Determinanti. Kramera formulas.
Determinanti. Kramera formulas. Determinanti. Kramera formulas.
S(6)=1955; ... Uzdevums. Parādiet, ka S(n)>n! (n faktoriāls). Secinājums: ja n>3, tad determinanta definīcija ir praktiski nelietojama kā metode n×n matricas determinanta vērtības aprēķināšanai. Determinantu aprēķināšana ar Gausa metodi Tāpēc pamēģināsim citu metodi. Determinantu īpašība 2, īpašība 3 (rindām un kolonām), 5 (rindām) un 9 (rindām) liecina, ka determinantiem var lietot tās pašas Gausa metodes operācijas a), b), c), d), ko lietojām lineāru vienādojumu sistēmām. Teorēma. Ar Gausa metodes operāciju a), b), c), d) palīdzību jebkuru determinantu D var pārveidot trīsstūra formā D', kurā uz diagonāles ir tikai skaitļi 1 un 0. Tātad D'=0 vai D'=1. Šajā procesā: operācija a) izdala determinanta vērtību ar kādu nenulles skaitli c, operācija b) determinanta vērtību nemaina, bet operācijas c), d) maina determinanta zīmi uz pretējo. Izpildot visas šīs operācijas apgrieztā secībā, no D' vērtības (0 vai 1) iegūstam D vērtību. Šis aprēķinu process beidzas ar trīsstūra matricu, kuras determinants D' = 1 vai 0 (sk. īpašību 2). Ja operācijas c), d) tika izmantotas t reizes, tad D' jāpareizina ar (−1) t . Un beidzot, D' ir jāpareizina ar visiem skaitļiem c, ar kuriem dalījām operācijās a). [Piemērs. Det [{1,2,3}, {2,2,0},{3,3,2}] = −4.] D=∣ 1 2 3 2∣ ∣ 1 2 3 2 2 0 ; (2)-2*(1); (3)-3*(1); D= 0 −2 −6 3 3 0 −3 −7∣ ; (2)/-2; D ∣ 1 2 3 −2 = 0 1 3 0 −3 −7∣ ; (3)+3*(2); D ∣ 1 2 3 2∣ −2 = 0 1 3 ; (3)/2; 0 0 D ∣ 1 2 3 1∣ (−2)∗2 = 0 1 3 =1 ; tātad D=−4 .] 0 0 Par n x n determinanta rēķināšanas laiku ar Gausa metodi: tāpat kā n x n vienādojumu sistēmai, vajadzīgas aptuveni 3n 3 operācijas. Salīdzinot ar n!, tas ir ļoti labs rādītājs! Tātad Gausa metode ir efektīvs veids determinanta vērtības aprēķināšanai. Uzlabotā Gausa metode datoram Grāmatās Jūs redzēsiet mazliet savādāku Gausa metodes lietojumu determinantiem, kas ļauj ietaupīt daļu no operācijām: − operāciju a) neizmantojam vispār, pieļaujot, ka determinanta diagonāles elementi ne vienmēr ir vienādi ar 1; − operācijā b), kuras mērķis ir ar j-tās rindas atņemšanu no i-tās panākt, lai determinanta elements a ij kļūtu vienāds ar nulli: atņemam no i-tās rindas j-to rindu, pareizinātu ar a ij a jj ; − operācijās c), d), mainot vietām divas rindas vai kolonas, vienu no tām pareizinām ar −1. Tādā veidā mēs katrā operācijā iegūstam determinantu, kura vērtība ir vienāda ar sākotnējā determinanta vērtību. [Pārliecinieties par to paši.] Beigās tiek iegūta trīsstūra matrica, kuras determinants ir diagonāles elementu reizinājums. [Piemērs. Ar uzlaboto metodi: Det [{1,2,3}, {2,2,0},{3,3,2}] = −4.] Par Gausa metodi determinantu aprēķinam parasti sauc tieši šo uzlaboto metodi. Šī metode ir ērtāka datoram (t.i. programmētājam), bet ne cilvēkam, kurš aprēķinus veic uz papīra.
