrek<br />
27,<strong>211</strong> “ te vervaardig. Toon alle berekeninge.<br />
(Wenk: 1” = 2,54 cm)<br />
Opdrag 9B:<br />
’n Maatskappy wil vir 2010 drie miljoen klein<br />
sokkerballetjies vervaardig met omtrek 15 cm. Die<br />
bal bestaan uit 12 swart en 20 wit reëlmatige sferiese<br />
poligone soos aangetoon in die skets. Die<br />
binnehoek van ’n heksagoon is ongeveer 124,4<br />
Bereken die hoeveelheid wit kunsleer wat die fabriek<br />
moet aankoop.<br />
www.brainybetty.com/ bwART2004/soccer_ball.jpg<br />
www.brainybetty.com/ bwART2004/soccer_ball.jpg<br />
105
Leereenheid 7<br />
106<br />
Antwoorde/oplossings<br />
Gedeeltelik deur dosent nagesien. Volledige memorandums op<br />
eFundi vir selfkontrole van die res.<br />
Individuele PC-opdrag 4:<br />
Teken ’n vierkant. U hoef nie aan te toon dat die sye ewe lank en<br />
die hoeke regtehoek is nie. Stoor dit as ’n “tool”.<br />
Gaan na ’n nuwe skoon bladsy in dieselfde dokument en<br />
konstrueer ’n gelyksydige driehoek. Stoor dit as ’n “tool”.<br />
Gaan na ’n nuwe skoon bladsy in dieselfde dokument en<br />
konstrueer ’n reëlmatige heksagoon. Stoor dit as ’n “tool”.<br />
Gaan na ’n nuwe skoon bladsy in dieselfde dokument en<br />
konstrueer die volgende tessellasie. Steek alle punte weg, behalwe<br />
een wat as rotasie en vergrotings / verkleiningspunt gebruik kan<br />
word.<br />
Stuur die .gsp lêer via eFundi.<br />
Refleksie:<br />
NALS: Teacher’s Guide to adventure 9.1; 9.2 en 9.3<br />
Opdrag 2 vervolg: Brei jou tabel in opdrag 2 uit deur ooreenkomste en verskille van hierdie<br />
leergedeelte by te voeg.
7.2.2 3D Plato-Vasteliggame en Sferiese Tessellasies daarvan<br />
Prakties:<br />
NALS: Adventure Card 9.4 en 9.5<br />
NALS: Student’s Guide to Adventure 9.4 en 9.5<br />
Leereenheid 7<br />
[Dosent sal aanwys watter groep verantwoordelik is vir elke Plato<br />
vasteliggaam en sferiese konstruksie.]<br />
Definieer ‘n poliëder: ...............................................................................................................<br />
...........................................................................................................................................<br />
Definieer 'n 3D Plato-vasteliggaam: ...................................................................................<br />
...........................................................................................................................................<br />
Wanneer is 'n vasteliggaam in 'n sfeer ingeskrewe? ................................................................<br />
...........................................................................................................................................<br />
Plato vasteliggame kan gebruik word om interessante dobbelsteentjies te maak:<br />
http://upload.wikimedia.org/wikipedia/en/c/c7/BluePlatonicDice.jpg<br />
107
Leereenheid 7<br />
Voltooi die volgende tabel:<br />
www.public.coe.edu<br />
cage.rug.ac.be/ ~hs/polyhedra/hexa.jpg<br />
http://www.fastgeometry.com/images/octa<br />
hedron.gif<br />
http://whistleralley.com/polyhedra/dodec01<br />
.gif<br />
www.yourdictionary.com<br />
108<br />
Benaming Soort teël /<br />
poligoon<br />
Aantal teëls
Leereenheid 7<br />
Toon die berekening van die volume van 'n tetrahedron waarvan die driehoekige syvlak 'n<br />
oppervlakte van 119,18 cm 2 het en 3,39 cm vanaf die middelpunt van die tetrahedron is:<br />
Refleksie:<br />
NALS: Teacher’s Guide to adventure 9.4 en 9.5<br />
Vorige klastoetse op eFundi.<br />
Opdrag 2 vervolg: Brei jou tabel in opdrag 2 uit deur ooreenkomste en verskille van hierdie<br />
leergedeelte by te voeg.<br />
Verryking: Lees meer oor Japannese temari<br />
balle, ook genoem prinses balle by<br />
http://www.temari.com/temariballs.htm en by<br />
www.temarikai.com/illustmakeball01.htm kan<br />
jy leer hoe om dit te maak.<br />
Temari beteken” to wind by hand”, want die<br />
patrone word gevorm deur grootsirkels van<br />
papierstrokies om die bal te vou.<br />
Blaai nou terug na die leeruitkomste wat aan die begin van die leergedeelte gestel is. Het jy<br />
die nodige kennis en vaardighede verwerf wat gestel is?<br />
109
Leereenheid 7<br />
110
8 DIE FORMULE VAN EULER<br />
Jy benodig ongeveer 3 uur om hierdie leereenheid suksesvol te voltooi.<br />
UITKOMSTE:<br />
Na voltooiing van hierdie leereenheid moet jy<br />
die formule van Euler kan aflei en toepas op sferiese poliëders;<br />
toets <strong>of</strong> die formule ook vir gewone poliëders geld.<br />
Internet<br />
Studiemateriaal benodig:<br />
Leereenheid 8<br />
As toepassing van die Formule van Girard gaan jy in hierdie leereenheid die interessante<br />
verband tussen die aantal hoekpunte, rande en syvlakke van 'n poliëder op die plat vlak en<br />
sfeer ontdek.<br />
Gebruik: : http://math.rice.edu/~pcmi/sphere/gos6.html <strong>of</strong><br />
http://math.rice.edu/~pcmi/sphere/sphere.html :en “A Pro<strong>of</strong> <strong>of</strong> Euler’s Formula” sodat jy die<br />
kleure in die volgende twee sketse kan sien.<br />
[Die volgende artikel is geplaas met toestemming en dank aan John. C. Polking]<br />
Opmerking: vertices is hoekpunte, edges is rande en faces is sykante.<br />
111
Leereenheid 8<br />
theorem.<br />
112<br />
A Pro<strong>of</strong> <strong>of</strong> Euler's Formula.<br />
We will use Girard's Theorem, and its extenstion to spherical polygons to derive<br />
and prove and prove a famous formula <strong>of</strong> Euler's. We will state his result as a<br />
Theorem. Let P be a convex polyhedron with V vertices (hoekpunte), E edges (rande), and<br />
F faces (syvlakke). then<br />
We will start the pro<strong>of</strong> by choosing a<br />
point C inside P. Since P is convex, the<br />
line segment joining C to any point<br />
inside the polyhedron P, or on P itself,<br />
lies entirely within P. Next we choose a<br />
radius R so large that the sphere with<br />
center C and radius R contains the<br />
polyhedron P. We will map the<br />
polyhedron onto the sphere using<br />
central projection from C. This means<br />
that for each point on the polyhedron,<br />
we take the line from C through the<br />
point, and map the point to the<br />
intersection <strong>of</strong> this line with the sphere.<br />
This is illustrated in the accompanying<br />
figure. The original polyhedron is<br />
indicated in red, and the blue lines show<br />
how the vertices are mapped to the<br />
sphere. The black lines are reference<br />
great circles on the sphere, and the<br />
purple is the image <strong>of</strong> the polyhedron.<br />
V - E + F = 2.<br />
A good way to visualize the central projection is to consider what happens if we put a light at<br />
the center <strong>of</strong> the sphere. Then the result <strong>of</strong> central projection is the shadow <strong>of</strong> the polyhedron<br />
on the sphere.<br />
It is important to understand what happens to<br />
an edge <strong>of</strong> the polyhedron under central<br />
projection. An edge is a segment <strong>of</strong> a line.<br />
That line and the center determine a unique<br />
plane. The line segment from C to any point <strong>of</strong><br />
the edge lies completely in this plane, and the<br />
plane intersects the sphere in a great circle.<br />
Hence the image <strong>of</strong> an edge is a segment <strong>of</strong> a<br />
great circle on the sphere. This means that<br />
each face <strong>of</strong> the polyhedron is mapped into a<br />
spherical polygon, and the polyhedron is<br />
mapped onto a spherical polyhedron which is<br />
simply a curved image <strong>of</strong> the original. (In the<br />
figure this is the purple configuration.) The<br />
spherical polyhedron has V vertices, E edges<br />
and F faces, just like P does.<br />
Furthermore, since the center <strong>of</strong> the sphere
Leereenheid 8<br />
was chosen inside P, the spherical polyhedron covers the entire sphere. Hence the spherical<br />
polyhedron is a division <strong>of</strong> the sphere into F disjoint spherical polygons, which we will call Q1,<br />
... , QF.<br />
The second figure shows the marking <strong>of</strong> the sphere determined by the polyhedron in the first<br />
figure.<br />
Let's apply Girard's Theorem to the polygon Qi. Actually we will use the extension <strong>of</strong> Girard's<br />
Theorem to spherical polygons.<br />
Let ei denote the number <strong>of</strong> sides <strong>of</strong> Qi.<br />
Then<br />
sum <strong>of</strong> angles <strong>of</strong> Qi = (ei - 2) + area(Qi)/R 2 (opdrag 8 no. 5)<br />
Summing this over the faces we get<br />
F<br />
<br />
i 1<br />
i<br />
F<br />
F<br />
e i 2<br />
<br />
sum <strong>of</strong> angles <strong>of</strong> Q<br />
<br />
i 1<br />
i 1<br />
area<br />
R<br />
Q <br />
We will examine each <strong>of</strong> these sums. In each case we will be able to find the sum by<br />
geometric means.<br />
As complicated as it looks, the first sum is just the sum <strong>of</strong> all <strong>of</strong> the angles in the spherical<br />
polyhedron. Let's reorder the sum. Instead <strong>of</strong> grouping the angles by the face they belong to,<br />
let's group them by their vertex. Since the spherical polyhedron covers the sphere, at any<br />
vertex the angles with that vertex fill out the entire 2 radians. Thus the angles at each vertex<br />
contribute 2 to the sum, and multiplying by the number <strong>of</strong> vertices we see that the first sum<br />
is equal to 2V.<br />
We split the second sum into two sums.<br />
F<br />
F<br />
F<br />
i 2<br />
ei<br />
<br />
i 1<br />
e 2<br />
i 1<br />
The first sum is times the total number <strong>of</strong> all <strong>of</strong> the edges <strong>of</strong> all <strong>of</strong> the faces. Notice that<br />
each edge <strong>of</strong> the spherical poyhedron separates two faces. Since we are summing over the<br />
faces, each edge <strong>of</strong> the polyhedron is counted twice in this sum. Therefore<br />
The second sum is simply<br />
F<br />
F<br />
i <br />
i 1<br />
i 1<br />
i 1<br />
e e 2E<br />
.<br />
F<br />
<br />
i 1<br />
2 2F<br />
Finally, since the polygons are disjoint and cover the entire sphere we have<br />
F<br />
<br />
i 1<br />
area<br />
R<br />
Q areaS<br />
2<br />
i<br />
<br />
R<br />
2<br />
i<br />
<br />
4R<br />
2<br />
R<br />
2<br />
<br />
4<br />
.<br />
2<br />
i<br />
113
Leereenheid 8<br />
Putting this all together we get<br />
114<br />
2V = 2E - 2F + 4.<br />
Dividing by 2, and rearranging we get Euler's formula<br />
Opdrag 10:<br />
V - E + F = 2.<br />
Toets <strong>of</strong> Euler se Formule vir gewone poliëders geldig is deur drie verskillende poliëders uit<br />
die werklike lewe te gebruik. Gebruik ʼn silinder as teenvoorbeeld.<br />
Antwoorde/oplossings<br />
Gedeeltelik deur dosent nagesien. Volledige memorandums op eFundi vir<br />
selfkontrole van die res.<br />
Refleksie:<br />
Vorige klastoetse op eFundi.<br />
Opdrag 2 vervolg: Brei jou tabel in opdrag 2 uit deur ooreenkomste en verskille van hierdie<br />
leergedeelte by te voeg.<br />
Blaai nou terug na die leeruitkomste wat aan die begin van die leergedeelte gestel is. Het jy<br />
die nodige kennis en vaardighede verwerf wat gestel is?
