EDUCATIONAL MANAGEMENT TASKS - Index of

ELEKTROMAGNETIKA III
STUDIEGIDS VIR
EERI 313 PAC
*EERI313PAC*
FAKULTEIT INGENIEURSWESE

Studiegids saamgestel deur:
S.R. HOLM
Taalsorg nn.
Hantering van drukwerk en verspreiding deur Departement Logistiek (Verspreidingsentrum).
Gedruk deur Nashua Digidoc Centre 018 299 2827
Kopiereg © 2012-uitgawe. Hersieningsdatum 2012.
Noordwes-Universiteit, Potchefstroomkampus.
Geen gedeelte van hierdie boek mag in enige vorm of op enige manier sonder
skriftelike toestemming van die publiseerders weergegee word nie.
ii

INHOUDSOPGAWE
Welkom by Elektromagnetika III . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iv
Kontakbesonderhede . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iv
Aksiewoorde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iv
Module information form . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vi
Waarskuwing teen plagiaat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . viii
Ikoonlys . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ix
Oorsig van die module . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ix
’n Induktiewe benadering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ix
Elektromagnetika gaan oor energie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . x
1 Numeriese tegnieke in Elektromagnetika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
Induktiewe voorbeeld 1: ’n Permanente magneet sinchroonmasjien (PMSM) in twee
dimensies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
Ander numeriese tegnieke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2 Energievervoer: Geleiding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
Induktiewe voorbeeld 2: ’n Baan op ’n gedrukte stroombaanbord . . . . . . . . . . . 11
3 Energievervoer: Straling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
Induktiewe voorbeeld 3: WiFi TM antennas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
4 Energieberging: E: Kapasitansie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
Induktiewe voorbeeld 4: Superkapasitore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
5 Energieberging: H: Induktansie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
Induktiewe voorbeeld 5: SMES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
6 Energie-omsetting: Elektries ⇒ hitte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
Induktiewe voorbeeld 6: Induksieverhitting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
7 Energie-omsetting: Elektries ⇔ meganies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
Induktiewe voorbeeld 7: Solenoïdale deurslot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
iii

WELKOM BY ELEKTROMAGNETIKA III
In hierdie module gaan ons praktiese toepassings vind van die elektromagnetisme van jy tot dusver in
Fisika bestudeer het. In die beskouing van elektromangetisme uit die natuurwetenskappe-oogpunt, het
die klem geval op ’n baie deeglike studie van die wiskundige beskrywing van die elektromagnetiese velde
en verskynsels. Dit het met ’n baie beperkte beskouing van die praktiese toepassings van hierdie velde
gepaardgegaan. As ons hierdie selfde elektromagnetiese velde vanuit ’n ingenieursoogpunt beskou, vra
ons onsself altyd die vraag af: “Wat kan ons doen met hierdie velde?” Hierdie module neem hierdie
ingenieursbenadering.
KONTAKBESONDERHEDE
Die dosent se kontakbesonderhede is as volg:
Doesnt: Prof SR Holm
Konsultasie ure: Maak asseblief ’n afspraak per epos
Kantoor: Kamer 214
Telefoon: 018 299 1976
Epos: robert.holm@nwu.ac.za
Die praktiese gedeelte van die module sal deur nagraadse studente behartig word. Hul kontakbesonderhede
sal in die klas gegee word en op eFundi gepubliseer word.
AKSIEWOORDE
Analiseer Die inhoud word in kleiner dele (komponente of elemete) verdeel. Hierdie proses word
vootgesit deur verdere verdeling van die resulterende gedeeltes, komponente of elemente in nóg
kleiner eenhede. Die proses word voortgesit tot ’n diepte wat lei tot ’n voldoende vlak van die
doel van die proses: begrip. Hierdie begrip is gewoonlik verpak in ’n model. (Die analiseproses
kan verstaan word as ’n “uitmekaartrek”-proses.)
Ontwerp Verskeie gedeeltes, komponente of elemente word geïntegreer om ’n logiese eenheid te
vorm wat ten minste een goed-gedefinieerde doel vervul. Hierdie doel word deur ’n lys spesifikasies
beskryf. Die ontwerpsproses vereis ook, addisioneel tot integrasie, die aanpassing
van die gedeeltes, komponente of elemente in terme van grootte, konstruksie, materiale, ens.
(Die ontwerpsproses kan verstaan word as die omgekeerde van die analiseproses, d.w.s. ’n
“aanmekaarsit”-proses.)
Beskryf Informasie word aangebied op ’n logiese, goed-gestruktureerde wyse. Die aanbieding van die
feite moet bewys lewer van ’n diep begrip van die materiaal, maar eie opinies moenie aangebied
word nie.
Bespreek Om iets te bespreek behels die kritiese evaluasie daarvan, d.w.s. die formulering van ’n eie
opinie word hier vereis.
iv

Bewys ’n Bewys is ’n gestruktureerde aanbieding van ’n argument van lei tot die gevolgtrekking dat
die feit wat bewys word, waar is.
Lei af Die aflei van ’n resultaat behels ’n aantal algebraïese stappe om by een of meer geslote-vorm
analitiese vergelykings uit te kom. Die beginpunt van die afleiding kan ’n ander stel vergelykings
wees wat hul oorsprong in die relevante teorie het, of ’n wiskundige model, of ’n struktuur/verskynsel
wat analiseer word, of ’n kombinasie van bostaande.
Bereken Numeriese waardes word invervang in een of meer vergelykings om ’n numeriese antwoord tot
gevolg te hê. Die oorsprong van die vergelykings kan wees: analise, afleiding of deur die relevante
teorie in herinnering te bring. Die stappe van berekening is belangrik; dit is nie voldoende om
slegs die finale antwoord aan te bied nie.
Evalueer Die inhoud word geasseseer aan die hand van sekere kriteria (wat óf gegee kan word óf self
gedefinieer kan word).
Vergelyk Twee strukture, ontwerpe, ens. word teenoor mekaar opgeweeg en hul verskille en ooreenkomste
bespreek. Vergelyking gaan verder as blote definisie van die twee entiteite.
v

MODULE INFORMATION FORM
vi
MODULE INFORMATION FORM
Module code: EERI 313 Prerequisites: FSK 211
Electricity en Magnetism
Module name: Electromagnetics III
Module credits: 16
CESM: 080901
Co-requirements: none
Module objectives: The module approaches electromagnetics from an engineering application point
of view. Classic topics of engineering electromagnetics are introduced from an inductive perspective:
an application is presented first, then the relevant theory is treated. Seven applications correspond
to the seven study units. The module aims to equip the student in techniques for practical problem
solving in engineering electromagnetics.
Module outcomes: After completion of this
module the student is able to:
• analyse en design simple transmission lines;
• analyse en design elementary antennas en
simple antenna arrays;
• analyse capacitive structures en design en
construct simple capacitors;
• analyse inductive structures en design en
construct real-life inductors, including
coupled inductors;
• calculate electromagnetic losses in
conductors, dielectrics en magnetic
materials;
• analyse, design en construct real-life
electromechanical energy-conversion
structures;
• set up electromagnetic problems for solution
in numerical computer packages.
Assessment criteria: The analysis en design of
transmission lines, antennas, capacitors, inductors
and electromechanical energy-conversion structures
will be on an advanced undergraduate level; i.e.,
not too simplified, but also not exit level. The constructed
designs will be usable and practical since
the emphasis of the module is on practical application
of electromagnetic theory.
Assessment methods en weights:
exams: 50%;
practicals: 15% pass sub minimum;
semester tests: 35%

