Lineāru vienādojumu sistēmas. Gausa metode.

Mana personīgā lapa – šeit.
Adrese komentāriem: Karlis.Podnieks@lu.lv
Algebra:
Lineāru vienādojumu
sistēmas
Kārlis Podnieks, LU profesors
Lekcijas
This work is licensed under a Creative Commons License and is copyrighted © 2009-2012 by
me, Karlis Podnieks.
Literatūra
[1] E-kursa materiāli (latviešu valodā).
[2] A. G. Kurošs. Vispārīgās algebras kurss. Nauka, Maskava,
1971 (vai cita gada izdevums). Pieejama tiešsaistē šeit (krievu
valodā).
[3] System of linear equations Wikipedia – ātram pārskatam, ja
tēma jau zināma.
[4] WolframAlpha Wikipedia – aprēķiniem tiešsaistē.
Divi vienādojumi ar diviem nezināmajiem
Visa tā lielā teorija, ko tūlīt studēsim, ir izaugusi no ļoti
vienkārša uzdevuma.
Atcerēsimies skolas laiku:
2x+3y=5
2x−3y=1
Trīs metodes (var iznākt daļskaitļi):
a) Metode: jautājiet WolframAlpha:
{2x+3y=5, 2x−3y=1}
{x+2y+3z=1, 2x+2y+z=3, 3x+3y+5z=4}
b) "Izteikt x ar y":

x= 5−3y
2
;(5−3y)−3y=1 ; 4=6y ; y= 2
3
c) "Saskaitīt, lai pazūd": 4x=6 ; x= 3
2
Bet kāda tam jēga?
; x= 3
2 .
2x −1 2
; y= =
3 3 .
Kāpēc to ir vērts zināt un prast?
1) Optimizācijas uzdevumi.
Piemērs: no 50L spirta un 90L ūdens taisām divus maisījumus – 40% un 20%.
Abu cena ir 1 Ls par 1L. Kā jārīkojas, lai nopelnītu visvairāk?
Apzīmējam: x – pirmā maisījuma daudzums litros, y – otrā. Tātad mums ir
jāatrod skaitļi x, y ar vislielāko x+y, kam izpildās divi nosacījumi:
0.4x+0.2y≤50;
0.6x+0.8y≤90.
[Bilde no WolframAlpha: {0.4x+0.2y=50, 0.6x+0.8y=90}, ar taisnes
x+y=C bīdīšanu.]
Uzdevuma atrisinājums būs punkts, kurā krustojas taisnes 0.4x+0.2y=50,
0.6x+0.8y=90, t.i. lineāru vienādojumu sistēmas atrisinājums.
Reālos optimizācijas uzdevumos mainīgo skaits ir lielāks – pat simtos un
tūkstošos. Tad ir jārisina attiecīgi lielākas vienādojumu sistēmas.
2) Dator-modelēšanas uzdevumi.
Piemērs: PKikusts.EXE – programma, kas modelē gāzes molekulu kustību. Kā
tādu uzrakstīt?
Trīs situācijas (atceramies skolu...)
x+5y=1
x+5y=3
Nav neviena atrisinājuma. Kāpēc? Sauksim to par
nesavietojamu (pretrunīgu, nekonsistentu) vienādojumu
sistēmu.
2x+3y=5
2x−3y=1

Ir tikai viens atrisinājums: x=3/2; y=2/3. Sauksim to par
savietojamu un noteiktu sistēmu.
3x−y=1
6x−2y=2
Bezgalīgi daudz atrisinājumu: x=t; y=3t−1. Kāpēc? Sauksim to
par savietojamu un nenoteiktu sistēmu. Pavisam nenoteikta
jau nu tā nav...
3 vienādojumi, 3 nezināmie
(a) x+2y+3z=1;
(b) 2x+2y+z=3;
(c) 3x+3y+5z=4.
Metode: jautājiet WolframAlpha:
{x+2y+3z=1, 2x+2y+z=3, 3x+3y+5z=4}
Metode "izteikt un ievietot"...
Metode "izdalīt, pareizināt un atņemt" – izslēdzam vispirms x,
tad – y:
d) (b−2a) −2y−5z=1;
e) (c−3a) −3y−4z=1.
f) (d/−2) y+ 5
2
z=− 1
2 ;
g) (e+3f) (−4+3 5 3
)z=1−
2 2
h) (g/(7/2)) z=− 1
7 ;
y=− 1 5
−
2 2
z=− 1
7 ;
; jeb 7
2
z=− 1
2 ;
x=1 −2y −3z= 12
7 .
Šo metodi sauc arī par Gausa metodi jeb

