Galīgo elementu metode

4.3.
TRĪSSTŪRA GALĪGAIS ELEMENTS 65
kur matrica B ir
⎡
B = 1 ⎣
detJ
⎤
y 23 0 y 31 0 y 12 0
0 x 32 0 x 13 0 x 21
⎦ (4.33)
x 32 y 23 x 13 y 31 x 21 y 12
Tātadmatrica B satur konstantes, kuras var izteikt ar elementa mezglu
koordinātēm.
4.3.2 Potenciālā enerǵija
Potenciālā enerǵija plakanam ķermenim, kura biezums ir t, varuzrakstīt
Π= 1 ∫
∫
∫
ɛ T DɛtdA − u T ftdA − u T T tdc − ∑ u T i P i (4.34)
2 A
A
C i
Pēdējais loceklis ir koncentrēta spēka P i pastrādātais darbs un P T =[P x ,P y ].
Priekšpēdējais loceklis ir pa kontūrlīniju izkliedēta slodze, bet pirms tam ir
loceklis, kas nosaka tilpuma spēku darbu.
Apgabala, kas attēlots Zīm. 4.2, potenciālās enerǵijas diskrētā forma ir
Π= ∑ e
1
2
∫
e
ɛ T DɛtdA − ∑ e
∫
e
∫
u T ftdA − u T T tdc − ∑
C i
u T i P(4.35)
i
jeb
Π= ∑ e
U e − ∑ e
∫
∫
u T ftdA − u T T tdc − ∑
e
C i
u T i P i (4.36)
kur elementa deformācijas enerǵija U e ir
U e = 1 ∫
ɛ T DɛtdA (4.37)
2
e
4.3.3 Elementa un globālā stinguma matrica
Izmantojot formulu (4.32) izteiksmē (4.37), iegūstam
U e = 1 ∫
ɛ T DɛtdA = 1 ∫
q T B T DBqtdA (4.38)
2 e 2 e
Pieņemot, ka t = const, un tākā visi elementi matricās D un B ir konstantes,
mēs varam uzrakstīt
U e = 1 (∫ )
2 qT B T DBqt dA
(4.39)
e