Polinomu algebra 3.lekcija

Saturs Sākums Beigas ◭ ◮ Atpakaļ Aizvērt Pilns ekrāns
1
DAUGAVPILS UNIVERSITĀTE
Dabaszinātņu un matemātikas fakultāte
Matemātikas katedra
Bakalaura studiju programma “Matemātika”
Studiju kurss
Polinomu algebra
3.lekcija
Docētājs: Dr. P. Daugulis
2009./2010.studiju gads

Saturs Sākums Beigas ◭ ◮ Atpakaļ Aizvērt Pilns ekrāns
Saturs
2
1. Polinomu faktorizācija 5
1.1. Pamatfakti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.1. Nedalāmo polinomu skaits . . . . . . . . . . . . 5
1.1.2. Gredzenu iekļaušana un polinomu faktorizācija 7
1.2. Polinoma saturs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3. Lineārie polinomi un polinomu saknes . . . . . . . . . 10
1.3.1. Vienkāršās saknes - Bezout teorēma . . . . . . 10
1.3.2. Vairākkārtīgās saknes . . . . . . . . . . . . . . 12
1.3.3. Polinomu interpolācija . . . . . . . . . . . . . . 13
1.4. Polinomu atvasināšana un tās pielietojumi faktorizācijā 16
1.4.1. Pamatfakti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.4.2. Vairākkārtīgās saknes kritērijs . . . . . . . . . 17
1.4.3. Polinoma kvadrātbrīvās faktorizācijas atrašana 19
2. 3.mājasdarbs 23
2.1. Obligātie uzdevumi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.2. Paaugstinātas grūtības un pētnieciska rakstura uzdevumi 24

Saturs Sākums Beigas ◭ ◮ Atpakaļ Aizvērt Pilns ekrāns
Lekcijas mērķis - apgūt pamatfaktus par polinomu faktorizāciju,
polinomu sadalīšanu lināros faktoros, atvasinājuma izmantošanu polinomu
faktorizācijā.
Lekcijas kopsavilkums:
• eksistē bezgalīgi daudz nedalāmu normalizētu poliomu ar lauka
koeficientiem, var gadīties, ka to pakāpes nav ierobežotas;
• katrai polinoma f saknei atbilst viens f lineārs dalītājs, un
otrādi;
• n-tās pakāpes polinoms ir viennozīmīgi noteikts ar tā vērtībām
n + 1 punktos;
• izmantojot polinomu formālo atvasināšanu, var atrast to vairākkārtīgās
saknes un kvadrātbrīvo sadalījumu reizinātājos.
Svarīgākie jēdzieni: nedalāms polinoms, normalizēts polinoms,
polinoma saturs, primitīvs polinoms, polinoma sakne, polinoma m-
kārtīga sakne, vairākkārtīga sakne, polinoma atvasinājums, polinoma
nedalāma dalītāja kārta,
3

Saturs Sākums Beigas ◭ ◮ Atpakaļ Aizvērt Pilns ekrāns
Svarīgākie fakti un metodes: nedalāmo polinomu kopas bezgalīgums,
teorēma par nedalāmu polinomu faktorizācija virs lielāka
gredzena, koeficientu kopīga reizinātāja atdalīšana, polinoma sakņu
īpašības, Bezout teorēma, Bezout teorēma vairākkārtīgām saknēm,
polinomu vienādības pazīme, Lagranža interpolācijas formula, vairākkārtīgās
saknes kritērijs, teorēma par nedalāma dalītāja kārtu attiecībā
uz polinoma atvasinājumu, kvadrātbrīvās faktorizācijas formula.
4

Saturs Sākums Beigas ◭ ◮ Atpakaļ Aizvērt Pilns ekrāns
1. Polinomu faktorizācija
5
1.1. Pamatfakti
R[X] nedalāmos elementus sauc par nedalāmiem polinomiem.
1.1. piemērs. X + 1 - nedalāms virs ∀ lauka. X 2 - dalāms virs ∀
lauka. X 2 + 1 - nedalāms virs R, bet dalāms virs C un F 2
f ∈ k[X] sauksim par normalizētu, ja tā vecākais koeficients ir
vienāds ar 1. Katrai asociācijas klasei ir tieši viens normalizēts pārstāvis.
1.2. piemērs. C[X], X − 1 ∼ 2(X − 1) ∼ i(X − 1) ∼ c(X − 1).
1.1.1. Nedalāmo polinomu skaits
1.1. teorēma. k - lauks. k[X] satur bezgalīgi daudz nedalāmu normalizētu
polinomu.

Saturs Sākums Beigas ◭ ◮ Atpakaļ Aizvērt Pilns ekrāns
PIERĀDĪJUMS
1.apakšgadījums. |k| = ∞ =⇒ visi lineārie polinomi X − a,
a ∈ k, veido nedalāmu normalizētu polinomu kopu.
2.apakšgadījums. Ja |k| < ∞, tad pierādījums ir līdzīgs pirmskaitļu
kopas bezgalīguma pierādījumam.
Pieņemsim pretējo: eksistē tikai galīgs skaits nedalāmu normalizētu
polinomu p 1 , ..., p k . Apskatīsim polinomu
f = p 1 ...p k + 1.
deg(f) > 0 =⇒ ∃ nedalāms f dalītājs ∼ p l .
6
p l ∈ {p 1 , ..., p k } =⇒ p l |f −p 1 ...p k
polinoms - pretruna.
=⇒ p l |1 =⇒ p l - invertējams
1.2. teorēma. k - lauks, |k| < ∞. k[X] nedalāmu polinomu pakāpes
nav ierobežotas.

Saturs Sākums Beigas ◭ ◮ Atpakaļ Aizvērt Pilns ekrāns
PIERĀDĪJUMS k ir galīgs lauks =⇒ ∀ n ∈ N ∃ galīgs skaits
polinomu, kuru pakāpe ir vienāda ar n. Tā kā nedalāmu polinomu
kopa ir bezgalīga, tad to pakāpes nevar būt ierobežotas.
7
1.1.2. Gredzenu iekļaušana un polinomu faktorizācija
R, S - unitāri IG, R ≤ S. f ∈ R[X] var uzskatīt arī par polinomu
virs S: f ∈ S[X].
1.3. piemērs. Z ⊆ Q =⇒ Z[X] ⊆ Q[X].
1.3. teorēma. R, S - unitāri IG, R ≤ S, S[X] - VFG. f ∈ R[X].
Doti f sadalījumi nedalāmu polinomu reizinājumos virs R un S:
{
f = r1 ...r n , virs R
Tad
f = s 1 ...s m , virs S.
∀ r i = uq 1 ...q l , kur q j ∈ {s 1 , ..., s m }, u ∈ U(S)

Saturs Sākums Beigas ◭ ◮ Atpakaļ Aizvērt Pilns ekrāns
(katrs f nedalāms dalītājs virs R sadalās tādā reizinājumā virs S, kura
elementi ir asociēti ar f nedalāmiem dalītājiem virs S).
8
PIERĀDĪJUMS {
r ∈ I(R[X]), r|f
s ∈ I(S[X]), s|r
=⇒ s|f =⇒ s ∈ {s 1 , ..., s m }.
1.4. piemērs. Q ⊆ R, f = X 2 − 2 ∈ I(Q[X]), bet
f = (X − √ 2)(X + √ 2) ∈ R[X].
1.2. Polinoma saturs
Vienkāršākā ar polinomu faktorizāciju saistītā darbība ir koeficientu
kopīgo dalītāju atdalīšana izmantojot distributīvo īpašību -
koeficientu kopīgo reizinātāju iznešana.
{ f =
∑ n
i=0 f iX i
∃ a : ∀ i a|f i
=⇒ f = a ∑ n
i=0 q iX i , kur q i = ai
a .

Saturs Sākums Beigas ◭ ◮ Atpakaļ Aizvērt Pilns ekrāns
Ja gredzenā R eksistē LKD, tad par f(X) ∈ R[X] saturu sauc tā
koeficientu LKD, to apzīmēsim ar cont(f).
Tāpat kā LKD un MKD, arī cont(f) ir noteikts ar precizitāti
līdz asociācijai.
Ja cont(f) ∈ U(R), tad f sauc par primitīvu polinomu.
1.5. piemērs. Normalizēts polinoms ir primitīvs polinoms. Visi polinomi
ar koeficientiem laukā ir primitīvi.
∀ f ∈ R[X] var izteikt formā
f = cont(f)f 0 , kur f 0 ir primitīvs polinoms.
9
1.6. piemērs. f = 2X + 4 ∈ Z[X], cont(f) ∼ 2, f = 2 (X + 2) .
} {{ }
=f 0

Saturs Sākums Beigas ◭ ◮ Atpakaļ Aizvērt Pilns ekrāns
1.3. Lineārie polinomi un polinomu saknes
10
1.3.1. Vienkāršās saknes - Bezout teorēma
Saka, ka a ∈ R ir f ∈ R[X], deg(f) ≥ 1, sakne, ja f(a) = 0.
f ∈ R[X] sakņu kopu apzīmē ar V(f).
1.4. teorēma. R - IG, f, g ∈ R[X].
1. V(fg) = V(f) ∪ V(g).
2. g|f =⇒ V(g) ⊆ V(f).
PIERĀDĪJUMS
1. V(f) ∪ V(g) ? ⊆ V(fg).
a ∈ V(f) ∪ V(g) =⇒ a ∈ V(f) ∨ a ∈ V(g) =⇒
f(a) = 0 ∨ g(a) = 0 =⇒ f(a)g(a) = 0 =⇒ (fg)(a) = 0
=⇒ a ∈ V(fg).
V(fg) ? ⊆ V(f) ∪ V(g).

11
(fg)(a) = f(a)g(a) = 0 =⇒ f(a) = 0 ∨ g(a) = 0, jo R - IG.
=⇒ a ∈ V(f) ∪ V(g).
2. g|f =⇒ f(X) = q(X)g(X).
a ∈ V(g) =⇒ g(a) = 0 =⇒ f(a) = q(a)g(a) = 0 =⇒ a ∈ V(f).
1.5. teorēma. (Bezout) a ∈ V(f) ⇐⇒ (X − a)|f(X).
PIERĀDĪJUMS Izdalīsim f(X) ar X − a:
( )
f(X) = q(X)(X − a) + r(X), kur deg r(X) < deg(X − a) = 1
=⇒ r(X) = r 0 - konstants polinoms.
Atradīsim r 0 . Veicot substitūciju X = a, iegūstam
f(a) = q(a)(a − a) + r 0 =⇒ r 0 = f(a) =⇒
f(X) = q(X)(X − a) + f(a).
f(a) = 0 ⇐⇒ f(X) = q(X)(X − a) ⇐⇒ (X − a)|f(X).
Saturs Sākums Beigas ◭ ◮ Atpakaļ Aizvērt Pilns ekrāns

Saturs Sākums Beigas ◭ ◮ Atpakaļ Aizvērt Pilns ekrāns
1.1. piezīme. No Bezout teorēmas seko, ka kvadrātisks vai kubisks
polinoms f ∈ k[X] ir nedalāms ⇐⇒ V(f) = ∅.
12
1.3.2. Vairākkārtīgās saknes
Saka, ka a ∈ R ir f ∈ R[X], deg(f) ≥ 1, m-kārtīga sakne, ja
(X − a) m |f(X) un (X − a) m+1 ∤ f(X).
Citiem vārdiem sakot
(
)
f(X) = (X − a) m g(X), kur LKD g(X), X − a = 1.
f ∈ R[X] m-kārtīgu sakņu kopu apzīmē ar V m .
a sauc par f vairākkārtīgu sakni, ja a ∈ V m (f), kur m ≥ 2.
1.7. piemērs. a = 1 ir 2-kārtīga sakne polinomam X 2 + 2X + 1 ∈
Z[X].