izslēgšanas metodi (Gaussian Elimination). Šo metodi ir
visvieglāk vispārināt, t.i. piemērot 4 un vairāku vienādojumu
sistēmām – un “iemācīt” datoram!
Carl Friedrich Gauss Wikipedia (1777-1855) – viens no visu laiku
izcilākajiem matemātiķiem.
Droši vien, pats Kārlis Frīdrihs Gauss nemaz tik ļoti nepriecātos, uzzinot, ka
viņam piedēvē tik vienkāršu metodi, kas pie tam ķīniešiem bija zināma jau 2. gs.
pmē. (sk. Gaussian Elimination Wikipedia )
Gausa metode:
uzlabotā tehnikā uz tāfeles
Risinot sistēmas ar lielāku nezināmo skaitu, vienādojumu
pārrakstīšana kļūst apgrūtinoša. Taču bez tās var iztikt:
(a) x+2y+3z=1;
(b) 2x+2y+z=3;
(c) 3x+3y+5z=4.
1 2 3 1
2 2 1 3
3 3 5 4
−> atņemam (b)−2(a) un (c)−3(a)
1 2 3 1
0 −2 −5 1
0 −3 −4 1
> dalām (b) ar −2
1 2 3 1
0 1 5/2 −1/2
0 −3 −4 1

piekaitām (c)+3(b)
1 2 3 1
0 1 5/2 −1/2
0 0 7/2 −1/2
> dalām (c) ar 7/2
1 2 3 1
0 1 5/2 −1/2
0 0 1 −1/7
Ievērojiet, ka iegūtā tabula ir “trīsstūrveida”. Esam ieguvuši
ekvivalentu sistēmu:
x+2y+3z=1 ;
y+ 5
2
z=− 1
2 ;
z=− 1
7 ,
no kuras viegli atrodam nezināmo vērtības:
z=− 1
7 ;
y=− 1 5
−
2 2
z=− 1
7 ;
x=1 −2y −3z= 12
7 .
s vienādojumi, n nezināmie
Kā vispārīgā veidā pierakstīt s lineārus vienādojumus ar n
nezināmajiem?
ax+by=c;
dx+ey=f.
Būs jāpierod pie jauniem apzīmējumiem:

a 11 x 1 +a 12 x 2 =b 1 ;
a 21 x 1 +a 22 x 2 =b 2 .
Lasām "a viens viens", nevis
"a vienpadsmit", utt.
a 11 x 1 +a 12 x 2 +a 13 x 3 =b 1 ;
a 21 x 1 +a 22 x 2 +a 23 x 3 =b 2 ;
a 31 x 1 +a 32 x 2 +a 33 x 3 =b 3 .
Daži no koeficientiem var būt nulles, piemēram:
a 11 x 1 +a 12 x 2 +a 13 x 3 =b 1 ;
.......... a 22 x 2 +a 23 x 3 =b 2 ;
.................... a 33 x 3 =b 3 .
Šeit a 21 = a 31 = a 32 = 0.
Sekojot šiem paraugiem, uzrakstiet paši vispārīgu 4
vienādojumu sistēmu ar 4 nezināmajiem.
Tagad vispārīgais gadījums –
s vienādojumi, n nezināmie:
a 11 x 1 +a 12 x 2 + ... + a 1n x n =b 1 ;
a 21 x 1 +a 22 x 2 + ... + a 2n x n =b 2 ;
...
a s1 x 1 +a s2 x 2 + ... + a sn x n =b s .
Koeficients a ij (i-tais vienādojums, j-ais koeficients – pie x j ).
Brīvais loceklis b i .
Pie šiem apzīmējumiem būs jāpierod.