ECSA Exit Level Outcomes: This module contributes towards the development — demonstrates
the students achievement of the following ECSA ELOs:
ELO 2: Application of scientific en engineering knowledge
Detailed content: The approach of the module is the manipulation of energy electromagnetically.
Three different actions are performed on energy: (1) transport, (2) storage en (3) conversion. Each
of these three actions are divided into two application groups: (1)(a) transport: conducted/guided
(transmission lines) (1)(b) transport: radiated (antennas); (2)(a) storage: electric field (capacitive)
en (2)(b) storage: magnetic field (inductive); (3)(a) conversion: unidirectional: electrical to heat
en (3)(b) conversion: bidirectional: electrical to mechanical. Several applications from these groups
are studied to develop a deep understanding of electromagnetics in engineering practice. A strong
emphasis is placed on solving the problems by means of numerical computer packages.
Knowledge areas:
Mathematics Basic sciences Engineering Design en syn- Computers en Complementary
sciences thesis IT
studies
0 3 10 3 0 0
Prescribed textbook: W.H. Hayt, Jr., en J.A. Buck, Engineering Electromagnetics, 7th edition,
McGraw-Hill, New-York, 2006, ISBN: 007-124449-2.
Module administration Prof SR Holm
Weeks per semester 14
Duration of lecture period 50min = 0.83 h
Number of lectures per week 4
Number of tutorials per week 2
Hours of practicals per semester 12
Other contact time per semester (h) 0
Other non-contact time per semester (h) 80
Total number of hours per semester 162
vii

WAARKUWING TEEN PLAGIAAT
WERKSTUKKE IS INDIVIDUELE TAKE EN NIE GROEPAKTIWITEITE NIE (TENSY DIT
UITDRUKLIK AANGEDUI WORD AS N GROEPAKTIWITEIT)
Kopiëring van teks van ander leerders of uit ander bronne (byvoorbeeld die studiegids, voorgeskrewe
studiemateriaal of direk vanaf die internet) is ontoelaatbaar – net kort aanhalings is toelaatbaar en
slegs indien dit as sodanig aangedui word.
U moet bestaande teks herformuleer en u eie woorde gebruik om te verduidelik wat u gelees het. Dit
is nie aanvaarbaar om bestaande teks/stof/inligting bloot oor te tik en die bron in ’n voetnoot te erken
nie – u behoort in staat te wees om die idee of begrip/konsep weer te gee sonder om die oorspronklike
skrywer woordeliks te herhaal.
Die doel van die opdragte is nie die blote weergee van bestaande materiaal/stof nie, maar om vas te
stel of u oor die vermo beskik om bestaande tekste te integreer, om u eie interpretasie en/of kritiese
beoordeling te formuleer en om ’n kreatiewe oplossing vir bestaande probleme te bied.
Wees gewaarsku: Studente wat gekopieerde teks indien sal ’n nulpunt vir die opdrag ontvang
en dissiplinêre stappe mag deur die Fakulteit en/of die Universiteit teen sodanige studente
geneem word. Dit is ook onaanvaarbaar om iemand anders se werk vir hulle te doen of
iemand anders in staat te stel om u werk te kopieer – moet dus nie u werk uitleen of
beskikbaar stel aan ander nie!
viii

IKOONLYS
Toets die stand van u kennis/insig
Individuele oefening
Inleidende opmerkings Praktiese voorbeeld
Bestudeer die volgende
gedeelte / verduideliking /
bespreking
Hersiening
Geskatte studietyd
OORSIG VAN DIE MODULE
’N INDUKTIEWE BENADERING
Uitkomste
Berei uself voor vir deelname
oor hierdie onderwerp tydens
die kontaksessie/ groepbyeenkoms.
Die tradisionele (deduktiewe) benadering van onderrig in enige vakgebied is om stuk-stuk die teorie
deeglik onder die knie te kry. Daarna word ’n paar praktiese en toepaslike voorbeelde beskou om die
teorie te illustreer. Jy as leerder word dus byna geforseer om ’n stuk moeilike werk baas te raak met
die belofte dat daar wel toepassing voor sal wees.
’n Ander benadering tot die aanbied van ’n vakgebied (wat in hierdie module sover moontlik gebruik
gaan word) is die induktiewe benadering (sien M. Prince en R. Felder, “The Many Faces of Inductive
Teaching en Learning”, in Journal of College Science Teaching, Vol. 36, No. 5, March/April 2007).
Dit beteken dat ons, waar moontlik, “agteruit” gaan werk. Ons gaan ’n elektromagnetiese struktuur,
eksperiment of verskynsel onder beskouing neem, en in ons pogings om dit te verstaan, die relevante
teorie deeglik bestudeer. Die feit dat jy nog nie die elektromagnetiese struktuur, eksperiment of
verskynsel wat voor jou neergesit word, verstaan nie, “induseer” ’n onversadigbare drang in jou om
die “neut te kraak”. Jy wil ten alle koste verstaan wat aan die gebeur is. (Hierdie drang om dinge te
verstaan, is trouens wat jou die ingenieurswese as studierigting laat kies het.) Dit gaan egter om meer
as net verstaan. Ons wil iets doen met ons nuwe kennis. Die voordeel daarvan om die elektromagnetiese
ix

struktuur, eksperiment of verskynsel deeglik te verstaan, is dus bemagtiging. Jy kan jou nuwe kennis
nou gaan toepas in die ontwerp van nuwe strukture of nuwe toepassings vind vir bekende strukture,
ens. Dit is die induktiewe benadering in kort. Lees gerus die artikel hierbo genoem en kom gesels as jy
nuwe idees het oor die toepassing van die tegniek in hierdie module.
Die induktiewe benadering vereis meer werk van beide die leerder en die dosent, maar die opbrengs
is ook hoër. Dit vereis ook ’n sekere voorkennis van die leerder. Een van die groot voordele van
waar jy nou in jou studie is, is dat jy al die elektromagnetisme-modules in Fisika geslaag het. Danksy
die deeglike werk van ons natuurwetenskaplike kollegas by Fisika (asook natuurlik jou eie), is jy wat
voorkennis betref, heeltemal gereed om hierdie bul by die horings te pak!
Laastens vereis die induktiewe benadering ’n sekere “rypheid” van die leerder. Jy moet ’n nuuskierigheid
vir die vakgebied hê en gemotiveerd wees. Verder moet jy ’n sin vir verantwoordelikheid aan die dag
lê. Jou bemeestering van die werk is in jou eie hande. Die dosent se deur staan egter altyd vir jou oop
as jy probleme ondervind.
ELEKTROMAGNETIKA GAAN OOR ENERGIE
Ingenieurstoepassings van elektromagnetika sluit in: RFID “tags”, hoogspanningstransmissielyne, superkapasitore
en permanente magneet sinchroonmasjiene (PMSMe) onder vele andere. Daar is verkseie
maniere waarop die toepassings geklassifiseer kan word, maar ons merk op dat al die toepassings ’n
funksie verrig óf met informasie óf met energie. Maar selfs in die toepassings waar informasie verwerk of
versend word, is elektromagnetiese golwe die draer van die informasie, en hierdie golwe bevat inherent
’n sekere hoeveelheid energie.
Ons kies dus daarvoor om elektromagnetiese toepassings te klassifiseer in terme van verskeie aksies wat
met energie verrig kan word. Hierdie aksies is: energievervoer, energieberging (die stoor van energie)
en energie-omsetting. Die tabel hieronder lys die ses toepassingsgebiede wat ons gaan bestudeer
in Elektromagnetika III, in Leereenhede 2 tot 7. In Leereenheid 1 gaan ons numeriese tegnieke in
Elektromagnetika bestudeer as aanloop tot die res van die module.
x
Leereenheid Tema Hoofstukke/Afdelings in die handboek
1 Numeriese tegnieke in Elektromagnetika 7
2 Energievervoer Geleiding 11.1 – 11.12, 11.14
3 Energievervoer Straling 12.1 – 12.3, 13.1 – 13.3, class notes
4 Energieberging E: kapasitansie 6 1
5 Energieberging H: induktansie 9.5 – 9.8, 9.10 2
6 Energie-omsetting elektries ⇒ hitte 5.1 – 5.4, 10.1, 12.4
7 Energie-omsetting elektries ⇔ meganies 9.1 – 9.4, 9.9, class notes
1 Agtergrond: Hoofstukke 2, 3, 4
2 Agtergrond: Hoofstuk 8

