Matricu algebra.

Mana personīgā lapa − šeit.
Adrese komentāriem: Karlis.Podnieks@lu.lv
Algebra:
Matricas
Kārlis Podnieks, LU profesors
Lekcijas
This work is licensed under a Creative Commons License and is copyrighted © 2009-2014 by
me, Karlis Podnieks.
Literatūra
[1] E-kursa materiāli (latviešu valodā).
[2] A. G. Kurošs. Vispārīgās algebras kurss. Nauka, Maskava,
1971 (vai cita gada izdevums), piejama tiešsaistē šeit (krievu
valodā).
[3] Matrix Wikipedia – ātram pārskatam, ja tēma jau zināma.
[4] WolframAlpha Wikipedia – aprēķiniem tiešsaistē.
Matricas
Matrica ir tabula, ko raksta lielās apaļās
iekavās (sk. Matrix Wikipedia ):
(a 11 a 12 a 13
a 21 a 22 a 23
a 31 a 32 a 33)
– 3x3 matrica.
( a 11 a 12
a 21 a 22)
– 2x2 matrica.

(a 11
) – 1x1 matrica.
(a 11
a 12
) – 1x2 matrica (vektors – horizontāls).
( a 11
a 21)
– 2 x1 matrica (vektors – vertikāls).
Jēdziens par s x n matricu – s rindas, n kolonas:
(a ij
| i=1..s; j=1..n):
(a 11 a 12 ... a 1n
a 21 a 22 ... a 2n
... ... ... ...
a s1
a s2
... a sn)
Skaitļus a ij
sauc par matricas elementiem.
Elementi a ii
, t.i. a 11
, a 22
, a 33
, ... veido matricas
diagonāli.
n x n matricu sauc par kvadrātisku matricu.
Tās izmanto visvairāk.
s x n lineāru vienādojumu sistēma:
a 11
x 1
+a 12
x 2
+ ... + a 1n
x n
=b 1
;
a 21
x 1
+a 22
x 2
+ ... + a 2n
x n
=b 2
;
a s1
x 1
+a s2
x 2
+ ... + a sn
x n
=b s
sastāv no koeficientu matricas:
...

11 a 12 ... a 1n
A=(a a 21 a 22 ... a 2n
... ... ... ...
a s1
a s2
... a sn)
un brīvo locekļu (vertikālā) vektora:
Piemērs.
x+2y+3z=1,
2x+2y+z=3,
3x+3y+5z=4.
( 1 2 3
Koeficientu matrica: 2 2 1
B=(b 1
b 2
...
b s)
3 3 5)
,
.
brīvo locekļu vektors:
(
Vēsture – sk. http://en.wikipedia.org/wiki/Matrix_(mathematics)
1 3
4)
.
Determinanta ideja bija zināma jau senajiem ķīniešiem (ap mūsu ēras sākumu).
Gabriels Kramers savas formulas publicēja 1750.gadā. Bet matricu kā objektu,
kam ir ne tikai determinants, pirmais sāka pētīt angļu matemātiķis Artūrs Kelijs
(Artur Cayley, 1821-1895), publikācija – 1858.gadā.
Lineārie pārveidojumi (transformācijas)
Tas ir mazliet savādāks matemātiķa skats uz tām pašām
lineārajām vienādojumu sistēmam:
Piemērs:
x+2y+3z=1;

2x+2y+z=3;
3x+3y+5z=4.
( x
Šeit y
z)
ir
koeficientu matrica
(
kaut kādi trīs skaitļi. Vienādojumu sistēmas
1 2 3
2 2 1
3 3 5)
šos
skaitļus pārveido
("transformē") par 3 citiem skaitļiem – vertikālu vektoru:
x+2y+3z,
2x+2y+z,
3x+3y+5z.
( x
Apgrieztais uzdevums: atrast tādus skaitļus y
z)
,
sistēmas matrica pārveido (transformē) par sistēmas brīvajiem
1
4)
3 .
locekļiem – vertikālo vektoru
(
kurus
Atrast šādus skaitļus
nozīmē atrisināt minēto vienādojumu sistēmu.
Katrai matricai atbilst sava lineārā tranformācija (un otrādi).
Vēlāk – lineārās algebras kursā ar šādu skatu uz matricām
nāksies daudz nodarboties.
Kā šī transformēšana notiek
Vektoru skalārais reizinājums

