Determinanti. Kramera formulas.
Determinanti. Kramera formulas. Determinanti. Kramera formulas.
simbolu, šo atrisinājumu var uzrakstīt ļoti eleganti (sk. augstāk): d 1 =b 1 a 22 −b 2 a 12 =∣ b 1 a 12 b 2 a 22∣ (šis determinants iegūts no d, aizstājot pirmo kolonu ar brīvo locekļu vektoru); d 2 =a 11 b 2 −a 21 b 1 =∣ a 11 b 1 a 21 b 2∣ (šis determinants iegūts no d, aizstājot otro kolonu ar brīvo locekļu vektoru); x 1 = d 1 d ; x 2= d 2 d . Kramera kārtula. Ja 2x2 lineāru vienādojumu sistēmas determinants nav nulle, tad sistēmai ir viens vienīgs atrisinājums, un to var uzrakstīt kā: x 1 = d 1 d ; x 2= d 2 d ; Tās sauc par Kramera formulām. [Kārtula – rule, правило. Dažreiz saka “Kramera likums”, kas nav gluži korekti.] Gabriels Kramers (1704-1752) tās publicēja 1750.gadā (n vienādojumiem ar n nezināmajiem). Cramer' s rule Wikipedia , Gabriel Cramer Wikipedia Kolins Maklorens () – Colin Maclaurin (1698-1746) šīs formulas esot zinājis jau 1729.gadā, bet publikācija iznāca tikai 1748.gadā (jau pēc autora nāves). Piemērs vienādojumu sistēmas risinājumam ar Kramera formulām: 2x+3y=5, 2x − 3y=1; d = 2*(−3) − 3*2 = −12; d 1 = 5*(−3) − 3*1 = −18; d 2 = 2*1−5*2 = −8; x = 3/2; y = 2/3. a 11 x 1 =b 1 1 vienādojums, 1 nezināmais (pirmās kārtas determinanti) Arī šajā gadījumā varam runāt par determinantu un Kramera formulām: d= |a 11 | = a 11 ; d 1 = |b 1 | = b 1 ; x 1 = d 1 d . 1.kārtas determinanta apzīmējums sakrīt ar vispārpieņemto skaitļa moduļa apzīmējumu. Cerēsim, ka sajukums neveidosies... Un pavisam viegli var pierādīt arī teorēmu: Teorēma. Ja (1x1 lineāra) vienādojuma a 11 x 1 =b 1 determinants |a 11 | nav nulle, tad vienādojumam ir viens vienīgs atrisinājums, bet ja determinants ir nulle, tad atrisinājumu nav nemaz vai ir bezgalīgi daudz. Kramera kārtula. Ja 1x1 lineāru vienādojumu sistēmas determinants nav nulle, tad sistēmai ir viens vienīgs atrisinājums, un to var uzrakstīt kā: x 1 = d 1 d . 3 vienādojumi, 3 nezināmie (trešās kārtas determinants) a 11 x 1 +a 12 x 2 +a 13 x 3 =b 1 ; a 21 x 1 +a 22 x 2 +a 23 x 3 =b 2 ;
a 31 x 1 +a 32 x 2 +a 33 x 3 =b 3 . Vai arī šai gadījumā sistēmas pamatīpašību varēsim reducēt uz viena skaitļa (determinanta) aprēķināšanu T.i. aprēķinām kādu izteiksmi, un tās vērtība pasaka vai sistēma ir noteikta vai nav Risinot vispārīgā veidā, mēs redzētu, ka sanāk formulas: (a 11 a 22 a 33 − a 11 a 23 a 32 +a 12 a 23 a 31 −a 12 a 21 a 33 +a 13 a 21 a 32 − a 13 a 22 a 31 ) x 1 = = b 1 a 22 a 33 − b 1 a 23 a 32 +a 12 a 23 b 3 − a 12 b 2 a 33 +a 13 b 2 a 32 − a 13 a 22 b 3 (a 11 a 22 a 33 − a 11 a 23 a 32 +a 12 a 23 a 31 − a 12 a 21 a 33 +a 13 a 21 a 32 − a 13 a 22 a 31 ) x 2 = ... (a 11 a 22 a 33 − a 11 a 23 a 32 +a 12 a 23 a 31 − a 12 a 21 a 33 +a 13 a 21 a 32 − a 13 a 22 a 31 ) x 3 = ... Tātad: d x 1 = d 1 ; d x 2 = d 2 ; d x 3 = d 3 , kur visas 4 izteiksmes d, d 1 , d 2 , d 3 ir diezgan sarežģītas, sk. arī http://estudijas.lu.lv/mod/resource/view.phpid=78648 (formula 2.8). Un noteicēja (determinanta) lomu šeit spēlē arī diezgan sarežģīta izteiksme d. Analizējot d izteiksmi, varam konstatēt, ka d=a 11| a 22 a 23 a 32 a 33| −a 12| a 21 a 23 a 31 a 33| +a 13| a 21 a 22 a 31 a 32| , jeb: d=a 11 D 11 − a 12 D 12 +a 13 D 13 , (plus − mīnus − plus!) kur D 1j ir 2x2 determinants, ko iegūst no d, izsvītrojot pirmo rindu un j-o kolonu. Tātad mēs varētu ievest šādu trešās kārtas (3x3) determinanta definīciju: d=| a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33| =a 11 D 11 − a 12 D 12 +a 13 D 13 , kur D 1j ir 2x2 determinants, ko iegūst no d, izsvītrojot pirmo rindu un j-o kolonu. WolframAlpha sintakse: Det [{1,2,3}, {4,5,6},{7,8,9}] = 0. Pieņemot