Elektromagnētiskās indukcijas parādības - Fizmati

Latvijas UniversitāteFizikas un matemātikas fakultāteFizikas nodaļaPapildinājums lekciju konspektam kursam vispārīgajā fizikāElektromagnētisms(elektromagnētiskās indukcijas parādības)Asoc. prof. Andris MuižnieksNoformējums un grafika: Andris MuižnieksRīga, 2004.Anotācija.Šajā konspektā tiek papildināts līdzšinējais lekciju konspekts "Elektromagnētisms"(Rīga, 2003.) ar paragrāfiem, kuros plašāk tiek aplūkotas elektromagnētiskāsindukcijas parādības.SatursP.1. Strāvas ģeneratoriP.2. Virpuļains elektriskais lauksP.3. Virpuļstrāvas, skinefektsP.4. PašindukcijaP.5. Spole maiņstrāvas ķēdēP.6. Labi vadoša materiāla gredzens arējā AC magnētiskā laukāP.7. Magnētiskā lauka enerģijaP.8. Ieslēgšanas strāvaP.9. Izslēgšanas strāvaP.10. Magnētisko spēku darbs noslēgtam kontūram ar strāvu pārvietojoties ārējāmagnētiskajā laukāP.11. Savstarpējā indukcijaP.12. Transformators1

P.1. Strāvas ģeneratoriPirms elektromagnētiskās indukcijas parādības atklāšanas cilvēce pazina galvenokārttikai sekojošus elektriskās enerģijas iegūšanas veidus: 1) elektrizēšanu ar berzi, taču šisveids nodrošināja tikai ļoti īslaicīgus un mazjaudīgus elektriskos procesus; 2)galvaniskos (ķīmiskos) elementus - lai arī galvanisko elementu kalpošanas laiks bijailgstošāks, taču arī tas bija ierobežots (piem., dažas stundas), pie kam ķīmiskoelementu jauda bija ierobežota; 3) termopārus, kuru darbība varēja būt ļoti ilgstoša,taču kuru jauda arī bija ļoti ierobežota.Elektromagnētiskās indukcijas parādības atklāšana ļāva izveidot speciālas ierīces(ģeneratorus) tiešai mehāniskās enerģijas (jaudas) pārveidošanai elektriskajā enerģijā(jaudā), kas nodrošināja elektriskās enerģijas plašu lietošanu, t.i. elektroenerģētikasrašanos un tādejādi revolucionāri pārmainīja cilvēces dzīvi.NdSS~ EαBSE m 1E00 2 4 6 8 10 12 14-E-1mtMaiņstrāvas (AC - alternating current) ģeneratora darbības princips: ģeneratorā arpievadītas mehāniskas jaudas palīdzību vienmērīgi tiek griezts vada rāmītismagnētiskajā laukā, ko rada nekustīgi elektromagnēti vai pastāvīgie magnēti. Rotācijasdēļ caur rāmīša laukumu laikā mainās magnētiskā lauka plūsma, kā rezultātā rāmītīinducējas EDS. Rāmīša vada gali ir pievienoti vadītāja gredzeniem, kas rotē reizē arrāmīti. Ar slīdkontaktu palīdzību inducētais EDS tiek pievadīts nekustīgajiemģeneratora poliem, kuriem var pieslēgt strāvas patērētāju. Pieņemot, ka magnētiskaislauks ir homogēnsΦ = ∫ B ⋅ dS = ∫ BdS cosα = BS cosα , α = 2 πft = ωt, Φ = BS cosωt,SSdΦE = − = BSωsin( ωt)= Emsin( ωt), kur EmBSωdt= - EDS amplitūda.Tātad uz ģeneratora poliem EDS mainās kā harmoniska laika funkcija. Eiropāelektroapgādes tīklos f = 50 Hz. Praksē ģeneratoros, protams, izmanto nevis vienurāmīti, bet tinumu konstrukciju (rotoru) ar daudziem vijumiem, pie kam šajos tinumosievieto feromagnētiska materiāla serdi, lai pastiprinātu magnētiskā lauka indukciju. Arītinumu skaits parasti ir lielāks par vienu, jo elektroenerģētikā izmanto trīsfāzu strāvu.Mūsdienu spēkstaciju viena ģeneratora jauda var sasniegt apmēram 1 GW.2

