Galīgo elementu metode

4.3.
TRĪSSTŪRA GALĪGAIS ELEMENTS 63
ka
Lai iegūtu kinemātiskās sakarības (4.5) lokālās koordinātēs, ir jāievēro,
u =[x(ξ,η),y(ξ,η)],
v =[x(ξ,η),y(ξ,η)]
tad
∂u
∂ξ = ∂u ∂x
∂x ∂ξ + ∂u ∂y
∂y ∂ξ
∂u
∂η = ∂u ∂x
∂x ∂η + ∂u ∂y
∂y ∂η
(4.21)
To var uzrakstīt matricu formā
⎧ ⎫ ⎡ ⎤ ⎧
∂u ∂x ∂y
⎪⎨ ⎪⎬
⎪⎨
∂ξ
∂u ⎪⎩ ⎪⎭ = ⎢ ∂ξ ∂ξ ⎥
⎣ ∂x ∂y ⎦
⎪⎩
∂η ∂η ∂η
∂u
∂x
∂u
∂y
⎫
⎪⎬
⎪⎭
(4.22)
kur J ir koordinātu transformacijas matrica, ko sauc par Jakobi matricu
⎡
⎢
J = ⎣
∂x
∂ξ
∂x
∂y
∂ξ
∂y
⎤
⎥
⎦ (4.23)
∂η ∂η
Ievērojot (4.20), Jakobi matricu var uzrakstīt
[ ]
x13 y
J =
13
x 23 y 23
Uzrakstam formulas (4.22) inverso formu
⎧
⎪⎨
⎪⎩
∂u
∂x
∂u
∂y
kur J −1 ir
J −1 = 1
detJ
⎫ ⎧
⎪⎬ ⎪⎨ ∂u
⎪⎭ = J −1 ∂ξ
⎪ ⎩
∂u
∂η
⎫
⎪⎬
⎪⎭
[ ]
y23 −y 13
−x 23 x 13
(4.24)
(4.25)
(4.26)
kur
detJ = x 13 y 23 − x 23 y 13 (4.27)