Gāzu kinētiskā teorija. Matemātiķa piedzīvojumi. Autors: Kārlis ...

More documents

Recommendations

Info

ut nonsense." Bet ja jau cilvēkiem ir radusies doma, ka gāze "īstenībā" ir ātri un haotiski lidojošu daļiņu (molekulu) spiets, tad Klapeirona vienādojumu taču vajadzētu mēģināt izvest no Ņūtona likumiem, kas “regulē” molekulu kustību? [Tā kā atrodamies 19.gs. pirmajā pusē, tad par kvantu mehāniku vēl nedomājam. Molekulas liekas esam elastīgas bumbiņas vai tml. ...] Matemātiski precīzi izdarīt to nav nemaz tik vienkārši. Līdz šim mums bija gāzes trauka modelis ar 5 parametriem (b, M, V, p, T), kurus savā starpā saistīja Klapeirona vienādojums pV=bMT. Tagad mums būs jauns modelis: trauks, kura tilpums ir V, kurā lido n molekulas, katras molekulas masa ir m (tātad M=nm), vēl varam domāt par molekulu kustības ātrumiem (jeb to kinētiskajām enerģijām), par molekulu sadursmēm savā starpā (kādi vienādojumi tās “regulē”?) un sadursmēm ar trauka sienām (kādi vienādojumi tās “regulē”?). Kopumā molekulu kustību, protams, “regulēs” Ņūtona mehānikas likumi (atrodamies 19.gs. pirmajā pusē!). Tad gāzes spiedienu mēs mēģināsim aprēķināt kā molekulu atsitienu spēku uz trauka sienas laukuma vienību. Bet kur šajā ainā lai atrodam gāzes temperatūru? Nekur. 1856.gadā August Karl Krönig (1822–1879, ģimnāzijas skolotājs Berlīnē) pirmais publicēja kaut ko līdzīgu (no matemātiķa viedokļa) Klapeirona vienādojuma izvedumam no savdabīga gāzes kinētiskā modeļa. Interesanti ir viņa izmantotie pieņēmumi par molekulu kustību. Tātad, vispirms, mums ir kubisks trauks ar šķautni h (t.i. V=h 3), kurā kustas n vienādas molekulas, katras masa ir m. Pilnīgi patvaļīgi kustēties molekulām, protams, atļaut nedrīkstam. Ja tās, piemēram, “sadomās” visas paralēli un vienlaicīgi “uzsist” pa kādu no kuba sienām, tad trauks tiks sagrauts. Molekulām vajadzētu kustēties “haotiski”, lai sitieni pa trauka sienām sadalītos laikā vienmērīgi. Bet kā šādu pieņēmumu ielikt mūsu jaunajā modelī? Skolotājs Krēnigs, protams, savā 1856.gadā nevarēja piedāvāt smalku statistisku hipotēzi. Tās vietā viņš pieņēma kaut ko pilnīgi nereālu: pirmkārt, ka gāzes molekulas ir “organizētas” 3 vienādās grupās (par n/3 molekulām katrā), un ka katras grupas visas molekulas kustas paralēli vienai koordinātu asij ar visām kopīgu fiksētu ātrumu v. Otrkārt, savā starpā molekulas nesaduras. Treškārt, grupas ietvaros molekulas kustas tā, ka to atsitieni pret grupai “iedalītajām” divām kuba skaldnēm ir vienmērīgi sadalīti laikā (piemēram, ja molekulām liekam kustēties saskaņā ar stingri vienmērīgi sadalītu kustības “grafiku”, tad varam iztikt vispār bez jebkādas statistikas). Izmantojot Ņūtona mehānikas likumus, aprēķināsim tagad gāzes spiedienu uz kuba sienām. Precīzāk mums to vajadzētu saukt par gāzes “teorētisko” spiedienu (vai
“modeļ-spiedienu”), jo aprēķināto spiediena vērtību sakrišana ar fiziski izmērāmiem reālu gāzu spiedieniem pagaidām vēl ir tikai hipotēze. Aplūkosim vienu no molekulām. Atsitiena spēks no kuba skaldnes ir molekulas impulsa mv izmaiņa laika vienībā (F=ma=(mv)'). Pirms atsitiena impulss ir mv, pēc atsitiena tas ir −mv, tātad izmaiņa ir 2mv. Ja aplūkojam vienu konkrētu kuba skaldni, tad no dotās molekulas viena atsitiena līdz otram paiet laiks 2h v , tātad viena molekula "spiež" uz šo sienu ar laikā vidējo spēku 2mv laukuma h 2 mv = 2h/v h . Uz skaldnes 2 vienību tas ir spiediens mv 2 mv2 mv2 2 e = = = 2 3 h h h V V , kur e= 1 2 mv ir vienas molekulas kinētiskā enerģija. Tātad dotās grupas visas n/3 2 molekulas uz doto kuba skaldni kopā rada “teorētisko” spiedienu: p= n 3 2 e 2 ne = V 3 V =2 3 E V , kur E=ne ir gāzes molekulu kopējā kinētiskā enerģija. Tātad: pV = 2 e E=2 3 3 n . Bet te ir vēl viena matemātiķim neskaidra lieta: ja molekula atsitas no sienas momentāni (0 sekundēs), tad atsitiena spēks teorētiski ir bezgalīgi liels. Bet, ievērojuši, ka vienas molekulas atsitieni notiek ik pēc 2h/v sekundēm, mēs impulsa izmaiņu 2mv sadalām “vienmērīgi” pa visu periodu 2h/v, un mums sanāk, ka viena molekula spiež uz trauka sienu “visu laiku vidēji” ar spēku 2mv mv2 = . Ja mēs gribētu šo secināšanas paņēmienu noformulēt kā aksiomu, tad kā tas 2h /v h būtu jādara? Šī jautājuma risinājums ir būtisks arī citos gāzu modeļos, ko aplūkosim tālākajās nodaļās. Te tātad jau kļūst būtisks jautājums par molekulu skaita n lielumu – mazam molekulu skaitam “vidējais atsitienu spēks” būs bezjēdzīgs. Vēl viens apsvērums – matemātiķis šo izvedumu varētu piemērot ne tikai trīsdimensiju gāzei. Atkārtojot tos pašus spriedumus divdimensiju gāzei, kuras molekulas kustas h x h kvadrāta robežās, mēs iegūtu, ka pV =E= 2 e E=2 2 2 n . Savukārt, viendimensiju gāzei, kuras molekulas kustas taisnes nogrieznī h, mēs iegūtu, ka pV =2E = 2 e E=2 1 1 n . Kāpēc tāda jocīga izrīkošanās ar saucējiem j = 3, 2, 1? Tas ir gan telpas dimensiju skaits, gan vienas molekulas brīvības pakāpju skaits (fiziķu apsvērums!). Tātad visās trijās formulās e/j ir vienas brīvības pakāpes enerģija, apzīmēsim to ar e', un tad triju formulu vietā iegūsim vienu, kas der visos trijos gadījumos:
Page 1 and 2: Uz autora personīgo tīmekļa lapu
Page 3: Izmantojot absolūto temperatūras
Page 7 and 8: Tā kā E= 3 2 pV , tad dE=−pSdx=
Page 9 and 10: piemēram, Wikipedia: Avogadro cons

Gāzu kinētiskā teorija. Matemātiķa piedzīvojumi. Autors: Kārlis ...

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?