Create successful ePaper yourself
Turn your PDF publications into a flip-book with our unique Google optimized e-Paper software.
tikai grupu aksiomas, neko citu!<br />
3. Katram a eksistē apgrieztais elements b:<br />
ab =ba=1.<br />
Varam pierādīt, ka katram a apgrieztais elements ir tikai viens<br />
(tāpēc varam apzīmēt to ar a −1 ). [Pierādīsim: ja ax=xa=1 <strong>un</strong><br />
ay=1, tad axy=xay=1y=y, bet arī xay=x(ay)=x1=x, tātad x=y.]<br />
Nekomutatīvā grupā mums ir divas dalīšanas operācijas:<br />
labējā: ja xa=b, tad rakstām: x=b/a;<br />
kreisā: ja ax=b, tad rakstām: x=a\b<br />
b/a var izpildīt kā b*a −1 [tiešām, (b*a −1 )a = b*(a −1 a) =<br />
b*1=b].<br />
a\b var izpildīt kā a −1 *b.<br />
Tagad viegli pierādīt, ka katrai no abām dalīšanām rezultāts ir<br />
viennozīmīgs. [Pierādiet paši.]<br />
Komutatīvā grupā abas dalīšanas sakrīt.<br />
Tagad sajutāt, ko nozīmē pierādīt teorēmas par grupām<br />
Teorēma: a/a=a\a=1. [Pierādiet paši.]<br />
Komutatīvā grupā abas dalīšanas<br />
Teorēma: (ab) −1 =b −1 a −1 , (abc) −1 =c −1 b −1 a −1<br />
utt. [Pierādiet paši.]<br />
Grupu piemēri<br />
Triviālā grupa {g}: gg=g. Visas <strong>grupas</strong> īpašības izpildās. Tā ir<br />
komutatīva grupa.<br />
Veselie skaitļi ar saskaitīšanu: xy vietā ir x+y,<br />
1 vietā 0, x −1 vietā −x. Visas <strong>grupas</strong> īpašības<br />
izpildās. Tā ir komutatīva grupa.<br />
Veselie skaitļi ar reizināšanu – nav grupa.<br />
Racionālie skaitļi ar reizināšanu – nav grupa (nullei nav