NUMERIESE TEGNIEKE IN ELEKTROMAG-
NETIKA
Die kompleksiteit van Elektromagnetika
Om ’n waardering vir die vakgebeid te ontwikkel, begin ons deur die elektromagnetiese veldvergelyking
te lys vir stationêre materie:
− ∇ × H + σE + ɛ ∂E
∂t = −Jext, (1a)
en
∇ × E + µ ∂H
∂t = −Kext, (1b)
waar:
• E en H die elektriese en magnetiese veldvektore is,
• Jext en Kext die eksterne (toegepaste) stroomdigtheid en oppervlakstroomdigtheid is, en
• σ, ɛ en µ die materiaaleienskappe is (elektriese permittiwiteit, elektriese konduktiwiteit en magnetiese
permeabiliteit).
Vergelying (1) inkorporeer al vier Maxwell se vergelykings (die divergensie van E en die divergensie van
H word reeds bevat in (1)). Dus kan al die vektore in (1) eksplisiet geskryf word as funksies van x, y,
z en t, soos die volgende voorbeeld vir die elektriese veld illustreer:
in Cartesiese koördinate. 1
E(x, y, z, t) = Ex(x, y, z, t)ˆx + Ey(x, y, z, t) ˆy + Ez(x, y, z, t)ˆz,
Asof dit nie genoeg is nie, is die materiaaleienskappe in die algemeen ook funksies van die drie ruimtelike
koördinate: σ = σ(x, y, z), ɛ = ɛ(x, y, z) en µ = µ(x, y, z). (Gelukkig is die materiaaleienskappe
slegs in baie min gevalle tydafhanklik.)
As ons al die bostaande afhanklikhede kombineer, verkry ons ’n baie komplekse prentjie! Sjoe!
1 Die elektriese en magnetiese veldvektore vorm die totale elektromagnetiese prentjie (elektries + magneties = elek-
tromagneties).
1

“Nothing to fear, there is” 2
Koms ons haal die “eina” uit die elektromagnetiese prentjie.
Eerstens is E en H gekoppel.
Tweedens vorm die variasie van dié velde met die ruimtekoördinate kontinue, simmetriese patrone in
die meerderheid praktiese gevalle.
Derdens is dit nie ’n baie beperkende aanname om aan te neem dat daar variasie is in slegs een of twee
dimensies nie, en om een of twee komponente van die vektorvelde na te laat nie.
Vierdens is anisotropiese 3 materiale baie skaars in ingenieurstoepassings. Dus veronderstel ons lineêre,
isotropiese materiale (dus is σ, ɛ en µ konstantes).
Laastens is daar ’n verskeidenheid kragtige numeriese berekeningstegnieke – die tema van hierdie
leereenheid.
2
Die voorgestelde studietyd vir Leereenheid 1 is 10 uur.
Aan die einde van hierdie leereenheid moet jy in staat wees om:
• Elektromagnetiese probleme deur middel van femm op te los.
• Die fundamentele vergelykings van die eindige-verskillemetode (FDM) af te lei.
• Die elektriese potensiaal in eenvoudige strukture deur middel van die FDM op te los.
2 Yoda: miniatuur groen 700 jaar-oue Jedi meester.
3 Materiale met ruimtelike variasie van hul eienskappe.

Induktiewe voorbeeld 1: ’n Permanente magneet sinchroonmasjien (PMSM)
in twee dimensies
Elektriese masjiene word geklassifisieer in twee tipes: gs en ws, verwysende na die spanning op die
statorterminale. Wisselspanningsmasjiene word onderverdeel in verskeie tipes, insluitend onder andere
PMSMe, induksiemasjiene (IMe) en sinchroon reluktansiemasjiene. In hierdie induktiewe voorbeeld
word ’n PMSM beskou in twee dimensies. Die figuur hieronder toon ’n vliegwiel wat gebruik word vir
energie-opslag in hibriede elektriese voertuie. Hierdie vliegwiel is gebou en geïntegreer in ’n hibriede
elektriese stadsbus vir ’n navorsingsprojek ’n paar jaar gelede.
Containment unit
Carbon fibre flywheel
Rotor yoke
Permanent magnets
Shielding cylinder
Stator winding
Stator yoke
Containment unit
Carbon fibre flywheel
Rotor yoke
Permanent magnets
Shielding cylinder
Stator winding
Stator yoke
Die energie-omsettings gedeelte van die struktuur is ’n hoë-spoed PMSM met ’n kenspoed van 30,000 opm
en ’n kendrywing van 150 kW. Die masjien is in die middel van die vliegwiel en het ’n omgekeerde topolo-
3

gie, soos in die figuur gesien kan word: die rotor is dus intern en die stator ekstern. ’n Vereenvoudigde
skets van die elektromagnetiese aktiewe gedeeltes word in die onderstaande figuur aangetoon.
Rotor yoke
Permanent magnets
Air
Stator yoke
In hierdie voorbeeld beskou ons slegs die magnetiese veld van die permanente magnete. Die wikkeling
is vervaardig van koper (met ’n permeabiliteit van 1.0) en word derhalwe verwyder. Die afskermsilinder
op die rotor word ook verwyder aangesien dit geen effek het op die veld van die magnete nie. (Dit
word gebruik om die hoë-frekwensie velde afkomstig van die statorstrome af te skerm.)
Eindige-element modelering met femm
Die rekenaarprogram femm, geskryf deur David Meeker, is vrylik beskikbaar op die internet by http:
//www.femm.info/wiki/Download. Dit is ’n uitstekende program om met die eindige-elementmetode
vertroud te raak. Dit is ook baie kragtig ten spyte van sy kompaktheid. femm loop in Windows, en ook
in linux deur die emuleerder wine.
Die program het uitstekende tutoriale, voorbeelde en ’n gebruikershandleiding. Die beste manier om
femm aan te leer is deur die magnetostatiese en elektrostatiese tutoriale deur te werk. (Dit word verskaf
tydens die installasie van die program.) Probeer hierna deur ’n paar voorbeelde werk, en begin ten
slotte jou eie strukture oplos.
Die eindige-elementmetode behels basies vier stappe:
4
1. Definisie van die geometrie. Hierdie is die probleemruimte, waar die lyne intervlakke tussen
die verskillende materiale voorstel. In hierdie stap word al die grensvoorwaardes, materiaaleienskappe
en indien nodig, die parsiële differensiaalvergelykings (PDVs) gedefinieer. (Vir ons voorbeeldprobleem
het femm se magnetostatiese oplossings-enjin reeds die relevante elektromagnetiese
veldvergelyking ingebou.)
2. Maas. Die maas is die kern van die eindige-elementmetode. Die PDVs wat die fisika van die
probleem beskryf word numeries opgelos, maar nie vir die hele geometrie nie. Die probleem word
in ’n groot aantal klein driehoeke verdeel, wat die maas genoem word. Die PDVs word by die
nodusse van die driehoeke opgelos en dan word die hele oplossing aanmekaargesit uit hierdie
deel-oplossings.
3. Oplossing. In die meerderheid FEM-pakkette gebeur hierdie stap outomaties met byna geen
inligting wat aan die gebruiker vertoon word nie. Die voorbeeld-probleem se oplossing in femm

