36-(3+12) xy= - 24.com

Wiskunde
Wat is lineêre programmering?
Die gelyktydige grafiese oplossing van die stelsel lineêre ongelykhede word lineêre
programmering genoem. Lineêre programmering het ten doel om sekere probleemsituasies
op te los deur ’n aantal beperkings as lineêre ongelykhede uit te druk. Hierdie
is ’n relatiewe nuwe ontwikkeling in Wiskunde wat tydens die Tweede Wêreldoorlog sy
beslag gekry het. Dit word veral in die ekonomiese wetenskappe gebruik.
Hoe pak ek so ’n probleem aan?
• Lees die probleem een keer heeltemal deur, sodat jy ’n geheelbeeld van die
probleem kan kry.
• Bepaal watter eenhede jy x en y gaan noem. Dit wat geoptimeer (’n
maksimum of ’n minimum van gemaak word), is dit wat aan x en y gelyk
gestel moet word. Moenie eenhede wat beperkings beheer, gelykstel aan x
en y nie.
• Beperkings wat natuurlik ontstaan, word implisiete beperkings genoem,
bv. veranderlikes is gewoonlik nie negatief nie ==> x,y ≥ 0
• Besluit of die veranderlikes enige reële waardes kan aanneem(x,y R)
bv. liters melk of slegs heelgetalwaardes (x,y N) bv. ’n aantal tafels.
• Skryf ’n ongelykheid neer vir elk van die gegewe voorwaardes.
Voorbeelde
Voorwaarde Ongelykheid
Y is nie meer as 10 nie
X is hoogstens 15
Y is minstens 150
X is nie minder as 30 nie
X en Y is saam op die meeste 8
Twee keer X is hoogstens drie keer Y
Verhouding van X tot Y is nie groter as 3: 5 nie
X is minstens dubbel soveel as Y
Y is nie meer as drie keer X nie
• Orden die gegewens in tabelvorm indien nodig.
Voorbeeld
’n Super X-motorfiets benodig 50 uur vir verf en afwerking en 10 uur vir kontrole
en toetsing. ’n Super Y-motorfiets benodig benodig 40 uur vir verf en afwerking en
20 uur vir kontrole en toetsing. Die totale aantal uur wat beskikbaar is per maand
is: 13 000 in die verf- en afwerkingafdeling en 5 000 in die kontrole- en
toetsingafdeling.
Aantal super X- Aantal super Y- Beperkings
motorfietse is x motorfietse is y
Verf en afwerking
50 x
40 y
≤ 13 000
Kontrole en toetsing
10 x
20 y
≤ 5 000
Ongelykhede: 50x + 40y ≤ 13000
10x + 20y ≤ 5000
• Skets ’n assestelsel en merk die asse met ’n kort beskrywing van die
veranderlikes en hul eenhede.
• Skets die ongelykhede en stel die gangbare gebied voor. Die gangbare
gebied is die geasseerde gedeelte, wat die gelyktydige grafiese oplossing
voorstel. Benoem die hoekpunte van die gangbare gebied.
Voorbeeld
1.
2.
3.
4.
Y
8 A
6
4
2
C
E D
0
4
B
1
2 4 6 8 10
2
ABCDE is die gangbare gebied
• Bepaal die doelfunksie P = ax + by. Die doelfunksie is die funksie wat
geoptimiseer moet word, onderworpe aan die beperkings in die probleem.
Bepaal die minimum of maksimum as volg:
Gr 11:
1. Bepaal die koördinate van elke hoekpunt deur die stelselvergelykings wat die
hoekpunt vorm, op te los.
2. Stel die koördinate van elke hoekpunt in die vergelyking van die doelfunksie en
bepaal die wins by daardie hoekpunt.
3. Bepaal nou waar die maksimum of minimum bereik sal word.
3
X
Lineêre programmering
Gr 12:
1. Skryf die doelfunksie in standaardvorm van ’n reguitlyn.
2. Bepaal die helling van die lyn en trek ’n gidslyn (soeklyn) op die grafiek.
3. Beweeg nou ewewydig aan die gidslyn op of af op jou grafiek m.b.v. jou
liniaal. Die hoekpunt van die gangbare gebied wat eerste (die laagste)
gesny word, is die minimum en die hoekpunt wat laaste (die hoogste)
gesny word, is die maksimum.
4. Bepaal die koördinate van hierdie hoekpunt deur die stelsel vergelykings
wat die hoekpunt vorm, op te los.
5. Stel die koördinate van die hoekpunt in die vergelyking van die doelfunksie
en bepaal die waarde van daardie hoekpunt.
Voorbeeld.
Die skets stel ongelykhede voor wat lei tot die gangbare gebied ABCD.
Die wins op produk X is R2 en op produk Y is R3.
1. Die doelfunksie kan geskryf word as:
P = 2x + 3y
2. Die gradiënt van die doelfunksie is:
3. Die minimum wins word gemaak:
as x = 30 en y = 10 by C (30;10)
Die minimum wins is:
W = 2(30) + 3(10)
= R 90
4. Die maksimum wins word gemaak
As x= 10 en y = 70 by A(10; 70)
Die maksimum wins is:
W =2(10) + 3(70)
= R 230
Opdrag 1
Voltooi nou die volgende opdrag deur van die bogenoemde inligting gebruik te
maak.
’n Melkboer het 2 soorte beeste, Jersey en Friesland. Elke Jerseykoei lewer
6 liter melk per dag en elke Frieslandkoei lewer 4 liter melk per dag.
Om die vetgehalte van die melkmengsel te kontroleer, moet die getal
Jerseykoeie nie twee keer die getal Frieskoeie oortref nie.
Elke Jerseykoei benodig daagliks 4 kilogram hooi en 9 kilogram graanmengsel
vir growwigheid.
Die Frieskoeie benodig daagliks 8 kilogram hooi en 4 kilogram van die
graanmengsel.
Die boer het ’n totale hoeveelheid van 320 kilogram hooi en 360 kilogram van
die graanmengsel per dag beskikbaar.
Daar is hoogstens plek vir altesaam 45 koeie op sy eiendom.
Laat die aantal Jerseykoeie x en die aantal Frieskoeie y wees.
1. Skryf ’n ongelykheid in terme van x en y neer wat betrekking het op:
1.1 Die vetinhoud van die melk.
1.2 Die totale aantal koeie.
2.1 Voltooi die volgende tabel
x die aantal y die aantal Beperkings
Jerseykoeie Frieskoeie
Hooi
Graanmengsel
2.2 Skryf nou die twee ongelykhede neer wat deur die data in die tabel
voorgestel word.
2.3 Maak gebruik van die assestelsel om die beperkings voor te stel en die
gangbare gebied aan te dui.
2.4 Bepaal die maksimum hoeveelheid melk wat die boer van sy koeie kan
verkry deur:
2.4.1 Die doelwitfunksie neer te skryf.
2.4.2 Die aantal koeie te bepaal wat die boer moet aanhou om die maksimum
hoeveelheid melk te verkry.
2.4.3 Die maksimum aantal liter melk wat elke dag verkry kan word te bereken.
Leer en Presteer graad 10 - 12, bylaag tot Beeld, Dinsdag 11 Maart 2008 3