Leereenheid 9<br />
9 TRANSFORMASIES OP DIE SFEER EN<br />
OP DIE PLAT VLAK<br />
Jy benodig ongeveer 9 uur om hierdie leereenheid suksesvol te voltooi.<br />
UITKOMSTE:<br />
Na voltooiing van hierdie leereenheid moet jy<br />
kennis dra van die gevolg as jy 'n punt agtereenvolgens ten opsigte van drie loodregte<br />
grootsirkels reflekteer;<br />
kennis dra van die gevolg as jy 'n sferiese driehoek agtereenvolgens ten opsigte van<br />
drie loodregte grootsirkels reflekteer<br />
kennis dra en bewys van die gevolge as jy 'n punt reflekteer ten opsigte van al drie sye<br />
van 'n oktant;<br />
kennis dra van transformasie meetkunde in die Euclidiese ruimte;<br />
transformasies in die Euclidiese ruimte kan toepas en veralgemeen.<br />
Studiemateriaal benodig:<br />
NALS: ho<strong>of</strong>stuk 11 en Internet.<br />
115
Leereenheid 9<br />
9.1 REFLEKSIES OP DIE SFEER<br />
Jy benodig ongeveer 3 uur om hierdie leergedeelte suksesvol te voltooi.<br />
UITKOMSTE:<br />
Na voltooiing van hierdie leergedeelte moet jy<br />
kennis dra van die gevolg as jy 'n punt agtereenvolgens ten opsigte van drie loodregte<br />
grootsirkels reflekteer;<br />
kennis dra van die gevolg as jy 'n sferiese driehoek agtereenvolgens ten opsigte van<br />
drie loodregte grootsirkels reflekteer<br />
kennis dra en bewys van die gevolge as jy 'n punt reflekteer ten opsigte van al drie sye<br />
van 'n oktant.<br />
116<br />
Studiemateriaal benodig:<br />
NALS: ho<strong>of</strong>stuk 11 en Internet.<br />
Jy kan al hierdie interessante gevolgtrekkings maak deur die voorkennis van hoe om 'n punt<br />
te reflekteer t.o.v. 'n lyn en met die kennis dat 'n grootsirkel die sferiese ekwivalent van die<br />
reguit lyn is..<br />
Prakties:<br />
NALS: Adventure Card 11.1en 11.2<br />
NALS: Student’s Guide to Adventure 11.1 en 11.2
Leereenheid 9<br />
Beskou die “dupleks” DEF van ABC op die plat vlak. Bewys: area(DEF) = 4 area(ABC)<br />
E<br />
Refleksie:<br />
NALS: Teacher’s Guide to adventure 11.1 en 11.2<br />
Opdrag 2 vervolg: Brei jou tabel in opdrag 2 uit deur ooreenkomste en verskille van hierdie<br />
leergedeelte by te voeg.<br />
B<br />
A<br />
F<br />
C<br />
D<br />
117
Leereenheid 9<br />
9.2 EUCLIDIESE TRANSFORMASIE MEETKUNDE<br />
Jy benodig ongeveer 6 uur om hierdie leergedeelte suksesvol te voltooi.<br />
UITKOMSTE:<br />
Na voltooiing van hierdie leergedeelte moet jy<br />
grondige kennis dra van rigiede en nie-rigiede transformasies;<br />
die effek van translasies, refleksies, rotasies, gly-refleksies en vergrotings kan<br />
ondersoek en veralgemeen in die Euclidiese ruimte;<br />
die uitwerking van translasies, refleksies, rotasies, gly-refleksies en vergrotings kan<br />
toepas in die Euclidiese ruimte;<br />
translasies, refleksies, rotasies, gly-refleksies en vergrotings in die Euclidiese ruimte<br />
kan fasiliteer tydens proeftydperke.<br />
Biblioteek en Internet.<br />
118<br />
Studiemateriaal benodig:<br />
http://www.mathsisfun.com/geometry/transformations.html<br />
Enige toepaslike handboek soos: Serra, Michael. 2008. Discovering Geometry An<br />
Investigative Approach. Key Curriculum Press.<br />
National Curriculum Statement Grades 10-12 Mathematics.<br />
Addissionele bronne:<br />
http://192.107.108.56/portfolios/d/desimone_g/discover2/1glide.htm<br />
http://www.mathwords.com/i/isometry.htm<br />
http://mailer.fsu.edu/~jflake/garnet-jflake/WebQuest/<br />
http://mathforum.org/sum95/suzanne/symsusan.html<br />
http://www.shodor.org/interactivate/lessons/Translations/<br />
Selfstudie: Gebruik die Nasionale Kurrikulum dokument en maak seker van al die uitkomste<br />
ten opsigte van transformasie meetkunde. Gebruik dan bogenoemde <strong>of</strong> enige ander bronne<br />
om die onderwerp te bestudeer.
Leereenheid 9<br />
Tydens kontak: Die verband transformasies met meetkundige figure en funksies met<br />
verwysing na matriksvermenigvuldiging.<br />
Individuele PC-opdrag 5:<br />
Gebruik The Geometer’s Sketchpad en PowerPoint <strong>of</strong> WORD.<br />
Maak ’n opsomming van alle tipes transformasies sodat u dit later kan<br />
gebruik in die skoolsituasie <strong>of</strong><br />
maak ’n werkkaart / toets met memorandum waarin u ’n leerder se kennis ten<br />
opsigte van die toepassing van transformasies kan stimuleer <strong>of</strong> assesseer.<br />
Indien u plakkate wil maak, kan u met u dosent onderhandel.<br />
Heg beide die Sketchpad en PowerPoint <strong>of</strong> WORD dokumente in eFundi<br />
aan. Lewer ook ’n hardekopie van die opsomming <strong>of</strong> werkkaart <strong>of</strong> toets met<br />
memorandum in.<br />
‘n Voorbeeld kan u vind op pp. 29 – 35 in die addendum.<br />
Blaai nou terug na die leeruitkomste wat aan die begin van die leergedeelte gestel is. Het jy<br />
die nodige kennis en vaardighede verwerf wat gestel is?<br />
119
Leereenheid 9<br />
VERGELYKING VAN MEETKUNDE OP VERSKILLENDE VLAKKE:<br />
http://shum.cc.huji.ac.il/~cariel/2002astronomy4/triangle.jpg<br />
120
10 KEGELSNEDES<br />
Jy benodig ongeveer 40 uur om hierdie leereenheid suksesvol te voltooi.<br />
Studiemateriaal benodig:<br />
Leereenheid 10<br />
Ho<strong>of</strong>stuk 8 in “College Algebra” van David Cohen. Van hier af sal ons net na die relevante<br />
paragrawe <strong>of</strong> bladsynommers in “Cohen” verwys.<br />
Ho<strong>of</strong>stuk 10 (pp.743 - 815) van “Precalculus” van James Stewart. Van hier af sal ons net na<br />
die relevante paragrawe <strong>of</strong> bladsynommers in “Stewart” verwys.<br />
Paragrawe 12.2 tot 12.5 van “Calculus” van Anton. Van hier af sal ons net na die relevante<br />
paragrawe <strong>of</strong> bladsynommers in die addendum verwys.<br />
UITKOMSTE:<br />
Na voltooiing van hierdie leereenheid, behoort jy<br />
die definisie, meetkundige eienskappe en standaardvergelykings van parabole, ellipse<br />
en hiperbole wat simmetries om die x- en y-asse is, te ken;<br />
die grafieke van parabole, ellipse en hiperbole te kan teken en hul eienskappe in<br />
lewenswerklike probleme te kan toepas;<br />
te weet wat die effek van translasie en rotasie van die asse op die vergelykings van die<br />
parabool, die ellips en die hiperbool is;<br />
krommes voorgestel deur tweedegraadse vergelykings in twee veranderlikes te kan<br />
identifiseer.<br />
Inleiding:<br />
Kegelsnedes ontstaan wanneer ʼn kegel en ʼn plat vlak mekaar op verskillende maniere sny<br />
(soos in die figuur).<br />
121
In hierdie leereenheid word die definisies van kegelsnedes egter gebaseer op hul<br />
meetkundige eienskappe. Daardeur verseker ons dat die bestudering van kegelsnedes<br />
tweedimensioneel geskied. Vir daardie doel word ʼn kegelsnede gedefinieer in terme van die<br />
lokus (<strong>of</strong> meetkundige pad) van al die punte in die plat vlak wat voldoen aan sekere<br />
beperkings. Ons gaan die volgende lokusse bekyk: die parabool, die ellips en die hiperbool.<br />
122<br />
Bestudeer p. 635 en 636 in Cohen.<br />
Bestudeer p. 743 en 744 (Chapter Overview) in Stewart.<br />
Praktiese opdrag: Sny roomyshorinkies soos hierbo aangetoon.<br />
http://www.arcs<strong>of</strong>t.com/shared/support/hemera/downloads/august/images/icecream.jpg<br />
http://<strong>of</strong>fice.micros<strong>of</strong>t.com/clipart/results.aspx?lc=en-gb&Scope=MC%2CMM%2CMP%2CMS&Query=knife#12
Leereenheid 10<br />
10.1 DIE PARABOOL: DEFINISIE, MEETKUNDIGE<br />
EIENSKAPPE;<br />
STANDAARDVERGELYKINGS; GRAFIEKE<br />
VAN PARABOLE<br />
Jy benodig ongeveer 4 uur om hierdie leergedeelte suksesvol te voltooi.<br />
UITKOMSTE:<br />
Na voltooiing van hierdie leergedeelte, behoort jy<br />
ʼn parabool te kan definieer;<br />
die meetkundige eienskappe van ʼn parabool te ken en in lewenswerklike probleme te<br />
kan gebruik;<br />
die standaardvergelykings van die parabool te kan aflei en gebruik;<br />
parabole met simmetrie-asse ewewydig aan die x- <strong>of</strong> y-as, te kan teken.<br />
Studiemateriaal benodig:<br />
Paragraaf 8.1 (pp. 636 – 641 Figure 9) in Cohen.<br />
Paragraaf 10.1 (pp. 744 - 750) in Stewart.<br />
Paragraaf 12.2 (pp. 1 – 3) in Addendum.<br />
Die baan van 'n krieketbal, die kurwe van belaste kabels en hangbrûe, water wat uit 'n<br />
tuinslang spuit en nog baie meer is voorbeelde van parabole in die lewe.<br />
Definisie van ʼn parabool:<br />
ʼn Parabool is die lokus van ʼn punt (<strong>of</strong> versameling van alle punte) in die plat vlak wat ewe<br />
ver is vanaf ʼn gegewe lyn (die riglyn = directrix) en ʼn gegewe punt (die brandpunt= focus)<br />
wat nie op die lyn is nie.<br />
123
124<br />
CD-ROM.<br />
SBO: Skakel CD aan en kliek op C. (Residensieel demonstrasie: Parabola.gsp in Introducing<br />
the Parabola lêer in ECS p.34)<br />
Bestudeer nou Cohen p. 636 en<br />
Stewart p. 744 aandagtig<br />
Konstruksie van parabole met die konsentriese model-metode:<br />
