Fragmenti no jaunÄs grÄmatas - Zvaigzne ABC
Fragmenti no jaunÄs grÄmatas - Zvaigzne ABC
Fragmenti no jaunÄs grÄmatas - Zvaigzne ABC
Create successful ePaper yourself
Turn your PDF publications into a flip-book with our unique Google optimized e-Paper software.
Paralelograma likums<br />
Ja diviem nekolineāriem vektoriem ir kopīgs sākumpunkts,<br />
tad par abu vektoru summu sauc vektoru, kurš sākas to kopīgajā<br />
sākumpunktā un sakrīt ar tāda paralelograma diagonāli,<br />
kura malas ir abi dotie vektori.<br />
Šo vektoru saskaitīšanas paņēmienu sauc par paralelograma<br />
likumu.<br />
7. att. vektoru a <br />
un b summa ir vektors c :<br />
<br />
a + b = c .<br />
Arī saskaitot pēc trijstūra likuma, vektoru a un<br />
pats vektors c <br />
<br />
. Patiešām: tā kā AC = OB = b , tad<br />
<br />
<br />
<br />
a + b = OA + AC = OC = c .<br />
<br />
b summa ir tas<br />
Tāpēc abi saskaitīšanas paņēmieni – trijstūra likums un<br />
paralelograma likums – ir līdzvērtīgi.<br />
b<br />
b<br />
a<br />
B<br />
c = a + b<br />
O<br />
a<br />
A<br />
7. att. Paralelograma likums<br />
Vektoru summas īpašības<br />
1 Jebkuriem diviem vektoriem<br />
<br />
a un b ir spēkā vienādība<br />
<br />
a + b = b + a<br />
(komutatīvā īpašība).<br />
2 Jebkuriem trim vektoriem<br />
<br />
a , b , c ir spēkā vienādība<br />
( a + b ) + c = a + ( b + c<br />
)<br />
(asociatīvā īpašība).<br />
C<br />
Daudzstūra likums<br />
Vairāku vektoru summu var iegūt šādi: pie pirmā vektora pieskaitīt<br />
otro vektoru, pie abu vektoru summas pieskaitīt trešo vektoru<br />
utt.<br />
Piemēram, 8. att. ir attēlota vektoru <br />
a = AB<br />
<br />
, b = BC , <br />
c = CD ,<br />
<br />
d = DE summa.<br />
Ievērojot vektoru summas īpašības, saskaitīšanu var veikt<br />
jebkurā secībā.<br />
Praktiski vairākus vektorus saskaita šādi: <strong>no</strong> dotajiem<br />
vektoriem izveido lauztu līniju, atliekot tos secīgi tā, ka<br />
viena vektora galapunkts sakrīt ar nākamā sākumpunktu.<br />
Savie<strong>no</strong>jot pirmā vektora sākumpunktu ar pēdējā vektora<br />
galapunktu, iegūst šo vektoru summu. (9. att.)<br />
A<br />
a + b<br />
c<br />
b<br />
a<br />
d<br />
C<br />
c<br />
b<br />
D<br />
B<br />
d<br />
a<br />
(( a + b) + c) + d<br />
8. att. <br />
a + b + c + d = AE jeb<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
AB + BC + CD + DE = AE .<br />
E<br />
Šo vairāku vektoru summas konstruēšanas paņēmienu sauc par<br />
daudzstūra likumu.<br />
Piemēram, saskaitīsim tos pašus 8. att. dotos vektorus <br />
abcd , , ,<br />
<br />
pēc daudzstūra likuma (9. att.).<br />
Salīdzi<strong>no</strong>t 8. un 9. attēlā iegūtos rezultējošos vektorus AE<br />
<br />
,<br />
redzam, ka tie ir vienādi.<br />
A<br />
C<br />
c<br />
b<br />
D<br />
B<br />
d<br />
a<br />
9. att. Daudzstūra likums<br />