Gausa metode vispārīgajā gadījumā
Kā to izstāstīt? Un kā to noprogrammēt?
No piemēriem mēs jau zinām, ka Gausa metode ir veidota no
šādiem elementāriem soļiem:
a) Izdalām vienādojuma abas puses ar kādu
skaitli C (kas nav nulle).
b) No viena vienādojuma V 1 atņemam otru V 2 ,
pareizinātu ar kādu skaitli D, un rezultātu
V 1 −D∙V 2 liekam V 1 vietā.
Ko darīt, ja šajā operācijā rodas vienādojums 0=0?
Piemērs: x+y=1; 2x+2y=2.
Tad operāciju b) nemaz neizpildām, bet vienādojumu V 1
vienkārši atmetam. Kāpēc tā? Piemērs: x+y=1; 2x+2y=2.
Ko darīt, ja šajā operācijā rodas vienādojums 0=1 vai tml.?
Piemērs: x+y=1; 2x+2y=3.
Tad vienādojumi V 1 un V 2 nav savietojami, un tāpēc nav
savietojama arī visa sistēma. Tad tālāk vairāk nekas nav jādara.
Dažos gadījumos nākas izmantot vēl divas vienkāršas
operācijas:
c) Divus vienādojumus apmainīt vietām.
d) Divus nezināmos apmainīt vietām.
Piemērs:
0x+2y+3z=4,
2x+3y+4z=5,
3x+4y+5z=6.
Divi varianti: vai nu pārvietojam vienādojumus

2x+3y+4z=5,
0x+2y+3z=4,
3x+4y+5z=6,
vai arī pārvietojam nezināmos:
2y+0x+3z=4,
3y+2x+4z=5,
4y+3x+5z=6.
[Vienādojumu sistēmās visos vienādojumos nezināmos ir
pieņemts sakārtot vienādā secībā.]
Ar operāciju c) un d) palīdzību mēs vienmēr varam panākt, ka
sistēmas kreisajā augšējā stūrī ir nezināmais ar
nenulles koeficientu. Tālāk, šim koeficientam arī lietosim
operāciju a).
Vienādojumu skaits sistēmā operācijās a), b),
c), d) nemainās vai samazinās.
Vienādojumu sistēmas atrisinājums sakārtota skaitļu virkne:
(c 1 , c 2 , ..., c n ), ko ieliekot (x 1 , x 2 , ..., x n ) vietā, visi s
vienādojumi izpildās.
Jēdziens par ekvivalentām vienādojumu sistēmām (abām der
vai neder vieni un tie paši atrisinājumi).
Lemma. Ja lineāru vienādojumu sistēma S 2 ir
iegūta no sistēmas S 1 ar operāciju a), b), c), d)
palīdzību (jebkurā secībā, arī ar
atkārtojumiem), tad abas sistēmas ir
ekvivalentas.
Pierādījums. Matemātikas cienītājiem – pavisam viegls.
Trīsstūrveida un trapecveida sistēmas.

