Galīgo elementu metode

5.2.
APRĒĶINS AR GALĪGO ELEMENTU METODI 75
Funkcionāļa (5.1) minimizācijai izmanto Ritza metodi. Funkcijas v(x)
aproksimāciju izvēlāmies tā, lai tiktu apmierināti galvenie robežnoteikumi
(5.6)
( πx
)
v(x, t) =a 1 sin
(5.7)
L
Ieliekot šo aproksimāciju funkcionālī (5.1), ņemot vērā(5.2) un (5.5), pēc
integrēšanas iegūstam potenciālo enerǵiju Π kā funkciju no koeficienta a 1
Π(a 1 )= 1 ( )
π 3 EI
4 a2 1 − Pπ
(5.8)
L 2
Funkcionāļa minimuma noteikums ir
∂Π
= 1 ( )
π 3
∂a 1 2 a EI
1 − Pπ =0 (5.9)
L 2
Tā kā noturības zaudēšanas brīdī a 1 ≠ 0, tadnullei pielīdzina izteiksmi, kas
ir iekavās. No tās iegūstam stieņa kritisko spēku
( π
) 2
P kr = EI
(5.10)
L
Tā ir Eilera formula kritiskā spēka noteikšanai. Šajā gadījumā ar Ritca
metodi iegūtais kritiskais spēks sakrīt ar precīzo vērtību, jo sinusa funkcija
atbilst precīzā risinājuma funkcijai.
5.2 Aprēķins ar galīgo elementu metodi
Risinot uzdevumu ar GEM stieni, kura garums ir L, sadala NE elementos
ar garumu l = L/NE. Katram elementam deformācijas enerǵiju (5.2) var
uzrakstīt diskrētā formā (3.24)
U e = 1 2 qT K e q (5.11)
Ārējā spēka darba funkcionālis (5.5) vienam elementam ir
W e = P ∫ l
( ) 2 ∂v
dx (5.12)
2 0 ∂x
Arī šo funkcionāli var uzrakstīt matricu formā
W e = P 2
∫ l
0
v T L T 1 L 1 vdx (5.13)