Kopas. Attēlojumi - Fizmati

Saturs Sākums Beigas ◭ ◮ Atpakaļ Aizvērt Pilns ekrāns1DAUGAVPILS UNIVERSITĀTEDabaszinātņu un matemātikas fakultāteMatemātikas katedraArmands GricānsDiskrētā matemātikaKopas. Attēlojumi2004

Saturs Sākums Beigas ◭ ◮ Atpakaļ Aizvērt Pilns ekrānsSaturs21. Kopas jēdziens 52. Svarīgākās skaitļu kopas 103. Attēlojumi 193.1. Attēlojuma jēdziens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193.2. Attēls un pirmtēls . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253.3. Injekcija. Sirjekcija. Bijekcija. Inversais attēlojums . . 273.4. Attēlojuma turpinājums un sašaurinājums. Identiskaisattēlojums . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343.5. Konstants attēlojums . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363.6. Attēlojumu kompozīcija . . . . . . . . . . . . . . . . . 403.7. Orbīta. Stabilas un invariantas kopas. Nekustīgs punkts 423.8. Darbības ar kompleksām funkcijām . . . . . . . . . . . 443.9. Raksturfunkcija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 483.10. Attēlojuma jēdziena vispārinājumi . . . . . . . . . . . 50

Saturs Sākums Beigas ◭ ◮ Atpakaļ Aizvērt Pilns ekrāns4. Operācijas ar kopām 564.1. Divu kopu apvienojums, šķēlums, starpība un simetriskāstarpība . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 564.2. Sakārtota pāra jēdziens . . . . . . . . . . . . . . . . . 654.3. Divu kopu Dekarta reizinājums . . . . . . . . . . . . . 694.4. Attēlojuma grafiks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 714.5. Kopas papildkopa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 734.6. Kopu saimes apvienojums un šķēlums. Pārklājums unsadalījums . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 754.7. Indeksētas un neindeksētas kopu saimes . . . . . . . . 784.8. Indeksētas kopu saimes apvienojums un šķēlums. Pārklājumsun sadalījums . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 814.9. Indeksētas kopu saimes Dekarta reizinājums . . . . . . 854.10. Kopu virknes augšējā un apakšējā robeža . . . . . . . 905. Operāciju ar kopām īpašības 936. Divu kopu vienādības pierādīšanas paņēmieni 983

Saturs Sākums Beigas ◭ ◮ Atpakaļ Aizvērt Pilns ekrāns7. Attēlojumu īpašības 1058. Kopu gredzeni 1094

1. Kopas jēdziens5Kopas jēdziens ir pamatjēdziens, to nevar definēt, var tikai paskaidrot:kopa apzīmē kaut ko vienotu, kas sastāv no atsevišķiemobjektiem. Objektus, kas veido kopu, sauc par kopaskopas elementiem. Ja kāds objekts a ir kopas A elements, tad rakstaa ∈ A (lasa “a pieder kopai A”) vai a ∋ A (lasa “ kopa A satura”). Ja objekts a nav kopas A elements, tad raksta a ∉ A (lasa “anepieder kopai A”) vai a ∌ A (lasa “kopa A nesatur a”).Kopu sauc par galīgu, ja tās elementu skaits ir galīgs. Galīgaskopas elementu skaitu apzīmē ar |A|. Kopu, kas nav galīga kopa, saucpar bezgalīgu kopu. Kopu, kas nesatur nevienu elementu, apzīmēar ∅ un sauc par tukšo kopu. Tukšo kopu uzskata par galīgu kopu,bet skaitli 0 - par tās elementu skaitu, t.i., |∅| def= 0. Kopu, kas saturvismaz vienu elementu sauc par netukšu kopu.Jebkuru galīgu kopu (vismaz teorētiski) var uzdot, uzrādot visustās elementus. Galīgas kopas visus elementus pieraksta figūriekavās:A = {kopas A elementu saraksts}.Saturs Sākums Beigas ◭ ◮ Atpakaļ Aizvērt Pilns ekrāns

Saturs Sākums Beigas ◭ ◮ Atpakaļ Aizvērt Pilns ekrānsPastāv šāda noruna: katrs objekts, kas ir kādas kopas elements, tiekuzrādīts šajā kopā tikai vienu reizi, piemēram, skaitļa 2342431 ciparukopa ir {2; 3; 4; 1}. Bezgalīgām kopām nav iespējams sastādīt pilnīguelementu sarakstu. Dažkārt tomēr arī bezgalīgas kopas raksturo arelementu sarakstu, piemēram, visu naturālo skaitļu kopaN = {1; 2; . . . ; n; . . .}.Tādu pierakstu drīkst izmantot tikai tad, ja uzrakstītie elementi skaidrinorāda, kā saraksts ir turpināms.Kopu (galīgu vai bezgalīgu) var uzdot, norādot kādu īpašību, kaspiemīt visiem aplūkojamās kopas elementiem, un kas nepiemīt nevienamcitam objektam. Figūriekavās vispirms raksta kopas elementa vispārīgoapzīmējumu, tad liek divpunktu (vai novelk slīpu vai taisnu svītriņu)un aiz tās norāda kopas elementu raksturīgo īpašību:A = {a:kopas A elementu raksturīgā īpašība}.Piemēram, ar pierakstu A = {x : x ∈ R, x 2 > 10} uzdod visu toreālo skaitļu x kopu, kuru kvadrāts ir lielāks par skaitli 10.6

Saturs Sākums Beigas ◭ ◮ Atpakaļ Aizvērt Pilns ekrānsKopu A sauc par kopas B apakškopu vai daļu, ja katrs kopasA elements ir arī kopas B elements. Ja kopa A ir kopas B apakškopa,tad raksta A ⊂ B (lasa ”kopa A iekļaujas kopā B”) vai B ⊃ A (lasa”kopa B satur kopu A”). Ja kopa A nav kopas B apakškopa, tadraksta A ⊄ B (lasa ”kopa A neiekļaujas kopā B”) vai B ⊅ A (lasa”kopa B nesatur kopu A”). Kopas A visu daļu kopu apzīmē ar P(A)un sauc par kopas X buleānu. Tukšā kopa ir jebkuras kopas Aapakškopa, t.i., ∅ ⊂ A jebkurai kopai A. Jebkura kopa A satur sevikā apakškopu, t.i., A ⊂ A jebkurai kopai A. Tātad jebkurai kopaiA vienmēr eksistē divas apakškopas: ∅ un A, kuras sauc par kopasA neīstām apakškopām (vai kopas A triviālām apakškopām).Kopas A apakškopu, kas nav tās neīsta apakškopa, sauc par kopasA īstu apakškopu (vai kopas A netriviālu apakškopu). Kopaieksistē īsta apakškopa tad un tikai tad, kad tā satur vismaz divusdažādus elementus. Tukšajai kopai ∅ un vienelementa kopai {a},t.i., kopai, kas sastāv tikai no viena elementa a, īstu apakškopu nav.7

Saturs Sākums Beigas ◭ ◮ Atpakaļ Aizvērt Pilns ekrāns1.1. piemērs. Ja A = {1; 2}, tad P(A) = { ∅; {1}; {2}; {1; 2} } , pietam ∅, {1; 2} ir kopas A neīstas apakškopas, bet {1}, {2} irkopas A īstas apakškopas. SavukārtP ( P(A) ) = { ∅; {∅}; {{1}}; {{2}}; {{1; 2}}; {∅; {1}}; {∅; {2}};{∅; {1; 2}}; {{1}; {2}}; {{1}; {1; 2}}; {{2}; {1; 2}}; {∅; {1}; {2}};{∅; {1}; {1; 2}}; {∅; {2}; {1; 2}}; {{1}; {2}; {1; 2}};{∅; {1}; {2}; {1; 2}} } .Divas kopas A un B sauc par vienādām un raksta A = B, ja tāssastāv no vieniem un tiem pašiem elementiem. Divas kopas, kas navvienādas, sauc par dažādām. Kopas A un B ir vienādas tad un tikaitad, kad A ⊂ B un B ⊂ A. Tātad divas kopas A un B ir vienādastad un tikai tad, kad1. jebkuram kopas A elementam a ir spēkā a ∈ B;2. jebkuram kopas B elementam b ir spēkā b ∈ A.Savukārt divas kopas A un B ir dažādas tad un tikai tad, kad izpildāsvismaz viens no diviem nosacījumiem:8

Saturs Sākums Beigas ◭ ◮ Atpakaļ Aizvērt Pilns ekrāns1. eksistē a ∈ A, ka a ∉ B;2. eksistē b ∈ B, ka b ∉ A.Termina “kopa” sinonīmi ir “saime”, “sistēma”, “klase” u.c., tačuparasti šos terminus lieto speciālāku kopu apzīmēšanai.9

Saturs Sākums Beigas ◭ ◮ Atpakaļ Aizvērt Pilns ekrāns2. Svarīgākās skaitļu kopas10Uzskaitīsim svarīgākās skaitļu kopas.Visu naturālo skaitļu kopaN = {1; 2; . . . ; n; . . .}.Visu nenegatīvo veselo skaitļu kopaN 0 = {0; 1; 2; . . . ; n; . . .}.Visu veselo skaitļu kopaN 0 = {. . . ; −n; . . . ; −2; −1; 0; 1; 2; . . . ; n; . . .}.Visu racionālo skaitļu kopa{ mQ =n : m ∈ Z, n ∈ N, n}m - nesaīsināma daļa =={x: x ir galīgs vai bezgalīgs periodisks decimāldaļskaitlis}.

11Visu iracionālo skaitļu kopaI = {x: x ir bezgalīgs neperiodisks decimāldaļskaitlis}.Visu reālo skaitļu kopaR = {x: x ir decimāldaļskaitlis}.Visu pozitīvo reālo skaitļu kopaR + = {x : x ∈ R, x > 0}.Visu negatīvo reālo skaitļu kopaR − = {x : x ∈ R, x < 0}.Visu nenegatīvo reālo skaitļu kopaR + 0= {x : x ∈ R, x ≥ 0}.Visu nepozitīvo reālo skaitļu kopaR − 0= {x : x ∈ R, x ≤ 0}.Saturs Sākums Beigas ◭ ◮ Atpakaļ Aizvērt Pilns ekrāns

12Pieņemsim, ka skaitļiem a, b ∈ R un a ≤ b.apakškopas sauc par intervāliem:Kopas R šādas1. (a; b) = {x : x ∈ R, a < x < b} - vaļējs intervāls ar sākumpunktua un beigupunktu b (skat. 1.(a) zīm.),2. [a; b] = {x : x ∈ R, a ≤ x ≤ b} - slēgts intervāls (jebsegments) ar sākumpunktu a un beigupunktu b (skat.1.(b) zīm.),3. (a; b] = {x : x ∈ R, a < x ≤ b} - pusvaļējs no kreisās pusesintervāls ar sākumpunktu a un beigupunktu b (skat.1.(c) zīm.),4. [a; b) = {x : x ∈ R, a ≤ x < b} - pusvaļējs no labās pusesintervāls ar sākumpunktu a un beigupunktu b (skat.1.(d) zīm.),5. (−∞; a) = {x : x ∈ R, x < a} - kreisais vaļējais stars arsākumpunktu a (skat. 1.(e) zīm.),6. (a; +∞) = {x : x ∈ R, x > a} - labais vaļējais stars arsākumpunktu a (skat. 1.(f) zīm.),Saturs Sākums Beigas ◭ ◮ Atpakaļ Aizvērt Pilns ekrāns

