Lekciju konspekts elektromagnētismā - Fizmati

Latvijas UniversitāteFizikas un matemātikas fakultāteFizikas nodaļaLekciju konspekts kursam vispārīgajā fizikāElektromagnētismsAs. prof. Andris MuižnieksNoformējums un grafika: Andris Muižnieks, Kaspars LācisRīga, 2003.AnotācijaŠajā konspektā tiem jautājumiem, kas tiek aplūkoti kursa “Elektromagnētisms”lekcijās, tiek dots lekcijas faktoloģiskais materiāls (zīmējumi, formulas u.c. fakti), kasstudentam ir obligāti jāzina. Materiāla izpratnei un pareizai interpretācijai jāapmeklēlekcijas un jāstudē mācību grāmatas. Tie eksāmena (programmas) jautājumi, kasnetiek aplūkoti lekcijās un nav šajā konspektā, ir jāapgūst patstāvīgi.

Saturs1. Elektrostatika.........................................................................................................41.1. Kulona likums.................................................................................................41.2. Elektriskais lauks ............................................................................................51.3. Gausa teorēma (G.T.) vakuumā .......................................................................61.4. Gausa teorēmas pielietošanas piemēri..............................................................72. Darbs, potenciāla enerģija un potenciāls elektriskajā laukā.....................................92.1. Darbs elektriskajā laukā ..................................................................................92.2. Potenciālā enerģija ..........................................................................................92.3. Potenciāls, potenciālu starpība jeb spriegums ................................................103. Vadītāji elektriskajā laukā....................................................................................113.1. Lādiņa izvietošanās, lauka intensitāte un potenciāls vadītājā..........................114. Līdzstrāva ............................................................................................................144.1. Elektriskā strāva............................................................................................144.2. Oma likums ķēdes posmam...........................................................................154.3. Oma likums diferenciālā formā .....................................................................164.4. Strāvas darbs un jauda. Džoula – Lenca likums .............................................174.5. Elektrodzinējspēks (EDS)..............................................................................184.6. Lādiņu atdalīšana strāvas avotos....................................................................184.7. Strāvas avota lietderības koeficients ..............................................................194.8. Oma likums ķēdes posmam, kurā ir elektrodzinējspēks .................................204.9. Sazarotas ķēdes, Kirhofa likumi ....................................................................215. Magnētiskie spēki un elektriskās strāvas magnētiskās ..........................................245.1. Magnētiskais spēks........................................................................................245.2. Kustoša lādiņa magnētiskais lauks vakuumā..................................................245.3. Magnētiskais lauks ap strāvas elementu un strāvu..........................................255.4. Vielas relatīvā magnētiskā caurlaidība, magnētiskā lauka intensitātes vektors265.5. Riņķveida strāvas magnētiskais lauks un strāvas magnētiskais moments .......265.6. Konvekcijas strāvas magnētiskais lauks, Roulenda un Eihenvalda eksperimenti............................................................................................................................275.7. Magnētiskā lauka indukcijas vektora cirkulācija, cirkulācijas teorēma (C.T.) unlauka virpuļainais raksturs (solenoidāls lauks)......................................................285.8. Cirkulācijas teorēmas pielietojumi.................................................................295.9. Spēks uz strāvas vadu ārējā magnētiskā laukā, strāvu mijiedarbība, Ampēralikums..................................................................................................................306. Elektromagnētiskā indukcija ................................................................................336.1. Elektromagnētiskās indukcijas parādība, Faradeja likums, Lenca likums.......336.2. Magnētiskās plūsmas maiņas iespējamie iemesli ...........................................346.3. Elektromagnētiskā indukcija no elektronu teorijas viedokļa...........................356.4. Elektromagnētiskā indukcija no enerģētiskā viedokļa ....................................357. Dielektriķi elektriskajā laukā................................................................................377.1. Elektriskais dipola moments..........................................................................377.2. Dielektriķa polarizācija .................................................................................387.3. Polarizācijas vektora saistība ar virsmas polarizācijas lādiņa blīvumu............397.4. Elektriskais lauks dielektriķī..........................................................................407.5. Gausa teorēmas vispārinājums telpā ar dielektriskiem apgabaliem.................418. Vielas magnētiskās īpašības .................................................................................428.1. Atoma magnētiskais moments.......................................................................428.2. Magnētiķu magnetizācija...............................................................................422

8.3. Magnetizācijas vektora saistība ar virsmas magnetizācijas strāvas lineāroblīvumu ...............................................................................................................438.4. Magnētiskais lauks magnētiķī........................................................................448.5. Cirkulācijas teorēmas vispārinājums telpā ar magnētiķu apgabaliem .............459. Elektromagnētiskais (EM) lauks, EM lauka enerģija un impulss, EM vilni...........469.1. Maksvela vienādojumi (MV).........................................................................469.2. Nobīdes strāvas .............................................................................................479.3. Pamatojums nobīdes strāvu ieviešanai...........................................................489.4. Pilna EM uzdevuma shēma ...........................................................................499.5. Elektromagnētiskā lauka enerģija, enerģijas plūsma, enerģijas plūsmas blīvums............................................................................................................................499.6. Elektromagnētiskā lauka impulsa blīvums.....................................................519.7. Elektromagnētiskie viļņi, viļņu vienādojumi..................................................529.8. Informācija par viļņa vienādojumu ................................................................539.9. Plaknisks EM vilnis.......................................................................................549.10. Elektromagnētisko viļņu enerģijas blīvums, enerģijas plūsmas blīvums,impulsa blīvums, spiediens, masas blīvums..........................................................559.11. Elektromagnētisko viļņu izstarošana, dipols kā starotājs..............................573

1. Elektrostatika1.1. Kulona likumsKulona likums vektoriālā un skalārā formāOgistēns Kulons, 1785. g. Mūsdienu forma SI sistēmā:F 12 r 12 F 21+ +qqrF1 2rq q1 2 1221= , F3124πε0r21−F12rr q1q2= , F = .24πεrε 0 =8.85*10 -12 C 2 /(Nm 2 ) – elektriskā konstante. Centrāls spēks.Superpozīcijas princips0q nq iq 2q 0F iF 1 F 2q 1rF =rn∑ F ii=1F n, kur F r iizrēķina pēc Kulona likuma lādiņu pārim q 0 un q i .SI mērvienību sistēmaI1mI1mF1mDef. Strāvas mērvienība – ampērs (A).Ja F=2*10 -7 N, tad I=1A.II∆q∆t∆q= , ∆ q = I∆t. Def. Lādiņa mērvienība - kulons (C) 1C = 1A⋅1s.∆t4

Kulona likums homogēnā neierobežotā dielektriķīq1q2F = 24πε0εr,kur ε − vielas relatīvā dielektriskā caurlaidība (rāda, cik reižu pavājināsies spēksvielā). Piemēri: vakuumam ε=1 (pēc definīcijas), gaisam ε=1.00059, ūdenim ε=81.1.2. Elektriskais lauksElektriskā lauka definīcijalādiņš lādiņš (tāldarbība)lādiņš lauks lādiņš (tuvdarbība)qrq 0FDef.q 0 .rr FE = - elektriskā lauka intensitātes vektors telpas punktā, kur atrodas lādiņšq 0Punktveida lādiņa elektriskais lauksr qq0rF qr=3 , E =34πε0εrq0 4πε0εrFrErrr= .+Superpozīcijas princips elektriskajam laukamSeko no superpozīcijas principa elektriskajam spēkam.q nq iq 2q 0E iE 1 E 2q 1E nrE =rn∑ E ii=15

Piemērs: elektriskais lauks 2 pēc absolūtās vērtības vienādu, bet ar pretējām zīmēm,punktveida lādiņu sistēmaiE+E +E +E --turpinot iegustam:E - +-Nepārtraukti lādiņu sadalījumi∆qρ =∆Vσ∆q=∆S∆q∆V∆q∆Stilpuma blīvums C/m 3 virsmas blīvums C/m 2∆q∆l∆qλ =∆llineārais blīvums C/m1.3. Gausa teorēma (G.T.) vakuumāElektriskā lauka plūsma caur virsmu SEEdSEndSSn r - normāles vienības vektors.r rr rdS = ndS - virsmas elementa vektors. Def. N = ∫∫ EdS - plūsma.S6

Gausa teorēmaEdSq nq n+kSq 1q 3q iq n+1q n+idSESdSEvaiVρdV∫∫ EdS = ∑ε = 1Srr10inqijeb∫∫r rn1EdS = q , kur q = ∑εS 0q ii=1Elektriskā lauka intensitātes plūsma caur noslēgtu virsmu S ir vienāda ar virsmasiekšpusē (tilpumā V) esošo lādiņu algebrisko summu, dalītu ar elektrisko konstanti.G.T. pieraksts nepārtrauktam lādiņu sadalījumam:∫∫ E dS =Srr1ε 0∫∫∫VρdV.G.T. pielietošanas soļi:1) Izmantojot sistēmas simetrijas īpašības tiek izveidots priekšstats par elektriskālauka kvalitatīvo raksturu;2) Tiek izvēlēta piemērota noslēgta virsma;3) Pielieto G.T. kvantitatīvi.1.4. Gausa teorēmas pielietošanas piemēriLielas vienmērīgi uzlādētas plāksnes lauksES G1dSEEdSS CS 00σq∫∫SdS S G2Er rEdS = r r r r∫∫ EdS + ∫∫ EdS + ∫∫r rEdS = ESS −G1S−G2S −C0+ ES0E+ 0 = 2ES; q = S 0σ ,σE = .2ε 07

Vienmērīgi uzlādētas lodes lauksSdSEqrEREqr0rdSEĀrpusē:S∫∫SSr rEdS = ∫∫ E ⋅ dS = E∫∫dS= E ⋅ 4πrSIekšpusē:r r2∫∫ EdS = ∫∫ E ⋅ dS = E∫∫dS= E ⋅ 4πr; qrqE = .34πεR0Bezgalīgi gara vienmērīgi uzlādēta diega lauksSSrqE = .2;24πε0r34 3 q r= ρ Vr= ρ πr, ρ = , q3 4r= q ,33πRR3EdSdSErEdSl∫∫SS G2S CS G1r rEdS = r r r r r r1∫∫ EdS + ∫∫ EdS + ∫∫ EdS = ∫∫ EdS = E ∫∫ dS = E2πrl,q = λl,E2πrl= λlεSG1λE = .ε 2πr0SG 2SCSCSC08

2. Darbs, potenciāla enerģija un potenciāls elektriskajā laukā2.1. Darbs elektriskajā laukāFr11rq 0ααr2dldr2qElektriskā spēka veiktais darbs punktveida lādiņam q 0 pārvietojoties lādiņa qelektriskajā laukā:A12=22q ⋅ qq ⋅ q4πεq ⋅ q ⎛ 1 ⎞ −4πε⎝ r ⎠000∫ Fdl = ∫F⋅ dl ⋅ cosα= ∫ dr = ∫ dr = ⎜ ⎟ =221rr124πεr1 00 1q ⋅ q0 ⎛ 1 1 ⎞=⎜ −⎟ .4πε0 ⎝ r1r2⎠Darbs nav atkarīgs no ceļa formas, bet tikai no galapunktu novietojuma - potenciālsspēku lauks. No superpozīcijas principa seko, ka elektriskā spēka veiktais darbs,pārvietojoties punktveida lādiņam q 0 , nav atkarīgs no ceļa formas arī jebkuras formaslādiņa q gadījumā.21r0212.2. Potenciālā enerģijaPotenciālo enerģijas W starpības (samazināšanās) starp diviem lādiņa q 0novietojumiem telpā tiek definēta kā elektrisko spēku veiktais darbs, lādiņam q 0pārvietojoties starp šiem stāvokļiem.Def. A12 = W1−W2FW2q 0W1dlq9

Potenciālās enerģijas absolūtā vērtība punktā P tiek definēta pieņemot, ka bezgalīgitālu no ierobežotas lādiņu sistēmas potenciālā enerģija ir 0.P8WW =0qq 0P8W∞= 0 , AP∞ = WP−W∞= WP, tātad W P= A P ∞2.3. Potenciāls, potenciālu starpība jeb spriegumsPotenciāls punktā PW PϕPq 0PqDef. ϕ = W PPq 0Potenciālu starpība jeb spriegums: Def. U12= ϕ1− ϕ1.ϕ1Edlϕ2qUU12= ϕ − ϕ=2∫11r rEdl12 .2=1q01q( W1−W2) = A12= ∫ F ⋅ dl = ∫ ⋅ dl = ∫01q021rr2rFq1 0r21r rE ⋅ dl , tātadHomogēnā laukāE1l22r2r r r r rr rU12 Edl = E dl = E ⋅ l , tātad U = E ⋅ l= ∫ ∫1112 .10

3. Vadītāji elektriskajā laukā3.1. Lādiņa izvietošanās, lauka intensitāte un potenciāls vadītājāVadītāja piemērs – metālsJa ārēja elektriskā lauka nav:nekustīgs pozitīvujonu režžģis ar makroskopiskolādiņa tilpuma blīvumu ρkustīgi brīvie elektroniar makroskopiskolādiņa tilpuma blīvumu ρtad rezultējošais makroskopiskais lādiņa tilpuma blīvums ρ ρ ++ ρ = 0.=−Ja vadītājs ievietots ārējā elektriskā laukā:E exE inE exE intad tā kā ir brīvie lādiņi, tad lādiņu pārdalīšanās turpināsies tik ilgi, kamēr vadītājaiekšienē rezultējošais elektriskais lauks kļūs 0:r r rE E + E = 0 .rez=ex in11

Vadītāja ārējā elektriskā laukā īpatnības elektrostatiskā līdzsvara gadījumā1. Vadītāja iekšienē rezultējošais elektriskais lauks ir 0.2. Vadītāja iekšējiem un virsmas punktiem ir vienāds potenciāls.3ϕ 3q>0Eϕ 11dldlE=0ϕ 2222r r rϕ1− ϕ2=0 , tātad ϕ = ϕ = ϕ = ϕ const .∫ E ⋅ dl = ∫ 0 ⋅ dl=111 2 3=3. Ārpus vadītāja tā virsmas tiešā tuvumā rezultējošais elektriskais lauks irperpendikulārs virsmai.dϕq>0Edlϕ=constE=0r rPotenciālam nav lēciena, dϕ= E ⋅ dl , ϕ = const, dϕ= 0,tātadr r r rE ⊥ dljeb E || n .4. Vadītāja iekšējos punktos rezultējošais makroskopiskais lādiņa tilpuma blīvumsρ 0 , ( ρ = ρ ++ ρ = 0) , lādiņi izvietojas tikai uz virsmas kā virsmas lādiņi.=−dSq>0EE=0SρVTiek pielietota GT patvaļīgai noslēgtai virsmai vadītāja iekšienē:r r 1EdS= ρdV, ρ dV = 0 , ρ = 0.∫∫Sε 0∫∫∫V∫∫∫V12

5. Dobuma izveide vadītāja iekšienē neko nemaina, jo dobumam arī ρ = 0. Sekoekranēšanas iespēja.q>0EE=0dobumsρ=0ρ=06. Lādiņi izvietojas tikai uz ārējās virsmas, uz dobumu virsmām lādiņš nav.q>0EE=0dobumsρ=0SdSqVρ=0Tiek pielietota GT patvaļīgai noslēgtai virsmai, kas ietver dobuma virsmas fragmentu:r r 1∫∫ EdS = q , q = 0 .εS013

4. Līdzstrāva4.1. Elektriskā strāvaElektriskās strāvas definīcijaE r + brīvie elementārlādiņi strāva.Ja ir tikai pozitīvi brīvie elementārlādiņi:I+ ++ +E + ++ ++ +v+ +dq tdqEvt+dtDef.dqI = , [ I ] = A .dtJa ir abu zīmju brīvie elementārlādiņi, tad:IE+-Def.dq+ −+ dqI = .dtStrāvas blīvumsjSjdI+dSvdSDef.dI r rj = , j ↑↑ v+dSr rj = . Strāva caur virsmu S IS= ∫∫ jdS.2, [] A / mSElektronu teorija+e-elementarladins∆S+++v∆l∆qen0∆Sv∆tr rq = en0 ∆S∆l= en ∆Sv∆t, j = = = en0v, tātad j = en0v.∆t∆S∆t∆S∆014

Skaitlisks piemērs:I=10A1mm 27 2ρ23 500028 3j = 10 A/m , savukārt n0 ≈ NA= 6.024⋅10⋅ ≈ 6 ⋅10( 1/m )M77j 10 10 −3v = =≈ = 10 = 1( mm / s)2819 10en 6 ⋅10⋅1.6⋅10100−.0.05, tātad4.2. Oma likums ķēdes posmamOma likums un vadītāja pretestībaEϕ 1ϕ 22r rl U = ϕ1−ϕ2= ∫ Edl = E ⋅ l ,Daudzos gadījumos praksē1UE =l, kur U – spriegums.I ~ U , I = GU , kur G – elektrovadītspējaelektriskā pretestība.UI = - Oma likums ķēdes posmam, 1827.g. G. Oms.R1V1[ R ] = = 1Ω(oms), [ G] = = 1S(sīmenss).1A1ΩI = f U - voltampēru raksturlīkne.Vispārējā gadījumā ( )1R = -GIR 2R 1>IdivelektrodulampaIVolta loks0U0U0UĪpatnējā pretestībaSjOms atklāja, kallR ⋅ SR = ρ , Def. ρ = - materiāla īpatnējā pretestība.Sl15

2Ω ⋅ mm −6[ ρ ] = Ω ⋅ m vai 1 = 10 Ω ⋅ m .mVismazākā īpatnējā pretestība ir Ag un Cu. PiemēramĪpatnējā vadītspēja: Def. γ1ρ= , [ ]1 Sγ =Ω ⋅ m = .m−8ρ = 1.69 ⋅10Ω ⋅ m .CuPretestība vadam ar mainīgu šķērsgriezuma laukumu0R =l∫0dlρSSdljll4.3. Oma likums diferenciālā formājEIdSdlUI = , I = jdS , U = Edl , RR1tātad j = E , jeb j = γE.ρIezemējuma pretestībadl= ρ , dSjdS= Edlρdl/ dS,SUj ρ h>>r 0q -qdSrr0 0l >>r 0 0ϕ = q14πε0εr0,− qϕ2=4πε0εr0,qU = ϕ1−ϕ2=2πε0εr0,q UE r r= == 0 24πεεrr .20 0 016

