Galīgo elementu metode

76 NODAĻA 5. SPIESTA STIEŅA NOTURĪBA
kur L 1 ir diferenciālais operātors
L 1 = ∂
(5.14)
∂x
Izmantojot aproksimāciju v = Hq (3.18) funkcionālī (5.13), iegūstam
W e = P 2 qT K G e q (5.15)
kur K G e
ir elementa ǵeometriskā stinguma matrica
K G e =
∫ l
0
H T L T 1 L 1 H dx (5.16)
Šeit formas funkcijas H tika definētas ar formulām (3.19) un (3.12). Visa
stieņa, kas satāv no NE elementiem, potenciālā enerǵija ir
∑NE
Π= (U e − W e )= 1 2 QT KQ − P 2 QT K G Q (5.17)
e=1
Šeit K un K G ir visa stieņa stinguma un ǵeometriskā stinguma matricas
∑NE
∑NE
K = K i,e , K G = K G i,e (5.18)
i=1
i=1
No potenciālās enerǵijas (5.17) minimuma, iegūstam
KQ − P K G Q = 0 (5.19)
Tā ir lineārā īpašvērtību problēma. To atrisinot, atrodam kritisko spēku
P kr . Lietojot GEM, var atrast kritisko spēku sarežǵītām stieņu sistēmām,
piemēram, telpiskiem rāmjiem, torņiem, tiltiem un citām konstrukcijām.
5.3 Aprēķina piemēri
Stienim, kas attēlots Zīm. 5.1, atradīsim kritisko spēku, izmantojot GEM.
Izejas dati ir
E = 200 GPa, L =4m, I =1.08 × 10 −6 m 4
Ieliekot izejas datus formulā (5.10), iegūstam precīzo kritiskā spēka vērtıbu
( π
) 2
P kr = EI =1.3324 × 10 5 N = 133.24 kN
L