Jauno matem¯atiku skola Kombinatorika uzdevumos

Saturs Sākums Beigas ◭ ◮ Atpakaļ Aizvērt Pilns ekrāns
1
DAUGAVPILS UNIVERSITĀTE
Jauno matemātiķu skola
Kombinatorika uzdevumos
2008. g. 8. novembris

Saturs Sākums Beigas ◭ ◮ Atpakaļ Aizvērt Pilns ekrāns
Saturs
2
1. Kombinatorikas jēdziens 3
2. Uzdevumi 6
3. Atbildes 12

Saturs Sākums Beigas ◭ ◮ Atpakaļ Aizvērt Pilns ekrāns
1. Kombinatorikas jēdziens
3
Kombinatorika ir matemātikas nozare,
kas pēta, cik dažādu objektu
(savienojumu), kas apmierina tos vai
citus nosacījumus, var izveidot no dotās
galīgās kopas - pamatkopas - elementiem.

Saturs Sākums Beigas ◭ ◮ Atpakaļ Aizvērt Pilns ekrāns
4
pamatkopa ♣♦♥ ♣♥♠ ♣♦♥♠
♣♦♥ ♣♥ ♣♦
♣♥♦ ♥♣ ♣♥
savienojumi ♦♣♥ ♣♠ ♣♠
♦♥♣ ♠♣ ♦♥
♥♦♣ ♥♠ ♦♠
♥♣♦ ♠♥ ♥♠

Saturs Sākums Beigas ◭ ◮ Atpakaļ Aizvērt Pilns ekrāns
5
pamatkopa ♣♥♥ ♣♥ ♣♦♥ ♣♦♥
♣♥♥ ♣♣♣ ♣♦ ♣♦
♥♣♥ ♥♣♣ ♣♥ ♦♣
♥♥♣ ♣♥♣ ♦♥ ♣♥
savienojumi ♣♣♥ ♣♣ ♥♣
♥♥♣ ♦♦ ♦♥
♥♣♥ ♥♥ ♥♦
♣♥♥
♥♥♥
♣♣
♦♦
♥♥

Saturs Sākums Beigas ◭ ◮ Atpakaļ Aizvērt Pilns ekrāns
2. Uzdevumi
6
2.1. piemērs. Kafejnīcā piedāvā 3 veidu kūkas un 2 dažādas sulas.
Cik atšķirīgus pasūtījumus var veikt, ja pasūta
1. vai nu vienu sulu, vai nu vienu kūku,
2. vienu kūku un vienu sulu?
2.2. piemērs. Veikalā piedāvā 3 veidu lineālus, 2 dažādus zīmēšanas
bloknotus un 5 veidu pildspalvas. Cik atšķirīgus pirkumus var veikt,
kuri sastāv tieši no diviem dažādiem priekšmetiem?
2.3. piemērs. Uzrakstīt visus iespējamos divciparu skaitļus, kuri
sastāv no cipariem
1. 1, 2 un 3,
2. 0, 1, 2, 3.
Cik tādu skaitļu ir?
2.4. piemērs. Vienlaicīgi tiek mesti 2 spēļu kauliņi. Cik dažādu
punktu pāru var uzkrist?

Saturs Sākums Beigas ◭ ◮ Atpakaļ Aizvērt Pilns ekrāns
2.5. piemērs. Spēļu kauliņu met 5 reizes. Cik dažādu variantu var
iegūt?
2.6. piemērs.
(LPSR 9. atklātā matemātikas olimpiāde 6. kl.)
Dots, ka neviens no skaitļiem a, b, c, d, e, f, g, h, i nav nulle.
a) Pierādiet, ka vismaz viens no skaitļiem ab, bc, −ac ir negatīvs,
b) pierādiet, ka vismaz viens no skaitļiem aei, bfg, dhc, −gec, −bdi,
−hfa ir negatīvs.
Atrisinājums.
a) Šķirosim visas iespējas atkarībā no tā, vai skaitļi a, b un c ir
pozitīvi vai negatīvi
7