4.5. Elektrodzinējspēks (EDS)Strāvas (elektroenerģijas) avotsq -qEEEEϕE ex1 2qF ex 0UF=q E 0ϕ1 22r rU = ϕ1 −ϕ2= ∫ Edlq01EEElektriskie spēki ārējā ķēdē veic darbu A = q ( − ϕ ) = q U 0ϕ .12 0 1 2 0>Elektriskie spēki iekšējā ķēdē veic darbu A = q ( −ϕ) = −A= −qU 0ϕ .21 0 2 1 12 0 0 irdarbs elektriskā lauka avotā pārvarēšanai, un A 0 raksturo berzi.EDS: Def.JaAE = , [ E ] = V .q 0A B , 21= 0B, 21>A q U + A AE =.q0 B,21B,21== U +0q0q02= ∆Q= I rt q Ir , kur Def. r – EDS avota iekšējā pretestība, tadE = U + Ir . Ja U = IR , tad E = IR + Ir un iegūstam:Oma likums noslēgtai ķēdei :I= E .R + r4.6. Lādiņu atdalīšana strāvas avotosF rex- ārējs, neelektrostatiskas dabas spēks, piemēram, EM indukcija vai ķīmiskasr rdabas spēki. Var ievest: Eex= Fex/ q0- ārējā spēku lauka intensitāte. Tad pilnaisr r rspēks F = q 0( Eex+ E), unr r r r r r r r r r rA = Fdl = q E + E dl = q E dl + q Edl q E dl(ex)0∫ex 0∫0∫∫ ∫ =L0 ex.LLLLATā kā E = , tad E = ∫ Erexdlr.q 0L18

EEdl2E ex1EdlULEVoltas stabs – pirmais pastāvīgās strāvas avots, A. Volta 1793. g. galvaniskie(ķīmiskie) elementi. Ķīmiskā elementa piemērs:+0.77V+Cu-Zn-0.33V+ =H SO 4H2SO2 SO+ =4→ H +4E= 1.1V4.7. Strāvas avota lietderības koeficients+ -E,rURĀrējā ķēdē elektriskie spēki veic lietderīgo darbu A l= qU = ItU . Iekšējā ķēdē22zudumi ∆ Q = I rt . Tātad pilnais darbs A = IUt + I rt = EIt .Lietderības koeficientsADef.l IUt Uη = = = , kur U – spriegums uz strāvas avota spailēm, E – strāvasA EItEIR 1avota EDS. Ja spēkā ir Oma likums, U = IR , tad η = = .I( R + r) 1+r / Rη10RJa r0, tad η1.19

Lietderīgā jauda:E22N l= I R =+R( R r) 2. Maksimālā vērtība pie:2 2∂N l 2 r − R= E = 04 R=r .∂R( R + r)0 =rN lR maxR2EN l ,max= ,4rIE= .2rLīniju lietderības koeficientsgeneratorsGUpateretajsN PR , NL LR L , N L – līnijas pretestība un jaudas zudumi tajā. Kopējā jauda N = N P+ NL.NPN − NLNL2IRLη = = = 1−. NL= I RL; N = IU ⇒ η = 1−,N N NUbet I = NU, tātad NR η = 1 − L .U2Lai η būtu 1, jāpalielina U pie dotās N (pārvadāmā jauda) un R L (līnijas pretestība).Energopārvadē lieto pat 300000V.4.8. Oma likums ķēdes posmam, kurā ir elektrodzinējspēksParasts ķēdes posmsR1 2UUI =RĶēdes posms ar elektrodzinējspēku. Piemērs, ja EDS darbojas pretēji spriegumam:R1 2+ + - -EUJa tajā pašā virzienā, tad:I =URU= IR + Ir + E , un+ E .+ rI =U − E .R + r20

Piemērs. EDS noteikšana ar kompensācijas metodi.+E x-ϕ2Aϕ1+E-JaI= 0,U = ϕ1−ϕ2= Ex4.9. Sazarotas ķēdes, Kirhofa likumiKirhofs, 1847. g. Sazarotas ķēdes – ķēdes ar mezgliem.1. Kirhofa likums∑kI = 0 - strāvu algebriskā summa ir 0.ka) izvēlas mezglu;b) patvaļīgi izvēlas strāvu apzīmējumus un virzienus visos zaros, kas pieietmezglam;c) raksta algebrisko strāvu summu: ja pienāk mezglam tad ar “+” zīmi, ja aiziet,tad ar “-“ zīmi, summai jābūt 0.Piemērs. I + I − I 01 3 2=II 12I32. Kirhofa likums∑jkIj K k=∑iEia) izvēlas noslēgtu kontūru;b) izvēlas apejas virzienu tajā;c) uzraksta spriegumu kritumu uz pretestībām algebrisko summu kontūrā, piekam, ja apejas virziens sakrīt ar strāvas virzienu pretestībā, tadIjRkņem ar“+” zīmi, ja ne tad ar “-“ zīmi;d) uzraksta EDS algebrisko summu, pie kam, ja apejas virziens sakrīt ar EDSvirzienu, tad ar “+” zīmi, ja nē, tad ar “-“ zīmi. Pielīdzina abas summas.21

Piemērs:I5E ,r3R3+ -7kontura - apejasvirziens+ -I E64 ,r 4R8∑ IiRk= r3 I5+ R7I5− R8I6− r4I6un ∑Ei= E 4−E3tātad E4− E3= r3I5+ R7I5− R8I6− r4I6.Shēmā atrod tik daudz neatkarīgas sakarības (gan mezglu punktiem 1. Kirhofa likumapielietojumus, gan kontūriem 2. Kirhofa likuma pielietojumus), lai kopīgais lineārineatkarīgo sakarību skaits būtu vienāds ar nezināmo strāvu skaitu. Atrisina lineāroalgebrisko vienādojumu sistēmu. Ja kādai strāvai I k >0, tad izvēlētais virziens irpareizs, ja I k

I∑j11Rj+ Ir = E ,I=E1∑ 1Rjj, tātad+ rR =∑j11Rj1 1, jeb = ∑R Rjj.Pielietojuma piemērs. n vienādi virknē saslēgti strāvas avotiE ,r+ -E ,r+ -1 1 j jEn,rn+ -R2. Kirhofa likumsIR∑ Ir j= ∑+jjIE , tātadI=nER + nrE=R + r1 rezun11rezE = reznE , r rez= nr1.Pielietojuma piemērs. n vienādi paralēli saslēgti strāvas avotiI 1E1,r1+ -II jI nE1,r1+ -E1,r1+ -R1. Kirhofa likumsI1 + K + Ij+ K+In− I = 0 jeb I = I1 + K + In.2. Kirhofa likums⎧I1r1+ IR = E1⎪⎨L⎪⎩Inrn+ IR = EnTā kā I1= K = Ij= K = In, tad I = nI1, un E1= K = Ej= K = En= E1, tātadIr1 + IR = E 1, vainI =E1.r1R +nAcīmredzami, ka Erez= E1unr= .nr rez123

5. Magnētiskie spēki un elektriskās strāvas magnētiskāsīpašības5.1. Magnētiskais spēks1820.g. H. Ersteds atklāj strāvas vada mijiedarbību ar magnētadatu. Lādiņi mierastāvoklī Kulona likums. Lādiņi kustībā speciālā relativitātes teorija, izmaināsF r r r r. No F = F el+ Fmizdalīta spēka komponente Fm, kas atkarīga no lādiņu kustības =magnētiskais spēks.Aplūkojam speciālgadījumuyq1q2F elF mF elvvxNo relativitātes teorijas seko:rr rr µ0q2v×F m= q1v×23 v4πr1−2c−72 2kur µ = 4π⋅10Ns C - magnētiskākonstante.0/22q1q2µ0vq1q2Fm2 vModuļiem (v

Lorenca spēksr r rr r r r r r rMagnētiskais spēks F m= qv × B , pilnais spēks F = F el+ Fm, tātad F = qE + qv × B .r r= qvB ⋅ sin v , B .Moduļiem ( )F mSpēka orientācija: kreisās rokas likums. F r ┴ B r un F r ┴ v r dv = 0 .dtFMērvienība, tā kā( ) [ ] NB = r r , B = = T ( tesla). Ja v

