Lineāru vienādojumu sistēmas. Gausa metode.

Mana personīgā lapa – šeit.
Adrese komentāriem: Karlis.Podnieks@lu.lv
Algebra:
Lineāru vienādojumu
sistēmas
Kārlis Podnieks, LU profesors
Lekcijas
This work is licensed under a Creative Commons License and is copyrighted © 2009-2014 by
me, Karlis Podnieks.
Literatūra
[1] E-kursa materiāli (latviešu valodā).
[2] A. G. Kurošs. Vispārīgās algebras kurss. Nauka, Maskava,
1971 (vai cita gada izdevums). Pieejama tiešsaistē šeit (krievu
valodā).
[3] System of linear equations Wikipedia – ātram pārskatam, ja
tēma jau zināma.
[4] WolframAlpha Wikipedia – aprēķiniem tiešsaistē.
Divi vienādojumi ar diviem nezināmajiem
Visa tā lielā teorija, ko tūlīt studēsim, ir izaugusi no ļoti
vienkārša uzdevuma.
Atcerēsimies skolas laiku:
2x+3y=5
2x−3y=1
Trīs metodes (var iznākt daļskaitļi):
a) Metode: jautājiet WolframAlpha:
{2x+3y=5, 2x−3y=1}
{x+2y+3z=1, 2x+2y+z=3, 3x+3y+5z=4}
b) "Izteikt x ar y":
x= 5−3y
2
;(5−3y)−3y=1 ; 4=6y ; y= 2 3 ; x= 3 2 .
c) "Saskaitīt, lai pazūd": 4x=6 ; x= 3 2
Bet kāda tam jēga
2x −1
; y= = 2 3 3 .
Kāpēc to ir vērts zināt un prast
1) Lineārās optimizācijas uzdevumi.
Piemērs: no 50L spirta un 90L ūdens taisām divus maisījumus – 40% un 20%.
Abu cena ir 1 Ls par 1L. Kā jārīkojas, lai nopelnītu visvairāk
Apzīmējam: x – pirmā maisījuma daudzums litros, y – otrā. Tātad mums ir jāatrod
skaitļi x, y ar vislielāko x+y, kam izpildās divi nosacījumi:
0.4x+0.2y≤50;
0.6x+0.8y≤90.
[Bilde no WolframAlpha: {0.4x+0.2y=50, 0.6x+0.8y=90}, ar taisnes
x+y=C bīdīšanu.]
Uzdevuma atrisinājums būs punkts, kurā krustojas taisnes 0.4x+0.2y=50,
0.6x+0.8y=90, t.i. lineāru vienādojumu sistēmas atrisinājums.
Reālos optimizācijas uzdevumos mainīgo skaits ir lielāks – pat simtos un
tūkstošos. Tad ir jārisina attiecīgi lielākas vienādojumu sistēmas.
2) Dator-modelēšanas uzdevumi.
Piemērs: PKikusts.EXE – programma, kas modelē gāzes molekulu kustību. Kā
tādu uzrakstīt
Trīs situācijas (atceramies skolu...)
x+5y=1
x+5y=3
Nav neviena atrisinājuma. Kāpēc Sauksim to par
nesavietojamu (pretrunīgu, nekonsistentu) vienādojumu
sistēmu.
2x+3y=5
2x−3y=1
Ir tikai viens atrisinājums: x= 3 2 ; y=2 3
. Sauksim to par
savietojamu un noteiktu sistēmu.

3x−y=1
6x−2y=2
Bezgalīgi daudz atrisinājumu: x=t ; y=3t −1 . Kāpēc
Sauksim to par savietojamu un nenoteiktu sistēmu. Pavisam
nenoteikta jau nu tā nav...
3 vienādojumi, 3 nezināmie
(a) x+2y+3z=1;
(b) 2x+2y+z=3;
(c) 3x+3y+5z=4.
Metode: jautājiet WolframAlpha:
{x+2y+3z=1, 2x+2y+z=3, 3x+3y+5z=4}
Metode "izteikt un ievietot"...
Metode "izdalīt, pareizināt un atņemt" – izslēdzam vispirms x,
tad – y:
Izslēdzam x:
d) (b−2a) −2y−5z=1;
e) (c−3a) −3y−4z=1.