Die radiusse van die konsentriese sirkels neem toe met 1 eenheid vanaf middelpunt A.<br />
Die reguit lyne is ook 1 eenheid uit mekaar getrek.<br />
Elke reguit lyn, behalwe die een deur A is ʼn raaklyn aan een van die sirkels.<br />
1. Hoeveel eenhede is punte A en B van mekaar af? .....................................<br />
2. Hoeveel eenhede is punt B en die lyn 1 uit mekaar? .....................................<br />
A<br />
3. Wat kan jy uit bostaande twee antwoorde aflei? ......................................................<br />
........................................................................................................................................<br />
4. Vind en merk minstens 15 punte (die toppunt ingesluit) wat op die parabool is met<br />
brandpunt by A en die lyn 1 as riglyn.<br />
5. Verduidelik hoe jy hulle gevind het.<br />
.............................................................................<br />
........................................................................................................................................<br />
6. Skets die parabool.<br />
B<br />
<br />
4<br />
3<br />
2<br />
1
Leereenheid 10<br />
7. Gebruik verskillende kleure potlode en herhaal die vorige stappe en teken parabole<br />
met lyne 2,3 en 4 as riglyne en brandpunt steeds by A.<br />
Bestudeer nou Stewart pp. 746 - 750 aandagtig.<br />
Konstruksie van Parabole met die Papiervou metode:<br />
1. Gegee: Enige twee punte.<br />
Gevra: Hoeveel reguit lyne kan deur die punte getrek word?<br />
...........................<br />
2. Hoeveel punte is nodig om ʼn unieke parabool te teken deur die punte?<br />
...........................<br />
2.1. As jy hierdie aantal punte het, hoe kan jy hulle rangskik dat hulle nie ʼn parabool vorm<br />
nie?<br />
................................................................................<br />
3. Maak ʼn parabool deur papiervoue:<br />
Merk ʼn punt A omtrent 2 tot 3 cm vanaf die onderkant van ʼn A4-bladsy.<br />
Vou die papier sodat ʼn punt van die onderkant van die blaai presies deur A<br />
gaan.<br />
Trek ʼn lyn deur die vou.<br />
Herhaal die proses.<br />
Elke student gebruik sy eie kleur pen en skryf ook jou naam met die pen<br />
agterop die blaai.<br />
Elke student moet minstens 5 verskillende voue vou en trek.<br />
A<br />
4. PowerPoint: Kyk na Parabole in praktyk.ppt op die eFundi<br />
5. Vind die lokus van ʼn punt wat só beweeg dat dit ewe ver is van ʼn gegewe lyn en ʼn punt<br />
wat nie op die lyn lê nie (Wenk: Gebruik ʼn passer, ʼn liniaal en ʼn skerp potlood om die<br />
versameling punte te vind wat die lokus vorm).<br />
Verstaan jy nou die definisie van ʼn parabool?<br />
125
126<br />
CD-ROM.<br />
SBO: Skakel CD aan en kliek op D. (Residensieel demonstrasie: Papiervou met GSP in ECS<br />
p.39)<br />
Bestudeer nou Cohen pp. 637 tot 641 aandagtig.<br />
ʼn Parabool is ook simmetries om die lyn (die simmetrie-as) wat deur die brandpunt loodreg<br />
op die riglyn is. Die toppunt (=vertex) van die parabool lê op simmetrie-as (figuur 3, p.638).<br />
Die meetkundige eienskappe van ʼn parabool volg uit die definisie van die parabool:<br />
Die afstand, p, tussen die toppunt en die brandpunt is dieselfde as die afstand tussen die<br />
toppunt en die riglyn.<br />
Die standaardvergelykings van die parabool:<br />
Die eenvoudigste vergelyking (standaardvergelyking) van ʼn parabool word verkry as die<br />
toppunt in die oorsprong is en die simmetrie-as langs die x-as <strong>of</strong> y-as lê.<br />
Op p. 637 word die definisie van die parabool en die afstandsformule gebruik om die<br />
standaardvergelyking van die parabool met fokus (0,p) en riglyn y = -p af te lei.<br />
Daar is eintlik vier moontlike oriëntasies van die parabool (soos in figuur 6 aangetoon), en<br />
dus ook vier standaardvergelykings van die parabool. Jy moet in staat wees om al vier<br />
standaardvergelykings van die parabool te kan aflei.<br />
Bestudeer voorbeelde 1 to 3 in Cohen noukeurig,<br />
Bestudeer nou Addendum pp. 1 tot 3 aandagtig.<br />
Werk deur die voorbeelde in Addendum (pp. 1 tot 3). Maak veral seker van figure 12.2.2 op<br />
p. 1. In die opdrag sal jy hierdie spesiale koord deur die brandpunt, genoem die “latus<br />
rektum”, se lengte moet kan bereken.<br />
In voorbeelde 1(a) en (b) word die simmetrie-as eers bepaal, dan word p bereken om die<br />
brandpunt vas te stel, die rigting waarin die parabool oopmaak en die wydte van die parabool<br />
te bepaal.<br />
In voorbeeld 2 word die vergelyking van ʼn parabool wat deur ʼn gegewe punt gaan, bepaal.
Opdrag11A:<br />
Leereenheid 10<br />
1. Lei die standaardvergelyking van die parabool in figuur 6 (b) af. (p.640 Cohen)<br />
2. Cohen oef. 8.1 no. 2<br />
3. Stewart oef. 10.1 no. 12<br />
4. Cohen oef. 8.1 no. 8<br />
5. Stewart oef. 10.1 no. 42<br />
6. Stewart oef. 10.1 no. 43<br />
7. Stewart oef. 10.1 no. 51<br />
8. Die koord van ʼn parabool wat deur die brandpunt gaan en ewewydig is aan die riglyn<br />
word die latus rektum van die parabool genoem.<br />
8.1 Bereken die lengte van die latus rektum van die parabool y 2 = 4px.<br />
8.2 Gee die vergelyking van die riglyn van hierdie parabool.<br />
9. Vind vanuit eerste beginsels die lokus van ʼn punt wat ewe ver is van die punt F ( 2; 4)<br />
en die lyn x = 3. Gebruik ʼn toepaslike skets en verduidelik u konstruksie.<br />
10. Die ho<strong>of</strong>spieël in die Hubble ruimte<br />
teleskoop het 'n paraboliese<br />
dwarsdeursnee soos aangetoon in<br />
die meegaande figuur. Bereken die<br />
brandpuntafstand (toppunt tot<br />
brandpunt) van hierdie spieël.<br />
Opdrag 11B<br />
2,40 m<br />
0,00625 m<br />
1. Lei die standaardvergelyking van die parabool in figuur 6 (c) af. (p.640 Cohen)<br />
2. Stewart oef. 10.1 no. 10<br />
3. Cohen oef. 8.1 no. 4<br />
4. Cohen oef. 8.1 no. 6<br />
5. Stewart oef. 10.1 no. 26<br />
6. Cohen oef. 8.1 no. 10<br />
7. Cohen oef. 8.1 no. 12<br />
F<br />
127
8. Cohen oef. 8.1 no. 25<br />
9. Vind vanuit eerste beginsels die lokus van ʼn punt wat ewe ver is van die punt F ( 3; 0)<br />
en die lyn x = - 3.<br />
10. Die antenna van ’n satellietskottel is<br />
in die vorm van ’n paraboloïede.<br />
Die paraboloïede word gevorm deur<br />
’n parabool met brandpunt (25; 0)<br />
en riglyn x = -25, om die x -as te<br />
roteer. Beide x en y word in duim<br />
gemeet. Die deursnede van die<br />
antenna is 80 duim<br />
10.1 Bereken die vergelyking van die parabool.<br />
10.2 Wat is die definisieversameling van die antenna?<br />
10.3 Maak ’n sketsgrafiek van die parabool en dui die brandpunt en riglyn aan.<br />
10.4 ’n Ontvangtoestel moet op die<br />
brandpunt geplaas word. Die<br />
meegaande figuur impliseer dat die<br />
ontvangtoestel die grond sou raak<br />
indien die antenna met sy opening<br />
na onder geplaas sou word. Bepaal<br />
algebraïes <strong>of</strong> hierdie waarneming<br />
korrek is. (Precalculus; Foerster p. 593<br />
aangepas)<br />
128<br />
http://content.answers.com/main/content/wp/en/thumb/4/4a/300px-<br />
Very_Large_Array.jpg<br />
Antwoorde/oplossings<br />
Maak 'n opsomming van die teorie oor parabole:<br />
Gedeeltelik deur dosent nagesien. Volledige<br />
memorandums op eFundi vir selfkontrole van die res.
Leereenheid 10<br />
Blaai nou terug na die leeruitkomste wat aan die begin van die leergedeelte gestel is. Het jy<br />
die nodige kennis en vaardighede verwerf wat gestel is?<br />
Refleksie:<br />
Vorige klastoetse op eFundi.<br />
129
10.2 VERGELYKINGS VAN PARABOLE MET<br />
TOPPUNTE NIE IN DIE OORSPRONG NIE<br />
Jy benodig ongeveer 8 uur om hierdie leergedeelte suksesvol te voltooi.<br />
UITKOMSTE:<br />
Na voltooiing van hierdie leergedeelte, behoort jy<br />
die effek van translasie op die standaardvergelykings van die parabool ondersoek het;<br />
die vergelyking van ʼn parabool te kan vind, as die toppunt nie in die oorsprong is nie;<br />
die weerkaatsingseienskap van paraboliese reflektors kan formuleer;<br />
jou kennis aangaande translasies en die weerkaatsingseienskap te kan gebruik om<br />
probleme op te los.<br />
130<br />
Studiemateriaal benodig:<br />
Paragraaf 8.1 (pp. 641 onder figuur 9 – 645) in Cohen<br />
Addendum Paragraaf 12.2 (pp. 3 - 6).<br />
Stewart pp. 775 – 778<br />
Tot nou toe het ons na parabole gekyk met toppunte in die oorsprong. Hoe word die<br />
vergelyking van ʼn parabool beïnvloed as die toppunt nie in die oorsprong lê nie?<br />
Bestudeer Stewart pp. 775, opsomming op p. 776 en afdeling<br />
oor “Shifted Parabolas” op pp. 777 en 778 aandagtig.<br />
Bestudeer nou Cohen pp. 641 tot 643 aandagtig.<br />
In voorbeeld 5 (p. 643 Cohen) word aangetoon hoe die koëffisiënt van die kwadratiese term<br />
deur faktorisering hanteer word. Wees baie versigtig met die term wat aan die regterkant<br />
bygetel word.