Laplasa teorēma Pierre Simon Laplace Wikipedia (1749-1827) Pa īstam ir vērts zināt tikai šīs teorēmas speciālgadījumu (k=1 attiecīgajā e-kursa materiālu nodaļā http://estudijas.lu.lv/mod/resource/view.phpid=78651 − tur arī sk. vispārīgo gadījumu.) Būtībā Laplasa teorēma ir determinanta definīcijas vispārinājums: ja savā sākotnējā definīcijā mēs speciāli izdalījām determinanta pirmo rindu, tad tagad tās vietā atļaujam izmantot jebkuru rindu vai kolonu. Iegūtā determinanta vērtība no tā nemainās − to tad arī apgalvo Laplasa teorēma. Lai to precīzi pateiktu, ir jāieved jauns termins: Par matricas A elementa a ij algebrisko papildinājumu (cofactor) sauksim skaitli C ij =(−1) i+ j det( A ij ) , kur A ij ir (n−1)x(n−1) matrica, ko iegūst no matricas A, izsvītrojot i-to rindu un j-to kolonu. [Piemērs: C 22 .] Šajos terminos determinanta definīcija izskatās šādi: n det ( A)=∑ j=1 a 1j C 1j . Definējot n-tās kārtas determinanta vērtību, mēs izmantojām matricas pirmo rindu, reizinot tās elementus ar to algebriskajiem papildinājumiem, un reizinājumus summējot. Izrādās, ka pirmās rindas vietā mēs varējām ņemt jebkuru rindu vai jebkuru kolonu − rezultāts būs tas pats: Laplasa teorēma. Ja ņemsim n×n matricas A jebkuru rindu vai jebkuru kolonu un sasummēsim visu tās elementu reizinājumus ar to algebriskajiem papildinājumiem, tad iegūsim det(A). Pierādījums. Grūtāks, sk. http://estudijas.lu.lv/mod/resource/view.phpid=78651. Izmantojot Laplasa teorēmu, var samazināt aprēķinu apjomu, rēķinot determinantus, kuri satur nulles. Piemērs. Det [{1,2,3}, {2,2,0},{3,3,0}] = 12. D=∣ 1 2 3 0∣ 2 2 0 3 5 Šo deteminantu visērtāk aprēķināt, izmantojot trešo kolonu, jo tajā divi elementi ir 0: saskaņā ar Laplasa teorēmu, D = 3∙C 13 +0∙C 23 +0∙C 33 , t.i. C 23 un C 33 nemaz nav jārēķina! D=∣ 1 2 3 2 2 0 3 5 0∣ =3(−1)1+ 3 ∣ 2 2 3 5∣ + 0⋅C 23 + 0⋅C 33 =3⋅4=12 .
- Page 1 and 2: Mana personīgā lapa − šeit. Ad
- Page 3 and 4: a 31 x 1 +a 32 x 2 +a 33 x 3 =b 3 .