Izslēdzam y:
f) (d/−2) y+ 5 2 z=− 1 2 ;
g) (e+3f) (−4+3⋅ 5 2 ) z=1− 3 2 ; jeb 7
2 z=− 1 2 ;
h) (g/(7/2)) z=− 1 7 ;
y=− 1 2 − 5 2 z=− 1 7 ;
x=1 −2y −3z= 12
7 .
Šo metodi sauc arī par Gausa metodi jeb
izslēgšanas metodi (Gaussian Elimination). Šo metodi ir
visvieglāk vispārināt, t.i. piemērot 4 un vairāku vienādojumu
sistēmām – un “iemācīt” datoram!
Carl Friedrich Gauss Wikipedia (1777-1855) – viens no visu laiku
izcilākajiem matemātiķiem.
Droši vien, pats Kārlis Frīdrihs Gauss nemaz tik ļoti nepriecātos, uzzinot, ka
viņam piedēvē tik vienkāršu metodi, kas ķīniešu matemātiķiem bija zināma jau 2.
gs. pmē. (sk. Gaussian Elimination Wikipedia )
Gausa metode:
uzlabotā tehnikā uz tāfeles
Risinot sistēmas ar lielāku nezināmo skaitu, vienādojumu
pārrakstīšana kļūst apgrūtinoša. Taču bez tās var iztikt:
(a) x+2y+3z=1;
(b) 2x+2y+z=3;
(c) 3x+3y+5z=4.
1 2 3 1
2 2 1 3
3 3 5 4
−> atņemam (b)−2(a) un (c)−3(a)
1 2 3 1
0 −2 −5 1
0 −3 −4 1
> dalām (b) ar −2
1 2 3 1
0 1 5/2 −1/2
0 −3 −4 1
> piekaitām (c)+3(b)
1 2 3 1
0 1 5/2 −1/2
0 0 7/2 −1/2

dalām (c) ar 7/2
1 2 3 1
0 1 5/2 −1/2
0 0 1 −1/7
Ievērojiet, ka iegūtā tabula ir “trīsstūrveida”. Esam ieguvuši
ekvivalentu sistēmu:
x+ 2y+ 3z=1 ;
y+ 5 2 z=− 1 2 ;
z=− 1 7 ,
no kuras viegli atrodam nezināmo vērtības:
z=− 1 7 ;
y=− 1 2 − 5 2 z=− 1 7 ;
x=1 −2y −3z= 12
7 .
s vienādojumi, n nezināmie
Kā vispārīgā veidā pierakstīt s lineārus vienādojumus ar n
nezināmajiem
ax+by=c;
dx+ey=f.
Būs jāpierod pie jauniem apzīmējumiem:
a 11
x 1
+a 12
x 2
=b 1
;
a 21
x 1
+a 22
x 2
=b 2
.
Lasām "a viens viens", nevis
"a vienpadsmit", utt.
a 11
x 1
+a 12
x 2
+a 13
x 3
=b 1
;
a 21
x 1
+a 22
x 2
+a 23
x 3
=b 2
;
a 31
x 1
+a 32
x 2
+a 33
x 3
=b 3
.
Daži no koeficientiem var būt nulles, piemēram:
a 11
x 1
+a 12
x 2
+a 13
x 3
=b 1
;
.......... a 22
x 2
+a 23
x 3
=b 2
;
.................... a 33
x 3
=b 3
.
Šeit a 21
= a 31
= a 32
= 0.
Sekojot šiem paraugiem, uzrakstiet paši vispārīgu 4
vienādojumu sistēmu ar 4 nezināmajiem.
Tagad vispārīgais gadījums –
s vienādojumi, n nezināmie:
a 11
x 1
+a 12
x 2
+...+a 1 n
x n
=b 1 ;
a 21
x 1
+a 22
x 2
+...+a 2n
x n
=b 2 ;
...
a s1
x 1
+a s2
x 2
+...+a sn
x n
=b s .
Koeficients a ij
(i-tais vienādojums, j-ais koeficients – pie x j
).
Brīvais loceklis b i .
Pie šiem apzīmējumiem būs jāpierod.