E<br />
7
Aprēķināsim dažus virknes locekļus, sākot ar trešo:<br />
a 3<br />
= a 2<br />
+ a 1<br />
= 1 + 1 = 2<br />
a 4<br />
= a 3<br />
+ a 2<br />
= 2 + 1 = 3<br />
a 5<br />
= a 4<br />
+ a 3<br />
= 3 + 2 = 5<br />
a 6<br />
= a 5<br />
+ a 4<br />
= 5 + 3 = 8<br />
a 7<br />
= a 6<br />
+ a 5<br />
= 8 + 5 = 13<br />
a 8<br />
= a 7<br />
+ a 6<br />
= 13 + 8 = 21<br />
a 9<br />
= a 8<br />
+ a 7<br />
= 21 + 13 = 34 utt.<br />
Iegūstam skaitļu virkni<br />
(1; 1; 2; 3; 5; 8; 13; 21; 34; …).<br />
Šo skaitļu virkni sauc par Fibonači skaitļu virkni, un tās<br />
locekļus – par Fibonači skaitļiem.<br />
Leonardo Fibonači (ap 1175 –<br />
ap 1250) – itāļu matemātiķis<br />
Fibonači virknes īpašība. Zelta griezums<br />
Ja Fibonači skaitļu virknē (1; 1; 2; 3; 5; 8; 13; 21; 34; …) aplūko<br />
ikviena skaitļa (sākot ar trešo) attiecību pret nākamo skaitli, iegūst<br />
daļas<br />
2 3<br />
3<br />
; 5 8<br />
5<br />
; 13 21<br />
8<br />
; 13<br />
; 21<br />
; 34<br />
; .<br />
Savukārt, ja katru skaitli dala ar iepriekšējo, tad iegūst daļas<br />
3 5<br />
2<br />
; 8 13<br />
3<br />
; 21 34<br />
5<br />
; 8<br />
; 13<br />
; 21<br />
; .<br />
Aprēķi<strong>no</strong>t šo daļu tuvinātās vērtības arvien tālāk <strong>no</strong> virknes<br />
sākuma, var secināt, ka Fibonači skaitļu virknē katrs skaitlis ir 1,618<br />
reizes lielāks nekā iepriekšējais, bet katrs iepriekšējais ir 0,618 <strong>no</strong><br />
nākamā.<br />
Šie skaitļi saistās arī ar zelta griezuma teoriju.<br />
Zelta griezums jeb harmoniskā dalīšana <strong>no</strong>zīmē, ka<br />
<strong>no</strong>griezni AB (3. att.) sadala divās daļās tā, ka <strong>no</strong>griežņa lielākā<br />
daļa AC ir vidējais proporcionālais starp visu <strong>no</strong>griezni<br />
AB = a un tā īsāko daļu CB, t. i.,<br />
AB<br />
AC<br />
= AC a x<br />
CB<br />
jeb x<br />
= a - x<br />
.<br />
Algebriski zelta griezuma <strong>no</strong>teikšana reducējas uz vienādojuma<br />
a x<br />
x<br />
= a - x<br />
; x2 = a(a – x); x 2 + ax – a2 = 0 atrisināšanu.<br />
( 5 -1)<br />
a<br />
Vienādojuma sakne x = » 0,<br />
618 a , un tātad attiecība<br />
2<br />
x<br />
a = 5 - 1 »<br />
2<br />
0, 618 .<br />
A<br />
1,618 × 0,618 ≈ 1<br />
Šādus skaitļus sauc<br />
par antipodiem.<br />
Izrādās, ka abi skaitļi 1,618<br />
un 0,618 ir vienīgie absolūtie<br />
antipodi aritmētikā!<br />
x<br />
a<br />
D<br />
C<br />
3. att.<br />
a – x<br />
E<br />
B<br />
a<br />
2<br />
191
y = ctg x galvenās īpašības.<br />
1 D = (0 + p × k; p + p × k), k.<br />
2 E = (–¥; +¥), turklāt funkcijai y = ctg x neeksistē vislielākā<br />
vērtība un neeksistē vismazākā vērtība.<br />
3 y = ctg x ir periodiska funkcija; tās periods ir p.<br />
4 y = ctg x ir nepāra funkcija; grafiks ir simetrisks attiecībā pret<br />