Saturs Sākums Beigas ◭ ◮ Atpakaļ Aizvērt Pilns ekrāns7. (−∞; a] = {x : x ∈ R, x ≤ a} - kreisais slēgtais stars arsākumpunktu a (skat. 1.(g) zīm.),8. [a; +∞) = {x : x ∈ R, x ≥ a} - labais slēgtais stars arsākumpunktu a (skat. 1.(h) zīm.),9. (−∞; +∞) = R - skaitļu taisne (skat. 1.(i) zīm.).Intervālus 1)-4) sauc par ierobežotiem intervāliem, bet 5)-9)- neierobežotiem intervāliem. Intervālus 1)-9) apzīmē ar 〈a; b〉,uzskatot, ka a un b ir reāli skaitļi vai simboli ±∞ atkarībā no intervālaveida. Ja 〈a; b〉 - ierobežots intervāls, tad skaitli a sauc par intervāla〈a; b〉 sākumpunktu, b - beigupunktu, a un b - galapunktiem,a+b2- viduspunktu, b − a - garumu. Ierobežota intervāla 〈a; b〉garumu apzīmē ar |〈a; b〉|, t.i., |〈a; b〉| = b − a ≥ 0.Ierobežotus intervālus, kuriem a = b, sauc par deǧenerētiem intervāliem.Deǧenerēti intervāli ir (a; a) = ∅, [a; a) = ∅, (a; a] = ∅un [a; a] = {a}, kur a ∈ R. Deǧenerēta intervāla 〈a; b〉 garums|〈a; b〉| = b−a = 0. Savukārt ierobežotus intervālus 〈a; b〉, kuriem a

Saturs Sākums Beigas ◭ ◮ Atpakaļ Aizvērt Pilns ekrānstervāliem. Ierobežota nedeǧenerēta intervāla 〈a; b〉 garums |〈a; b〉| =b − a > 0.14

Saturs Sākums Beigas ◭ ◮ Atpakaļ Aizvērt Pilns ekrāns15(a) (a; b) (b) [a; b](c) (a; b] (d) [a; b)(e) (−∞; a)(f) (a; +∞)(g) (−∞; a](h) [a; +∞)(i) (−∞; +∞)1. zīm. Intervāli kopā R

Apskatīsim vēl dažas skaitļu kopas.Visu komplekso skaitļu kopaC = {a + bi: a, b ∈ R, i - imaginārā vienība}(uzskata, ka a 1 + ib 1 = a 2 + ib 2 tad un tikai tad, kad a 1 = a 2 unb 1 = b 2 ).Ar K apzīmēsim vienu no kopām Z, Q, R, C; ar K[x] kopu, kassastāv no visiem polinomiem, kuru koeficienti pieder kopai K, un tikaitiem; ar K[x] n , kur n ∈ N 0 , kopu, kas sastāv no visiem n-tās kārtaspolinomiem, kuru koeficienti pieder kopai K, un tikai tiem; ar K[x] ≥0kopu, kas sastāv no visiem nenulles polinomiem, kuru koeficienti piederkopai K, un tikai tiem.Visu algebrisko skaitļu kopaQ a = {α: α ∈ C un eksistē p(x) ∈ Q ≥0 , ka p(α) = 0}.Visu transcendento skaitļu kopaQ t = {α: α ∈ C, α ∉ Q a }.Saturs Sākums Beigas ◭ ◮ Atpakaļ Aizvērt Pilns ekrāns16

Saturs Sākums Beigas ◭ ◮ Atpakaļ Aizvērt Pilns ekrāns17Ir pareizas šādas iekļaušanās:N ⊂ N 0 ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R ⊂ C, I ⊂ R,Q ⊂ Q a ⊂ C, Q t ⊂ C, R + ⊂ R + 0 ⊂ R, R− ⊂ R − 0 ⊂ R.Kopas un to savstarpējās attieksmes bieži vien shematiski attēlo arplaknes punktu kopām, kuras sauc par Eilera-Venna diagrammām.2. zīm. ir attēlotas kopu N, N 0 , Z, Q, I, R, C, Q a un Q t savstarpējāsattieksmes.

Saturs Sākums Beigas ◭ ◮ Atpakaļ Aizvērt Pilns ekrāns182. zīm.

Saturs Sākums Beigas ◭ ◮ Atpakaļ Aizvērt Pilns ekrāns3. Attēlojumi193.1. Attēlojuma jēdziensPieņemsim, ka X un Y ir netukšas kopas.Par kopas X attēlojumu f kopā Y sauc likumu, kas jebkuramkopas X elementam x piekārto noteiktu kopas Y elementu y, kuruapzīmē ar f(x) un sauc par elementa x attēlu attēlojumā f.Kopas X attēlojumu kopā Y apzīmē ar f : X → Y . Kopas X visuiespējamo attēlojumu kopā Y kopu apzīmē ar Y X . Kopu X apzīmēar D f un sauc par attēlojuma f izejas kopu vai definīcijas kopu,bet Y - ieejas kopu. Patvaļīgu attēlojuma f definīcijas kopas Xelementu x sauc par attēlojuma f argumentu. Elementa x ∈ Xattēlu f(x) attēlojumā f sauc arī par attēlojuma f vērtību pieargumenta vērtības x. Ieejas kopas Y apakškopu, kas sastāv novisām iespējamām attēlojuma f vērtībām f(x) (x ∈ X) un tikai tām,sauc par attēlojuma f vērtību kopu un apzīmē ar E f . TātadE f = {f(x) : x ∈ X}.

Saturs Sākums Beigas ◭ ◮ Atpakaļ Aizvērt Pilns ekrānsAttēlojumus f : X → Y un g : Z → W sauc par vienādiemun raksta f = g, ja X = Z, Y = W un jebkuram x ∈ X ir spēkāf(x) = g(x).Termina “attēlojums” sinonīmi ir “funkcija”, “operators”, “funkcionālis”u.c., taču parasti šos terminus lieto speciālāku attēlojumuapzīmēšanai.Attēlojumu f : X → Y sauc par• kompleksu funkciju, ja Y ⊂ C;• reālu funkciju, ja Y ⊂ R;• kompleksā mainīgā kompleksu funkciju, ja X ⊂ C, Y ⊂ C;• kompleksā mainīgā reālu funkciju, ja X ⊂ C, Y ⊂ R;• reālā mainīgā kompleksu funkciju, ja X ⊂ R, Y ⊂ C;• reālā mainīgā reālu funkciju, ja X ⊂ R, Y ⊂ R;• operatoru, ja X un Y ir vektoru telpas pār lauku K, kur K = Cvai K = R;20

Saturs Sākums Beigas ◭ ◮ Atpakaļ Aizvērt Pilns ekrāns• kompleksu funkcionāli, ja X ir vektoru telpa pār lauku C,bet kopa Y = C tiek uzlūkota kā vektoru telpa pār lauku C;• reālu funkcionāli, ja X ir vektoru telpa pār lauku R, bet kopaY = R tiek uzlūkota kā vektoru telpa pār lauku R.Reālā mainīgā funkciju īpašības pēta reālā mainīgā funkciju teorijā,kompleksā mainīgā funkciju īpašības - kompleksā mainīgā funkcijuteorijā, operatoru un funkcionāļu īpašības - funkcionālanalīzē.21

Saturs Sākums Beigas ◭ ◮ Atpakaļ Aizvērt Pilns ekrāns223. zīm. Likums ϕ nav kopas X attēlojumskopā Y , jo kopas X elementam b nav piekārtotsneviens kopas Y elements

Saturs Sākums Beigas ◭ ◮ Atpakaļ Aizvērt Pilns ekrāns234. zīm. Likums Γ nav kopas X attēlojumskopā Y , jo kopas X elementam c ir piekārtotidivi kopas Y elementi

Saturs Sākums Beigas ◭ ◮ Atpakaļ Aizvērt Pilns ekrāns245. zīm. Likums f ir kopas X attēlojums kopā Y

3.2. Attēls un pirmtēlsPar kopas A ⊂ X attēlu attēlojumā f : X → Y sauc kopasY apakškopu, kas sastāv no visiem kopas A elementu attēliemattēlojumā f un tikai tiem. Kopas A ⊂ X attēlu attēlojumā f : X →Y apzīmē ar f(A), t.i.,f(A) def= { f(x) : x ∈ A } .• Attēlojuma f : X → Y vērtību kopa ir šī attēlojuma definīcijaskopas attēls attēlojumā f, t.i., E f = f(D f ).• Vienelementa kopas {x 0 } ⊂ X attēls attēlojumā f : X → Yir vienelementa kopa { f(x 0 ) } , kas sastāv no elementa x 0 attēlašajā attēlojumā, t.i., f ( {x 0 } ) = { f(x 0 ) } .Par kopas B ⊂ Y pirmtēlu (vai oriǧinālu) attēlojumā f :X → Y sauc kopas X apakškopu, kas sastāv no visiem tiem kopas Xelementiem, kuru attēli attēlojumā f pieder kopai B, un tikai tiem.Kopas B ⊂ Y pirmtēlu attēlojumā f apzīmē ar f −1 (B), t.i.,f −1 (B) def= { x ∈ X : f(x) ∈ B } .Saturs Sākums Beigas ◭ ◮ Atpakaļ Aizvērt Pilns ekrāns25

Saturs Sākums Beigas ◭ ◮ Atpakaļ Aizvērt Pilns ekrānsJa y 0 ∈ Y , tad simbolu f −1 (y 0 ) lieto divās nozīmēs:1. f −1 (y 0 ) = f −1( {y 0 } ) - vienelementa kopas {y 0 } pirmtēls attēlojumāf;2. ar f −1 (y 0 ) apzīmē patvaļīgu kopas f −1( {y 0 } ) elementu.26

Saturs Sākums Beigas ◭ ◮ Atpakaļ Aizvērt Pilns ekrāns3.3. Injekcija. Sirjekcija. Bijekcija. Inversais attēlojumsAttēlojumu f : X → Y sauc par injektīvu attēlojumu (vai injekciju),ja jebkuru divu dažādu kopas X elementu attēli attēlojumāf ir dažādi, t.i.,∀x 1 , x 2 ∈ X : x 1 ≠ x 2 −→ f(x 1 ) ≠ f(x 2 ).• Attēlojums f : X → Y ir injekcija tad un tikai tad, kad∀x 1 , x 2 ∈ X : f(x 1 ) = f(x 2 ) −→ x 1 = x 2 .Attēlojumu f : X → Y sauc par sirjektīvu attēlojumu (vai sirjekciju),ja katrs kopas Y elements ir vismaz viena kopas X elementaattēls attēlojumā F , t.i.,∀y ∈ Y ∃x ∈ X : f(x) = y.Sirjekciju f : X → Y sauc arī par kopas X attēlojumu parkopu Y .27

• Attēlojums f : X → Y ir sirjekcija tad un tikai tad, kad f(X) =Y .• Katrs attēlojums f : X → Y nosaka sirjekciju g : X → Y 1 , kurY 1 = f(X), pēc likuma:∀x ∈ X : g(x) = f(x).Parasti attēlojumam f atbilstošo sirjekciju g apzīmē ar to pašuburtu f.Attēlojumu f : X → Y sauc par bijektīvu attēlojumu (vaibijekciju), ja f ir injekcija un sirjekcija vienlaicīgi. Ja f : X → Yir bijekcija, tad saka, ka starp kopām X un Y var nodibinātsavstarpēji viennozīmīgu atbilstību pēc likuma f.Termins “savstarpēji viennozīmīga atbilstība” tiek lietots tādēļ,ka bijekcijā f : X → Y katrs kopas Y elements y atbilst vienamun tikai vienam kopas X elementam x (elementa x eksistence sekono attēlojuma f sirjektivitātes, bet vienīgums - no attēlojuma f injektivitātes).Attēlojumu, kas katram y ∈ Y piekārto to vienīgox ∈ X, kuram f(x) = y, apzīmē ar f −1 : Y → X un sauc parSaturs Sākums Beigas ◭ ◮ Atpakaļ Aizvērt Pilns ekrāns28