Saturs Sākums Beigas ◭ ◮ Atpakaļ Aizvērt Pilns ekrāns
a b c ab bc −ac
> 0 > 0 > 0 > 0 > 0 < 0
> 0 > 0 < 0 > 0 < 0 > 0
> 0 < 0 > 0 < 0 < 0 < 0
> 0 < 0 < 0 < 0 > 0 > 0
< 0 > 0 > 0 < 0 > 0 > 0
< 0 > 0 < 0 < 0 < 0 < 0
< 0 < 0 > 0 > 0 < 0 > 0
< 0 < 0 < 0 > 0 > 0 < 0
Redzam, ka katrā no 2 3 = 8 iespējamiem gadījumiem vismaz
viens apskatāmais skaitlis ir negatīvs.
b) Principā arī šo uzdevumu varētu atrisināt, sastādot visu iespējamo
gadījumu tabulu. Tomēr šāda tabula būtu ļoti liela, jo
jāpskata 9 burti, katrs no kuriem var būt pozitīvs vai negatīvs
neatkarīgi no pārējiem, tāpēc pavisam ir 2 9 = 512 dažādi gadījumi,
un tabulā būtu 512 rindiņas. Tāpēc izdevīgāk izmantot
citu atrisinājumu.
8

Aplūkosim visu apskatāmo skaitļu reizinājumu. Tas ir
(aei)·(bfg)·(dhc)·(−gec)·(−bdi)·(−hfa) = −(abcdefghi) 2 < 0,
jo neviens no skaitļiem a, b, c, d, e, f, g, h, i nav nulle. Bet, ja
sešu skaitļu reizinajums ir negatīvs, tad vismaz viens no šiem
skaitļiem pats ir negatīvs, kas arī bija japierāda.
Protams, arī a) daļu varēja atrisināt ar šādu pašu metodi, jo:
(ab) · (bc) · (−ac) = −(abc) 2 < 0.
2.7. piemērs. Anketā ir 10 jautājumi. Uz katru var izvēlēties 1 no
3 atbildēm - jā, nē, nezinu. Cik ir dažādu šīs anketas aizpildīšanas
veidu?
2.8. piemērs. Cik ir dažādu durvju kodu no 3 cipariem, ja cipari
1. var atkārtoties,
2. nevar atkārtoties?
2.9. piemērs. Futbola komandā (no 11 cilvēkiem) jāizvēlas kapteinis
un viņa vietnieks (kapteinis un viņa vietniekam jābūt dažādiem
cilvēkiem). Cik dažādos veidos to var izdarīt?
Saturs Sākums Beigas ◭ ◮ Atpakaļ Aizvērt Pilns ekrāns
9

Saturs Sākums Beigas ◭ ◮ Atpakaļ Aizvērt Pilns ekrāns
2.10. piemērs. No pilsētas A uz B dienā kursē 8 autobusi. Bijušie
laulātie M un N grib braut ar autobusu, taču negrib braukt vienā autobusā.
Cik iespēju pastāv, ka viņi pirmdien var aizbraukt uz pilsētu
B dažādos autobusos?
2.11. piemērs. Kārlis nolēma ieskatīties sava drauga elektroniskajā
pastā. Viņš ir uzzinājis, ka parole sastāv no 6 dažādiem burtiem, kā
arī, ka paroles pirmais burts ir s, bet pēdējais a. Cik maksimāli var
būt mēǧinājumu uzminēt paroli, ja parolē var izmantot 30 burtus?
2.12. piemērs. Cik ir trīsciparu skaitļu?
2.13. piemērs. Cik ir sešciparu skaitļu?
2.14. piemērs. Cik ir sešciparu skaitļu, kuru pierakstā izmantoti tikai
nepāru cipari?
2.15. piemērs. Cik ir sešciparu skaitļu, kuru pierakstā ir vismaz viens
pāru cipars?
2.16. piemērs. Cik piecciparu skaitļu, kas dalās ar 5, var uzrakstīt
ar cipariem 0, 1, 2, 3, 4 un 5 tā, ka katrā skaitlī visi cipari ir dažādi?
10