Magnētiskais lauks ap bezgalīgi garu, taisnu strāvas vadu2dlILαα2Rr αdαrdαBα1BI1r rµ0Idlsin α R rdαRdαB = ∫ dB , B = ∫dB= ∫ , r = , dl = = ,224πrsin α sin α sin αLL Lα22α 2µ0IRdα⋅sinα ⋅ sin α µ0Iµ0IB = sin α α cosα2 21cosα24π∫==−sin α 4π4πα⋅∫ dR RR1α1Bezgalīgi garam vadam α = 10 un α = π 2, tadµ0IB = - Bio-Savāra likums.4πB( )5.4. Vielas relatīvā magnētiskā caurlaidība, magnētiskā lauka intensitātesvektorsVielas klātbūtne var pastiprināt vai pavājināt magnētisko lauku, B = µB0(B 0 – kābūtu vakuumā, B – ja telpa ir nepārtraukti aizpildīta ar magnētisku vielu), µ – vielasrelatīvā magnētiskā caurlaidība. Paramagnētiķi - µ >≈ 1, diamagnētiķi - µ > 1. Tiek ievests palīgvektors – magnētiskā lauka intensitāte:Def.rr BIH = . Piemēram, Bio-Savāra likums tad ir: H = . [H]=A/m.µµ 02πr5.5. Riņķveida strāvas magnētiskais lauks un strāvas magnētiskais momentsLr 0B MIdB90 o BdlMagnētiskais lauks riņķa centrāµ0IdldB = ,24πrB0µ Iµ I 2πrµ I00 0 0= ∫dB= dl224πr∫ = = ,04πr02rLL0IH = .2r 026

Strāvas magnētiskais momentsIS MnSr r rDef. M = ISn = ISMagnētiskais lauks uz riņķa ass attālumā no x no riņķa plaknesLIr 0rxβdBdB||βBdBBdlµ Idlr µ Idlr= ,4πrr 4πrr2µ0Ir0µ0I2πrr0µ0 2MdB||= dl =, B =334πr2 224πx r 4πx + r00 0 0= , dB2 ||dB sin β = dB =3= ∫ ∫L L +( ) 2rr 2Mµ0Ja x>>r 0 , tad B =3 , t.i. nav tieši atkarīgs no r0 .4πx032( ) 205.6. Konvekcijas strāvas magnētiskais lauks, Roulenda un Eihenvaldaeksperimenti1) Strāva vados - vadīšanas strāva.2) Lādiņa mehāniska, makroskopiska pārvietošanās – konvekcijas strāva.+ - ++ --I + -+ -+ -+ -+ -+ -INBBS1878.g. Roulends kvalitatīvi. 1901.g. Eihenvalds kvantitatīvi.27

5.7. Magnētiskā lauka indukcijas vektora cirkulācija, cirkulācijas teorēma (C.T.)un lauka virpuļainais raksturs (solenoidāls lauks)Magnētiskā lauka līnijas (pretstatā elektriskā lauka līnijām) ir noslēgtas.BIE+qMagnētiskā lauka indukcijas vektora cirkulācijaĻoti garš, taisns strāvas vads perpendikulāri zīmējuma plakneidlβBrdαILr rI IBdl = Bdl cos µ0µ0β = Brdα= rdα= dα=0I2πr2π∫ µr r∫ ∫ ∫ ∫. Tātad ∫ Bdl =µ 0I .L L LLLLŠī izteiksme der arī ja kontūrs nav plaknē un vads ir liekts. Redzam, ka B r navpotenciāls lauks, jo potenciālam laukam, piemēram, E r spēkā vienmēr ir E r dlr= 0 .Cirkulācijas teorēma (vairāku strāvu gadījumā) integrālā formā+ -∫LSnI 1 I iI nI n+1dlBLrrn∫ Bdl = µ 0 ∑Li=1IiMagnētiskā lauka indukcijas vektora cirkulācija pa noslēgtu kontūru ir vienāda ar tostrāvu algebrisko summu (pareizinātu ar magnētisko konstanti), kuras sķērso virsmu,kas ir uzstiepta uz aplūkojamā kontūra. (Strāvu algebriskā summa ir atkarīga nokontūra izvēlētā apiešanas virziena un atbilstošā normāles virziena).r rHdl = nI .∑∫Li = 1i28

``Cirkulācijas teorēma diferenciālā formājjjSdSdlr r r r Lr rI = ∫∫ j ⋅ dS , tad ∫ Bdl = µ0 ∫∫ j ⋅ dSun no Stoksa teorēmas sekoSLr r r r r r r rrotB ⋅ dS = µ j ⋅ dS, un rotB = j , jeb rotH = j .∫∫S0∫∫µ 0Lauka virpuļainais raksturs (solenoidalitāte)Tā kā Laplasa formulā B r ┴ r un lauka līnijas ir noslēgtas, seko: B r dSr= 0 .SBBDiferenciālā formā: divB r= 0Secinājums: dabā nav magnētisko lādiņu.∫∫SC.T. pielietošanas soļi:1) Izmantojot sistēmas simetrijas īpašības tiek izveidots priekšstats parmagnētiskā lauka kvalitatīvo raksturu;2) Tiek izvēlēts piemērots noslēgts kontūrs;3) Pielieto C.T. kvantitatīvi.5.8. Cirkulācijas teorēmas pielietojumiBezgalīgi garš solenoīds (spole)iekspuse - summejas, -homogens - lauks BIarpuse - kompensejas -B=0∆lB∆ndlLIKonturam L :B µ 0 0= n I , kurvienību.r rBdl = µ ∆nI, lB = µ ∆nI, tatad∫ 0L∆0∆nn0 = - vadu skaits uz garuma∆l29

ToroīdsBdlBLSr 1r 2r∫Lr rBdl = µ 0nI , kur n – vijumu skaits. B2 π r = µ0nI, unµ0nIB = .2πrTaisns bezgalīgi garš vadsIL exdlrrdljµ0I2πr0B~r ~ 1 rr 0B inB exL in0r 0rI r r2 IIekšpusē: j = , B2 indl= µ0πr2π∫πrĀrpusē:∫L exrBr 0L inrdl = µ I , 2 π = µ I ,ex 0rB ex 00r µ0Irπ = , B in= .22 π r2, 2 rB inµ0I2r0µ0IB = - Bio-Savāra likums.2πr05.9. Spēks uz strāvas vadu ārējā magnētiskā laukā, strāvu mijiedarbība, AmpēralikumsSpēks uz strāvas elementuBIdl+ ++vdFrdqr rdF = dqv × B , dqvr r r r r= Idl, dF= Idl × B - Ampēra spēks.r rr r r rdF = IdlB sin dl , B . Orientācija: F ┴ dl, F ┴ B . Kreisās rokas likums.Moduļiem: ( )30

Homogēnā laukā taisns vada posmsBIlrFFr r r ⎛ r⎞r r r r r r= ∫ dF = ∫ Idl × B = I⎜dl ⎟∫× B = Il × B , tātad F = Il × B .L L ⎝ L ⎠r r= IlB sin l , B .( )2 gari paralēli vadi vakuumāII1 2∆F 12r∆F 21B 1∆lµ Iµ0 10I1I2∆lB1 , ∆ F21 = I2∆l⋅ B1, ∆F21= - Ampēra likums. ∆ F12 = ∆F212 π r2πr↑↑ - pievelkas, ↑↓ - atgrūžas .1A definīcija: Ja pie ∆l = 1mF=2*10 -7 N, tad I=1A.Magnētiskā spēka salīdzinājums ar elektrisko spēkuJa 2 gariem paralēliem vadiem vakuumā I = I 1= I2, tad2∆Fµ0IF m= = , bet savukārt I = λv, kur λ - kustīga lādiņa lineārais blīvums uz∆l2 π r2 22µ0λvλgaruma vienību. Tāpēc F m= , un = λ E = , tādejādi:2 π r2πε rF el 02 22Fmµ0λv 2πε0rv1== , jo µ22 0ε0= , kur c – gaismas ātrums.2Fel2πrλccParasti v

Vispārīgas strāvas kontūru formas gadījums, Ampēra likums diferenciālā formā)I1dldl 2r1 12dF 21dB 12r rr rr µ0Idl1×r r r rrµ120I2I1dl2× ( dl1×12)dB12= , dF321= I2dl2× dB12, dF21= ,34πr124πr12analogir rrrµ0I1I2dl1× ( dl2×21)dF12=34πr21r rVispārīgā gadījumā dF12 ≠ dF21.r rNoslēgtiem kontūriem gan ir spēkā: F 12= −F21.I232