Ja ģeneratoram patērētājs nav pieslēgts, tad strāva ģeneratora tinumos neplūst, uztinumu vadiem magnētisks spēks nedarbojas, un nepieciešamā mehāniskā jauda rotoragriešanai ir tuvu nullei (ir jāpārvar tikai berzes spēki). Ja ģeneratoram pieslēdzpatērētāju, tad tā tinumos plūst strāva, un uz vadiem darbojas magnētiskais spēks, kasir vērsts pretēji vadu kustībai. Šī magnētiskā spēka pārvarēšanai kalpo mehāniskājauda, kas tiek pievadīta rotoram.NdSαBE m 1EESS00 2 4 6 8 10 12 14tVienkāršākajā līdzstrāvas (DC - direct current) ģeneratorā izmanto vienu gredzenu(kolektoru), kas sastāv no diviem savstarpēji izolētiem vadītāja segmentiem, kuriemkatram ir pievienots viens kontūru veidojošā vada gals. Šajā gadījumā, tad, kadrotoram griežoties, mainīsies EDS virziens, mainīsies arī vietām segmenti, kuriempieskaras slīdkontakti. Tādejādi uz ģeneratora spailēm būs pulsējošs, bet vienmēr vienāvirzienā vērsts EDS. Praksē pulsācijas novērš, izmantojot n (pat vairāk kā desmit)tinumus, kas savstarpēji ir pagriezti leņķī viens pret otru, kā arī attiecīgi novietotus 2nsegmentus. Līdz ar to pulsāciju dziļums būtiski samazinās.P.2. Virpuļains elektriskais lauksElektrodzinējspēks, kas darbojas kādā vadoša materiāla noslēgtā kontūrā L, caurikuram uzstieptajai virsmai magnētiskā lauka plūsma mainās laikā, tiek aprakstīts arFaradeja likumudΦE = − .dtSavukārt elektrodzinējspēks, atbilstoši tā definīcijai, ir elektromagnētiskās indukcijasparādības izraisīto spēku darbs, kas tiek veikts, ja kontūrā noslēgtu ceļu veic vienuvienību liels lādiņš. Ja kontūrā noslēgtu ceļu veic lādiņš q, tad šis EDS veic darbuF∫ Fdl = qE , un seko, ka E = ∫ dl .qLLTātad, EDS rašanās nozīmē, ka uz elementārlādiņiem vadoša materiāla kontūrādarbojas spēks, kas ir radies EM indukcijas parādības dēļ, pie kam šis spēks irproporcionāls lādiņa lielumam. Šī spēka raksturošanai mēs varam ievest3

neelektrostatiskas dabas tā saucamo virpuļaino elektrisko laukukatrā kontūra punktā, pie kam ir spēkāE V= F / q , kas eksistēE = ∫ E dl , un dΦV ∫ EVdl = − .dtLLŠis virpuļainais elektriskais lauks, līdzīgi kā elektrostatiskais lauks, ļauj aprēķinātspēku (kas darbojas uz kādu lādiņu telpas punktā, kur ir E V) pēc parastās formulasF = qE . Tikai elektrostatiskajā gadījumā lauks tiek rodas tāpēc, ka tuvumā ir kādi citilādiņi, bet elektromagnētiskās indukcijas gadījumā elektriskais lauks rodas tāpēc, kakādā telpas daļā mainās magnētiskais lauks. Tādejādi tiek paplašināts elektriskā laukajēdziens un turpmāk par elektrisko lauku sauc abus elektriskā lauka veidus, kā arīparasti nelieto speciālu indeksu virpuļainā lauka apzīmēšanai.Šī virpuļainā elektriskā neelektrostatiskas dabas elektriskā lauka cirkulācija navvienāda ar nulli, jo ir vienāda ar EDS dotajā kontūrā. Tāpēc šis lauks nav potenciālslauks, un tā lauka līnijas ir noslēgtas. Šeit var saskatīt formālu līdzību ar cirkulācijasteorēmu magnētiskajam laukam ∫ Bdl= µ0∫∫jdS .LSNo eksperimentālajiem faktiem arī izriet, ka, lai rastos virpuļainais elektriskais lauks,nebūt nav nepieciešama vadoša materiāla noslēgta kontūra klātbūtne, proti, šiselektriskais lauks rodas telpā, ja telpā laikā mainās magnētiskais lauks.Vispārīgā gadījumā precīza EVsadalījuma aprēķināšanai ir jālieto elektromagnētiskāsindukcijas likuma diferenciālā forma. Tomēr simetrisku sistēmu gadījumā varaprēķināt EVarī izmantojot Faradeja likumu. Aplūkojam aksiāli simetrisku sistēmu∫E = E dl VLdΦ∫ EVdl = − ,dtL1 dΦE = −2πrdtdΦE2 πr= − ,dtJa kontūra L vietā ir novietots gredzenveida vadītājs ar ļoti nelielu pārtraukumu, tadstarp vadītāja galiem 1 un 2 būs spriegums UELSBSNdlEU2= E = ∫ EVdl14