Vektora {2, 3, 4} un vektora {7, 8, 9} skalāro reizinājumu
definē ka skaitli 2∙7+3∙8+4∙9=74. [Kāpēc tas ir interesanti]
Tāpat:
{2, 2, 1}∙{x, y, z} = 2x+2y+z;
{3, 3, 5}∙{x, y, z} = 3x+3y+5z;
{1,2,3}∙{4,5,6} = 1∙4+2∙5+3∙6 = 32.
Reizināt var arī 2-dimensiju un citus vektorus:
{2, 1}∙{x, y} = 2x+y;
{3, 5}∙{x, y} = 3x+5y;
{1,2}∙{3,4} = 1∙3+2∙4 = 11;
{1,2,3,4}∙{5,6,7,8}=1∙5+2∙6+3∙7+4∙8=70.
Matricas reizinājums ar vektoru
1 2
5) 3
( x 2 2 1 pārveido vektoru y
3 3
( z)
Matrica par jaunu
vektoru, ko iegūst, skalāri sareizinot matricas rindas ar
( x z) (
vektoru y
, tā iegūstot vektoru
x+ 2y+ 3z
2x+ 2y+ z
3x+ 3y+ 5z)
.
Matricas veikto pārveidojumu ar vektoru {x, y, z} turpmāk
sauksim par matricas reizināšanu ar vektoru (vektorus te
labāk rakstīt matricām labajā pusē vertikāli):
z) (
x+ 2y+ 3z
= 2x+ 2y+ z ;
3x+ 3y+ 5z)
(
1 2 3
5)( x 2 2 1 y
3 3

(
1 2
3 4)( 5 6) = (
1⋅5+ 2⋅6
3⋅5+ 4⋅6) = ( 17
39) .
Sareizināt matricu A ar (vertikālu) vektoru x nozīmē skalāri
sareizināt katru matricas rindu ar šo vektoru, tādā veidā
iegūstot jaunu (vertikālu) vektoru
y=Ax.
[Matricas kolonu skaitam, protams, ir jāsakrīt, ar vektora komponentu skaitu.]
Tādā veidā 3x3 vienādojumu sistēmā
a 11
x 1
+a 12
x 2
+a 13
x 3
=b 1
;
a 21
x 1
+a 22
x 2
+a 23
x 3
=b 2
;
a 31
x 1
+a 32
x 2
+a 33
x 3
=b 3
mēs redzam:
11 a 12 a 13
koeficientu matricu A=(a a 21
a 22
a 23
a 31
a 32
a 33)
;
nezināmo vektoru x=(x 1
x 2
x 3)
;
brīvo locekļu vektoru b=(b 1
b 2
b 3)
.
Un visu sistēmu tagad varam pierakstīt ļoti īsi:
Ax = b.

Atrisināt šo sistēmu nozīmē atrast vektoru x
tādu, ka reizinājums Ax sakrīt ar b.
Vai atrisinājums būs x = b/A Pagaidām tas ir tikai joks: ko
varētu nozīmēt vektora dalīšana ar matricu
Divu matricu A un B reizinājums AB
Mēs protam sareizināt 3x3 matricu ar vertikālu (t.i. 3x1)
vektoru. Cik tālu mēs šo metodi varam vispārināt Vai pratīsim
sareizināt arī divas matricas A un B
Reizinot AB, princips varētu būt šāds:
a) matricas B kolonas uztveram kā vertikālus
vektorus,
b) katru A rindu skalāri sareizinām ar kārtējo B
kolonu, iegūstot kārtējo reizinājuma AB
kolonu.
Piemērs. A=[{1,2},{3,4}] reizinām ar B=[{5,6},{7,8}].
Reizinot A ar B pirmo kolonu {5,7}, iznāk kolona {1∙5+2∙7, 3∙5+4∙7}, jeb
{19,43}.
Reizinot A ar B otro kolonu {6,8), iznāk kolona {1∙6+2∙8, 3∙6+4∙8}, jeb {22,50}.
Tātad AB = [{19,22},{43,50}]
To pašu var izpildīt arī vienā paņēmienā:
[{1∙5+2∙7, 1∙6+2∙8},{ 3∙5+4∙7, 3∙6+4∙8}] jeb [{19,22},{43,50}]
Bet tas nozīmē, ja lai reizinājums AB sanāktu, tad A rindām un
B kolonām ir jābūt vienāda garuma! T.i. sareizināt A ar
B varēsim tikai tad, ja A būs s x n matrica, bet
B – n x t matrica. Reizinājums AB tad būs s x t
matrica.
Piemērs: 2x3 matricas reizināšana ar 3x4 matricu dod 2x4
matricu.
Secinājums. Kvadrātiskas matricas vienmēr var sareizināt, bet