Gausa metode vispārīgajā gadījumā
Kā to izstāstīt Un kā to noprogrammēt – ja programmai iedod
s x n masīvu ar koeficientiem A[s, n] un brīvo locekļu masīvu
B[s]
Varētu mēģināt šādi:
No piemēriem mēs jau zinām, ka Gausa metode ir veidota no
šādiem elementāriem soļiem:
a) Izdalām kāda vienādojuma abas puses ar

kādu skaitli C (kas nav nulle).
b) No viena vienādojuma V 1
atņemam otru V 2
,
pareizinātu ar kādu skaitli D, un rezultātu
V 1
− D⋅V 2
liekam V 1
vietā.
Ko darīt, ja šajā operācijā rodas vienādojums 0=0
Piemērs: x+y=1; 2x+2y=2.
Tad vienādojumu V 1
vienkārši atmetam. Kāpēc tā Piemērs:
x+y=1; 2x+2y=2.
Ko darīt, ja šajā operācijā rodas vienādojums 0=1 vai tml.
Piemērs: x+y=1; 2x+2y=3.
Tad vienādojumi V 1
un V 2
nav savietojami, un tāpēc nav
savietojama arī visa sistēma. Tad tālāk vairāk nekas nav jādara.
Dažos gadījumos nākas izmantot vēl divas vienkāršas
operācijas:
c) Divus vienādojumus apmainīt vietām.
d) Divus nezināmos apmainīt vietām.
Piemērs (0x uzdevumā parasti nemaz neraksta, bet programmā
šis koeficients 0 būtu jāglabā):
0x+2y+3z=4,
2x+3y+4z=5,
3x+4y+5z=6.
Divi varianti: vai nu (operācija c) pārvietojam vienādojumus:
2x+3y+4z=5,
0x+2y+3z=4,
3x+4y+5z=6,
vai arī (operācija d) pārvietojam nezināmos:
2y+0x+3z=4,
3y+2x+4z=5,
4y+3x+5z=6.
[Vienādojumu sistēmās visos vienādojumos nezināmos ir
pieņemts sakārtot vienādā secībā.]
Ar operāciju c) un d) palīdzību mēs vienmēr varam panākt, ka
sistēmas kreisajā augšējā stūrī ir nezināmais ar
nenulles koeficientu. Tālāk, šim koeficientam lietosim
operāciju a).
Operācijās a), b), c), d) vienādojumu skaits
sistēmā nemainās vai samazinās.
Vienādojumu sistēmas atrisinājums ir sakārtota skaitļu virkne:
(c 1
, c 2
, ..., c n
), ko ieliekot nezināmo (x 1
, x 2
, ..., x n
) vietā, visi s
vienādojumi izpildās.
Jēdziens par ekvivalentām vienādojumu sistēmām (abām der
vai neder vieni un tie paši atrisinājumi).
Lemma. Ja lineāru vienādojumu sistēma S 2
ir
iegūta no sistēmas S 1
ar operāciju a), b), c), d)
palīdzību (jebkurā secībā, arī ar
atkārtojumiem), tad abas sistēmas ir
ekvivalentas.
Pierādījums. Matemātikas cienītājiem – pavisam viegls.
Trīsstūrveida un trapecveida sistēmas.
Piemērs trīsstūrveida sistēmai (visi diagonāles
koeficienti ir 1, sistēmas pēdējā vienādojumā ir viens
nezināmais):
x 1
+a 12
x 2
+a 13
x 3
=b 1
; ← a 11
= 1;
.......... x 2
+a 23
x 3
=b 2
; ← a 21
= 0; a 22
= 1;
.................... x 3
=b 3
; ← a 31
=a 32
= 0; a 33
= 1.

x+2y+3z=7;
0x+y+2z=4;
0x+0y+z=3.
Trīsstūrveida sistēmai ir tieši viens atrisinājums, ko var ļoti
viegli aprēķināt.
Piemērā: z=3; y=...; x=...
Piemērs trapecveida sistēmai (visi diagonāles
koeficienti ir 1, bet sistēmas pēdējā vienādojumā ir vairāk par
vienu nezināmo):
x 1
+a 12
x 2
+a 13
x 3
=b 1
; ← a 11
= 1;
.......... x 2
+a 23
x 3
=b 2
; ← a 21
= 0; a 22
= 1.