Bestudeer nou Addendum pp. 3 – 6 aandagtig.<br />
Leereenheid 10<br />
Bekyk ʼn parabool met toppunt by (h, k), en ʼn simmetrie-as ewewydig aan die y-as (soos<br />
figuur 12.2.9).<br />
Die vergelyking van die parabool, naamlik (x’) 2 = 4py’ (+ as die parabool in die positiewe y-<br />
rigting oopmaak) verander dus nou na:<br />
(x - h) 2 = 4p(y - k).<br />
Op soortgelyke wyse kan die vergelyking van ʼn parabool met toppunt (h, k) en simmetrie-as<br />
ewewydig aan die x-as bepaal word. Maak seker dat jy weet hoe om parabole te transleer.<br />
Gaan teken m.b.v. The Geometer’s Sketchpad die parabole:<br />
y = x 2<br />
y = (x – 2) 2<br />
(y – 3) = x 2 d.w.s. y = x 2 + 3<br />
(y – 3) = (x – 2) 2 d.w.s. y = (x – 2) 2 + 3 en<br />
(y + 4) = (x + 1) 2 d.w.s. y = (x + 1) 2 - 4<br />
om seker te maak hoe die toppunt transleer.<br />
Dis hersiening van <strong>MATE</strong> 111. (Stewart pp. 183 en 184)<br />
In voorbeeld 3 (Addendum p. 5) moet ons aantoon dat die kromme y 2 - 8x - 6y - 23 = 0 ʼn<br />
parabool is. Dit beteken dat ons gegewe vergelyking skryf in die vorm (y - k) 2 = 4p(x - h).<br />
Oplossing: y 2 - 6y = 8x + 23<br />
y 2 - 6y + 9 = 8x + 23 + 9 (vierkantsvoltooiing)<br />
(y - 3) 2 = 8x + 32<br />
(y - 3) 2 = 8(x + 4)<br />
Die vergelyking stel ʼn parabool met toppunt (-4, 3) en simmetrie-as ewewydig aan die x-as<br />
voor. Verder is 4p = 8, met ander woorde p = 2. Dit beteken dat die parabool na die<br />
positiewe x-rigting (regs) oopmaak, die simmetrie-as is y = 3, en die vergelyking van die<br />
riglyn is x = - 6.<br />
131
Uit voorbeeld 3 volg die volgende algemene resultaat (paragraaf 12.2.2, Addendum):<br />
Die grafiek van x = Ay 2 + By + C (A 0) is ʼn parabool met simmetrie-as ewewydig aan die xas;<br />
die parabool maak oop in die positiewe x-rigting (A>0).<br />
Die grafiek van y = Ax 2 + Bx + C (A 0) is ʼn parabool met simmetrie-as ewewydig aan die yas;<br />
die parabool maak oop die positiewe y-rigting as A>0 en in die negatiewe y-rigting as<br />
A
CD-ROM.<br />
SBO: Skakel CD aan en kliek op E. (Residensieel demonstrasie: Headlights )<br />
Leereenheid 10<br />
Maak seker dat jy die weerkaatsingseienskap (Cohen p. 643 onder en p. 652 nr. 19) goed<br />
verstaan. Meetkundige weerkaatsingseienskappe van parabole (Addendum p. 5<br />
Stelling 12.2.3) en weerkaatsingseienskappe van lig, word gebruik in die ontwerp van<br />
reflektors en televisieskottels. Bestudeer die gedeelte boaan bl. 598 aandagtig sodat jy dit<br />
kan toepas.<br />
Skets en som die weerkaatsingseienskap hier op:<br />
PowerPoint-Aanbieding op die eFundi / kontaksessie<br />
SBO: Bestudeer “Die Verband tussen Verskillende Tipes<br />
Parabole”<br />
133
Opdrag 12:<br />
1. Oef. 10.4 (Stewart) no. 5<br />
2. Oef. 10.4 (Stewart) no. 26<br />
3. Oef. 12.2 (Addendum p. 6) no. 11<br />
4. Oef. 12.2 Addendum p. 6) no. 25 (Wenk: 2 vergelykings met 2 onbekendes)<br />
5. Oef. 12.2 (Addendum p. 6) no. 27<br />
6. Oef. 12.2 (Addendum p. 6) no. 31<br />
7. Oef. 12.2 (Addendum p. 6) no. 33a en b<br />
8. Die toppunt en brandpunt van een parabool is respektiewelik die brandpunt en<br />
toppunt van 'n ander parabool. As die vergelyking van die tweede parabool y 2 = 4x is,<br />
bereken die vergelyking van die eerste parabool. (Wenk : 'n Skets)<br />
Opdrag 13A:<br />
1. Oef. 12.2 (Addendum p. 6) no. 35<br />
2. Bewys Stelling 12.2.2 (Addendum p. 5) se tweede vergelyking. M.a.w.:<br />
134<br />
Gegee: ʼn Parabool met simmetrie-as ewewydig aan die x-as<br />
3. Stewart Oef 10.1 no. 49<br />
4. Addendum p. 7 no. 40<br />
Bewys: 2.1 Die vergelyking kan ook gegee word deur<br />
x = Ay 2 + By + C met (A0)<br />
2.2 Die parabool se bene maak oop in die rigting van die<br />
positiewe x-as as A>0.<br />
(Wenke: los y-as uit op skets en gebruik jou definisie)
5. Addendum p. 7 no. 37 (Wenk: Moenie Graad 11 vergeet nie)<br />
6. Die paraboliese reflektor van 'n<br />
soeklig het 'n opening van 15<br />
cm en is 6,5 cm diep soos<br />
aangetoon in die meegaande<br />
figuur. Waar moet die<br />
gloeidraad van die gloeilamp<br />
geplaas word om die helderste<br />
straal lig te verseker?<br />
7. Die vergelyking van ʼn paraboliese<br />
reflektor wat sonlig weerkaats word<br />
gegee deur x 2 = 96(y - 50) (beide y en<br />
x se eenhede is cm). Neem die x-as<br />
as die grond.<br />
7.1 Op watter afstand moet 'n pappot<br />
vanaf die toppunt geplaas word<br />
om die hitte die beste te benut?<br />
Motiveer u antwoord.<br />
7.2 Bereken die wydte van die<br />
paraboliese reflektor as dit 'n<br />
hoogste hoogte van 1 meter bo<br />
die grond het.<br />
Opdrag 13B:<br />
1. Cohen Oef. 8.1 no. 18<br />
2. Cohen Oef. 8.1 no. 26<br />
3. Cohen Oef. 8.1 no. 40<br />
y<br />
8<br />
6<br />
4<br />
2<br />
-10 -5 5 10<br />
-2<br />
-4<br />
-6<br />
-8<br />
6,5 cm<br />
Leereenheid 10<br />
<br />
A: (6.5, 7.5)<br />
4. Gee vier verskillende vergelykings van ʼn parabool met simmetrie-as ewewydig aan die<br />
x-as.<br />
15 cm<br />
5. Die vergelyking van die dwarsdeursnee van ʼn motorlig (paraboliese reflektor) word<br />
gegee deur y 2 = 18x (beide y en x se eenhede is cm). Die deursnede van die<br />
glasvoorkant van die lig is 24 cm.<br />
5.1 Op watter afstand moet die gloeilamp vanaf die toppunt geplaas word sodat<br />
ewewydige ligstrale weerkaats word?<br />
5.2 Bereken die definisieversameling vir hierdie reflektor<br />
x<br />
135
136<br />
5.3 Skets die grafiek van die paraboliese reflektor en toon alle afmetings.<br />
6. Cohen Oef. 8.1 no. 41<br />
Antwoorde/oplossings<br />
Gedeeltelik deur dosent nagesien. Volledige memorandums op eFundi vir<br />
selfkontrole van die res.<br />
Refleksie:<br />
Vorige klastoetse op eFundi.<br />
Blaai nou terug na die leeruitkomste wat aan die begin van die leergedeelte gestel is. Het jy<br />
die nodige kennis en vaardighede verwerf wat gestel is?
Leereenheid 10<br />
10.3 DIE ELLIPS: MIDDELPUNT IN OORSPRONG,<br />
EKSENTRISITEIT<br />
Geskatte studietyd: 6 uur.<br />
UITKOMSTE:<br />
Na voltooiing van hierdie leergedeelte, behoort jy<br />
ʼn ellips te kan definieer;<br />
die meetkundige eienskappe van ʼn ellips te ken en kan gebruik in lewenswerklike<br />
probleme;<br />
die standaardvergelykings van die ellips te ken en kan gebruik;<br />
ʼn ellips te kan teken deur sy eksentrisiteit te gebruik;<br />
ellipse vanuit hul standaardvergelykings te kan teken.<br />
Studiemateriaal benodig:<br />
Paragraaf 8.2 (pp. 653 – 657 tot en met voorbeeld 3) van Cohen<br />
Paragraaf 10.2 (pp. 753 - 761) van Stewart.<br />
Addendum Paragraaf 12.3 (pp. 7 - 10).<br />
'n Ellips is die tipe kegelsnede wat ons die meeste waarneem. Enige sirkel wat vanuit 'n hoek<br />
gesien word lyk soos 'n ellips. Plaas 'n bal op die vloer en laat 'n lig teen 'n hoek van bo af<br />
daarop skyn. Die skaduwee lyk soos 'n ellips. Neem 'n glas water en draai dit effens skuins.<br />
Die wateroppervlakte neem die vorm van 'n ellips aan. Die bane van die planete is ellipties.<br />
Selfs komete in 'n vaste wentelbaan om die son is se pad is ellipties.<br />
SBO: Eksperimenteer met Stretch.gsp in die eFundi (Ellipse lêer van ECS Getting started)<br />
Wat is die verband tussen ʼn sirkel en ʼn ellips?<br />
....................................................................................................................................................<br />
....................................................................................................................................................<br />
137
138<br />
Bestudeer nou Stewart pp. 753 tot die opsomming<br />
op p. 755 aandagtig.<br />
Bestudeer ook Cohen p. 653 tot 658.<br />
Die definisie van ʼn ellips volg uit die volgende konstruksie (1):<br />
Vind die lokus van ʼn punt wat só beweeg dat die som van die afstande vanaf die punt na<br />
twee gegewe punte konstant bly. In Figuur 1 op p. 653 in Cohen word die konstruksie<br />
geïllustreer.<br />
CD-ROM.<br />
SBO: Skakel CD aan en kliek op F. (Residensieel demonstrasie met roomyshorinkie en<br />
spykers.)<br />
Die definisie van ʼn ellips: ʼn Ellips is die (lokus van ’n punt) [versameling van alle punte] in<br />
die plat vlak waarvan die som van die afstande na twee gegewe punte (die brandpunte)<br />
konstant bly. Hierdie som is ʼn positiewe konstante wat altyd groter is as die afstand tussen<br />
die brandpunte (figure 4 op p. 653 Cohen).<br />
Maak seker dat jy weet wat met die lang as, kort as, die semi-asse en middelpunt bedoel<br />
word.<br />
SBO: Toets jou kennis van hierdie definisie deur die punt uit te wys wat nie op die ellips lê nie<br />
in Points.gsp in die eFundi (in die Ellips-lêer van ECS.)
