3.1

3.1 

MATEMĀTIKA 

12. klase 

S K O L Ē N U M Ā C Ī B U S A S N I E G U M U V Ē R T Ē Š A N A

Projekts “Mācību satura izstrāde un skolotāju tālākizglītība 

dabaszinātņu, matemātikas un tehnoloģiju priekšmetos” 

“Skolēnu mācību sasniegumu vērtēšana. Matemātika 12. klase” 

Autortiesības uz šo darbu pieder ISEC 

Autordarbus drīkst izmantot bez ISEC atļaujas nekomerciāliem nolūkiem saskaņā 

ar LR Autortiesību likumu, norādot atsauces, ja tas nav pretrunā ar autordarba 

normālas izmantošanas noteikumiem un nepamatoti neierobežo ISEC likumīgās 

intereses 

© ISEC, 2008 

ISBN 978-9984-573-20-5

MATEMĀTIKA 12. klase 

S A T U R S 

NOBEIGUMA VĒRTĒŠANAS DARBI UN KRITĒRIJI 

M_12_ND_01 EKSPONENTVIENĀDOJUMI UN NEVIENĀDĪBAS.................................................................................................... 4 

M_12_ND_02 logaritmiskie vienādojumi un nevienādības............................................................................................. 7 

M_12_ND_03 PIRAMĪDAS....................................................................................................................................................... 10 

M_12_ND_04 ROTĀCIJAS ĶERMEŅI........................................................................................................................................ 13 

M_12_ND_05 FUNKCIJAS....................................................................................................................................................... 16 

M_12_ND_06 VIENĀDOJUMI UN NEVIENĀDĪBAS,TO SISTĒMAS............................................................................................... 21 

M_12_ND_07 ĢEOMETRISKO ĶERMEŅU KOMBINĀCIJAS......................................................................................................... 26

N o b e i g u m a v ē r t ē š a n a s d a r b i u n k r i t ē r i j i 

EKSPONENTVIENĀDOJUMI UN NEVIENĀDĪBAS 

1. variants 

1. uzdevums (5 punkti) 

Apvelc pareizo atbildi! 

a) Izteiksme 3 

a 4 ir identiski vienāda ar izteiksmi: 

a 4 3 

a 12 a 3 4 

a 1 

12 

b) Izteiksmi 9⋅3 a pārveidojot par pakāpi, iegūst: 

9 2a 3 2+a 27 a 9 2+a 

c) Vienādojuma 4 x 

=64 sakne ir: 

x= 4 64 x=16 x=3 x=log 64 4 

d) Nevienādības 1,8 x 

0 x 125 x+1 


Automašīnas vērtību V latos atkarībā no laika t pilnos gados apraksta funkcija 

V(t)=4000⋅0,85 t . 

a) Nosaki, kāda ir jaunas automašīnas vērtība! 

b) Pēc cik pilniem gadiem automašīnas vērtība būs samazinājusies 2 reizes, 

salīdzinājumā ar jaunas automašīnas vērtību? 


Nosaki vienādojuma 5 x2 =a sakņu skaitu atkarībā no parametra a vērtībām! 

e) Nevienādības 2 x 

>0 atrisinājums ir: 

x∈∅ x∈(0;+∞) x∈(–∞;0) x∈(–∞;+∞) 


Atrisini vienādojumu! 

9 x =27 x–2 


Atrisini nevienādību! 

0,4 x2 –1 

>1 


Atrisini vienādojumu! 

4 x +3⋅2 x –4=0 

4



2. variants 



a) Izteiksme 5 

b 2 ir identiski vienāda ar izteiksmi: 

b 5 2 

b 10 b 2 5 

b 1 

10 

b) Izteiksmi 8⋅2 a pārveidojot par pakāpi, iegūst: 

2 3+a 16 a 4 3+a 2 3a 

c) Vienādojuma 3 x 

=81 sakne ir: 

x=27 x= 3 81 x=log 81 3 x=4 

d) Nevienādības 0,7 x 

0 x


Vērtēšanas kritēriji 

Uzdevums 

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

Kritēriji 

n – tās pakāpes sakni pārveido par pakāpi – 1 punkts 

Doto izteiksmi pārveido par pakāpi – 1 punkts 

Nosaka eksponentvienādojuma atrisinājumu – 1 punkts 

Nosaka eksponentnevienādības atrisinājumu. Par katru piemēru – 

1 punkts. Kopā 2 punkti 

Pārveido abas vienādojuma puses kā viena skaitļa pakāpes – 

1 punkts 

Lieto pakāpes īpašību – 1 punkts 

Pāriet uz lineāru vienādojumu – 1 punkts 

Atrisina lineāro vienādojumu – 1 punkts 

Pārveido eksponentnevienādību pamatformā – 1 punkts 

Pāriet uz kvadrātnevienādību – 1 punkts 

Atrisina kvadrātnevienādību – 1 punkts 

Izvēlas atbilstošu substitūciju – 1 punkts 

Uzraksta kvadrātvienādojumu – 1 punkts 

Atrisina iegūto kvadrātvienādojumu – 1 punkts 

Atrisina pirmo eksponentvienādojumu – 1 punkts 

Atrisina otro eksponentvienādojumu – 1 punkts 

Izsaka decimāldaļskaitli kā vesela skaitļa pakāpi – 1 punkts 

Izsaka sakni kā pakāpi – 1 punkts 

Pārveido eksponentnevienādību pamatformā – 1 punkts 

Pāriet uz lineāru nevienādību – 1 punkts 

Atrisina lineāro nevienādību – 1 punkts 

Punkti 

5 

4 

3 

5 

5 

6. 

7. 