ne-kvadrātiskas – ne vienmēr.
Formulās tas izskatās šādi:
2x2 gadījumā:
( a 11 a 12
a 21
a 22)( b 11 b 12
b 21
b 22) =
( a 11b 11 + a 12 b 21 a 11 b 12 + a 12 b 22
a 21 b 11 + a 22 b 21 a 21 b 12 + a 22 b 22) .
Ja A = {a ij
| i=1..s; j=1..n}
un B = {b ij
| i=1..n; j=1..t},
tad AB = {c ij
| i=1..s; j=1..t}, kur:
n
c =∑ ij
k=1
a ik b kj
.
Piemēri. a) n×n matricu A reizinām ar vertikālu n×1 vektoru
x. Iegūstam atkal vertikālu n×1 vektoru Ax.
b) Horizontālu 1×n vektoru y reizinām ar n×n matricu A.
Iegūstam atkal horizontālu 1×n vektoru yA.
c) Horizontālu 1×n vektoru x reizinām ar vertikālu n×1
vektoru y. Iegūstam 1×1 matricu (z), kur z ir vektoru x un y
skalārais reizinājums xy.
d) Vertikālu n×1 vektoru x reizinām ar horizontālu 1×n
vektoru y. Iegūstam n×n matricu A=(a ij
) , kur
a ij
=x i
⋅y j .
e) nxn matricas kāpināšana: A 2 , A 3 utt.
Atkal lineārās transformācijas...

Teorēma (matemātikas cienītājiem). Pieņemsim, ka A un B ir
attiecīgi s x n un n x t matricas, kas uzdod lineārus
pārveidojumus L A
un L B
. Tad, izpildot vispirms pārveidojumu
L B
un pēc tam – L A
(tieši tādā secībā!), iegūstam atkal lineāru
pārveidojumu L AB
, ko uzdod matricu reizinājums AB.
Pierādījums (i-iespēja). Matemātikas cienītājiem – ļoti viegls.
Matricu reizināšanas īpašības
Šobrīd matricu reizināšana liekas esam tikai matemātiska
paspēlēšanās...
Un tomēr,
"ja ir reizināšana, tad vajag arī algebru".
Vai matricu reizināšanai piemīt tās pašas īpašības, kas skaitļu
reizināšanai
AB=BA (komutativitāte)
(AB)C=A(BC) (asociativitāte) Šī īpašība ļautu
mums (AB)C, ((AB)C)D vietā rakstīt vienkārši ABC, ABCD.
Vai ir tāda matrica E, kas "uzvedas" kā skaitlis
1 (x∙1=x): A∙E=A
Vai matricas var arī dalīt: ja AX=B, tad
X=B/A
Teorēma. Matricu reizināšana NAV
komutatīva operācija.
Jo AB=BA tikai ļoti retos gadījumos!
Piemēri [pārliecinieties paši]:
Komutējošas matricas (AB=BA) – ļoti liels retums, piemēram:
[{1,2},{3,4}]∙[{2,2}, {3,5}] = [{8,12}, {18,26}]
[{2,2}, {3,5}]∙[{1,2},{3,4}] = [{8,12}, {18,26}]