Saturs Sākums Beigas ◭ ◮ Atpakaļ Aizvērt Pilns ekrāns
1.6. teorēma. (polinomu vienādības pazīme) R - IG, R[X] - VFG.
f ∈ R[X], a 1 , ..., a l - dažādi R elementi: a i ∈ V m i
(f). Tad
f(X) = (X − a 1 ) m 1
...(X − a l ) m l
g(X), kur g(a i ) ≠ 0 ∀ 1 ≤ i ≤ l.
13
PIERĀDĪJUMS Seko no viennozīmīgās faktorizācijas īpašības.
1.2. piezīme. Nekonstanta polinoma sakņu kārtu summa nevar pārsniegt
polinoma pakāpi.
1.3.3. Polinomu interpolācija
1.7. teorēma. f, g ∈ R[X], deg f = deg g = n, {a 1 , ..., a n+1 } ⊆ R,
a i ≠ a j ∀ i ≠ j.
∀ i : f(a i ) = g(a i ) =⇒ f = g.
(ja divi polinomi f un g ar pakāpi n pieņem vienādas vērtības pēc n+1
substitūcijas ar dažādiem elementiem a 1 , ..., a n+1 , tad tie ir vienādi).

Saturs Sākums Beigas ◭ ◮ Atpakaļ Aizvērt Pilns ekrāns
14
PIERĀDĪJUMS Definēsim h = f − g, tad
Pēc pieņēmuma
deg(h) ≤ max(deg(f), deg(g)) = n.
h(a 1 ) = f(a 1 ) − g(a 1 ) = 0, ...,
..., h(a n+1 ) = f(a n+1 ) − g(a n+1 ) = 0,
tātad polinomam h ir vismaz n + 1 dažādas saknes a 1 , ..., a n+1 - pretruna,
ja h nav vienāds ar 0.
1.3. piezīme. Polinomu ar pakāpi n var viennozīmīgi noteikt (atrast
tā koeficientus), ja ir zināmas tā vērtības n + 1 punktos.
1.8. teorēma. (Lagranža interpolācijas formula) k - lauks. Ja ir doti
n + 1 dažādi k elementi a 0 , ..., a n un n + 1 k elementi b 0 , ..., b n , tad ∃
tieši viens f(X) ∈ k[X], deg f ≤ n:
f(a i ) = b i visiem 0 ≤ i ≤ n.

Saturs Sākums Beigas ◭ ◮ Atpakaļ Aizvērt Pilns ekrāns
15
Polinoms f var tikt atrasts pēc šādas formulas:
n∑ (X − a 0 )...(X − a i−1 )(X − a i+1 )...(X − a n )
f(X) = b i
(a i − a 0 )...(a i − a i−1 )(a i − a i+1 )...(a i − a n ) =
i=0
n∑ ∏ X − a j
b i .
a i − a j
i=0
j≠i
PIERĀDĪJUMS
Vienīgums.
Seko no iepriekšējas teorēmas.
Eksistence.
Jāveic formulas tieša pārbaude.
1.8. piemērs. Atradīsim f ∈ F 5 [X], deg(f) = 2:
⎧
⎨ f(1) = 2,
f(2) = 1,
⎩
f(3) = 3.

Saturs Sākums Beigas ◭ ◮ Atpakaļ Aizvērt Pilns ekrāns
16
Saskaņā ar Lagranža interpolācijas formulu
f(X) = 2
(X − 2)(X − 3)
(1 − 2)(1 − 3)
− 1)(X − 3) − 1)(X − 2)
+1(X +3(X =
(2 − 1)(2 − 3) (3 − 1)(3 − 2)
= (X − 2)(X − 3) − (X − 1)(X − 3) − (X − 1)(X − 2) =
= −X 2 + 2X + 1 = 4X 2 + 2X + 1.
1.4. Polinomu atvasināšana un tās pielietojumi faktorizācijā
1.4.1. Pamatfakti
Par polinoma f(X) = ∑ n
i=0 a iX i ∈ R[X] (formālo) atvasinājumu
sauc polinomu
n∑
f ′ (X) = a i iX i−1 ∈ R[X].
i=1
Atvasinājumu var apzīmēt arī šādi: f ′ (X) = (Df)(X).

Saturs Sākums Beigas ◭ ◮ Atpakaļ Aizvērt Pilns ekrāns
Atvasinājumu īpašības un atvasināšanas metodes ir zināmas no
matemātiskās analīzes kursa.
Var definēt arī augstāku kārtu atvasinājumus.
1.9. piemērs. (X n ) ′ = nX n−1 , (a 0 + a 1 X) ′ = a 1 .
(X p ) ′ = 0 gredzenā F p [X].
17
1.4.2. Vairākkārtīgās saknes kritērijs
1.9. teorēma. k - lauks, f ∈{ k[X].
f(a) = 0
a ∈ V m (f), m ≥ 2 ⇐⇒
f ′ (a) = 0 .
PIERĀDĪJUMS
Izdalīsim f(X) ar (X − a) 2 :
f(X) = q(X)(X − a) 2 + r(X), kur deg
( )
r(X) < 2.