Aprēķina jaunas automašīnas vērtību – 1 punkts 

Sastāda vienādojumu – 1 punkts 

Izsaka vienādojuma atrisinājumu kā logaritmu – 1 punkts 

Lieto bāzes maiņas formulu pārejai uz decimāllogaritmiem – 

1 punkts 

Nosaka (izmantojot zinātnisko kalkulatoru) laika skaitlisko vērtību 

pilnos gados – 1 punkts 

Apskata gadījumu, kad a ir negatīvs – 1 punkts 

Apskata gadījumu, kad a=1 – 1 punkts 

Apskata gadījumu, kad a ir pozitīvs un atšķirīgs no 1 – 1 punkts 

Kopā 30 

Šajā darbā skolēni strādā ar formulu sarakstu, kurā ir salikto procentu formula. 

Darbā jāizmanto zinātniskais kalkulators. 

5 

3 

6


logaritmiskie vienādojumi un nevienādības 

1.variants 


Patiesajām vienādībām atbilstošajā ailītē ieraksti “patiesa”, bet 

aplamajām – “aplama”! 


Ar kādu parametra a (a≠0) vērtību funkcijas y=log1 

7 

(ax) grafiks iet caur punktu 

1 a ;0 ? 

log 2 (7⋅8)=log 2 7+log 2 8 

log 3 (16–9)=log 3 

16 

9 

log 3 5 x =x⋅log 3 5 


Nosaki vienādojuma log 2 (4–x)=log 2 x definīcijas apgabalu! 


Atrisini nevienādību! Atbildi pieraksti ar intervālu! 

log 2 x


2.variants 


Patiesajām vienādībām atbilstošajā ailītē ieraksti “patiesa”, bet 

aplamajām – “aplama”! 

log 3 

2 

5 =log 32–log 3 5 

log 2 (4+7)=log 2 4⋅log 7 7 


Ar kādu parametra a (a≠0) vērtību funkcijas y=log1 

6 

(a;0)? 

x 

a 

grafiks iet caur punktu 

3 log 3 7 =7 


Nosaki vienādojuma log1 

2 

x=log1 

2 

(x+6) definīcijas apgabalu! 


Atrisini nevienādību! 

log 3 x




Uzdevums 

Kritēriji 

1. Zina reizinājuma logaritma īpašību – 1 punkts 

Punkti 

Zina dalījuma logaritma īpašību – 1 punkts 

3 

Zina pakāpes logaritma īpašību – 1 punkts 

2. Uzraksta vienu nosacījumu – 1 punkts 

Uzraksta otru nosacījumu – 1 punkts 

3 

Nosaka definīcijas apgabalu – 1 punkts 

3. Uzraksta algebrisku nevienādību – 1 punkts 

Nosaka definīcijas apgabalu – 1 punkts 

3 

Uzraksta atrisinājumu – 1 punkts 

4. Izmanto dalījuma logaritma īpašību – 1 punkts 

2 

Aprēķina logaritma vērtību – 1 punkts 

5. a) Saskata kvadrātvienādojumu attiecībā pret logaritmu no 

nezināmā – 1 punkts 

Atrisina kvadrātvienādojumu – 1 punkts 

4 

Aprēķina dotā vienādojuma saknes (1 punkts par katru sakni) – 

2 punkti 

b) Izmanto logaritma īpašību xlog a b=log a b x –1 – 1 punkts 

Izmanto logaritmu summas/starpības formulu – 1 punkts 

Pāriet uz algebrisku vienādojumu – 1 punkts 

5 

Atrisina algebrisko vienādojumu – 1 punkts 

Nosaka definīcijas apgabalu vai pārbauda saknes – 1 punkts 

6. Uzraksta vienādojumu vai lieto salikto procentu formulu – 1 punkts 

Izsaka gadu skaitu kā logaritmu – 1 punkts 

4 

Izmanto logaritmu bāzu maiņas formulu – 1 punkts 

Aprēķina mainīgo, izmantojot kalkulatoru – 1 punkts 

7. Ievieto funkcijas formulā atbilstošās x un y koordinātas – 1 punkts 

Aprēķina logaritma vērtību – 1 punkts 

3 

Nosaka iespējamās vērtības – 1 punkts 

Kopā 27 

9

PIRAMĪDAS 

1. variants 


a) Cik šķautņu ir sešstūra piramīdai? 

b) Ko sauc par regulāru trijstūra piramīdu? 


Dota regulāra četrstūra piramīda. 

E 

a) Uzzīmē un pieraksti leņķi, ko veido 

sānu šķautne EC ar pamata plakni! 

b) Uzzīmē un pieraksti divplakņu kakta 

leņķi pie pamata malas AB! 

c) Iekrāso piramīdas diagonālšķēlumu! 

d) Uzzīmē un pieraksti apotēmu! 

e) Dotās piramīdas pamata malas ga- 

rums ir 6 cm, bet apotēmas garums 

B 

C 

ir 7 cm. Aprēķini piramīdas sānu 

O 

virsmas laukumu! 

A 

f) Dotajā piramīdā leņķis starp piramī- 

D 

das augstumu un apotēmu ir a. Aprēķini divplakņu kakta leņķi pie pamata 

malas! 


Piramīdas pamats ir taisnleņķa trijstūris ABC. Visas piramīdas sānu skaldnes 

ar pamata plakni veido vienādus leņķus. Uzzīmē tekstam atbilstošu zīmējumu! 

Pamato piramīdas augstuma pamata atrašanās vietu! 


Dota piramīda MABCD, kuras pamats ir taisnstūris ABCD (sk. zīm.) un 

augstums MO. 

a) Piramīda šķelta ar plakni, kas no- 

M 

vilkta paralēli piramīdas pamatam 

un sadala tās augstumu attiecībā 

1:3, skaitot no piramīdas virsotnes. 

