Determinanti. Kramera formulas.

det(A) = = a 11
a 22
− a 12
a 21
=
a 11
det(A 11
) − a 12
det(A 12
) .
A1j te ir matrica, kas iegūta no matricas A, izsvītrojot pirmo
rindu un j-to kolonu.
3x3 gadījumā:
det(A) =
a 11
det(A 11
) − a 12
det(A 12
) + a 13
det(A 13
).
A1j te ir matrica, kas iegūta no matricas A, izsvītrojot pirmo
rindu un j-to kolonu.
Tātad − mēģināsim minēt, ka
4x4 gadījumā:
det(A) =
a 11
det(A 11
) − a 12
det(A 12
) +
a 13
det(A 13
) − a 14
det(A 14
)
5x5 gadījumā: det(A) =
a 11
det(A 11
) − a 12
det(A 12
) +
a 13
det(A 13
) − a 14
det(A 14
) + a 15
det(A 15
)
Izskatās cerīgi...
n x n matricas determinanta definīcija
1) Ja n=1, tad:
det ( A)=a 11
.
2) Pieņemsim, ka (n−1)x(n−1) matricām A determinants det(A)
jau ir definēts.
Tad n x n matricai A = (a ij
| i=1..n; j=1..n) definējam det(A) pēc
analoģijas ar 3x3 gadījumu:
n
det ( A)=∑
j=1
(−1) 1+ j a 1j det ( A 1j ) ,
kur A 1j
ir (n−1)x(n−1) matrica, ko iegūst no A,
izsvītrojot no tās 1-o rindu un j-to kolonu.
[Ko nozīmē (−1) 1+j Tādā veidā mēs ģenerējam saskaitāmo
zīmes: + − + − ...]
Mūsu galamērķis
ir divas teorēmas, kas parādīs, ka mūsu "uzminētais"
determinanta jēdziens tiešām spēlē "noteicēja" lomu n x n
lineāru vienādojumu sistēmu risināšanā.
a 11
x 1
+a 12
x 2
+ ... + a 1n
x n
=b 1
;
a 21
x 1
+a 22
x 2
+ ... + a 2n
x n
=b 2
;
...
a n1
x 1
+a n2
x 2
+ ... + a nn
x n
=b n
.
Koeficientu matrica: A = (a ij
| i=1..n; j=1..n).
Brīvo locekļu vertikālais vektors:
B = (b i
| i=1..n).
Teorēma. Ja n x n lineāru vienādojumu sistēmas
koeficientu matricas A determinants det(A) nav
nulle, tad sistēmai ir viens vienīgs atrisinājums,
bet ja determinants ir nulle, tad atrisinājumu
nav nemaz vai ir bezgalīgi daudz.
Kramera kārtula. Ja n x n lineāru vienādojumu
sistēmas koeficientu matricas A determinants
det(A) nav nulle, tad sistēmai ir viens vienīgs
atrisinājums, ko var iegūt ar Kramera
formulām: