Galīgo elementu metode

3.3.
ĀRĒJO SPĒKU DARBS UN SIJAS PILNĀ POTENCIĀLĀ ENERǴIJA51
Ieliekot šajā formulā izteiksmi (3.18) un paceļot kvadrātā, iegūstam
( ) d 2 2
v
= q T 16 ( ) d 2 T ( )
H d 2 H
q (3.22)
dx 2 l 4 dξ 2 dξ 2
( ) [ ]
d 2 H 3 −1+3ξ l
= ξ,
dξ 2 2 2 2 , −3 1+3ξ l
ξ,
2 2 2
(3.23)
Ievietojot šo izteiksmi un sakarību (3.15) formulā (3.20), iegūstam DE
izteiksmi diskrētā formā
U = 1 2 qT K e q (3.24)
kur K e ir sijas galīgā elementa stinguma matrica
K e =
∫
8EI
l 3 +1
−1
⎡
9
4 ξ2 3ξ(−1+3ξ)l − ⎤
9
8 4 ξ2 3 ξ(1 + 3ξ)l
8
1
⎢ 16 (−1+3ξ)2 l 2 − 3ξ(−1+3ξ)l 1
8 16 (−1+3ξ2 )l 2
⎥
⎣
9
Sym
4 ξ2 − 3 (1 + 3ξ)l ⎦ dξ
8
1
(1 + 16 3ξ)2 l 2
Katru šīs matricas locekli ir jāintegrē, ievērojot ka
∫ +1
−1
ξ 2 dξ = 2 ∫ +1
3 , ξdξ =0,
−1
∫ +1
−1
dξ = 2 (3.25)
Pēc integrēšanas iegūstam elementa stinguma matricu
⎡
⎤
12 6l −12 6l
K e = EI
⎢ 6l 4l 2 −6l 2l 2
⎥
l 3 ⎣ −12 −6l 12 −6l ⎦ (3.26)
6l 2l 2 −6l 4l 2
Redzam, ka stinguma matrica ir simetriska.
3.3 Ārējo spēku darbs un sijas pilnā p o-
tenciālā enerǵija
Noteiksim ASD W funkcionāļa (3.7) diskrēto formu vienmērīgi izkliedētas
slodzes p gadījumā
∫ ( ∫ pl +1
)
W = pvdx = Hdξ q (3.27)
2
l
−1