šādu 3x3 determinanta definīciju, var pierādīt teorēmu, kas apliecina, ka tiešām esam ieguvuši “noteicēju” 3x3 vienādojumu sistēmām: Teorēma. Ja 3x3 lineāru vienādojumu sistēmas determinants nav nulle, tad sistēmai ir viens vienīgs atrisinājums, bet ja determinants ir nulle, tad atrisinājumu nav nemaz vai ir bezgalīgi daudz. Pierādījums seko no http://estudijas.lu.lv/mod/resource/view.phpid=78648 redzamās izteiksmes (formula 2.8) un tās analogiem priekš x 2 un x 3 . Analizējot garo formulu labās puses, redzam, ka arī 3x3 =∣ sistēmām sanāk skaistas Kramera formulas: b 1 a 12 a 13 d 1 b 2 a 22 a 23 (šis determinants iegūts no d, b 3 a 32 a aizstājot pirmo kolonu 33∣ ar brīvo locekļu vektoru);
- Page 1: Mana personīgā lapa − šeit. Ad
- Page 5 and 6: ( a 11 a 21) − 2x1 matrica (verti
- Page 7 and 8: x i = det( A i) det ( A) ; i=1..n,
- Page 9 and 10: atņem citu rindu, pareizinātu ar
- Page 11: Laplasa teorēma Pierre Simon Lapla
simbolu, šo atrisinājumu var uzrakstīt ļoti eleganti (sk.<br />
augstāk):<br />
d 1<br />
=b 1<br />
a 22<br />
−b 2<br />
a 12<br />
=∣<br />
b 1<br />
a 12<br />
b 2<br />
a 22∣<br />
(šis determinants iegūts<br />
no d, aizstājot pirmo kolonu ar brīvo locekļu vektoru);<br />
d 2<br />
=a 11<br />
b 2<br />
−a 21<br />
b 1<br />
=∣<br />
a 11<br />
b 1<br />
a 21<br />
b 2∣<br />
(šis determinants iegūts<br />
no d, aizstājot otro kolonu ar brīvo locekļu vektoru);<br />
x 1 = d 1<br />
d ; x 2= d 2<br />
d .<br />
<strong>Kramera</strong> kārtula. Ja 2x2 lineāru vienādojumu<br />
sistēmas determinants nav nulle, tad sistēmai ir<br />
viens vienīgs atrisinājums, un to var uzrakstīt<br />
kā:<br />
x 1 = d 1<br />
d ; x 2= d 2<br />
d ;<br />
Tās sauc par <strong>Kramera</strong> formulām.<br />
[Kārtula – rule, правило. Dažreiz saka “<strong>Kramera</strong> likums”, kas<br />
nav gluži korekti.]<br />
Gabriels Kramers (1704-1752) tās publicēja 1750.gadā (n<br />
vienādojumiem ar n nezināmajiem).<br />
Cramer' s rule Wikipedia , Gabriel Cramer Wikipedia<br />
Kolins Maklorens () – Colin Maclaurin (1698-1746) šīs <strong>formulas</strong> esot zinājis<br />
jau 1729.gadā, bet publikācija iznāca tikai 1748.gadā (jau pēc autora nāves).<br />
Piemērs vienādojumu sistēmas risinājumam ar <strong>Kramera</strong> formulām:<br />
2x+3y=5, 2x − 3y=1; d = 2*(−3) − 3*2 = −12; d 1<br />
= 5*(−3) − 3*1 = −18; d 2<br />
=<br />
2*1−5*2 = −8; x = 3/2; y = 2/3.<br />
a 11<br />
x 1<br />
=b 1<br />
1 vienādojums, 1 nezināmais<br />
(pirmās kārtas determinanti)<br />
Arī šajā gadījumā varam runāt par determinantu un <strong>Kramera</strong><br />
formulām:<br />
d= |a 11<br />
| = a 11<br />
;<br />
d 1<br />
= |b 1<br />
| = b 1<br />
;<br />
x 1 = d 1<br />
d .<br />
1.kārtas determinanta apzīmējums sakrīt ar vispārpieņemto<br />
skaitļa moduļa apzīmējumu. Cerēsim, ka sajukums<br />
neveidosies...<br />
Un pavisam viegli var pierādīt arī teorēmu:<br />
Teorēma. Ja (1x1 lineāra) vienādojuma<br />
a 11<br />
x 1<br />
=b 1<br />
determinants |a 11<br />
| nav nulle, tad<br />
vienādojumam ir viens vienīgs atrisinājums, bet<br />
ja determinants ir nulle, tad atrisinājumu nav<br />
nemaz vai ir bezgalīgi daudz.<br />
<strong>Kramera</strong> kārtula. Ja 1x1 lineāru vienādojumu<br />
sistēmas determinants nav nulle, tad sistēmai ir<br />
viens vienīgs atrisinājums, un to var uzrakstīt<br />
kā:<br />
x 1 = d 1<br />
d .<br />
3 vienādojumi, 3 nezināmie<br />
(trešās kārtas determinants)<br />
a 11<br />
x 1<br />
+a 12<br />
x 2<br />
+a 13<br />
x 3<br />
=b 1<br />
;<br />
a 21<br />
x 1<br />
+a 22<br />
x 2<br />
+a 23<br />
x 3<br />
=b 2<br />
;
Change language