Leereenheid 10<br />
Konstrueer (2) ʼn ellips wat deur punt A gaan deur gebruik te maak van die volgende twee<br />
stelle konsentriese sirkels:<br />
CD-ROM.<br />
F 1<br />
B<br />
A<br />
SBO: Skakel CD aan en kliek op G (Residensieel demonstrasie: Konsentriese sirkels met<br />
GSP ECS 9)<br />
F 2<br />
Lees Addendum pp. 7 tot 10 voorbeeld 2.<br />
Die meetkundige eienskappe van ʼn ellips word met behulp van die definisie afgelei (figure<br />
12.3.5 en 12.3.6, Addendum p. 8).<br />
139
Die afstand vanaf die middelpunt van die ellips tot by die toppunt is a.<br />
Die afstand vanaf die middelpunt van die ellips tot waar die ellips die kort as sny is b.<br />
Die afstand vanaf die middelpunt van die ellips tot by die brandpunt is c.<br />
140<br />
Opmerking: Onthou afstande is altyd positief.<br />
CD-ROM.<br />
SBO: Skakel CD aan en kliek op I. (Residensieel demonstrasie: String.gsp in Ellipse lêer in<br />
ECS Some relationships p. 11)<br />
Daar is basiese verwantskappe tussen a, b en c in die skets van ʼn ellips hierbo. Kan jy a in<br />
terme van b en c uitdruk, en c in terme van a en b?<br />
Omdat P en Q albei op die ellips lê, is die som van die afstande vanaf P en Q na die<br />
brandpunte dieselfde.<br />
2 2<br />
Met ander woorde: 2 b c = (a - c) + (a + c)<br />
ellips na die brandpunte is 2a)<br />
2 2<br />
Dus is a = b <br />
c<br />
2 2<br />
2 b c = 2a (die som van die afstande vanaf enige punt op die
Opmerking: 2a het dus twee betekenisse:<br />
die afstand tussen die toppunte (die lengte van die ho<strong>of</strong>as)<br />
en<br />
die som van die afstande vanaf enige punt op die ellips tot by die brandpunte<br />
Kan jy die standaardvergelyking van die ellips aflei?<br />
Leereenheid 10<br />
Die standaardvergelykings van die ellips kan afgelei word met behulp van die standaardposisies<br />
van die ellips (figuur 4 p. 653 in Cohen en figure 3 en 4 pp. 753 en 754 Stewart).<br />
Ons kyk na ellipse wat so geplaas is dat hulle die oorsprong as middelpunt het en met die<br />
ho<strong>of</strong>as op die x-as. Maak seker jy kan die standaardvergelyking van die ellips aflei en<br />
gebruik!<br />
Hoe word die grafieke van ellipse geteken?<br />
Ellipse kan geteken word met behulp van hul standaardvergelykings.<br />
Bestudeer nou Cohen pp. 656 tot 659 en<br />
Stewart pp. 755 – 788 en gee veral aandag aan die<br />
voorbeelde.<br />
Wat gebeur as a = b? Watter figuur verwag jy om te teken?<br />
141
Werk ook deur die volgende voorbeeld:<br />
Voorbeeld 1: Vind die vergelyking van die<br />
lokus van ʼn punt wat so beweeg dat die som<br />
van die afstande na punte B(5, 0) en A(-5, 0)<br />
12 is.<br />
Oplossing 1 (vanuit eerste beginsels <strong>of</strong><br />
m.b.v. die definisie): Laat P(x, y) enige<br />
punt op die lokus wees. Omdat PA + PB =<br />
12, is<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
x y y x x y y 12<br />
142<br />
x P A<br />
P A<br />
P B<br />
P B (formule)<br />
2 2<br />
x 5 y 0<br />
+ x 5 y 0<br />
2 2<br />
x 5 y + 2 2<br />
x 5 y<br />
2<br />
( x 5)<br />
y = 12 -<br />
2<br />
= 12<br />
2<br />
( x 5)<br />
y<br />
2 2<br />
Kwadreer: x 2 - 10x + 25 + y 2 = 144 - 24<br />
- 20x - 144 = -24<br />
5x + 36 = 6<br />
= 12 (substitusie)<br />
2<br />
2<br />
( x 5)<br />
y<br />
2 2<br />
5)<br />
+ x 2 + 10x + 25 + y 2<br />
( x y<br />
2<br />
( x 5)<br />
y<br />
Kwadreer: 25x 2 + 360x + 1296 = 36x 2 + 360x + 900 + 36y 2<br />
11x 2 + 36y 2 - 396 = 0<br />
Opmerking: Die lokus is ʼn ellips, want<br />
2<br />
11x<br />
396<br />
<br />
2<br />
36y<br />
396<br />
2<br />
x y2<br />
1<br />
36 11<br />
<br />
396<br />
396<br />
Oplossing 2: 2a = 12 en c = 5 uit die gegewens<br />
a = 6<br />
b 2 = a 2 – c 2<br />
= 6 2 - 5 2<br />
= 11<br />
Dit kan dan in die standaardvorm vervang word, om dieselfde antwoord te gee.<br />
2<br />
2
Opdrag 14A:<br />
1. Oefening 10.2 (Stewart) no. 10<br />
2. Cohen Oef. 8.3 no. 4<br />
3. Cohen Oef. 8.3 no. 10<br />
4. Oef. 10.2 (Stewart) no. 29<br />
Leereenheid 10<br />
5. Vind die fokuspunt(brandpunt), toppunt en riglyn van die volgende parabool en skets<br />
die parabool: (y + 1) 2 = -7(x – 4)<br />
6. Oef. 10.2 Stewart no. 46<br />
Opdrag 14B:<br />
1. Cohen Oef. 8.3 no. 2<br />
2. Cohen Oef. 8.3 no. 6<br />
3. Oef 12.3 (Addendum p. 12) no. 5<br />
4. Oef 10.2 (Stewart) no. 49<br />
5. Die latus rektum van 'n ellips is die segment deur die brandpunt, loodreg op die ho<strong>of</strong>as<br />
met eindpunte op die ellips. Toon aan dat die lengte van die latus rektum gegee word<br />
b<br />
deur<br />
a<br />
2<br />
2 2<br />
2<br />
x y<br />
vir die ellips gedefinieer deur 2 2<br />
a b<br />
1 met a b .<br />
6. ʼn Sonvenster bokant ʼn<br />
deur word in die vorm<br />
van ʼn ellips gemaak<br />
soos aangetoon in die<br />
figuur. Die venster is 20<br />
cm hoog by die hoogste<br />
punt en 80 cm wyd aan<br />
die onderkant.<br />
6.1 Wat is die vergelyking van hierdie ellips?<br />
<<br />
A<br />
<<br />
80 cm<br />
25 cm ><br />
B<br />
h<br />
><br />
20 cm<br />
6.2 Bereken die hoogte van die venster 25 cm vanaf die middelpunt van die basis.<br />
6.3 Bereken die lengte van die AB.<br />
6.4 Bereken die totale lengte hout wat nodig is om die vensterraam te vervaardig.<br />
[Wenk: Gebruik die volgende benadering van Ramanujan vir die Omtrek van 'n<br />
3a 3b<br />
a 3b<br />
b 3a<br />
]<br />
<br />
ellips <br />
^<br />
143
144<br />
Antwoorde/oplossings<br />
Gedeeltelik deur dosent nagesien. Volledige memorandums op eFundi vir<br />
selfkontrole van die res.<br />
Refleksie:<br />
Vorige klastoetse op eFundi.<br />
Blaai nou terug na die leeruitkomste wat aan die begin van die leergedeelte gestel is. Het jy<br />
die nodige kennis en vaardighede verwerf wat gestel is?
Leereenheid 10<br />
10.4 DIE ELLIPS: MIDDELPUNT NIE IN DIE<br />
OORSPRONG IS NIE; HOOFAS EWEWYDIG<br />
AAN Y-AS<br />
Jy benodig ongeveer 6 uur om hierdie leergedeelte suksesvol te voltooi.<br />
UITKOMSTE:<br />
Na voltooiing van hierdie leergedeelte, behoort jy<br />
te kan bepaal wat die vergelyking van ellipse is waarvan die middelpunt nie in die<br />
oorsprong is nie, maar waarvan die asse ewewydig aan die koördinaat-asse is;<br />
lewenswerklike probleme op te los deur die eienskappe van ellipse te gebruik.<br />
Studiemateriaal benodig:<br />
p. 657 Cohen (onder voorbeeld 3) – 667 (uitgesluit voorbeeld 6 op p, 660); 659 - 661<br />
Stewart p. 776 – 777 “shifted Ellipses”; 759<br />
Paragraaf 12.3 (pp. 10 vanaf die middel tot 11 tot voorbeeld 3) van Addendum<br />
145
Konstruksie (3) van ellips deur ʼn gevoude papiersirkel:<br />
1. Sny ʼn sirkel op papier uit.<br />
2. Merk die middelpunt M.<br />
3. Plaas ʼn punt B enige plek binne die<br />
sirkel.<br />
4. Vou die sirkel soos aangetoon dat ʼn<br />
punt op die omtrek presies op punt B<br />
lê. Trek met ʼn liniaal ʼn lyn op die vou.<br />
5. Herhaal die proses in 4 totdat jy ʼn<br />
patroon sien ontwikkel.<br />
6. Vergelyk jou resultaat met die van<br />
iemand anders in die klas. [SBO:<br />
Indien jy alleen is, herhaal die proses<br />
met B op ʼn ander plek in die sirkel.]<br />
146<br />
CD-ROM.<br />
SBO: Skakel CD aan en kliek op H. (Residensieel demonstrasie: Die vou-model met GSP<br />
ECS p. 14)<br />
Bestudeer nou Cohen p. 657 (onder voorbeeld 3) tot 658 voorbeeld 4 en<br />
Stewart pp. 776 – 777 aandagtig.<br />
Soortgelyk aan die translasie wat by parabole gedoen is, word ʼn translasie by ellipse<br />
uitgevoer (kyk op p. 657 Cohen Figuur 10). Die ellips se middelpunt is dus nou (h,k) in plaas<br />
van (0,0).<br />
Hieruit kan ons sien die vergelyking van ʼn ellips met die lang as ewewydig aan die x-as en<br />
2<br />
2<br />
( x h)<br />
( y k)<br />
met middelpunt (h, k) is: 1 ( a b)<br />
(A)<br />
2<br />
2<br />
a b<br />
en die vergelyking van ʼn ellips met die lang as ewewydig aan die y-as en met middelpunt<br />
2<br />
2<br />
( x h)<br />
( y k)<br />
(h, k) is : 1 2<br />
2<br />
b a<br />
( a b)<br />
. (B)<br />
A<br />
<br />
B<br />
A<br />
B
Bestudeer nou Addendum p. 10 vanaf vergelyking (5) tot p. 11<br />
voorbeeld 3 aandagtig.<br />
Leereenheid 10<br />
In voorbeeld 3 (Addendum p. 10) moet aangetoon word dat x 2 + 9y 2 - 64x - 54y + 1 = 0 ʼn<br />
ellips is. Dit beteken dat hierdie vergelyking herlei moet word na<br />
2<br />
2<br />
( x h)<br />
( y k)<br />
1 2<br />
2<br />
a b<br />
2<br />
2<br />
( x h)<br />
( y k)<br />
( a b)<br />
(A) <strong>of</strong> : (B) 1 2<br />
2<br />
b a<br />
( a b)<br />
.<br />
Bestudeer nou die begrip eksentrisiteit Stewart p. 757 en Cohen p. 655<br />
aandagtig.<br />
Wat bedoel ons met die eksentrisiteit (e) van die ellips? Op p. 655 in Cohen word e<br />
gedefinieer as die verhouding c (brandpuntafstand) tot a (lang-as).<br />
c<br />
e <br />
a<br />
c<br />
ea ( 0 e 1)<br />
In figuur 7 is ellipse met verskillende e-waardes geteken.<br />
CD-ROM.<br />
SBO: Skakel CD aan en kliek op J. (Residensieel demonstrasie: Eccentricity.gsp in Some<br />
Ellipse relationships in Ellipse lêer ECS p. 12)<br />
Wat dink jy is die eksentrisiteit van die sirkel? ..........................................................................<br />
...........................................................................................................................................<br />
...........................................................................................................................................<br />
9<br />
Opmerking: As e = , mag jy nie aflei dat c = 9 en a = 10 nie. Waarom nie?<br />
10<br />
...........................................................................................................................................<br />
Is dit moontlik om ʼn standaardvergelyking van die ellips, bv.<br />
x<br />
a<br />
2<br />
2<br />
y<br />
<br />
b<br />
2<br />
2<br />
1<br />
te herlei na die standaardvergelyking van ʼn sirkel?<br />
....................................................................................................................................................<br />
147
....................................................................................................................................................<br />
....................................................................................................................................................<br />
....................................................................................................................................................<br />
....................................................................................................................................................<br />
....................................................................................................................................................<br />
148<br />
Bestudeer nou Cohen pp. 659 tot 661, Stewart p. 759 en<br />
Addendum pp. 11 - 12 aandagtig vir die weerkaatsingseienskap.<br />
Volgens die refleksie-eienskappe van ellipse behoort lig wat vanuit een brandpunt van ʼn<br />
ellips uitgestraal word, weerkaats te word deur die ander brandpunt.<br />
Gee voorbeelde van waar hierdie eienskap van ellipse gebruik word.<br />
....................................................................................................................................................<br />
Verkry Internet toegang en voer die meegaande opdrag uit.<br />
Residensieel: Tydens kontaksessie<br />
SBO: Doen 'n soektog “whispering galleries” en lees meer oor hierdie<br />
toepassing.