Uzzīmē šķēlumu! 

b) Raksturo ģeometriskos ķermeņus, 

kuros šķēlējplakne sadala doto 

B 

piramīdu! 

c) Uzraksti divas līdzīgas plaknes figū- 

O 

ras, kuras saskatāmas papildinātajā A 

D 

zīmējumā! 

d) Nosaki šķēluma laukumu, ja S ABCD =64 cm 2 ! 


Regulārā trijstūra piramīdā sānu šķautne ar pamata plakni veido 30° lielu leņķi. 

Piramīdas augstums ir h. Aprēķini piramīdas tilpumu! 


Vai eksistē trijstūra piramīda, kuras visas skaldnes ir taisnleņķa trijstūri? Atbildi 

pamato! 

C 

10


PIRAMĪDAS 

2. variants 


a) Cik šķautņu ir piecstūra piramīdai? 

b) Ko sauc par regulāru četrstūra piramīdu? 


Dota regulāra četrstūra piramīda. 

E 

a) Uzzīmē un pieraksti leņķi, ko veido 

sānu šķautne EB ar pamata plakni! 

b) Uzzīmē un pieraksti divplakņu kakta 

leņķi pie pamata malas DC! 

c) Iekrāso piramīdas diagonālšķēlumu! 

d) Uzzīmē un pieraksti apotēmu! 

e) Dotās piramīdas pamata malas ga- 

rums ir 8 cm, bet apotēmas garums 

B 

C 

ir 6 cm. Aprēķini piramīdas sānu 

O 


A 

f) Dotajā piramīdā leņķis starp pre- 

D 

tējām sānu šķautnēm ir a. Aprēķini leņķi, ko veido sānu šķautne ar pamata 

plakni! 


Piramīdas pamats ir taisnleņķa trijstūris KLM. Visas piramīdas sānu šķautnes 

ar pamata plakni veido vienādus leņķus. Uzzīmē tekstam atbilstošu zīmējumu! 

Pamato piramīdas augstuma pamata atrašanās vietu! 


Dota piramīda MABCD, kuras pamats ir taisnstūris ABCD (sk. zīm.) un 

augstums MO. 

a) Piramīda šķelta ar plakni, kas no- 

vilkta paralēli piramīdas pamatam 

M 

un sadala tās augstumu attiecībā 

1:2, skaitot no piramīdas virsotnes. 

Uzzīmē šķēlumu! 

b) Raksturo ģeometriskos ķermeņus, 

kuros šķēlējplakne sadala doto 

B 

piramīdu! 

c) Uzraksti divas līdzīgas plaknes figū- 

O 

ras, kuras saskatāmas papildinātajā 

zīmējumā! 

A 

D 

d) Nosaki šķēluma laukumu, ja S ABCD =72 cm 2 ! 


Regulāras trijstūra piramīdas augstums ir h. Piramīdas sānu šķautne ar pamata 

plakni veido 60° lielu leņķi. Aprēķini piramīdas tilpumu! 


Vai eksistē trijstūra piramīda, kuras visas skaldnes ir taisnleņķa trijstūri? Atbildi 

pamato! 

C 

11

PIRAMĪDAS 


Uzdevums 

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

Kritēriji 

Nosaka šķautņu (skaldņu) skaitu – 1 punkts 

Izprot, kas ir regulāra piramīda – 1 punkts 

Uzzīmē un pieraksta sānu šķautnes leņķi ar pamata plakni – 1 punkts 

Uzzīmē un pieraksta divplakņu kakta leņķi pie pamata malas – 

1 punkts 

Iekrāso diagonālšķēlumu piramīdā – 1 punkts 

Uzzīmē un pieraksta apotēmu – 1 punkts 

Aprēķina sānu skaldnes laukumu – 1 punkts 

Aprēķina sānu virsmas laukumu – 1 punkts 

Iezīmē leņķi α – 1 punkts 

Aprēķina prasīto leņķi – 1 punkts 

Izveido zīmējumu – 1 punkts 

Nosaka piramīdas augstuma pamata atrašanās vietu – 1punkts 

Pamato piramīdas augstuma pamata atrašanās vietu –1 punkts 

Uzzīmē šķēlumu – 1 punkts 

Nosauc ģeometriskos ķermeņus – 1 punkts 

Uzraksta līdzīgas plaknes figūras – 1 punkts 

Nosaka līdzības koeficientu – 1 punkts 

Aprēķina šķēluma laukumu – 1 punkts 

Izveido zīmējumu un attēlo tajā dotos lielumus – 1 punkts 

Aprēķina sānu šķautnes projekciju pamata plaknē – 1 punkts 

Aprēķina pamata augstuma garumu – 1 punkts 

Aprēķina pamata šķautnes garumu – 1 punkts 

Aprēķina piramīdas pamata laukumu – 1 punkts 

Aprēķina piramīdas tilpumu – 1 punkts 

Punkti 

2 

8 

3 

5 

6 

6. 

Saskata, ka tāda piramīda eksistē – 1 punkts 

Izveido uzskatāmu zīmējumu – 1 punkts 

Pamato, izmantojot triju perpendikulu teorēmu – 1 punkts 

3 

Kopā 27 

12


ROTĀCIJAS ĶERMEŅI 

1. variants 


Dots cilindrs. Aizpildi tabulu saskaņā ar doto zīmējumu! 

B 

K 

C 

Cilindra elementa 

nosaukums 

Cilindra elementa 

apzīmējums zīmējumā 

AO 


Ūdens rezervuārs ir veidots no puslodes un cilindra 

ar tādu pašu pamata rādiusu. Izmēri zīmējumā doti 

centimetros. Kādam jābūt cilindriskās daļas augstumam 

h, lai rezervuārā varētu ieliet 200 m 3 ūdens? Aprēķinos 

izmanto kalkulatoru! p≈3,14. Rezultātu noapaļo līdz 

veseliem centimetriem! 