koordinātu sākumpunktu.<br />
æ<br />
5 Intervālos p ö<br />
0 + p × k; + p × k kotangensa funkcijas vērtības<br />
èç<br />
2 ø÷<br />
æ p<br />
ir pozitīvas, bet intervālos<br />
p p p<br />
èç<br />
2 + × + ×<br />
ö<br />
k; k – negatīvas.<br />
ø÷<br />
p<br />
6 Punktos + p ×k kotangensa funkcijas vērtība ir 0; šajos<br />
2<br />
punktos grafiks krusto Ox asi.<br />
7 Intervālos (0 + p × k; p + p × k) kotangensa funkcija ir mo<strong>no</strong>toni<br />
dilstoša.<br />
ctg (a + 180° × k) = ctg a<br />
ctg (a + p × k) = ctg a<br />
y = ctg x ir nepāra funkcija<br />
6.14. Trigo<strong>no</strong>metrisko funkciju vērtību tabula<br />
No pamatskolas ģeometrijas kursa ir zināmas trigo<strong>no</strong>metrisko<br />
funkciju vērtības 30°, 45° un 60° leņķiem. Papildināsim šo vērtību<br />
tabulu, ietverot tajā arī 0°, 90°, 180°, 270°, 360° leņķus.<br />
a<br />
Funkcija sin a cos a tg a ctg a<br />
0° (0) 0 1 0 nav def.<br />
æ p ö<br />
30°<br />
1<br />
3 3<br />
èç<br />
6 ø÷<br />
2<br />
2 3<br />
3<br />
æ p ö<br />
45°<br />
èç<br />
4 ø÷<br />
æ p ö<br />
60°<br />
èç<br />
3 ø÷<br />
æ p ö<br />
90°<br />
èç<br />
2 ø÷<br />
2<br />
2<br />
3<br />
2<br />
2<br />
2<br />
1<br />
2<br />
1 1<br />
1 0 nav def. 0<br />
180° (p) 0 –1 0 nav def.<br />
æ 3p<br />
ö<br />
270°<br />
èç<br />
2 ø÷<br />
–1 0 nav def. 0<br />
360° (2p) 0 1 0 nav def.<br />
3<br />
3<br />
3<br />
Piezīmes<br />
Augošā secībā uzrakstītiem<br />
I kvadranta leņķiem<br />
0°, 30°, 45°, 60°, 90°<br />
sinusa funkcijas vērtības var<br />
viegli iegaumēt, ja tās pieraksta<br />
šādi:<br />
0 1 2 3 4<br />
; ; ; ; .<br />
2 2 2 2 2<br />
Analogi var pierakstīt arī<br />
tangensa funkcijas vērtības<br />
leņķiem 0°, 30°, 45°, 60°:<br />
0<br />
3<br />
; 3 9 27<br />
3<br />
; 3<br />
; 3<br />
.<br />
182
Saknes un to īpašības.<br />
Kāpinātāja jēdziena paplašinājums<br />
5.1. n-tās pakāpes sakne<br />
Saknes atrašana jeb saknes vilkšana ir apgriezta darbība<br />
kāpināšanai.<br />
Pamatskolā jau definējām kvadrātsakni un kubsakni (trešās pakāpes<br />
sakni):<br />
a = b , ja b 2 = a (a 0);<br />
3<br />
a<br />
= b , ja b 3 = a.<br />
Līdzīgi definē skaitļa n-tās pakāpes sakni – kā apgriezto darbību<br />
kāpināšanai n-tajā pakāpē (n Î ; n 2).<br />
n-tās pakāpes sakni <strong>no</strong> skaitļa a apzīmē ar simbolu<br />
n<br />
a<br />
Par skaitļa a n-tās pakāpes sakni sauc tādu skaitli b, kas,<br />
kāpināts n-tajā pakāpē, ir vienāds ar skaitli a.<br />
Tātad<br />
n<br />
zemsaknes skaitlis<br />
saknes rādītājs<br />
a<br />
kur n = 2, 3, 4, ...<br />
= b , ja b n<br />
= a,<br />
sakne<br />
.<br />
Atceries!<br />
Pakāpi pieraksta šādi:<br />
a n<br />
= b ,<br />
kur a – bāze,<br />
n – kāpinātājs ( n Î ),<br />
b – pakāpe<br />
visu izteiksmi a n arī sauc par<br />
pakāpi.<br />