Opdrag 15A:<br />
1. Oef. 12.3 (Addendum p. 12) no. 7<br />
2. Oef. 10.4 (Stewart) no. 2<br />
3. Oef 12.3 (Addendum p. 12) no. 11<br />
Leereenheid 10<br />
4. Vind vanuit eerste beginsels die lokus van ’n punt wat so in die plat vlak beweeg dat<br />
die som van die afstande na die punte A(4; 4) en B(-4; 2) 10 eenhede is.<br />
5. Oef. 10.4 (Stewart) no. 16<br />
6. Oef. 10.4 (Stewart) no. 39<br />
7.<br />
Opdrag 15B:<br />
7.1 Bereken die vergelyking van 'n parabool met die brandpunt in die punt (6; 2)<br />
en die riglyn x= 2.<br />
7.2 Stel die parabool in (7.1) grafies voor. Dui die toppunt, brandpunt en riglyn aan.<br />
1. Oef. 8.3 Cohen no. 14<br />
2. Oef. 8.3 Cohen no. 20<br />
3. Oef. 8.3 Cohen no. 22<br />
4. Oef. 8.3 Cohen no. 38<br />
5. Oef. 8.3 Cohen no. 50<br />
6. Oef. 8.3 Cohen no. 58 a en b m.b.v. GSP<br />
7. ʼn Satelliet is in ʼn elliptiese wentelbaan om die aarde. Dit word aangetoon in die<br />
onderstaande figuur.<br />
y<br />
Centre <strong>of</strong> Earth is at<br />
focus / middelpunt<br />
van die aarde is by 'n<br />
brandpunt<br />
Vanaf die middelpunt tot by die toppunt is 51 duisend myl. Vanaf die middelpunt tot by die<br />
x<br />
149
andpunt is 45 x 10 3 myl. Die middelpunt van die aarde is die brandpunt van die ellips.<br />
7.1 Bereken die koördinate van die middelpunt van die ellips.<br />
7.2 Bereken helfte van die lengte van die kort as. (b)<br />
7.3 Bereken die eksentrisiteit van die ellips.<br />
7.4 Gee die vergelyking van die ellips.<br />
7.5 Gebruik die vergelyking om die y-afsnitte van die ellips te bereken.<br />
7.6 Die satelliet is die naaste aan die aarde by ʼn toppunt van die ellips. Die radius van<br />
die aarde is omtrent 4000 myl. Bereken die naaste afstand wat die satelliet aan die<br />
aardoppervlakte kan wees.<br />
Opdrag 16A:<br />
1. Oef. 12.3 (Addendum p. 12) no. 3<br />
150<br />
Antwoorde/oplossings<br />
Gedeeltelik deur dosent nagesien. Volledige<br />
memorandums op eFundi vir selfkontrole van die res.<br />
2. Vind die vergelyking van die kegelsnede wat die volgende voorwaardes bevredig:<br />
Ellips: brandpunte (3; 1) en toppunte (3; 3).<br />
3. Oef. 12.3 (Addendum p. 12) no. 31<br />
4. Oef. 12.3 (Addendum p. 13) no. 46<br />
5. 'n Grafiek van die vergelyking 4x = x 2 – 1 + 2y moet geteken word.<br />
6. Oef. 8.3 Cohen no. 56<br />
a) Toon aan dat die grafiek 'n parabool is.<br />
b) Skets die grafiek van 4x = x 2 – 1 + 2y en dui alle<br />
kenmerkende eienskappe op die grafiek aan.
Opdrag16B:<br />
1. Stewart Oef. 10.4 no. 23<br />
2. Addendum p. 12 Oef. 12.3 no. 37<br />
3. Oef. 8.3 Cohen no. 56<br />
Leereenheid 10<br />
4. 'n Biljarttafel word gemaak in die vorm van 'n ellips met eksentrisiteit 0,9 en brandpunte<br />
(0; -81) en (0; 81), met x en y in sentimeter.<br />
Bereken die<br />
4.1 lengte vanaf die middelpunt tot by die toppunt<br />
4.2 die helfte van die lengte van die kortas (b)<br />
4.3 vergelyking wat die omtrek van die tafel beskryf<br />
4.4 Maak ʼn sketsgrafiek van die vergelyking in 4.3<br />
4.5 Bereken die oppervlakte van die tafelblad.<br />
5. 'n Ontwerper teken 'n reeks driehoeke met 'n basis vanaf (-3; 0) tot by (3; 0) en omtrek<br />
14 cm (alle afmetings is in cm). Bereken die vergelyking van die kurwe waarop al die<br />
derde hoekpunte sal voorkom.<br />
6. Die planeet Pluto beweeg om die son in 'n elliptiese wentelbaan, met die son as een<br />
van die brandpunte. Die naaste wat Pluto aan die son kom is 2,8 biljoen myl en die<br />
verste is 4,6 biljoen myl. Bereken die eksentrisiteit van Pluto se baan.<br />
Opdrag 17:<br />
Antwoorde/oplossings<br />
Gedeeltelik deur dosent nagesien. Volledige memorandums op eFundi vir<br />
selfkontrole van die res.<br />
1. Addendum p. 13 Oef. 12.3 no. 45 (Verduideliking: neem tenk as half-vol en<br />
bereken die volume – nie die vergelyking nie)<br />
2. Addendum p. 12 Oef. 12.3 no. 27<br />
151
3. 'n Fluisterkamer in 'n gebou het 'n plafon met dwars deursnede wat deel vorm van die<br />
ellips met vergelyking 36x 2 + 225y 2 = 8100 (afmetings in meters). Indien persoon A op<br />
die een brandpunt staan, hoe ver moet persoon B weg van persoon A staan om<br />
mekaar te hoor as hulle fluister?<br />
4. Twee katrolle van 'n<br />
wrywingsaandrywing<br />
samestelling is identiese<br />
ellipse soos aangetoon in die<br />
meegaande figuur. Hulle is<br />
altyd in kontak met die<br />
linkerkatrol in 'n vaste<br />
posisie, terwyl die<br />
regterkatrol horisontaal kan<br />
beweeg. Bereken die<br />
vergelykings wat die omtrek<br />
van elke katrol kan beskryf in<br />
die posisie soos aangetoon<br />
in die meegaande skets.<br />
5. Volgens die jongste<br />
navorsing blyk dit dat die<br />
planeet aarde in ʼn elliptiese<br />
(nie sirkelvormige) baan<br />
wentel met die son in een<br />
van die brandpunte. As die<br />
lengte van die ho<strong>of</strong>as van die<br />
ellips ongeveer 300 X 10 6 km<br />
is en die eksentrisiteit<br />
ongeveer 0,0167, bereken<br />
die<br />
152<br />
5.1 naaste afstand en die<br />
y<br />
6,0 cm<br />
8,0 cm<br />
5.2 verste afstand tussen die son en die aarde. (Wenk: werk met die son en aarde<br />
as punte d.w.s. die afstande word van hulle middelpunte bereken)<br />
5.3 Maak ʼn gemotiveerde gevolgtrekking oor die vorm van hierdie ellips.<br />
6. Die ingang na ʼn tonnel oor ʼn eenrigting pad is ʼn semi-ellips met hoogte 4 meter en<br />
wydte 12 meter.<br />
6.1 Skets die ingang van die tonnel op ʼn assestelsel met die middelpunt van die<br />
ellips in die oorsprong. Dui die eindpunte van die lang- en kort as duidelik aan.<br />
6.2 Skryf die vergelyking van die volledige ellips in standaardvorm.<br />
6.3 Sal ʼn vragmotor met wydte 4 meter en hoogte 3,5 meter deur die tonnel kan<br />
gaan? Verduidelik jou antwoord met die nodige berekeninge<br />
x
Antwoorde/oplossings<br />
Gedeeltelik deur dosent nagesien. Volledige memorandums op<br />
eFundi vir selfkontrole van die res.<br />
Refleksie:<br />
Vorige klastoetse op eFundi.<br />
Leereenheid 10<br />
Blaai nou terug na die leeruitkomste wat aan die begin van die leergedeelte gestel is. Het jy<br />
die nodige kennis en vaardighede verwerf wat gestel is?<br />
153
10.5 DIE HIPERBOOL: DEFINISIE,<br />
MEETKUNDIGE EIENSKAPPE, STANDAARD<br />
VERGELYKINGS, GRAFIEKE VAN<br />
HIPERBOLE<br />
Jy benodig ongeveer 4 uur om hierdie leergedeelte suksesvol te voltooi.<br />
UITKOMSTE:<br />
Na voltooiing van hierdie leergedeelte, behoort jy<br />
ʼn hiperbool te kan definieer;<br />
die meetkundige eienskappe van ʼn hiperbool te ken en te kan toepas in lewenswerklike<br />
probleme;<br />
die standaardvergelykings van die hiperbool te ken en te kan gebruik;<br />
hiperbole met transversale as ewewydig aan die x- <strong>of</strong> y-as te kan teken.<br />
154<br />
Studiemateriaal wat u gaan benodig<br />
Paragraaf 8.4 (pp. 667 – 673 tot voor voorbeeld 2) Cohen<br />
Paragraaf 10.3 (pp. 762 - 775) van Stewart.<br />
Addendum p. 20<br />
Voorbeelde van hiperbole in die lewe is: die skaduwee wat 'n silindriese lampskerm teen 'n<br />
muur gooi, die bane van komete wat ons sonnestelsel binnedring en dan vir altyd verlaat en<br />
die spieëls van teleskope.<br />
Bestudeer nou Cohen pp. 667 tot 668 aandagtig.
CD-ROM.<br />
Leereenheid 10<br />
SBO: Skakel CD aan en kliek op K. (Residensieel demonstrasie: Hyperbola.gsp in Hyperbola<br />
lêer Introducing Hyperbolas ECS p. 50)<br />
Konstruksie met sirkels:<br />
1. Bereken AF1 – AF2 ..............................<br />
2. Merk minstens 9 punte wat op die regterbeen van ʼn hiperbool lê wat deur A gaan.<br />
3. Verduidelik hoe het jy dit gevind het? ............................................................................<br />
........................................................................................................................................<br />
4. Skets die tak van die hiperbool.<br />
5. Vind weer 9 punte wat op die ander tak is van die hiperbool wat deur A gaan.<br />
6. Skets die ander tak van die hiperbool.<br />
7. Gebruik ʼn ander kleur pen en doen dieselfde om ʼn hiperbool te skets wat deur B<br />
gaan.<br />
F 1<br />
B<br />
<br />
A<br />
<br />
F 2<br />
155
156<br />
CD-ROM.<br />
SBO: Skakel CD aan en kliek op L. (Residensieel demonstrasie: Concentric Circles.gsp en<br />
Ripples.gsp in Hyperbola lêer ECS p. 53)<br />
Bestudeer nou Stewart pp. 762 tot 768 en Cohen pp. 668<br />
tot 673 aandagtig.<br />
Die definisie van ʼn hiperbool volg nou uit die konstruksie.<br />
Die definisie en meetkundige eienskappe van die hiperbool: ʼn Hiperbool is die versameling<br />
van al punte in die plat vlak waarvan die verskil in afstand tussen enige punt en twee vaste<br />
punte (die brandpunte) ʼn gegewe positiewe konstante is, wat kleiner is as die afstand tussen<br />
die brandpunte (kyk bogenoemde figuur).<br />
Ander terme wat belangrik is: die toegevoegde as (=conjugate axis), die transversale as,<br />
die middelpunt, toppunte en asimptote. Maak seker dat jy weet wat elkeen beteken.<br />
Wat is die meetkundige eienskappe van ʼn hiperbool? Bestudeer die illustrasies hieronder en<br />
die verwantskappe wat uit die sketse afgelei kan word:<br />
As c is die afstand vanaf ʼn brandpunt na die middelpunt is en a is die afstand vanaf ʼn<br />
toppunt na die middelpunt, en b is die afstand soos in Fig. 12.4.4 aangedui (en só<br />
gedefinieer), dan is:<br />
2 2<br />
c = a b <strong>of</strong> b =<br />
2 2<br />
c a .<br />
Uit Fig. 12.4.5 volg: As V een van die toppunte van ʼn hiperbool is, is die afstand vanaf V na<br />
die verste brandpunt (c - a) + 2a en vanaf V na die naaste brandpunt (c – a). Met ander<br />
woorde, die verskil in afstand is 2a. Dit beteken dus dat vir alle punte op die hiperbool, is die<br />
verskil in afstand na die verste en die naaste brandpunt 2a. (Kan jy dit aantoon?)<br />
Uit Fig. 12.4.4. kan die vergelykings van die asimptote afgelei word.
Kan jy die standaardvergelykings van die hiperbool aflei?<br />
Leereenheid 10<br />
Die standaardvergelykings van die hiperbool word afgelei met die hiperbool in die<br />
standaardposisies (met die middelpunt in die oorsprong en die transversale as op die x-as <strong>of</strong><br />
y-as) (figure p.763, Stewart.)<br />
Die meetkundige eienskappe van die hiperbool kan nou gebruik word om die volgende twee<br />
standaard vergelykings af te lei:<br />
x<br />
a<br />
y<br />
a<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
y<br />
1 (transversale as op die x-as)<br />
2<br />
b<br />
2<br />
x<br />
2<br />
b<br />
1 (transversale as op die y-as)<br />
Hoe word die grafieke van hiperbole geteken?<br />
Nadat die koördinate van die toppunte van die hiperbool bereken is, kan die asimptote maklik<br />
uitgewerk word, want die gradiënte van die asimptote kan maklik afgelees word.<br />
Wenk: Bereken vergelykings van simmetrie-asse deur die term wat x bevat gelyk te<br />
stel aan die term wat y bevat en te vereenvoudig.<br />
Bestudeer nou Addendum p. 20 en<br />
Stewart p. 676 aandagtig om die weerkaatsingseienskap<br />
van hiperbole te verstaan.<br />
Maak ʼn skets om te verduidelik hoe die refleksie-eienskap van hiperbole gebruik word in<br />
navigasie (ʼn lewenswerklike probleem) en reflektors.<br />
157
Opdrag 18A:<br />
158<br />
Verkry Internet toegang en bestudeer die voorbeelde oor die lewenswerklike<br />
gebruik van kegelsnedes.<br />
Hierdie inligting is ook op die NWU se webtuiste gereserveer. Kliek op:<br />
nwu.ac.za – eFundi – <strong>MATE</strong> <strong>211</strong> – Webcontent – <strong>MATE</strong> <strong>211</strong>-<br />
http://britton.disted.camosun.bc.ca/jbconics.htm<br />
1. Oef. 10.3 (Stewart) no. 6<br />
2. Oef. 8.4 (Cohen) no. 10<br />
3. Oef. 8.4 (Cohen) no. 7<br />
4. Oef. 10.3 (Stewart) no. 31<br />
5. Oef. 10.3 (Stewart) no. 44<br />
6. Bereken die toppunte, brandpunte en asimptote en skets die grafiek van die volgende<br />
hiperbool: 9y 2 –x 2 = 9.<br />
7. ʼn Punt P(x; y) bestaan só dat die som van die afstande vanaf P na die punte (2; 4) en<br />
(2; -2) gelyk is aan 8.<br />
7.1 Bereken die vergelyking van die lokus van die punt P vanuit eerste beginsels.<br />
(Geen kortpad-metode: gebruik dit in jou r<strong>of</strong>werk om te toets)<br />
7.2 Stel die vergelyking as ʼn kromme voor nadat alle gegewens bereken is.<br />
8. Opsioneel:<br />
8.1 Bereken die vergelyking van ʼn parabool met simmetrie-as parallel aan die x-as<br />
en wat deur die punte (-2; 1), (1; 2) en (-1; 3) gaan.<br />
8.2 Stel die parabool grafies voor nadat die brandpunt, riglyn en toppunt bereken is.<br />
[Daar is twee metodes; een ʼn bietjie beter as die ander een]<br />
Opdrag 18B:<br />
1. Oef. 8.4 Cohen no. 4<br />
2. Oef. 10.3 Stewart no. 28<br />
3. Oef. 8.4 Cohen no. 30<br />
4. Oef. 10.3 Stewart no. 16<br />
5. Addendum p. 21 Oef. 12.4 no. 17<br />
6. Oef. 8.4 Cohen no. 38
7. Oef. 10.3 Stewart 44<br />
(Wenk: helling en inklinasiehoek)<br />
8. Oef. 10.3 Stewart 45<br />
Antwoorde/oplossings<br />
Leereenheid 10<br />
Gedeeltelik deur dosent nagesien. Volledige memorandums op eFundi vir<br />
selfkontrole van die res.<br />
Refleksie:<br />
Vorige klastoetse op eFundi<br />
Blaai nou terug na die leeruitkomste wat aan die begin van die leergedeelte gestel is. Het jy<br />
die nodige kennis en vaardighede verwerf wat gestel is?<br />
159
10.6 HIPERBOLE: TRANSLASIES VAN ASSE;<br />
TOEPASSINGS<br />
Jy benodig ongeveer 8 uur om hierdie leergedeelte suksesvol te voltooi.<br />
UITKOMSTE:<br />
Na voltooiing van hierdie leergedeelte, behoort jy<br />
te kan bepaal wat die vergelyking van hiperbole is waarvan die middelpunt nie in die<br />
oorsprong is nie;<br />
ʼn hiperbool te kan teken deur sy eksentrisiteit te gebruik;<br />
werklikheidsgetroue probleme op te kan los deur die eienskappe van hiperbole te<br />
gebruik;<br />
te weet wat is die effek van translasie op die standaardvergelykings van die hiperbool.<br />
Cohen pp. 673 - 678<br />
160<br />
Studiemateriaal benodig:<br />
Addendum pp. 18 – 19 Paragraaf 12.4<br />
Stewart pp. 778 - 780<br />
Hoe kan ons die vergelyking van ʼn hiperbool waarvan die middelpunt nie in die oorsprong is<br />
nie, bepaal?<br />
Bestudeer nou Stewart se afdeling “Shifted Hyperbolas” op pp. 778 tot<br />
780;<br />
Cohen voorbeeld 2 p. 673 tot 674 en<br />
Addendum pp. 18 – 19 oor “Translated Hyperbolas” aandagtig.<br />
Die afleidings is soortgelyk aan dié wat ons vir die parabole en ellipse gedoen het. Die<br />
vergelykings van die translasies van die hiperbole is dan die volgende: (Maak seker jy kan dit<br />
doen!)
2<br />
( x h)<br />
( y k)<br />
2<br />
2<br />
a b<br />
2<br />
1<br />
(hiperbool met middelpunt (h, k) en transversale as ewewydig met die x-as)<br />
2<br />
( y k)<br />
( x h)<br />
2<br />
2<br />
a b<br />
2<br />
1<br />
(hiperbool met middelpunt (h, k) en transversale as ewewydig met die y-as)<br />
Leereenheid 10<br />
Wees baie versigtig met die asimptote: Moenie ʼn formule probeer onthou nie. Stel die term<br />
wat x bevat gelyk aan die term wat y bevat en elimineer y.<br />
Opdrag 19A:<br />
1. Addendum p. 21 Oef. 12.4 no. 9<br />
2. Addendum p. 21 Oef. 12.4 no. 15<br />
3. Addendum p. 21 Oef. 12.4 no. 33<br />
4. Addendum p. 21 Oef. 12.4 no. 39<br />
5. Oef. 10.4 (Stewart) no. 9<br />
6. Oef. 10.4 (Stewart) no. 12<br />
7. Die koeltoring van ’n kragstasie is ’n liggaam wat as ’n hiperboloïede bekend staan.<br />
Van bo en onder is die deursnit van die toring ’n sirkel, maar van die kant gesien is dit<br />
’n sentrale hiperbool. Die koeltoring het ’n hoogte van 40 m en P (12; 18) lê op een<br />
van die asimptote. Verder geld ook PB OB .<br />
20<br />
O<br />
y (meter)<br />
r<br />
R<br />
P<br />
B<br />
x (meter)<br />
H<br />
161
162<br />
7.1 Bepaal die vergelyking van die hiperbool.<br />
7.2 Bereken die dwars-deursnede van die grootste sirkel 40 m bokant die grond.<br />
7.3 Bereken die definisieversameling van die hiperboloïede.<br />
7.4 Bereken die koördinate van die brandpunte.<br />
7.5 Gee die vergelyking van die hiperbool indien die asse so vertikaal getransleer<br />
word dat die x -as op die grond is.<br />
Opdrag 19B:<br />
1. Oef. 8.4 Cohen no. 12<br />
2. Oef. 8.4 Cohen no. 16<br />
3. Oef. 8.4 Cohen no. 32<br />
4. Oef. 8.4 Cohen no. 34<br />
5. Oef. 8.4 Cohen no. 36<br />
6.<br />
50 m<br />
O<br />
45 m r H<br />
y<br />
40 m<br />
y<br />
q<br />
R<br />
6.1 Die koeltoring van ’n kragstasie is ’n liggaam wat as ’n hiperboloïede bekend<br />
staan. Van bo en onder is die deursnit van die toring ’n sirkel, maar van die kant<br />
gesien is dit ’n sentrale hiperbool. Dit het ’n hoogte van 60m en die kleinste<br />
radius is r , en die vergelyking van die hiperbool wat die sy-aansig van die toring<br />
2 2<br />
x y<br />
beskryf, is 1:<br />
144 900<br />
6.2 Skryf die waarde van r neer.<br />
x<br />
x
Leereenheid 10<br />
6.3 Bepaal q, die radius van die sirkelvormige dwarsdeursnit op ’n hoogte van 45 m<br />
bo die grond.<br />
6.4 Watter kegelsnit sou beskryf word deur die vergelyking<br />
2 2<br />
x y<br />
1?<br />
144 900<br />
6.5 Beskou nou punt O op die skets, die hoekpunt van die terrein waarop die<br />
koeltoring staan, as die oorsprong van ʼn ander Cartesiese assestelsel en skryf<br />
die vergelyking van R, die sirkelvormige basis van die toring, neer. Neem aan<br />
dat die radius van die sirkel R presies 288 m is.<br />
Opdrag 20:<br />
1. Addendum p. 21 Oef. 12.4 no. 49<br />
2. Addendum p. 21 Oef. 12.4 no. 41<br />
3. Bepaal die vergelyking van die hiperbool met brandpunte (4; 12) en (4; -8); toppunte 6<br />
eenhede van mekaar.<br />
4. Bereken die koördinate van alle punte op die hiperbool y 2 - 4x 2 = 1 waar die twee lyne<br />
wat deur sodanige punte en die brandpunte gaan, loodreg op mekaar is. (Dit beteken<br />
dat die invalshoek van lig in ʼn teleskoop wat gebruik maak van ligweerkaatsing<br />
eienskappe van ʼn hiperbool, 45 is)<br />
5. 'n Ligstraal wat gerig is op die<br />
brandpunt (F) van 'n hiperboliese<br />
spieël word weerkaats deur die<br />
ander brandpunt. As OA = 2,8 cm<br />
en OF = 3,5 cm, bereken die<br />
vergelyking wat die hiperboliese<br />
spieël voorstel A<br />
O<br />
F F x<br />
y<br />
163
6. Beskou hierdie syaansig van 'n<br />
koeltoring met hoogte 50 meter. Die<br />
kleinste radius is 12 meter is en die<br />
grootste radius 20 meter. Die<br />
brandpunt is (c; 25). Die koeltoring<br />
se sye vorm deel van 'n hiperbool.<br />
164<br />
6.1 Skryf die algemene vorm van<br />
die vergelyking neer waarmee<br />
hierdie toring beskryf kan<br />
word.<br />
6.2 Gee die waarde van a.<br />
6.3 Wat is die koördinate van die<br />
middelpunt?<br />
6.4 Bereken b (moenie afrond nie)<br />
y<br />
50<br />
40<br />
30<br />
20<br />
10<br />
(c; 25)<br />
<br />
-40 -20 20 40 x<br />
6.5 Gee nou die vergelyking van die hiperbool wat hierdie koeltoring beskryf.<br />
Antwoorde/oplossings<br />