Saturs Sākums Beigas ◭ ◮ Atpakaļ Aizvērt Pilns ekrānsattēlojuma f inverso attēlojumu (vai apvērsto attēlojumu).Injekcijai f : X → Y atbilstošā sirjekcija f : X → f(X) ir bijekcijaun tāpēc tai eksistē inversais attēlojums f −1 : f(X) → X!• Attēlojums f : X → Y ir injekcija tad un tikai tad, kad jebkuramy ∈ Y vienādojumam y = f(x) eksistē ne vairāk kā viensatrisinājums kopā X.• Attēlojums f : X → Y ir sirjekcija tad un tikai tad, kad jebkuramy ∈ Y vienādojumam y = f(x) eksistē atrisinājums kopāX.• Attēlojums f : X → Y ir bijekcija tad un tikai tad, kad jebkuramy ∈ Y vienādojumam y = f(x) eksistē tieši viens atrisinājumskopā X.29

Saturs Sākums Beigas ◭ ◮ Atpakaļ Aizvērt Pilns ekrāns306. zīm. Attēlojums g ir injekcija, bet nav sirjekcija

Saturs Sākums Beigas ◭ ◮ Atpakaļ Aizvērt Pilns ekrāns317. zīm. Attēlojums h ir sirjekcija, bet nav injekcija

Saturs Sākums Beigas ◭ ◮ Atpakaļ Aizvērt Pilns ekrāns328. zīm. Attēlojums f ir bijekcija

Saturs Sākums Beigas ◭ ◮ Atpakaļ Aizvērt Pilns ekrāns339. zīm. Attēlojuma f inversais attēlojums f −1

Saturs Sākums Beigas ◭ ◮ Atpakaļ Aizvērt Pilns ekrāns• Identiskais attēlojums kopā X ir bijekcija un tā inversais attēlojumsir pats identiskais attēlojums kopā X, t.i., (i X ) −1 = i X .Identiskā attēlojuma i X : X → X sašaurinājumu kopā A ⊂ X, t.i.,attēlojumu i X |A : A → X, sauc par apakškopas A ⊂ X dabiskoiegremdējumu kopā X.• Tā kā i X ir bijekcija, tad i X |A ir injekcija (bet ne sirjekcija, jaA ≠ X).35

Saturs Sākums Beigas ◭ ◮ Atpakaļ Aizvērt Pilns ekrāns3.5. Konstants attēlojumsAttēlojumu f : X → Y sauc par konstantu (vai patstāvīgu), jaeksistē b ∈ Y , ka jebkuram x ∈ X ir spēkā f(x) = b.Attēlojumu f : X → Y sauc par konstantu (vai patstāvīgu)kopā A ⊂ X, A ≠ ∅, ja attēlojuma f sašaurinājums kopā A irkonstants attēlojums, t.i., eksistē b ∈ Y , ka jebkuram x ∈ A ir spēkāf(x) = b.36

Saturs Sākums Beigas ◭ ◮ Atpakaļ Aizvērt Pilns ekrāns3710. zīm. f : X → Y ir konstants attēlojums

Saturs Sākums Beigas ◭ ◮ Atpakaļ Aizvērt Pilns ekrāns3811. zīm. i X : X → X ir identiskais attēlojums kopā X

Saturs Sākums Beigas ◭ ◮ Atpakaļ Aizvērt Pilns ekrāns3912. zīm. i X |A : A → X ir apakškopas A ⊂ Xdabiskais iegremdējums kopā X

Saturs Sākums Beigas ◭ ◮ Atpakaļ Aizvērt Pilns ekrānsAttēlojuma f : X → X n-to pakāpi definē induktīvi:f 0 def= i X , f 1 def= f, f 2 def= f ◦ f, . . . , f n def= f ◦ f n−1 (n ≥ 1), . . . .Tātad∀x ∈ X : f 0 (x) def= x,∀x ∈ X : f 1 (x) def= f(x),∀x ∈ X : f 2 (x) def= f(f(x)),∀x ∈ X : f 3 (x) def= f(f(f(x))), . . . .41

Saturs Sākums Beigas ◭ ◮ Atpakaļ Aizvērt Pilns ekrāns3.7. Orbīta. Stabilas un invariantas kopas. NekustīgspunktsPar kopas A ⊂ X orbītu attiecībā pret attēlojumu f : X →X sauc kopuOrb f (A) def= {x ∈ X : x = f n (z), z ∈ A, n ∈ N 0 }.Par elementa x 0 ∈ X orbītu attiecībā pret attēlojumu f :X → X sauc kopuTātadOrb f (x 0 ) def= {x ∈ X : x = f n (x 0 ), z ∈ A, n ∈ N 0 }.Orb f (x 0 ) = Orb f({x0 } ) ,Orb f (A) = ⋃Orb f (x).x∈ASaka, ka kopa A ⊂ X ir stabila attiecībā pret attēlojumuf : X → X, ja f(A) ⊂ A. Saka, ka kopa A ⊂ X ir invariantaattiecībā pret attēlojumu f : X → X, ja f(A) = A.42

Saturs Sākums Beigas ◭ ◮ Atpakaļ Aizvērt Pilns ekrānsElementu x 0 ∈ X sauc par attēlojuma f : X → X nekustīgupunktu, ja ir spēkā vienādība f(x 0 ) = x 0 .• Ja kopa A ⊂ X ir invarianta attiecībā pret attēlojumu f : X →X, tad kopa A ir stabila attiecībā pret šo attēlojumu, bet neotrādi. Tukšā kopa ∅ ⊂ X ir invarianta attiecībā pret jebkuruattēlojumu f : X → X.• Ja katrs netukšas kopas A ⊂ X elements ir attēlojuma f : X →X nekustīgs punkts, tad kopa A ir invarianta kopa attiecībā pretattēlojumu f. Savukārt, ja netukša kopas A ⊂ X ir invariantaattiecībā pret attēlojumu f : X → X, tad var gadīties, kaneviens kopas A elements nav attēlojuma f nekustīgs punkts, vēljo vairāk, attēlojumam f vispār var nebūt nekustīgu punktu.• Kopas A ⊂ X orbīta attiecībā pret attēlojumu f : X → X irstabila kopa attiecībā pret šo attēlojumu.• Elements x 0 ∈ X ir attēlojuma f : X → X nekustīgs punkts tadun tikai tad, kad Orb f (x 0 ) = {x 0 }.43

Saturs Sākums Beigas ◭ ◮ Atpakaļ Aizvērt Pilns ekrāns3.8. Darbības ar kompleksām funkcijāmPar funkciju f : X → C un g : X → C summu sauc funkciju,kas jebkuram elementam x ∈ X piekārto skaitli f(x) + g(x) ∈ C.Funkciju f un g summu apzīmē ar f + g. Tātad∀x ∈ X : (f + g)(x) def= f(x) + g(x).Ja g ir konstanta funkcija, t.i., g(x) = λ visiem x ∈ X, kur λ ∈ C irfiksēts skaitlis, tad funkciju f un g summu apzīmē ar f + λ un saucpar funkcijas f : X → C un skaitļa λ ∈ C summu.Par funkciju f : X → C un g : X → C starpību sauc funkciju,kas jebkuram elementam x ∈ X piekārto skaitli f(x) − g(x) ∈ C.Funkciju f un g starpību apzīmē ar f − g. Tātad∀x ∈ X : (f − g)(x) def= f(x) − g(x).Par funkciju f : X → C un g : X → C reizinājumu saucfunkciju, kas jebkuram elementam x ∈ X piekārto skaitli f(x) · g(x) ∈44

C. Funkciju f un g reizinājumu apzīmē ar fg. Tātad∀x ∈ X : (fg)(x) def= f(x) · g(x).Ja f ir konstanta funkcija, t.i., f(x) = λ visiem x ∈ X, kur λ ∈ C irfiksēts skaitlis, tad funkciju f un g reizinājumu apzīmē ar λg un saucpar skaitļa λ ∈ C un funkcijas g : X → R reizinājumu. TātadAtzīmēsim, ka∀x ∈ X : (λg)(x) def= λ · g(x).f − g = f + (−1)g.Pieņemsim, ka funkcija g : X → C pieņem tikai nenulles vērtības,t.i., g(x) ≠ 0 jebkuram x ∈ X. Par funkciju f : X → C un g : X →C dalījumu sauc funkciju, kas jebkuram elementam x ∈ X piekārtoskaitli f(x)g(x) ∈ C. Funkciju f un g dalījumu apzīmē ar f g . Tātad( ) f∀x ∈ X : (x) def= f(x)g g(x) .Operācijas, kas jebkurām divām funkcijām f : X → C un g : X →Saturs Sākums Beigas ◭ ◮ Atpakaļ Aizvērt Pilns ekrāns45

C piekārto to summu f + g, starpību f − g, reizinājumu f − g undalījumu f g, sauc attiecīgi par funkciju saskaitīšanu, atņemšanu,reizināšanu un dalīšanu (dalīšanas gadījumā tiek pieprasīts, laig(x) ≠ 0 jebkuram x ∈ X ). Operāciju, kas jebkurai funkcijai f :X → C un patvaļīgam skaitlim λ ∈ C piekārto funkciju λf, sauc parfunkciju reizināšanu ar skaitli.Par funkcijas f : X → C moduli sauc funkciju, kas jebkuramelementam x ∈ X piekārto skaitli ∣ ∣f(x) ∣ ∣ ∈ C. Funkcijas f moduliapzīmē ar |f|. Tātad∀x ∈ X : |f|(x) def= ∣ ∣f(x) ∣ ∣.Kompleksu funkciju saskaitīšanas un reizināšanas operācijas varvispārināt galīgam skaitam funkciju f 1 : X → C, . . . , f n : X → C:∀x ∈ X : (f 1 + · · · + f n )(x) def= f 1 (x) + · · · + f n (x);∀x ∈ X : (f 1 · · · f n )(x) def= f 1 (x) · · · f n (x).Gadījumā, ja f 1 = · · · = f n , tad funkciju f 1 , . . . , f n reizinājumuapzīmē ar f n un sauc par funkcijas f n-to pakāpi.Saturs Sākums Beigas ◭ ◮ Atpakaļ Aizvērt Pilns ekrāns46

Saturs Sākums Beigas ◭ ◮ Atpakaļ Aizvērt Pilns ekrānsnUzmanību: nejaukt funkcijas f : C → C n-to pakāpi reizināšanasnozīmē f n = f · · · f ar funkcijas f : C → C n-to pakāpi kom-} {{ }pozīcijas nozīmē f n = f ◦ · · · ◦ f , jo vispārīgā gadījumā tās ir} {{ }ndažādas funkcijas, piemēram x 4 x 4 un (x 4 ) 4 . Iesakām lasītājāmpatstāvīgi atrast tādu funkciju f : C → C, ka ff = f ◦ f.47

Saturs Sākums Beigas ◭ ◮ Atpakaļ Aizvērt Pilns ekrāns3.9. RaksturfunkcijaPieņemsim, ka A ⊂ X. Par kopas A raksturfunkciju kopā Xsauc attēlojumuϕ A X : X → {0; 1}, ka∀x ∈ X : ϕ A X(x) def={1, ja x ∈ A,0, ja x ≠ A.48Atzīmēsim, ka• kopas A = ∅ raksturfunkcija kopā X ir funkcija ϕ ∅ X{0; 1}, ka∀x ∈ X : ϕ ∅ X (x) = 0;• kopas A = X raksturfunkcija kopā X ir funkcija ϕ X X{0; 1}, ka∀x ∈ X : ϕ X X(x) = 1.: X →: X →Otrādi, jebkura funkcija f : X → {0; 1} ir kopas A = f −1 (1)raksturfunkcija kopā X, t.i., f = ϕ A X .