Saturs Sākums Beigas ◭ ◮ Atpakaļ Aizvērt Pilns ekrāns
r(X) izdalīsim ar (X − a):
r(X) = q 1 · (X − a) + r 1 , kur deg(r 1 ) < 1.
Apvienojot abus rezultātus vienā vienādībā, iegūsim
f(X) = q(X)(X − a) 2 + q 1 · (X − a) + r 1 .
Atradīsim f ′ (X):
(
) ′
f ′ (X) = q(X)(X − a) 2 + q 1 · (X − a) + r 1 =
= q ′ (X)(X − a) 2 + q(X) · 2(X − a) + q 1 .
18
a ∈ V m (f), m ≥ 2
?
=⇒
{
f(a) = 0
f ′ (a) = 0 .
a{ ∈ V m (f) =⇒ { f(X) = q(X)(X − a) 2 =⇒
q1 = 0 f(a) = 0
=⇒
r 1 = 0 f ′ (a) = 0 .

{
f(a) = 0 ?
f ′ =⇒ a ∈ V
(a) = 0
m (f), m ≥ 2.
{ {
f(a) = 0
q1 = 0
f ′ =⇒
=⇒ f(X) = q(X)(X − a)
(a) = 0 r 1 = 0
2 un a
ir vairākkārtīga sakne.
1.10. piemērs.
19
1.4.3. Polinoma kvadrātbrīvās faktorizācijas atrašana
Saka, ka laukam k harakteristika (raksturojums, char(k)) ir vienāda
ar χ ∈ P, ja χ · 1 = 0. Ja ∀ n ∈ N : n · 1 ≠ 0, tad char(k) = 0.
1.11. piemērs. Q, R, C - lauki ar harakteristiku 0. F p - lauks ar
harakteristiku p.
p ∈ I(k[X]). Ja izpildās
{ p α |f
p α+1 ∤ f,
tad p kārtu attiecībā uz f
Saturs Sākums Beigas ◭ ◮ Atpakaļ Aizvērt Pilns ekrāns

Saturs Sākums Beigas ◭ ◮ Atpakaļ Aizvērt Pilns ekrāns
20
definē vienādu ar α, ord p (f) = α.
1.10. teorēma. k - lauks, char k = 0, f ∈ k[X], p ∈ I(k[X]), p|f.
Tad
ord p (f) = α =⇒ ord p (f ′ ) = α − 1.
PIERĀDĪJUMS Ir dots, ka
f = p α g, kur LKD(p, g) = 1 =⇒
f ′ = αp α−1 p ′ g + p α g ′ = p α−1 (αp ′ g + pg ′ )
} {{ }
dalās ar p?
=⇒ p α−1 |f ′ .
Pierādīsim, ka p ∤ (αp ′ g + pg ′ ). No tā sekos, ka p α ∤ f ′ .
Pieņemsim pretējo. p|(αp ′ g + pg ′ ) =⇒ p|αp ′ g.
deg(p) > deg(p ′ ) =⇒ LKD(p, p ′ ) = 1.
{ LKD(p, g) = 1
LKD(p, p ′ ) = 1
=⇒ p ∤ αp ′ g - pretruna.