Izmantojot Stoksa teorēmu iegūst:dΦ∂B∫ Edl = ∫∫rot E ⋅ dS = − = − ⋅ dSdt∫∫ . Tā kā tas∂tLir spēkā jebkurai virsmai S, tad iegūstam elektromagnētiskās indukcijas likumu∂Bdiferenciālā formā rot E = − . Acīmredzami, ka E ⊥= B .∂tSSP.3. Virpuļstrāvas, skinefektsVirpuļstrāvas.Ja mainīgā magnētiskā laukā, ko rada kāda spole, kurā plūst maiņstrāva (AC -alternating current), ko sauksim par primāro strāvu, ievieto masīvu vadošu ķermeni,tad tajā inducētais virpuļainais elektriskais lauks izraisīs sekundārās strāvas, kurāmatbilstošie elektriskās strāvas tilpuma blīvuma vektori j arī būs ar virpuļainu raksturu,un atbilstošās strāvas līnijas būs noslēgtas vadošā ķermeņa iekšpusē. Šīs strāvas mēdzsaukt arī par Fuko strāvām. Bez tam, vadošais ķermenis var sajust atgrūšanās spēku nospoles, jo augstāku frekvenču gadījumā inducētās strāvas vadošajā ķermenī kopumā irkatrā laika momentā pretēji vērstas kā strāvas spolē.Skinefekts.Tā kā inducētā strāva ir pretēja primārajai, tad tās magnētiskais lauks samazinaprimārās magnētisko lauku. Inducētā strāva var kļūt pat tik liela, ka tās magnētiskaislauks pilnībā kompensē primārās strāvas magnētisko lauku ķermeņa iekšpusē. Tādāgadījumā ķermenī dziļāk iekšpusē nav ne magnētiskā lauka ne strāvas, un sekundārāstrāva plūst tikai šaurā slānī ķermeņa virsmas tiešā tuvumā. Šo slāni sauc par skinslāni.Rezultējošais magnētiskai lauks arī iespiežas ķermenī tikai šī skinslāņa robežās. Šoefektu sauc par skinefektu. Ja skinefekts ir stipri izteikts un vadītāja virsma ir plakana,tad skinslāņa biezuma aprēķinam var lietot formulu1δ = .πµ µσf0BδjR 0Aplūkojam kā piemēru vara materiālu piemaiņstrāvas tīkla frekvences:1δ == 0.0093m ≈ 1cm .−77π 4π⋅10⋅1⋅5.8⋅10⋅50B5

Ja skinslāņa ietvaros aplūkojam laikā vidējotu strāvas tilpuma blīvuma moduli, tad tasdilst ķermeņa iekšpusē, attālinoties no tā virsmas pēc formulas⎡ x ⎤j = j exp⎢ −⎣ δ ⎥⎦max.Izteikts skinefekts būs tad, ja δ < R0.P.4. PašindukcijaJa kādā kontūrā vai spolē plūstošā strāva laikā mainās, tad mainās arī šīs strāvasizraisītā magnētiskā lauka plūsma caur šo kontūru. Mainīgā plūsma inducē šajā kontūrāEDS, ko šajā gadījumā sauc par pašindukcijas EDS, un šo parādību sauc parpašindukciju. Kā tālāk tiek parādīts, pašindukcijas EDS ir vērsts tā, ka tas "pretojas"kontūrā plūstošās strāvas izmaiņai. Pašindukcijas gadījumā var saskatīt zināmuanaloģiju ar inerci mehānikā, pie kam strāvai elektromagnētismā atbilst ķermeņaimpulss mehānikā.BdSizvēlētais pozitīvaisapiešan as virziensIzvēlamies kontūra vai spoles vijumu apiešanas virzienu, piemēram, kā parādītszīmējumā. Līdz ar to ir arī noteikts uz kontūra uzstieptās virsmas normāles virziens.Tādejādi, ja strāva, inducētais EDS un pieliktais sprieguma kritums ir vērsti apiešanasvirzienā, tad tiem ir pozitīvas vērtības, ja tie ir vērsti pretēji apiešanas virzienam, tadtiem ir negatīvas vērtības. Savukārt, virsmas normāles virziens kopā ar magnētiskālauka virzienu nosaka magnētiskās plūsmas caur kontūru zīmi.Tā kā magnētiskais lauks ap strāvas vadu pakļaujas, piemēram, "labās rokas likumam",tad, ja strāva I > 0 , tad magnētiskā lauka plūsma arī Φ > 0 . Ja kontūra tuvumāneatrodas magnētiskie materiāli, kuru relatīvā magnētiskā caurlaidība ir atkarīga nomagnētiskā lauka vērtības, tad magnētiskā lauka pilnā plūsma Φn(plūsmu cauratsevišķiem vijumiem algebriskā summa) ir proporcionāla strāvas vērtībai I .Proporcionalitātes koeficientu sauc par induktivitāti un apzīmē ar L, pie kam šiskoeficients vienmēr ir pozitīvsΦ LI .n=6

Induktivitātes mērvienība: [ ]2⎡Φ ⎤ T ⋅ m WbL =⎢= = = H⎣ I ⎥⎦ A A(henrijs).Ja I mainās, mainās arī šīs strāvas radītā magnētiskā lauka pilnā plūsmapašindukcijas EDS EPtiek noteikts no Faradeja likumaΦn, un( LI )dΦdE nP= − = − .dt dtGadījumā, jaL = const , taddIEP= −L .dtTātad, ja strāvas pieaugums ir pozitīvs, piemēram, strāva ir vērsta izvēlētajā kontūradIapiešanas virzienā, un tās absolūtā vērtība pieaug, t.i. > 0 , tad spolē inducēsiesdtnegatīvs EDS, tātad tas būs pretēji vērsts kontūra apiešanas virzienam un līdz ar to arīstrāvai, tātad pašindukcijas EDS "centīsies darboties pretī" šim strāvas vērtībaspieaugumam. Savukārt, ja strāva ir vērsta izvēlētajā kontūra apiešanas virzienā, un tāsdIabsolūtā vērtība samazinās, t.i. < 0 , tad spolē inducēsies pozitīvs pašindukcijasdtEDS, tātad tas būs vērsts kontūra apiešanas virzienā un līdz ar to arī strāvas virzienā,tātad "centīsies darboties pretī" šim strāvas vērtības samazinājumam.Ļoti garas spoles induktivitāte.SVdl2nn nB = µ 0µ I , Φ = BS , Φn= nΦ = nBS = nµ 0µ IS = µ0µS ⋅ I . Tātadll l22nn2L = µ 0µ S , jeb L = µ0µ S ⋅l= µ0µn0⋅V,2llkur n0- vijumu skaits uz garuma vienību un V = Sl - spoles tilpums. Ja spole nav ļotigara, var tikt lietota sekojoša tuvināta formula2 1L = µ0µn0⋅V,d1+0.45lkur d un l - spoles diametrs un garums.Gadījumā, ja spolē ir uztīts divkāršs tinums (bifilārs), proti, kam vienā virzienā ir n 1vijumi un pretējā virzienā n2vijumi, tad spoles induktivitāte izsakās pēc formulas7

2( n1− n2)L = µ0µS .lDivvadu līnijas induktivitāte.labā vadamagnētiskais lauksII0Rkr eisā vadamagnētis kais la uksdrlAplūkojam kreisās puses vada magnētisko lauku. Ārpus šī vada magnētiskā plūsmacaur laukumu, kas ir starp šī vada virsmu un otrā vada asi, ja aplūko divvadu līnijasposmu ar garumu l , irΦdµ0µI µ0µIl1= ∫ l ⋅ dr = ⋅2πr2πRBio−Sav.lik.Šī vada iekšpusē tā magnētiskais lauks veido plūsmuR2µ0µIr µ0µI r µ0µIlΦ2= ∫ l ⋅ dr = l ⋅ = .222πR2πR2 4π0lndRR0.Kopējā plūsma, ņemot vērā, ka otrs vads dod tieši tādu pašu ieguldījumuΦ =µ µ IlπdRµ µ Il2πµ µ Il2π⎢⎣( ) ⎡ ⎤Φ + Φ =0 ⋅ +0ln = 1 + 2ln⎥ ⎦021 2Divvadu līnijas posma ar garumu l induktivitāte irdR.ΦL =Iµ⎢⎡ = ⋅0µl 1 + 2π⎣2lndR⎤⎥.⎦Redzams, ka ja R → 0 , tad L → ∞ .Aplūkojam kādas telefona līnijas pilsētā piemēru. R = 0 .2mm= 0. 0002m,d = 3 mm = 0. 003m, l = 500m.8