Saturs Sākums Beigas ◭ ◮ Atpakaļ Aizvērt Pilns ekrāns4914. zīm. Attēlojums ϕ A X : X → {0; 1} ir kopas A ⊂X raksturfunkcija kopā X

Saturs Sākums Beigas ◭ ◮ Atpakaļ Aizvērt Pilns ekrāns3.10. Attēlojuma jēdziena vispārinājumi1. Paragrāfa sākumā formulēto attēlojuma definīciju turpmāk sauksimpar attēlojuma pamatdefinīciju. Attēlojuma jēdzienuvar vispārināt, ja attēlojuma pamatdefinīcijā frāzinomainīt ar“... sauc likumu, kas jebkuram kopas X elementampiekārto noteiktu kopas Y elementu ...”“... sauc likumu, kas jebkuram kopas X elementampiekārto ne vairāk kā vienu kopas Y elementu ...”.Šajā gadījumā visu to un tikai to izejas kopas X elementu, kuriemir piekārtots kāds (un līdz ar to pilnīgi noteikts) ieejaskopas Y elements, kopu apzīmē ar D f un sauc par attēlojumaf definīcijas kopu. Tātad definīcijas kopa D f ir izejas kopasX apakškopa, pie tam vispārīgā gadījumā tās ir dažādas kopas.Visu to un tikai to ieejas kopas Y elementu, kuri ir piekārtotivismaz vienam definīcijas kopas D f elementam, kopu apzīmēar E f un sauc par attēlojuma f vērtību kopu. Vispārīgā50

gadījumā attēlojuma f ieejas kopas Y un šī attēlojuma vērtībukopa E f (kura ir ieejas kopas Y apakškopa) ir dažādas kopas.Visbiežāk ar šādiem attēlojumiem ir jāsastopas tad, kad kādafunkcija tiek uzdota ar formulu. Piemēram, pieņemsim, ka funkcijaf : R → R ir uzdota ar formulux + 3f(x) =(x 2 + 1)(x − 1) .Šajā gadījumā ar funkcijas f definīcijas kopu D f (kuru sauc arīpar funkcijas f dabisko definīcijas kopu) saprot visu to untikai to skaitļu x ∈ R kopu, ka, ievietojot x dotajā formulā, varizpildīt attiecīgās operācijas un iegūt noteiktu skaitli f(x) ∈ R.Dotajā piemērā D f = R \ {1}. Taču, ja ar doto formulu tiekuzdota funkcija f : C → C, tad D f = C \ {−i; i; 1}. Tātad, jafunkcija tiek uzdota ar formulu, tad obligāti ir jānorāda funkcijasizejas un ieejas kopu.2. Attēlojuma jēdzienu var vispārināt, ja attēlojuma pamatdefinīcijāfrāzi“... sauc likumu, kas jebkuram kopas X elementamSaturs Sākums Beigas ◭ ◮ Atpakaļ Aizvērt Pilns ekrāns51

Saturs Sākums Beigas ◭ ◮ Atpakaļ Aizvērt Pilns ekrānsnomainīt arpiekārto noteiktu kopas Y elementu ...”“... sauc likumu, kas jebkuram kopas X elementampiekārto zināmus kopas Y elementus ...”.Tādējādi elementam x ∈ X var būt piekārtoti viens, divi, trīs unvairāk elementi, bet var arī nebūt piekārtots neviens elements.Šādu attēlojumu sauc par daudzvērtīgu attēlojumu, ja vismazvienam elementam x ∈ X ir piekārtoti divi un vairāk elementi.Pretējā gadījumā šādu attēlojumu sauc par vienvērtīguattēlojumu. Tātad attēlojumi 1. punktā apskatītās definīcijasnozīmē ir vienvērtīgi attēlojumi. Atzīmēsim, ka attēlojumus šajāpunktā apskatītās definīcijas nozīmē var identificēt ar attēlojumiemf : X → P(Y ) pamatdefinīcijas nozīmē! Daudzvērtīgiattēlojumi tiek apskatīti, piemēram, kompleksā mainīgā funkcijuteorijā: likums, kas katram kompleksam skaitlim z piekārto visastā n-tās pakāpes saknes( √ n)z0 , ( √ nz ) 1 , . . . , ( √ nz ) (n ≥ 2),n−152

Saturs Sākums Beigas ◭ ◮ Atpakaļ Aizvērt Pilns ekrāns53ir daudzvērtīgs attēlojums. Turpmāk, ja nav teikts pretējais,apskatīsim tikai attēlojumus pamatdefinīcijas nozīmē.

Saturs Sākums Beigas ◭ ◮ Atpakaļ Aizvērt Pilns ekrāns5415. zīm. Likums f : X → y ir attēlojums attēlojuma pamatdefinīcijas1. vispārinājuma nozīmē

Saturs Sākums Beigas ◭ ◮ Atpakaļ Aizvērt Pilns ekrāns5516. zīm. Likums 3√· : C → C, kas katram kompleksamskaitlim piekārto visas tā trešās pakāpes saknes,ir attēlojums attēlojuma pamatdefinīcijas 2. vispārinājumanozīmē. Likums 3√· ir daudzvērtīgs attēlojums

Saturs Sākums Beigas ◭ ◮ Atpakaļ Aizvērt Pilns ekrāns4. Operācijas ar kopām56Ar kopām var izpildīt dažādas operācijas, kuru rezultātā iegūstcitas kopas.4.1. Divu kopu apvienojums, šķēlums, starpība unsimetriskā starpībaPar kopu A un B apvienojumu sauc kopu, kas sastāv no visiemtiem un tikai tiem elementiem, kuri pieder vismaz vienai no šīmkopām. Kopu A un B apvienojumu apzīmē ar A ∪ B. TātadA ∪ B def= {x : x ∈ A vai x ∈ B}.Par kopu A un B šķēlumu sauc kopu, kas sastāv no visiem tiemun tikai tiem elementiem, kuri vienlaicīgi pieder abām šīm kopām.Kopu A un B šķēlumu apzīmē ar A ∩ B. TātadA ∩ B def= {x : x ∈ A un x ∈ B}.

Saturs Sākums Beigas ◭ ◮ Atpakaļ Aizvērt Pilns ekrānsSaka, ka kopas A un B nešķeļas (jeb kopas A un B ir šķirtas),ja tām nav kopīgu elementu.Par kopu A un B starpību sauc kopu, kas sastāv no visiem tiemun tikai tiem kopas A elementiem, kuri nepieder kopai B. Kopu A unB starpību apzīmē ar A \ B. TātadA \ B def= {x : x ∈ A un x ∉ B}.Par kopu A un B simetrisko starpību sauc kopu, kas sastāvno visiem tiem un tikai tiem elementiem, kuri pieder vai nu kopai A,vai arī kopai B. Kopu A un B simetrisko starpību apzīmē ar A △ B.TātadA △ B def= { x : (x ∈ A un x ∉ B) vai (x ∉ A un x ∈ B) } .Operācijas ∪, ∩, \ un △ sauc attiecīgi par kopu apvienošanu,šķelšanu, atņemšanu un simetrisko reizināšanu.Operāciju ∪, ∩, \ un △ definīcijas ir ērti pierakstīt incidencestabulu veidā, norādot patvaļīga elementa x piederību (vai nepiederību)kopām A ∪ B, A ∩ B, A \ B un A △ B atkarībā no elementa57

Saturs Sākums Beigas ◭ ◮ Atpakaļ Aizvērt Pilns ekrānsx piederības (vai nepiederību) kopām A un B. Elementa piederību(nepiederību) attiecīgajai kopai norāda ar + (−).A B A ∪ B A ∩ B A \ B A △ B+ + + + − −+ − + − + +− + + − − +− − − − − −58

Saturs Sākums Beigas ◭ ◮ Atpakaļ Aizvērt Pilns ekrāns5917. zīm. Kopu A un B apvienojums A ∪ B

Saturs Sākums Beigas ◭ ◮ Atpakaļ Aizvērt Pilns ekrāns6018. zīm. Kopu A un B šķēlums A ∩ B

Saturs Sākums Beigas ◭ ◮ Atpakaļ Aizvērt Pilns ekrāns6119. zīm. Kopas A un B nešķeļas

Saturs Sākums Beigas ◭ ◮ Atpakaļ Aizvērt Pilns ekrāns6220. zīm. Kopu A un B starpība A \ B

Saturs Sākums Beigas ◭ ◮ Atpakaļ Aizvērt Pilns ekrāns6321. zīm. Kopu A un B simetriskā starpība A △ B

Saturs Sākums Beigas ◭ ◮ Atpakaļ Aizvērt Pilns ekrāns644.1. piemērs.tadJa22. zīm.A = {1; 3; 4; 5; 6} un B = {2; 3; 4; 7; 8},A ∪ B = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8}, A ∩ B = {3; 4},A \ B = {1; 5; 6}, B \ A = {2; 7; 8},A △ B = {1; 5; 6; 2; 7; 8}.

Saturs Sākums Beigas ◭ ◮ Atpakaļ Aizvērt Pilns ekrāns4.2. Sakārtota pāra jēdziensApskatīsim kopas A un B (iespējams gadījums, kad A = B).Sakārtota pāra Kuratovska definīcija. Par sakārtotu pāri (a; b),kur a ∈ A un b ∈ B, sauc kopu { {a}; {a; b} } , t.i.,65(a; b) def= { {a}; {a; b} } , (4.1)pie tam a sauc par sakārtota pāra (a; b) pirmo komponenti,bet b - otro komponenti.4.1. teorēma. Apskatīsim kopas A un B. Pieņemsim, ka a 1 , a 2 ∈A un b 1 , b 2 ∈ B. Sakārtoti pāri (a 1 ; b 1 ) un (a 2 ; b 2 ) ir vienāditad un tikai tad, kad to attiecīgās komponentes ir vienādas, t.i.,a 1 = a 2 un b 1 = b 2 .◮ Jāpierāda, ka(a 1 ; b 1 ) = (a 2 ; b 2 ) ←→ a 1 = a 2 un b 1 = b 2 .

Saturs Sākums Beigas ◭ ◮ Atpakaļ Aizvērt Pilns ekrānsNepieciešamība. Pieņemsim, ka (a 1 ; b 1 ) = (a 2 ; b 2 ). Saskaņā ardefinīciju tas nozīmē, ka{{a1 }; {a 1 ; b 1 } } = { {a 2 }; {a 2 ; b 2 } } . (4.2)Loǧiski spriežot, pavisam ir iespējami šādi trīs gadījumi: 1. a 1 ≠ b 1 ,2. a 2 ≠ b 2 , 3. a 1 = b 1 un a 2 = b 2 .1. Pieņemsim, ka a 1 ≠ b 1 .(a) Tā kā a 1 ≠ b 1 , tad kopa {a 1 ; b 1 } sastāv no diviem elementiem.Tā kā šī kopa pieder vienādības (4.2) kreisajaipusei, tad tā pieder vienādības (4.2) labajai pusei. Tāpēcvai nu {a 1 ; b 1 } = {a 2 }, vai arī {a 1 ; b 1 } = {a 2 ; b 2 }. Pirmaisgadījums nav iespējams, jo kopa {a 1 ; b 1 } sastāv no diviemelementiem, bet kopa {a 2 } - no viena elementa. Tātad irspēkā otrais gadījums: {a 1 ; b 1 } = {a 2 ; b 2 }.(b) Tā kā kopa {a 1 } pieder vienādības (4.2) kreisajai pusei,tad tā pieder vienādības (4.2) labajai pusei. Tāpēc vai nu{a 1 } = {a 2 }, vai arī {a 1 } = {a 2 ; b 2 }. Otrais gadījums naviespējams, jo kopa {a 1 } sastāv no viena elementa, bet kopa66