Nekomutējošas matricas (AB≠BA) – parasta parādība, nejauši izvēlētas matricas
parasti nekomutē, piemēram:
[{1,2},{3,4}]∙[{5,6},{7,8}] = [{19,22},{43,50}]
[{5,6},{7,8}][{1,2},{3,4}] = [{23,34},{31,46}]
Teorēma. Matricu reizināšana IR asociatīva
operācija: (AB)C=A(BC).
Pierādījums (i-iespēja). Matemātikas cienītājiem – ļoti viegls.
Tātad varam rakstīt bez iekavām: ABC, ABCD utt.
Kādiem te jābūt matricu izmēriem (s x n)∙(n x t)∙(t x m) – tad
sanāk s x m matrica! [pārliecinieties paši]
Teorēma. (AB) T =B T A T .
Pierādījums (i-iespēja). Matemātikas cienītājiem – ļoti viegls.
Sapnis par matricu dalīšanu – vēlāk.
Vienības matrica E n
Skaitļiem: x∙1=x. Bet vai ir arī tāda matrica:
AE=EA=A
Kāpēc te rakstām AE=EA=A, nevis tikai AE=A Tāpēc, ka
matricu reizināšana nav komutatīva: AE=EA mums neviens
iepriekš negarantē!
Ar E n
apzīmēsim n x n matricu, kurai uz
diagonāles visi elementi ir 1, bet pārējie
elementi – 0.
=( =(
Piemēri. E 1
= (1); E 1 0
1) 2
0 , E 3
1 0 0
0 1 0
0 0 1)
.
Pārliecināsimies, ka tiešām, AE 2
=E 2
A=A:
[{1,0},{0,1}]∙[{a,b},{c,d}] = [{a,b},{c,d}].

Vispārīgais gadījums:
(1 0 ... 0
1)
E n
= { e ij
| i=1..n; j=1..n}=
0 1 ... 0
,
... ... ... ...
0 0 ...
kur e ii
=1, bet ja i≠j, tad e ij
=0.
Teorēma. E n
ir vienīgā n×n matrica, kurai
piemīt vieninieka īpašība: visām n×n matricām
A,
AE n
= E n
A = A.
[T.i. E n
tiešām "uzvedas" kā skaitlis 1, tāpēc sauksim to par
vienības matricu. Saprotams, katram skaitlim n tā ir sava...]
Pierādījums. a) E n
tiešām piemīt īpašība AE n
= E n
A = A – to ir viegli pārbaudīt.
b) No otras puses: pierādīsim, ka ja visām A, AE=A, tad E=E n
. Tiešām, ņemam
A=E n
,tad E n
E=E n
un tā kā E n
E=E, tad E=E n
.
Matricu reizinājuma determinants
Te, protams, runa ir tikai par n x n matricām.
Fakts. det(E n
)=1. [Pārliecināsimies.]
Teorēma. Matricu reizinājuma determinants ir
vienāds ar atsevišķo matricu determinantu
reizinājumu:
det(AB) = det(A)det(B);
det(ABC) = det(A)det(B)det(C); utt.
Dažās grāmatās to raksta tā: |AB| = |A| |B|; ...

Pierādījums. 2x2 gadījumam – viegls. Vispārīgais gadījums –
grūtāks, i-iespējai – sk. e-kursa materiālus.
Piemērs. [{1,0},{2,3}]∙[{−1,2},{3,2}].
Ja det(A)=0, tad matricu A sauc par singulāru
matricu (citos tekstos − par deģenerētu matricu).
Ja det(A)≠0, tad matricu A sauc par
nesingulāru matricu (citos tekstos – par nedeģenerētu
matricu). Sakars ar Kramera formulām...
Secinājumi no teorēmas par matricu reizinājuma determinantu:
a) Reizinājums ABCD... ir singulāra matrica
tad un tikai tad, ja kaut viena no matricām A, B,
C, D, ... ir singulāra.
b) Reizinājums ABCD... ir nesingulāra matrica
tad un tikai tad, ja visas matricas A, B, C, D, ...
ir nesingulāras.
Inversā (apgrieztā) matrica A −1
Sk. arī Invertible matrix Wikipedia .
Ķeramies pie matricu dalīšanas:
Tā kā matricu reizināšana nav komutatīva, tad, vispārīgajā
gadījumā, AX=B un YA=B ir dažādi vienādojumi. Arī to
atrisinājumi (ja tādi eksistētu), varētu būt dažādi. Tātad mums
būs
"kreisās puses dalīšana" X=A\B (no AX=B) un
"labās puses dalīšana" Y=B/A (no YA=B.
Skaitļiem b un a dalījumu b/a var iegūt, reizinot b ar skaitļa a
1
apgriezto skaitli
a jeb b
a−1 :
a =ba−1 .
Apgrieztā skaitļa a −1 galvenā īpašība ir: aa −1 =1.