−74π⋅10⎡ 0.003 ⎤ 4L 500 1 2ln = 10µ2π⎢ +−= ⋅⎣ 0.0002⎥⎦−4[ 1+2 ⋅ 2.708] = 6.4 ⋅10H = 0.64 HPārraidot cilvēka balsi, kā raksturīgu frekvenci izvēlamies 1000Hz. Tad līnijas reaktīvā−4pretestība būs X L= 2πfL= 2π⋅1000⋅ 6.4 ⋅10= 4.02Ω..P.5. Spole maiņstrāvas ķēdēAplūkojam spoli, kurai ir pieslēgts maiņspriegums u (AC spriegums), un kuras aktīvopretestību var neievērot. Pieņemsim, ka šajā gadījumā spolē plūst sekojoša maiņstrāva( ωt)i = I sin .0Spolē tad inducējas pašindukcijas EDSdi dEP= −L= −L( I0 sin( ωt)) = −LI0ωcos( ωt).dt dtKatrā laika momentā pieslēgtais maiņspriegums u ir pēc absolūtās vērtības vienāds arpašindukcijas EDS un pretēji vērsts tam, jo tieši jau u ir tas, kas nodrošina atbilstošostrāvas izmaiņas ātrumu. Tāpēc katrā laika momentā ir spēkāu = −E P, un u = LI0ω cos( ωt)= U0cos( ωt),kur U0= I0Lω. Spriegums uz spoles apstiedz laikā strāvu par 90°, jo, piemēram, piet = 0 , spriegums u = U0cos( ω0)= U0ir maksimāls, bet strāva i = I0 sin( ω0) = 0 untikai sāk augt. Citiem vārdiem, strāva spolē atpaliek no sprieguma par 90°.Pēc analoģijas ar līdzstrāvu, sprieguma un strāvas amplitūdu attiecību sauc par spolesreaktīvo pretestību maiņstrāvas ķēdeiU0I0Lω X L= = = Lω , tātad X L= Lω, jeb X L= L2πf.I I00P.6. Labi vadoša materiāla gredzens arējā AC magnētiskā laukāBdSizvēlētais pozitīvaisapiešan as virziens9

Ja labi vadoša materiāla noslēgtu gredzenu ievieto ārējā AC magnētiskajā laukā, korada kādā citā spolē plūstoša strāvaiex( ωt)= I sin ,0, extad gredzenā ārējā lauka plūsma mainīsies fāzē ar strāvu( ωt)Φex= Φ 0, exsin .Šī ārējā lauka plūsma inducēs gredzenā EDSdΦexdEex= − = − ( Φ0,exsin( ωt)) = −Φ0,exωcos( ωt).dt dtVaram uzskatīt, ka šis ārējā lauka izraisītais EDS ir gredzenā ieslēgts maiņspriegumaavots. Šis avots izsauks gredzenā tādu strāvu, lai tās izraisītais pašindukcijas EDS būtukatrā laika momentā pēc absolūtās vērtības vienāds un pretēji vērsts kā Eex, jospriegums kritumu uz aktīvās gredzena pretestības neņemam vērāE = −E= Φ ω cos( ω ) .Pex0,extSavukārt pašindukcijas EDS saistās ar strāvu gredzenā i GsekojošididiEP= −L GG, jeb − L = Φ0,exωcos( ωt).dtdtIntegrējot iegūstamiG11= − Φ0,exωcos( ωt)dt = − Φ0,exsin( ωt)L∫ .LRedzams, ka strāva gredzenā ir pretējā fāzē kā spolē. Tā kā pretējos virzienos plūstošasstrāvas atgrūžas, tad gredzens atgrūdīsies no spoles.P.7. Magnētiskā lauka enerģijaAplūkojam procesu, kurā spolē, kuras induktivitāte ir L , strāva ar kāda ārēja strāvasavota palīdzību tiek palielināta no 0 līdz vērtībai I . Pieņemsim, ka kādā laikamomentā t spolē plūst strāva i . Ja strāva šajā laika momentā pieaug, tad spolēinducējas pašindukcijas EDS, kas ir vērsts pretēji strāvas virzienamdiEP= −L .dt10

Tas nozīmē, ka ārējam strāvas avotam šajā momentā ir jānodrošina uz spoles spailēmspriegumsdiu = L .dtTā kā laika momentā t plūst strāva i un strāvas avots uz spoles spailēm tur spriegumuu , tad laika intervālā dt strāvas avots veic darbudA avotsdi= u ⋅ dq = u ⋅i⋅ dt = L i ⋅ dt .dtAvota darbs palielinot strāvu spolē no 0 līdz I irAII22diLi LI= ∫ dAavots= ∫ L i ⋅ dt = Li ⋅ di =dt∫.2 2avots=ooo0ILīdzīga veidā var parādīt, ka samazinoties strāvai no I līdz 0, pašindukcijas EDSveiks tik pat lielu pozitīvu darbu, cenšoties uzturēt strāvu spolēA0022⎛ di ⎞Li LI= ∫ dAEDS= ∫ ⎜ − L ⎟i⋅ dt = ( −L)i ⋅ di = −⎝ dt∫.⎠2 2EDS=IIII0Tāpēc var uzskatīt, ka, ja spolē plūst strāva I , tad tajā ir uzkrāta enerģija2LIW B= .2Tā kā darbs, kas strāvas avotam bija jāveic palielinot strāvu no 0 līdz I , tika veiktspalielinot magnētiskā lauka plūsmu spolē, tad var uzskatīt, ka spoles enerģija irmagnētiskā lauka enerģija.n2Aplūkojam ļoti garu spoli, kuras induktivitāti izsaka formula L = µ0µ nS = µ0µn0V,lkur n0ir vijumu skaits uz garuma vienību. Ja spolē plūst strāva I , tad magnētiskālauka indukcija tajā sasniedz vērtību B = µ 0µ n0I. Magnētiskā lauka enerģijasizteiksmi var pārveidot tad sekojoši22 222LI µ0µn0VI( µ0µn0I)BW B= = = V = V .2 µ µ 2 µ µ 2200Var ievest jaunu lielumu - magnētiskā lauka enerģijas tilpuma blīvumuI02B ⎛ B ⎞ Bw B= = =2 ⎜⎟µ0µ⎝ µ0µ⎠ 2BH.211