``6. Elektromagnētiskā indukcija6.1. Elektromagnētiskās indukcijas parādība, Faradeja likums, Lenca likumsqF el1 +Fq m2 +Fvvr rTā kā F m ↑↓ Fel Fm var kalpot elektriskolādiņu atdalīšanai enerģijas avotos kā EDS.Faradeja likums1831.g. M. Faradejs atklāj elektromagnētiskās indukcijas parādību.SBB Bn dSE Lizveletais -- kontura -apiesanas virziens unattieciga- -normale-Magnētiskā lauka plūsma caur virsmu S:Def. Φ = B r dSr.∫∫SS d r virzienu (uz vienu vai otru pusi)nosaka n r virziens, bet to nosaka izvēlētaiskontūra apiešanas virziens.dΦE = − - Faradeja likums.dtMagnetiskās plūsmas caur virsmu S izmaiņas ātrums laikā ir vienāds arelektrodznējspēku (EDS), kas tiek inducēts kontūrā L, uz kura šī virsma ir uzstiepta.Ja E > 0 , EDS darbojas izvēlētajā kontūra apiešanas virzienā. Ja E < 0 , tad pretēji.Lenca likumsBaugB indI indELLenca likums ir viens no Faradeja likuma secinājumiem: EDS kontūrā tiek inducētstādā virzienā, lai tam atbilstošā inducētā strāva radītu tādu magnētisko lauku B r, kascenstos kompensēt arējā lauka B r izmaiņu (t.s. magnētiskā lauka inerce).ind33

````6.2. Magnētiskās plūsmas maiņas iespējamie iemesli1) Kontūrs nekustīgs, mainās magnētiskais lauksa) tuvina (att.) vai attālina magnētu b) ieslēdz (att.) vai izslēdz strāvuB|B|augB |B| augSNEEVV2) Mainās kontūra laukumsSBEnBBt 1 t 2Piemeram:BEVvadosas sliedites-vvadoss stienitis -3) Kontūrs griežasBdSBVdSEJa ir vairāki vijumi (spole)B1indΦi d dΦnE = ∑Ei= −∑= − ∑Φi= − , Φn- kopējā plūsma.ii dt dt i dtdJa Φ1 = K = Φi= K = Φn= Φ , tad Φn= nΦun E = −n Φ .dt34

6.3. Elektromagnētiskā indukcija no elektronu teorijas viedokļazBz`qK`K x`y` F0yxv1r r rLorenca spēks nekustīgā atskaites sistēmā K ir F = qv × B . Atskaites sistēmā K’, kurālādiņa ātrums v’=0 nav iemesla magnētiskajam spēkam. Novērotājs spēkur r rF ′ ( F ′ ≈ F , ja v

Ampēra spēka veiktais darbs: dA = Fdx = IBldx = IdΦ.Šo darbu un zudumus pretestībās nodrošināja EDS darbs2nezūdamības likuma izriet: E Idt = IdΦI Rdt , tātad0+E0dq = E0Idt . No enerģijasdΦE −I = 0 dt dΦ = Eindvar tikt uzskatīts, kā EDS, kas darbojas pretī.R dtdΦPraksē: līdzstrāvas elektromotoriem, ja v mazs, mazs, E indmazs, I liels un seko,dtka liels spēks un griezes moments.ParadokssLorenca spēks darbu nevar veikt ( F r ┴ v r ), bet inducētais E var ķēdē veikt darbu.mBF 1m-vF aF mB1r r r r rFa→ v → Fmv → v1→ F1m, F m= evB . F 1 m= ev 1B . Apskatām sistēmā veiktosdarbus: Fmveic darbu dAm = Fmv1 dt = evBv1dt, bet F 1 m: dA1 m= −F1mvdt= −ev1Bvdt.Kopējais Lorenca spēka veiktais darbs: dA = dA m+ dA1 m= 0 . Tātad Lorenca spēkstikai nosacīti “pagriež” F a darbu ķēdē.36

7. Dielektriķi elektriskajā laukā7.1. Elektriskais dipola momentsElektriskā dipola momenta definīcijal+q +pDivi punktveida lādini ar q += q −= q .Def. pr r= ql- elektriskais dipolamoments.-q -Ja atoma elektriskais dipola moments ir atšķirīgs no 0, tad atoms orientējas ārējāelektriskā laukā E r extā, ka tā dipola moments ir vērsts E rexvirzienā.E exF-E exF+pSpeku-paris-Fpagriez `` atomu sadi ``-+E at-EatEexSekojoši, atoma dipola elektriskais lauksDipola elektriskais lauksE rE r atpavājina uzlikto lauku E r ex.A Eq q q r2− r1ϕ = − =4πε0r14πε0r24πε0r2r1.Er αp 1⎧r2 − r1= l cosα r+αr 2Ja r >> l ⎨2 , tad⎩r2r1= rql cosαplϕ = = cosα-224πε0r4πε0r.r >> l⎛ ∂ϕ⎞ 2 p1 ⎛ ∂ϕ⎞ pAtvasinot: E r= −⎜⎟ = cosα3⎝ ∂r⎠α4πεr Eα= − ⎜ ⎟ = sin α30 ,r ⎝ ∂α⎠ 4πεrr 0 , un2 2 p2E = Er+ Eα= ⋅ 3cos α + 134πε0r.2 po pJa α = 0 , E = . Ja α = 90 , E = .334πεr4πεr0Potenciālam:0ϕ =+q4πεrqϕ−= ,0 1 ,4πε0r237

7.2. Dielektriķa polarizācijaInducētā polarizācija (nepolāras molekulas)++++++++E ex++++Orientācijas polarizācija (polāras molekulas)++++++ + ++ ++++ ++ +++++++++++++++++++++E exSpontānā polarizācija (piem., segnetoelektriķi), kad dielektriķa paraugs ir polarizētsbez ārējā elektriskā lauka ( E rex= 0). Spontānā polarizācija neveidojas vienmēr, jostarp lādiņiem darbojas ne tikai pievilkšanās, bet arī atgrūšanās spēki, kas cenšaspolarizāciju izjaukt. Bez tam molekulu termiskās svārstības cenšas polarizācijuizjaukt.jauc polarizaciju-+++sekme-polarizaciju-+Polarizācija samazina elektrisko lauku dielektriķī, jo uz dielektriķa virsmas rodasvirsmas polarizācijas lādiņa blīvums.Erez= Eex− Ep++++++++++++E pE exAcīmredzami, polarizācijas pakāpinosaka rezultējošais elektriskais lauksdielektriķa iekšienē.++++σ p 038

Polarizācijas vektorsTiek aplūkots makroskopiski mazs, bet mikroskopiski liels tilpuma elements∆ V .p ip 1p np 2Def.rP =∑∆Vrp∆Vi- polarizācijas vektors.∆V7.3. Polarizācijas vektora saistība ar virsmas polarizācijas lādiņa blīvumuρ + + ρ - =0nepolarizeta - molekulaNepolarizētā dielektriķi negatīvo lādiņu makroskopiskais tilpuma blīvums ρ−aizņemto pašu telpu, ko pozitīvo lādiņu blīvums ρ+. Tā kā ρ −= ρ += ρ , tad makroskopiskinekāda lādiņu blīvuma nav: ρ = 0.++ ρ −Polarizācijas rezultātā lādiņi savstarpēji nobīdās atbilstoši pārvietojuma vektoram l v .l-lq+P+npolarizeta - molekulalnr rKatrai molekulai dipolmoments ir p = ql. Tāpēc polarizācijas vektors (n0 – molekulur r rPnkoncentrācija): P = n 0ql = ρl. Tātad: ln= .ρVirsmas polarizācijas lādiņa blīvums uz sānu virsmas labajā puse:σpP= ρ ρρnln= =Pn39

7.4. Elektriskais lauks dielektriķīLineārais tuvinājums:r rP = ε 0κE, kur Def. κ - dielektriskā uzņēmība.Aplūkojam plakanu kondensatoru ar dielektriķi iekšpusē..+++++-----E pE rez+kondensatoraplates-----E exrezPolarizācijas lādiņa virsmas blīvums σp= Pn= ε 0κErez,nrada savu elektrisko laukuσp ε0κErez,nabilstoši lauka formulai starp divām platēm Ep= = = κErez,n.ε0ε0Bet no superpozīcijas principa: = E − E = E − E . No tā seko, kaErez, n ex p exκrez,nEexEexErez= = , kur ieved apzīmējumu: Def. 1 + κ = ε - vielas relatīvā1 + κ εdielektriskā caurlaidība. Tātad plakanā kondensatorā ievietojot dielektriķi, tā laukstiek pavājināts ε reizes.Turpmāk lietosim apzīmējumu: E = Erez. Tā kā palīgvektors – elektriskā laukar rindukcijas vektors tiek definēts sekojoši: D = ε 0εE, tad:rDε ( 1 r r r+ κ 0) E = ε E + P .=0Gadījumā, ja divP r≠ 0 , var parādīt, ka rodas arī polarizācijas tilpuma lādiņa blīvums.40