Līdzīgi mēs varētu mēģināt rīkoties ar
matricām – vispirms centīsimies matricai A
atrast inverso matricu A −1 ar īpašību:
A −1 A=AA −1 =E n
.
[Kāpēc prasām, lai A −1 A=AA −1 ]
Ja mums tas izdosies, tad, lai atrisinātu vienādojumu AX=B,
reizināsim tā abas puses ar A −1 "no kreisās":
A −1 AX=A −1 B,
E n
X=A −1 B,
X=A −1 B.
Tātad "kreisās puses dalījums" būs jādefinē kā A\B = A −1 B.
Un lai atrisinātu vienādojumu YA=B, reizinām tā abas puses ar
A −1 "no labās":
YAA −1 =BA −1 ,
YE n
=BA −1 ,
Y=BA −1 .
Tātad "labās puses dalījums" būs jādefinē kā B/A = BA −1 .
Bet tad ir jāievēro, ka:
det(A −1 A)=det(A −1 )det(A)=det(E n
)=1.
Secinājums. Ja det(A)=0, t.i. ja A ir singulāra
matrica, tad inversā matrica A −1 neeksistē. Ar
singulāru matricu nevar "dalīt", tas būtu kaut kas līdzīgs
dalīšanai ar nulli.
Bet nesingulārai matricai A, kam det (A)≠0 Vai tad A −1

varēsim iegūt vienmēr Izrādās – varēsim!
Ja det ( A)≠0 , tad
inversā matrica A −1 eksistē!
Atcerēsimies: par n×n matricas A elementa a ij
algebrisko
papildinājumu (cofactor) mēs nosaucām skaitli
C ij
=(−1) i+ j det (M ij
) ,
kur M ij
ir (n−1)×(n−1) matrica, ko iegūst no matricas A,
izsvītrojot i-to rindu un j-to kolonu.
No skaitļiem C ij
var sastādīt matricu
A C = (C ij
| i, j=1..n),
ko sauc par A kofaktoru matricu (matrix of
cofactors).
Piemēri: a)
11 a 12 a 13
11 C 12 C 13
A=(a a 21
a 22
a 23
a 31
a 32
a 33)
; A =(C C C 21
C 22
C 23
C 31
C 32
C 33)
.
b) A=( 1 2
3 4) ; A C =(
4 −3
−2 1 ) .
Aplūkosim A C transponēto matricu (A C ) T .
Piemēra turpinājums: ( A C ) T =(
4 −2
) −3 1 ;

A( A C ) T =( A C ) T A=( −2 0
0 −2) .
Kas ir −2 Tas ir det(A).
Tātad matrica (A C ) T pēc savām īpašībām ir ļoti
tuvu iecerētajai inversajai matricai A −1 .
[Mācību grāmatās A C transponēto matricu (A C ) T parasti sauc
par A pievienoto matricu (adjugate matrix) un apzīmē ar adj(A)
vai A*.]
Teorēma. Reizinot A(A C ) T vai (A C ) T A, iegūst
matricu, kurai visi elementi ir 0, izņemot
diagonāles elementus, kas ir vienādi ar det(A).
[Mācību grāmatās šī teorēma skan tā: Reizinot AA * vai A * A,
iegūst matricu, kurai visi elementi ir 0, izņemot diagonāles
elementus, kas ir vienādi ar det(A).]
Pierādījums (i-iespēja). Matricas A(A C ) T elementu apzīmēsim ar p ij
:
n
p ij
=∑ a ik
C jk
k=1
(pie C ir jk nevis kj, jo (A C ) T ir A C transponētā matrica).
Diagonāles elementi:
(saskaņā ar Laplasa teorēmu).
n
p ii =∑ a ik C ik =det (A)
k =1
Bet ārpus diagonāles − ja i≠j Izrādās, ka tad p ij
= 0. Tiešām, matricā A j-tās
rindas vietā ieliksim i-to rindu. Iegūtās matricas A' determinants det(A')=0, jo tā
satur divas vienādas rindas. No otras puses, saskaņā ar Laplasa teorēmu, A' j-ai
rindai:
n
det( A')=∑
k=1
n
a ' jk C ' jk =∑ a ik C jk = p ij
.
k=1
(Te mēs ievērojām, ka a' jk
=a ik
un C' jk
=C jk
, jo matricas j-tā rinda C jk
vērtības

neietekmē.) Tātad p ij
=0.
Iznāk, ka matricai A(A C ) T visi elementi ir 0, izņemot diagonāles elementus, kas ir
vienādi ar det(A), ko arī vajadzēja pierādīt.
Līdzīgā mēs varam aplūkot otru reizinājumu (A C ) T A, apzīmējot tā elementu ar
q ij
:
n
q ij =∑ C ki a kj
k =1
(pie C ir ki nevis ik, jo (A C ) T ir A C transponētā matrica).
Tālākie spriedumi ir līdzīgi iepriekšējiem, tikai rindu vietā aplūkojam kolonas.
Teorēma pierādīta.
Secinājums. Ja det(A)≠0, tad par inverso
matricu A −1 varam ņemt matricu
1
det ( A) ( AC ) T ,
t.i. matricu (A C ) T , kuras visi elementi ir izdalīti
ar det(A).
[Mācību grāmatās šis secinājums skan tā: Ja det(A)≠0, tad par
inverso matricu A −1 varam ņemt matricu
Piemēra turpinājums: ( A C ) T =(
det(A)=−2. Tātad A −1 =(
1
det (A) adj ( A) .]
4 −2
) −3 1 ;
−2 1
2)
3
− 1 .
2
Pierādījums. Ja reizinājumā AB matricas B visus elementus izdala ar skaitli c,
tad arī visi AB elementi "izdalās" ar c. Tātad saskaņā ar tikko pierādīto teorēmu,
AA −1 =E n
. Un otrādi: ja reizinājumā BA matricas B visus elementus izdala ar
skaitli c, tad arī visi BA elementi "izdalās" ar c. Tātad A −1 A=E n
. Secinājums
pierādīts.

Vēl mums ir jāpārliecinās, ka inversā matrica var būt tikai
viena:
Teorēma. Ja det(A)≠0 un AX=E n
, tad
X =A −1 = 1
det (A) ( AC ) T
. Tātad:
a) A −1 = 1
det( A) ( AC ) T
ir matricas A vienīgā inversā matrica.
b) Inversā matrica A −1 ir vienādojuma AX=E n
, vienīgais
atrisinājums.
Pierādījums. Tā kā AX =E n , tad no vienas puses,
bet no otras puses,
A −1 ( AX )=A −1 E n
=A −1 ,
A −1 ( AX )=( A −1 A) X =E n
X = X ,
tātad X = A −1 . Q.E.D.
Inversās matricas aprēķināšana
Viena metode mums jau ir. Ja dota matrica A, tad vispirms
jāaprēķina det(A).
Ja det(A)=0, tad inversā matrica A −1 neeksistē.
Ja det(A)≠0, tad jāizveido kofaktoru matrica A C , tā jātransponē
par (A C ) T , un visi tās elementi jāizdala ar det(A). Tā arī būs
inversā matrica A −1 .
WolframAlpha šo uzdevumu risina šādā sintaksē:
invert [{3,2},{4,3}].
Piemēri:
A = [{3,2},{4,3}], A −1 = [{3,−2},{−4, 3}];
Kāpēc šeit A −1 ir tikai veseli skaitļi Tāpēc, ka det(A)=1.
A = [{2,−1,0},{−1,1,1},{2,−1,1}], A −1 = [{2,1,−1},{3,2,−2},{−1,0,1}].
invert [{2,−1,0},{−1,1,2},{2,−1,1}]