700 

Veidule 

D 

ABCD 

O 

A 


Konuss šķelts ar plakni, kas iet caur konusa virsotni un pamata hordu. 

a) Izveido uzskatāmu zīmējumu, lietojot pieņemtos apzīmējumus! 

b) Uzzīmē šķēlumā iegūto plaknes figūru pretskatā! 


Vienādmalu trijstūra malas garums ir a. Aplūkosim divus rotācijas gadījumus: 

a) dotais vienādmalu trijstūris rotē ap savu malu; 

b) dotais vienādmalu trijstūris rotē ap taisni, kas novilkta caur tā virsotni para- 

lēli pretējai malai. 

Kurā gadījumā iegūtā rotācijas ķermeņa virsmas laukums ir lielāks? Atbildi 

pamato! 


Lodes segmenta sfēriskās virsmas laukums ir 80p cm 2 , bet segmenta augstums 

ir 4 cm. Formulu sarakstā atrodi nepieciešamo formulu un aprēķini lodes rādiusu! 


Konusa sānu virsmas laukums ir 6p cm 2 , bet konusa veidule ir 3 cm. Aprēķini 

konusa tilpumu! 

13


2. variants 


Dots konuss. Aizpildi tabulu saskaņā ar doto zīmējumu! 

A 

S 

O 

B 

Konusa elementa nosaukums 

Veidule 

Konusa elementa 

apzīmējums zīmējumā 

OS 

ABC 


Cilindrs šķelts ar plakni, kas iet caur pamata hordu paralēli cilindra asij. 

a) Izveido uzskatāmu zīmējumu, lietojot pieņemtos apzīmējumus! 

b) Uzzīmē šķēlumā iegūto plaknes figūru pretskatā! 


Šķidrās gāzes rezervuārs ir veidots no puslodes un cilindra 

ar tādu pašu pamata rādiusu. Izmēri zīmējumā doti 

centimetros. Kādam jābūt cilindriskās daļas augstumam 

h, lai rezervuārā varētu uzglabāt 2000 m 3 šķidrās gāzes? 

Aprēķinos izmanto kalkulatoru! p≈3,14. Rezultātu noapaļo 

līdz veseliem centimetriem! 


1500 

Vienādmalu trijstūra malas garums ir a. Aplūkosim divus rotācijas gadījumus: 

a) dotais vienādmalu trijstūris rotē ap savu malu; 

b) dotais vienādmalu trijstūris rotē ap taisni, kas novilkta caur tā virsotni para- 

lēli pretējai malai. 

Kurā gadījumā iegūtā rotācijas ķermeņa virsmas laukums ir lielāks? Atbildi 

pamato! 


Lodes rādiuss ir 7 cm. Formulu sarakstā atrodi nepieciešamo formulu un aprēķini 

augstumu lodes segmentam, kura sfēriskās virsmas laukums ir 28p cm 2 ! 


Konusa tilpums ir 6p cm 3 , bet augstums 2 cm. Aprēķini konusa sānu virsmas 

laukumu! 

14




Uzdevums 

Kritēriji 

Atpazīst cilindra rādiusu (konusa augstumu) – 1 punkts 

Punkti 

1. Atpazīst cilindra (konusa) veiduli augstumu– 1 punkts 

3 

Atpazīst cilindra (konusa) aksiālšķēlumu – 1 punkts 

2. 

Izveido uzskatāmu šķēluma zīmējumu – 1 punkts 

Uzzīmē pretskatā plaknes figūru, kas veidojas šķēlumā – 1 punkts 

2 

Atrod nepieciešamo formulu – 1 punkts 

3. Sastāda vienādojumu – 1 punkts 

3 

Aprēķina lodes rādiusu (segmenta augstumu) – 1 punkts 

Izveido vienādojumu attiecībā pret konusa rādiusu – 1 punkts 

Aprēķina konusa rādiusu – 1 punkts 

4. Izmanto Pitagora teorēmu – 1 punkts 

5 

Aprēķina konusa augstumu (veiduli) – 1 punkts 

Aprēķina konusa tilpumu (sānu virsmu) – 1 punkts 

Nosaka puslodes rādiusu no zīmējuma – 1 punkts 

Saskata, ka V=0,5V lodei +V cilindram – 1 punkts 

Aprēķina puslodes tilpumu – 1 punkts 

5. Sastāda vienādojumu attiecībā pret cilindriskās daļas augstumu – 6 

1 punkts 

Aprēķina augstumu – 1 punkts 

Pareizi lieto mērvienības un noapaļošanas prasības – 1 punkts 

Izprot, kāda figūra veidosies, rotējot trijstūrim ap malu – 1 punkts 

Izprot, kāda figūra veidosies, rotējot trijstūrim ap taisni, kas vilkta 

paralēli malai – 1 punkts 

6. Saskata, ka pirmā rotācijas ķermeņa virsma ir S=2S sanu kon. , bet otrā 4 

rotācijas ķermeņa virsma ir S=2S sanu kon. +S sanu cil. – 1 punkts 

Pamato konisko virsmu vienādību abos rotācijas ķermeņos – 

1 punkts 

Kopā 23 

15

FUNKCIJAS 

1. variants 


Pie funkcijas grafika uzraksti tam atbilstošo funkcijas formulu, izvēloties no 

dotajām! 

y=sinx, y=|x|+1, y=–x 2 +3, y=x 2 –3, y=log1 

3 

x, 

y=|x+1|, y=2,5 x , y=log 3 x, y=cosx y=0,8 x 


a) Uzzīmē funkcijas y= x–2 grafiku, precīzi atliekot vismaz četrus grafika 

punktus! 