P.8. Ieslēgšanas strāvaNoslēdzot slēdzi, kontūrā sāk pieaugt strāva, taču šo pieaugumu bremzē spolesinduktivitāte, kuras pašindukcijas EDS darbojas pretim strāvas avota EDS. Ja ar Rapzīmējam kopējo aktīvo pretestību ķēdē, tad no Oma likuma noslēgtai ķēdei seko+ -SLRIE + E= 0 p. Savukārt pašindukcijas EDS irREp= −LdIdt, un IER= 0−L dIR dt.IegūstamdI R E+ I =0 ,dt L Lkas ir lineārs pirmās kārtas diferenciālvienādojums ar konstantiem koeficientiem. Tāatrisinājumu meklē formā:dII = C1 exp( α t)+ C2. Tā atvasinājums pēc laika ir = C 1α ⋅ exp( αt). Ievietojotdtdiferenciālvienādojumā iegūstamRR E1α ⋅ exp( αt)+ C1⋅ exp( αt)+ C2= .LL LC0Lai šī vienādība izpildītos katram laika momentam, ir jābūt spēkā divām sakarībām:LR1) C1 α ⋅ exp( αt)+ C1⋅ exp( αt)= 0 , no tā seko, ka α = − ;RL2)R 02CLE= , no tā seko, kaLE= .R0C2Tātad diferenciālvienādojuma atrisinājums ir formāR E= C1 exp( − t)+ .L RI0Konstanti C1nosakām no sakuma nosacījuma. Pieņemam, ka kontakts tika noslēgtslaika momentā t=0. Tanī brīdī strāva ir 0. Ievietojam šo nosacījumu atrisinājumā:R E00 = C1 exp( − ⋅0)+ , no tā seko, kaL RE= − .R0C1Tādejādi ieslēgšanas strāvai ir sekojoša atkarība no laika12

E0 R E E ⎡ ⎛ R ⎞⎤= − exp( − t)+ , jeb I = 0R L R⎢1− exp⎜− t ⎟R⎥ .⎣ ⎝ L ⎠ ⎦I0Šo izteiksmi var pārrakstīt formāIE0 R= f ( ξ ) , kur f ( ξ ) = [ 1−exp( − ξ )], un ξ = t .RLFunkcijas f (ξ ) izskats ir parādīts zīmējumā.10.90.80.70.60.50.40.30.20.100 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5Procesa sākumā pašindukcijas EDS ir vienāds ar strāvas avota EDS, bet ir pretēji tamvērsts. Laika gaitā, strāvai pieaugot, pašindukcijas EDS samazinās līdz nullei. Tātad,ieslēgšanas strāvu gadījumā visā procesa laikā ir spēkā Ep< E0.Procesam nepieciešamo laiku raksturo ar tā saucamo relaksācijas laiku τ . Tas ir laikspēc ieslēgšanas brīža, kad eksponentes rādītājs sasniedz vērtību -1. Tādā gadījumāRLτ = 1, un τ = . Ja t = τ , tad I = I0[ 1−exp( −1)] ≈ I0[ 1−0.3679] ≈ I00.6321, proti,LRpaejot relaksācijas laikam strāva spolē ir sasniegusi apmēram 63% no asimptotiskāsvērtības.P.9. Izslēgšanas strāva+ -SLRIzslēdzot strāvu ķēdē (t.i. atvienojot slēdža kontaktus), notiek ārkārtīgi strauja strāvasdIsamazināšanās, proti, → ∞ . Ja šajā ķēdē ir induktivitāte, tad pašindukcijas EDSdt13