Piemērs trīsstūrveida sistēmai (visi diagonāles
koeficienti ir 1, sistēmas pēdējā vienādojumā ir viens
nezināmais):
x 1 +a 12 x 2 +a 13 x 3 =b 1 ; ← a 11 = 1;
.......... x 2 +a 23 x 3 =b 2 ; ← a 21 = 0; a 22 = 1;
.................... x 3 =b 3 ; ← a 31 =a 32 = 0; a 33 = 1.
x+2y+3z=7;
0x+y+2z=4;
0x+0y+z=3.
Trīsstūrveida sistēmai ir tieši viens atrisinājums, ko var ļoti
viegli aprēķināt.
Piemērs trapecveida sistēmai (visi diagonāles
koeficienti ir 1, bet sistēmas pēdējā vienādojumā ir vairāk par
vienu nezināmo):
x 1 +a 12 x 2 +a 13 x 3 =b 1 ; ← a 11 = 1;
.......... x 2 +a 23 x 3 =b 2 ; ← a 21 = 0; a 22 = 1.
Pat ja a 23 = 0, tad x 3 varam ņemt patvaļīgu vērtību, bet x 2 var būt tikai viena
vērtība b 2 . Tātad arī šai gadījumā sistēmai būs bezgalīgi daudz atrisinājumu.
x+2y+3z=7;
0x+y+2z=4.
Trapecveida sistēmai jebkura gadījumā ir bezgalīgi daudz
atrisinājumu, ko var viegli aprēķināt.
Trīsstūrveida un trapecveida sistēmu apvienotā definīcija –
ABĀM:
a) visiem i, j, ja i>j, tad koeficients a ij =0;
b) kā arī visiem i: a ii =1.

Kā Gausa metode darbojas vispārīgajā
gadījumā?
Rakstām programmu datoram:
Ja vajag, vienādojumus pārkārtojam: sākumā ar operācijām c) vai d) izbīdām
kreisajā augšējā stūrī vienādojumu vai nezināmo x i , pie kura koeficients nav
nulle.
Tad pirmajam vienādojumam izpildām operāciju a), lai koeficients pie x i kļūtu
vienāds ar 1.
Tad vairākkārt izpildām operāciju b), izslēdzot x i no otrā, trešā utt.
vienādojumiem. Pēc tam pirmo vienādojumu “atliekam malā”.
Tālāk, ja vajag, ar c), d) izbīdām diagonāles otrajā vietā vienādojumu vai
nezināmo x j , pie kura koeficients nav nulle.
Utt.
Katrā tādā solī vienādojumu un nezināmo skaits samazinās par 1. Tā turpinām,
līdz vienādojumi un/vai nezināmie izbeidzas, un operācijas a, b, c, d lietot vairs
nav iespējams.
Kāds var būt Gausa metodes rezultāts?
Darbojoties ar Gausa metodi, darbu nobeidzot, ir iespējami
tikai 3 varianti.
1.variants – beigās rodas trīsstūris:
...
..... x 3 + 3x 4 + 2x 5 = 6;
............. x 4 + 2x 5 = 3;
...................... x 5 = 2.
Un vairāk vienādojumu nav. Tad risinām "atpakaļ":
x 5 =2; x 4 = –1; x 4 =5; utt.
Tātad saskaņā ar mūsu Lemmu, šai gadījumā sākotnējai
sistēmai ir viens un tikai viens atrisinājums (savietojama un
noteikta sistēma).

2.variants – beigās rodas trapece.
...
.... x 3 + 2x 4 + x 5 = 4
............. x 4 +3x 5 = 5
Un vairāk vienādojumu nav. Tad risinām "atpakaļ":
x 5 =t; x 4 =5−3t; utt.
Tātad saskaņā ar mūsu Lemmu, šai gadījumā sākotnējai
sistēmai ir bezgalīgi daudz atrisinājumu (savietojama un
nenoteikta sistēma). Kā izskatās nenoteiktas sistēmas
atrisinājumu formulas vispārīgajā gadījumā?
3.variants – darbs beidzies (operācijas a, b, c, d lietot vairs nav
iespējams), bet aiz pēdējā iegūtā “normālā” vienādojuma (kam
pirmā nezināmā koeficients ir 1) ir palikuši vēl viens vai vairāki
vienādojumi.
Tad visi šie palikušie vienādojumi ir formā 0=h (ja kreisajā
puse būtu palicis kaut viens nenulles koeficients, tad mēs to
varētu apstrādāt ar operācijām c, d, a).
Ja visos palikušajos vienādojumos h=0, tad tos visus var
atmest, un mēs nonākam pie 1. vai 2.varianta.
Ja kādā no palikušajiem vienādojumiem h≠0, tad tas ir
neizpildāms vienādojums. Tad saskaņā ar mūsu Lemmu, šai
gadījumā sistēmai nav neviena atrisinājuma (nesavietojama
sistēma).
Piemērs: ...........0 = 1; ← neizpildāms.
Esam pierādījuši teorēmu:
Teorēma. Jebkuru savietojamu lineāru
vienādojumu sistēmu ar Gausa metodes
palīdzību var pārveidot ekvivalentā
trīsstūrveida vai trapecveida sistēmā.