neem ongeveer ’n sekonde op ’n skootrekenaar met ’n 4-kerm, 2.4 GHz Intel i5 verwerker wat
linux loop.
4. Vertoning/na-verwerking. Gedurende hierdie stap kyk die gebruiker na ’n grafiese voorstelling
van die oplossing van die veldprobleem. Die oplossings is oor die algemeen baie kleurvol en
mooi. Die doel is egter nie om na mooi veldoplossings te kyk nie, maar om antwoorde op
sekere vrae te verkry. Vrae soos: “Wat is die vloeddigtheid in die statorjuk?” of “Wat is die
geïnduseerde spanning van die masjien?” Om hierdie vrae te beantwoord, voorsien FEM-pakkette
na-verwerkers van verskillende vermoëns en kompleksiteit. Die moontlikheid bestaan selfs om die
oplossing te koppel aan elektriese stroombane; die kombinasie van veld- en stroombaanoplossings
maak ’n baie kragtige stuk simulasiegereedskap. Die nuutste neiging in die FEM-wêreld is om
“multiphysics”-probleme op te los. Dit is probleme wat deur meer as een stel PDVs beskryf word.
’n Goeie voorbeeld is gekoppelde elektromagnetiese en termiese probleme in elektriese masjiene.
Berekening van die magnetiese veld in die PMSM-voorbeeld
Die masjiengeometrie is baie eenvoudig: dit bestaan uit slegs vier sirkels wat vier lae (gebiede) definieer.
Van die binnekant beskou is die lae: statoryster, lugspleet, permanente magnete, en rotoryster. Die
materiaaldefinisies van die probleem is: stator- en rotoryster: M-27 magnetiese staal; die permanente
magnete: 52 MGOe NdFeB 4 ; die wikkelinggebied is doodeenvoudig lug soos voorheen gemotiveer vir
die statiese veld van die magnete. Die permanente magnete word eintlik gemodelleer as ’n enkele
buis. (’n Mens kan ook ’n masjien bou met so ’n magneet in die praktyk.) Die magnetiseervektor is
parallel aan die x-as: dit word parallel-magnetisering genoem. Die effek van ’n parallel-gemagnetiseerde
silinder is die skep van ’n 2-pool ideale Halbach-konfigurasie. ’n Halbach-konfigurasie is ’n magnetiese
struktuur waar die magnetiseervektor sy rigting variëer afhangende van die posisie in die materiaal. As
ons dus na die radiale komponent van die magnetiseervektor in hierdie voorbeeld kyk, sal ons sien dit
is perfek sinusvormig: vandaar die term “ideale” Halbach-konfigurasie.
Die eerste figuur op die volgende bladsy vertoon ’n skermskoot van die eerste stap in die proses om die
geometrie van die voorbeeldmasjien te konstrueer: die statoryster. Die sirkelvormige geometrieë word
geteken deur nodusse op die positiewe en negatiewe radiuspunte (by y = 0 mm). Hierna word twee
180 ◦ boë geteken tussen hierdie twee nodusse. Die sirkels het radii 10 mm, 12 mm, 13 mm en 16 mm.
Die volgende figuur vertoon die maas: die maasgrootte vir die statoryster is gekies as 1 mm en 0.8 mm
in die ander drie gebiede.
Die derde figuur vertoon die oplossing: die grootte van B is gestip met ’n kleurskaal aan die regterkant.
Dit kan duidelik gesien word dat die hoogste vloeddigtheid in die masjien in die rotoryster is, tussen
die pole. Dit is ’n verwagte resultaat, aangesien hierdie die area is waar al die vloed wat die lugspleet
oorgesteek het, van een pool na die ander terugkeer.
Hierdie derde figuur vertoon ook twee rooi lyne: een horisontaal en die ander vertikaal. Stippe van die
grootte van B langs hierdie lyne word op die bladsy na die volgende vertoon.
4 MGOe is ’n eenheid van die energieproduk van die magneet (waar die skalaarproduk van H en B binne die magneet
’n maksimum is). Dit staan vir mega-Gauss-Oersted: Gauss is ’n eenheid van B en Oersted van H.
5

Probeer om die oplossing self te herhaal. Deur die loop van die module gaan femm redelik gereeld
gebruik word vir elektromagnetiese probleemoplossing.
Ander numeriese tegnieke
Daar is ’n verskeidenheid ander tegnieke beskikbaar om elektromagnetiese probleme op te los behalwe
die eindige elementmetode. Die tabel hieronder 5 lys sommige tegnieke met hul voor- en nadele.
Ons sal slegs een tegniek addisioneel tot die eindige elementmetode beskou in die module: die eindigeverskilmetode
(FDM). Al is die eindige-verskilmetode onbuigsaam in terme van geometrievorme, is dit
baie bruikbaar as ’n stuk gereedskap vir onderrig.
5 K. Hameyer en R. Belmans. Numerical modelingand design of electrical machines en devices. (Advances in Electrical
& Electronic Engineering), WIT Press, 1999. ISBN 1-85312-626-8.
7

Bestudeer Afdeling 7.6 (pp. 196–202) in die handboek. Die FDM word in hierdie deel van die boek
afgelei, en jy moet in staat wees om hierdie afleiding te kan weergee (nie deur memorisering nie, maar
deur begrip). Die FDM word afgelei vir Laplace se vergelyking vir electrostatiese potensiaal, V:
wat
∇ 2 V = 0,
∂2V ∂x2 + ∂2V ∂y2 + ∂2V ∂z
2 = 0,
word in Cartesiese koördinate. Hierdie vergelyking is ’n PDV. Die afleiding in die handboek word gedoen
vir die geval waar daar geen variasie van V in die z-rigting is nie, en die Laplace-vergelyking is dus
waar V = V(x, y).
∂2V ∂x2 + ∂2V ∂y
Die FDM lei tot die volgende eenvoudige vergelyking:
2 = 0,
V0 = 1
4 (Vx 1 + Vx2 + Vy 1 + Vy2 ).
Hierdie vergelyking benader die potensiaal by ’n punt 0 deur van twee punte weerskante daarvan gebruik
te maak in die x-rigting (x1 en x2) en twee punte aan beide kante daarvan in die y-rigting (y1 en y2).
Die punte in die x-rigting is afkomstig van die parsiële afgeleide ∂ 2 V/∂x 2 , en soortgelyk vir die punte
in die y-rigting. Ons kan die potensiaal by die punt 0 ook beskou as die geometriese gemiddeld van
die vier punte daarrondom in die x en y-rigtings.
Die afleiding wys duidelik dat Laplace se vergelyking bestaan uit rigtingsafgeleides: die PDV beskryf
dus die ruimtelike variasie van V. Dit lewer geen uitspraak oor die tydsvariasie nie. Dus beskryf die
Laplace vergelyking, soos hier gebruik, die elektrostatiese potensiaal. As die potensiaal ook varieër met
tyd, betree ons die domein van elektromagnetodinamika. Die feit dat magneto betrokke raak, is omdat
tyd-variasie van die elektriese veld aanleiding gee tot ’n magnetiese veld en omgekeerd, soos ons later
in die module sal sien.
Die konvergensie van die die FDM is redelik vinnig. As ’n voorbeeld, beskou die eenvoudige struktuur
in die figuur hieronder. Daar is drie onbekende potensiale: almal op dieselfde y-koördinaat. Daar is
vier bekende potensiale op plate bo, onder en weerskante van die drie punte. Die konvergensie van die
potensiale by die drie onbekende punte soos bereken deur die FEM word ook in die figuur aangetoon.
8

electrostatic potential [V]
−50
−55
−60
−65
−70
−75
−80
−85
−90
−95
Vl = −15 V
Vt = 30 V
V1 V2 V3
Vb = 8 V
Vr = 8 V
−100
1 2 3 4 5 6
iteration number
7 8 9 10 11
Ons sien dat konvergensie plaasvind na ongeveer 5 of 6 iterasies vir hierdie voorbeeld, waar ons die
beginwaardes almal gekies het as −100 V.
Twee opmerkings ter afsluiting volg in die vorm van vrae:
• Wat gebeur in die geval waar daar ook variasie van V is in die z-rigting?
In hierdie geval is die vergelyking vir V by die punt 0:
V0 = 1
6 (Vx 1 + Vx2 + Vy 1 + Vy2 + Vz 1 + Vz2 ).
Die potensiaal by punt 0 is nou die geometriese gemiddeld van die potensiale by die ses punte
daarrondom in die x, y en z-rigtings.
• Laplace se vergelyking stel die rigtingsafgeleides van die potensiaal gelyk aan nul. Waar kom die
bron van die veld dan vandaan?
Die bron van die elektriese veld (en elektrostatiese potensiaal) kom van die grensvoorwaardes,
wat eenvoudig die waardes van die potensiale by sekere voorafgedefinieerde metaal-oppervlakke
is.
Doen die volgende probleme as ’n oefening en ook om jou kennis van die toepassing van die FDM op
praktiese probleme te toets:
• D7.6 (p. 202)
• Probleme 7.30 – 7.35
V1
V2
V3
9

ENERGIEVERVOER: GELEIDING
Hierdie leereenheid begin met een van die drie dinge wat ons kan doen met energie: vervoer.
Die voorgestelde studietyd vir Leereenheid 2 is 40 uur.
10
Aan die einde van hierdie leereenheid moet jy in staat wees om:
• Die transmissielynvergelykings in veld- en stroombaanvorm af te lei;
• Tyddomein golfvorms by verskillende plekke op ’n transmissielyn te konstrueer.
• Frekwensiedomein-berekeninge op transmissielyne te doen (fasorvorm);
• Praktiese transmissielynstrukture te analiseer;
• Praktiese transmissielynstrukture te ontwerp.

Induktiewe voorbeeld 2: ’n Baan op ’n gedrukte stroombaanbord
Beskou ’n baan op ’n gedrukte stroombaanbord (PCB) in die meegaande figuur. Die frekwensie van
die spanningsbron is 1.3 GHz. Die dimensies is: w2 = 31.942 mm; h2 = 2 mm; l = 165 mm;
h1 = h3 = h2/10; w1 = 10w2. Die bron- en lasimpedansies is ¯ZG = 15 Ω en ¯ZL = 5 Ω.
+
¯VS
−
¯ZG
w 1
Planar transmission line
¯ZL
w 2 h 1 h 2
Cu
Pyranol
Hierdie is ’n vereenvoudigde maar tipiese situasie wat in ’n hoë-spoed digitale stroombaan aangetref
sal word in die praktyk. Die baan op die PCB met die grondplaat vorm ’n planêre transmissielyn.
Ons beskou die geval van ’n eenvoudige kloksein soos in die figuur hieronder aangetoon word:
VS
769.23 ps
t
Hoe verwag jy moet die spanningsgolfvorm by die las lyk? Dieselfde as by die bron? In stroombaanteorie
sal dit waar wees: die spanning by die las sal dieselfde golfvorm hê as by die bron. Dit sal ook geen
vertraging hê nie.
In elektromagnetika gaan ons egter verder as stroombaanteorie. Dit is nodig om verskynsels wat in
realiteit gebeur, akkuraat te modeleer: die spanningsgolfvorm is vertraag en dit verander ook van vorm.
Ons begin ons analise deur die voortplantingsnelheid op die lyn te bereken:
vp = c
√ ɛr
l
VL
= 1.4302 × 10 8 [m/s].
h 3
t
11

Ons merk onmiddelik op dat die golfvoortplanting stadiger is in die PCB as in lug, waar elektromagnetiese
golwe teen die spoed van lig beweeg. 6 . Die spoedreduksiefaktor is 1/ √ ɛr, waar ɛr die relatiewe
permittiwiteit van die substraat van die PCB is (Pyranol in hierdie geval).
Ons volgende stap is die golflengte binne die PCB:
λ = vp
f
= 1.4302 × 108
1.3 × 10 9
= 0.11 [m].
Let op dat die lengte van die PCB 1.5 keer die golflengte is. Hierdie is die onderskeidende kenmerk
van probleme waar ons transmissielynteorie moet gebruk in plaas van stroombaanteorie:
die struktuurdimensies is vergelykbaar met die golflengte.
Ons bereken ook ’n grootheid wat later gebruik sal word (en die betekenis daarvan sal begryp word as
jy die teorie in die handboek bestudeer het). Dit is die fasekonstante:
β = 2π
λ
= 57.11 [rad/m].
Dit is belangrik om op te merk dat die PCB die voortplantingsnelheid en die golflengte van die elektromagnetiese
golf verander, maar nie sy frekwensie nie.
Ons is nou gereed om die vertraging van die sein te bereken:
τp = l
vp
= 1.1537 [ns],
wat 1.5 keer die periode van die kloksein is. Hierdie is die tyd wat dit neem vir ’n sein om teen die
lengte van die PCB af te beweeg.
Die volgende stap in ons analise van die situasie is die berekening van die karakteristieke impedansie
van die transmissielyn:
¯Z0 =
=
120π
√ ɛr (w2/h2 + 2)
120π
√ 2.0976 (31.942/2 + 2)
= 10 [Ω].
Die karakteristieke impedansie word gemeet in Ω, maar dit is nie ’n direk meetbare impedansie nie. Dit
is ’n effektiewe impedansie wat sy oorpsrong het in die verhouding van die elektriese tot magnetiese
velde.
Let op dat ons die notasie ¯Z0 (’n strepie bokant die simbool) gebruik vir ’n komplekse getal, insluitend
fasorgroothede. (In hierdie voorbeeld is alle groothede egter reël.)
12
6 Die spoed van lig is c = 3 × 10 8 m/s.

Hersien fasorteorie in jou Elektriese Stelsels I handboek.
Die volgende grootheid op ons lys is een van die sleutelgroothede in transmissielynteorie: die refleksiekoëffisiënt.
Daar is drie impedansies in die stelsel: ¯ZG, ¯Z0 en ¯ZL. By elke intervlak tussen enige
twee van hulle is daar ’n refleksiekoëffisiënt. Die las-refleksiekoëffisiënt is
en die bron-refleksiekoëffisiënt is
¯ΓL = ¯ZL − ¯Z0
¯ZL + ¯Z0
¯ΓG = ¯ZG − ¯Z0
¯ZG + ¯Z0
= 5 − 10
= 15 − 10
5 + 10
15 + 10
Wat beteken dit? Wel, in die eerste plek, op transmissielyne
is daar refleksies as daar impedansie-wanaanpassings is.
= −0.3333,
= −0.5.
Tweedens is die koëffisiënt ’n kwantitatiewe maatstaf van hoeveel van die golfvorm gereflekteer word.
Die bereik van waardes van die refleksiekoëffisiënt is 0 ≤ | ¯Γ| ≤ 1. In ons huidige voorbeeld is beide
refleksiekoëffisiënte negatief. Dit impliseer dat die intervlakke ’n gedeelte van die golfvorm reflekteer,
die fase van die sein ook omgekeer word.
Veronderstel dat die amplitude van die 1.3 GHz kloksein 5 V is. Die gelanseerde golf op die PCB het
’n amplitude van
V + 1 =
Z0
VS =
Z0 + ZG
10
5 = 2 [V].
10 + 15
Hierdie spanningsgolf beweeg van die bron na die las teen die spoed vp. Die eerste refleksie vind by
die las plaas en het amplitude
Die ander spanningsrefleksies is:
ens...
Die somme van die spannings is:
V − 2 = ΓLV + 1
= −0.3333(2) = −0.6667 [V].
V + 3 = ΓGV − 2 = ΓGΓLV + 1
V − 4 = ΓLV + 3
V + 5 = ΓGV − 4
V + 1 + V− 2
V + 1 + V− 2 + V+ 3
V + 1 + V− 2 + V+ 3 + V− 4
V + 1 + V− 2 + V+ 3 + V− 4 + V+ 5
= 0.3333 [V]
= −0.1111 [V]
= 0.0556 [V]
= 1.3333 [V]
= 1.6667 [V]
= 1.5556 [V]
= 1.6111 [V]
13