invert [{2,−1,0},{−1,1,3},{2,−1,1}]
invert [{2,−1,0},{−1,1,4},{2,−1,1}]
Cik sarežģīti ir aprēķināt A −1
Gausa-Jordana metode
Tikko aprakstītā "kofaktoru metode" ir ļoti laba 2x2
matricām.
Bet tā nav praktiski lietojama jau 4x4 matricām (ja rēķinām
"ar rokām", bez datora). Tiešām, nxn matricai A ir jāaprēķina
vispirms algebriskie papildinājumi C ij
skaitā n 2 . Tie ir
(n−1)x(n−1) determinanti, katram no tiem aprēķins ar Gausa
metodi izmanto Cn 3 operāciju, tātad kopā viss process izmanto
Cn 5 operāciju.
Izrādās, ka (atkal) daudz labāka ir Gausa
metode, tiesa − tā ir nedaudz jāpapildina, un tad
to sauc par Gauss-Jordan elimination – sk.
http://en.wikipedia.org/wiki/Gauss_Jordan_elimination. Ar šo
metodi inverso matricu var aprēķināt, izmantojot Cn 3
operācijas.
Metodes papildinājums radās 1888.gadā, un tam ir divi autori:
1) Vācietis, ģeodēzists Wilhelm Jordan (1842-1899).
2) Abats no Luksemburgas Bernard Isidor Clasen (1829-1902).
Sk. viņa biogrāfiju (franču valodā).
Ideja: ja det(A)≠0, tad inversā matrica A −1 ir
vienādojuma AX=E n
vienīgais atrisinājums.
Tiešām, rezinām šo vienādojumu no kreisās puses ar A −1 :
A −1 AX=A −1 E n
;
E n
X=A −1 ;

X=A −1 .
Tātad, lai atrastu matricas X ( t.i. A −1 ) visas n kolonas xj, ir
katrai matricas E n
kolonai b j
jāatrisina lineāru vienādojumu
sistēma Ax j
=b j
, un visi vektori x j
ir jāsaliek matricā A −1 .
Gausa-Jordana metode šo n sistēmu (tām ir kopīga koeficientu
matrica A) risināšanu apvieno vienā procesā.
Piemēru 3x3 matricai A sk. http://en.wikipedia.org/wiki/Gauss-
Jordan_elimination.
Piemērs 2x2: A=[{1,2},{3,4}]; pierakstām A labajā pusē E 2
:
[{1,2,1,0},{3,4,0,1}]; dalām/reizinām rindas ar skaitļiem,
saskaitām/atņemam rindas, kamēr iegūstam E 2
kreisajā pusē:
[{1,0,−2,1},{0,1,3/2,−1/2}]; tad labajā pusē esam ieguvuši
A −1 =[{−2,1},{3/2,−1/2}].
Uzdevums (i-iespēja): pierādiet, ka Gausa-Jordana metode
tiešām vienmēr dod inverso matricu.
Saskaitot, cik operāciju ir jāizpilda, lai nxn matricai A
aprēķinātu A −1 , Gausa-Jordana metodei sanāk kopā Cn 3
operāciju (kur C − konstante).
Vēl vairāk par to sk. Computational complexity of
mathematical operations Wikipedia .
Inverso matricu īpašības un lietojumi
Teorēma. (AB) −1 = B −1 A −1 . [Matricu reizināšana nav
komutatīva!]
Pierādījums. (AB)(B −1 A −1 ) = A(BB −1 )A −1 = (AE)A −1 =
AA −1 = E. Tātad saskaņā ar mūsu teorēmu par inversās
matricas vienīgumu: B −1 A −1 = (AB) −1 .
Atcerēsimies tagad savu sapni par matricu dalīšanu...