Nesavietojamai sistēmai, Gausa metodes darba
laikā parādās vienādojums 0=h, kur h≠0.
Vienādojumu skaits un nezināmo skaits
Secinājumi no Gausa metodes:
1) Ja s=n (vienādojumu ir tikpat cik nezināmo)
tad ir iespējami visi varianti: sistēma vai nu ir
nesavietojama, vai arī atrisinājumu skaits ir
viens vai bezgalīgi daudz. Kāpēc?
2) Ja sn (vienādojumu ir vairāk nekā
nezināmo) tad tajā ir vismaz s−n atkarīgu
vienādojumu! Kāpēc? Piemērs – 5 v. un 4 n. Ir
iespējami visi varianti: sistēma vai nu ir
nesavietojama, vai arī atrisinājumu skaits ir
viens vai bezgalīgi daudz.
Homogēnas sistēmas
Definīcija: visi brīvie locekļi ir nulles.
x+2y+3z=0;
2x+2y+z=0;
3x+3y+5z=0.
Nulles atrisinājums homogēnai sistēmai der vienmēr: (0, 0, 0),
t.i. tās vienmēr ir savietojamas.
Ja lietojam Gausa metodi, kas var iznākt? Trīsstūris (tad der

tikai nulles atrisinājums) vai trapece (tad sistēmai ir arī
bezgalīgi daudz nenulles atrisinājumu). Kāpēc?
Datoriķiem: Gausa metodei
nepieciešamais programmas darbības laiks
Sk. Gaussian Elimination Wikipedia .
Ja n lineāru vienādojumu sistēmu ar n nezināmajiem risina ar
Gausa metodi, tad pavisam iznāk izpildīt aptuveni n 2 dalīšanas
operāciju, aptuveni n 3 reizināšanas un aptuveni n 3 atņemšanas
operāciju.
Uzdevums (i-iespēja). Saskaitiet precīzāk operācijas, kas
jāizpilda, risinot s vienādojumu sistēmu ar n nezināmajiem.
Jāiegūst 3 formulas.
Tas nozīmē, ka izmantojot datorus, ar Gausa
metodi var sekmīgi risināt sistēmas, kurās ir
līdz tūkstotim vienādojumu un nezināmo.
Bet ja vienādojumu skaits sniedzas miljonos,
tad būs jāizmanto citas metodes. Par tām sk. to pašu
Gaussian Elimination Wikipedia .
Datoriķiem: vēl viena problēma...
Gaussian Elimination Wikipedia – te varat izlasīt par vēl vienu
problēmu:
Gausa metodē atņemšanas operācijas mijas ar dalīšanām.
Piemērs:
x+y=1;
x+1,001y=2;
Atņemot no otrā vienādojuma pirmo:
0,001y=1;

y=1000; x=−999.
Ja 1,001 būtu radies noapaļošanas rezultātā, t.i. īstenībā tur ir
skaitlis no 1,0005 līdz 1,0015, tad īstā y vērtība ir robežās no
666,7 līdz 2000. Tāpēc korektāk būtu par rezultātu uzskatīt
nevis y=1000, bet gan:
y≈ 666,7+2000
≈1333 ; x≈−1332 .
2
Ja atņemšanas rezultātā rodas ļoti mazs skaitlis, ar kuru pēc
tam ir jādala, tad tas stipri palielina rēķināšanas kļūdas.
Tāpēc,programmējot praktiskai lietošanai, Gausa metodi vajag
vēl vairāk pilnveidot... Kā?