Epvar būt ļoti liels, pie kam šis EDS "centīsies bremzēt strāvas samazināšanos", argaisa caursites (dzirkstele vai loks) palīdzību sūtot strāvu cauri gaisa slānim, kas irizveidojies starp kontaktiem. Var notikt pat kontaktu apdegšana.Izslēgšanas strāvu aprēķins ir būtiski sarežģītāks, jo tam ir nepieciešama informācijapar pretestības pieaugšanu ļoti īsajā kontaktu atvienošanas laika intervālā. Kā rādaprakse, kontaktu atvienošanas laikā starp kontaktiem var pārlekt dzirkstele, tātad gaisaslānis var iegūt zināmu vadītspēju. Tādejādi pašindukcijas EDS var pats uz īsu brīdisamazināt pretestības pieaugumu. Tomēr ir iespējams izveidot vienkāršotu izslēgšanasstrāvu modeli, kas ļauj novērtēt būtiskākos procesu raksturojošos lielumus.Pieņemsim, ka laika momentā t = 0 tiek izslēgts slēdzis. Izslēgšanas procesumodelējam ar lineāru un strauju slēdža pretestības pieaugumu strāvas ķēdeiR = At .Tādā gadījumā strāvu ķēdē nosaka sakarībaIdIE + EE − Lp=0, jeb I = 0dtR + At R + At.Aplūkojam gadījumu, kad E0un R salīdzinoši mazi, tadIL dI dI A= − , jeb = − It .At dt dt LTas ir lineārs homogēns pirmās kārtas diferenciālvienādojums, taču tā koeficients navkonstants. Atrisinājumu meklējam formā2( α )I = I 0exp t .dIdt2Šīs izteiksmes atvasinājums: I ( t ) ⋅ tiegūst= exp α 2 . Ievietojot diferenciālvienādojumā,0αI2 A2( αt) ⋅ α 2t= − t ⋅ I ( αt)0exp0expL, tātad seko, kaAα = − .2LTātad diferenciālvienādojuma atrisinājums ir⎛ A ⎞= ⎜ −2I I0exp t ⎟ .⎝ 2L⎠Ja to pieraksta normētā formā:2I⎛⎞⎜ ⎛ A ⎞= exp − ⎜ ⎟ ⎟⎜t ⋅,I⎟0⎝ ⎝ 2L⎠ ⎠14

tad atrisinājuma izskats ir tāds kā sekojošajā zīmējumā. Redzams, ka strāva nosākotnējās vērtības I0monotoni nokrīt līdz nullei.10.80.60.40.200 0.5 1 1.5 2Pašindukcijas EDS nosaka sekojoši:dIEp= −L ,dtd ⎡ ⎛ A ⎞⎤= − ⎢ ⎜ −2A ⎛ A 2 ⎞EpL I0exp t ⎟dt⎥ , Ep = LI0 exp⎜− t ⎟2t, un iegūstam⎣ ⎝ 2L⎠⎦2L⎝ 2L⎠EpEp⎛ AI At ⋅ exp⎜− t⎝ 2L=202L⎛⎜t ⋅A ⎝⎞⎟ . Šo izteiksmi var pārrakstīt formā⎠A ⎞ ⎛⎜ ⎛⎟ − ⎜⋅ exp⎜t ⋅2L⎠ ⎝ ⎝2E =0AR0A ⎞ ⎞⎟ ⎟, vai2L⎟⎠ ⎠2LA( ξ2Ep= E ⋅ f ) , kur f ( ξ ) = ( ξ ) ⋅ exp( − ξ ), un0 2R0parādīta attēlā. Pašindukcijas EDS maksimālā vērtība ir2LAEp , max≈ E0⋅ 0.4292.R00.50.450.40.350.30.250.20.150.10.0500 0.5 1 1.5 2Aξ = t ⋅ . Funkcija f (ξ ) ir2LAplūkojam piemēru. Pieņemsim, ka E 0=1 V,R0= 10Ω, L=1 H (samērā liela spole),un ka kontakts tiek pārtraukts 0.1 s laikā palielinot pretestību līdz 1MΩ. Tādā gadījumāA=1e7 un15

72LA2 ⋅1⋅10Ep, max≈ 0.429⋅ E0≈ 0.429 ⋅ ≈ 0.429 ⋅ 447.2 ≈ 192 V .22R100Redzams, ka maksimālā pašindukcijas EDS vērtība gandrīz 200 reižu pārsniedz ķēdēieslēgtā galvaniskā elementa EDS.P.10. Magnētisko spēku darbs noslēgtam kontūram ar strāvu pārvietojoties ārējāmagnētiskajā laukāAplūkojam gadījumu, kad laikā nemainīgā ārējā magnētiskā laukā atrodas strāvaskontūrs, pa kuru plūst laikā nemainīga strāva I . Pieļaujam, ka kontūrs var tiktpagriezts, stiepts vai kā citādi nepārtraukti deformēts. Aplūkojam elementāru kontūraposmu dl , kas deformācijas, rotācijas vai pārvietojuma rezultātā tiek pārvietots parelementāru pārvietojumu dr .dSIBdSdrFdlBMagnētisko spēku, kas darbojas uz šo posmu, veiktais elementārais darbs ir[ I dl × B] dr = I[ dr × dl] B = I B ⋅ dS = I ⋅ ΦdA = F dr =d ,kur d Φ ir magnētiskā lauka plūsmas izmaiņa (pieaugums).Ja aplūkojam visus kontūra posmus un bez tam kontūrs tiek deformēts ar galīga izmēradeformāciju, tad magnētiskā lauka plūsma caur to mainās par galīgu lielumu ∆Φ .Magnētiskie spēki, kas darbojas uz kontūru veiks rezultējošu darbuA = I ⋅ ∆Φ .Ja ārējais magnētiskais lauks un strāva kontūrā laikā nemainās, tad var kontūrammagnētiskajā laukā ievest potenciālās enerģijas WMjēdzienu. Ja kontūradeformēšanās, rotācijas vai pārvietošanās rezultātā kontūrs no stāvokļa 1 nonākstāvoklī 2 un W mainās, tad magnētiskie spēki pastrādā rezultējošu darbuM16