Saturs Sākums Beigas ◭ ◮ Atpakaļ Aizvērt Pilns ekrāns{a 2 ; b 2 } - no diviem elementiem. Tātad ir spēkā pirmaisgadījums: {a 1 } = {a 2 }, no kurienes izriet, ka a 1 = a 2 .Tā kā {a 1 ; b 1 } = {a 2 ; b 2 } un a 1 = a 2 , tad b 1 = b 2 .2. Gadījumu, kad a 2 ≠ b 2 , apskata līdzīgi.3. Pieņemsim, ka a 1 = b 1 un a 2 = b 2 .(a) Tā kā a 1 = b 1 , tad {a 1 ; b 1 } = {a 1 }. Tāpēc vienādības (4.2)kreisā puse ir vienāda ar { {a 1 } } .(b) Tā kā a 2 = b 2 , tad {a 2 ; b 2 } = {a 2 }. Tāpēc vienādības (4.2)labā puse ir vienāda ar { {a 2 } } .Tātad { {a 1 } } = { {a 2 } } , no kurienes izriet, ka a 1 = a 2 . Tā kāa 1 = b 1 un a 2 = b 2 , tad b 1 = b 2 .Pietiekamība. Ja a 1 = a 2 un b 1 = b 2 , tad ir spēkā vienādība(4.2), kura saskaņā ar sakārtota pāra definīciju nozīmē, ka (a 1 ; b 1 ) =(a 2 ; b 2 ).◭4.1. piezīme. Sakārtota pāra Kuratovska definīcijai var sniegt šāduekvivalentu definīciju.67

Saturs Sākums Beigas ◭ ◮ Atpakaļ Aizvērt Pilns ekrānsSakārtota pāra Vīnera definīcija. Par sakārtotu pāri (a; b),kur a ∈ A un b ∈ B, sauc kopu{ {∅;{a}};{{b}} } , t.i.,{ {∅;(a; b) def } { } }= {a} ; {b} .4.2. piezīme. Ņemot vērā 4.2. teorēmu, sakārtotus pārus (a; b),kur a ∈ A un b ∈ B, bieži vien definē kā tādus objektus, kuriempiemīt īpašība: jebkuriem a, c ∈ A, b, d ∈ B ir spēkā (a; b) =(c; d) tad un tikai tad, kad a = c un b = d.68

Saturs Sākums Beigas ◭ ◮ Atpakaļ Aizvērt Pilns ekrāns4.3. Divu kopu Dekarta reizinājumsPar kopu A un B Dekarta reizinājumu (vai tiešo reizinājumu)sauc kopu, kas sastāv no visiem tiem un tikai tiem sakārtotiem pāriem(a; b), kuru pirmā komponente a pieder kopai A, bet otrā komponentepieder kopai B. Kopu A un B Dekarta reizinājumu apzīmē ar A × B.TātadA × B def= {(a; b) : a ∈ A un b ∈ B}.Operāciju, kas divām kopām piekārto to Dekarta reizinājumu, saucpar Dekarta reizināšanu (vai tiešo reizināšanu).69

Saturs Sākums Beigas ◭ ◮ Atpakaļ Aizvērt Pilns ekrāns7023. zīm. Kopu A un B Dekarta reizinājums A × B

Saturs Sākums Beigas ◭ ◮ Atpakaļ Aizvērt Pilns ekrāns4.4. Attēlojuma grafiksPar attēlojuma f : X → Y grafiku sauc kopu X un Y Dekartareizinājuma X × Y apakškopuΓ f = { (x; y) : x ∈ X, y = f(x) } .4.2. piemērs. Attēlojuma f : X → Y grafiks (skat. 5. zīm.) irΓ f = { (a; −3); (b; 2); (c; −3); (d; 1) } .Divi attēlojumi g : X → Y un f : X → Y ir vienādi tad un tikaitad, kad to grafiki ir vienādi. Tātad attēlojuma f : X → Y grafikspilnīgi raksturo doto attēlojumu, jo tas satur visu informāciju parelementiem x ∈ X un to attēliem y = f(x) ∈ Y .Kādi ir nepieciešamie un pietiekamie nosacījumi, lai apakškopaF ⊂ X × Y būtu kāda attēlojuma f : X → Y grafiks? Atbildeuz šo jautājumu ir šāda: apakškopa F ⊂ X × Y ir kāda attēlojumaf : X → Y grafiks tad un tikai tad, kad jebkuram x ∈ X eksistēvienīgs y ∈ Y , ka (x; y) ∈ F . Šajā gadījumā elementa x ∈ X attēlsattēlojumā f ir vienāds ar to vienīgo y ∈ Y , ka (x; y) ∈ F .71

Saturs Sākums Beigas ◭ ◮ Atpakaļ Aizvērt Pilns ekrāns4.3. piezīme. No iepriekš teiktā izriet, ka var sniegt šādu ekvivalentuattēlojuma definīciju: par kopas X attēlojumu f kopā Y sauckopas X × Y apakškopu F , ka jebkuram x ∈ X eksistē vienīgs y ∈ Y ,ka (x; y) ∈ F . Par elementa x ∈ X attēlu attēlojumā f sauc tovienīgo y ∈ Y , ka (x; y) ∈ F , un to apzīmē ar f(x).72

Saturs Sākums Beigas ◭ ◮ Atpakaļ Aizvērt Pilns ekrāns4.5. Kopas papildkopaBieži vien nākas sastapties ar situāciju, kad tiek apskatītas tikaidotās kopas U apakškopas, piemēram, plaknes figūras. Šajā gadījumāU sauc par universālkopu (vai universu). Starpību U \ A, kurA ⊂ U, sauc par kopas A papildkopu kopā U un apzīmē ar ∁ U A(vai vienkārši ar ∁A, ja nerodas pārtratumi). Tātad∁ U A def= U \ A.Operāciju, kas ikkatrai universa U daļai A piekārto tās papildkopu∁A, sauc par papildināšanu universā U. Dažkārt kopu ∁A apzīmēarī ar A.73

Saturs Sākums Beigas ◭ ◮ Atpakaļ Aizvērt Pilns ekrāns7424. zīm. Kopas A papildkopa ∁A līdz kopai U

Saturs Sākums Beigas ◭ ◮ Atpakaļ Aizvērt Pilns ekrāns4.6. Kopu saimes apvienojums un šķēlums. Pārklājumsun sadalījumsKopu, kuras elementi arī ir kopas, parasti sauc par kopu saimi,bet kopu saimes A apakškopas - par kopu saimes A apakšsaimēm.Par kopu saimes A apvienojumu sauc kopu, kas sastāv novisiem tiem un tikai tiem elementiem, kuri pieder vismaz vienai kopaino kopu saimes A. Kopu saimes A apvienojumu apzīmē ar ⋃ A.Tātad⋃defA = {a : ∃A ∈ A a ∈ A}.Par kopu saimes A šķēlumu sauc kopu, kas sastāv no visiemtiem un tikai tiem elementiem, kuri pieder ikkatrai kopai no kopusaimes A. Kopu saimes A šķēlumu apzīmē ar ⋂ A. Tātad⋂Adef= {a : ∀A ∈ A a ∈ A}.Kopu saimi A sauc par savstarpēji šķirtu kopu saimi, ja jebkurasdivas dažādas kopas no kopu saimes A ir šķirtas:∀A, B ∈ A : A ≠ B −→ A ∩ B = ∅.75

Par kopas X pārklājumu sauc tādu šīs kopas apakškopu saimiA (t.i., A ⊂ P(X)), ka X = ⋃ A.Par kopas X pārklājuma A apakšpārklājumu sauc tādu kopusaimes A apakšsaimi B, kura pati veido kopas X pārklājumu, t.i.,X = ⋃ B.Par kopas X sadalījumu sauc tādu šīs kopas apakškopu saimiA, ka1. ∀A ∈ A : A ≠ ∅, t.i., kopu saime A sastāv no netukšām kopām;2. A ir savstarpēji šķirtu kopu saime;3. A ir kopas X pārklājums.Kopas X sadalījuma A elementus sauc par sadalījuma klasēm.Kopas pārklājuma jēdzienu var vispārināt šādi.kopa X ir kāda universa U apakškopa.76Pieņemsim, kaPar kopas X pārklājumu kopā U sauc tādu kopas U apakškopusaimi A (t.i., A ⊂ P(U)), ka X ⊂ ⋃ A.Par kopas X pārklājuma A kopā U apakšpārklājumu sauctādu kopu saimes A apakšsaimi B, kura pati veido kopas X pārklājumu,Saturs Sākums Beigas ◭ ◮ Atpakaļ Aizvērt Pilns ekrāns

Saturs Sākums Beigas ◭ ◮ Atpakaļ Aizvērt Pilns ekrānst.i., X ⊂ ⋃ B. Atsevišķā gadījumā, ja U = X, nonāksim pie iepriekšapskatītajiem kopas X pārklājuma un kopas X pārklājumaapakšpārklājuma jēdzieniem.77

4.7. Indeksētas un neindeksētas kopu saimesBieži vien kopu saimi A (t.i., kopu, kuras elementi arī kopas),sauc par neindeksētu kopu saimi, lai atšķirtu no indeksētas kopusaimes {A α } α∈T , kuras elementi ir iezīmēti ar indeksiem α no kopasT . Atšķirība starp neindeksētu un indeksētu kopu saimēm ir tā, kaindeksētā kopu saimē elementus atšķir pēc to indeksiem, nevis kopām,kuras ir iezīmētas ar šiem indeksiem: A α un A β (α, β ∈ T ) uzskata pardažādiem indeksētas kopu saimes {A α } α∈T elementiem tad un tikaitad, kad α ≠ β, kaut arī var gadīties, ka ar šiem indeksiem iezīmētāskopas A α un A β ir vienādas (t.i., šīs kopas sastāv no vieniem un tiempašiem elementiem). Savukārt neindeksētas kopu saimes A elementusA un B uzskata par dažādiem tad un tikai tad, kad kopas A un B irdažādas.Atzīmēsim, ka jebkuru neindeksētu kopu saimi A var indeksēt, japar indeksu kopu T ņemt pašu kopu A un uzskatīt, ka indeksam A ∈T = A atbilst kopa A. Šādu kopu saimes A indeksācijas paņēmienusauc par kopu saimes A dabisko indeksāciju. Tādējādi indeksētaskopu saimes jēdziens ir vispārīgāks par neindeksētas kopu saimes jē-Saturs Sākums Beigas ◭ ◮ Atpakaļ Aizvērt Pilns ekrāns78

Saturs Sākums Beigas ◭ ◮ Atpakaļ Aizvērt Pilns ekrānsdzienu. No jebkura apgalvojuma par indeksētām kopu saimēm variegūt attiecīgu apgalvojumu par neindeksētām kopu saimēm, ja uzskatīsim,ka pēdējās ir dabiski indeksētas (iesakām lasītājam par topārliecināties patstāvīgi apskatot attiecīgās definīcijas).Atzīmēsim arī, ka jebkurai indeksētai kopu saimei {A α } α∈T atbilstneindeksēta kopu saime A, kura ir sastādīta no visām kopām A α (α ∈T ), ignorējot to indeksāciju, un tikai tām. Šo kopu saimi A sauc parindeksētai kopu saimei {A α } α∈T atbilstošo neindeksēto kopusaimi.Par kopu saimes {A α } α∈T apakšsaimi sauc patvaļīgu kopusaimi {A α } α∈S , kur S ⊂ T .4.4. piezīme. Stingri ņemot, indeksēta kopu saime {A α } α∈T irkāda attēlojumaf : T → U, kur U - neindeksēta kopu saime, grafiksΓ f = { (α; A) : α ∈ T, A = f(α) } ,ja elementu (α; A) ∈ Γ f apzīmēt ar A α un ar pierakstu x ∈A α = (α; A) saprast, ka x ∈ A. Šajā gadījumā:79