ens...
As ons slegs die leidende (voorste) golffront van een 5 V-puls by t = 0 s beskou, sal die spanning by
die las wees soos in die figuur hieronder aangetoon word:
5
4.5
4
3.5
3
2.5
2
1.5
1
0.5
0
VS
VL
τp 2τp 3τp 4τp
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5
x 10 −9
As ons nou ’n soortgelyke stip vir die agterste golffront konstrueer (wat by t = 769.23 ps plaasvind),
kan ons die twee algebraïes bymekaartel om die spanning by die las te kry vir ’n enkele puls. Die agterste
golffront kan gekonstrueer word as ’n spanning wat by 0 V begin en dan val na −5 V by t = 769.23 ps.
Die lasrespons van hierdie spanning is dieselfde as hierbo, maar vermenigvuldig met −1 en tydverskuif
met 769.23 ps.
Die konstruksie van die spanning by die las vir die 1.3 GHz kloksein word aan jou oorgelaat as ’n
oefening.
Bestudeer die volgende afdelings in die handboek: 11.1 – 11.12 en 11.14.
Vanuit die induktiewe voorbeeld hierbo is dit duidelik dat transmissielynteorie ons met ’n kragtige stuk
14

gereedskap voorsien om effekte te voorspel in gevalle waar die bron-, lyn- en lasimpedansies nie aangepas
is nie. As ons kan analiseer, kan ons ontwerp ook, so jy kan dit dus te wagte wees in die handboek
se behandeling van die materiaal. Die bespreking hierbo was in die tyddomein. Transmissielyne kan
ook in die frekwensiedomein bestudeer word. Die transmissielynvergelykings kan ook in terme van die
veldgroothede (E en H) en ook in terme van spanning en stroom geskryf word. In die laasgenoemde
geval word ’n ekwivalente T-model van die transmissielyn beskou. Al hierdie benaderinge is nuttig en
almal sal bestudeer word.
Die oefeninge aan die einde van die hoofstuk is belangrik om te toets of jy die materiaal bemeester
het. Sommige van hierdie oefeninge sal in die klas uitgesonder word as baie belangrik.
Ons sluit hierdie leereenheid af deur ’n opsomming van vergelykings uit transmissielynteorie te lys.
15

16
D
Z0 = 1
µ0
π ɛ ′ cosh −1
D
d
C =
πɛ
cosh −1 ( D d )
d
Transmissielyn-strukture
Z0 = 1
µ0
2π ɛ ′ ln
C = 2πɛ
ln( b a)
Lint = µ0
µ0
4π (D ≫ d) Linta = 8π
Lext = µ0
π ln 2D
d
ε r
Z0 ≈ 120π
√ ɛr[ w h +2]
w
(D ≫ d) Lint bd =
h
εr a b c d
µ0
8π(d2−b 2 )
Lext = µ0
2π ln
b
a
b
a
b2 − 3d2 + 4d4
d2−b2
d ln b

vp = 1
√ LC
¯Γ ≡ Vor
Transmissielyne
Vor = V − = gereflekteerde spanning; Voi = V + = invallende spanning; z = 0 is by die las
V =
oi z=0 ¯ZL− ¯Z0
¯ZL+ ¯Z0
¯τ = VL
= 1 + ¯Γ
z=0
V oi
¯Z = R + jωL
¯Y = G + jωC
¯Z0 =
¯Z ¯Y
VSWR = 1+| ¯Γ|
1−| ¯Γ|
〈Pr〉
〈P i〉 = ¯Γ ¯Γ ∗ = | ¯Γ| 2
¯γ = √ ¯Z ¯Y
¯γ = α + jβ
〈P(z)〉 = 〈P(0)〉e −2αz Drywingsverlies [dB] = 10 log 10
β = ω
vp
= 2π
λ
| ¯Γ| = VSWR−1
VSWR+1
〈Pt〉
〈P i〉 = 1 − | ¯Γ| 2
〈P(0)〉
= 8.69αz
〈P(z)〉
zmin = − 1
2β (φ + (2m + 1)π); m = 0, 1, 2, . . . zmax = − 1
2β (φ + 2mπ); m = 0, 1, 2, . . .
¯Zin(l) = ¯Z0
¯ZL+ ¯Z0 tanh( ¯γl)
¯Z0+ ¯ZL tanh( ¯γl)
α ≈ 1
C
2 R L + G
L
C
α ≈ αc + αd = R
C
2 L
1 + 1
G R 2
8 ωC − ωL
G L + 2 C
¯Zin(l) = ¯Z0
Lae-verlies lyne
¯ZL+j ¯Z0 tan(βl)
¯Z0+j ¯ZL tan(βl)
slegs eerste-orde terme:
φΓ = 720 ◦ zvm
λ
β ≈ ω √
LC 1 + 1
G R 2
8 ωC − ωL
β ≈ ω √ LC
1 − 4
17

ENERGIEVERVOER: STRALING
In hierdie leereenheid kyk ons verder na die vervoer van energie. In Leereenheid 2 het ons ’n struktuur
gehad om die vloei van die elektromagnetiese energie te gelei. In hierdie leereenheid is daar geen
struktuur nie en die energie word vrylik deur vrye ruimte gestraal. Ons sal die teorie in die volgende
volgorde bestudeer: vlakgolwe (elektromagnetiese golwe beweeg in vlakke in vrye ruimte); vlakgolfinteraksie
met materie (in hierdie leereenheid: slegs diëlektrika); antennas en antenna matrikse.
Die voorgestelde studietyd vir Leereenheid 3 is 30 uur.
18
Aan die einde van hierdie leereenheid moet jy in staat wees om:
• Die elektromagnetiese golfvergelyking en sy afleiding in die tyd- en frekwensiedomeine af te lei;
• Die analogie tussen die golfvergelyking in vrye ruimte en in transmissielyne te beskryf;
• Die oplossing van die golfvergelyking in diëlektrika te beskryf en berekeninge daarmee te doen;
• Die komplekse permittiwiteit te beskryf, berekeninge daarmee te doen en diëlektrika met mekaar
te vergelyk;
• Refleksie van vlakgolwe wanneer hul diëlektrika teëkom te beskryf en berekeninge daarmee te
doen.

• Elementêre antennas en antenna matrikse te analiseer (veldpatrone te bereken);
• Antenna matrikse te ontwerp (vanuit gegewe vereiste veldpatrone).
Induktiewe voorbeeld 3: WiFi TM antennas
Beskou die volgende drie antennas wat vir buitenshuise WiFi TM kommunikasie gebruik word. Die drie
voorbeelde word gelys in toenemende direktiwiteit (verwant aan wins). Die skottelantenna is in staat
tot 50 km punt tot punt kommunikasie – direk van die ethernet-ppot op jou rekenaar! Aan die einde
van die leereenheid sal jy die spesifikasies van hierdie antennas begryp.
• straalwydte: horisontaal: 30 ◦ ; vertikaal: 28 ◦
• wins: 14 dBi
• bandwydte: 100 MHz
• VSWR: ≤ 1.5
• inset-impedansie: 50 Ω
• polarisasie: vertikaal
• straalwydte:
• wins: 27 dBi
• bandwydte: 700 MHz
Paneelantenna (2.4 - 2.5 GHz)
Maasantenna (5.1 - 5.8 GHz)
19

• VSWR:
• insetimpedansie: 50 Ω
• polarisasie: vertikaal
• straalwydte: horisontaal: 5 ◦ ; vertikaal: 5 ◦
• wins: 28.0 - 30.25 dBi
• bandwydte: 1 GHz
• VSWR ≤ 1.4
• insetimpedansie: 50 Ω
• polarisasie: dubbel lineêr
Skottelantenna (4.9 - 5.9 GHz)
Bestudeer die volgende afdelings in die handboek 12.1 – 12.3 (vlakgolwe), 13.1 – 13.3 (vlakgolfinteraksie
met materie), klasnotas (antennas).
Die oefeninge aan die einde van die hoofstuk is belangrik om te toets of jy die materiaal bemeester
het. Sommige van hierdie oefeninge sal in die klas uitgesonder word as baie belangrik.
Ons sluit die leereenheid af deur ’n opsomming van vergelykings uit vlakgolfteorie te lys sowel as
eienskappe van ’n seleksie diëlektriese materiale.
20