b) Funkcijas y= x–2 mazākā vērtība ir ……………… 

Funkcijas y= x–2 vērtības ir pozitīvas intervālā ……………… 

Funkcijas y= x–2 nulles ir ……………… 

Funkcijas y= x–2 argumentam pieaugot no 1 līdz 9, funkcijas vērtības 

pieaugums ir ……………… 

2 

0 

-2 

y 

0 2 4 6 8 

x 

2 y 

-5 -4 -3 -2 

0 

-1 0 1 2 3 

x 

4 5 

-2 

y 

2 

-6 -5 -4 -3 

0 

-2 -1 0 1 2 3 

x 

4 

-2 


Zemestrīces laikā izdalīto enerģiju E var aprēķināt ar formulu 

E(R)=2,7⋅10 R–1,46 

0,67 

, kur R – zemestrīces stiprums ballēs (R>0). Enerģijas daudzumu 

………………… 

………………… 

………………… 

var aplūkot kā funkciju E(R), kas atkarīga no R. 

y 

2 

-5 -4 -3 -2 

0 

-1 0 1 2 3 4 

x 

5 

-2 

………………… 

4 y 

2 

0 x 

-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 

………………… 

a) Nosaki funkcijas E(R) veidu, pasvītrojot pareizo atbildi! 

Funkcija E(R) ir lineāra funkcija. 

Funkcija E(R) ir logaritmiskā funkcija. 

Funkcija E(R) ir eksponentfunkcija. 

Funkcija E(R) ir pakāpes funkcija. 

b) Nosaki funkcijas augšanas un dilšanas intervālus! 

c) Nosaki R vērtību, ja E(R)=2,7! 


Dotas funkcijas f(x)=x 3 un g(x)=log 2 x. 

a) Uzraksti salikto funkciju f(g(x)) kā funkciju no mainīgā x! 

b) Aprēķini f(g(2))! 

c) Uzraksti salikto funkciju g(f(x)) kā funkciju no mainīgā x! 

d) Aprēķini g(f(2))! 


Trijstūra malas ir 3 cm un 4 cm, leņķis starp tām ir α. 

a) Izsaki trijstūra laukumu S kā funkciju no α, norādot tās definīcijas apgabalu! 

b) Uzzīmē funkcijas S grafiku! 

c) Nosaki, kādās robežās var mainīties trijstūra laukums! 

d) Izvērtē apgalvojumu: “Katrai laukuma S vērtībai atbilst viena vienīga leņķa α 

vērtība”! 

16



Dots funkcijas y= 4 grafiks. Apskatot konkrētas a vērtības, izsaki pieņēmumu 

x 

par parametra a ietekmi uz funkcijas y= 4 , a∈R grafiku! 

x+a 

y 

1 

1 

x 

17

FUNKCIJAS 

2. variants 


Pie funkcijas grafika uzraksti tam atbilstošo funkcijas formulu, izvēloties no 

dotajām! 

2 

y=sinx, y=|x|+1, y=–x 2 +3, y=x 2 –3, y=log1 

3 

x, 

y=|x+1|, y=2,5 x , y=log 3 x, y=cosx y=0,8 x 

0 

0 2 4 6 8 

-2 

y 

………………… 

0 

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 

-2 

-4 

y 

………………… 


x 

x 

2 

0 

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 

-2 

y 

………………… 

2 

-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 

Dotas funkcijas, kur f(x)= 2 x , g(x)=2x . 

-2 

0 

………………… 

a) Uzraksti salikto funkciju f(g(x)) kā funkciju no mainīgā x! 

b) Aprēķini f(g(1))! 

c) Uzraksti salikto funkciju g(f(x)) kā funkciju no mainīgā x! 

d) Aprēķini g(f(1))! 

y 

x 

x 

4 

2 

y 

0 x 

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 

………………… 


a) Uzzīmē funkcijas y= x–1 grafiku, precīzi atliekot vismaz četrus grafika 

punktus! 

b) Funkcijas y= x–1 mazākā vērtība ir ……………… 

Funkcijas y= x–1 vērtības ir negatīvas intervālā ……………… 

Funkcijas y= x–1 nulles ir ……………… 

Funkcijas y= x–1 argumentam pieaugot no 0 līdz 4, funkcijas vērtības 

pieaugums ir ……………… 


Zemestrīces stiprumu ballēs R var aprēķināt ar formulu 

R(E)=0,671g(0,37E)+1,46, kur E – enerģija, kas izdalās zemestrīces laikā (E>0). 

Zemestrīces stiprumu var aplūkot kā funkciju R(E), kas atkarīga no E. 

a) Nosaki funkcijas y=R(E) veidu, pasvītrojot pareizo atbildi! 

Funkcija R(E) ir lineāra funkcija. 

Funkcija R(E) ir logaritmiskā funkcija. 

Funkcija R(E) ir eksponentfunkcija. 

Funkcija R(E) ir pakāpes funkcija. 

b) Nosaki funkcijas augšanas un dilšanas intervālus! 

c) Nosaki E vērtību, ja R(E)=1,46! 


Paralelograma malas ir 4 cm un 1 cm, leņķis starp tām ir α. 

a) Izsaki paralelograma laukumu S kā funkciju no α, norādot tās definīcijas 

apgabalu! 

b) Uzzīmē funkcijas S grafiku! 

c) Nosaki, kādās robežās var mainīties paralelograma laukums! 

d) Izvērtē apgalvojumu: “Katrai laukuma S vērtībai atbilst viena vienīga leņķa α 

vērtība”! 

18



Dots funkcijas y= 4 grafiks. Apskatot konkrētas a vērtības, izsaki pieņēmumu 

x 

par parametra a ietekmi uz funkcijas y= 4 , a∈R grafiku! 

x+a 

y 

1 

1 

x 

19

FUNKCIJAS 


Uzdevums 

1. 

2. 

3. 

4. 

