Determinanti. Kramera formulas.
Determinanti. Kramera formulas. Determinanti. Kramera formulas.
=∣ a 11 b 1 a 13 d 2 a 21 b 2 a 23 a 31 b 3 a 33∣ (šis determinants iegūts no d, aizstājot otro kolonu ar brīvo locekļu vektoru); d 3 =∣ a 11 a 12 b 1 a 21 a 22 b 2 a 31 a 32 b 3∣ (šis determinants iegūts no d, aizstājot trešo kolonu ar brīvo locekļu vektoru). Kramera kārtula. Ja 3x3 lineāru vienādojumu sistēmas determinants nav nulle, tad sistēmai ir viens vienīgs atrisinājums, un to var uzrakstīt kā: x 1 = d 1 d ; x 2= d 2 d ; x 3= d 3 d . Piemērs. x+2y+3z=1, 2x+2y+z=3, 3x+3y+5z=4; d=| 1 2 3 5| 2 2 1 = =∣ 3 3 1 2 3 d 1 3 2 1 d 2 =∣ d 3 =| 5∣ = 4 3 5∣ = 3 4 4| 2 2 3 = 3 3 1 1 3 2 3 1 1 2 1 Det [{1,2,3}, {2,2,1},{3,3,5}] = −7. Det [{1,2,3}, {3,2,1},{4,3,5}] = −12. Det [{1,1,3}, {2,3,1},{3,4,5}] = 1. Det [{1,2,1}, {2,2,3},{3,3,4}] = 1. x= 12 7 ; y=− 1 7 ; z=− 1 7 , ko mēs jau zinām. Vēlāk redzēsim, ka determinantu vērtību aprēķiniem visātrāk un ērtāk ir izmantot... to pašu Gausa metodi. Praktiskai vienādojumu sistēmu risināšanai Kramera formulas nav piemērotas, jo vēlāk mēs redzēsim, ka viena determinanta aprēķināšana prasa aptuveni tikpat daudz laika kā visas vienādojumu sistēmas atrisināšana ar Gausa metodi. Bet Kramera formulas 3x3 sistēmai taču satur 4 determinantus... Kam tad determinanti vispār vajadzīgi To mēs pa īstam sapratīsim, kad studēsim matricu teoriju. Interesanti! Determinants kā tilpuma formula – sk. bildes no Determinant Wikipedia . Matricas Lai tālāk vispārinātu determinanta formulu (4x4, 5x5 utt. gadījumiem), vispirms ievedīsim matricas jēdzienu − matrica ir tabula, ko raksta lielās apaļajās iekavās (sk. Matrix Wikipedia ): (a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33) − 3x3 matrica; ( a 11 a 12 a 21 a 22) (a 11 ) − 1x1 matrica; − 2x2 matrica; (a 11 a 12 ) − 1x2 matrica (horizontāls vektors);
( a 11 a 21) − 2x1 matrica (vertikāls vektors). Jēdziens par s x n matricu − s rindiņas, n kolonas: (a ij | i=1..s; j=1..n): (a 11 a 12 ... a 1n a 21 a 22 ... a 2n ... ... ... ... a s1 a s2 ... a sn) . Skaitļus a ij sauc par matricas elementiem (i ir rindas numurs, j – kolonas numurs). Elementi a ii , t.i. a 11 , a 22 , a 33 , ... veido matricas diagonāli. n x n matricu sauc par kvadrātisku matricu. Tās izmanto visbiežāk. Ja n x n matricai zem diagonāles visi elementi ir nulles, tad to sauc par trīsstūra matricu. (Citiem vārdiem: ja i>j, tad a ij = 0). [Piemērs.] s x n lineāras vienādojumu sistēmas a 11 x 1 +a 12 x 2 + ... + a 1n x n =b 1 ; a 21 x 1 +a 22 x 2 + ... + a 2n x n =b 2 ; ... a s1 x 1 +a s2 x 2 + ... + a sn x n =b s koeficientu matrica A = (a ij | i=1..s; j=1..n) un brīvo locekļu (vertikālais) vektors B = (b i | i=1..s). Piemērs. x+2y+3z=1, 2x+2y+z=3, 3x+3y+5z=4. Koeficientu matrica: ( (a 11 a 12 ... a 1n a 21 a 22 ... a 2n ... ... ... ... a s1 a s2 ... a sn)(x 1 2 3 2 2 1 3 3 5) , 1 1 x 2 b 2 ... ... x n)=(b s) . b brīvo locekļu vektors: ( Kopskats: 1 3 4) (vertikāls!). ( 1 2 3 5)( x z) ( 1 4) 2 2 1 y = 3 . 3 3 n x n matricas determinants Kvadrātiskas matricas A determinantu apzīmē ar |A| vai det(A). Mēģināsim pēc analoģijas 3x3 matricām uzminēt n×n matricas determinanta definīciju. 1x1 gadījumā: det(A) = a 11 . 2x2 gadījumā:
- Page 1 and 2: Mana personīgā lapa − šeit. Ad
- Page 3: a 31 x 1 +a 32 x 2 +a 33 x 3 =b 3 .