Gedeeltelik deur dosent nagesien. Volledige memorandums op eFundi vir<br />
selfkontrole van die res.<br />
C<br />
D<br />
Refleksie:<br />
Vorige klastoetse op eFundi<br />
Blaai nou terug na die leeruitkomste wat aan die begin van die leergedeelte gestel is. Het jy<br />
die nodige kennis en vaardighede verwerf wat gestel is?<br />
B<br />
A
10.7 ROTASIE VAN ASSE<br />
Jy benodig ongeveer 4 uur om hierdie leergedeelte suksesvol te voltooi.<br />
UITKOMSTE:<br />
Na voltooiing van hierdie leergedeelte, behoort jy<br />
Leereenheid 10<br />
die kwadratiese vergelyking in x en y, naamlik Ax 2 + Bxy + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0, te<br />
kan identifiseer as die vergelyking van ʼn geroteerde ellips, parabool <strong>of</strong> hiperbool.<br />
Studiemateriaal benodig:<br />
Addendum Paragraaf 12.5 (pp. 22 - 27)<br />
Cohen pp. 674 - 675<br />
Hoe word die rotasie van die asse gedoen? Jy hoef nie die rotasie vergelykings te gebruik <strong>of</strong><br />
te ken nie, maar wel vergelykings van geroteerde kegelsnedes kan bepaal vanuit eerste<br />
beginsels (deur die afstandsformule te gebruik).Probeer eers self die vergelyking vind<br />
voordat jy na die oplossing kyk.<br />
Bestudeer nou Addendum p. 22, 26 (vanaf “The<br />
Discriminant”) en Example 5 op p. 27 en<br />
Cohen p. 674 (vanaf Example 3) tot helfte van p. 675<br />
aandagtig.<br />
165
Voorbeeld 1: Vind die vergelyking van die<br />
lokus van ʼn punt wat so beweeg dat die som<br />
van die afstande vanaf die punt na punte<br />
A(4, 4) en B(-4, -2) 12 is.<br />
Oplossing: Laat P(x, y) enige punt op die lokus wees.<br />
Omdat AP + BP = 12, is<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
x x y y x x y y 12<br />
A<br />
166<br />
P<br />
A P<br />
B P<br />
B P<br />
2 2 2<br />
2<br />
+ ( x 4 ) ( y 2)<br />
= 12<br />
( x 4) ( y 4)<br />
<br />
2 2<br />
( x 4) ( y 4)<br />
+ ( x 4) ( y 2)<br />
kry ons<br />
2 2 = 12, deur te kwadreer en te vereenvoudig,<br />
....................................................................................................................................................<br />
....................................................................................................................................................<br />
....................................................................................................................................................<br />
4x + 3y + 33 = 6 ( x 4) ( y 2)<br />
2 2 , en uiteindelik<br />
20x 2 - 24xy + 27y 2 + 24x - 54y - 369 = 0<br />
en dit is die vergelyking van ʼn ellips (hierdie ellips se lang-as lê nie ewewydig met die x- <strong>of</strong> yas<br />
nie, maar is geroteer).<br />
Bogenoemde vergelyking van ʼn ellips is van die vorm: Ax 2 + Bxy + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0.<br />
Opmerking: B 2 – 4AC = (-24) 2 – 4(20)(27)<br />
= -1584<br />
< 0
Leereenheid 10<br />
167<br />
Voorbeeld 2: Bereken die vergelyking van ʼn hiperbool wat gevorm word deur die lokus van<br />
ʼn punt wat só beweeg dat die verskil in afstande na (4,-3) en (-2,5) gelyk is aan 6.<br />
Oplossing:<br />
]<br />
F<br />
Ey<br />
Dx<br />
Cy<br />
Bxy<br />
Ax<br />
[<br />
:<br />
voorstel<br />
kegelsnede<br />
n<br />
'<br />
g<br />
vergelykin<br />
raadse<br />
deg<br />
twee<br />
ende<br />
lg<br />
vo<br />
die<br />
dat<br />
beteken<br />
Dit<br />
y<br />
x<br />
y<br />
xy<br />
x<br />
y<br />
x<br />
xy<br />
y<br />
y<br />
y<br />
x<br />
x<br />
y<br />
x<br />
y<br />
y<br />
xy<br />
x<br />
xy<br />
x<br />
]<br />
)<br />
y<br />
(<br />
)<br />
x<br />
[(<br />
)<br />
y<br />
x<br />
(<br />
)<br />
y<br />
(<br />
)<br />
x<br />
(<br />
y<br />
x<br />
)<br />
y<br />
(<br />
)<br />
x<br />
(<br />
y<br />
y<br />
x<br />
x<br />
y<br />
y<br />
x<br />
x<br />
)<br />
y<br />
(<br />
)<br />
x<br />
(<br />
)<br />
y<br />
(<br />
)<br />
x<br />
(<br />
)<br />
y<br />
(<br />
)<br />
x<br />
(<br />
)<br />
y<br />
(<br />
)<br />
x<br />
(<br />
)<br />
y<br />
(<br />
)<br />
x<br />
(<br />
)<br />
y<br />
(<br />
)<br />
x<br />
(<br />
)<br />
y<br />
(<br />
)<br />
x<br />
(<br />
0<br />
0<br />
3440<br />
160<br />
384<br />
112<br />
384<br />
0<br />
0<br />
3440<br />
160<br />
384<br />
384<br />
112<br />
1296<br />
864<br />
144<br />
2304<br />
1152<br />
144<br />
1024<br />
512<br />
384<br />
512<br />
256<br />
192<br />
384<br />
192<br />
144<br />
3<br />
4<br />
144<br />
32<br />
16<br />
12<br />
3<br />
4<br />
12<br />
32<br />
16<br />
12<br />
3<br />
4<br />
12<br />
9<br />
6<br />
16<br />
8<br />
36<br />
25<br />
10<br />
4<br />
4<br />
3<br />
4<br />
3<br />
4<br />
12<br />
36<br />
5<br />
2<br />
3<br />
4<br />
6<br />
5<br />
2<br />
6<br />
3<br />
4<br />
5<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2
Dit is nie nodig om die sketse van kegelsnedes te teken (soos in voorbeelde 1 en 2) om die<br />
kegelsnede te identifiseer nie.<br />
Die diskriminant B 2 – 4AC se waarde kan gebruik word vir hierdie doel.<br />
Uit voorbeeld 1: B 2 – 4AC = (-24) 2 – 4.20.27<br />
168<br />
= -1584<br />
< 0 (ellips)<br />
Uit voorbeeld 2: B 2 – 4AC = (-384) 2 – 4.0.112<br />
= 147456<br />
> 0 (hiperbool)<br />
Stelling 12.5.2 gee riglyne vir die identifisering van kegelsnedes met behulp van die<br />
diskriminant van die tweedegraadse vergelyking Ax 2 + Bxy + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0.<br />
Som dit hier volledig op:<br />
Voorbeeld 3:<br />
Bereken die diskriminant en klassifiseer die volgende kegelsnede:<br />
2<br />
2<br />
4x<br />
32xy<br />
y 2y<br />
63 0<br />
Oplossing:<br />
2<br />
B 4AC<br />
<br />
2 32<br />
44<br />
1<br />
1040<br />
0<br />
Die vergelyking verteenwoordig ’n hiperbool <strong>of</strong> twee lyne wat kruis.
Voorbeeld 4:<br />
Klassifiseer die volgende gedegenereerde kegelsnede:<br />
2 2<br />
9x<br />
8y<br />
15x<br />
18y<br />
27 0 .<br />
Oplossing:<br />
2<br />
B 4AC<br />
<br />
2 0 498<br />
<br />
288<br />
0<br />
Leereenheid 10<br />
Die vergelyking verteenwoordig nie ’n ellips nie, maar wel ’n sirkel, punt <strong>of</strong> geen grafiek.<br />
9x<br />
2<br />
<br />
9<br />
x<br />
<br />
<br />
9<br />
x<br />
<br />
<br />
8y<br />
2<br />
2<br />
5 <br />
9<br />
x <br />
6 <br />
2<br />
15x<br />
18y<br />
27 0<br />
15 <br />
x<br />
8<br />
y<br />
9 <br />
2<br />
2<br />
9 <br />
8<br />
y <br />
8 <br />
18 <br />
y<br />
27<br />
8 <br />
2<br />
2<br />
5 5 9 9 25 81<br />
8<br />
2 <br />
x y y 27 9<br />
8<br />
<br />
3 6 <br />
<br />
4 8 <br />
36 64 <br />
2<br />
2<br />
5<br />
10<br />
8<br />
2<br />
5 9 <br />
Maar 9<br />
x 8<br />
y 0 as gevolg van die kwadrate<br />
6 8 <br />
Dus verteenwoordig die oorspronklike vergelyking geen grafiek.<br />
Opdrag 21A:<br />
1. Addendum p. 28 Oef. 12.5 no. 23<br />
2. Addendum p. 28 Oef. 12.5 no. 25<br />
3. Addendum p. 28 Oef. 12.5 no. 27<br />
4. Addendum p. 28 Oef. 12.5 no. 28<br />
5. Gebruik kwadraatsvoltooiing om die volgende gedegenereerde kegelsnede te<br />
identifiseer:<br />
2 2<br />
x 2xy y <br />
0<br />
169
1<br />
6. Gebruik die diskriminant om aan te toon dat die rasionale funksie y x 1<br />
’n<br />
x 1<br />
geroteerde hiperbool voorstel. Kontroleer u vermoede met The Geometer’s Sketchpad.<br />
7. Addendum p. 21 Oef. 12.4 no. 31 (gebruik die definisie)<br />
Opdrag 21B:<br />
1. Bereken die diskriminant en klassifiseer die volgende kegelsnedes:<br />
170<br />
1.1<br />
2 2<br />
x xy y 2 0<br />
2<br />
2<br />
1.2. 5x<br />
4xy<br />
2y<br />
18<br />
1.3.<br />
2 2<br />
x xy y x y<br />
6 9 2 14 10 0<br />
2. Addendum p. 28 Oef. 12.5 no. 28<br />
3. Gebruik kwadraatsvoltooiing om die volgende gedegenereerde kegelsnede te<br />
2<br />
identifiseer: 4x<br />
2<br />
y 8x<br />
2y<br />
6 0<br />
4. Bereken die middelpunt van die hiperbool<br />
2 2<br />
2x y 4x 4y 4 0<br />
.<br />
x 3<br />
5. Gebruik die diskriminant om aan te toon dat die rasionale funksie y ’n<br />
x 1<br />
geroteerde hiperbool voorstel. Kontroleer u vermoede met The Geometer’s<br />
Sketchpad.<br />
6. Addendum p. 21 Oef. 12.4 no. 32 (gebruik die definisie)<br />
Antwoorde/oplossings<br />
Gedeeltelik deur dosent nagesien. Volledige<br />
memorandums op eFundi vir selfkontrole van die res.<br />
Refleksie:<br />
Vorige klastoetse op eFundi
Leereenheid 10<br />
Blaai nou terug na die leeruitkomste wat aan die begin van die leergedeelte gestel is. Het jy<br />
die nodige kennis en vaardighede verwerf wat gestel is?<br />
Jy benodig verdere 6 uur vir jou finale voorbereiding vir die eksamen.<br />
Ek hoop jy het die module geniet en dat die vergelykings tussen meetkunde en trigonometrie<br />
op die plat vlak en op die sfeer jou in staat sal stel om self op 'n hoër Van Hiele vlak te<br />
redeneer en op skoolvlak meetkunde met groter insig en selfvertroue te kan fasiliteer. Help<br />
om hierdie afdeling van Wiskunde ʼn “cool” afdeling te maak! Beste wense vir die eksamen<br />
171
172