Pat ja a 23
= 0, tad x 3
varam ņemt patvaļīgu vērtību, bet x 2
var būt tikai viena
vērtība b 2
. Tātad arī šai gadījumā sistēmai būs bezgalīgi daudz atrisinājumu.
x+2y+3z=7;
0x+y+2z=4 (z vērtību varam izvēlēties patvalīgi).
Trapecveida sistēmai jebkurā gadījumā ir bezgalīgi daudz
atrisinājumu, ko var viegli aprēķināt.
Trīsstūrveida un trapecveida sistēmu apvienotā formālā
definīcija – ABĀM:
a) visiem i, j, ja i>j (piemēram, a s1
), tad koeficients a ij
=0;
b) visiem i: a ii
=1.
Kā Gausa metode darbojas vispārīgajā
gadījumā Kā to noprogrammēt
Rakstām programmu datoram:
[Kā vienādojumus glabāt Koeficientus – kā divdimensiju masīvu A[s, n], brīvos
locekļus – kā viendimensiju masīvu B[s].]
Vispirms, ja vajag, vienādojumus pārkārtojam: sākumā ar operācijām c) vai d)
izbīdām kreisajā augšējā stūrī vienādojumu vai nezināmo x i
, pie kura koeficients
nav nulle. (Pārkārtošanas datus vajag saglabāt, lai beigās varētu atjaunot
nezināmo secību.)
Tad pirmajam vienādojumam izpildām operāciju a), lai koeficients pie x i
kļūtu
vienāds ar 1.
Tad vairākkārt izpildām operāciju b), izslēdzot x i
no otrā, trešā utt.
vienādojumiem. Pēc tam pirmo vienādojumu “atliekam malā”.
Tālāk, ja vajag, ar operācijam c), d) izbīdām diagonāles otrajā vietā vienādojumu
vai nezināmo x j
, pie kura koeficients nav nulle.
Utt.
Katrā tādā solī vienādojumu un nezināmo skaits samazinās par 1. Tā turpinām,
līdz vienādojumi un/vai nezināmie izbeidzas, un operācijas a), b), c), d) lietot
vairs nav iespējams.
Kāds var būt Gausa metodes rezultāts
1 b
0 1 b'
0 0 1 b''
0 0 0 1 b'''
0 0 0 0 1 b''''
0 0 0 0 0
h
0 0 0 0 0 h'
0
0 0 0 0 0 h''
0 0 0 0 0 h''
Darbojoties ar Gausa metodi, darbu nobeidzot, ir iespējami
tikai 3 varianti.
1.variants – “izbeidzas” vienādojumi, radies trīsstūris:
...
..... x 3
+ 3x 4
+ 2x 5
= 6;
............. x 4
+ 2x 5
= 3;
...................... x 5
= 2.

Un vairāk vienādojumu nav. Tad risinām "atpakaļ":
x 5
=2; x 4
= –1; x 4
=5; utt., iegūstot vienīgo iespējamo
atrisinajumu.
Tātad saskaņā ar mūsu Lemmu, šai gadījumā arī sākotnējai
sistēmai ir viens un tikai viens atrisinājums (savietojama un
noteikta sistēma).
2.variants – “izbeidzas” vienādojumi, radusies trapece:
...
.... x 3
+ 2x 4
+ x 5
= 4
............. x 4
+3x 5
= 5
Un vairāk vienādojumu nav. Tad risinām "atpakaļ":
x 5
=t; x 4
=5−3t; utt.
Tātad saskaņā ar mūsu Lemmu, šai gadījumā arī sākotnējai
sistēmai ir bezgalīgi daudz atrisinājumu (savietojama un
nenoteikta sistēma). Kā izskatās nenoteiktas sistēmas
atrisinājumu formulas vispārīgajā gadījumā
3.variants – vienādojumi “vēl ir”, bet operācijas a, b, c, d lietot
vairs nav iespējams.
Tad aiz pēdējā iegūtā “normālā” vienādojuma (kam pirmā
nezināmā koeficients ir 1) ir palikuši vēl viens vai vairāki
vienādojumi.
Visi šie palikušie vienādojumi ir formā 0=h (ja kreisajā puse
būtu palicis kaut viens nenulles koeficients, tad mēs to varētu
apstrādāt ar operācijām c, d, a).