Pakāpes a n aprēķināšanu sauc par<br />
kāpināšanu:<br />
ja n = 2 – par kāpināšanu kvadrātā;<br />
ja n = 3 – par kāpināšanu kubā;<br />
ja n = 4 – par kāpināšanu ceturtajā<br />
pakāpē. ...<br />
Pierakstu<br />
3 a lasa kubsakne <strong>no</strong> a,<br />
pierakstu<br />
4 a lasa ceturtās pakāpes<br />
sakne <strong>no</strong> a,<br />
...<br />
Piemēri<br />
1 025 , = 0,5, jo 0,5 2 = 0,25<br />
3<br />
2 -125<br />
5<br />
3 -32<br />
= –5, jo (–5) 3 = –125<br />
= –2, jo (–2) 5 = –32<br />
4<br />
4 -16 nav reāls skaitlis, jo, jebkuru reālu skaitli kāpi<strong>no</strong>t pāra<br />
pakāpē, iegūst nenegatīvu skaitli.<br />
4<br />
5 81<br />
= 3, jo 3 4 = 81<br />
Vispārīgā gadījumā – atkarībā <strong>no</strong> saknes rādītāja n – izšķir divus<br />
gadījumus:<br />
• n ir pāra skaitlis, t. i., n = 2k un jāaprēķina<br />
2 k a ;<br />
2k+<br />
1<br />
• n ir nepāra skaitlis, t. i., n = 2k + 1 un jāaprēķina a .<br />
133
Uzdevumi<br />
4.1. Aprēķināt sinusa, kosinusa, tangensa un kotangensa vērtības šādiem leņķiem:<br />
a) 120°; b) 135°; c) 150°.<br />
4.2. Noteikt leņķi j, ja 0° j 180°.<br />
a) cos j= 3<br />
2<br />
b) cos j=- 2<br />
2<br />
c) tg j=- 3<br />
3<br />
d) sin j= 1 2<br />
4.3. Izteikt ar šaurā leņķa palīdzību.<br />
a) sin 170° b) cos 148° c) tg 128° d) ctg 115°<br />
e) sin j = 3<br />
2<br />
4.4. Sakarības taisnleņķa trijstūrī<br />
Taisnleņķa trijstūrī katete ir vidējais proporcionālais starp<br />
hipotenūzu un šīs katetes projekciju uz hipotenūzas.<br />
Taisnleņķa trijstūra augstums, kas <strong>no</strong>vilkts <strong>no</strong> taisnā leņķa<br />
virsotnes, ir vidējais proporcionālais starp katešu projekcijām<br />
uz hipotenūzas.<br />
Dots (13. att.): ∆ACB, ÐC = 90°<br />
h c<br />
– augstums, kas <strong>no</strong>vilkts pret hipotenūzu,<br />
a c<br />
– katetes a projekcija uz hipotenūzu c,<br />
b c<br />
– katetes b projekcija uz hipotenūzu c.<br />
Jāpierāda: a 2 = c · a c<br />
; b 2 = c · b c<br />
; h 2<br />
= a × b<br />
c c c<br />
Pierādījums<br />
Izmantosim trijstūru līdzību.<br />
Tā kā ∆CBD ~ ∆<strong>ABC</strong> un ∆ACD ~ ∆<strong>ABC</strong>, tad<br />
116<br />
Atceries!<br />
Ja starp <strong>no</strong>griežņiem x, y un z pastāv<br />
sakarība x y<br />
= (*), tad saka,<br />
y z<br />
ka y ir vidējais proporcionālais<br />
jeb vidējais ģeometriskais.<br />
Sakarību (*) var uzrakstīt arī šādi:<br />
y 2 = x · z jeb y<br />
A<br />
b<br />
= x× z .<br />
C<br />
b c<br />
h c<br />
a c<br />
a<br />
c D<br />
2<br />
a<br />
b<br />
cac<br />
cb<br />
2<br />
2<br />
b<br />
ac<br />
2<br />
b<br />
. 13. att.<br />
a<br />
a<br />
= ; a 2 = ca<br />
a c<br />
c<br />
; a = ca c<br />
; bc b<br />
= ; b 2 = cb<br />
b c<br />
c<br />
; b = cb c<br />
.<br />
Tā kā ∆ACD ~ ∆CBD, tad<br />
b h<br />
c c<br />
= ; h 2<br />