Kritēriji 

Atpazīst augošu (dilstošu) eksponentfunkciju – 1 punkts 

Atpazīst dilstošu (augošu) logaritmisko funkciju – 1 punkts 

Atpazīst funkciju y=cosx (y=sinx) – 1 punkts 

Atpazīst kvadrātfunkciju, kuras zari ir vērsti uz leju (uz augšu) – 

1 punkts 

Atpazīst funkciju ar moduli – 1 punkts 

Uzraksta saliktas funkcijas f((x)) analītisko izteiksmi – 1 punkts 

Aprēķina saliktas funkcijas vērtību dotajā punktā – 1 punkts 

Uzraksta saliktas funkcijas g((x)) analītisko izteiksmi – 1 punkts 

Aprēķina saliktas funkcijas vērtību dotajā punktā – 1 punkts 

Nosaka funkcijas vērtības vismaz četriem grafika punktiem – 1 

punkts 

Uzzīmē funkcijas y= x –2(y= x –1) grafiku, ievērojot tās definīcijas 

apgabalu – 1 punkts 

Nosaka funkcijas vismazāko vērtību – 1 punkts 

Nosaka intervālu, kurā funkcijas vērtības ir pozitīvas (negatīvas) – 

1 punkts 

Nosaka funkcijas nulles – 1 punkts 

Aprēķina funkcijas vērtības pieaugumu – 1 punkts 

Nosaka funkcijas E(R) (E(R)) veidu – 1 punkts 

Nosaka, ka funkcija ir augoša visā savā definīcijas apgabalā – 

1 punkts 

Ievieto izteiksmē E(R) vērtību – 1 punkts 

Aprēķina E(R) vērtību, lietojot kalkulatoru – 1 punkts 

Punkti 

5 

4 

6 

4 

Izsaka trijstūra (paralelograma) laukumu S kā funkciju no α – 

1 punkts 

Norāda funkcijas S definīcijas apgabalu – 1 punkts 

Izprot, ka funkcijas grafiks ir sinusoīda – 1 punkts 

5. Konstruējot funkcijas S grafiku, ievēro definīcijas un vērtību 

6 

apgabalus – 1 punkts 

Nosaka, kādās robežās ir trijstūra (paralelograma) laukuma vērtības – 

1 punkts 

Pamato apgalvojuma aplamību – 1 punkts 

Uzzīmē funkcijas grafiku vienai konkrētai a vērtībai – 1 punkts 

6. Formulē pieņēmumu – 0, 1 vai 2 punkti (atkarībā no tā, cik pilnīgi un 4 

precīzi tas noformulēts) 

Kopā 29 

20


VIENĀDOJUMI UN NEVIENĀDĪBAS,TO SISTĒMAS 

1. variants 


Atrisini vienādojumu, nevienādību vai vienādojumu sistēmu! 

a) sinx=1 b) | x|25 

d) 4 x x–1 

=8 e) 0,3 0 

2 x =a 

a 2 –a–6>0 

a 1 =2 a 2 =–3 

-3 2 

21


Dots vienādojums y=x–2. 

a) Uzraksti vienu skaitļu pāri no šī vienādojuma atrisinājumu kopas! 

b) Uzzīmē funkcijas y=x–2 grafiku! 

c) Kāda saistība ir funkcijas y=x–2 grafikam ar vienādojuma y=x–2 visu atrisinājumu 

kopu? 

d) Attēlo nevienādības y≥x–2 atrisinājumu koordinātu plaknē! 


Atrisini vienādojumu sistēmu! 

log 5 x+log 5 2=log 5 y 

x 2 +y=3 


Atrisini vienādojumu un uzraksti tā saknes intervālā p 2 ;5p 2 ! 

(ctgx–2) 2 + 

1 

ctgx–2 =0 


Kravas pārvadāšanai ar autofurgonu izmantoja divu veidu konteinerus; katra 

pirmā veida konteinera masa ar visu kravu ir 0,4 t, bet katra otrā veida konteinera 

masa ar visu kravu ir 0,7 t. Kopējā kravas masa bija 6 t. Kāds bija iespējamais 

konteineru skaits? 


Atrisini nevienādību atkarībā no parametra a vērtības! 

x–a 

x–4 >0 

22


VIENĀDOJUMI UN NEVIENĀDĪBAS,TO SISTĒMAS 

2. variants 


Atrisini vienādojumu, nevienādību vai vienādojumu sistēmu! 

a) cosx=–1 b) | x|>2 c) x 2 

0,6 4 f) x–11=3 

g) x 2 

(x+5)=0 h) x+y=1 

i) log2(3x)=log 2 (x–2) 

x 2 =9 



a) Vienādojuma x(x–7)(x 2 +1)=0 reālo sakņu skaits ir: 

4 3 2 1 

b) Nevienādība log2(x+4)log 0,5 x atrisinājumu! 

3 

2 

1 

-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 

-1 

-2 

-3 

0 

y 


Pabeidz iesākto nevienādības atrisinājumu! 

4 x –2 x –12


Dots vienādojums y=1–x. 

a) Uzraksti vienu skaitļu pāri no šī vienādojuma atrisinājumu kopas! 

b) Uzzīmē funkcijas y=1–x grafiku! 

c) Kāda saistība ir funkcijas y=1–x grafikam ar vienādojuma y=1–x visu 

atrisinājumu kopu? 

d) Attēlo nevienādības y≤1–x atrisinājumu koordinātu plaknē! 


Atrisini vienādojumu sistēmu! 

log 4 y+log 4 3=log 4 x 

x+y 2 =4 


Atrisini vienādojumu un uzraksti tā saknes intervālā p 2 ;5p 2 ! 

(tgx–2) 2 + 1 

tgx–2 =0! 


