Galīgo elementu metode

3.4. SPRIEGUMU APRĒĶINS SIJĀ 53
3.4 Spriegumu aprēķins sijā
Izmantojam sakarības starp lieces momentu, šķērsspēku un izlieci
M = EI d2 v
dx , Q = dM , v = Hq (3.33)
2 dx
No šejienes iegūstam lieces momentu M un šķērsspēku Q elementā
M = EI
l [6ξq 2 1 +(3ξ − 1)lq 2 − 6ξq 3 +(3ξ +1)lq 4 ] (3.34)
Q = 6EI
l (2q 3 1 + lq 2 − 2q 3 + lq 4 ) (3.35)
Redzam, ka M ir lineāra funkcija (elementa robežās), bet Q ir konstants.
Spriegumus parasti nosaka elementa centrā (ξ =0).
3.5 Sijas aprēķina piemēri
Uzdevums ir sijai, kas attēlota Zīm. 3.7, noteikt pagrieziena leņķus punktos
2 un 3 un izlieci otrā laidumavidū.
Siju sadalām 2 elementos, izveidojot 3 mezglu punktus. Sijas
pārvietojumu vektors ir
Q T =[Q 1 ,Q 2 ,Q 3 ,Q 4 ,Q 5 ,Q 6 ]
Robežnoteikumi ir
Q 1 = Q 2 = Q 3 = Q 5 =0
Uzdevumam ir 2 nezināmie Q 4 (pagrieziena leņķis vidējā balstā - mezgls 2)
un Q 6 (pagrieziena leņķis labajā balstā - mezgls 3). Dotie lielumi ir
E = 200 GPa, I =4× 10 6 mm 4
Elementu matricas izskaitļo, izmantojot formulu (3.26)
EI
l 3 = (200 × 109 )(4 × 10 −6 )
1 3 =8× 10 5 N/m
⎡
K 1 = K 2 =8× 10 5 ⎢
⎣
12 6 −12 6
6 4 −6 2
−12 −6 12 −6
6 2 −6 4
⎤
⎥
⎦ (3.36)