WOORDPROBLEME Gr.12 HB: Bestudeer bls.60-62. - AdMaths

1 / 8
GEVORDERDE PROGRAM WISKUNDE
AFDELING : CALCULUS
LES 25 : WOORDPROBLEME
Gr.12 HB: Bestudeer bls.60-62. “Maximum and minimum values”
Gr.12 HB: Doen Exercise 6.3 bl.62.
VOORBEELD 1
Om 13:00 is twee vragmotors op pad na dieselfde kruising. Die
een is 100 km van die kruising en ry teen 60 km/h suidwaarts. Die
ander is 140 km van die kruising en ry teen 80 km/h weswaarts. Op
watter tydstip sal die twee vragmotors die naaste aan mekaar wees?
OPLOSSING
Na x uur het die vragmotors onderskeidelik 60x en 80x km
afgelê. Stem?
Bestudeer die diagram hieronder wat die situasie skets.
100 km
60x km
100-60x
60km/h
140-80x
80km/h
C25
80x km
140km
A
s t

2 / 8
Die afstand (D) tussen die vragmotors na x uur is die skuinssy van
‘n reghoekige driehoek met sye 100 – 60x en 140 – 80x.
2 2 2
D (100 60x) (140 80x)
Ons wil graag weet vir watter waarde van x is
‘n minimum.
Ons weet nie hoe lyk die grafiek van
weet dat
2
dD
dx
2
D ‘n minimum is waar
C25
2
2
D (en dus D)
D teenoor x nie, maar
2
dD
dx
2(100 60x)( 60) 2(140 80x)( 80)
120(60x 100) 160(80x 140)
0 20000x 34400
x 1,72 h
14 : 43
VOORBEELD 2
Vind twee positiewe irrasionale getalle (in vereenvoudigde
wortelvorm) waarvan die som vyf is en sodanig dat die som van die
kubiek van die een en die kwadraat van die ander so klein is as
moontlik.
OPLOSSING
Gestel die getalle is x en 5 – x.
3 2
x (5 x) moet so klein wees as moontlik.
Dit is weer eens ‘n optimeringsprobleem en jy benodig calculus.
Laat
3 2
K x (5 x) en minimeer K.
0

3 / 8
Ons weet nie hoe lyk die grafiek van K teenoor x nie, maar
weet dat K ‘n minimum is waar dK
0 .
dx
dK
dx
2
2 1
3x 2(5 x) .( 1)
2
0 3x 2x 10
3x 2x 10 0
x
2 124
6
2 4.31
6
2 2 31
6
1 31
3
1 31
3
is negatief.
1 31 1 31
x ; 5 x 5
3 3
Dus die getalle is
1 31
3
15 ( 1
3
31)
16 31
3
en
C25
16
31
3

VOORBEELD 3
4 / 8
Die deursnit van ‘n drein is ‘n gelykbenige trapesium met drie sye
gelyk aan 2 meter, soos voorgestel. Vind sodat die deursnit area
so groot as moontlik is en vind hierdie maksimum area.
2m
OPLOSSING
Vir die deursnit van die drein om ‘n trapesium te wees, moet
0 . Ons moet nou die area van die trapesium bereken in
2
terme van θ.
Die vertikale stippellyn hieronder kan soos volg bereken word:
vertikaal
sin vertikaal 2sin
2
Soortgelyk kan die horisontale komponent bereken word:
2m
2m
2m
2m
2m
Die area van die trapesium is dus die areas van twee reghoeke.
C25
2cos
2sin

5 / 8
Hier volg weer die dubbelhoek-identiteite:
sin2A
cos 2A
2sin
A cos A
2cos
1
cos
2
2
A
A
2sin
2
sin
A
Terug by die probleem:
A 22sin 2cos 2sin
1
2
A
4sin 2.2sin cos
4sin 2sin2
dA
4cos 4cos2 0
d
4cos 4(2cos 1) 0
2
8cos 4cos 4 0
2
2cos cos 1 0
(2cos 1)(cos 1) 0
2
cos
1
2
of cos 1 ; 0
2
3
Die hoek moet dus 60° wees sodat die drein se deursnit-area ‘n
maksimum is en die pyp maksimum volume kan hanteer. Nou is jy ‘n
ware ingenieur!!!
33 A 4sin 2sin2 4 2 3 3 m
3 3 2 2
Graad 12 handboek: Doen Exercise 6.4 bls. 64-68 no. 1,4,5,6,8,9,14.
Doen die res van die somme as voorbereiding vir ‘n toets.
C25
2

LES 25 : HUISWERK
VRAAG 1
2
6 / 8
1.1 Toon aan dat as (a ; a ) daardie punt op die kurwe
is wat naaste is aan die punt (3 ; 0) , dan is:
C25
2
y x
3
2a a 3 0
(3)
1.2 Vind die waarde van a en hierdie minimum afstand. (3)
VRAAG 2
‘n Partikel P beweeg in ‘n sirkelvormige
baan, anti-kloksgewys, met ‘n radius van
2 meter. Dit het begin by A.
2.1 Gee die afstand s (in terme van
θ) wat afgelê is wanneer P bereik
word. (1)
Die spoed van die partikel, as ‘n funksie
van die hoek θ, word gegee deur:
v( )
2
1
2.2 Bereken θ wanneer maksimum spoed bereik word. (6)
2.3 Bereken hoe ver dit gereis het wanneer maksimum spoed
bereik word. (1)
[6]
[8]

VRAAG 3
7 / 8
In die diagram is ‘n regte silinder ingeskrewe in ‘n regte sirkelvormige
keël, met alle sentrale lyne wat saamval. Die hoogte van die keël is 6
cm en die radius van die basis van die keël is 3 cm. Die silinder het
radius r en hoogte h.
3.1 Toon aan dat: h 6 2r
(3)
3.2 Druk die volume van die silinder uit as ‘n funksie van r. (3)
3.3 Bepaal die maksimum volume van die silinder. (5)
C25
[11]

VRAAG 4
8 / 8
Gegee: die kromme van f(
x)
2cos
x en g( x)
sin2x
.
AB is ‘n vertikale lyn wat die maksimum afstand tussen f(x)
en g(x) voorstel in die interval
4
x
.
2
4.1 Bepaal die waarde van x waarby hierdie maksimum
voorkom. (7)
4.2 Deur die Tweede Afgeleide Toets te gebruik, bewys dat jou
waarde in 4.1 wel op ‘n maksimumwaarde vir AB dui. (3)
4.3 Bereken hierdie maksimum afstand. (2 des) (2)
C25
2
[12]