Saturs Sākums Beigas ◭ ◮ Atpakaļ Aizvērt Pilns ekrāns• indeksētai kopu saimei Γ f = {A α } α∈T atbilstošā neindeksētākopu saime A = f(T ) ⊂ U - attēlojuma f vērtībukopa;• dabiski indeksēt neindeksētu kopu saimi A nozīmē pārietpie indeksētas kopu saimes {A A } A∈A - identiskā attēlojumai A : A → A grafikaΓ iA = { (A; A) : A ∈ A } ;• kopu saimes {A α } α∈T apakšsaime {A α } α∈S ir attēlojumaf : T → U sašaurinājuma kopā S ⊂ T , t.i., attēlojumaf|S : S → U, grafiksΓ f|S = { (α; A) : α ∈ S, A = f(α) } .80

Saturs Sākums Beigas ◭ ◮ Atpakaļ Aizvērt Pilns ekrāns4.8. Indeksētas kopu saimes apvienojums un šķēlums.Pārklājums un sadalījumsFormulēsim apvienojuma, šķēluma, savstarpēji šķirtu kopu saimes,pārklājuma, apakšpārklājuma un sadalījuma definīcījas indeksētāmkopu saimēm (kā jau iepriekš tika minēts, no šīm definīcijām var iegūtattiecīgās definīcijas par neindeksētām kopu saimēm, ja uzskatīt, kapēdējās ir dabiski indeksētas).Par kopu saimes {A α } α∈Tattiecīgi kopas⋃defA α = {a : ∃α ∈ T a ∈ A α } un ⋂α∈T81apvienojumu un šķēlumu saucα∈TA αdef= {a : ∀α ∈ T a ∈ A α }.Kopu saimes {A i } i∈n , kur n = {1; 2; . . . ; n}, un {A i } i∈N apzīmēattiecīgi ar {A i } n i=1 un {A i} ∞ i=1 un sauc par kopu virknēm, bet kopuvirknes elementus - kopu virknes locekļiem.Kopu virknes {A i } n i=1 apvienojumu apzīmē ar ⋃ n A i vai A 1 ∪A 2 ∪i=1

Saturs Sākums Beigas ◭ ◮ Atpakaļ Aizvērt Pilns ekrāns82· · · ∪ A n , t.i.,n⋃A i = A 1 ∪ A 2 ∪ · · · ∪ A n = {a : ∃i ∈ n a ∈ A i },i=1⋂bet šķēlumu - ar n A i vai A 1 ∩ A 2 ∩ · · · ∩ A n , t.i.,i=1n⋂A i = A 1 ∩ A 2 ∩ · · · ∩ A n = {a : ∀i ∈ n a ∈ A i }.i=1Kopu virknes {A i } ∞ i=1 apvienojumu apzīmē ar ⋃ ∞ A i vai A 1 ∪A 2 ∪· · · ∪ A n ∪ · · · , t.i.,∞⋃A i = A 1 ∪ A 2 ∪ · · · ∪ A n ∪ · · · = {a : ∃i ∈ N a ∈ A i },i=1i=1

Saturs Sākums Beigas ◭ ◮ Atpakaļ Aizvērt Pilns ekrāns⋂bet šķēlumu - ar ∞ A i vai A 1 ∩ A 2 ∩ · · · ∩ A n ∩ · · · , t.i.,jai=1∞⋂A i = A 1 ∩ A 2 ∩ · · · ∩ A n ∩ · · · = {a : ∀i ∈ N a ∈ A i }.i=1Kopu saimi {A α } α∈T sauc par savstarpēji šķirtu kopu saimi,∀α, β ∈ T : α ≠ β −→ A α ∩ A β = ∅.Saka, ka kopas X apakškopu saime {A α } α∈Tpārklājums, ja X = ⋃ A α .α∈T83ir kopas XPar kopas X pārklājuma {A α } α∈T apakšpārklājumu sauctādu šīs kopu saimes apakšsaimi {A α } α∈S (S ⊂ T ), kura pati veidokopas X pārklājumu, t.i., X = ⋃ A α .α∈SSaka, ka kopas X apakškopu saime {A α } α∈T ir kopas Xsadalījums, ja1. ∀α ∈ T : A α ≠ ∅, t.i., šī kopu saime sastāv no netukšām kopām;

Saturs Sākums Beigas ◭ ◮ Atpakaļ Aizvērt Pilns ekrāns2. {A α } α∈T ir savstarpēji šķirtu kopu saime;3. {A α } α∈T ir kopas X pārklājums.Kopas X sadalījuma {A α } α∈T elementus sauc par sadalījuma klasēm.Kopas pārklājuma jēdzienu var vispārināt šādi.kopa X ir kāda universa U apakškopa.Saka, ka kopas U apakškopu saime {A α } α∈Tpārklājums kopā U, ja X ⊂ ⋃ A α .α∈T84Pieņemsim, kair kopas XPar kopas X pārklājuma {A α } α∈T kopā U apakšpārklājumusauc tādu kopu saimes A apakšsaimi {A α } α∈S (S ⊂ T ), kura pativeido kopas X pārklājumu, t.i., X ⊂ ⋃ A α .α∈SAtsevišķā gadījumā, ja U = X, nonāksim pie iepriekš apskatītajiemkopas X pārklājuma un kopas X pārklājuma apakšpārklājuma jēdzieniem.

Saturs Sākums Beigas ◭ ◮ Atpakaļ Aizvērt Pilns ekrāns4.9. Indeksētas kopu saimes Dekarta reizinājumsPar kopu saimes {A i } n i=1 Dekarta reizinājumu (vai tiešoreizinājumu) sauc kopu, kas sastāv no visiem n-kāršiem kortežiem(a 1 ; a 2 ; . . . ; a n ), kur a i ∈ A i (i ∈ n), un tikai tiem (divus n-kāršuskortežus (a 1 ; a 2 ; . . . ; a n ) un (b 1 ; b 2 ; . . . ; b n ) uzskata par vienādiemtad un tikai tad, kad a 1 = b 1 , a 2 = b 2 , . . . , a n = b n ). Kopusaimes {A i } i∈n Dekarta reizinājumu apzīmē ar ∏n∏A i vai A i vaiA 1 × A 2 × · · · × A n , t.i.,∏A i =i∈nn∏A i = A 1 × A 2 × · · · × A n =i=1i∈ni=1= { (a 1 ; a 2 ; . . . ; a n ) : ∀i ∈ n a i ∈ A i}.Ja A i = A (i ∈ n), tad Dekarta reizinājumun ∏i=185A i apzīmē ar A nun sauc par kopas A n-to pakāpi, bet kopas A n elementu - n-kāršukortežu (a 1 ; a 2 ; . . . ; a n ), kur a i ∈ A i (i ∈ n), - par n-kāršu virkni

Saturs Sākums Beigas ◭ ◮ Atpakaļ Aizvērt Pilns ekrānskopā A. TātadA n = A × A × · · · × A = { (a} {{ } 1 ; a 2 ; . . . ; a n ) : ∀i ∈ n a i ∈ A } .nPar galīgu virkni kopā A sauc jebkuru n-kāršu virkni kopā A.⋃Tātad ∞ A i ir visu galīgo virkņu kopā A kopa!i=1Par kopu saimes {A i } ∞ i=1 Dekarta reizinājumu (vai tiešoreizinājumu) sauc kopu, kas sastāv no visiem bezgalīgiem kortežiem(a 1 ; a 2 ; . . . ; a n ; . . .), kur a i ∈ A i (i ∈ N), un tikai tiem (divus bezgalīguskortežus (a 1 ; a 2 ; . . . ; a n ; . . .) un (b 1 ; b 2 ; . . . ; b n ; . . .) uzskata parvienādiem tad un tikai tad, kad a 1 = b 1 , a 2 = b 2 , . . . , a n =b n , . . . ). Kopu saimes {A i } ∞ ∏i=1 Dekarta reizinājumu apzīmē ar A ii∈N86

Saturs Sākums Beigas ◭ ◮ Atpakaļ Aizvērt Pilns ekrānsvai∞∏A i vai A 1 × A 2 × · · · × A n × · · · , t.i.,i=1∏ ∞∏A i = A i = A 1 × A 2 × · · · × A n × · · · =i∈Ni=1= { (a 1 ; a 2 ; . . . ; a n ; . . .) : ∀i ∈ N a i ∈ A i}.∏Ja A i = A (i ∈ N), tad Dekarta reizinājumu ∞ A i apzīmē ar A ∞ ,bet kopas A ∞ elementu - bezgalīgu kortežu (a 1 ; a 2 ; . . . ; a n ; . . .), kura i ∈ A i (i ∈ N), - par bezgalīgu virkni kopā A. TātadA ∞ = A × A × · · · × A × · · · = { (a 1 ; a 2 ; . . . ; a n ; . . .) : ∀i ∈ N a i ∈ A } .Kopu saimes {A α } α∈T , kur T - patvaļīga indeksu kopa, Dekarta(jeb tiešo) reizinājumu definē kā kopu, kas sastāv no visiem iespējamiemattēlojumiem f : T → ⋃ A α , kaα∈T∀α ∈ T : f(α) ∈ A α ,i=187

un∏tikai tiem. Kopu saimes {A α } α∈T Dekarta reizinājumu apzīmē arA α . Tātadα∈T∏α∈TA αdef={f : T → ⋃∣ }∣∣∣∣A α ∀α ∈ T f(α) ∈ A α .α∈TJautājums: vai eksistē vismaz viens šāds attēlojums? Atbilde uz šojautājumu ir pozitīva, jo kopu teorijā pieņem, ka izpildāsIzvēles aksioma: jebkurai kopu saimei {A α } α∈T eksistē attēlojumsf : T → ⋃ A α , ka jebkuram α ∈ T izpildās f(α) ∈ A α .α∈T∏Ja A α = A (α ∈ T ), tad kopu saimes {A α } α∈T Dekarta reizinājumaA α elementi ir visi iespējamie attēlojumi f : T → ⋃ A α = A unα∈Tα∈Ttikai tie. Tāpēc ∏ A α = A T , ja A α = A visiem α ∈ T .α∈TNo pirmā acu uzmetiena var likties, ka Dekarta reizinājuma ∏88A αα∈T∏definīcija ir pretrunā ar Dekarta reizinājumu n ∏A i un ∞ A i definīcijām,Saturs Sākums Beigas ◭ ◮ Atpakaļ Aizvērt Pilns ekrānsi=1i=1

Saturs Sākums Beigas ◭ ◮ Atpakaļ Aizvērt Pilns ekrānsjo kopas ∏α∈T89∏A α elementi ir attēlojumi, bet kopu n ∏A i un ∞ A i elementiir attiecīgi n-kārši un bezgalīgi korteži. Šo šķietamo pretrununovērš šādi:⋃1. indeksu kopas T = n gadījumā attēlojumu f : n → n A i , kuri=1∀i ∈ n : f(i) ∈ A i , identificē ar n-kāršu kortežu(f(1); f(2); . . . ; f(n));⋃2. indeksu kopas T = N gadījumā attēlojumu f : N → ∞ A i , kur∀i ∈ N : f(i) ∈ A i , identificē ar bezgalīgu kortežu(f(1); f(2); . . . ; f(n); . . .).i=1i=1i=1

Saturs Sākums Beigas ◭ ◮ Atpakaļ Aizvērt Pilns ekrāns4.10. Kopu virknes augšējā un apakšējā robežaPar kopu virknes {A n } ∞ n=1 augšējo un apakšējo robežāmsauc attiecīgi kopas∞⋂ ∞⋃∞⋃ ∞⋂lim A defdefn = A i un lim A n = A i .n→∞ n→∞n=1 n=1n=1 n=1Ja kopu virknes {A n } ∞ n=1 augšējā un apakšējā robeža ir vienādas, tadkopulim A defn = lim A n = lim A nn→∞ n→∞ n→∞sauc par kopu virknes {A n } ∞ n=1 robežu, bet {A n } ∞ n=1 - konverǧentukopu virkni.Ir spēkā šādi apgalvojumi.1 ◦ Kopu virknes {A n } ∞ n=1 augšējā robeža limn→∞ A n sastāv no visiemtiem un tikai tiem elementiem, kuri pieder bezgalīgi daudziemdotās virknes locekļiem.90

