Module 10 Lineaire Algebra - Wisnet
Module 10 Lineaire Algebra - Wisnet Module 10 Lineaire Algebra - Wisnet
L Module 10 Lineaire Algebra Afbeeldingen (vervolg (b)) In deze les worden de eigenwaarden en eigenvectoren van lineaire afbeeldingen behandeld. Inhoud van de leskern 1 Basistransformatie Vak 57.52 Les 36.0 *0000==:;000=*
- Page 2 and 3: Leskern 57.52-36.0 2 1 Basistransfo
- Page 4 and 5: 57.52-36.0 4 Ga op afbeelding 1 na
- Page 6 and 7: jordan 57.52-36.0 6 c. Bereken de e
L<br />
<strong>Module</strong> <strong>10</strong> <strong>Lineaire</strong> <strong>Algebra</strong><br />
Afbeeldingen (vervolg (b))<br />
In deze les worden de eigenwaarden en eigenvectoren van lineaire afbeeldingen behandeld.<br />
Inhoud van de leskern<br />
1 Basistransformatie<br />
Vak 57.52 Les 36.0<br />
*0000==:;000=*
Leskern 57.52-36.0 2<br />
1 Basistransformatie<br />
1.1 Kentallen (coördinaten) ten opzichte van een basis<br />
Zoals u weet vormt het stelsel fe1;e2g een basis voor de R2 : Als er<br />
verder niets vermeld wordt, bedoelt men ook deze basis.<br />
Iedere vector in de R2 kan uitgedrukt worden in deze basisvectoren.<br />
Bijvoorbeeld: de vector x = ¡ 3¢<br />
2 =3e1 +2e2: De getallen 3 en 2 zijn<br />
de kentallen van de vector x ten opzichte van de basis fe1;e2g :<br />
Het is echter ook mogelijk om in de R2 twee andere onafhankelijke<br />
vectoren te kiezen die de R2 opspannen. Deze onafhankelijke vectoren<br />
hoeven in het geheel niet loodrecht op elkaar te staan en het hoeft ook<br />
niet zo te zijn dat ze lengte 1 hebben. Men kan immers elke vector van<br />
de R2 schrijven als een combinatie van zo’n onafhankelijk stelsel<br />
vectoren.<br />
Voorbeeld 1<br />
Neem de twee onafhankelijke vectoren b 1 en b 2 als nieuwe basis voor<br />
de R 2 .<br />
b 1 =<br />
µ 1<br />
1<br />
<br />
en b 2 =<br />
µ ¡1<br />
1<br />
Het is mogelijk om iedere vector in deze basisvectoren uit te drukken.<br />
Druk bijvoorbeeld de vector x = ¡ ¢ 3<br />
2 uit in deze basisvectoren, dat wil<br />
zeggen<br />
<br />
= x1 e1 + x2 e2 = y1 b1 + y2 b2 µ x1<br />
x2<br />
en bereken de kentallen y1 en y2:<br />
- Men noemt x1 en x2 de kentallen van x ten opzichte van fe 1 ;e 2 g :<br />
- Men noemt y1 en y2 de kentallen van dezelfde vector maar dan ten<br />
opzichte van de nieuwe basis fb 1;b 2g :<br />
Zie ook afbeelding 1.<br />
Afbeelding 1<br />
Antwoord:<br />
b2<br />
x2-as<br />
-1/2 b2<br />
b1<br />
5/2 b1<br />
<br />
x1-as<br />
x
µ y1<br />
y2<br />
57.52-36.0 3<br />
De volgende vectorvergelijking moet opgelost worden waarin y1 en y2<br />
de onbekenden zijn.<br />
µ <br />
µ µ <br />
3<br />
1 ¡1 y1<br />
= y1 b<br />
2<br />
1 + y2 b2 =<br />
=)<br />
1 1 y2<br />
µ ¡1 µ µ µ <br />
12 1<br />
1 ¡1 3<br />
=<br />
=<br />
2 3<br />
=<br />
1 1 2<br />
2<br />
De matrix waarvan de kolommen gevormd worden door de nieuwe<br />
basisvectoren wordt B genoemd. Voor de berekening van de inverse<br />
matrix B ¡1 kunt u Maple gebruiken<br />
> with(linalg):<br />
> B:=matrix([[1,-1],[1,1]])<br />
" #<br />
1 ¡1<br />
B :=<br />
1 1<br />
> inverse(B)<br />
2<br />
6<br />
4<br />
1<br />
2<br />
¡1<br />
2<br />
> [y1,y2]=evalm(inverse(B) &* vector([3,2]))<br />
· ¸<br />
5 ¡1<br />
[y1;y2] = ;<br />
2 2<br />
1<br />
2<br />
1<br />
2<br />
3<br />
7<br />
5<br />
¡ 1 2<br />
1<br />
2<br />
µ 52<br />
Het komt er dus op neer dat u de vectoren van de nieuwe basis b 1 en b 2<br />