Ja visos palikušajos vienādojumos h=0, tad tos visus var
atmest, un mēs nonākam pie 1. vai 2.varianta.
Ja kādā no palikušajiem vienādojumiem h≠0, tad tas ir
neizpildāms vienādojums. Tad saskaņā ar mūsu Lemmu, šai
gadījumā arī sākotnējai sistēmai nav neviena atrisinājuma
(nesavietojama sistēma).
Piemērs: ...........0 = 1; ← neizpildāms.
Esam pierādījuši teorēmu:
Teorēma. Jebkuru savietojamu lineāru
vienādojumu sistēmu ar Gausa metodes
palīdzību var pārveidot ekvivalentā
trīsstūrveida vai trapecveida sistēmā.
Nesavietojamai sistēmai Gausa metodes darba
laikā parādās vienādojums 0=h, kur h≠0.
Vienādojumu skaits un nezināmo skaits
Secinājumi no Gausa metodes:
1) Ja s=n (vienādojumu ir tikpat cik nezināmo)
tad ir iespējami visi varianti: sistēma vai nu ir
nesavietojama, vai arī atrisinājumu skaits ir
viens vai bezgalīgi daudz. Kāpēc
2) Ja sn (vienādojumu ir vairāk nekā
nezināmo) tad tajā ir vismaz s−n atkarīgu
vienādojumu! Kāpēc Piemērs – 5 v. un 4 n. Ir
iespējami visi varianti: sistēma vai nu ir
nesavietojama, vai arī atrisinājumu skaits ir
viens vai bezgalīgi daudz.
Homogēnas sistēmas
Definīcija: Sistēmu sauc par homogēnu, ja visi brīvie locekļi ir
nulles.
x+2y+3z=0;
2x+2y+z=0;
3x+3y+5z=0.

Nulles atrisinājums homogēnai sistēmai der vienmēr: (0, 0, 0),
t.i. tās vienmēr ir savietojamas.
Ja lietojam Gausa metodi, kas var iznākt Trīsstūris (tad der
tikai nulles atrisinājums) vai trapece (tad sistēmai ir arī
bezgalīgi daudz nenulles atrisinājumu). Kāpēc
Speciāli datoriķiem: Gausa metodei
nepieciešamais programmas darbības laiks
Sk. Gaussian Elimination Wikipedia .
Ja n lineāru vienādojumu sistēmu ar n nezināmajiem risina ar
Gausa metodi, tad pavisam iznāk izpildīt aptuveni n 2 dalīšanas
operāciju, aptuveni n 3 reizināšanas un aptuveni n 3 atņemšanas
operāciju.
Uzdevums (i-iespēja). Saskaitiet precīzāk operācijas, kas ir
jāizpilda, risinot s vienādojumu sistēmu ar n nezināmajiem.
Jāiegūst 3 formulas.
Tas nozīmē, ka izmantojot datorus, ar Gausa metodi var
sekmīgi risināt sistēmas, kurās ir līdz tūkstotim vienādojumu
un nezināmo.
Bet ja vienādojumu skaits sniedzas jau desmitos tūkstošu, tad
būs jāizmanto citas metodes. Par tām sk. to pašu Gaussian
Elimination Wikipedia .
Datoriķiem: vēl viena problēma...
Gaussian Elimination Wikipedia – te varat izlasīt par vēl vienu
problēmu:
Gausa metodē atņemšanas operācijas mijas ar dalīšanām.
Piemērs:
x+y=1;
x+1,001y=2;
Atņemot no otrā vienādojuma pirmo:
0,001y=1;
y=1000; x=−999.
Taču, ja 1,001 ir radies noapaļošanas rezultātā, t.i. īstenībā tā
vietā ir kāds skaitlis no 1,0005 līdz 1,0015, tad īstā y vērtība ir
robežās no 666,7 līdz 2000. Tāpēc korektāk būtu par rezultātu
uzskatīt nevis y=1000, bet gan:
y≈
666,7+ 2000
≈1333 ; x≈−1332 .
2
Ja atņemšanas rezultātā rodas ļoti mazs skaitlis, ar kuru pēc
tam ir jādala, tad tas stipri palielina rēķināšanas kļūdas.
Tāpēc, programmējot praktiskai lietošanai, Gausa metodi vajag
vēl vairāk pilnveidot... Kā