- Page 5 and 6: ( a 11 a 21) − 2x1 matrica (verti
- Page 7 and 8: x i = det( A i) det ( A) ; i=1..n,
- Page 9: atņem citu rindu, pareizinātu ar
S(6)=1955; ...<br />
Uzdevums. Parādiet, ka S(n)>n! (n faktoriāls).<br />
Secinājums: ja n>3, tad determinanta<br />
definīcija ir praktiski nelietojama kā metode<br />
n×n matricas determinanta vērtības<br />
aprēķināšanai.<br />
Determinantu aprēķināšana ar Gausa<br />
metodi<br />
Tāpēc pamēģināsim citu metodi.<br />
Determinantu īpašība 2, īpašība 3 (rindām un kolonām), 5<br />
(rindām) un 9 (rindām) liecina, ka determinantiem var lietot tās<br />
pašas Gausa metodes operācijas a), b), c), d), ko lietojām<br />
lineāru vienādojumu sistēmām.<br />
Teorēma. Ar Gausa metodes operāciju a), b),<br />
c), d) palīdzību jebkuru determinantu D var<br />
pārveidot trīsstūra formā D', kurā uz diagonāles<br />
ir tikai skaitļi 1 un 0. Tātad D'=0 vai D'=1.<br />
Šajā procesā: operācija a) izdala determinanta<br />
vērtību ar kādu nenulles skaitli c, operācija b)<br />
determinanta vērtību nemaina, bet operācijas<br />
c), d) maina determinanta zīmi uz pretējo.<br />
Izpildot visas šīs operācijas apgrieztā secībā,<br />
no D' vērtības (0 vai 1) iegūstam D vērtību.<br />
Šis aprēķinu process beidzas ar trīsstūra matricu, kuras<br />
determinants D' = 1 vai 0 (sk. īpašību 2). Ja operācijas c), d)<br />
tika izmantotas t reizes, tad D' jāpareizina ar (−1) t . Un beidzot,<br />
D' ir jāpareizina ar visiem skaitļiem c, ar kuriem dalījām<br />
operācijās a).<br />
[Piemērs. Det [{1,2,3}, {2,2,0},{3,3,2}] = −4.]<br />
D=∣ 1 2 3<br />
2∣ ∣ 1 2 3<br />
2 2 0 ; (2)-2*(1); (3)-3*(1); D= 0 −2 −6<br />
3 3 0 −3 −7∣ ; (2)/-2;<br />
D<br />
∣ 1 2 3<br />
−2 = 0 1 3<br />
0 −3 −7∣ ; (3)+3*(2); D<br />
∣ 1 2 3<br />
2∣ −2 = 0 1 3 ; (3)/2;<br />
0 0<br />
D<br />
∣ 1 2 3<br />
1∣ (−2)∗2 = 0 1 3 =1 ; tātad D=−4 .]<br />
0 0<br />
Par n x n determinanta rēķināšanas laiku ar Gausa metodi:<br />
tāpat kā n x n vienādojumu sistēmai, vajadzīgas aptuveni 3n 3<br />
operācijas. Salīdzinot ar n!, tas ir ļoti labs rādītājs!<br />
Tātad Gausa metode ir efektīvs veids<br />
determinanta vērtības aprēķināšanai.<br />
Uzlabotā Gausa metode datoram<br />
Grāmatās Jūs redzēsiet mazliet savādāku Gausa metodes<br />
lietojumu determinantiem, kas ļauj ietaupīt daļu no operācijām:<br />
− operāciju a) neizmantojam vispār, pieļaujot, ka determinanta<br />
diagonāles elementi ne vienmēr ir vienādi ar 1;<br />
− operācijā b), kuras mērķis ir ar j-tās rindas atņemšanu no i-tās<br />
panākt, lai determinanta elements a ij<br />
kļūtu vienāds ar nulli:<br />
atņemam no i-tās rindas j-to rindu, pareizinātu ar<br />
a ij<br />
a jj<br />
;<br />
− operācijās c), d), mainot vietām divas rindas vai kolonas,<br />
vienu no tām pareizinām ar −1.<br />
Tādā veidā mēs katrā operācijā iegūstam determinantu, kura<br />
vērtība ir vienāda ar sākotnējā determinanta vērtību.<br />
[Pārliecinieties par to paši.]<br />
Beigās tiek iegūta trīsstūra matrica, kuras determinants ir<br />
diagonāles elementu reizinājums.<br />
[Piemērs. Ar uzlaboto metodi: Det [{1,2,3}, {2,2,0},{3,3,2}] = −4.]<br />
Par Gausa metodi determinantu aprēķinam<br />
parasti sauc tieši šo uzlaboto metodi. Šī metode<br />
ir ērtāka datoram (t.i. programmētājam), bet ne<br />
cilvēkam, kurš aprēķinus veic uz papīra.