in de kolommen van een matrix zet die u B noemt. Elke vector x 2 R 2<br />
kanuitgedruktwordenindebasisvectorenb 1 en b 2: Uhoeftslechtsde<br />
inverse van B te kennen en de nieuwe kentallen y1 en y2 van de<br />
desbetreffende vector x zijn:<br />
µ y1<br />
y2<br />
<br />
= B ¡1<br />
µ<br />
x1<br />
x2<br />
Voorbeeld 2<br />
Bereken de kentallen van e 1 en e 2 ten opzichte van de basis fb 1 ;b 2 g<br />
van voorbeeld 1.<br />
Antwoord:<br />
De nieuwe kentallen worden<br />
B ¡1<br />
µ <br />
1<br />
0<br />
=<br />
µ<br />
12<br />
¡<br />
1<br />
2<br />
1<br />
2<br />
1<br />
2<br />
e1 = 1<br />
2 b1 ¡ 1<br />
2 b2 B ¡1<br />
µ <br />
0<br />
1<br />
=<br />
µ<br />
1<br />
2<br />
1<br />
2<br />
¡ 1<br />
2<br />
1<br />
2<br />
e 2 = 1<br />
2 b 1 + 1<br />
2 b 2<br />
µ 1<br />
0<br />
µ 0<br />
1<br />
<br />
<br />
=<br />
<br />
=<br />
µ 12<br />
µ 1<br />
2<br />
1<br />
2<br />
¡ 1<br />
2<br />
<br />
=)<br />
<br />
=)<br />
¡ 1 2
57.52-36.0 4<br />
Ga op afbeelding 1 na dat de kentallen van de vectoren e 1 en e 2 ten<br />
opzichte van de basis fb 1;b 2g kloppen.<br />
- Een vector 2 R n met n kentallen ten opzichte van fe 1;e 2; :::::; e ng<br />
kan overgevoerd worden naar dezelfde vector y 2 R n maar nu met<br />
kentallen ten opzichte van een nieuwe basis fb 1;b 2; :::::; b ng door<br />
middel van y = B ¡1 x waarbij B de matrix is waarvan de<br />
kolommen gevormd worden door de vectoren van deze nieuwe<br />
basis.<br />
UzultbegrijpendateenbasisindeR n bestaat uit n vectoren met n<br />
kentallen, dus de matrix B is vierkant. Deze n vectoren moeten<br />
onafhankelijk zijn. Dit houdt in dat de matrix B altijd inverteerbaar is.<br />
Opdracht 1<br />
Bereken de kentallen van de vector x =(1; 2; 3) ten opzichte van de<br />
basis:<br />
(Ã !<br />
1<br />
à !<br />
0<br />
à !)<br />
2<br />
fb1 ;b2 ;b3g = 2<br />
¡3<br />
; 0<br />
¡2<br />
; 6<br />
0<br />
1.2 Afbeeldingen ten opzichte van een basis<br />
U weet dat in de kolommen van een afbeeldingsmatrix van een<br />
afbeelding van R 2 naar R 2 de beelden staan van de basisvectoren e 1 en<br />
e 2: Dat wil zeggen dat de afbeelding beschreven is ten opzichte van<br />
dezebasis.Meestalzegtmendaternietbijalshetomde<br />
standaard-basis gaat.<br />
Voorbeeld 3<br />
Neemt u de afbeelding van R 2 naar R 2 vandespiegelingindelijn<br />
x1 = x2: Zie ook afbeelding 2.<br />
Afbeelding 2<br />
b2<br />
x2-as<br />
b1<br />
x1-as<br />
De matrix (ten opzichte van fe1;e2g) van deze afbeelding S (spiegeling<br />
in de lijn x1 = x2) is<br />
µ <br />
0 1<br />
S =<br />
1 0
57.52-36.0 5<br />
en heeft als kolommen de beelden van e1 en e2: Het zou eigenlijk<br />
mooier zijn om niet fe1;e2g als basis te nemen voor juist deze<br />
afbeelding S maar over te gaan op een nieuwe basis fb1;b2g met<br />
b 1 =<br />
µ 1<br />
1<br />
<br />
en b 2 =<br />
µ ¡1<br />
1<br />
Op afbeelding 2 zult u kunnen zien dat deze basis voor juist deze<br />
afbeelding zéér geschikt is, want bij deze spiegeling worden de beelden<br />
van deze basisvectoren op zichzelf of op hun eigen lijn afgebeeld!! De<br />
matrix (ten opzichte van fb1;b2g) van déze spiegeling moet als<br />
kolommen de beelden van b1 en b2 hebben! Bij deze afbeelding geldt<br />
dus dat b1 op zijn plaats blijft en dat b2 alleen maar omgeklapt wordt.<br />
De beelden van b1 en b2 zijn dus Sb1 = b1 en Sb2 = ¡b2: De<br />