Saturs Sākums Beigas ◭ ◮ Atpakaļ Aizvērt Pilns ekrāns
11
2.17. piemērs. Noteikt, cik dalītāju ir skaitlim
1. 3 6 · 9 6 ;
2. 2 4 · 3 5 .
2.18. piemērs. Cik trīsciparu skaitļu var uzrakstīt ar cipariem 1, 2,
3 tā, ka katrā skaitlī visi cipari ir dažādi?
2.19. piemērs. Cik “vārdu” var iegūt no burtiem SULA?
2.20. piemērs. Cik trīsciparu skaitļu var sastādīt no cipariem 1, 2, 3,
6, 9 tā, lai katrā skaitlī visi cipari būtu dažādi un katrs skaitlis dalītos
ar 3?
2.21. piemērs. Cik “vārdu” var iegūt no burtiem LINI?
2.22. piemērs. Cik “vārdu” var iegūt no burtiem PARABOLA?
2.23. piemērs. Šaha turnīrā, kurā katrs ar katru izspēlē vienu partiju,
piedalās 10 šahisti. Cik pavisam partiju tiks izspēlēts šajā turnīrā?

Saturs Sākums Beigas ◭ ◮ Atpakaļ Aizvērt Pilns ekrāns
3. Atbildes
12
2.1. piemērs.
1. 2 + 3 = 5 pasūtījumi:
• K1
• K2
• K3
• S1
• S2
2. 2 · 3 = 6 pasūtījumi:
• K1 S1
• K1 S2
• K2 S1
• K2 S2
• K3 S1
• K3 S2

Saturs Sākums Beigas ◭ ◮ Atpakaļ Aizvērt Pilns ekrāns
13
2.2. piemērs. 3 · 2 + 3 · 5 + 2 · 5 = 31 pirkums.
2.3. piemērs.
1. 3 · 3 = 9 skaitļi:
1. cipars 2. cipars
1 2 3
1 11 12 13
2 21 22 23
3 31 32 33
2. 3 · 4 = 12 skaitļi:
1. cipars 2. cipars
0 1 2 3
1 10 11 12 13
2 20 21 22 23
3 30 31 32 33

Saturs Sākums Beigas ◭ ◮ Atpakaļ Aizvērt Pilns ekrāns
14
2.4. piemērs. 6 · 6 = 36 pāri:
punktu skaits uz 2. spēļu kauliņa
uz 1. spēļu kauliņa 1 2 3 4 5 6
1 11 12 13 14 15 16
2 21 22 23 24 25 26
3 31 32 33 34 35 36
4 41 42 43 44 45 46
5 51 52 53 54 55 56
6 61 62 63 64 65 66

Saturs Sākums Beigas ◭ ◮ Atpakaļ Aizvērt Pilns ekrāns
15
2.5. piemērs. 6 5 = 7776 varianti.
2.7. piemērs. 3 10 = 59049 varianti.
2.8. piemērs. Ja kodā var būt visi cipari no 0 līdz 9, tad
1. 10 3 = 100 kodi;
2. 10 · 9 · 8 = 720 kodi.
2.9. piemērs. 11 · 10 = 110 veidos.
2.10. piemērs. 8 · 7 = 56 iespējas.
2.11. piemērs. 28 · 27 · 26 · 25 mēǧinājumi.
2.12. piemērs. 9 · 10 · 10 = 900 skaitļi.
2.13. piemērs. 9 · 10 5 = 900000 skaitļi.
2.14. piemērs. 5 6 = 15625 skaitļi.
2.15. piemērs. 900000 − 5 6 skaitļi.

Saturs Sākums Beigas ◭ ◮ Atpakaļ Aizvērt Pilns ekrāns
16
2.16. piemērs. 5 · 4 · 3 · 2 + 4 · 4 · 3 · 2 = 216 skaitļi.
2.17. piemērs.
1. 19 dalītāji;
2. 30 dalītāji.
2.18. piemērs. 3 · 2 · 1 = 6 skaitļi.
2.19. piemērs. 4 · 3 · 2 · 1 = 24 vārdi.
2.20. piemērs. 4 · (3 · 2 · 1) = 24 skaitļi.
2.21. piemērs. 4·3·2·1
2
= 12 vārdi.
2.22. piemērs. 8·7·...·2·1
3·2·1
= 8 · 7 · 6 · 5 · 4 vārdi.
2.23. piemērs. 45 partijas.

Saturs Sākums Beigas ◭ ◮ Atpakaļ Aizvērt Pilns ekrāns
17
Paldies par uzmanību!