= a b ; h = ab<br />
c c c<br />
h a<br />
c c<br />
.<br />
c c<br />
<br />
Secinājums<br />
Taisnleņķa trijstūrī katešu kvadrāti attiecas tāpat kā šo<br />
katešu atbilstošās projekcijas uz hipotenūzas.<br />
Patiešām, izdalot sakarības a 2 = c ·a c<br />
un b 2 = c · b c<br />
, iegūstam<br />
c<br />
c<br />
B
3.5. Definīcijas, aksiomas, teorēmas matemātikā<br />
Matemātika, tāpat kā citas zinātnes, ir veidota pēc zināmas shēmas;<br />
tās galvenās sastāvdaļas ir pamatjēdzieni, aksiomas,<br />
definīcijas un teorēmas.<br />
1. Vispirms uzskaita pamatjēdzienus, kurus nedefinē.<br />
Piemēram, planimetrijas pamatjēdzieni ir punkts, taisne, attālums<br />
starp punktiem, bet stereometrijas pamatjēdzieni ir punkts, taisne,<br />
plakne un attālums starp punktiem.<br />
2. Formulē aksiomas; tās ir pamatatziņas, kas izsaka pamatjēdzienu<br />
svarīgākās īpašības, kuras pieņem bez pierādījuma.<br />
Piemēram, visiem zināma šāda planimetrijas aksioma:<br />
“Katra taisne satur bezgalīgi daudz punktu”.<br />
3. Lietojot pamatjēdzienus, aksiomas un arī jau iepriekš definētos<br />
jēdzienus, pakāpeniski definē jaunus jēdzienus. Tātad<br />
definīcija ikvienā zinātnē atklāj jauna jēdziena būtību.<br />
Piemēram, jēdziena “paralelograms” definēšanai tiek lietots plašāks<br />
jēdziens “četrstūris”, papildi<strong>no</strong>t to ar <strong>no</strong>sacījumu “ik divas<br />
pretējās malas ir paralēlas”.<br />
4. Pamatojoties uz definīcijām un aksiomām, pierāda teorēmas.<br />
Teorēma ir salikts izteikums jeb apgalvojums, kura patiesumu<br />
pamato ar pierādījumu. Teorēmās tiek aptverti visi kādas<br />
matemātiskas teorijas pamatfakti. Tāpēc teorēmu pierādīšana<br />
vienmēr ir viens <strong>no</strong> matemātikas pamatuzdevumiem.<br />
Parasti katra teorēma ir dota (formulēta) implikācijas formā,<br />
kur <strong>no</strong> patiesa izteikuma A seko patiess izteikums B.<br />
Tātad teorēmu simboliski var pierakstīt šādi:<br />
A Þ B.<br />
Teorēmas formulējumā ir divas <strong>no</strong>teicošās daļas:<br />
• Teorēmas <strong>no</strong>sacījums, kuru izsaka izteikums A.<br />
• Teorēmas secinājums, kuru izsaka izteikums B.<br />
Piemēri<br />
1 Ja paralelograma viens leņķis ir taisns, tad paralelograms<br />
ir taisnstūris.<br />
A – “paralelograma viens leņķis ir taisns”<br />
B – “paralelograms ir taisnstūris”<br />
2 Ja viena trijstūra divi leņķi ir vienādi ar cita trijstūra diviem<br />
leņķiem, tad abi trijstūri ir līdzīgi.<br />
3 Ja naturāla skaitļa ciparu summa dalās ar 9, tad pats skaitlis dalās<br />
ar 9.<br />
Atceries!<br />
Planimetrija ir mācība par plaknes<br />
figūrām, bet stereometrija – mācība<br />
par telpas figūrām.<br />
Aksioma – <strong>no</strong> grieķu val. vārda<br />
axioma – acīmredzama patiesība.<br />
Gan planimetrijā, gan stereometrijā<br />