vectoren b1 en b2 zijn nu juist de eigenvectoren van deze spiegeling!<br />
Als we deze beeldvectoren ook nog met de kentallen willen schrijven<br />
ten opzichte van de nieuwe basis fb1;b2g dan worden de beelden van<br />
deze basisvectoren na spiegelen in de lijn x1 = x2 dus<br />
B ¡1 µ <br />
1<br />
Sb1 = en B<br />
0<br />
¡1 µ <br />
0<br />
Sb2 =<br />
¡1<br />
Let op!, de betekenis van ¡ 1¢<br />
0 ten opzichte van de nieuwe basis fb1;b2g wil zeggen ¡ ¢ 1<br />
0 =1¢ b1 +0¢ b2: Vormen we nu met de beelden van b1 en b2 de kolommen van een<br />
matrix waarbij ook nog de kentallen ten opzichte van de nieuwe basis<br />
fb1;b2g gegeven zijn, dan krijgen we de matrix die de genoemde<br />
spiegeling beschrijft met als basis het stelsel fb1 ;b2g : Hetmoetu<br />
opvallen dat het resultaat een diagonaal-matrix is.<br />
B ¡1 µ <br />
1 0<br />
SB=<br />
0 ¡1<br />
- Algemeen geldt nu het volgende voor een afbeelding A (ten<br />
opzichte van de normale basis). Zet men de beelden van een stelsel<br />
nieuwe basisvectoren (met kentallen ten opzichte van deze<br />
basisvectoren) in de kolommen van de afbeeldingsmatrix, dan<br />
krijgt men de matrix B ¡1 AB:(De kolommen van matrix B<br />
worden gevormd door de nieuwe basisvectoren.) Deze<br />
samengestelde matrix stelt weer precies dezelfde afbeelding voor.<br />
Men moet zich echter bewust zijn van het feit dat deze afbeelding<br />
niet meer ten opzichte van de gewone basis beschreven wordt, maar<br />
ten opzichte van een nieuwe basis die natuurlijk wel erbij vermeld<br />
dient te worden.<br />
Opdracht 2<br />
Gegeven is een afbeeldingsmatrix A.<br />
µ <br />
5 ¡2<br />
A =<br />
6 ¡2<br />
a. Bereken de matrix van deze afbeelding, maar nu ten opzichte van<br />
de basis ©¡ 1¢<br />
¡ ¡1¢ª<br />
1 ; 1 waarvan de matrix B1 genoemd wordt.<br />
b. Bereken de matrix van deze afbeelding, maar nu ten opzichte van<br />
de basis ©¡ 1¢<br />
¡ 2¢ª<br />
2 ; 3 waarvan de matrix B2 genoemd wordt.
jordan<br />
57.52-36.0 6<br />
c. Bereken de eigenwaarden van afbeeldingsmatrix A.<br />
d. Bereken de eigenwaarden van de afbeeldingsmatrix B1 AB1 ten<br />
opzichte van basis B1 en ook van de afbeeldingsmatrix B2 AB2<br />
ten opzichte van basis B2:<br />
e. Bereken de eigenvectoren van A uitgedrukt in de basis fe 1;e 2g :<br />
f. Bereken de eigenvectoren van de afbeelding B1 AB1 ten opzichte<br />
van basis B1 en van de afbeelding B2 AB2 ten opzichte van basis<br />
B2: Let op!, deze eigenvectoren zijn dan ook uitgedrukt in de<br />
vectoren van de nieuwe basis.<br />
g. Controleer dat de kolommen van de matrix B ¡1<br />
1 AB1 gevormd<br />
worden door de beelden van de bijbehorende basisvectoren,<br />
uitgedrukt in deze basisvectoren.<br />
1.3 Diagonaalmatrix<br />
Het is niet voor niets geweest dat we in voorbeeld 3 de nieuwe<br />
basisvectoren b1 en b2 hadden genomen! De spiegelingsmatrix<br />
B ¡1SB(ten opzichte van fb1;b2g) wordtnuheelmooieen<br />
diagonaalmatrix.<br />
Misschien is u al opgevallen dat b1 en b2 juist de eigenvectoren waren<br />
van de spiegelingsmatrix S:<br />
Er geldt immers Sb1 = b1 en dus is b1 een eigenvector met<br />
eigenwaarde 1.<br />
Er geldt immers Sb2 = ¡b2 en dus is b2 een eigenvector met<br />
eigenwaarde ¡1.<br />
In de diagonaalmatrix staan heel netjes de eigenwaarden op de<br />
diagonaalplaatsen.<br />
Ook in opdracht 2 ziet u dat de basis van eigenvectoren de<br />
diagonaalmatrix (B2) oplevert bij basistransformatie naar de basis van<br />
