1 GRAAD 11 WISKUNDE VRAESTEL 3 MEETKUNDE ... - AdMaths

GRAAD 11 WISKUNDE VRAESTEL 3 MEETKUNDE
LES 2
2.1 EWEREDIGHEID
Die volgende stelling se bewys moet geken word vir eksamendoeleindes
Stelling 1 : ‘n Lyn ewewydig aan een sy van ‘n driehoek, verdeel die ander
twee sye in eweredige dele.
Gegee : Enige ∆ ABC met DE BC , D op AB ( of sy verlengde ) en E op AC
Gevra :
A
D E
B C
( of sy verlengde ).
Bewys dat
AD
=
DB
Konstr. : Trek DC en EB.
AE
EC
A
B C
D E
E
A
D
B C
1

Bewys :
∆ADE
∆DBE
=
1
AD × loodregte hoogte
2
[ dieselfde hoogtepunt E ]
1
DB × loodregte hoogte
2
AD
=
DB
∆ADE
∆ECD
=
1
AE × loodregte hoogte
2
[ dieselfde hoogtepunt D ]
1
EC × loodregte hoogte
2
AE
=
EC
maar ∆ DBE = ∆ECD
in oppervlakte [ op dieselfde basis DE en
tussen dieselfde
ewewydiges DE en BC ]
Dus
∴
Afleiding : As
Dus
∆ADE
=
∆DBE
AD
=
DB
∆ADE
∆ECD
AE
EC
AD AE AD AE
= , sal + 1 = + 1
DB EC DB EC
AD AE
= of
AB AC
AB
=
AD
AC
AE
Stelling 2 ( Die omgekeerde van Stelling 1 ) :
As ‘n lyn twee sye van ‘n driehoek eweredig verdeel, sal daardie lyn
ewewydig wees aan die derde sy.
As
A
D E
B C
AD AE
= , dan is DE BC .
DB EC
A
B C
D E
E
A
D
B C
2

GRAAD 11 WISKUNDE VRAESTEL 3 MEETKUNDE
2.2 VOORBEELDE
Voorbeeld 1
AB DE.
Bereken die waarde van x in die
figuur.
( Eenhede is in mm )
Oplossing :
x 65
= ( AB ED )
30 25
∴ 25x = 65 × 30
x = 78 mm
Voorbeeld 2
BDEF is ‘n parallelogram.
Bereken die verhouding x : y
( Alle eenhede is in mm )
Oplossing :
In ∆ ACB is FE BA .
[ BDEF is || m ]
Dus
140
FB
=
110
165
=
2
3
3×
140
∴ FB = = 210 mm = x
2
In ∆ BAC is DE BC .
[ BDEF is || m ]
Dus
y
120
=
165
110
3
2
3×
120
∴ y = = 180 mm
2
∴ x : y =
x
y
=
=
210
180
=
7
6
B
120
B
D
A
30
y
25
D
A
x
E
x
65
165
F
E
140
C
110
C
3

2.3.
1.
Voorbeeld 3
ABCD is ‘n parallelogram. BC is
verleng na H, en DC na E.
Bewys dat EH BD .
Oplossing :
In ∆ ABF is CE AB . [ DC AB ,
ABCD is || m ]
Dus
FE FC
= ……………….(1)
EB CA
In ∆ ADF is CH AD . [ BC AD ]
Dus
FC FH
= ……………….(2)
CA HD
Uit (1) en (2) volg nou dat
FE
=
EB
∴ EH BD
FH
HD
OEFENING 2
Bereken x. Toon alle bewerkings.
a) b) c)
4
3
d) e) f)
10 mm
x mm
5
30 mm
50 mm
x
x cm
13 cm
x
B
3
5
5,5 cm
A
4
12,1 cm
E
C
4,74 cm
5 cm
x cm
D
H
F
3 cm
2,54 cm
4
x cm
4 cm
3,81 cm

GRAAD 11 WISKUNDE VRAESTEL 3 MEETKUNDE
2 AB YX en AC MN
3
AM = 15 cm, AY = 20 cm, YC = 32 cm,
BX = 15 cm en CN = 22,5 cm.
2.1
Bereken XC.
2.2 Bereken XN.
2.3 Bereken BM.
2.4 Is MY BC ?
PR BC en BP = 16 cm, BQ = 12,8 cm,
QA = 10 cm en RC = 20 cm.
3.1 Bereken QC.
3.2 Bereken AC.
3.3 Is BA PC ? Gee ‘n rede vir jou
antwoord.
Copyright Mr V Page 5 12/07/2010
B
M
B
15
15
A
X
20
Y
N
32
22,5
P R
16 20
12,8
Q
10
A
C
5
C