- Page 7 and 8: x i = det( A i) det ( A) ; i=1..n,
- Page 9 and 10: atņem citu rindu, pareizinātu ar
- Page 11: Laplasa teorēma Pierre Simon Lapla
=∣ a 11<br />
b 1<br />
a 13<br />
d 2 a 21 b 2 a 23<br />
a 31 b 3 a 33∣<br />
(šis determinants iegūts no d,<br />
aizstājot otro kolonu ar brīvo locekļu vektoru);<br />
d 3 =∣<br />
a 11<br />
a 12<br />
b 1<br />
a 21 a 22 b 2<br />
a 31 a 32 b 3∣<br />
(šis<br />
determinants iegūts no d,<br />
aizstājot trešo kolonu ar brīvo locekļu vektoru).<br />
<strong>Kramera</strong> kārtula. Ja 3x3 lineāru vienādojumu<br />
sistēmas determinants nav nulle, tad sistēmai ir<br />
viens vienīgs atrisinājums, un to var uzrakstīt<br />
kā:<br />
x 1 = d 1<br />
d ; x 2= d 2<br />
d ; x 3= d 3<br />
d .<br />
Piemērs.<br />
x+2y+3z=1,<br />
2x+2y+z=3,<br />
3x+3y+5z=4;<br />
d=| 1 2 3<br />
5|<br />
2 2 1 =<br />
=∣<br />
3 3 1 2 3<br />
d 1 3 2 1<br />
d 2 =∣<br />
d 3 =|<br />
5∣<br />
=<br />
4 3<br />
5∣<br />
=<br />
3 4<br />
4|<br />
2 2 3 =<br />
3 3<br />
1 1 3<br />
2 3 1<br />
1 2 1<br />
Det [{1,2,3}, {2,2,1},{3,3,5}] = −7.<br />
Det [{1,2,3}, {3,2,1},{4,3,5}] = −12.<br />
Det [{1,1,3}, {2,3,1},{3,4,5}] = 1.<br />
Det [{1,2,1}, {2,2,3},{3,3,4}] = 1.<br />
x= 12 7 ; y=− 1 7 ; z=− 1 7<br />
, ko mēs jau zinām.<br />
Vēlāk redzēsim, ka determinantu vērtību aprēķiniem visātrāk un ērtāk ir<br />
izmantot... to pašu Gausa metodi.<br />
Praktiskai vienādojumu sistēmu risināšanai <strong>Kramera</strong><br />
<strong>formulas</strong> nav piemērotas, jo vēlāk mēs redzēsim, ka viena<br />
determinanta aprēķināšana prasa aptuveni tikpat daudz laika kā<br />
visas vienādojumu sistēmas atrisināšana ar Gausa metodi. Bet<br />
<strong>Kramera</strong> <strong>formulas</strong> 3x3 sistēmai taču satur 4 determinantus...<br />
Kam tad determinanti vispār vajadzīgi To mēs pa īstam<br />
sapratīsim, kad studēsim matricu teoriju.<br />
Interesanti! Determinants kā tilpuma formula – sk. bildes no<br />
Determinant Wikipedia .<br />
Matricas<br />
Lai tālāk vispārinātu determinanta formulu (4x4, 5x5 utt.<br />
gadījumiem), vispirms ievedīsim matricas jēdzienu − matrica<br />
ir tabula, ko raksta lielās apaļajās iekavās (sk.<br />
Matrix Wikipedia ):<br />
(a 11 a 12 a 13<br />
a 21<br />
a 22<br />
a 23<br />
a 31<br />
a 32<br />
a 33)<br />
− 3x3 matrica;<br />
( a 11 a 12<br />
a 21<br />
a 22)<br />
(a 11<br />
) − 1x1 matrica;<br />
− 2x2 matrica;<br />
(a 11<br />
a 12<br />
) − 1x2 matrica (horizontāls vektors);
Change language