7.5. Gausa teorēmas vispārinājums telpā ar dielektriskiem apgabaliemDielektriskas vielas apgabalu klātbūtne rada polarizācijas lādiņus, kas izmainarezultējošo lauku E r . Tomēr arī šim izmainītajam laukam var formulēt Gausateorēmu.dSEPEε imakroskopisks ladins-` ``+- ε ++--2plans-vielasslanitis - -| ρ|=| ρ|+-E=0nρrez=0virsmaselements dSvirsma S+ - -----+ ε 1++q>0VSlPn+ + + + + +l - - - - - -nρ ++ ρ −S= 0Polarizācijas rezultātā virsmas elementu dS šķērsoja un tilpumā V iegāja lādiņšr r r r r r− dS ⋅ l n⋅ ρ+. Tā kā P = ρ+dlun PdS= ρ+dl dS = ρ+lndS, tad iegājušais lādiņš ir− P rdSr.Kopumā tilpumā V ieiet lādiņi − P r dSr.Pielietojam Gausa teorēmu vakuumam:r r 1 ⎡ r r⎤r r r∫∫ EdS = ⎢q− ∫∫ PdS ⎥ε ∫∫ ε0E+ P dS =S0 ⎣ S ⎦ S∫∫S∫∫S, [ ] q, tātadr rr rε 0εEdS= q jeb izmantojot palīgvektoru DdS = q .r r 1Ir nepareizi rakstīt ∫∫ EdS = q , jo tas der tikai speciālgadījumos, piemēram,ε εS0neierobežotā dielektriskā vidē.∫∫S41

Ja atoma paša magnētiskais moments ir 0 (diamagnētiķi), tad vielai magnetizējotiesr rM at↑↓ B exun magnētiskais lauks vielā ir samazināts.Magnetizācijas vektorsTiek aplūkots makroskopiski mazs, bet mikroskopiski liels tilpuma elements∆ V .M iM nM 1 M 2Def.rJ =∑∆VrM∆Vat,i- magnetizācijas vektors.8.3. Magnetizācijas vektora saistība ar virsmas magnetizācijas strāvas lineāroblīvumuAtoma magnētisko momentuM ratreprezentējam sekojoši:M atM atI atV atS at1V at – tilpums vielā uz vienu atomu, V at= , kur n0- atomu koncentrācija.n0r rJa vielā visi atomi vienādi magnetizēti, tad J = n0Mat, jeb J = n I S 0 at at.V at∆nmagnetika - virsmasfragments`I atI atI atS at∆lmateriala - ieksiene `-stravas - kompensejas -No zīmējuma seko, ka virsmas magnetizācijas strāvas lineārais blīvums i m ir:Iat⋅ ∆nIat⋅ n0 Sat∆lim = == Iat⋅ n0Sat= J , tātad∆l∆li m= J , t.i. virsmas magnetizācijas strāvas blīvums ir vienāds ar magnetizāciju.43

Le patrimoine paléoichnologique de la vie primitive en DobrogeaLe plus grand nombre de traces fossiles a été décrit dans la partie NE de Dobrogeade Nord dans des dépôts d’âge dévonien affleurant entre les localités Mahmudiaet Beştepe (sur la rive droite du bras Sf. Gheorghe), sur la colline Beilia Mare et ausud de la localité Nufăru (Mirăuţă, 1967 ; Oaie, 1989). On trouve ici de nombreusestraces appartenant au Faciès à Nereites (Oaie, 1989 ; Oaie & Brustur, 1999; Oaie,2001) représentées par les ichnogenres Chondrites, Stenberg, 1883, Helminthoida,Schafhautl, 1851, Helminthopsis, Heer, 1877, Protopalaeodictyon, Ksiazkiewicz, 1958et Scolicia, de Quatrefarges, 1849, très bien conservées sur la surface des niveauxargileux. Ces sédiments se sont déposés initialement dans un environnement turbiditiquedistal qui a été mis en évidence dans le cadre de la Formation Beştepe.L’ichnofaciès à Nereites (Seilacher, 1964) indique un milieu marin, bien oxygéné,avec des profondeurs de quelques centaines de mètres et un apport significatif dematière organique transportée par les courants marins de fond.FigURE 4. Formation de Beştepe (Dobrogea de Nord, Dévonien). Ichnogenre Helminthoida,Schafhautl, 1851.Cet ensemble de traces fossiles ci-dessus décrit se retrouve de manière spectaculairedans les affleurements du Dévonien qui sont exposés sur la rive droite du brasSf. Gheorge, du côté de la localité Ilgani. A partir d’une surface de couche (argilite) ontété décrites des traces fossiles ayant des formes diverses : radiaires, méandriformes,polygonales avec des dimensions millimétriques à décimétriques et des longueursvariables (Oaie, 2001) (Fig. 4). Malheureusement, suite aux pluies abondantes de cesdernières années, la surface à ichnofossiles a été recouverte par des mousses et des43

9. Elektromagnētiskais (EM) lauks, EM lauka enerģija un impulss,EM vilni9.1. Maksvela vienādojumi (MV)1860.g. - 1873.g. Dž. K. MaksvelsMV integrālā formā1. Elektromagnētiskā indukcija∫Lr r ∂Edl = −∂t∫∫Sr rBdSSBBdS.EdlL2. Magnētiskā lauka solenoidalitāte (magnētiskā lauka līnijas ir noslēgtas un nevarvirsmas iekšpusē aprauties)Br r∫∫ BdS= 0BSS dSB.3. Cirkulācijas teorēma magnētiskajam laukam pilnās strāvas gadījumār⎛ B ⎞⎝ µ0µ⎠( ε εE)⎛⎞∫ ⎜⎟ dl = ∫∫⎜j +0 ⎟⎠LrS⎝r∂∂trrdS∂jε 0εE∂t∂jε 0εE∂tSdldS.4. Gausa teorēma (jeb Kulona likums)∫∫ ε0dS = ∫∫∫Sr rεE ρdVVES dS.V ρ EEBL46

MV diferenciālā formārr ∂B1. rotE = −dt2. divB r= 0r⎛ B ⎞ rrot⎜⎟= j +µ µ⎝ ⎠rdiv ε εE=∂3. ( ε εE)0∂4. ( ) ρ0t0rB r Komplektu var aizstāt ar palīgvektoru H r , attiecīgi ε E r0ε ar D r .µ 0µ9.2. Nobīdes strāvas∂ rIzņemot locekli ( ε 0εE)3. vienādojumā viss pārējais 1873. g. bija eksperimentālo∂tfaktu vispārinājums. Locekli:∂ r rε 0εE= j - nobīdes strāvas blīvums, no teorētiskiem apsvērumiem ieveda∂tDef. ( )nbMaksvels. Pateicoties šim loceklim varēja parādīt tādas EM parādības kā EM viļņiiespējamību. Pieraksta formas nobīdes strāvas blīvumam:r r r r rr ∂ r ∂D∂( ) ( ε0E + P)∂E∂Pj nb= ε0εE= = = ε0+ .∂t∂t∂t∂t∂tPilnās strāvas blīvumsDef.rjpr r= j + j , kur r j - vadītspējas strāvas blīvums.nbPilnai strāvair r r r r r r r rI j dS = j + j dS = jdS + j dS = I + IP= ∫∫ p ∫∫( nb) ∫∫ ∫∫ nbnbSSSS, kur I – vadītspējas strāva,I nb – nobīdes strāva. Maksvels parādīja, ka lauku B r nosaka nevis I, bet I P . Tā kāj = σE , tad ja f (frekvence) 0 un σ → ∞ , j nb

9.3. Pamatojums nobīdes strāvu ieviešanaiCirkulācijas teorēma magnētiskajam laukam formār r r r∫ Bdl = µ0 ∫∫ jdS noved piepretrunas, ja aplūko pārtrauktu strāvas ķēdi, piemēram, kondensatora gadījumā.LSLdS 3dS 1dS 2IjBjEq + q -jdlS 2S 3 S 1Pielietojam cirkulācijas teorēmu: virsmai S 1∫Lr rBdl = µ 0I , virsmai S 2 B rdlr= 0 . Tā irpretruna, jo cirkulācijas teorēma atļauj patvaļīgi izvēlēties virsmu, kas uzstiepta uzkontūra L, rezultātam būtu jābūt neatkarīgam no izvēlētās virsmas. Šis piemērsierosina cirkulācijas teorēmu izmainīt tā, ka integrālī pa virsmu tiktu ņemts vērā ganrj (svarīgi virsmai S1 ), gan arī kaut kādā veidā E r (svarīgi virsmai S 2 ). Acīmredzami,r r r r r rka I = ∫∫ jdS , I = −∫∫jdS , I = −∫∫jdS , kur S = S 3+ S2- kopējā noslēgtā virsma.S 1S 3Sr rPielietojam Gausa teorēmu noslēgtai virsmai S = S 3+ S2: ∫∫ ε0εEdS= ∫∫∫ ρdV= q+.SVdqr r+d r rNo lādiņa nezūdamības seko I = , tātad −dt∫∫ jdS = ∫∫ε 0εEdSundtSSrr r d( ε0εE)∫∫ jdS + ∫∫ dS = 0.dtSS1. integrālis tiek saukts par no virsmas S izplūstošo vadītspējas strāvu I.2. integrālis tiek saukts par no virsmas S izplūstošo nobīdes strāvu I nb .d r( ε 0εE)tiek saukts par nobīdes strāvas blīvumu.dtI P =I+I nb tiek saukta par pilno strāvu. Tātad visas pilnās strāvas ir noslēgtas.Pilnās strāvas nepārtrauktības vienādojums:∫∫S⎛ r⎜ j +⎝ddtr ⎞ r( ε0εE) ⎟dS= 0 .⎠∫L48

Pielietojot diverģences teorēmu⎡ r d r ⎤ r d rdiv⎢j + (0εE) ⎥dV= 0 divj + εE⎣ dt ⎦dt∫∫∫Vε , ( ε ) 0 , bet div( ε εE) = ρ0=r0, tāpēcr dρdivj + = 0 dt- lādiņa nezūdamības likums diferenciālā formā.Pilnās strāvas nepārtrauktības vienādojumu var pārrakstīt sekojoši kondensatoragadījumam:rrrr r d ( ε0εEjdS) r r r d( ε0εE) rd( ε0εE)dS = 0 , − jdS + dS = 0 , I =∫∫S+ ∫∫Sdt∫∫S1∫∫SAcīmredzami, cirkulācijas teorēma dos vienādus rezultātus gan S 1 , gan S 2 , jacirkulācijas teorēmā vadītspējas strāvas vietā tiks lietota pilnā strāva.dt∫∫S2dtrdS9.4. Pilna EM uzdevuma shēmalauku avotiρ un j rAtrisinot MV no ρun j r iegūst E r un B rMateriālās sakarības, piem.,r rj = σEu.c., lādiņa nezūdamībaslikums ļauj iegūt ρ un r jr r r rF = q( E + v × B)Lorenca spēksr rF = mamehānikas kustības vienādojumiļauj iegūt ρ un r j9.5. Elektromagnētiskā lauka enerģija, enerģijas plūsma, enerģijas plūsmasblīvumsNo MV var tīri matemātiski izvest sekojošu integrālu sakarību patvaļīgai noslēgtaivirsmai S pa tilpumu V (skat. Platacis. Elektrība):r r r r∂ ⎡ ED + BH− ⎢∂t⎣ 2V⎤r r r[ E × H ] ⋅ dS ∫∫∫∫∫∫ dV ⎥ = ∫∫+⎦SVr rjEdV49

Locekļu analīzer rAtgādinām, ka D = ε 0εEunrr B0H = .µ 0µr r r rED + BH1. loceklis raksturo kaut kāda skalāra lieluma2izmaiņu laikā.r r2. loceklis ir kaut kāda vektora E × H plūsma caur virsmu S.integrāļa pa tilpumu Vr r3. loceklis: NV= ∫∫∫ jEdV. Lorenca spēka mehāniskā jauda vienai lādētai daļiņai irVr r r r r r rrN = F ⋅ v = [ qE + qv × B] ⋅ v = qEv. Kāda telpas punkta apkārtnē, kur ir lādētas daļiņasr r r rar koncentrāciju n 0 , EM spēka jaudas tilpuma blīvums ir n 0N = n 0qEv = jE(jor rj = qn0v). Ja rjErir EM spēka jaudas tilpuma blīvums, tad N V ir mehāniskā jauda, koEM lauks tilpumā V piešķir daļiņām.Mehānikā ar darba palīdzību definē spēku lauka potenciālo enerģiju W, kuras starpībastarp diviem stāvokļiem W 1 – W 2 vienāda ar spēku veikto darbu sistēmai pārejot no 1.stāvokļa uz 2. stāvokli.Šeit veidojam līdzīgas definīcijas:rr22 Br r r r E ε0ε+ED + BH µ0µ1. Def. ϖ = =ir EM lauka enerģijas tilpuma blīvums. EM22lauka enerģija tilpumā V tad ir W = ω dV .∫∫∫Vr r r r r2. Def. P = E × H = E × B µ 0µ ir EM lauka enerģijas plūsmas blīvuma vektors -Pointinga vektors. Enerģijas plūsma laika vienībā ΦWcaur virsmu S ir tadΦ P r dSr.W= ∫∫Sr r3. Def. NV= ∫∫∫ jEdVVir EM lauka spēku veiktā darba jauda tilpumā V.Jaunajos apzīmējumos enerģijas nezūdamības likums ir:dW∂ r r r− = ΦW + N V . Diferenciālā formā: − ϖ = divP + j ⋅ E .dt∂t50

PdSEBE D + BHω =2VFvSPiemēram, EM lauka enerģijas samazināšanāstilpumā V ir vienāda ar EM spēku veikto darbu(uz lādētām daļiņām) tilpumā V plus Pointingavektora plūsmas caur virsmu S integrālis pa laiku9.6. Elektromagnētiskā lauka impulsa blīvumsJa kādā telpas daļā mijiedarbojas EM lauks un materiālas lādētas daļiņas (piem.,punktveida lādiņi q i ar masu m i ), tad Lorenca spēka iedarbībā var mainīties daļiņuimpulsi. Aplūkojam kāda telpas punkta mazu apkārtni ar tilpumu ∆ V un n daļiņāmtajā. Katrai daļiņai i spēkārd( m v ) ri ir r= qiE + qivi× B, i = 1, K,n .dtSummējam visus šos vienādojumus un izdalām ar ∆ V :rr⎛ mivi⎞ qiqivid ⎜ ∑ ⎟ ∑ r ∑ riii⎜ ⎟ = E + × B .dt ⎜ ∆V⎟ ∆V∆V⎝ ⎠Kreisā puse ir sistēmas kopējais mehāniskais impulss dalīts ar tilpumu, tātad tas irimpulsa blīvums, ko sauksim par materiālo impulsa blīvumu k r ∑ qiimat. = ρ - lādiņu∆Vr∑ qivirimakroskopiskais tilpuma blīvums. = j - makroskopiskais strāvas blīvums.∆VTātad:ddtr r r r( k ) E + j × Bmat= ρ .Izmantojot MV var šī vienādojums labo pusi tīri matemātiski pārveidot tā, lai tajābūtu tikai vektori E r un B r . Pēc šiem pārveidojumiem var iegūt sekojošu integrāluizteiksmi patvaļīgai noslēgtai virsmai S ar tilpumu V:∂∂t⎡ rrP ⎤c ⎦∫∫∫ ⎢kmat+ ⎥dV= ∫∫V⎣rT dS2 ik ,r v rkur P = [ E × H ] - Pointinga vektors un T ik ir Maksvela spriegumu tenzors, kas irsarežģīta izteiksme no vektoriem E r un B r :51

δ r rik 2 2Tik= EiEk+ BiBk− ( E + B ).2rr PNo šīs sakarības secinām, ka vektoru k mat+ var definēt par sistēmas (EM lauks un2cmateriālās daļiņas) kopējo impulsa blīvumu, kur k rmatir materiālais impulsa blīvums.rr PDef. k em= tiek definēts par elektromagnētiskā lauka impulsa blīvumu.2r rcrTā kā P = E × H ir Pointinga vektors, tad:rk emrPcr rE × B= µ0ε0=µ0TikdS= ε2 0r rE × B .kmatkemSV9.7. Elektromagnētiskie viļņi, viļņu vienādojumiViļņa vienādojuma iegūšana no Maksvela vienādojumu sistēmasr∂Br⎫→ E⎪∂tr ⎬ EM viļņu iespējamība∂Er→ B⎪∂t⎪⎭Aplūkojam telpu bez lauka avotiem ( ρ = 0 ,r j = 0 ), ε, µ - const., tad:r⎧ r ∂B⎪rotE= −⎪∂tr⎪divB= 0⎨ r⎪⎛ B ⎞rot⎜⎟ =⎪⎝ µ0µ⎠⎪ r⎪⎩div( ε0εE)= 0∂∂t( ε εE)0rUz 1. vienādojumu iedarbojoties ar “rot” un izmantojot 3. vienādojumu iegūstam:52