ir ne viena vien, bet pat vesela<br />
aksiomu sistēma.<br />
Ikviena aksiomu sistēma ir<br />
izveidota tā, lai tā būtu pilnīga,<br />
neatkarīga un nepretrunīga.<br />
Definīcija – <strong>no</strong> latīņu val. vārda<br />
definitio – <strong>no</strong>teikšana.<br />
Atceries!<br />
Implikācija A Þ B ir salikts<br />
izteikums “ja A, tad B”<br />
jeb “<strong>no</strong> A seko B”.<br />
96
8.3. Racionālu daļu pārveidošana<br />
Veicot racionālu daļu pārveidojumus, bieži nepieciešams saīsināt<br />
doto daļu.<br />
Lai saīsinātu doto daļu, tās skaitītāju un saucēju sadala<br />
reizinātājos.<br />
Piemēri<br />
2<br />
x - 9<br />
1 Saīsināsim daļu<br />
2<br />
x - 4x<br />
+ 3<br />
.<br />
Dotā daļa ir definēta, ja x 2 – 4x + 3 ≠ 0, t. i., x ≠ 1, x ≠ 3.<br />
Tātad daļas definīcijas apgabals ir<br />
x Î( -¥; 1) È( 1; 3) È (; 3 +¥ ).<br />
Šajā apgabalā arī varam daļu pārveidot, to saīsi<strong>no</strong>t:<br />
2<br />
x - 9 x 3 x 3<br />
2<br />
x - 4x<br />
+ 3<br />
= ( - )( + )<br />
( x -1)( x - 3)<br />
= x + 3<br />
x - 1 .<br />
Pirmās divas daļas nav definētas, ja x = 1 un x = 3, bet<br />
pēdējā daļa nav definēta tikai tad, ja x = 1. Tātad pāreja <strong>no</strong><br />
otrās uz pēdējo daļu (un otrādi) iespējama, ja x ≠ 3. Parasti<br />
to speciāli neuzsver, jo pārveidojumus veic abu daļu kopīgajā<br />
definīcijas apgabalā.<br />
2 Saīsināsim daļu 7 x - 35<br />
15 - 3x<br />
.<br />
Ja 15 – 3x ≠ 0, t. i., x ≠ 5, tad<br />
7x<br />
- 35 7( x - 5)<br />
7 x 5<br />
=<br />
15 - 3x<br />
35- x<br />
=- ( - )<br />
( ) 3( x - 5)<br />
= - 7 3 .<br />
Ja daļas saskaita vai atņem un to saucēji nav vienādi, tad<br />
vispirms saucēji jāvienādo.<br />
Atceries!<br />
Daļas vērtība nemainās, ja maina<br />
zīmes uz pretējām<br />
1) daļas skaitītājam un saucējam;<br />
2) daļas skaitītājam vai saucējam<br />
un daļas priekšā.<br />
a a<br />
b<br />
= - a a<br />
- b<br />
=-- b<br />
=- -b<br />
Piemēri<br />
1 5 xy 15 xy + 15<br />
1 + = + =<br />
3x<br />
xy<br />
2 3xy<br />
2 3xy<br />
2 3xy<br />
2<br />
2<br />
2<br />
x + y x y x y x y<br />
- + = + 2<br />
- +<br />
x x - y x - xy x x - y xx- y<br />
=<br />
2<br />
( )<br />
( x<br />
= + y)( x - y)<br />
- x + y x<br />
= - y - x + y<br />
=<br />
xx ( - y) xx ( - y) x( x - y)<br />
= 0<br />
-y 2 - x 2 + y<br />
2 =<br />
0<br />
xx ( - y) x( x - y)<br />
= 0<br />
2 2 2 2 2 2 0<br />
a<br />
b<br />
c ad + bc<br />
+ =<br />
d b×<br />
d<br />
Daļu reizinājums ir daļa, kuru iegūst, sareizi<strong>no</strong>t doto daļu<br />
skaitītājus un sareizi<strong>no</strong>t doto daļu saucējus.<br />
Dalot divas daļas, pirmo daļu reizina ar otrās daļas apgriezto<br />
daļu.<br />
a<br />
b<br />
a<br />
b<br />
× c<br />
d<br />
= × ×<br />
a c<br />
b d<br />
: c a<br />
d<br />
= b<br />
×<br />
d<br />
c<br />
220