2 ◦ Kopu virknes {A n } ∞ n=1 apakšējā robeža limn→∞91A n sastāv no visiemtiem un tikai tiem elementiem, kuri pieder visiem dotās virkneslocekļiem, izņemot varbūt galīgu to skaitu.3 ◦ Kopu virknes {A n } ∞ n=1 augšējā un apakšējā robežas limn→∞A n navatkarīgas no tā, vai kopu virknei pievieno vai atmet galīgu skaitulocekļu.4 ◦ Jebkurai kopu virknei {A n } ∞ n=1 ir spēkā∞⋂∞⋃A n ⊂ lim A n ⊂ lim A n ⊂ A n .n→∞ n→∞n=15 ◦ Ja A i ⊂ X (i ∈ N), tad( )∁ lim A n = lim ∁A n ,n→∞ n→∞n=1( )∁ lim A n = lim ∁A n.n→∞n→∞6 ◦ Pieņemsim, ka A i ⊂ X (i ∈ N). Kopu virkne {A n } ∞ n=1 konverǧētad un tikai tad, kad konverǧē kopu virkne {∁A n } ∞ n=1. Ja A =lim A n, tad ∁A = lim ∁A n.n→∞ n→∞Saturs Sākums Beigas ◭ ◮ Atpakaļ Aizvērt Pilns ekrāns

Saturs Sākums Beigas ◭ ◮ Atpakaļ Aizvērt Pilns ekrāns7 ◦ Jebkura augoša (dilstoša) kopu virkne A i ⊂ X (i ∈ N) ir konverǧenta,pie tam()∞⋃∞⋂lim A n = A n lim A n = A n .n→∞ n→∞n=1n=192

Saturs Sākums Beigas ◭ ◮ Atpakaļ Aizvērt Pilns ekrāns5. Operāciju ar kopām īpašības93Uzskaitīsim operāciju ar kopām svarīgākās īpašības.1 ◦ Idempotences likumi:A ∪ A = A, A ∩ A = A.2 ◦ Komutatīvie likumi:A ∪ B = B ∪ A, A ∩ B = B ∩ A, A △ B = B △ A.3 ◦ Asociatīvie likumi:(A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C),(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C),(A △ B) △ C = A △ (B △ C).Atzīmēsim, ka Dekarta reizināšana nav komutatīva un asociatīva.4 ◦ Distributīvie likumi:A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C),

Saturs Sākums Beigas ◭ ◮ Atpakaļ Aizvērt Pilns ekrāns94A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C),( ) ⋂A ∪ B α = ⋂(A ∪ B α ),α∈Tα∈T( ) ⋃A ∩ B α = ⋃(A ∩ B α ),α∈Tα∈TA ∩ (B \ C) = (A ∩ B) \ (A ∩ C),(A ∩ B) \ C = (A \ C) ∩ (B \ C),(A ∪ B) \ C = (A \ C) ∪ (B \ C),A × (B ∪ C) = (A × B) ∪ (A × C),(A ∪ B) × C = (A × C) ∪ (B × C),A × (B ∩ C) = (A × B) ∩ (A × C),(A ∩ B) × C = (A × C) ∩ (B × C),A × (B \ C) = (A × B) \ (A × C),(A \ B) × C = (A × C) \ (B × C).

Saturs Sākums Beigas ◭ ◮ Atpakaļ Aizvērt Pilns ekrāns5 ◦ Dualitātes likumi:A \ (B ∪ C) = (A \ B) ∩ (A \ C),A \ (B ∩ C) = (A \ B) ∪ (A \ C),( ) ⋃A \ B α = ⋂(A \ B α ),α∈Tα∈T( ) ⋂A \ B α = ⋃(A \ B α ).α∈Tα∈T6 ◦ A ∩ (B \ C) = (A ∩ B) \ C, A ∪ (B \ C) = (A ∪ B) \ (C \ A).7 ◦ A \ (B \ C) = (A \ B) ∪ (A ∩ C).8 ◦ (A \ B) \ C = (A \ C) \ B = (A \ C) \ (B \ C) = A \ (B ∪ C) =(A ∪ C) \ (B ∪ C).9 ◦ A = (A \ B) ∪ (A ∩ B); ja B ⊂ A, tad A = (A \ B) ∪ B.10 ◦ A ∪ B = (A \ B) ∪ B = (B \ A) ∪ A.11 ◦ A ∩ B = A \ (A \ B) = B \ (B \ A).95

Saturs Sākums Beigas ◭ ◮ Atpakaļ Aizvērt Pilns ekrāns12 ◦ A \ B = A \ (A ∩ B).13 ◦ A △ B = (A \ B) ∪ (B \ A) = (A ∪ B) \ (A ∩ B).14 ◦ A ∪ ∅ = A, A ∩ ∅ = ∅, A \ ∅ = A, ∅ \ A = ∅, A \ A = ∅, A△∅ = A,A△A = ∅, A × ∅ = ∅, ∅ × A = ∅.15 ◦ (A \ B = ∅ ←→ A ⊂ B), A \ B = A ←→ A ∩ B = ∅.Formulējot nākamos likumus, uzskatīsim ka visas kopas ir universaU daļas.16 ◦ A ∪ ∁A = U, A ∩ ∁A = ∅, ∁∁A = A, C∅ = U, ∁U = ∅.17 ◦ A \ B = ∁B \ ∁A.18 ◦ (A ⊂ B ←→ ∁B ⊂ ∁A), (A = B ←→ ∁A = ∁B).19 ◦ (A ∩ B = ∅ ←→ A ⊂ ∁B), (A ∩ B = ∅ ←→ B ⊂ ∁A).20 ◦ Dualitātes likumi:∁(A ∪ B) = ∁A ∩ ∁B, ∁(A ∩ B) = ∁A ∪ ∁B,( ) ⋃∁ = ⋂ ( ) ⋂∁A α , ∁ = ⋃∁A α .α∈Tα∈Tα∈Tα∈T96

Saturs Sākums Beigas ◭ ◮ Atpakaļ Aizvērt Pilns ekrāns9721 ◦ A \ B = A ∩ ∁B.22 ◦ A△B = (A ∩ ∁B) ∪ (∁A ∩ B).

Saturs Sākums Beigas ◭ ◮ Atpakaļ Aizvērt Pilns ekrāns986. Divu kopu vienādības pierādīšanas paņēmieniŠajā paragrāfā apskatīsim četrus divu kopu vienādības pierādīšanaspaņēmienus.6.1. piemērs. Pierādīsim vienādībuA \ (B \ C) = (A \ B) ∪ (A ∩ C). (6.3)1. paņēmiens (izmantojot operāciju ar kopām definīcijas).Izmantosim divu kopu vienādības nepieciešamo un pietiekamo pazīmi:A = B tad un tikai tad, kad A ⊂ B un B ⊂ A.a) Pieņemsim, ka x ∈ F 1 = A\(B \C), un pierādīsim, ka x ∈ F 2 =(A \ B) ∪ (A ∩ C). Tā kā x ∈ F 1 , tad x ∈ A un x ∉ B \ C.Nosacījums x ∉ B \ C nozīmē, ka x ∉ B vai x ∈ C.a 1 ) Pieņemsim, ka x ∉ B. Tā kā x ∈ A, tad x ∈ A \ B. Tātadx ∈ F 2 = (A \ B) ∪ (A ∩ C).a 2 ) Pieņemsim, ka x ∈ C. Tā kā x ∈ A, tad x ∈ A ∩ C. Tātadx ∈ F 2 = (A \ B) ∪ (A ∩ C).

Saturs Sākums Beigas ◭ ◮ Atpakaļ Aizvērt Pilns ekrānsTādējādi abos iespējamos gadījumos ieguvām, ka x ∈ F 2 .b) Pieņemsim, ka x ∈ F 2 , un pierādīsim, ka x ∈ F 1 . Tā kā x ∈ F 2 ,tad x ∈ A \ B vai x ∈ A ∩ C.b 1 ) Pieņemsim, ka x ∈ A \ B, t.i., x ∈ A un x ∉ B. Tā kāx ∉ B, tad x ∉ B \ C. Ņemot vērā, ka x ∈ A, iegūsim, kax ∈ A \ (B \ C) = F 1 .b 2 ) Pieņemsim, ka x ∈ A ∩ C, t.i., x ∈ A un x ∈ C. Tā kāx ∈ C, tad x ∉ B \ C. Ņemot vērā, ka x ∈ A, iegūsim, kax ∈ A \ (B \ C) = F 1 .Tādējādi abos iespējamos gadījumos ieguvām, ka x ∈ F 1 .Saskaņā ar divu kopu vienādības nepieciešamo un pietiekamo pazīmikopas F 1 un F 2 ir vienādas.2. paņēmiens (analītiskais paņēmiens).Pieņemsim, ka kopas A, B un C ir kāda universa U daļas (šādsuniverss vienmēr eksistē, piemēram, U = A∪B∪C). Jebkuru netukšukopu M ⊂ U, kura ir iegūta kopu A, B un C apvienošanas, šķelšanas,99

Saturs Sākums Beigas ◭ ◮ Atpakaļ Aizvērt Pilns ekrāns100atņemšanas, simetriskās atņemšanas un papildināšanas rezultātā, lietojotformulasA = A, A ∪ B = A ∩ B, A ∩ B = A ∪ B, A \ B = A ∩ B,A △ B = (A ∩ B) ∪ (A ∩ B), A = (A ∩ B) ∪ (A ∩ B),kā arī idempotences, komutatīvos, asociatīvos un distributīvos likumus,vienīgā veidā var izteikt kā kopu A, B un C elementāršķēlumuA ∩ B ∩ C, A ∩ B ∩ C, A ∩ B ∩ C, A ∩ B ∩ C,A ∩ B ∩ C, A ∩ B ∩ C, A ∩ B ∩ C, A ∩ B ∩ Capvienojumu, ja pieprasīt, ka šajā apvienojumā neietilpst divi vienādi

Saturs Sākums Beigas ◭ ◮ Atpakaļ Aizvērt Pilns ekrāns101elementāršķēlumi un elementāršķēlumu kārtība nav svarīga.F 1 = A \ (B \ C) = A \ (B ∩ C) = A ∩ B ∩ C == A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) == (A ∩ B ∩ C) ∪ (A ∩ B ∩ C) ∪ (A ∩ B ∩ C) ∪ (A ∩ B ∩ C) == (A ∩ B ∩ C) ∪ (A ∩ B ∩ C) ∪ (A ∩ B ∩ C).F 2 = (A \ B) ∪ (A ∩ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) == (A ∩ B ∩ C) ∪ (A ∩ B ∩ C) ∪ (A ∩ B ∩ C).Tā kā kopas F 1 un F 2 ir vienu un to pašu elementāšķēlumu apvienojums,tad kopas F 1 un F 2 ir vienādas. Atzīmēsim, ka šajā piemērāsecinājumu par kopu F 1 un F 2 vienādību varēja izdarīt jau pēc tā, kaabas šīs kopas ir vienādas ar kopu (A ∩ B) ∪ (A ∩ C).3. paņēmiems (grafiskais paņēmiems).Uzzīmēsim divos eksemplāros kopu A, B un C Eilera-Venna diagrammas“vispārīgā stāvoklī”, t.i., tā, lai visi to savstarpējie šķēlumi

Saturs Sākums Beigas ◭ ◮ Atpakaļ Aizvērt Pilns ekrāns102būtu netukši. Katra no diagrammām sastāvēs no 8 elementārapgabaliem,kuri atbilst iepriekš minētajiem elementāršķēlumiem. Zīmējumosuniversu U un ārējo elementārapgabalu, t.i., elementārapgabalu, kasatbilst elementāršķēlumam A∩B ∩C, parasti nenorāda. Eilera-Vennadiagrammās jebkura netukša kopa M ⊂ U, kura ir iegūta operācijuar kopām A, B un C (izņemot šo kopu Dekarta reizināšanu) rezultātāattēlojas kā kāds elementārapgabalu apvienojums.