Kravas pārvadāšanai ar autofurgonu izmantoja divu veidu konteinerus; katra 

pirmā veida konteinera masa ar visu kravu ir 0,3 t, bet katra otrā veida konteinera 

masa ar visu kravu ir 0,8 t. Kopējā kravas masa bija 5 t. Kāds bija iespējamais 

konteineru skaits? 


Atrisini nevienādību atkarībā no parametra a vērtības! 

x–3 

x–a >0 

24


VIENĀDOJUMI UN NEVIENĀDĪBAS, TO SISTĒMAS 

Darba izpildes laiks 80 minūtes. Pirmajā stundā ieteicams veikt no 1. līdz 

5. uzdevumam. Darba daļas var rakstīt arī katru savā dienā. Skolēniem atļauts 

izmantot gan kalkulatoru, gan formulu lapu. 


Uzdevums 

1. 

2. 

3. 

Kritēriji 

a) Uzraksta trigonometriskā pamatvienādojuma atrisinājumu – 

1 punkts 

b) Uzraksta atrisinājumu nevienādībai ar moduli – 1 punkts 

c) Uzraksta kvadrātnevienādības atrisinājumu – 1 punkts 

d) Pāriet uz vienu bāzi – 1 punkts 

Aprēķina vienādojuma sakni – 1 punkts 

e) Pāriet uz algebrisku nevienādību – 1 punkts 

Uzraksta nevienādības atrisinājumu – 1 punkts 

f) Kāpina vienādojuma abas puses kvadrātā – 1 punkts 

Aprēķina vienādojuma sakni – 1 punkts 

g) Pielīdzina katru reizinātāju 0 – 1 punkts 

Aprēķina vienādojuma saknes – 1 punkts 

h) Aprēķina viena nezināmā vērtības – 1 punkts 

Aprēķina otra nezināmā vērtības – 1 punkts 

Uzraksta sistēmas atrisinājumu – 1 punkts 

i) Pāriet uz lineāru vienādojumu – 1 punkts 

Aprēķina lineārā vienādojuma sakni – 1 punkts 

Ņem vērā definīcijas apgabalu – 1 punkts 

Nosaka vienādojuma sakņu skaitu – 1 punkts 

Nosaka logaritmiskai nevienādībai ekvivalentu sistēmu – 1 punkts 

Izsaka lielumu no dotās formulas – 1 punkts 

Nosaka vienādojumu, kuru iegūst pēc substitūcijas – 1 punkts 

Nosaka trigonometriskās nevienādības atrisinājumu vienības riņķī – 

1 punkts 

No grafika nolasa sakņu skaitu – 1 punkts 

No grafika nolasa vienādojuma sakni – 1 punkts 

Veic pārbaudi – 1 punkts 

No grafika nolasa nevienādības atrisinājumu – 1 punkts 

Punkti 

17 

5 

4 

4. 

Uzraksta divas eksponentnevienādības – 1 punkts 

Atrisina vienu no eksponentnevienādībām – 1 punkts 

Atrisina otru eksponentnevienādību – 1 punkts 

Uzraksta dotās nevienādības atrisinājumu – 1 punkts 

4 

Uzraksta vienu skaitļu pāri no vienādojuma atrisinājuma kopas – 

1 punkts 

5. 

Uzzīmē funkcijas grafiku – 1 punkts 

Izprot, ka funkcijas grafika punkti ir vienādojuma atrisinājumu kopa – 

1 punkts 

Attēlo nevienādības atrisinājumu – 1 punkts 

4 

6. 

Lieto logaritma īpašību – 1 punkts 

Pārveido logaritmisko vienādojumu par algebrisku – 1 punkts 

Iegūst kvadrātvienādojumu, ievietojot mainīgo otrajā vienādojumā – 

1 punkts 

Aprēķina vienādojuma saknes – 1 punkts 

Aprēķina otra mainīgā vērtības – 1 punkts 

Ievēro definīcijas apgabalu vai pārbauda saknes – 1 punkts 

6 

7. 

Izmanto substitūciju – 1 punkts 

Iegūst daļveida vienādojumu – 1 punkts 

Atrisina daļveida vienādojumu – 1 punkts 

Atgriežas pie sākotnējā mainīgā – 1 punkts 

Atrisina trigonometrisko pamatvienādojumu – 1 punkts 

Nosaka saknes dotajā intervālā. Par katru sakni – 1 punkts. Kopā 

2 punkti 

7 

8. 

Sastāda vienādojumu – 1 punkts 

Izsaka vienu nezināmo ar otru – 1 punkts 

Nosaka iespējamos atrisinājumus. Par katru skaitļu pāri – 1 punkts. 

Kopā 2 punkti 

Pamato, ka iegūtie atrisinājumi ir vienīgie iespējamie – 1 punkts 

5 

9. 

Nosaka nevienādības nulles – 1 punkts 

Apskata gadījumu, kad a=4 (a=3) – 1 punkts 

Atrisina nevienādību, ja a=4 (a=3) – 1 punkts 

Šķiro gadījumus a>4 (a>3) un a3) –1 punkts 

Atrisina nevienādību, ja a

ĢEOMETRISKO ĶERMEŅU KOMBINĀCIJAS 

1. variants 


Dots, ka lode ir ievilkta konusā. 

a) Izvērtē apgalvojumu patiesumu, atzīmējot “+” atbilstošajā ailē! 

Apgalvojums Patiess Aplams 

Lode pieskaras konusa pamatam. 


Cilindra rādiuss ir 6 cm, bet augstums 15 cm. Vai šajā cilindrā var ievilkt lodi, 

kuras rādiuss ir 6 cm? Atbildi pamato! 


Regulāra trijstūra piramīda apvilkta ap konusu. Piramīdas pamata mala ir 4 cm 

gara, divplakņu kakts pie pamata ir 60°. Izveido atbilstošu zīmējumu! Aprēķini 

konusa sānu virsmas laukumu! 