otrrEε .∂t2∂∂( rotE) = − ( rotB) = −0εµ0µ2∂trrr2⎛ ∂ E⎜r2∂ E ⎞,Tā kā rot( rotE) = grad( divE) −⎜+ +⎟ 2 2⎝ ∂x∂y∂z2⎠sekor2∂ E2∂tr r r2 2 21 ⎛ ∂ E ∂ E ∂ E ⎞= ⎜⎟+ +2 2 2.ε0µ0εµ⎝ ∂x∂y∂z⎠Analoģiski iegūstrr r r22 2 2∂ B 1 ⎛ ∂ B ∂ B ∂ B ⎞= ⎜⎟+ +22 2 2∂.t ε0µ0εµ⎝ ∂x∂y∂z⎠r∂2rEŠāda tipa vienādojumam (viļņa vienādojums) eksistē viļņa veida atrisinājumi. Tātadelektromagnētiskais lauks var izplatīties telpā viļņu veidā – elektromagnētiskie viļņi.1Viļņa fāzes ātrums: v = .µ εµε0 0No ε0−12−6= 8.854 ⋅10F / m,µ = 1.257 ⋅10H / m , seko, ka vakuumā01 8v = c = ≈ 3⋅10m / s .ε0µ0Tā kā šis ātrums sakrita ar optiski izmērīto gaismas ātrumu, Maksvels secināja, kagaisma arī ir EM vilnis.cVielā v = .εµ222F H C T ⋅ m A ⋅ s ⋅ A ⋅ s N ⋅ m sMērvienību pārbaude:[ ε0µ0] = ⋅ = ⋅ = ⋅= .2m m V ⋅ m A ⋅ m N ⋅ m ⋅ m A⋅m ⋅ A⋅m m9.8. Informācija par viļņa vienādojumu2∂ f2∂t= v22∂ f2∂x- šāda tipa vienādojumu sauc par viļņa vienādojumu.Kā viļņa vienādojuma atrisinājums der jebkura sekojoša tipa funkcija:⎛ x ⎞xf ( x,t)= g(ξ ) = g⎜t− ⎟ , kur ξ = t − .⎝ v ⎠vŠo faktu pārbaudām ievietojot f(x,t) viļņa vienādojumā:2 22 2∂f∂g∂ f ∂ g ∂f∂g( −1)∂ f ∂ g 1= , = , = , = , tādejādi2 22 2 2∂t∂ξ∂t∂ξ∂x∂ξv ∂x∂ξv53

∂∂g∂g222ξ2= v2∂ξ12vun redzam, ka viļņa vienādojums izpildās.Piemērsy0v( - )t t 2 1A 1t12A 2tvvx A1x A2xViļņa izskatu apraksta funkcija g ( ξ ). Aplūkojam laika momentu t 1 . Viļņa forma telpā⎛ x ⎞ir g⎜t1− ⎟ . Pirmā maksimuma stāvoklis ir x A1 . Pēc kāda laika intervāla laika⎝ v ⎠⎛ x ⎞momentā t 2 viļņa forma telpā ir g( ξ ) = g⎜t2− ⎟ . Funkcijai g pirmais maksimums⎝ v ⎠xA 2xA1xA2− xA1būs pie tās pašas ξ vērtības, tātad t2 − = t1− ⇒ = v . Redzam, kav v t2− t1parametrs v patiešām ir viļņa pārvietošanās ātrums – fāzes ātrums.9.9. Plaknisks EM vilnisAplūkojam plakanisku EM vilni, kas izplatās x ass virzienā un kura viļņa fronte sakrītar y-z plakni (t.i. y un z virzienos nekas nemainās).1) No 4. MV:∂E∂Ex y ∂E+ +∂x∂y∂zz∂E = 0 , tātad seko x= 0 .∂xTātad E x x-ass virzienā nemainās. Tāpēc EM vilnim E x =0, jo pieņēmām, ka vilnisizplatās tieši x-ass virzienā. Analoģiski secinām, ka B x =0. Abi vektori E r un B r irperpendikulāri viļņa izplatīšanās virzienam, tātad EM vilnis ir šķērsvilnis. Viļņašķērsviļņa raksturs izriet no tā, ka telpā bez ρ un j r gan E r , gan B r ir solenoidāli.2) Pieņemam, ka y-ass vērsta tā kā E r vektors. Tad no 1. MV:rr⎛∂E∂Ey ⎞ r E E Ez ⎛ ∂x∂z ⎞ r⎛∂y ∂E⎞x ∂Bi⎜ − j⎟ + k= −y z⎟ + ⎜ −z x⎜ −x y⎟ , un seko, ka⎝ ∂ ∂ ⎠ ⎝ ∂ ∂ ⎠ ⎝ ∂ ∂ ⎠ ∂trr ∂Ey ∂B∂Brzk = − = − k . Tātad B r vektoram “jāguļ” uz z-ass, t.i. B r ┴ E r , pie kam∂z∂t∂t∂Ey∂x∂B= −∂tz∂Ey, un B = −∫ dt ∂ xz.54

3) Harmoniskā gadījumāEy⎡ ⎞⎤⎛ ⎞⎢ ⎜⎛ xωω 2πf2π= E −msin ω t ⎟⎥= Emsin⎜ωt− x ⎟ , kur ω = 2πfun = = = k ,⎣ ⎝ v ⎠⎦⎝ v ⎠v λ ⋅ f λkur k – viļņu skaitlis.yTātad E = E sin ( ωt− kx). Atrodam B z : = E ( − k) cos ( ωt− kx)Bym∂E∂x∂EyEmkEm= −∫dt = Emk( t − kx) dt = ( t − kx)∂x∫ cos ωsin ω.ϖvz=Kopsavilkums:m, unEByz= E= Bmmsinsin( ωt− kx)( ωt− kx), kurEB = mmv, tātad, ja E y>0, tad arī B z >0.yEvxzB9.10. Elektromagnētisko viļņu enerģijas blīvums, enerģijas plūsmas blīvums,impulsa blīvums, spiediens, masas blīvumsEM viļņa enerģijas blīvumsr r r rrED + BHr r r B0EM lauka enerģijas blīvums ir ω = (palīgvektori D = ε 0εEun H = ).2µ 0µEEM vilnim ir spēkā B = = ε0εµ0µ⋅ E jeb µ0µ ⋅ H = ε0ε⋅ E . Tad izmantojotvsimetrisku pierakstu, kas ērtāks izteiksmēs1 r r=000µ222( ε εE+ µ µ H ) = ε εµ ⋅ EHω0EM viļņa plūsmas blīvums1Tā kā vilnis izplatās (pārvietojas) ar ātrumu v = , tad caur viļņa izplatīšanāsµ0µε0εvirzienam perpendikulāru laukuma vienību laika vienībā izplūst enerģija1P = ωv= ε0εµ0µ⋅ EH ⋅ = EH .ε εµ µ0055

Tas ir enerģijas plūsmas blīvums jeb Pointinga vektora modulis. EM vilnī E, H,v irsavstarpēji perpendikulāri un veido labās skrūves sistēmu. Tas atbilst Pointingar r rvektora definīcijai P = E × H .Plakniskam vilnim:( t − kx)P = E H sin 2 ω .mmωPv0. x2Vidējais laikā enerģijas plūsmas blīvums: P EmHmsin ( t − kx) dt = EmHmT11=T∫ ϖ .20Ja vilnis izplatās vakuumā, tadε = H un0Emµ0mP12ε 1 µE mH mµ 2 ε0 20 2= = .00Piemērs. Caur 1m 2 izplūst 100J liela enerģija sekundē (jauda 100W). Elektriskā laukaintensitāte vilnī ir−7µ04 ⋅π⋅10E m= 2P⋅ = 2 ⋅100⋅= 275−12ε8.85⋅100( V m).EM viļņa impulsa blīvums un spiediensrr PTā kā EM lauka impulsa blīvums ir k =2 , un EM vilnim ir spēkā P = ω ⋅ c (ω -cω ⋅ c ωEM viļņa enerģijas blīvums), tad EM vilnim impulsa blīvums ir k = = .2c cω,kc∆STātad, ja EM lauks tiek absorbēts ķermenī ar virsmu,kas ir perpendikulāra viļņa virzienam, tad ķermeņavirsma saņem viļņa nesto impulsu.EM viļņa tilpuma∆ k = k ⋅ ∆S⋅ ∆x.∆ S ⋅ ∆ximpulss ir∆x=c∆t∆F∆kk ⋅ ∆S⋅ c ⋅ ∆tEM viļņa spiediens ir p = = == k ⋅ c .∆S∆t⋅ ∆S∆S⋅ ∆tωTā kā EM vilnim k = , tad spiediens ir p = ω .c56

EM viļņa masas blīvumsr rImpulss speciālajā relativitātes teorijā ir k = mv, kur m – relatīvistiskā masa, tāpēcimpulsa tilpuma blīvums ir k = δv, kur δ - masas blīvums. Šo pielietojot EM vilnimvakuumā, iegūstam (c – viļņa izplatīšanās ātrums): k = δEMc . Tā kā EM vilnimω2 ω2k = , seko ω = δc , un δ = . Noteiktam tilpumam: W = mc .2cc9.11. Elektromagnētisko viļņu izstarošana, dipols kā starotājsPaātrināta lādiņa kustība EM viļņu izstarošana (izplatās vakuumā ar gaismasātrumu c) lādiņš tiek bremzēts. Lai process turpinātos, ārējiem spēkiem jāveicdarbs bremzēšanas spēka pārvarēšanai, kas vienāds ar izstarotā EM viļņa enerģiju.2Var parādīt, ka starojuma jauda N star~ q ⋅ a .Aplūkojam oscilējošu dipola momentu:-q -( ωt)p = p0 sin ωt= qx0sin ..Dipola tiešā tuvumā pastāv:p1) elektriskais lauks E d~ 3sin θ , rqv2) magnētiskais lauks B d~ 3sin θ , r∂B23) virpuļains elektriskais lauks E ~ ~ ~ ω p0sin θ sin ( ωt)∂t∂t24) virpuļains magnētiskais lauks B ω p sin θ sin( ωt).~0c 2πcE un B izplatās vakuumā ar ātrumu c viļņu veidā, kuru viļņa garums: λ = = .f ωTā kā EM viļņi pārnes enerģiju, tad stacionārā starošanas procesā caur katru iedomātusfēru ap dipolu centrā un ar rādiusu r izplūst laika vienībā vienāda enerģija. Tāpēc:1E ⋅ B ⋅ 4π r2 = const,un E ~ B ~ . Ja r >> λ (viļņu zona), tad E>>E d , B>>B d unr2ω p0sin θE ~ sinrx 0x 02ω p sin θr∂I0( ωt), B ~ sin ( ωt)+q +.pθr,57

PBDipola starojumavirziena diagrammaθrEθPmax4 2 2ω p sin θ 2~ .2r0Enerģijas plūsmas blīvums: Psin ( ωt)4 2ω p0sinLaikā vidējā vērtība: P ~2r2θ.Kopējā laika vienībā izstarotā enerģija = dipola starojuma intensitāte:2 4µ0p0ωI = ⋅2 .ε 12πc058