eigenvectoren.<br />
- De matrix van S (van voorbeeld 3) ten opzichte van fe1 ;e2g stelt<br />
dezelfde afbeelding voor als de matrix B ¡1SB(met dezelfde<br />
eigenvectoren en dezelfde eigenwaarden), maar de laatste is ten<br />
opzichte van de basis fb1;b2g.Hierinvormendevectorenb1en b2 de kolommen van matrix B (uitgedrukt in deze basisvectoren).<br />
- Voor iedere afbeelding A van Rn naar Rn kan men in Rn een<br />
nieuwe basis kiezen (van n onafhankelijke vectoren) die Rn opspant (het domein van de afbeelding). De vectoren van deze<br />
nieuwe basis vormen de kolommen van de vierkante matrix B. De<br />
afbeelding wordt beschreven door matrix A (ten opzichte van<br />
fe1; ::::::eng),maarkanookbeschrevenwordendoordematrix B ¡1ABten opzichte van fb1; ::::::bng :<br />
U kunt zelf kiezen voor een willekeurige basis, maar de basis die<br />
gevormd wordt door de eigenvectoren vandeafbeeldingishetmooist.<br />
- De afbeeldingsmatrix ten opzichte van de basis van eigenvectoren<br />
wordt dan de diagonaalmatrix met op de diagonaalplaatsen de<br />
eigenwaarden.<br />
Maple heeft een gemakkelijk commando om van een afbeeldingsmatrix<br />
A van de R3 naar de R3 de diagonaalmatrix B ¡1AB te maken en<br />
metéén ook de matrix B van eigenvectoren te geven. Dit commando kan<br />
echter alléén gebruikt worden als u er zeker van bent dat u met een<br />
stelsel onafhankelijke eigenvectoren te maken hebt. Zo niet, dan krijgt u<br />
met dit commando ook geen diagonaalmatrix. Het commando luidt<br />
jordan en hier volgt metéén een voorbeeld.
57.52-36.0 7<br />
Voorbeeld 4<br />
Gegeven de afbeeldingsmatrix van de spiegeling van voorbeeld 3.<br />
Bepaal de diagonaalmatrix B ¡1 ABen ga na dat in de kolommen van<br />
de matrix B de eigenvectoren van A staan.<br />
Antwoord:<br />
Bij het opgeven van de matrix A kunt u als optie ’B’ meegeven die dan<br />
staat voor de matrix van eigenvectoren. De letter B (deze letter kiest u<br />
zelf) staat tussen quotes, want anders zou Maple deze kunnen opvatten<br />
als een eerder gedenieerde B.<br />
> with(linalg):<br />
> A:=matrix([[0,1],[1,0]])<br />
" #<br />
0 1<br />
A :=<br />
1 0<br />
> jordan(A,’B’)<br />
> evalm(B)<br />
" #<br />
¡1 0<br />
0 1<br />
2<br />
1<br />
6 2<br />
4 ¡1<br />
2<br />
Uzietdatdediagonaalmatrix links boven de eigenwaarde ¸ = ¡1<br />
vermeldt. In de bijbehorende matrix B vindt u als eerste kolom de<br />
eigenvector ( 1 1<br />
2 ; ¡ 2 ): Deze eigenvector noteren wij meestal zonder<br />
breuken als (1; ¡1): Het maakt niet uit welke lengte deze eigenvector<br />
heeft, het moet een representant zijn. De tweede eigenwaarde ¸ =1<br />
van matrix A staat op de tweede diagonaalplaats van de<br />
diagonaalmatrix en de tweede eigenvector staat in de tweede kolom van<br />
matrix B. Deze tweede eigenvector staat als ( 1 2 ; 1 2 ) genoteerd, maar wij<br />
schrijven liever zonder breuken (1; 1): De controle voor de<br />
eigenwaarden en eigenvectoren kunt u ook met eigenvects doen.<br />
1<br />
2<br />
1<br />
2<br />
> eigenvects(A)<br />
[¡1; 1; f[¡1; 1]g]; [1; 1; f[1; 1]g]<br />
Opdracht 3<br />
Onderzoek of er een basis van eigenvectoren te vinden is bij de<br />
volgende matrices en bepaal zo mogelijk de diagonaalmatrix.<br />
P =<br />
à 3 ¡1 ¡1<br />
0 1 0<br />
1 ¡1 1<br />
!<br />
3<br />
7<br />
5<br />
0<br />
1<br />
1 3 ¡ 2 2 0<br />
en Q = @ 3 1<br />
2 ¡ 2 0 A<br />
0 0 3