Vlakgolwe
¯ɛ = ɛ ′ − j σ
ω = ɛ′ − jɛ ′′
k¯ 2 = ω2 µ ¯ɛ k ¯ = ω µɛ ′ 1 − j σ
ωɛ ′
¯η =
µ
¯ɛ
k0 = 2π
λ
Goeie diëlektrikum: α ≈ σ
µ
2 ɛ ′
j ¯ k = α + jβ
β ≈ ω µɛ ′
1 + 1
σ
8 ωɛ ′
2
Goeie geleier: α = β ≈ π f σµ η ≈
η ≈
µ
ɛ ′
σ 1 + j 2ωɛ ′
jωµ
σ
21

22
ɛr en tan φ = ɛ ′′ /ɛ ′ van sommige materiale
Materiaal ɛr ɛ ′′ /ɛ ′
Lug 1.0005
Etielalkohol 25 0.1
Aluminiumoksied 8.8 0.0006
Amber 2.7 0.002
Bakeliet 4.74 0.022
Bariumtitanaat 1200 0.013
Koolstofdioksied 1.001
Ferriet (NiZn) 12.4 0.00025
Germanium 16
Glas 4-7 0.002
Ys 4.2 0.05
Mika 5.4 0.0006
Neoprene 6.6 0.011
Nylon 3.5 0.02
Papier 3 0.008
Plexiglas 3.45 0.03
Poliëtileen 2.26 0.0002
Polipropileen 2.25 0.0003
Polistireen 2.26 0.00005
Piranol 4.4 0.0005
Pyrex glas 4 0.0006
Kwarts 3.8 0.00075
Silikon 11.8
Sneeu 3.3 0.5
Natrium chloried (tafelsout) 5.9 0.0001
Grond (droog) 2.8 0.05
Steatiet 5.8 0.003
“Styrofoam” 1.03 0.0001
Teflon 2.1 0.0003
Titaniumdioksied 100 0.0015
Water (gedistilleerd) 80 0.04
Water (see) 4
Water (gedehidreer) 1 0
Wood (droog) 1.5-4 0.01

ENERGIEBERGING: E: KAPASITANSIE
In hierdie leereenheid skenk ons aandag aan die berging van energie in elektriese velde.
Die voorgestelde studietyd vir Leereenheid 4 is 20 uur.
Aan die einde van hierdie leereenheid moet jy in staat wees om:
• Die werking van diëlektriese materiale te beskryf en berekeninge daaroor te kan doen;
• Kapasitiewe afskerming te beskryf en berekeninge daaroor te kan doen;
• Veldsketse te kan doen om die kapasitansie van arbitrêre strukture te bepaal;
• Strukture te analiseer t.o.v. hul kapasitansie en elektriese veld-energiebergingsvermoë;
• Elementêre kapasitore te ontwerp.
23

Induktiewe voorbeeld 4: Superkapasitore
Beskou die BMOD0xxx P048 superkapasitormodule reeks van Maxwell Technologies,Inc. 7 . Hulle is
48 V modules en daar is drie om van te kies: 83 F, 110 F en 165 F. Ja, die “F” is Farad! Hierdie is die
uitstaande eienskap van superkapasitore: hul hoë kapasitansie. Die onderstaande figuur toon die 83 F
module.
Die spesifikasies van die 165 F module is:
Energie Drywing Spanning Stroom
Nominaal 54 Wh 4763 W 48.6 V 98 A
Piek – 45 kW 48.6 V 1970 A
Spesifiek 4.01 Wh/kg 3300 W/kg – –
Lek – 253 mW (pk) – 5.2 mA
Kom ons vergelyk die spesifikasies van ’n tipiese loodsuurbattery hiermee:
Energie Drywing Spanning Stroom
Nominaal 1440 Wh – 12.0 V –
Piek – 5.76 kW 13.8 V 480 A
Spesifiek 38.9 Wh/kg 156 W/kg – –
Hierdie loodsuurbattery is Model 682 (120 Ah) van First National Battery Industrial (Pty) Ltd. 8
Ons merk dadelik op dat die battery ’n veel hoër energiekapasiteit het as die superkapasitormodule
(27 maal hoër). Die situasie in terme van drywing is andersom: die superkapasitormodule is in staat
24
7 http://maxwell.interconnectnet.com/index.asp
8 http://www.battery.co.za/

tot 8 maal hoër drywingsvloei as die battery. ’n Drywingsvlak van 45 kW van so ’n klein module
is werklik merkwaardig! Die spesifieke groothede (per eenheid massa) volg ’n soortgelyke patroon:
die battery wen in terme van energiebergingsvermoë en die superkapasitormodule wen in terme van
drywingsvermoë.
Dit is duidelik dat superkapasitore nog nie batterye kan vervang nie. Vir praktiese toepassings is dit
interessant om die twee te kombineer om sodoende beide ’n hoë energie- en drywingsvermoë te verkry.
Só ’n oplossing sal goed werk in hibriede elektriese voertuie, windturbines en sonkragstelsels, ens.
Bestudeer Hoofstuk 6 in die handboek. Hoofstukke 2, 3 en 4 bevat die nodige agtergrondteorie om
Hoofstuk 6 te verstaan. Bestudeer hierdie hoofstukke self om sodoende Hoofstuk 6 goed te verstaan.
(Hierdie hoofstukke sal nie geasseseer word nie.)
Die oefeninge aan die einde van die hoofstuk is belangrik om te toets of jy die materiaal bemeester
het. Sommige van hierdie oefeninge sal in die klas uitgesonder word as baie belangrik.
Ons sluit die module af deur ’n opsomming te lys van vergelykings wat betrekking het op diëlektrika
en kapasitansie.
25

26
Diëlektrika en kapasitansie
Qb = − P · dS
S
Q = D · dS
S
Qtot = ɛ0E · dS
S
Qtot = Qb + Q P = χeɛ0E
∇ · P = −ρ b ∇ · ɛ0E = ρtot ∇ · D = ρv Et1 = Et2 Dn1 = Dn2
C = Q
V0
C =
S
− +
−
ɛE · dS
E · dl
C = ɛA
d
C = ɛ NQ ∆Lt
NV ∆Ln

ENERGIEBERGING: H: INDUKTANSIE
In hierdie leereenheid gaan ons voort met ons studie van energieberging deur na berging in magnetiese
velde te kyk.
Die voorgestelde studietyd vir Leereenheid 5 is 20 uur.
Aan die einde van die leereenheid moet jy in staat wees om:
• Die werking van magnetiese materiale te beskryf en berekeninge daaroor te kan doen;
• Gevorderde magnetiese baan-berekeninge te doen;
• Strukture te analiseer m.b.t. hul induktansie en magnetiese veld-energiebergingsvermoë;
• Induktore te ontwerp (insluitend wedersydse induktansie).
27

Induktiewe voorbeeld 5: SMES
Supergeleidende magnetiese energieberging (SMES) 9 is ’n kommersieël-volwasse tegnologie vir gebruik
in ’n verskeidenheid toepassings, maar meestal in groot kragstelsels vir stabiliteit.
Die foto’s hieronder toon ’n enkele plat supergeleierspoel (links) en die voltooide samestelling met ’n
aantal van hierdie spoele (regs). Die SMES stelesel in hierdie foto’s stoor 814 kJ (226 Wh) teen ’n
stroom van 315 A.
Dit word aan jou oorgelaat om die energie- en drywingsvermoëns van SMES teenoor dié van superkapasitore
en batterye op te weeg. Terwyl jy besig is, kyk ook na ander tegnlologieë soos vliegwiele.
Bestudeer die volgende afdelings in die handboek: 9.5 – 9.8, 9.10. ’n Deeglike begrip van Hoofstuk 8
is nodig vir die bemeestering van die werk. Hierdie hoofstuk word aan jou oorgelaat vir selfstudie en
sal nie geasseseer word nie.
28
9 http://147.173.52.11/spip?article794&lang=en