Saturs Sākums Beigas ◭ ◮ Atpakaļ Aizvērt Pilns ekrāns10325. zīm. Kreisajā zīmējumā: zaļajā krāsā ir apgabala B \Ckontūrs, bet sarkanajā krāsā ir apgabala F 1 = A \ (B \ C)kontūrs. Labajā zīmējumā: zaļajā krāsā ir apgabala A ∩ Ckontūrs, dzeltenajā krāsā ir apgabala A \ B kontūrs, betsarkanajā krāsā ir ir apgabala F 2 = (A\B)∪(A∩C) kontūrs.Tā kā kopas F 1 un F 2 ir vienu un to elementārapgabalu apvienojums(skat. 25. zīm.), tad kopas F 1 un F 2 ir vienādas.

Saturs Sākums Beigas ◭ ◮ Atpakaļ Aizvērt Pilns ekrāns1044. paņēmiems (tabulārais paņēmiens).Sastādīsim kopu F 1 un F 2 incidences tabulu, norādot patvaļīgaelementa x piederību (vai nepiederību) kopām F 1 un F 2 atkarībā noelementa x piederības (vai nepiederības) kopām A, B un C.A B C B \ C F 1 = A \ (B \ C) A \ B A ∩ C F 2 = (A \ B) ∪ (A ∩ C)− − − − − − − −− − + − − − − −− + − + − − − −− + + − − − − −+ − − − + + − ++ − + − + + + ++ + − + − − − −+ + + − + − + +No incidences tabulas ir redzams, ka x ∈ F 1 tad un tikai tad, kadx ∈ F 2 . Tātad kopas F 1 un F 2 ir vienādas.

Saturs Sākums Beigas ◭ ◮ Atpakaļ Aizvērt Pilns ekrāns7. Attēlojumu īpašības105Apskatīsim kopas X attēlojumu f kopā Y .1 ◦ f(∅) = ∅, f −1 (∅) = ∅, f −1 (Y ) = X.2 ◦ Ja A 1 ⊂ A 2 ⊂ X, tad f(A 1 ) ⊂ f(A 2 ).3 ◦ Ja B 1 ⊂ B 2 ⊂ Y , tad f −1 (B 1 ) ⊂ f −1 (B 2 ).4 ◦ Ja A 1 ⊂ A 2 ⊂ X, tadf(A 1 ∪ A 2 ) = f(A 1 ) ∪ f(A 2 ), f(A 1 ∩ A 2 ) ⊂ f(A 1 ) ∩ f(A 2 ).5 ◦ Ja A α ⊂ X (α ∈ T ), tad( ) ⋃f A α = ⋃( ) ⋂f(A α ), f A α ⊂ ⋂f(A α ).α∈Tα∈Tα∈Tα∈T6 ◦ Ja B 1 ⊂ B 2 ⊂ Y , tadf −1 (B 1 ∪ B 2 ) = f −1 (B 1 ) ∪ f −1 (B 2 ),f −1 (B 1 ∩ B 2 ) = f −1 (B 1 ) ∩ f −1 (B 2 ).

1067 ◦ Ja B τ ⊂ Y (τ ∈ S), tad( ) ⋃f −1 B τ = ⋃f −1 (B τ ),τ∈Sτ∈S( ) ⋂f −1 B τ = ⋂f −1 (B τ ).τ∈Sτ∈S8 ◦ Ja A 1 ⊂ A 2 ⊂ X, tad f(A 1 \ A 2 ) ⊃ f(A 1 ) \ f(A 2 ).9 ◦ Ja B 1 ⊂ B 2 ⊂ Y , tad f −1 (B 1 \ B 2 ) = f −1 (B 1 ) \ f −1 (B 2 ).10 ◦ Ja B ⊂ Y , tad f −1( ∁ Y B ) = ∁ X f −1 (B), kur ∁ Y B = Y \ B,∁ X f −1 (B) = X \ f −1 (B).11 ◦ Ja A ⊂ X, tad A ⊂ f −1( f(A) ) .12 ◦ Ja B ⊂ Y , tad f ( f −1 (B) ) = B ∩ f(X) ⊂ B.Saturs Sākums Beigas ◭ ◮ Atpakaļ Aizvērt Pilns ekrāns

Saturs Sākums Beigas ◭ ◮ Atpakaļ Aizvērt Pilns ekrāns10713 ◦ Ja A ⊂ X un B ⊂ Y , tad(f(A) = ∅ ←→ A = ∅),(f −1 (B) = ∅ ←→ B ∩ f(X) = ∅ ) ,((f|A ) −1 (B) = A ∩ f −1 (B) ) ,(f(A) ∩ B = ∅ ←→ A ∩ f −1 (B) = ∅ ) .14 ◦ Attēlojums f ir sirjekcija tad un tikai tad, kad∀B ⊂ Y : f ( f −1 (B) ) = B.15 ◦ Šādi apgalvojumi ir ekvivalenti:1. attēlojums f ir injekcija;2. ∀A ⊂ X : f −1 (f(A)) = A;3. ∀A 1 , A 2 ⊂ X : f(A 1 ∩ A 2 ) = f(A 1 ) ∩ f(A 2 );4. ∀A 1 , A 2 ⊂ X : f(A 1 \ A 2 ) = f(A 1 ) \ f(A 2 ).16 ◦ Attēlojumu kompozīcija ir asociatīva: jebkuriem attēlojumiemf : Z → Y , g : Y → Z un h : Z → W ir spēkā(h ◦ g) ◦ f = h ◦ (g ◦ f).

8. Kopu gredzeni109Pieņemsim, ka kopu saime N satur vismaz vienu elementu.Kopu saimi N sauc par kopu gredzenu, ja∀A, B ∈ N : A \ B ∈ N, A ∪ B ∈ N.Kopu saimes N elementu E sauc par kopu saimes N vienībaselementu, ja∀A ∈ N : A ∩ E = A.Kopu gredzenu, kurā eksistē vienības elements, sauc par kopualgebru.Kopu gredzenu N sauc par σ-gredzenu, ja jebkurai kopu virknei{A i } ∞ i=1 , ka A ⋃i ∈ N (i ∈ N), ir spēkā ∞ A i ∈ N.σ-gredzenu, kurā eksistē vienības elements, sauc par σ-algebru.i=1Kopu saimi N sauc par kopu pusgredzenu, ja1. ∅ ∈ N;2. ∀A, B ∈ N : A ∩ B ∈ N;Saturs Sākums Beigas ◭ ◮ Atpakaļ Aizvērt Pilns ekrāns

Saturs Sākums Beigas ◭ ◮ Atpakaļ Aizvērt Pilns ekrāns1103. jebkurai kopai A ∈ N un patvaļīgai kopas A apakškopai A 1eksistē tādas kopas A 2 , . . . , A n ∈ N, ka {A i } n i=1 ir savstarpējišķirtu kopu saime, kura veido kopas A pārklājumu.Apskatīsim kopu gredzenu īpašības.1 ◦ Ja N ir kopu gredzens, tad ∅ ∈ N.2 ◦ Pieņemsim, ka kopu saime N satur vismaz vienu elementu. Šādiapgalvojumi ir ekvivalenti.1. N ir kopu gredzens.2. ∀A, B ∈ N : A △ B ∈ N, A ∩ B ∈ N.3. ∀A, B ∈ N : A △ B ∈ N, A ∪ B ∈ N.4. ∀A, B ∈ N : A △ B ∈ N, A \ B ∈ N.3 ◦ Ja N ir kopu gredzens, tad jebkurai kopu virknei {A i } ∞ i=1 , kaA i ∈ N (i ∈ n), ir spēkān ⋂i=1A i ∈ N unn ⋃i=1A i ∈ N.4 ◦ Ja N ir σ-algebra, tad jebkurai kopu virknei {A i } ∞ i=1 , ka A i ∈ N⋂(i ∈ N), ir spēkā ∞ A i ∈ N.i=1

5 ◦ Jebkurš kopu gredzens ir kopu pusgredzens, bet ne otrādi.1116 ◦ Jebkurš kopu gredzenu (kopu algebru, σ-gredzenu, σ-algebru) šķēlumsir kopu gredzens (attiecīgi kopu algebra, σ-gredzens, σ-algebra).7 ◦ Pieņemsim, ka kopu saime N satur vismaz vienu elementu, betX = ⋃ N ir kopu saimes N apvienojums. Eksistē vienīgs kopugredzens (kopu algebra, σ-gredzens, σ-algebra) R(N), ka1. N ⊂ R(N);2. ja M ir kopu gredzens (attiecīgi kopu algebra, σ-gredzens,σ-algebra) un M ⊃ N, tad M ⊃ R(N).Kopu saimi R(N) sauc par minimālo kopu gredzenu (attiecīgikopu algebru, σ-gredzenu, σ-algebru) pār kopusaimi N.Minimālais kopu gredzens (kopu algebra, σ-gredzens, σ-algebra)R(N) ir visu kopu gredzenu (attiecīgi kopu algebra, σ-gredzens,σ-algebra) M, ka N ⊂ M ⊂ P(X), šķēlums.8 ◦ Minimālais kopu gredzens pār kopu pusgredzenu N sastāv novisām tām un tikai tām kopām A, kaSaturs Sākums Beigas ◭ ◮ Atpakaļ Aizvērt Pilns ekrāns

Saturs Sākums Beigas ◭ ◮ Atpakaļ Aizvērt Pilns ekrāns⋃1. A = n A i , kur A i ∈ N (i ∈ n);i=11122. {A i } n i=1 ir savstarpēji šķirtu kopu saime.9 ◦ Apskatīsim attēlojumu f : X → Y . Pieņemsim, ka N ⊂ P(Y ),betf −1 (N) = { A ∈ P(X) : A = f −1 (B), B ∈ N } .Ja N ir kopu gredzens (kopu algebra, σ-gredzens, σ-algebra), tadf −1 (N) arī ir kopu gredzens (attiecīgi kopu algebra, σ-gredzens,σ-algebra).Ja R(N) ir minimālais kopu gredzens (kopu algebra, σ-gredzens,σ-algebra) pār kopu saimi N, tadf −1( R(N) ) = { A ∈ P(X) : A = f −1 (B), B ∈ R(N) }ir minimālais kopu gredzens (attiecīgi kopu algebra, σ-gredzens,σ-algebra) pār kopu saimi f −1 (N).10 ◦ Pieņemsim, ka N ir kopu pusgredzens. Apskatīsim kopasA, A 1 , . . . , A n ∈ N,

Saturs Sākums Beigas ◭ ◮ Atpakaļ Aizvērt Pilns ekrāns113ka A 1 , . . . , A n ⊂ A un {A i } n i=1 ir savstarpēji šķirtu kopu saime.Tad eksistē tādas kopas A n+1 , . . . , A k (k ≥ n), ka {A j } k j=1 irsavstarpēji šķirtu kopu saime, kas veido kopas A pārklājumu.11 ◦ Pieņemsim, ka N ir kopu pusgredzens. Apskatīsim kopasA 1 , . . . , A n ∈ N.Tad eksistē tāda savstarpēji šķirtu kopu saime {B j } k j=1 , B j ∈N (j ∈ k), ka jebkurai kopai A i (i ∈ n) var atrast indeksuapakškopu S i ⊂ k, ka A i = ⋃ B j .j∈S i