Saturs Sākums Beigas ◭ ◮ Atpakaļ Aizvērt Pilns ekrāns
21
k[X] ir VFG
=⇒ p ∤ (kp ′ g + pg ′ ).
1.12. piemērs. f = X 2 (X + 1), ord X (f) = 2, f ′ = X(3X + 2),
ord X (f ′ ) = 1.
1.11. teorēma. (Kvadrātbrīvās faktorizācijas formula) k - lauks,
char k = 0, f ∈ k[X]. Tad
f = p α1
1 ...pα m
m =⇒
f
LKD(f, f ′ ) = p 1...p m .
PIERĀDĪJUMS No iepriekšējās teorēmas zinām, ka
f ′ = p α 1−1
1 ...p α m−1
m h, kur p i ∤ h =⇒ LKD(f, f ′ ) = p α 1−1
1 ...p α m−1
m .
Izdalot f ar LKD(f, f ′ ), iegūsim vēlamo formulu:
f
LKD(f, f ′ ) =
pα1 1 ...pαm m
= p 1 ...p m .
p α1−1
1 ...p αm−1
m
1.4. piezīme. Nosacījumu char k = 0 var aizvietot ar nosacījumu

Saturs Sākums Beigas ◭ ◮ Atpakaļ Aizvērt Pilns ekrāns
α i ≢ 0(mod char(k)) jeb char k ∤ α i , kas izpildās, piemēram, šādos
gadījumos:
• char(k) = 0,
• char(k) > deg(f).
1.13. piemērs. Faktorizēsim polinomu
f(X) = X 5 − X 4 − 2X 3 + 2X 2 + X − 1 ∈ Q[X]
Atrodam f ′ (X) = 5X 4 − 4X 3 − 6X 2 + 4X + 1.
Atrodam LKD(f, f ′ ) = X 3 − X 2 − X + 1 izmantojot Eiklīda
algoritmu =⇒
f
LKD(f, f ′ ) = X2 − 1 = (X − 1)(X + 1).
Dalot f vairākas reizes ar X − 1 un X + 1, iegūsim faktorizāciju
f(X) = (X − 1) 3 (X + 1) 2 .
22

Saturs Sākums Beigas ◭ ◮ Atpakaļ Aizvērt Pilns ekrāns
2. 3.mājasdarbs
23
2.1. Obligātie uzdevumi
3.1 Sadaliet doto polinomu nedalāmos reizinātājos virs dotā lauka:
(a) f(X) = X 6 + 27, virs Q, virs R,
(b) f(X) = X 5 − X, virs F 5 .
3.2 Atrodiet visus nedalāmos polinomus
(a) ar pakāpi 4 virs F 2 ,
(b) ar pakāpi 3 virs F 3 ,
(c) ar pakāpi 2 virs F 5 .
3.3 Pierādiet, ka polinomam
f(X) = X n + a n−1 X n−1 + ... + a 0 ∈ F 2 [X]
eksistē lineārs dalītājs tad un tikai tad, ja
n−1
∑
a 0 = 0 vai a i = 1.
i=0

Saturs Sākums Beigas ◭ ◮ Atpakaļ Aizvērt Pilns ekrāns
24
3.4 Nosakiet saknes a kārtu dotajā polinomā f:
(a) f(X) = X 4 − X 3 − X + 1, a = 1, virs Q,
(b) f(X) = X 3 + X + 1, a = 1, virs F 3 .
3.5 Atrodiet polinomu f(X) ∈ F 3 [X] ar šādu īpašību:
f(0) = 1, f(1) = 2, f(2) = 2.
2.2. Paaugstinātas grūtības un pētnieciska rakstura
uzdevumi
3.6 Izpētiet, kādos gadījumos polinoms f ∈ F p [X] atbilst injektīvai
funkcijai F p → F p , un kādos - neinjektīvai. Kāda ir saistība
starp funkcijas grafa struktūru un polinoma struktūru?
3.7 Pamatojiet Ņūtona interpolācijas formulu. k - lauks. Ja ir doti
n + 1 dažādi k elementi a 0 , ..., a n un n + 1 k elementi b 0 , ..., b n ,
tad f(X) ∈ k[X], kas apmierina nosacījumus
f(a i ) = b i visiem 0 ≤ i ≤ n,

Saturs Sākums Beigas ◭ ◮ Atpakaļ Aizvērt Pilns ekrāns
25
var tikt meklēts formā
f(X) = c 0 + c 1 (X − a 0 ) + c 2 (X − a 0 )(X − a 1 ) + ...
+c n (X − a 0 )...(X − a n−1 ) =
n∑ i∏
c 0 + (X − a j−1 ).
c i
i=1 j=1
Mēǧiniet atrast c k kā funkciju no a i un b i , 0 ≤ i ≤ n.