Die oefeninge aan die einde van die hoofstuk is belangrik om te toets of jy die materiaal bemeester
het. Sommige van hierdie oefeninge sal in die klas uitgesonder word as baie belangrik.
Ons sluit die leereenheid af deur ’n opsomming van vergelykings te lys wat betrekking het op magnetiese
materiale en induktansie, asook eienskappe van ’n versameling magnetiese materiale.
S
Stasionêre magnetiese velde, magnetiese materiale en induktansie
H · dl = (∇ × H) · dS ∇ × A = B M = χmH
∇ × M = J b ∇ × H = J ∇ × B/µ0 = JT Ht1 − Ht2 = K Bn1 = Bn2
F = NI = Hl L = NΦ
I
M12 = N2Φ12
I1
F = Q (E + v × B)
29

30
Permeabiliteit van sommige materiale
Materiaal µr
Bismuth 0.9999986
Parafien 0.999999942
Hout 0.999999995
Silwer 0.9999999981
Aluminium 1.00000065
Beryllium 1.00000079
Nikkelchloried 1.00004
Mangaansulfaat 1.0001
Nikkel 50
Gietyster 60
Kobalt 60
Poeieryster 100
Masjienstaal 300
Ferriet (tipies) 1000
Permalloy 45 2500
Transformatorstaal 3000
Silikonstaal 3500
Yster (suiwer) 4000
Mumetaal 20000
“Sendust“ 30000
”Supermalloy” 100000

ENERGIE-OMSETTING: ELEKTRIES ⇒ HITTE
Tot dusver in die module het ons die eerste twee bruikbare aksies om op energie te verrig, vervoer en
berging, ondersoek. In hierdie leereenheid begin ons na energie-omsetting kyk. Meer spesifiek sal ons
die eenrigting omsetting van elektriese energie na hitte ondersoek.
Die voorgestelde studietyd vir Leereenheid 6 is 20 uur.
Aan die einde van hierdie leereenheid moet jy in staat wees om:
• Stroomvloei en geleiers te beskryf en berekeninge daarop te doen;
• Die gedrag van geleiers wanneer hul hoë-frekwensie strome dra, te analiseer (m.a.w. werwelstroomverliese
te bereken);
• Hoë-frekwensie geleiers te ontwerp om werwelstroomverliese te minimeer.
31

Induktiewe voorbeeld 6: Induksieverhitting
Apronecs Ltd. 10 (Gabrovo, Bulgarye) ontwerp en bou ’n verskeidenheid induksieverhittingstelsels. Die
foto hieronder toon ’n kollage van sommige van hul stelsels in aksie.
Induksieverhitters werk deur ’n spanning in ’n werkstuk te induseer (Faraday se wet), wat dan veroorsaak
dat ’n stroom vloei (Ohm se wet) aangesien die werkstuk geleidend is. Die stroom in die werkstuk is
só hoog dat die i 2 R-verliese geweldig hoog is en dit veroorsaak dan dat die werkstuk verhit tot ’n baie
hoë temperatuur. Induksieverhitting is ’n baie bruikbare stuk gereedskap in die hittebehandeling van
metaalonderdele tydens produksie omdat die verhittingstye minder is as dié van enige ander metode.
Die rede hiervoor is dat die hitte binne-in die werkstuk gegenereer word en nie na die werkstuk oorgedra
word vanaf ’n eksterne hittebron nie.
Bestudeer die volgende hoofstukke in die handboek: 5.1 – 5.4, 10.1 en 12.4.
32
10 http://www.induction-heating.com/

Die oefeninge aan die einde van die hoofstuk is belangrik om te toets of jy die materiaal bemeester
het. Sommige van hierdie oefeninge sal in die klas uitgesonder word as baie belangrik.
Ons sluit die leereenheid af deur konduktiwiteite te lys van ’n versameling materiale.
33

34
Konduktiwiteite van sommige materiale
Material σ [S/m]
Silwer 6.17 × 10 7
Koper 5.80 × 10 7
Goud 4.10 × 10 7
Aluminium 3.82 × 10 7
Wolfram 1.82 × 10 7
Sink 1.67 × 10 7
Geelkoper 1.5 × 10 7
Nikkel 1.45 × 10 7
Yster 1.03 × 10 7
Fosforbrons 1 × 10 7
Soldeersel 0.7 × 10 7
Koolstofstaal 0.6 × 10 7
Duitse silwer 0.3 × 10 7
Mangaan 0.227 × 10 7
Konstantaan 0.226 × 10 7
Germanium 0.22 × 10 7
Vlekvrye staal 0.11 × 10 7
Nikroom 0.1 × 10 7
Koolstof (Grafiet) 7.143 × 10 4
Silikon 2300
Ferriet 100
Water (see) 5.0
Kalksteen 10 −2
Klei 5 × 10 −3
Water (vars) 10 −3
Water (gedistilleerd) 10 −4
Gron (sanderig) 10 −5
Graniet 10 −6
Marmer 10 −8
Bakeliet 10 −9
Porselein (droë proses) 10 −10
Poliëtileen 1.5 × 10 −12
Koolstof (diamant) 2.0 × 10 −13
Polistireen 10 −16
Kwarts 10 −17

ENERGIE-OMSETTING: ELEKTRIES ⇔ MEGA-
NIES
Hierdie leereenheid sluit die module af deur na bidireksionele energie-omsetting van elektriese na meganiese
energie te kyk.
Die voorgestelde studietyd vir Leereenheid 7 is 20 uur.
Aan die einde van hierdie leereenheid moet jy in staat wees om:
• Kragte op geleiers in magneetvelde te beskryf en berekeninge daarop te doen;
• Uitdrukkings vir reluktansiekrag vir veelvuldig-opgewekte stelsels met permanente magnete af
te lei;
• Elektromeganiese energie-omsettingstrukture te analiseer deur ko-energie, induktansie en krag
te bereken;
• Elektromeganiese energie-omsettingstrukture te ontwerp aan die hand van gespesifiseerde
waardes van die reluktansiekrag.
35

Induktiewe voorbeeld 7: Solenoïdale deurslot
Electric Locking Systems Ltd. 11 (VK) ontwerp en vervaardig verskeie tipes elektriese deurslotte. Die
foto hieronder toon hul brosjure van hul ALPRO-EB1001 solenoïdale deurslot. Die spoelspanning is
12 V en die solenoïed aktiveer by ’n stroom van 1 A, en het ’n houstroom van 250 mA.
36
11 http://www.electriclock.net/acatalog/ALPRO_SOLENOID_BOLTS.html

Doen die volgende as ’n oefening in reluktansiekrag-berekeninge en die ontwerp van energie-omsettingstrukture
deur van femm gebruik te maak: Ontwerp ’n solenoïdale deurslot wat permanente magnete in
albei hou-posisies (oop en geslote) benut. Die aktiveringstroom moet minder as 1 A by ’n spoelspanning
van 12 V wees en die houstroom moet nul wees aangesien die permanente magnete hierdie funksie moet
verrig.
Bestudeer die volgende afdelings in die handboek: 9.1–9.4 en 9.9. Addisionele notas oor reluktansiekragberekeninge
sal op eFundi verskaf word.
Die oefeninge aan die einde van die hoofstuk is belangrik om te toets of jy die materiaal bemeester
het. Sommige van hierdie oefeninge sal in die klas uitgesonder word as baie belangrik.
37