LineÄru vienÄdojumu sistÄ“mas. Gausa metode.
LineÄru vienÄdojumu sistÄ“mas. Gausa metode. LineÄru vienÄdojumu sistÄ“mas. Gausa metode.
Kā Gausa metode darbojas vispārīgajā gadījumā? Rakstām programmu datoram: Ja vajag, vienādojumus pārkārtojam: sākumā ar operācijām c) vai d) izbīdām kreisajā augšējā stūrī vienādojumu vai nezināmo x i , pie kura koeficients nav nulle. Tad pirmajam vienādojumam izpildām operāciju a), lai koeficients pie x i kļūtu vienāds ar 1. Tad vairākkārt izpildām operāciju b), izslēdzot x i no otrā, trešā utt. vienādojumiem. Pēc tam pirmo vienādojumu “atliekam malā”. Tālāk, ja vajag, ar c), d) izbīdām diagonāles otrajā vietā vienādojumu vai nezināmo x j , pie kura koeficients nav nulle. Utt. Katrā tādā solī vienādojumu un nezināmo skaits samazinās par 1. Tā turpinām, līdz vienādojumi un/vai nezināmie izbeidzas, un operācijas a, b, c, d lietot vairs nav iespējams. Kāds var būt Gausa metodes rezultāts? Darbojoties ar Gausa metodi, darbu nobeidzot, ir iespējami tikai 3 varianti. 1.variants – beigās rodas trīsstūris: ... ..... x 3 + 3x 4 + 2x 5 = 6; ............. x 4 + 2x 5 = 3; ...................... x 5 = 2. Un vairāk vienādojumu nav. Tad risinām "atpakaļ": x 5 =2; x 4 = –1; x 4 =5; utt. Tātad saskaņā ar mūsu Lemmu, šai gadījumā sākotnējai sistēmai ir viens un tikai viens atrisinājums (savietojama un noteikta sistēma).
2.variants – beigās rodas trapece. ... .... x 3 + 2x 4 + x 5 = 4 ............. x 4 +3x 5 = 5 Un vairāk vienādojumu nav. Tad risinām "atpakaļ": x 5 =t; x 4 =5−3t; utt. Tātad saskaņā ar mūsu Lemmu, šai gadījumā sākotnējai sistēmai ir bezgalīgi daudz atrisinājumu (savietojama un nenoteikta sistēma). Kā izskatās nenoteiktas sistēmas atrisinājumu formulas vispārīgajā gadījumā? 3.variants – darbs beidzies (operācijas a, b, c, d lietot vairs nav iespējams), bet aiz pēdējā iegūtā “normālā” vienādojuma (kam pirmā nezināmā koeficients ir 1) ir palikuši vēl viens vai vairāki vienādojumi. Tad visi šie palikušie vienādojumi ir formā 0=h (ja kreisajā puse būtu palicis kaut viens nenulles koeficients, tad mēs to varētu apstrādāt ar operācijām c, d, a). Ja visos palikušajos vienādojumos h=0, tad tos visus var atmest, un mēs nonākam pie 1. vai 2.varianta. Ja kādā no palikušajiem vienādojumiem h≠0, tad tas ir neizpildāms vienādojums. Tad saskaņā ar mūsu Lemmu, šai gadījumā sistēmai nav neviena atrisinājuma (nesavietojama sistēma). Piemērs: ...........0 = 1; ← neizpildāms. Esam pierādījuši teorēmu: Teorēma. Jebkuru savietojamu lineāru vienādojumu sistēmu ar Gausa metodes palīdzību var pārveidot ekvivalentā trīsstūrveida vai trapecveida sistēmā.
- Page 1 and 2: Mana personīgā lapa - šeit. Adre
- Page 3 and 4: Ir tikai viens atrisinājums: x=3/2
- Page 5 and 6: piekaitām (c)+3(b) 1 2 3 1 0 1 5/2
- Page 7 and 8: Gausa metode vispārīgajā gadīju
- Page 9: Piemērs trīsstūrveida sistēmai
- Page 13 and 14: tikai nulles atrisinājums) vai tra
2.variants – beigās rodas trapece.<br />
...<br />
.... x 3 + 2x 4 + x 5 = 4<br />
............. x 4 +3x 5 = 5<br />
Un vairāk vienādojumu nav. Tad risinām "atpakaļ":<br />
x 5 =t; x 4 =5−3t; utt.<br />
Tātad saskaņā ar mūsu Lemmu, šai gadījumā sākotnējai<br />
sistēmai ir bezgalīgi daudz atrisinājumu (savietojama un<br />
nenoteikta sistēma). Kā izskatās nenoteiktas sistēmas<br />
atrisinājumu formulas vispārīgajā gadījumā?<br />
3.variants – darbs beidzies (operācijas a, b, c, d lietot vairs nav<br />
iespējams), bet aiz pēdējā iegūtā “normālā” vienādojuma (kam<br />
pirmā nezināmā koeficients ir 1) ir palikuši vēl viens vai vairāki<br />
vienādojumi.<br />
Tad visi šie palikušie vienādojumi ir formā 0=h (ja kreisajā<br />
puse būtu palicis kaut viens nenulles koeficients, tad mēs to<br />
varētu apstrādāt ar operācijām c, d, a).<br />
Ja visos palikušajos vienādojumos h=0, tad tos visus var<br />
atmest, un mēs nonākam pie 1. vai 2.varianta.<br />
Ja kādā no palikušajiem vienādojumiem h≠0, tad tas ir<br />
neizpildāms vienādojums. Tad saskaņā ar mūsu Lemmu, šai<br />
gadījumā sistēmai nav neviena atrisinājuma (nesavietojama<br />
sistēma).<br />
Piemērs: ...........0 = 1; ← neizpildāms.<br />
Esam pierādījuši teorēmu:<br />
Teorēma. Jebkuru savietojamu lineāru<br />
vienādojumu sistēmu ar <strong>Gausa</strong> <strong>metode</strong>s<br />
palīdzību var pārveidot ekvivalentā<br />
trīsstūrveida vai trapecveida sistēmā.
Change language