A1→ 2= W M ,1−WM,2,kurW M= −I⋅ Φ .Ja kontūram pārvietojoties plūsma caur to pieaug, tad potenciālā enerģija samazinās,un magnētiskie spēki veic pozitīvu darbu. Ir jāuzsver, ka, aprēķinot magnētiskā laukaplūsmu, ir jāizvēlas tas uz kontūra uzstieptās virsmas normāles virziens, kas atbilsttādam kontūra apiešanas virzienam, kurā kontūrā plūst strāva I .Piemēri ar maksimālu un minimāluWMW minMBW maxMBFdSFdSFFIIKreisajā attēlā esošo gredzenu ārējais magnētiskais lauks centīsies vilkt tanī virzienā,kur ārējais magnētiskais lauks paliek stiprāks. Labajā attēlā esošo gredzenumagnētiskais lauks centīsies izgrūst no lauka.P.11. Savstarpējā indukcija2I 2BdS1I1izvēlētais pozitīvaisapiešanas virziensPirmajā kontūrā plūstošā strāva I1izraisa magnētiskā lauka plūsmu Φ21caur otrokontūru. Ja palūkotajā sistēmā nav magnētisku materiālu ar mainīgu relatīvopermeabilitāti, tad ir spēkā lineāra sakarībaΦ ,21= M21I1kur M21- ir savstarpējās indukcijas koeficients jeb savstarpējā induktivitāte. Savukārtotrajā kontūrā plūstošā strāva I2izraisa magnētiskā lauka plūsmu Φ12caur pirmokontūru. Analoģiski var rakstīt17

Φ .12= M12I2Var pierādīt (aplūkojot kontūru savstarpējo attālināšanos), ka vienmēr ir spēkāM = , tāpēc var lietot vienu apzīmējumu M .12M 21Laikā mainīgu strāvu gadījumā kontūros inducēsies EDSdIE21= −M 1 ,dtdIE12= −M 2 .dtJa abi kontūri ir spoles, kas ir uztītas uz kopējas toroidālas feromagnētiķa serdes, kurassķērsgriezuma laukums ir S un kopgarums ir l, tad iegūstam plūsmai gredzenān1Φ1= µ0µI1S.lPilnā plūsma otrajā spolē irΦn n Sn µ µl1 221= Φ12=0I1, unS= µ0µ⋅ n1n.lM2Analoģiski Φ12= M ⋅ I2.P.12. TransformatorsPrimārais un sekundārais tinums.Enerģijas pārnese.Spriegumu un strāvu transformēšana.Efektīva elektroenerģijas pārvade - augsta sprieguma izmantošana būtiski palielinapārvades līnijas lietderības koeficientu.dIE2= −M 1 ,dtdIE1= −M 2 ,dtEP= −L1dIdt1I1U=1+ ERP1+ E1U=1dI1− L − MdtR1dIdt2kur R1- omiskā pirmā tinuma pretestība.dI1U = I1R1+ Ldt1+MdIdt218

Ja I = 20 , un ja R → 10 , tad dI1U1 ≈ L , un U2= E2.dtdI1MU2E2dt M= = =U U dI1 11 LLdtToroidālam transformatoramSµ0µ⋅ n1n2Mn2=l= , tāpēcLS1nµ10µ⋅ n1lU2 ≈U1nn21Ja n2> n1- spriegumu paaugstinošs transformators.Ja lietderības koeficients η ≈ 1, tad I1U1≈ I2U2un seko, kaII12n2≈ .n1η =I2UI U121=I2U2+ NSI2U+ N2H+ NF+ NSNR- siltuma jauda, kas izdalās tinumos to aktīvās pretestības dēļ.NH- siltuma jauda, kas izdalās serdē pārmagnetizējot magnētiķi histerēzes dēļ.NF- siltuma jauda, kas izdalās serdē Fuko strāvu dēļ.N - jaudas zudumi elektromagnētiskā starojuma dēļ.S19