Matricu vienādojumu risināšana
(jeb matricu dalīšana, A, X, B − n x n matricas):
ja AX=B un det(A)≠0, tad X = A −1 B.
ja XA=B un det(A)≠0, tad X = BA −1 .
Abos gadījumos X ir vienīgais atrisinājums.
[Bet ja det(A)=0]
Pierādījums. Viegls, sk. augstāk.
Lineāru vienādojumu sistēmu risināšana,
izmantojot inverso matricu (tā mums ir jau trešā
metode − līdzās Gausa un Kramera metodēm):
Ax=b,
kur A ir n x n matrica, x un b − vertikāli n x 1
vektori.
Ja det(A)≠0, tad vektors x=A −1 b ir sistēmas
vienīgais atrisinājums.
Pierādījums. Viegls.
Piemērs. 3x+2y=1; 4x+3y=1; A=[{3,2},{4,3}]; b={1,1};
A −1 =[{3,−2},{−4, 3}]; A −1 b={1,−1}; x=1; y=−1.
Šī metode "neatmaksājas", ja mums ir jārisina tikai viena
atsevišķa vienādojumu sistēma, bet tā ir sevišķi efektīva, ja ir
jārisina vairākas sistēmas Ax=b ar vienu un to pašu
koeficientu matricu A, bet ar dažādiem brīvo locekļu vektoriem
b (jo vairāk sistēmu, jo lielāks efekts):
A −1 ir jāaprēķina tikai vienreiz, tālāk – reizinājumus A −1 b
visiem dažādajiem b pēc kārtas aprēķināt jau ir daudz vieglāk.

Matricu reizināšana ar skaitli
Ja jau esam tikuši galā ar samērā sarežģīto matricu
reizināšanu...
Kā būtu jādefinē matricas A reizinājums ar
skaitli c Protams, visi elementi a ij
būtu
jāpareizina ar c. Iegūto matricu apzīmēsim ar
cA.
Piemērs: 2∙[{1,2},{3,4}] = [{2,4},{6,8}].
Reizināt ar skaitli var jebkuru izmēru matricu.
Šīs operācijas īpašības:
c(d(A) = (cd)A;
1∙A = A.
Jau interesantāk – kā reizināšana ar skaitli “uzvedas” pret
matricu reizināšanu
Teorēma. (cA)B = A(cB) = c(AB).
Pierādījums.
n
c∑
k=1
n
a ik b kj =∑
k=1
n
(ca ik )b kj =∑ a ik (cb kj )
k=1
[Šo īpašību jau izmantojām agrāk: A −1 = 1
det ( A) ( AC ) T .]
Teorēma. Ja A ir n x n matrica, tad:
Pierādījums. Viegls.
det(cA)=c n det ( A) .
Matricu saskaitīšana
Kā nodefinēt matricu A, B summu A+B
Ja gribam, lai

A+A=2A;
A+A+A=3A
utt.,
tad matricu A, B summa A+B mums ir
jādefinē, saskaitot attiecīgos elementus:
c ij
=a ij
+b ij
.
Saskaitīt var tikai vienādu izmēru matricas.
Piemērs: [{1,2},{3,4}] + [{2,1},{4,3}] = [{3,3},{7,7}].
Šīs operācijas īpašības:
(A+B)+C=A+(B+C);
A+B=B+A;
(matricu saskaitīšana IR komutatīva!)
c(A+B) = cA + cB;
(c+d)A = cA +dA;
Bet kā matricu saskaitīšana “uzvedas” pret matricu
reizināšanu
Teorēma. Distributīvie likumi: [kāpēc divi dažādi]
(A+B)C = AC + BC;
C(A+B) = CA + CB.
Pierādījums.
n
∑
k =1
n
∑
k =1
Nulles matrica
n
(a ik + b ik )c kj =∑
k=1
n
c ik (a kj +b kj )=∑
k =1
n
a ik c kj + ∑ b ik c kj
;
k=1
n
c ik a kj +∑ c ik b kj .
k=1

m×n matricai X piemīt nulles īpašība, ja
jebkurai m×n matricai A: A+X=A.
O mn
− m x n matrica, kurā visi elementi ir 0.
O mn
piemīt nulles īpašība: A+O mn
=A jebkurai
m x n matricai A.
Un tā ir vienīgā matrica, kam piemīt nulles īpašība: ja A+X=A
kaut vienai m x n matricai A, tad X=O mn
. [Pierādiet to.]
Secinājums (vēlāk sapratīsim, ko tas nozīmē).
n×n matricas veido gredzenu, bet neveido
lauku.
Mana personīgā lapa − šeit.
Adrese komentāriem: Karlis.Podnieks@lu.lv