O 

Lode pieskaras konusa katrai 

veidulei. 

Konusa virsotne atrodas uz lodes 

virsmas. 

Dotās kombinācijas aksiālšķēlums 

ir vienādsānu trijstūris, kurā 

ievilkta riņķa līnija. 


Cilindriskā traukā, kura pamata rādiuss ir 4 cm, ielikta lode, kuras rādiuss ir 

3 cm. Traukā ielej tik daudz ūdens, ka ūdens virsmas plakne ir lodes pieskarplakne 

(lode neuzpeld). Nosaki ūdens slāņa augstumu pēc tam, kad lode no trauka ir 

izņemta! 

b) 

Papildini apgalvojumu, lai tas būtu patiess! 

Konusā ievilktās lodes centrs atrodas konusa augstuma krustpunktā ar 

……………………………………………………………………… 


a) Dots, ka regulārā četrstūra 

piramīdā ievilkts konuss. Uzzīmē 

dotās ķermeņu kombinācijas 

pamatu! Kāda sakarība saista 

piramīdas pamata malu un konusa 

pamata rādiusu? Kāda sakarība 

saista piramīdas augstumu un 

konusa augstumu? 

b) Dots, ka lodē ievilkts cilindrs. 

Uzzīmē dotās ķermeņu 

kombinācijas aksiālšķēlumu! 

Aksiālšķēluma zīmējumā iekrāso 

trijstūri, kura viena mala ir lodes 

rādiuss, bet cita mala ir cilindra 

rādiuss! 

26



2.variants 


Dots, ka lode ir ievilkta cilindrā. 

a) Izvērtē apgalvojumu patiesumu, atzīmējot ar “+” atbilstošo aili! 

O 

Apgalvojums Patiess Aplams 

Lode pieskaras abiem cilindra 

pamatiem. 

Cilindra augstums ir vienāds ar 

lodes rādiusu. 

Cilindra aksiālšķēlums ir kvadrāts. 

Katrai cilindra veidulei ar lodi ir 

viens kopīgs punkts. 


Lodes rādiuss ir 6 cm. Vai šajā lodē var ievilkt konusu, kura pamata rādiuss ir 

6 cm, bet augstums 5 cm? Atbildi pamato! 


Konusā ievilktas regulāras trijstūra piramīdas pamata mala 3 cm, sānu šķautnes 

leņķis ar pamatu ir 30°. Izveido atbilstošu zīmējumu! Aprēķini konusa sānu 



Cilindriskā traukā, kura pamata rādiuss ir 5 cm, ielikta lode, kuras rādiuss ir 

3 cm. Traukā ielej tik daudz ūdens, ka ūdens virsmas plakne ir lodes pieskarplakne 

(lode neuzpeld). Nosaki ūdens slāņa augstumu pēc tam, kad lode no trauka ir 

izņemta! 

b) 

Papildini apgalvojumu, lai tas būtu patiess! 

Ap lodi var apvilkt cilindru, kura 

……………………………………………………………………… 


a) Dots, ka regulārā četrstūra prizmā 

ievilkts cilindrs. Uzzīmē dotās 

ķermeņu kombinācijas pamatu! 

Kāda sakarība saista prizmas 

pamata malu un cilindra pamata 

rādiusu? Kāda sakarība saista 

prizmas augstumu un cilindra 

augstumu? 

b) Dots, ka konusā ievilkta 

lode. Uzzīmē dotās ķermeņu 

kombinācijas aksiālšķēlumu! 

Aksiālšķēluma zīmējumā iekrāso 

trijstūri, kura viena mala ir lodes 

rādiuss, bet cita mala ir konusa 

rādiuss! 

27



Uzdevums 

1. 

Kritēriji 

Izvērtē apgalvojumus. Par katru apgalvojumu – 1 punkts 

Pabeidz iesākto apgalvojumu – 1 punkts 

a) Uzzīmē pamata zīmējumu – 1 punkts 

Punkti 

Zina sakarību starp piramīdas (prizmas) pamata malu un konusa 

(cilindra) pamata rādiusu – 1 punkts 

2. 

Zina sakarību starp piramīdas (prizmas) augstumu un konusa 

(cilindra) augstumu – 1 punkts 

5 

b) Uzzīmē aksiālšķēluma zīmējumu – 1 punkts 

Aksiālšķēlumā iekrāso trijstūri pēc dotajiem nosacījumiem – 

1 punkts 

Saprot, ka vienu ģeometrisko ķermeni ievilkt otrā nav iespējams – 

3. 1 punkts 2 

Atbildi pamato – 1 punkts 

Uzzīmē atbilstošu zīmējumu un iezīmē doto leņķi – 1 punkts 

Saskata zīmējumā konusa rādiusu un veiduli –1 punkts 

4. 

Aprēķina konusa pamata rādiusu – 1 punkts 

Aprēķina konusa veiduli – 1 punkts 

6 

Izvēlas pareizu sānu virsmas laukuma formulu – 1 punkts 

Aprēķina konusa sānu virsmas laukumu – 1 punkts 

Uzzīmē zīmējumu atbilstoši aprakstītajai situācijai – 1 punkts 

Nosaka sākotnējā ūdens slāņa, jeb cilindra augstumu – 1 punkts 

Aprēķina lodes tilpumu – 1 punkts 

5. Aprēķina cilindra tilpumu – 1 punkts 

6 

Aprēķina ūdens slāņa tilpumu, kad lode izņemta no trauka – 1 punkts 

Nosaka ūdens slāņa augstumu, kad lode izņemta no trauka – 

1 punkts 

Kopā 24 

5 

28


29

30 

P i e z ī m ē m

Projekts īstenots ar Eiropas Savienības finansiālu atbalstu 

© ISEC, 2008

3.1

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?