Galīgo elementu metode

64 NODAĻA 4. DIVDIMENSIJU PROBLĒMAS
No šīs formulas redzams, ka
|detJ| =2A (4.28)
Jāievēro, ka punktus 1, 2 un 3 ir jāskaita pretēji pulksteņa rādītāja virzienam,
taddeterminants ir pozitīvs.
No formulām (4.25) un (4.26) seko, ka
⎧
⎪⎨
⎪⎩
∂u
∂x
∂u
∂y
⎫
⎪⎬
⎪⎭ = 1
detJ
⎧
⎪⎨
⎫
⎪⎬
∂u
y 23
∂ξ − y ∂u
13
∂η
∂u ⎪⎩ −x 23
∂ξ + x ∂u
13
⎪⎭
∂η
Priekš pārvietojuma v formula ir līdzīga
⎧ ⎫ ⎧
∂v
∂v
⎪⎨ ⎪⎬
∂x ∂v ⎪⎩ ⎪⎭ = 1 ⎪⎨ y 23
∂ξ − y ∂v
13
∂η
detJ ∂v ⎪⎩ −x
∂y
23
∂ξ + x ∂v
13
∂η
Izmantojot formulas (4.5), (4.15), (4.29) un (4.30), iegūstam
⎧ ⎫
∂u
⎪⎨ ∂x ∂v
⎪⎬
ɛ =
∂y
∂u ⎪⎩
∂y + ∂v ⎪⎭
∂x
⎧
⎨
= 1
detJ
⎩
⎫
⎪⎬
⎪⎭
(4.29)
(4.30)
y 23 (q 1 − q 5 ) − y 13 (q 3 − q 5 )
−x 23 (q 2 − q 6 )+x 13 (q 4 − q 6 )
−x 23 (q 1 − q 5 )+x 13 (q 3 − q 5 )+y 23 (q 2 − q 6 ) − y 13 (q 4 − q 6 )
Izmantojot x ij un y ij definīcijas, iegūstam
y 31 = −y 13 , y 12 = y 13 − y 23 , utt.
⎫
⎬
⎭
Tadformulu priekš ɛ var uzrakstīt
⎧
⎨
ɛ = 1
detJ
⎩
y 23 q 1 + y 31 q 3 + y 12 q 5 )
x 32 q 2 + x 13 q 4 + x 21 q 6 )
x 32 q 1 + y 23 q 2 + x 13 q 3 + y 31 q 4 + x 21 q 5 + y 12 q 6
⎫
⎬
⎭
(4.31)
Šo formulu var pierakstīt matricu formā
ɛ = Bq (4.32)